3. Il coefficiente di riflessione all interfaccia dipende dalle impedenze caratteristiche dei due mezzi

Transcript

1 SRCIIO In figura è mosraa un onda piana (omogenea) che ide orogonalmene su un inerfaccia piana posa in Deerminare il massimo e il minimo del modulo del campo elerico nel puno P al variare di x[ 3]. z 0. PROCDIMNTO. Definire le variabili simboliche e x, z, come variabili reali, uilizzando al ermine della definizione la parola real per indicare che possono assumere solo valori reali s. syms a b c real syms x z lambda real k = *pi/lambda; Non è necessario andare a definire le variabili per indicare la frequenza f, ϵr e x, poiché si sa andando a uilizzare un meodo di risoluzione simbolico che permee di scrivere direamene le espressioni.. Definire le impedenze caraerisiche dei mezzi 0 0 r 0 0 x x z = 0*pi/; z = 0*pi/x; % 0*pi = 377 ohm 3. Il coefficiene di riflessione all inerfaccia dipende dalle impedenze caraerisiche dei due mezzi G = (z-z)/(z+z); 0 0 x 0 0 x x x Definire ale grandezza e uilizzare la funzione prey(gamma) per visualizzare l espressione. In seguio riassegnare alla variabile il valore resiuio dalla funzione facor() con un isruzione del ipo Gamma = facor(gamma) che ne semplifica la forma. Riuilizzare prey(gamma) per verificare il risulao. G = facor(g); prey(g) %per oere la formula simbolica anziché un veore di re elemeni, si %moliplicano ra di loro i 3 elemeni di G: G=G()*G()*G(3); 4. Definire il campo nel mezzo, dao dalla somma di un onda idene e una riflessa. Il campo riflesso può essere calcolao da quello idene dalla relazione r. () z e e valida per z 0 jkz jkz r

2 dove k = *exp(-j*k*z) + G**exp(j*k*z); 5. Ci ineressa il campo nel puno P, ovvero in z 3 precedenemene definio, uilizzando la funzione subs() z = subs(, z, -lambda/3); ( 3) e e, per cui sosiuire queso valore di j j 3 3 z nel campo 6. Nel deerminare i valori massimi e minimi del campo è spesso conveniene lavorare con il modulo quadro del campo sesso. Definire il modulo quadro nella nuova variabile square come prodoo del campo per il suo complesso coniugao ( es. *conj() ). Visualizzarlo con prey(square). Uilizzare l isruzione square = simplify(square) e visualizzare il risulao con prey(square). % Lavoriamo col modulo quadro square = z*conj(z); prey(square); % Svolgiamo i prodoi square = simplify(square); prey(square); 7. La funzione diff(expr) calcola la derivaa dell espressione simbolica expr che gli viene passaa come argomeno. Calcolare la derivaa del modulo quadro del campo e passarla alla funzione solve() per deerminare i valori di x per cui si annulla. % Troviamo evenuali massimi e minimi annullando la derivaa derivaa = diff(square); soluzioni = solve( derivaa ). Tale valore cade fuori dall inervallo x [ 3] indicao dal eso. Queso significa che nell inervallo indicao (esremi esclusi) il modulo quadro del campo non 8. Il valore resiuio dalla funzione solve() è 3 ha puni di massimo o minimo (ne flessi). Tali valori vanno dunque cercai sugli esremi dell inervallo, ovvero per x. Deerminare il massimo e il minimo del modulo del campo (e non del modulo quadro!) nel puno P. x e 3 % solve() rova un'unica soluzione ma è fuori dal range di ineresse % (il eso chiede valori nel'inervallo [ 3]). Il massimo e il minimo % vanno quindi cercai sugli esremi dell'inervallo (quindi per x = e % per x = 3) = double(abs(subs(z, [ x], [00 ]))); = double(abs(subs(z, [ x], [00 3]))); if ( > ) disp(['valore massimo del campo (per x = ): ' numsr( ) ' V/m' ]) disp(['valore minimo del campo (per x = 3): ' numsr( ) ' V/m' ]) else disp(['valore massimo del campo (per x = 3): ' numsr( ) ' V/m' ]) disp(['valore minimo del campo (per x = ): ' numsr( ) ' V/m' ]) end

