CAMPI CONTINUI: EQUAZIONE DELLE ONDE

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1 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. 4 CAMPI CONTINUI: EQUAZIONE DELLE ONDE Marco Gilibrti Dipartimnto di Fisica Univrsità dgli Studi di Milano Prmssa Com abbiamo visto nl capitolo prcdnt, a partir dalla fin dgli anni 8 dl scolo scorso sono stati fatti molti sprimnti di intrfrnza di diffrazion utilizzando pnnlli matriali ch mostrano comportamnti tipici di un campo ondulatorio. Abbiamo già dtto ch la maggior part di qusti sprimnti è stata ffttuata, in raltà, con fasci di bassissima intnsità, in modo ch, nll intrazion col rivlator, risultino vidnti l proprità di localizzazion spazio-tmporal tipich dll intrazion quantistica; ssi sono cioè, com si suol dir, sprimnti a particlla singola. Nulla vita, prò, di ffttuar, o di immaginar di ffttuar, tali sprimnti con fasci di lvata intnsità ottnndo, così, risultati dl tutto simili a qulli dll ottica lttromagntica, tanto da avrci indotto ad usar, in qusti casi, la dicitura di ottica matrial, com abbiamo fatto prcdntmnt. E usual intrprtar sprimnti di qusto tipo in trmini quantistici, spigando, anch qulli ffttuati con fasci di alta intnsità, com ad smpio qullo di Davisson Grmr (diffrazion di un fascio lttronico da part di un cristallo, in bas all rlazioni di D Brogli (ch discutrmo in sguito facndo splicito rifrimnto alla lunghzza d onda associata all particll. Prò, vista la grand analogia di comportamnto tra pnnlli matriali (prparati opportunamnt in modo ch si possano considrar sostanzialmnt non autointragnti pnnlli lttromagntici, così com non è ncssario introdurr conctti quantistici pr intrprtar la fnomnologia dll ottica fisica, non è ncssario farlo nl caso di pnnlli matriali ad alta intnsità. Nl capitolo prcdnt abbiamo visto ch un smplic modllo ondulatorio è in grado di intrprtar tutta la fnomnologia prsntata; prò, così com l quazioni di Maxwll fondano una toria ch va bn più al di là di un mro modllo fnomnologico, allo stsso modo è possibil formular una toria di campo ch potrmmo dfinir classica, simil all lttromagntismo, ch sia molto più profonda dl modllo ch abbiamo proposto pr la propagazion ondulatoria. Visto ch l argomnto ci smbra non troppo noto, contiamo di mostrar, qui di sguito, una possibil strada pr arrivar a costruir tal toria in modo significativo non puramnt formal, com si trova spsso ni manuali di toria quantistica di campi. Abbiamo già dtto ch nlla fisica classica il mondo è idalmnt diviso in du: i corpi matriali da una part l intrazion tra qusti corpi dall altra. La matria ch costituisc i corpi è dscritta, in fisica nwtoniana, in trmini di punti matriali ma è più natural

2 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. dscrivr situazioni macroscopich pr mzzo di quazioni rlativ a un continuo carattrizzato da alcun proprità. Pr smpio un fluido ch scorr in un condotto è carattrizzato, punto pr punto, da un valor dlla prssion, da un vttor vlocità, da una tmpratura, da una dnsità cc. In fisica, quando abbiamo una zona dllo spazio in cui è possibil dfinir punto pr punto una proprità bn dfinita diciamo ch siamo in prsnza di un campo. Con rifrimnto agli smpi prcdnti parlrmo di campo di prssion, di vlocità, di tmpratura di dnsità rispttivamnt. Tramit qusti campi possiamo dar una dscrizion dl sistma studiato in trmini di dnsità di quantità di moto, dnsità di nrgia, dnsità di momnto angolar cc.. Abbiamo, poi, dll quazioni rlativ al loro comportamnto ; smpi n sono l quazion di continuità ρ t ( ρ v (4. (dov compaiono la dnsità di massa ρ la dnsità di quantità di moto ρv; l quazion di Brnoulli pr un fluido prftto incomprimibil, ch con ovvia simbologia si scriv: v v ρ p u cost (4. (dov compaiono ρ u, rispttivamnt dnsità di nrgia cintica d nrgia potnzial pr unità di massa anch l quazion di stato di un gas prftto: pv nrt (4. (dov la prsnza splicita dl volum V indica, implicitamnt, il fatto ch la prssion sia una dnsità di nrgia. L intrazioni tra i continui matriali sono anch ss dscritt in trmini di campi continui ch sono mdiatori di forz ch agiscono localmnt. Emblmatico a qusto proposito è l utilizzo dl campo lttromagntico pr dscrivr l intrazioni tra continui carichi. Anch pr i campi di forza si dà una dscrizion in trmini di dnsità, pr smpio di dnsità di nrgia lttromagntica (con ovvia simbologia: w ( E D H B (4.4, in fftti, la dinamica dlla matria è rgolata da scambi di quantità di moto, di nrgia, di momnto angolar, cc., tra i continui matriali i campi. Tipico è il caso dll accoppiamnto tra continui carichi campi lttromagntici: l distribuzioni di carich gnrano campi lttromagntici, la cui sprssion è data dall quazioni di Maxwll; i campi a loro volta agiscono sull carich con una forza dtta forza di Lorntz. Fondamntali, nlla dscrizion di qusti procssi di intrazion, sono l bn not lggi di consrvazion, lgat a simmtri dl sistma. L variazioni locali nll grandzz ch carattrizzano il campo si propagano nl campo stsso la loro propagazion è dscritta da un quazion dll ond dl tipo

