Sistema di comunicazione

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1 Sisma di comunicazion Sgnal rasduor rasmior rasmior rasduor Sgnal Sgnal lrico Sgnal lrico adaao al canal Canal di comunicazion rumor Sgnal lrico Sgnal lrico adaao al canal rumor

2 Cosa dov sudiar Inroduzion allo sudio di sgnali Sgnali priodici a mpo coninuo 3 Sgnali apriodici a mpo coninuo Appndic: Cnni alla oria dll disribuzioni 4 Sismi monodimnsionali a mpo coninuo 5 Sgnali a mpo discro 6 Sismi monodimnsionali a mpo discro 7 Richiami di oria dlla probabilià 8 Sgnali alaori

3 Cosa dov sudiar Inroduzion allo sudio di sgnali. Ch cos è un sgnal?. ipi di sgnali 3.3 Proprià lmnari di sgnali drminai 9 3

4 Inroduzion allo sudio di sgnali Un sgnal è una qualunqu grandzza isica variabil cui è associaa una inormazion Un sgnal lrico è una qualunqu grandzza lrica variabil cui è associaa una inormazion 4

5 Classiicazion di sgnali Sgnali Drminai l andamno dl sgnal nl mpo pramn noo Sgnali Alaori L andamno dl sgnal noo solo nll su cararisich saisich principali schmaizzao com una unzion mamaica di una o più variabili ( : R R rapprsnao com un procsso casual o socasico P un sgnal è alaorio solo inché non lo si è complamn ossrvao, dopo di ch rinra anch sso nlla cagoria di sgnali drminai. 5

6 Classiicazion di sgnali: dominio coninuo o discro sgnali a mpo coninuo Dominio coninuo ( sgnali a mpo discro n Dominio discro n 6

7 Classiicazion di sgnali codominio coninuo o discro sgnali ad ampizza coninua: possono assumr con coninuià ui i valori rali di un inrvallo (vnualmn illimiao, sgnali ad ampizza discra: hanno com codominio un insim numrabil, vnualmn illimiao 7

8 Classiicazion di sgnali ( [n] n Sgnal analogico: mpo(dominio ampizza (codominio coninua Sgnal a mpo discro: mpo discro ampizza coninua ( [n] - n Sgnal quanizzao: mpo coninuo ampizza discra Sgnal numrico: mpo ampizza discra 8

9 Classiicazion di sgnali Sgnal priodico: si rip ugual a s ssso dopo un priodo di mpo Sgnal mpo coninuo Sgnal mpo discro ( ( [n] [n N ] n 9

10 p( [n] n v( ( n [n] Codiicaor Binario y[n] Masrizzaor ( y[n] Rapprsnaz. Rapprsnaz. binaria di [] binaria di []... n

11 Enrgia di sgnali drminai Enrgia di un sgnal isico: E Δ ( d E [ n] < n Δ Pr ui i sgnali isici (cioè ivamn ossrvai l ingral (o la sommaoria ch dinisc l nrgia risula convrgn

12 Ponza mdia di sgnali drminai Enrgia di un modllo idal di sgnal isico: v( v E v( d v( - Baria idal Diniamo sgnal roncao: v( v ( ( alrov / Ponza mdia dl sgnal (: P Δ lim P lim E lim ( d Ponza mdia dl sgnal (n: P Δ lim N N N nn [n]

13 Esmpio v ( v v( v( v - P v lim v ( d lim v d v lim d v 3

14 { A, alrov } ( > Esmpio E, P lima a / a A d A jw ( cos w jsnw, E P lim lim / ( cos w sn w d / / cos w / jsnw d 4

15 5 ( ω γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ > jw jw jw jw w j w j d d d w d w d w E w w j w j w j w j cos cos cos, cos ( Cisoid

16 6 Ponza di sgnali priodici ( ( Sia: alrov / ( ( ( ( E E n n d n n d n E P P n n n n n lim lim lim lim lim Δ E P jw d d d w d w E w jw jw w j w j / / / / / / / / / / cos cos ; cos ( Esmpio:

17 Valor icac (RMS valor mdio Roo Man Squar di un sgnal a ponza inia: Qul valor ch dovrbb assumr un sgnal cosan pr avr lo ssso connuo in ponza dl sgnal dao. Δ P valor mdio mporal di un sgnal: m Δ lim (d m Δ N lim [n] N N n N Rapprsna la componn coninua (cioè cosan aorno alla qual si svolg l voluzion mporal dl sgnal 7

18 Cosa dov sudiar Sgnali priodici a mpo coninuo. Dall analisi asorial all analisi di Fourir 5. Analisi armonica di sgnali priodici 8.. Sviluppo in sri di Fourir in orma ral polar 8.. Sviluppo in sri di Fourir in orma complssa..3 Sviluppo in sri di Fourir in orma ral rangolar.3 Il cririo di Dirichl.4 Spri di ampizza di as 4.5 Proprià dllo spro di un sgnal ral priodico 8.6 Sgnali pari, dispari alrnaivi 3.7 Sinsi dl sgnal con un numro limiao di armonich 38

19 Sgnali priodici ( Sgnal Dn di Sga idal A ( π Sgnal Dn di Sga ral A τ

20 Richiami sulla Sri di Fourir cririo di Dirichl Condizioni suicini ch garaniscono la possibilià di sviluppar un sgnal ( in sri di Fourir : s ( è assoluamn ingrabil sul priodo (cioè s vriica la condizion ; ( d < s ( è coninua o prsna in un priodo un numro inio di disconinuià di prima spci; s ( prsna un numro inio di massimi minimi nl priodo ( puo ssr sviluppao in Sri du Fourir Ovvro puo ssr dcomposo nlla somma di un rmin cosan (sgnal coninuo di una sri di oscillazioni armonich. ( A A cos(π ϑ A cos(π ϑ K 3

21 ( A A cos π ϑ Sri di Fourir pr sgnali priodici Forma complssa ( sviluppo in sri di Fourir in orma polar Richiamando l ormul di Eulro dll unzioni rigono-mrich cos( j j sin( j j j ( A A j π ϑ ( j ( π ϑ A A jϑ j π A A jϑ j π A jϑ jπ A jϑ j π ( j π j π poso Δ A Δ A jϑ Δ A jϑ,,k K,, jπ sviluppo in sri di Fourir in Forma complssa 4

22 5 Sri di Fourir pr sgnali priodici Calcolo dl coicin n ( j π ( d d n j j n j π π π n j π Moliplicando pr d ingrando ( ( d d n j n j π π ( [ ] n j n j n j d π π π p Calcoliamo: ( [ ] ( [ ] ( ( [ ] ( n n n j n j n j π π π π π sin p p ( ] sin[ ' n poich π ( n s d n j π ( n s d n j π ( d n n j π ( d j π (d 5

23 6 ( (( d jsn d j π π π cos (( ( j d d jsn π π π cos * * Noa:

24 Sri di Fourir pr sgnali priodici Forma rangolar ( A A cos π ϑ ( [ ] A A cos( π cosϑ sin( π sinϑ n ( a a cos π [ ( b sin( π ] Sviluppo in sri di Fourir in orma ral rangolar dov a a A A cosϑ ; b A snϑ 7

25 ( Inolr: * ( cosπ jsnπ ( cosπ jsnπ * * ( cosπ j( j π jπ j π ( a a cos π j π j π j π snπ [ ( b sin( π ] * j π a R [ ] (cos( π d [ ] b I [ ] (sin( π d [ ] 8