3 Si oiene il seguene risulao finale: Valore massimo del campo (per x = 3):.3553 V/m Valore minimo del campo (per x = ): V/m SRCIIO La figura mosra un onda piana (omogenea) che ide orogonalmene ad un inerfaccia piana posa in disanza D dal puno P in cui è minimo. z 0. Deerminare la minima PROCDIMNTO. Definire le variabili simboliche D, ed, ue reali z, k z = 0*pi; z = 0*pi/sqr(.6); D = sym('d', 'real'); z = sym('z', 'real'); lambda = sym('lambda', 'real'); % lunghezza d'onda nel mezzo = sym('', 'real'); k = sym('k', 'real'); G = (z-z)/(z+z); syms G real. Definire il campo nel mezzo, somma di due onde, l idene e la riflessa () z e e jkz jkz per z 0 = *exp(-j*k*z) + G**exp(j*k*z); 3. Anche savola lavoriamo col modulo quadro di z () * ( z) ( z) ( z) square = *conj(); Uilizzare simplify() per sviluppare il prodoo e semplificare l espressione. % Svolgiamo i prodoi e valuiamo il campo in -D square = simplify(square); 4. Ci ineressa valuare il campo ad una disanza D dall inerfaccia (nel mezzo ). Sosiuire a z il valore D nell espressione del campo. square = subs(square, z, -D);

4 5. Derivare l espressione oenua rispeo alla variabile D, uilizzando diff() nella seguene forma: diff(expr, var) dove expr è l espressione da derivare e var è la variabile rispeo al quale fare la derivaa. Visualizzare la derivaa cosi calcolaa usando prey(derivaa). Si dovrebbe oenere l espressione. 4 ksin ( Dk) % Troviamo evenuali massimi e minimi annullando la derivaa % La variabile n verrà uilizzaa per enere cono della periodicià della % funzione seno n = sym('n', 'real'); derivaa = diff(square, D); derivaa=simplify(derivaa); prey(derivaa); 6. Deerminare i valori di D che annullano la derivaa, uilizzando solve() nella forma solve(expr, var) che resiuisce le soluzioni dell equazione expr=0 risola rispeo alla variabile var. In queso esercizio la funzione solve resiuisce 0 come unico valore. Va noao però (dal puno precedene) che D compare nell argomeno di una funzione seno e la soluzione resiuia da solve si riferisce proprio all argomeno (e non direamene a D ). Possiamo quindi uilizzare la periodicià del seno per deerminare alre soluzioni non nulle n Dk 0 n k k n k n D D n k In MATLAB, definire una variabile simbolica n. Alla soluzione resiuia da solve(derivaa, D) aggiungere. Dividere uo per. Sosiuire a la sua espressione in funzione di. soluzioni = solve( derivaa ) + *n*pi; k = *pi/lambda; D = soluzioni/(*k) SRCIIO 3 In figura il campo idene è composo dalle due componeni (orogonali ra loro), rasverso magneico () e rasverso elerico (). i i Deerminare il rapporo i S P rasmesso in polarizzazione circolare. S P per avere il campo Il campo rasmesso ha la sessa forma del campo idene, ovvero i i. La ' ' condizione di polarizzazione circolare richiede che il campo sia composo da due componeni orogonali ra loro che abbiano modulo uguale e siano sfasai di 90. ssendo le componeni e orogonali ra loro, possiamo imporre le due condizioni direamene su ed

5 Assumendo (quindi condizione sui moduli 90 condizione sulle fasi a fase nulla (quindi reale), la condizione di sfasameno di 90 equivale a moliplicare per ). j ssendo la polarizzazione indipendene dalla componene, possiamo calcolare i campi rasmessi separaamene. Per il caso (il cui campo è angene all inerfaccia), imponendo la coninuià del campo nel mezzo all inerfaccia, quindi per z 0 ( S S ) e nel mezzo ( S S ) si ha () Nel caso il campo ha una componene angene e una normale all inerfaccia. La coninuià dei campi va cos imposa sulla sola componene angene. Per cui Meendo in evidenza S nella () ed P cos cos cos cos P P j, che sosiuendo i valori divena cos cos j cos () da cui P P nella () e facendo il rapporo si oiene S P cos S P j j cos cos j cos PROCDIMNTO. In MATLAB, dalla legge di Snell sin sin r r arcoseno, asin(x) che è l inverso della funzione seno)., ricavare l angolo (3) (4). (Uilizzare la funzione syms e0 er = ; er = ; hea_ = 30 * pi/80; % Dalla legge si Snell sqr(er)*sin(hea_) = sqr(er)*sin(hea_) % ricavo l'angolo di rasmissione hea_ = asin( sqr(er)*sin(hea_)/sqr(er) );. Calcolare i coefficieni di riflessione nel caso e, ricordando che sono cos 0 r e cos 0 cos cos r, dove le impedenze = 0*pi/cos(hea_); = 0*pi/( sqr(er)*cos(hea_) ); G = (-)/(+); = 0*pi*cos(hea_); = 0*pi*cos(hea_)/sqr(er); G = (-)/(+); au = +G; au = +G; 3. Calcolare infine il rapporo S P raio = j * au*cos(hea_)/( au*cos(hea_) )