3 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. ϕ v t ϕ. (4.5 Pr smpio variazioni locali di prssioni in un gas danno luogo a ond sonor In gnral l ond saranno lastich nlla matria; mntr sono ond lttromagntich, gravitazionali cc. nl caso di campi di forza. Nl capitolo prcdnt abbiamo posto il problma dlla carattrizzazion dl pnnllo matrial utilizzato ni vari sprimnti (lttronico, nutronico, di fullrn, cc.. In analogia a quanto fatto pr dscrivr l ond ni mzzi lastici o l ond lttromagntich, introduciamo anch pr i nostri pnnlli l ida di un campo sottostant dotato dll proprità ch li carattrizzano. Introduciamo così, pr smpio, un dnsità di massa (oppur di carica oppur di quantità di moto, di nrgia cc. pr lo spcifico pnnllo in sam considriamo un campo dscrivnt tal quantità in un crta rgion. Supponiamo, così, ch un pnnllo matrial sia dscritto dall variazioni di un campo ψ dal qual ricavar l grandzz ch srvono a carattrizzar il pnnllo. Nll prossim pagin arrivrmo a scrivr un quazion dll ond classica ch dscrivrà la propagazion dlla matria, di cui abbiamo visto alcuni smpi di fnomnologia nl capitolo prcdnt, tramit l prturbazioni dl campo appna considrato, dal qual, pr smpio, ricavrmo l variazioni di dnsità di massa ch dscrivono la distribuzion spazial dl pnnllo, istant pr istant. Nl farlo ci farmo guidar da ciò ch già sappiamo dl campo lttromagntico, vista la grand analogia di comportamnto tra pnnlli matriali pnnlli lttromagntici pr quanto riguarda i fnomni prima dscritti. L quazion di Klin-Gordon com quazion di campo classico Una gnral prturbazion lttromagntica (pr smplicità trascuriamo tutt l qustioni rlativ alla polarizzazion è dscritta dal quadripotnzial A ch soddisfa l quazion dll ond i : A ( x, t (4.6 Abbiamo qui posto, pr smplicità c adottato la convnzion, tipica in rlatività, nlla qual la componnt A φ rapprsnta il potnzial scalar mntr l componnti A, A, A, rapprsntano il potnzial vttor. Ciascuna componnt dl quadrivttor si può rapprsntar com intgral di Fourir, facndon uno sviluppo in ond pian: A ( x, a ( a ( *( i( x t i( x t [ a ( a ( ] d / π (4.7 (dov la condizion sugli a scaturisc dalla richista ch il quadripotnzial sia una funzion ral. Ossrviamo ch l intgrando dlla (4.7 è costituito da ond pian complss, dov a è l ampizza dll onda progrssiva, a - di qulla rgrssiva avnti lunghzza d onda priodo rispttivamnt dati da:

4 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. π π λ ; T. (4.8 Prtanto la (4.7 rapprsnta un pacchtto di ond lttromagntich sviluppato in ond pian. Dall sprssion dl quadripotnzial si può ricavar facilmnt l sprssion dl campo lttromagntico; infatti valgono l bn not rlazioni: A E ϕ ; B A (4. t Ovviamnt prché la (4.7 rapprsnti davvro una gnral prturbazion lttromagntica, ssa dv soddisfar l quazion (4.6 dll ond lttromagntich nl vuoto. E important ossrvar ch la gnrica onda piana, di cui la (4.7 è una sovrapposizion, soddisfa l quazion dll ond lttromagntich (4.6 s solo s val la rlazion: i [ ( x t ν a ( ] ν (4. t Dov abbiamo utilizzato la convnzion di somma sugli indici riptuti, con la mtrica di Minowsy, ovvro: ν ν. (4. Tal sprssion rapprsnta il quadrato dl modulo dl quadrivttor ν, prtanto, è uno scalar. Vista l analogia di comportamnto di pnnlli matriali pnnlli lttromagntici ngli sprimnti di intrfrnza, noi supponiamo ch pr un campo matrial valga uno sviluppo in ond pian analogo allo sviluppo (4.7 (ch val componnt pr componnt. Cominciamo a considrar, nl modo più smplic, com abbiamo dtto nl paragrafo prcdnt, un campo scalar ii ψ; scriviamo, quindi: ψ i t i t ( x, i x o o d c ( c (. (4. ( π / Com si vd la (4. è un sprssion formalmnt idntica alla (4.7 trann ch pr avr raccolto a fattor comun il trmin i.x. Com abbiamo visto la condizion (4., cioè ν, carattrizza l ond lttromagntich; ssa non può, quindi, ssr assunta com valida anch pr l ond matriali dscritt dalla (4.. Pr ottnr la dscrizion di un campo matrial proviamo, allora, a farn la più natural gnralizzazion, supponndo ch risulti: ν ν ν (4. 4

5 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. ssndo una gnrica costant (ricordiamo ch dv ssr uno scalar prché è uno scalar υ υ, in gnral divrsa da zro. Da quanto dtto potrmo, ad smpio, ritnr ch sia collgata al fatto ch il nostro campo è un campo massivo. A causa di qusta costant il campo sprsso nlla (4. non può più soddisfar l quazion dll ond lttromagntich. Essa soddisfa, invc, l quazion sgunt iii : (4.4 t Possiamo vrificarlo subito, s non stiamo tanto a curar gli asptti matmatici. Infatti gli opratori prsnti nlla (4.4 passano dntro l intgral dlla (4. inoltr gli opratori diffrnziali non oprano sui c(; così ch, considrando pr brvità il caso monodimnsional lungo l ass x, si ha: t ( π ( π x / / ψ ( x, d d t x i x iot ioct [ c ( c ( ] i x iot iot ( ( [ c ( c ( ] (4.5 L quazion di Schrödingr com quazion di campo classico L rlazioni di disprsion forniscono il lgam tra ovvro tra frqunza lunghzza d onda dll ond considrat. Pr il campo lttromagntico pr i campi matriali ss si possono ricavar dalla (4.8 dalla (4.. Pr il campo lttromagntico si ha così: pr i campi matriali: (4.6 (4.7 Finora la costant non ha ricvuto un adguata intrprtazion fisica, possiamo cominciar adsso a dirn qualcosa. Ossrviamo innanzitutto ch i divrsi valori di carattrizzano divrsi campi matriali ch, in un crto snso ch sarà più chiaro in sguito, potrà ssr considrata una massa carattristica dl campo ( in fftti val zro pr il campo lttromagntico. Dal punto di vista dimnsional, poi, è l invrso di una lunghzza prciò, pr così dir, ssa fissa anch una lunghzza carattristica pr ciascun campo, lunghzza risptto alla qual ha snso considrar una scala di variabilità di tal campo nllo spazio. Possiamo dir, prciò, in modo natural, ch il campo varia lntamnt s la lunghzza d onda cntral dl pacchtto è molto maggior dll invrso di. In simboli, utilizzando l variabili ch compaiono nlla (4.7 s <<. Quando val tal condizion 5