26 Sri di Fourir pr sgnali priodici Riassumndo ( jπ dov ( ( j π d d ( A A cos dov Δ A Δ A jϑ Δ A jϑ ( π ϑ,,k K,, ( a a cos π a R [ ] (cos( π d [ ] [ ( b sin( π ] b I [ ] (sin( π d [ ] 9

27 Spro di ampizza as ( jπ ( j π d 3 3 Frqunza Spro di ampizza: in unzion di Lo spro di un sgnal priodico è uno spro a righ 3 3 Frqunza Spro di as: in unzion di

28 Esmpio ( a cos( π Conronando con: a jπ j π (, ( jπ a, a ; ± ϑ a/

29 Esmpio ( a sin ( π a cos π π Conronando con: ( jπ π π a j a j, ; ± a/ π/ π/

30 rno di impulsi rangolari / duy-acor (o duy-cycl δ ( a a rc rc(α -/ Δ Considriamo il sgnal: / a a / ( α rc α < α < ( Δ / α / / alrov alrov n a rc n - -/ / o o n j a π rc n a jπ d a a jπ jπ ( jπ a a rc jπ d j π ( jπ a sin( π a π sinc aδ sinc δ ( d sin π π 3

31 4 rno di impulsi rangolari / α sinc α ( Δ sin πα ( πα π - π nl caso a δ.5 ( ( a a 5 5. sinc. sinc sinc δ δ sn 5 π π.

32 ( è pari s ( ( Sgnali pari / ( j π d α In quso caso: ( α j π α dα ( α j π α dα Noa: in gnral ( * ( * è ral ( j π j π ( j π j π - ( ( j π jπ n ( ( cos π 5

33 Sgnali pari / ( ( cos π j ( cos( π d ( sin( π d Inolr: Poich ( cos( π ( sin( π pari ( cos( π d ( cos( π d dispari ( sin( π d ( cos( π d R 6

34 Sgnali dispari (/ ( ( è dispari s ( In quso caso ( j π d α j πα jπα ( α dα ( α dα Noa: ( * ( j π ( * j π ( j π j π - è immaginario j π j π ( ( ( j n sn ( π 7

35 Sgnali dispari / Inolr: ( j cos ( π j ( cos( π d ( sin( π d Poich ( cos( π dispari ( sin( π pari ( cos( π d ( sin( π d ( sin( π d j ( sin( π d 8

36 In gnral, quindi, un sgnal ral ( p ( d ( dov p ( ( Δ ( d ( ( ( Δ p d ral immaginario 9

37 Sgnali alrnaivi: ( ( ( - / - / ( ( ( d d d j j j π π π ( ( d j π ( dispari pari d j π ( ( ( ( α α α π π π d d d j j j dov ( α α α α α π α π π d d j j j ( ( raslando : ( j π dispari p j π p ( p quindi:

38 y( onda quadra pari: δ - / A / -A ( Diniamo y( in unzion dl un sgnal ( a rc A y ( ( A - / / Pr la linarià dlla sri di Fourir si ha: Y A dov Aδ sinc ( δ A sinc Y A sinc ( alrimni

39 onda quadra dispari alrnaiva : ( A / -A j A ( sin( π d j sin( π d j A cos( π π A j π [ cos ( π ] j A π [( ] pari A dispari jπ immaginaria pura dispari

40 3 ( ( dispari A 4 sin π π onda quadra dispari alrnaiva : ( j sin π ( [ ] I S com / ipico di sgnali con brusch variazioni mporali dl valor dl sgnal (disconinuia, Esmpio: l onda quadra [ ] I A [ ] dispari π A I

41 ( Sgnal onda riangolar ( pari alrnaivo ( A 4 π ( cos( d - - / -A A / 4 A ( d π cos A cos( π d cos π 8A ( d poich cos( π d cos( π d π [ ] ( ( A π pari [ ] 4A π ( ( ( dispari 4

42 Sgnal onda riangolar ( pari alrnaivo A π ( ( [ ] pari 4A π ( dispari S com ral 3 5

43 sgnal cosinusoidal raddrizzao a doppia smionda ( A cos π sgnal pari, priodo ' / ( A > ' Frq. Fondamnal. m 4 ' π ( cos( d A 4 cos ( π cos( 4π d ' A A ' 4 { cos[ π ( ] cos[ π ( ] } d mpo normalizzao / A π π sin π ( sin ( 6

44 sgnal cosinusoidal raddrizzao a doppia smionda Ricorda: sin π ( sin π ( ( π sn π cos A( π ( A π 4 S com ipico di sgnali con drivaa prima disconinua, Esmpio: l onda riangolar sgnal cosinusoidal raddrizzao a doppia smionda 7

45 Ricosruzion approssimaa dl sgnal L quazion di sinsi ( jπ richid un numro illimiao di armonich Ricosrundo il sgnal con un numro inio di armonich si oin il sgnal approssimao K jπ K ( K 8

46 K3 (, K ( K5 K / / / /.4 Fnomno di Gibbs (rippl...8 K5 K K (. 9 ( ma ma / / 9

47 / K / K7 / / K3 K / K5 / K7 Noa la miglior approssimazion dl sgnal onda riangolar Rispo al sgnal onda quadra a paria di K

48 Cosa dov sudiar 3 Sgnali apriodici a mpo coninuo 3. Dalla sri all ingral di Fourir 5 3. Proprià dlla rasormaa di Fourir Criri di sisnza Simmri dgli spri Sgnali pari dispari ormi sulla rasormaa di Fourir orma di linarià orma di dualià orma dl riardo orma dl cambiamno di scala orma dlla modulazion orma di drivazion ingrazion orma dl prodoo orma dlla convoluzion rasorma di Fourir gnralizza La unzion gnralizzaa impulsiva o di Dirac Proprià dlla unzion gnralizzaa rasormaa di Fourir dlla unzion Una rasormaa novol: la unzion / rasormaa dlla unzion gradino; orma d ingrazion complo rasormaa dll unzioni sno, cosno di sgnali priodici Priodicizzazion ormul di somma di Poisson Rlazion ra l rasorma di Laplac di Fourir 7 Sommario Esrcizi proposi 3 Appndic: Cnni alla oria dll disribuzioni A. Dinizion di disribuzion unzion gnralizzaa 7 A. La unzion gnralizzaa di Dirac 9 A.3 Drivaa di una disribuzion di una unzion gnralizzaa 3 A.4 Limi di una disribuzion di una unzion gnralizzaa 3

49 Richiami sulla rasormaa di Fourir Condizioni suicini condizioni suicini pr la rapprsnazion dl sgnal aravrso la propria rasormaa di Fourir : E ( ( ( lim d < Oppur (cririo di Dirichl s ( è assoluamn ingrabil sul priodo (cioè s vriica la condizion ( d <; j ( π d p ( jπ d s ( è coninua o prsna in un priodo un numro inio di disconinuià di prima spci; s ( prsna un numro inio di massimi minimi nl priodo ni puni di disconinuià l'ingral di Fourir convrg alla smisomma di limii dsro sinisro dl sgnal ( j π d

50 Inrprazion dllarasormaa di Fourir Considriamo il sgnal apriodico mpo coninuo (impulso bas ( α < rc( α Δ / α / alrov α rc(α puo ssr viso com il caso limi di ( -/ ( p / ( (- ( n n rc Quando il priodo / / ( lim P ( 3

51 Quindi: p π ( lim p lim p ( ( jπ j d s Δ do Δ d è ( coninua p jπ j π j π j π ( d ( d d 4

52 Quindi: ( j ( π d j π d ( ( ( F - [ ( ] Spro di ampizza ( F[ ( ] A ( jϑ( Spro di as 5

53 6 ( < alrov / / rc α α α Δ ( ( ( j d d j j j π π π π π π sin ( sinc Frqunza Normalizzaa, -π π rc( / sinc( ( (d ( d d / rc ( / -/ α