6 sercizio 4 Si consideri l idenza di un onda piana ad un inerfaccia, come mosrao in figura. I campi nel mezzo e nel mezzo sono facilmene calcolabili una vola noi i coefficieni di Fresnel e l onda idene sull inerfaccia. Ricordando che il coefficiene di riflessione Γ, nel caso in cui μ = μ, per il caso e è definio dalle relazioni ζ = n μ ε ε μ ε = ε μ ε per μ= μ - - Γ = Γ = + + ζ = = ζ cosθ cosθ ζ = = ζ n sin θ n n sin θ fare il grafico di Γ e di conseguenza Γ (sovrapposi) nel caso in cui il mezzo sia aria (ovvero ε r = e quindiε = εrε0 = ε0e ζ = ζ ε = ζ = π ) r. ε = 4ε e in un alro grafico il caso in cui. ε ε 4 (confronare i grafici oenui con quelli delle figure 4 e 5 a pagina delle dispense BioMC7_8_9.pdf ).

7 ε = ε 3. ε = 8ε 4. ε = ε ε = ε Deerminare l angolo di Brewser nei vari casi.

8 PROCDIMNTO Risoluzione in maniera simbolica: syms hea epsilon_r epsilon_r Definizione delle relazioni: zea = 0*pi/sqr(epsilon_r); zea = 0*pi/sqr(epsilon_r); = zea/cos(hea); = zea*cos(hea); n = epsilon_r/epsilon_r; = zea/sqr( n-sin(hea)^ ); = zea * sqr( n-sin(hea)^ )/n; Gamma = (-)/(+); Gamma = (-)/(+); h = [0:0.0:pi/]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CASO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% eps_r_ = ; eps_r_ = 4; Gamma_ = subs(gamma, [epsilon_r epsilon_r hea],... {eps_r_ eps_r_ h}); Gamma_ = subs(gamma, [epsilon_r epsilon_r hea],... {eps_r_ eps_r_ h}); f = figure(); cla; % plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'LineWidh', 3); % plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'r', 'LineWidh', 3); plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'LineWidh', 3); se(f, 'WindowSyle', 'docked') se(gca, 'FonWeigh', 'bold', 'FonSize', 3) hold on grid(gca, 'on') ile('andameno di \Gamma per \epsilon_{r} = 4*\epsilon_{r}') L = legend('\gamma_{}', '\Gamma_{}'); se(l, 'Locaion', 'NorhWes') Brewser = aan(sqr(eps_r_/eps_r_))*80/pi; display([ 'Angolo di Brewser nel caso : ' numsr( Brewser ) ' [gradi]']) Si oengono i segueni risulai per il caso :

9 Andameno di per r = 4* r Angolo di Brewser = [gradi] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CASO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% eps_r_ = 4; eps_r_ = ; Gamma_ = subs(gamma, [epsilon_r epsilon_r hea],... {eps_r_ eps_r_ h}); Gamma_ = subs(gamma, [epsilon_r epsilon_r hea],... {eps_r_ eps_r_ h}); Gamma = subs(gamma, [epsilon_r epsilon_r ], {eps_r_ eps_r_ }); f = figure(); cla; % plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'LineWidh', 3); % plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'r', 'LineWidh', 3); plo(h*80/pi, abs( Gamma_ ), h*80/pi, abs( Gamma_ ), 'LineWidh', 3); se(f, 'WindowSyle', 'docked') se(gca, 'FonWeigh', 'bold', 'FonSize', 3) ile('andameno di \Gamma per \epsilon_{r} = \epsilon_{r}/4') hold on grid(gca, 'on') legend('\gamma_{}', '\Gamma_{}'); Brewser = aan(sqr(eps_r_/eps_r_))*80/pi; display([ 'Angolo di Brewser nel caso : ' numsr( Brewser ) ' [gradi]']) Si oengono i segueni risulai per il caso :

10 Andameno di per r = r / Angolo di Brewser = 6.56 [gradi]