6 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. diciamo di ssr nl caso, o nll approssimazion, di campi lntamnt variabili. Con tal approssimazion risulta: << (4.8 Sostitundo nlla (4. l sprssion di data dalla (4.8 si ha: ( π / d i t i t i x c ( c ( Trascuriamo a sponnt la costant (la nostra è una sclta di smplicità, infatti si potrbb bnissimo tnr vdr ch, con lacun considrazioni, alla fin di conti divnta ininflunt; abbiamo così: ( π / d i t i t i x c ( c ( (4.9 Com si vd, nlla (4.9 compar un fattor nl trmin in x mntr c è un fattor nl trmin in t. In qusto modo spazio tmpo non risultano più trattati nlla stssa manira qusto è un sintomo dl fatto ch la nostra sprssion non è rlativistica, qusto è dovuto all approssimazion di campi lntamnt variabili fatta sopra. Infatti, in una trasformazion di Lorntz, spazio tmpo vngono mscolati linarmnt tra loro, prciò, quazioni covarianti pr trasformazioni di Lorntz (cioè ch non cambiano asptto quando si passa da un sistma di rifrimnto inrzial ad un altro dvono ncssariamnt avr spazio tmpo trattati alla stssa strgua (stssi sponnti, stsso ordin di drivazion cc.. Da quanto qui ossrvato, discnd ch i campi dscritti dalla (4.9 sono campi ch si muovono a bassa vlocità (infatti siamo nl caso di una approssimazion non rlativistica. D altra part sappiamo di ssr nl caso di campi lntamnt variabili, cioè campi carattrizzati da una lunghzza d onda sufficintmnt grand, prciò a bassa frqunza. Qusto ci sping a collgar fra loro vlocità frqunza ossrvando ch pacchtti a bassa vlocità sono pacchtti a bassa frqunza, quindi, qulli ad alta vlocità saranno ad alta frqunza. Ora, prò, la (4.9 non soddisfa l quazion (4.4. Infatti, com abbiamo già ossrvato, la part spazial dlla (4.9 contin mntr qulla tmporal contin al quadrato. S drivassimo du volt risptto al tmpo du volt risptto allo spazio, com indicato nlla (4.4, ottrrmmo un trmin con un fattor al quadrato un trmin con un fattor alla 6

7 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. quarta. Ciò portrbb, vidntmnt a trmini ch non potrbbro crtamnt annullarsi, com dovrbb invc avvnir s la (4.9 soddisfacss la (4.4. Nl tntativo di trovar una nuova quazion, di cui vogliamo la ch (4.9 sia soluzion, smbra allora ragionvol crcar un quazion ch contnga la drivata prima risptto al tmpo la drivata sconda risptto all componnti spaziali. Purtroppo una tal l quazion non sist, infatti i du addndi (contnnti i c o i c - in cui si può sparar la (4.9 danno contributi di sgno divrso quando vngono drivati una sola volta risptto al tmpo. Siamo così indotti a scrivr du quazioni - ch si diffrnziano una dall altra pr un sgno: un quazion pr la part contnt i c, l altra pr la part contnnt i c -. S scgliamo qulla ch ha pr soluzion il trmin dlla (4.9 contnnt i c troviamo l quazion: i t (4. s invc ci intrssiamo maggiormnt al contributo dl trmin contnnt c - abbiamo. i t (4. E facil ossrvar ch la sclta dl sgno dlla costant prmtt di passar da una dll du quazioni all altra. Possiamo, prtanto, scglir una qualsiasi dll du quazioni com quazion fondamntal, diciamo la (4., prmttndo a di assumr ntrambi i valori (positivo ngativo dlla. Qusta nostra analisi ci sping a considrar pr ogni valor di du campi distinti, carattrizzati dal sgno di positivo o ngativo. Chiamrmo i primi campi di matria i scondi campi di antimatria. Possiamo pnsar alla (4.4 com ad un quazion molto gnral, soddisfatta da tutti i campi, lttromagntici o matriali, ch si propagano libramnt snza intrazion. Tanto pr avr in mnt alcuni ordini di grandzza significativi dlla costant, pr tali campi si ha ch: nl caso dlla luc la luc nl caso di raggi catodici 4x m - nl caso di pnnlli di lio x 5 m -. Ricordiamo ch, pr smplicità, in tutti i conti prcdnti abbiamo posto c. S non avssimo fatto qusta posizion, l quazion di Klin-Gordon sarbb stata scritta com sgu: c (,. ψ x t c t (4. In tal caso l dimnsioni di sarbbro stat qull di un tmpo diviso pr il quadrato di una lunghzza, nl Sistma Intrnazional la sua unità di misura sarbb il s/m. 7