54 sponnzial unilaro.5. ( u(.75.5 dov u( > / < mpo Normalizzao, / jπ / jπ ( jπ ( ( d u( d ( jπ jπ jπ / A( ( d ( π ( arcg ( π θ 7

55 8 j π ( ( ( A π ( ( π θ arcg Frqunza Normalizzaa, π Frqunza Normalizzaa, π

56 Propria dlla rasormaa (sri di Fourir ( R ( ji( s ( R una unzion ral ( R( A ( A( R I ( ( cos( πd ( ( sin( πd I ( I( ( ( simmria Hrmiiana (o coniugaa ϑ ϑ s ( una unzion ral pari R ( ( cos( πd I( s ( una unzion ral dispari R I ( ( ( sin( πd 9

57 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir ( a ( b ( linaria Sia ( a ( b ( Inai jπ ( ( d [ a ( b ( ] jπ d jπ j π ( a ( d b ( d a ( b (

58 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir Inai Dualia Sia ( ( ( ( ( ( j π d j π Scambiando ormalmn l variabili d ( ( d sosiundo la variabil con -, j π ( ( d spro Esmpio: rc sinc( sinc( rc rc Poso B dividndo pr B rc B B ( B sinc sinc rc B B ( B rc( B

59 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir raslazion nl mpo ( Y ( ( Inai: poso jπ ( α jπ ( ( α dα ( α j π ( jπ d ovvro jπ ( ( α j πα dα Y ( ( Y ( ( π un riardo mporal modiica lo spro di as dlla rasormaa dl sgnal ma non cambia il suo spro di ampizza lo sasamno inrodoo dal riardo varia linarmn con la rqunza.

60 3 ( rc ( ( j π sinc ( j π sinc Frqunza Normalizzaa, Esmpio A ( / Frqunza Normalizzaa, Frqunza Normalizzaa, -π π ( sin c c π ( sin

61 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir cambiamno dlla scala mporal y ( ( α considrianoα > jπ ( α ( α d α > α < α< poso z α comprssion dlla scala di mpi dilaazion dlla scala di mpi invrsion dlla scala di mpi j α π z α ( α ( z dz α α α < j α π z α ( α ( z dz α Quindi in gnral α α α ( α una dilaazion dll'ass di mpi compora una comprssion dll'ass dll rqunz vicvrsa 4

62 mpo Normalizzao, / ( y((a a/ Frqunza Normalizzaa, ( Y((/a/ a a/ ( sinc ( y sinc ( ( a y con a/ ( ( rc( Y

63 6 ( y mpo Normalizzao, / Sgnal sponnzial bilaro ( ( ( y ( ( u dov Uilizzando il orma dl cambiamno di scala con α ( ( ( Y Frqunza Normalizzaa, ( j j Y π π ( π

64 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir orma dlla modulazion inai F[ ( cos( π ( ( jπ jπ jπ jπ ( cos( π ] ( d ( d Noa ch: j π ( j ( ( d ( π d j ( ( π ( d s un sgnal vin moliplicao pr un aor sponnzial complsso, la sua rasormaa di Fourir vin raslaa aorno alla rqunza.. : j ( π ( F[ ( cos( π ] ( ( 7

65 mpo Normalizzao, / / Frqunza Normalizzaa, / ( ( π rc cos ( rc Frqunza Normalizzaa, Esmpio: ( / -/ / /

66 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir Sia orma di drivazion j π ( ( d d d ( jπ ( d d ( d ( j π d d j ( d d d π jπ [ ] ( d d d jπ ( ( jπ d d d ( jπ ( l'oprazion di drivaa compora una salazion dll componni all al rqunz 9

67 ( y / p ( mpo Normalizzao, / Frqunza Normalizzaa, ( Y ( π mpo Normalizzao, / ( ( / p( sgn( ( d dy w Frqunza Normalizzaa, dov ( ( / p ( u

68 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir orma di ingrazion ( α dα ( jπ Sia y ( ( α dα ovvro ( dy( / d ( jπ Y ( Val s quando o, ( ( d Y ( pr. ( jπ vngono sala l componni a bassa rqunza anua qull all al rqunz ( α dα ( jπ

69 mpo Normalizzao, / Frqunza Normalizzaa, /π mpo Normalizzao, / Frqunza Normalizzaa, ( ( ( ( d y α α Y (

70 squadra C-R. C - Sia noa ( v ( i i( R v ( u calcolar v i ( v u - - v c ( i( α dα i C ( v (R u v u ( v ( v ( v ( i c i C vu R ( α dα Dall Elrocnica: s v i ( a cos( π θ o Ric.: il asor ap( jθ V i al ch o V u R R z C o ( jπ vi ( R V ip z C /( jπ C o V i o o R jπ RC V V R /( jπ π RC i C j i v u ( o Vu cos( π 3 o V u

71 C - v ( i i( R v ( u sia v i ( a cos( π θ a cos( π θ - - Grazi a: la linarià dl circuio, ch ha consnio l applicazion dl principio di sovrapposizion dgli i, la possibilià di rapprsnar il sgnal com somma di un cro numro di componni sinusoidali lmnari Pr. : o ( j V i a p θ V o jπ RC u V i jπ RC o Pr. : o ( j V i a p θ V o jπ RC u V i jπ RC o o v u ( v u (v u ( V cos( π V V cos( π V u u o o u u o 4

72 C - v ( i i( R v ( u Eliminiamo l iposi sulla priodicià dl sgnal d'ingrsso. - - v c i ( i( α dα C ( v (R u v u ( v ( v ( v ( i c i C Passando alla rasormaa F v u ( α dα R V u ( V ( i RC ( Vu jπrc Vu jπ jπrc ( V ( i il sgnal apriodico v u ( sovrapposizion di componni sinusoidali di ampizza ininisima v j π V u ( u Vu( d ( d 5

73 impulso riangolar ( A s( A/ Poich considriamo ( ( y( ( ( s d d A A rc A rc Dal orma dl riardo A/ s( A/ A/ Y ( -/ Asinc Noa ch: S A ( è il sgnal ingral di s( ( / ( A j π j π ( sinc( sinc( jasinc ( sn( π S ( ( jasinc( sin( π A sinc ( jπ jπ dal orma di ingrazion 6

74 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir orma dl prodoo ( y( ( Y ( Sia ( (( y z Z ( j z( π j π d ( y( d ( j πν d y ( j π ν ν d ν Z j π ( ν ( ( ν y( ν d dν ν ( ν Y ( ν dν ( Y ( il simbolo prnd il nom di ingral (o prodoo di convoluzion 7

75 Cosa rapprsna ( ( α y( z α dα z( ( y(? ( y( A y( α y(-α 3 ( α y( α (α y( -α (α y( -α α - α 4 y( α y( -α ( ( α y( z α dα z( - α α 8

76 Esmpio: ( y( sinc( B z( ( y( sinc ( B Z(? rc B B ( Y ( Z( υ B B B υ B ( υ Y ( υ dυ rc rc dυ B Y( ν /B B (ν /B Y( ν (ν B B ν B B B B ν Y( ν /B (ν /B (υ Y ( υ B B B B B ν -B B B 9 υ

77 B /B (υ Y ( υ -B B υ B Z( Y( ν /B (ν B B ν Y( ν /B (ν (νy( ν B B B B B ν Z B ( B B /(B B ν Y( ν (ν /B B B B B B ν Z B ( B 3

78 Quindi: Z( sinc B B 4B ( B rc /B B B Ovvro: Noa: l'snsion dll'ingral di convoluzion ra du unzioni avni snsion limiaa è daa dalla somma dll du snsioni sss sinc ( rc dov ( B 3

79 3 ormi sulla rasormaa (Sri di Fourir orma dlla convoluzion ( ( ( ( ( ( ( α α α α α α α α d y d y y z ( ( ( ( d d y d z Z j j π α π α α α ( ( ( α α α α α π α dd y j ( ( ( α α α α π α π α d d y j j ( ( ( ( Y y Sia ( ( ( ( Y y ( ( ( ( Y d Y j α α α π α

80 Propria dlla convoluzion proprià associaiva: [ ( y( ] z( ( [ y( z( ] proprià disribuiva rispo alla somma z ( [ ( y( ] z( ( z( y( proprià commuaiva: ( Y ( ( ν Y ( ν dν Y ( ν ( ν dν Y ( ( 33

81 34 ( ( s u ( ( ( s s Sia calcoliamo ( ( ( α α α d s s α s(α s( α ( p{-/} ( ( ( ( d d s s α α α α α α > d α ( <

82 Sia ( v i u( rasorma di Fourir gnralizza C - v ( i i( R v ( u - - C (u( R y( - - v u ( v ( i C v u ( α dα R ( dv i d? dv d ( dv ( v ( u i d C u R

83 Considriamo, allora: u ε ( ( ε / < ε ε ε > ε ε u ( ε ε δ ε ( duε ( / d rc ε ε d δ ε ( u ε ( d /ε ε ε u ( lim u ( ε lim δ ε ( α dα ε poich u ε ε δ ε ( ( α dα δ ( ε ε d d ε u ε ( u ( ε /ε ε ε u ( δ ( α dα δ (α ε ε

84 proprià campionaric dll'impulso uniario ( δ ( d ( ( δ ( d ( dov dov ( ( coninuo in coninuo in ( ( α δ ( α dα ( δ ( ( δ ( ( δ ( ( b a ( δ ( d ( a < < [ a, b] b a b ( a b 3

85 Propria dll impulso uniario I a (( δ a d ( δ ( a δ ( a a rasormaa di Fourir Δ jπ jπ ( δ ( d δ( Δ( δ ( ε d d u ( ε Δ ( ε ε ε /ε - /ε /ε ε ε dualmn ( δ ( δ ( 4

86 5 rasorma novoli mpo ( ( ( ( ( d j d j d j π π π π sin sin cos VPC cos π ( lim ε cos π ( ε cos π ( ε ( ( ( d j d j sinc sin π π sgn( rc j j j π π π ( - rc ( sinc B B Y d B Ricorda. ( j πsgn

87 rasorma novoli u( SGN ( δ ( u ( sgn( sgn(/ / -/ u( U ( SGN ( δ ( y pr la dualia' jπ sgn( sgn( SGN ( jπ Noa: orma complo d'ingrazion U δ jπ ( ( δ ( ( α dα ( jπ ( ( 6

88 Propria dll impulso uniario or. riardo jπ δ ( δ ( δ ( or. raslazion jπ jπ ( δ ( c j ( s / / c ( cos ( π ( δ ( δ jπ jπ / ( c j ( s ( s sin / / / j π j ( ( π δ δ π j j ( / 7

89 8 ( ( ( ( ( δ δ π cos ( ( ( ( ( d α α α δ δ ( ( ( ( π cos Da cui

90 Riroviamo la rasormaa coninua di un sgnal priodico qualunqu π j ( rasormiamo la sri rmin a rmin ( ( δ 3/ / / / / 3/ Spro a righ 9

91 ( ( / cos π ( 4 π cos ( ( ( ( δ δ δ ( 4 4 δ δ δ ( / / / /4 /4 Esmpio: rasormaa di (

92 ( Esmpio: rasormaa di ( rc d( s d S ( δ ( δ ( rc rc jπ jπ jπ jπ ( sinc( sinc( ( π jsinc( sin( π jsin ( Poiché si può applicar il orma d'ingrazion incomplo ( ( jsin( π jsinc( sin( π S jπ jπ sinc ( sinc ( ( s(d(/d / /

93 Priodicizzazion ormul di somma di Poisson Sia ( un sgnal apriodico y( il sgnal priodico onuo com ( ( n y n Sviluppo in sri di Fourir Y ( y Y y ( jπ j π d Esis una rlazion ra Y (? Y n j π ( n d ; α n j π n j π n n j π jπ ( α n ( n d ( α dα ( α n n n n n n j π α dα Noa: l'indic dlla sri n agisc solo sugli srmi di ingrazion ( n, n coninua

94 In paricolar al variar di n n n n n n 3 / / / 3 / α Y n n n j πα j π α ( α dα ( α dα n ( n π j prima ormula di somma di Poisson I coicini di Fourir dl sgnal priodico y( sono dunqu, a mno dl aor /, i valori dlla rasormaa coninua dl sgnal-bas ( in corrispondnza dll rqunz armonich K (campionamno in rqunza. 3

95 Esmpio: rasormaa Y( di ( δ ( n y n ( y( y( priodico con priodo I coicini dl suo sviluppo in sri di Fourir Y y ( j π jπ Y ( d d δ ( Y ( n πn j y( δ ( n n Y ( Y δ δ 4

96 ( δ ( δ( Δ( y n ( δ ( n ( ( ( Y ( Y δ δ δ 5

97 Cosa dov sudiar 4 Sismi monodimnsionali a mpo coninuo 4. Cararizzazion di sismi a mpo coninuo Dal conco di sgnal al conco di sisma Proprià di sismi monodimnsionali Cararizzazion analisi di sismi linari sazionari La risposa impulsiva La risposa in rqunza Il dcibl Sismi in cascaa in paralllo Filri Gnralià sui ilri ilri idali Cririo di Paly-Winr ilri rali Banda duraa di un sgnal banda di un sisma Disorsioni inrodo dai ilri Dnsià spral di nrgia ponza orma di Parsval dnsià spral di nrgia Dnsià spral di ponza Funzion di auocorrlazion orma di Winr-Khinchin Dnsià spral di ponza di sgnali priodici Sismi non linari 4.5. Cararizzazion di sismi non linari 4.5. Nonlinarià ssnziali parassi Misura dll disorsioni non linari 5

98 Sismi monodimnsionali a mpo coninuo ( y ( [ ( ] y( un sisma opra una rasormazion su un sgnal di ingrsso: l'andamno dl sgnal in uscia dipnd in gnral dall andamno complssivo dl sgnal d'ingrsso, cioè da ui i suoi valori da a Esmpio: Ampliicaor idal ( y ( A( A cosan di ampliicazion (guadagno

99 Proprià di sismi monodimnsionali Sazionarià y ( [ ( ] [ ( ] y( Causalià y ( [ ( α, α ; ] [ ( α u( α ; ] Mmoria Qual inrvallo mporal dll ingrsso inlunza l uscia? smpio Sabilià (BIBO ( M y( K dov M K sono inii Invribilià y( [ ( ] ( [ y( ] y ( A( y ( ( α d α Linarià ( α ( ( ( [ ( ] α [ ( ] β [ ( ] β y

100 Esmpio: ampliicaor idal y ( A ( sisma è causal snza mmoria.. sazionario y ( [ ( ] [ ( ] A( y( Esmpio:ampliicaor con guadagno lnamn variabil nl mpo sisma è causal snza mmoria ma.. ( ( A B ( y non sazionario [ ( ] ( A B ( y( ( A B( ( inolr linar, inai s ( α ( ( β [ ( ] ( A B [ α ( β ( ] ( A B α ( ( A B ( β ( α y ( y ( y β