8 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. Siccom noi abbiamo dato a il significato di massa carattristica dl campo, vin spontano chidrsi s è possibil trovar un fattor di convrsion tra qusta unità di misura qulla più usual dl chilogrammo. La risposta a qusta domanda è affrmativa il fattor convrsion è la notissima costant di Planc divisa pr π. Non vogliamo ora affrontar qusto discorso, s non pr l ossrvazion appna fatta, prché ci portrbb davvro troppo lontano dai nostri scopi. Tornando ora all quazion (4., ossrviamo ch, pr com è stata costruita, la sua soluzion gnral è data da: i t i x d c ( / ( π (4. tal funzion, nl passaggio alla Mccanica Quantistica, prndrà il nom di funzion d onda avrà un significato diffrnt da qullo qui sposto. Ossrviamo ancora ch, a diffrnza di quanto succd in lttromagntismo, la soluzion dll quazion di Schrödingr è una funzion complssa ch, quindi, pr ricavar sprssioni fisicamnt significativ dobbiamo ottnr da ssa dll sprssioni rali. Una di ss è ψ(x,. Pr capir il significato di tal sprssion notiamo, dalla (4., ch ψ(x, è l (antitrasformata di Fourir di: i t c ( (4.4 ch, quindi, ricordando ch la trasformata di Fourir consrva la norma iv, possiamo dir ch i t la norma al quadrato di ψ(x, è ugual alla norma al quadrato di c (, cioè: d x ψ i t (4.5 ( x, d c ( d c ( così ch l intgral su tutto lo spazio di ψ(x, non dipnd da t. L quazion (4.5 ci dic ch mntr il modulo quadro di ψ(x, varia nllo spazio nl tmpo, il suo intgral su tutto lo spazio riman costant. Ciò porta ad intrprtar tal modulo quadro com dscrivnt una grandzza ch pur variando localmnt si consrva globalmnt. Ci è quindi natural pnsar ch valga un quazion di continuità, nlla qual il modulo quadrato di ψ(x, rapprsnti una dnsità ρ(x, di qualch grandzza ch varia con continuità pr la qual valga l quazion: ( x, t ψ J ( x, (4.6 dov J è una dnsità di corrnt dlla grandzza di cui ρ(x, ψ(x, è la dnsità. In fftti si trova ch l quazion prcdnt è soddisfatta s dfiniamo 8

9 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. i J ( x, t [ ψ *( x, ψ *( x, ψ ( x, ] (4.7 Ora, ψ(x, è un numro puro, quindi ψ(x, può ssr facilmnt intrprtata com dnsità di massa dl sistma matrial, mntr P(x,J(x, divnta la dnsità di quantità di moto v. A qusto punto è abbastanza facil costruir sprssioni pr altr grandzz fisich significativ; pr smpio la dnsità di nrgia lgata alla convzion dl continuo matrial è data da vi : J ( x, w( x, (4.8 Riassumiamo il significato di quanto è stato qui fatto ossrvando ch il punto di partnza dll usuali prsntazioni dlla toria quantistica di campi è postular un campo classico ch obbdisc all quazioni dl moto ricavat da una dnsità lagrangiana opportunamnt sclta. Nl caso dll lttromagntismo il significato di tal campo è vidnt: sso è il bn noto campo quadrivttorial dl potnzial lttromagntico classico, qullo dlla toria di Maxwll. Nl caso di campi matriali, invc, al campo di cui si parla non vin, in gnral, attribuito alcun significato fisico, sso è uno strumnto tcnico ch acquista significato quando vin promosso ad oprator, scglindo un spazio di Hilbrt imponndo prcis rgol di commutazion, in modo da ottnr la toria quantistica di campi. Abbiamo qui mostrato com attribuir, in analogia a quanto accad in lttromagntismo, un significato fisico anch a tal campo matrial a ricavar pr sso un quazion dl moto ch non sia in alcun modo lgata ad asptti quantistici o particllari. 9

10 Marco Gilibrti, Elmnti pr una didattica dlla Fisica Quantistica, CUSL, Milano (7. Not Capitolo 4 i Cfr di R. Fynman La Fisica di Fynman Zanichlli capp. 8. L quazion ( è un caso particolar dll quazion dll ond, ch rgola il comportamnto, di una gnrica prturbazion ondulatoria ch si propaghi in un mzzo linar, ch, indicando con ϕ la gnrica grandzza vibrant si scriv: v ϕ( x, t La v ch compar rapprsnta la vlocità dlla prturbazion (pr smpio la vlocità dl suono s l quazion è rlativa all ond sonor o la vlocità di propagazion dl calor cc., cc.. ii Con tal smplificazion non siamo in grado di trattar gli stati di polarizzazion, pr smpio qulli dl campo lttronico; la cosa, comunqu si potrà far succssivamnt poco sforzo. iii Essa è l quazion di Klin-Gordon pr un campo classico. iv Snza alcuna attnzion matmatica ricordiamo ch si dic trasformata di Fourir di f(x la funzion: F( ix dx f ( x π. Si può dimostrar ch: f ( x ix d F( π Indicando con <f g> il prodotto scalar fra f g si ha, con ovvia simbologia ch <f g> <F G>, qusto significa ch la trasformata di Fourir è isomtrica, prciò consrva la norma. v Ossrviamo ch, pr com è dfinita, anch j(x, è una funzion ral. vi Qusta sprssion così intuitiva val, prò, soltanto in assnza di intrazion tra il campo matrial un campo di forz strno (com in qusto caso.