101 Esmpio:il raddrizzaor a doppia smionda [ ( ] (..5 m. A ( ( ( mpo normalizzao / [ ( ] ( ( y( y( ( ( sisma non è linar

102 Sismi linari sazionari (SLS ( δ ( y ( [ ( ] h Δ ( [ δ ( ] La risposa impulsiva prm di drminar la risposa dl sisma ad un sgnal di ingrsso di andamno arbirario; inai, sia: δ α δ α d y ( ( ( ( ( α ( [ ( ] ( α δ ( α dα y( [ ( α δ ( α ] dα y ( ( α [ δ ( α ] dα rlazion cosiuiva dl sisma linar sazionario y ( ( α ( h α dα ( h(

103 sia h ( h(( u ( ( h( ( α ( h α dα ( α ( h α u( α dα y ( α h( α dα il sisma è causal Sia il SLS in sam è causal h( h(( u Quindi:un SLS è causal s solo s la sua risposa impulsiva è un sgnal causal

104 orma: Condizion ncssaria suicin ainché un SLS sia sabil è ch la sua risposa impulsiva sia assoluamn ingrabil h( d < Suicinza: sia h ( d H < sia ( M y ( h( α ( α dα h( α ( α dα h( α ( α dα M h ( α dα M H < Ncssaria (pr assurdo: h( Sia dao il sgnal limiao non sia assoluamn ingrabil ch il sisma sia sabil ( sgn[ h( ] y ( h( α ( α dα h( α ( α dα h( α sgn[ h( α ] dα ( h α dα Sisma sabil in snso BIBO Il sisma non sabil h( d <

105 Risposa in rqunza j π ( y ( [ ( ] j π y ( ( α ( ( ( h α α dα jπ h α h dα j πα j π ( α dα H ( Risposa in rqunza H Δ ( F[ h( ] Δ y ( ( π ( j inolr ( ( h( Y ( ( H ( ( y H Y ( (

106 Noa: s la risposa impulsiva di un sisma è ral (sisma ral ( ( ( ( ( ( A A H H θ θ * ( ( H A ( ( H θ risposa in ampizza risposa in as ( ( ϕ π a cos j j j j a a π ϕ π ϕ ( ( ( j j j j a H a H y π ϕ π ϕ ( ( ( ( j j j j j j a A a A π ϕ θ π ϕ θ ( ( ( ( ( [ ] j j j j a A π ϕ θ π ϕ θ ( ( ( A a θ ϕ π cos Diciamo: Sia:

107 Misur logarimich: dcibl db Il valor di una grandzza in rapporo ad un valor di ririmno si sprim, in gnr, su scala logarimica in dcibl in bas all dinizioni sguni: smpio ( Acos w y ( [ ( ] ( B cos(w y G log Y dov A Y B

108 Esmpio: 3dB log Y log P P in ou ; 3dB (log P ou log P in ; log P ou P ou P in log P in 3 ; P ou P in 3 ; P ou. 995P in ; Analogamn H( puo ssr dinia in db prndndo com ririmno Il valor ad una rqunza o: ( Δ H log db H H ( (

109 Sia dao il sisma: R ( C y( il sisma dao è linar sazionario poiché cosiuio da componni linari a valori cosani nl mpo calcoliamo H( dalla Fisisca: ( d u d h ( [ δ ( ] [ u( ] d d g RC ( / u( ( u( dg( d RC dov: (u( u( ( R Cy( la cosan di mpo dl circuio RC -.5 C R - y( g( mpo Normalizzao, / h dg d ( / ( u( mpo Normalizzao, /

110 Da cui: H / ( u( j π d j π / d j jπ π / / jπ Oppur: v ( i i( R C v ( u v v u ( ( v ( Ri( ( dv ( dq( i( q C i u u d C d C q ( Carica lrica accumulaa nl condnsaor ino al mpo i dvu ( ( C v ( v ( d u i dvu RC d ( H ( V V u i ( ( jπ RC V u ( V ( jπ RCV ( i u

111 Da rqunza di aglio πrc H ( j / H ( ( / H ( arcg Scala linar Frqunza Normalizzaa, / Frqunza Normalizzaa, / Hz 3 Frqunza (Hz Scala logarmica ( Δ H log db ( > H H ( ( Hz Frqunza (Hz 4 5

112 Sia dao il sisma: C v ( i i( R v ( u v u ( Ri( v u ( v ( i q( C drivando d d v ( ( i C i ( v ( R i u / d R d i( d d v ( ( vu RC i d d v u ( H ( ( ( Vu jπ RC jπ, dov V jπ RC jπ i RC j πvi u RC Fourir ( V ( j πv ( u π RC rqunza di aglio H ( j / j / j /

113 ( ( ( H / / ( H arcg - arcg sgn( π ( j j j H / / / Frqunza Normalizzaa, / Frqunza Normalizzaa, / ( ( ( H H H db log Frqunza (Hz Hz Frqunza (Hz Hz Scala linar Scala logarimica ( >

114 ( ( ( d j d j d H h j j j u / ( / ( δ δ π π π??????????? g ( u ( h ( h τ (dτ u ( 4α τ α u τ (dτ u ( u ( 4α τ α dτ α u ( mpo Normalizzao, / mpo Normalizzao, /

115 R L y( L ( ( y( ( ( ( g g y ( ( ( u u ( g risposa al gradino uniario dl circuio dov z L L j R L j R π π 4 ( [ ] ( ( ( j y h F H π Δ Δ ( Risposa in rqunza ( α π α π α π α π α π j j j j j H / / R L dov α Esmpio: Calcoliamo h(, poich ( [ ] ( ( ( j y h F H π Δ Δ ( j π ( R L j R L j R z R z y j L L j π π π π ( impdnza dll'induor L alla rqunza

116 Frqunza Normalizzaa, / /(πα Frqunza Normalizzaa, / /(πα ( ( ( ( ( ( d d h h g τ τ α τ τ α τ u u u 4 ( ( ( d u u u α α τ τ α 4 ( ( ( ( y u u α α ( α π α π α π α π α π j j j j j H / / ( ( ( u h α α δ 4 ( > < y α α α (

117 mpo Normalizzao, / α/8 α α/ <<α ( ( y rc >> α ( ( y rc

118 Sismi linari sazionari in cascaa ( z( h ( h ( y( y ( z( α h ( α d α z ( ( β h ( β d β y ( h ( α h ( α β ( β dβ dα ( β h ( α β h ( α dα dβ β α y( β ( β h ( γ h (( β γ dγ dβ γ β α γ α β ( β [ h ( β h ( β ] dβ ( [ h ( h ( ] ( h ( h ( ( H ( H ( h h(h ( h ( H ( y(

119 Sismi linari sazionari in paralllo ( h ( y( h ( h ( h ( h ( H ( H ( H (

120 Filri ( ( ( ( H ( LP y( H ( LP ( ( y ( ( ( H ( LP y( ( H ( LP B Y ( BH ( ( ( ( ( B B B B B B ilro passa basso idal banda passan (unilara B H LP B ( rc h ( LP B Sisma non causal Non isicamn ralizzabil ( Bsinc( B h LP B B

121 Filri ( ( ( ( H ( LP HP y( H ( LP ( ( y B B ( H ( HP Y ( H ( ( ( ( ( ( ( B B B B ilro passa alo idal limi di banda B B B H B ( rc h ( δ ( Bsinc( B HP HP Sisma non causal Non isicamn ralizzabil

122 ( ( ( ( 3 ( Filri y( H ( LP BP H ( LP ( ( y ( Y ( H ( ( B B ( 3 ( ( ( L H L H B H( B L H ilro passa-banda idal Banda passan B M L L Δ ( H Q B

123 H( B B B ( rc rc B H BP L ricorda : H ( cos( π ( ( ( Bsinc( B cos( π h BP.5. B Sisma non causal mpo Normalizzao, B 3 4 Non isicamn ralizzabil

124 ( ( ( ( 3 ( Filri y( H ( LP BR H ( LP ( ( ( y 3 ( Y ( H ( ( ( B B ( 3 ( ( ( 3 ( L H ( B H ( BR ( ( ( 3 L H ilro limina banda idal H BR ( H ( ( δ ( Bsinc( B cos( π BP h BR Non isicamn ralizzabil

125 Filri rali Condizion ncssaria pr la causalia di sismi (Cririo di Paly-Winr : Sia dao un SLS con H(: H ( d < ; S ln[ H ( ] d π ( < θ ( : H jθ ( ( H( rapprsna la risposa in rqunza di un sisma causal ( H ( LP Es.: y( H ( LP zro in inrvalli ininii B B In praica un ilro causal può avr una risposa in rqunza ch si annulla solo pr un insim di rqunz di misura nulla, cioè solano pr un numro inio (o ininio numrabil di rqunz

126 H R C ( H ( ( / C R Filri passa-basso passa-alo rali / ( / smpr solo nl puno Filri passa-banda d limina-banda rali: circuii risonani L-C H L C / BP ( ( R jq / ( / jq / H L C / BR ( C L y( π / LC Q π L / R / ( ( / ( / jq / L C R y(.5.5. Q Q Frqunza Normalizzaa, / Frqunza Normalizzaa, /

127 Sgnali a duraa inia - Sgnali a banda inia S ( a duraa inia, cioè non nullo solo su di un inrvallo limiao, rc(/ : ( ( rc ( D ( ( sinc( dov sinc( ha banda illimiaa Un sgnal a duraa rigorosamn limiaa ha banda ininia. Dualmn, un sgnal con banda rigorosamn limiaa ha duraa illimiaa.

128 Dinizion (convnzional dlla banda di ilri rali Sia ( un sgnal il cui spro di ampizza assum il valor massimo pr diniamo banda a -3 db l ampizza (, B pr una passa-basso; (B, pr un passa-alo dov: ( B3 ( B3 ( ( Es.: p-b ( (.5 ( B -3 ( B -3 Analogamn l ampizza (B, B pr una passa-banda Es.: p-a.5 B B

129 Dinizion (convnzional dlla duraa di un sgal ral duraa a mà ampizza D (.5 ( (

130 Esmpio: il ilro passa-basso ral R ( C y( H ( jπ RC H ( B 3 / / B 3 rqunza di aglio ( πb RC π RC Hz -4 3 Frqunza (Hz 4 5

131 Principio di indrminazion Sia ( un sgnal ral ad nrgia inia, diniamo: duraa icac (o quadraica: D Δ q ( ( d E ( d Δ ( d E ( E ( d d dov banda icac (quadraica Δ ( B ( q d E B q D q 8π

132 Esmpio: la duraa icac dl sgnal sponnzial bilaro ( Δ il sgnal è pari il suo cnro ( ( d d E ( d D q ( d E poich E ( d d 3 α ( 3 d d 4 α dα

133 Disorsion inrodoa dai ilri ( H ( Y ( ( y( ( y( Un SLS non inroduc disorsioni sul sgnal di uscia s: y ( K ( Y jπ ( K ( H( Y ( ( K j π K A( A ( K θ ( π θ(

134 ( A( rplica indisora di ( θ( θ( A( disorsioni linari di ampizza ( A( disorsioni linari di as θ( (

135 Esmpio: il sisma inroduc disorsioni sui vari sgnali in ingrsso? A( -B B ( ( πb sn θ( y ( A( B sn( π B θ ( B (B/ -B -B π π/ B - π/ B ( πb π sn[ B( B ] sn π - π A ( B θ ( B π Nssuna disorsion!

136 A( ( cos ( πb ( 3πB sn -B B θ( B/ 3B/ -B -B π π/ B - π/ B - π y A ( ( B cos( π B θ ( B A( 3B sn( 3πB θ ( 3B Disorsion di ampizza di as! ( π B π sn( 3π 3π 4 cos B [ πb( B ] sn[ 3 B( 4B ] cos π

137 A( ( 4cos ( πb ( 4πB 3 sn -B B θ( B B -B -B π π/ B - π/ B - π ( 4A( B cos( π B θ ( B A( B sn( 4πB ( B y 3 θ Nssuna disorsion! ( π B π ( 4π π 8cos sn B [ πb( 4B ] sn[ 4 B( 4B ] 8 cos π

138 y 4 d πb d d πb d ( ( sinc ( B d sinc π πb d πb 4 ( B sinc( B sinc( B [ cos( B sinc( B ] A( 4 ( sinc ( B -B B 4 rc B B B ( -B -B π π/ θ( ( rc B B - π/ - π B -/ -B / B A ( θ ( sgn( B π H B πb jθ ( ( A( j ( jπ Drivaa sgnal in ingrsso!

139 Dnsià spral di nrgia ponza Sia dao un sgnal ( ad nrgia inia: E ( d < E jπ ( d ( ( d ( ( d d j d π ( ( d d ( ( d ( ( d ( d EOREMA DI PARSEVAL

140 ( Δ Cosa rapprsna E (? E ( S il sgnal ( è ral E ( E ( Noa: du sgnali con spro Cararizzao dal mdsimo Modulo ma da as divrs Hanno la sssa nrgia! E E ( d ( ( d ( H ( Y ( ( y( E y ( Y ( ( H( ( H( E ( H(

141 ( ( ( d H d E y y E E H( Δ Δ E ( H( E ( y ( ( ( Y H ( y ( ( d / / E Δ Δ ( ( d d / / / / E E Δ Δ Δ Δ ( E o Quando y E Δ Δ ( ( E E y Δ Δ Δ E ( E E y Δ conribuo in nrgia dll sol componni di con rqunz apparnni all'inrvallo [ ] Δ Δ,

142 Banda al 99% dll'nrgia di un sgnal (, B 99 : B 99 B 99 E ( d. 99E B 99 B E E ( d ( d ( H ( -B 99 B 99

143 Dnsià spral di ponza Sia ( un sgnal a ponza inia ( P lim d l'nrgia dl sgnal "roncao" ( ( rc( / E E ( ( ( ( E ( d P lim lim d lim d dnsià spral di ponza: S ( ( ( Δ E lim lim ( s ( è S ( ( ral S S P S ( d ( H ( Y ( ( y( S ( S ( H( y

144 Funzion di auocorrlazion pr sgnali ad nrgia inia Diniamo: R Δ ( τ (( τ d ( ( τ / y( y( τ Noa: ( ( d E R τ τ R ( τ ( R R (τ R (τ y R ( τ R ( τ R (τ R (τ y E E ye τ τ

145 ( ( ( ( ( ( ( τ τ α α τ α α τ α α τ d d R ( ( ( ( R τ ( ( ( ( ( R E τ ( ( ( τ τ π τ τ τ τ π d R d R j cos( E orma di Winr-Khinchin

146 Funzion di auocorrlazion pr sgnali a ponza inia R Δ ( τ lim ( ( τ d ( P R R ( τ ( R R ( τ R ( τ S j ( ( τ π τ R dτ R ( τ cos(πτ dτ orma di Winr-Khinchin

147 Esmpio: dnsià spral di nrgia dll'impulso rangolar ( rc ( sinc( E ( ( sinc ( Esmpio: la dnsià spral di ponza dl sgnal gradino uniario ( u( 4 ( ( rc rc jπ ( sinc rc(/ / / (u( ( / S ( limy lim ( ( lim 4 sinc

148 Y ( /4 Y ( d y ( rc / S ( lim Y ( δ ( / / R ( τ ( τ R / τ

149 Dnsià spral di ponza di sgnali priodici ( ( ( d R τ τ ( ( d j τ π ( ( ( ( d d R j j j π τ π τ π τ j τ π ( j j j R τ π τ π τ π τ ( S δ ( d d d S P δ δ / / 3/ / / -3/ S (

150 Sismi non linari sazionari snza mmoria ( g( y( yg( y ( g( ( g g ( g (... Y ( g ( g ( g ( ( δ Esmpio: B ( rc g δ( g ( g (* ( Y( B B B Lo spro vin n-uplicao!

151 Sia: ( g g g g yg( ( V cos( π ( y( y g( ( g g V cos( π g V cos ( π g V gv g gv cos π cos π ( ( disorsion di sconda armonica In gnral: y ( A A cos ( π θ A cos( π θ A A cos( π θ Coicin di disorsion di -sima armonica D ( A / Δ ( A / A A Coicin di disorsion armonica oal Δ D P d ( A A d / dov: d ( y( A A cos ( π θ A cos( π θ sgnal disorsion

152 orma dl campionamno Un qualunqu sgnal ( sramn limiao in banda cioè ( > B è complamn noo complamn noo quando lo sono i suo valori agli isani n (campioni qualunqu sia n (, purch' B Quindi: invc di rasmr uo il sgnal ( posso rasmr il sgnal campionao con n (, c ( ( n

153 ( y ( δ ( n n y( ( Sgnal Campionao c( c( ( y( ( n δ ( n n C( ( Y (

154 Calcoliamo la rasormaa di y(: Y( y ( δ ( n n ( y( y( y( priodico con priodo I coicini dl suo sviluppo in sri di Fourir Y y ( j π Y d ( δ d j π ( Y ( y ( δ ( n n n πn j Y ( Y δ δ

155 C ( ( Y ( ( ν Y ( ν dν ( ν ν ν ν δ ( ν δ ν dν ( ν dν ( C( (/B. -B B B / (/-B. (/-B H( C(.. B Ainch, ilrando, si possa rionr il nosro B B sgnal (: ( B

156 S: il priodo di campionamno >/B C(. B. H( C(. B. Aliasing: ripigamno dll cod nllo spro!!

157 Esmpi di campionamno corro Sgnal lonico: ( ( pr > 4 KHz -4Hz 4Hz Priodo di campionamno minimo c /8 sc. 5 μsc Ovvro: rqunza di campionamno minima c 8 Hz

158 Classiicazion di sgnali Sgnali Drminai l andamno dl sgnal nl mpo pramn noo Sgnali Alaori L andamno dl sgnal noo solo nll su cararisich saisich principali schmaizzao com una unzion mamaica di una o più variabili ( : R R rapprsnao com un procsso casual o socasico P un sgnal è alaorio solo inché non lo si è complamn ossrvao, dopo di ch rinra anch sso nlla cagoria di sgnali drminai.

159 y( 6. A / / 6. -A Sgnal drminao: Onda quadra gnrao da un gnraor di sgnal (prdicibil Sgnal alaorio: Elrocardiogramma di pazini ch si prsnranno nllo sudio mdico (non prdicibil

160 oria dll probabilia : dinizioni Esprimno alaorio: sprimno suscibil di più risulai, il cui risulao non può ssr prdo con crzza. Prova: scuzion marial dll sprimno E ch conduc ad un solo risulao. Spazio campion o Univrso: l insim S, inio o ininio, di ui i possibili risulai (univocamn drminabili di E. La dinizion di S dv ssr univoca d sausiva. Evno: un qualunqu insim A di risulai, A S. Evno lmnar: sooinsim con un solo risulao Evno cro: S, prché conin ui soli i risulai possibili, quindi uno di qusi dv vriicarsi pr orza. Evno impossibil: l insim vuoo

161 Dao ch gli vni sono dgli insimi manrrmo la sssa noazion dll insimisica. Esmpio: A A B A B A A U B A I B B A A I B / Esmpio: A B A B sono muuamn sclusivi A B B A S vnocro A B A I B

162 Srv una grandzza ch valui il vriicarsi di un vno (risulao di un sprimno : la probabilià Diamo una dinizion pr assiomi dlla probabilià. P(A. P(S 3. P(A BP(AP(B s A B Dagli assiomi alcuni corollari P( Inai AA A P(AP(A P(AP( P( P(A-P(A* dov A*S-A Inai SA A* A A* P(SP(A A*P(AP(A* P(A-P(A* P(A BP(AP(B-P(A B Inai B A B (A B* (A B (A* B ; P(A BP (A B*P(A BP (A* B [P (A B*P(A B][P(A BP (A* B ]-P(A B [P(A][P(B]-P(A B (A B poich A(A B* (A B; B (A* B (A B; A

163 Probabilia rqunza saisica n A /N /6 N Siano: N il numro di vol ch l sprimno vin ripuo l sprimno: lancio di un dado n A il numro di vol ch si è vriicao l vno A Pr( A lim N n N A

164 Probabilia di vni quiprobabili Sia S uno spazio campion cosiuio da vni lmnari quiprobabili: S{E,E,E 3,E Ns } E i vni quiprobabili La probabilia dll vno A cosiuio dall union di N A vni lmnari quiprobabili : A E E.. E NA, daa dal rapporo ra il numro di vni lmnari associai all vno A il numro di vni lmnari cosiuni S P(AN A /Ns (d. di Laplac Es.: dao l sprimno lancio di un dado calcolar la probabilia dll vno Arisulao minor o ugual a 3 S(,,3,4,5,6 dov i si vni lmnari cosiuni S sono quiprobabili A(,,3 ovvro cosiuio da r vni lmnari quiprobabili P(AN A /Ns3/6/

165 Esmpio di spazio campion coninuo Supponiamo di aspar l arrivo di una lonaa ra l l, la probabilià ch la lonaa arrivi ra l : l :3 è A //6/6,.. A..3 s calcolo la probabilià ch la lonaa arrivi all :3 prcis, qusa è ugual a (ma quso non implica ch la lonaa all :3 sia impossibil!

166 Probabilia congiuna Prsi du vni A,B S si dinisc probabilià congiuna la P(A,B P(A B poiché A BB A si ha ch P(A,BP(B,A. P(A è da probabilià marginal. Esmpio: Considriao l sprimno lancio di du dadi S(s, s, s 3,, s 56, s 66 Considriamo gli vni A(s, s, s 3, s 4, s 5, s 6 B(s 3, s 3, s 33, s 43, s 53, s 63 A B(s 3 ; P(A B/36 noa ch /36P(AP(B(/6(/6 du vni si dicono saisicamn indipndni s P(A,BP(A P(B

167 Condizioni ncssari pr l indipndnza saisica / A I B B B A A B A I I B / / / / oppur B A B P A P B A P ossro saisicamn indipndni A pr assurdo S P B A P B A S ( ( (,,, ( ( ( I I I S B A P B P A P B A P indipndni saisicamn ossro A assurdo pr S A P B A P B A A B A S ( ( ( (,,, ( ( I I I B

168 Probabilia condizionaa Considriamo ora la coppia di vni A B, ciascuno avn probabilià non nulla. Diniamo la probabilià condizionaa la probabilia dll vno A dao pr cro ch accada dall vno B ( A B Pr La probabilià condizionaa dinisc un nuovo spazio campion S B, la probabilià condizionaa rapprsna la probabilia ch si vriichi A nl nuovo spazio campion B ( ( ( (, ( ( B P s B A P B P s B P B A P n n n n n n B A P B S S B A B B A I I ( ( ( ( (, ( ( A P B P B P A P B P B A P B A P indipndni saisicamn sono B A S

169 Esmpio Considriamo il lancio di du dadi uno rosso uno vrd, abbiamo 36 possibili risulai: S{(r,v} 36 risulai quiprobabili A{(r,v r v 4} B{(r,v 3 r 4} P(A6/36/6 P(B/36/3 P( A, B / 36 6 PA \ B / P( B / 3 Povo calcolar diramn la probabilià condizionaa considrando è il nuovo spazio campion B ao da lmni, calcolar in quso spazio campion la probabilià ch si vriichi un A: Poich ho un solo vno avorvol P/.

170 Esmpio Calcolar la probabilia ch srando car da un mazzo di 5 car si abbiano assi! Ricorda: n lmni si possono combinar in aggrgazioni di lmni in n n!!( n! modi Nl nosro caso n5 5 sono ui i possibili risulai ui quiprobabili n! 36!( n! gli vni avorvoli sono (4 assi combinai a du a du! 4 6 P6/36

171 orma dlla probabilia oal Siano B i, i,, K, N ali ch: B B 3 B 5 B i U N i B i B Ω i Allora val: Ω Pr A B B 6 N B 4 ( A Pr( A B i Pr( B i i Pr ( A Pr( A Ω Pr A N U i B i Pr N U i A B i N i Pr N ( A B Pr( A / B Pr( B i i i i Poich A B ( A B ( i j /

172 orma di Bays Siano B i, i,, K, N ali ch: B B 3 B 5 B i B i A B 4 U N B i i Ω Allora val: Pr ( B A i N i Pr Ω B ( A Bi Pr( Bi Pr( A B Pr( B i i B 6 Pr ( B A i Pr( B i, A Pr( A Pr( A, B Pr( A i Pr ( A B Pr( B Pr( A B Pr( B i Pr( A i N i Pr i ( A B Pr( B i i i

173 Uilià dl orma di Bays Considriamo un vno B com la consgunza di caus divrs A i. Diciamo: P(B/ A i probabilià a priori, cioè dao pr cro una causa qual è la probabilià ch si vriichi la consgunza P(A i / B probabilià a posriori, cioè dao pr cro ch si è vriicao l o mi dic qual è la probabilià ch A i sia una causa Il orma di Bays ci prm di calcolar la probabilià a posriori

174 Esmpio: Siano A, B C r azind ch producono diodi di cui alcuni, pr rrori di produzion, sono diosi: Azinda % produzion % diodi nazional diosi A % di cui 3% diosi B 3% di cui % diosi C 5% di cui % diosi Dao pr cro ch ho comprao un diodo dioso qual è la probabilià ch sso sia sao prodoo da C? Do D l vno acquiso di un diodo dioso, l srcizio chid di rovar Pr(C/D dov abbiamo indicao con C l vno diodo prodoo dall azinda C ,,. ( / ( ( / ( ( / ( ( / (, (, (, ( ( / ( ( ( / ( / ( (, / ( ;, / ( ;, / (, ( ;, ( ;, ( : C P C D P B P B D P A P A D P C P C D P D C P D B P A D P C P C D P D P C P C D P D C P priori a à probabili C D P B D P A D P C P B P A P dai nosri I

175 Formula di Brnoulli Considriamo un sprimno cararizzao da uno spazio campion cosiuio da du risulai solano ( s.: sa/croc, vro/also, /, alo/basso, succsso/allimno cc. Supponiamo di ripr n vol l sprimno in modo ch ciascun sprimno sia indipndn dagli alri Da p probabilia di succsso di un singolo sprimno q-p probabilia di insuccsso di un singolo sprimno P,n probabilia di onr in n prov succssi (n- allimni P,n ( n p q (n-

176 Variabili alaori Esmpio: sia dao l sprimno: Scglir un qualunqu giorno non sivo dlla simana, pr vriicar casualmn il raico di un auosrada simana pr simana. Lo spazio campion mamaicamn { Lun, Mar, Mr, Gio, Vn Sab} S, non si prsa ssr raao Si dinisc variabil alaoria ξ una unzion ral dinia su uno spazio campion S ch associ ad ogni risulao dll sprimno alaorio un numro ral. ξ(s : S ξ(s R ω ω ω 3 ξ(s ΩS 3 R

177 Quindi, dao lo spazio campion { Lun, Mar, Mr, Gio, Vn Sab} S, Possiamo dinir la v.a. ξ(s : S R ξ(lundi, ξ(mardi,, ξ(sabao6 Sgu ch: s la probabilia dll vno lmnar lundi P(lundi ξ(lundi P(ξ( /6

178 Assgnazion dlla probabilia all variabili alaori discr lancio di una mona S(, C Assgniamo ξ( ξ (C P(ξ ½ P(ξ ½ ricorda: i P (ξ i dv ssr smpr rispaa, è una CN ainché l probabilià ch ho assgnao siano corr.

179 Assgnazion di probabilià ad una v.a. coninua. Esrazion di un numro ral casual nll inrvallo S [,] diniamo la v.a. ξ( i i P(ξ i i poich in uno spazio coninuo l probabilià punuali sono null (insim di misura nulla. Drminiamo l probabilià pr un sooinsim di valori (inrvallo di misura non nulla ch la v.a. ξ può assumr. A P(ξ A/. dov Amisura dll inrvallo Diniamo: F ξ Δ ( Pr{ ξ } unzion disribuzion di probabilià cumulaiva di ξ (unzion dlla variabil ral [-,]

180 Proprià di F ξ ( F ξ ( inai: F ξ ( P(ξ F ξ (- inai: F ξ (- P(ξ F ξ ( F ξ ( pr F ξ ( è una unzion monoona non dcrscn comprsa ra P( <ξ F ξ ( -F ξ ( <ξ

181 Calcolo di F ξ ( pr variabili alaori discr Esmpio: lancio dl dado ξ(s i i P(ξi P(s i /6 pr i,..,6 F ξ Δ ( Pr{ ξ } Pr ε { ξ } lim P( ( ε < ξ lim ( F ξ ε ( Fξ ( Fξ ( ε ( F ( ξ /6 /6 3/6 4/6 5/6 S ξ è disconinua in l ampizza dl salo in pari alla probabilia P(ξ

182 F ( ξ ξ F ( ξ unzioni disribuzioni di probabilià di una variabil alaoria coninua F ( ξ unzioni disribuzioni di probabilià di una variabil alaoria discra unzioni disribuzioni di probabilià di una variabil alaoria misa

183 Funzion dnsià di probabilià In alrnaiva alla unzioni disribuzioni di probabilià una v.a. puo ssr dscria probabilisicamn da ξ ( Δ dfξ d ( F ( ( u du ξ Pr ξ ( poich la F monoona non dcrscn { a < ξ b} F b F a ξ ( ξ ( ξ ( ( d F F ( ξ ( ξ b a d ( ξ ( d F ( F ( F ( ξ ξ ξ ξ

184 La ξ ( pr una F ξ ( a gradini (v.a. discra F ξ Δ ( Pr{ ξ } /6 /6 3/6 4/6 5/6 F ξ ξ Δ ( Pr{ } u( ξ ( / ξ ( p δ (

185 Esmpio di unzioni dnsià di probabilià di una variabil alaoria coninua (a, discra (b, misa (c ( ξ a ( ξ b ( ξ c

186 Indici cararisici di una disribuzion Non smpr è possibil arrivar a una conoscnza compla (.d.p. riguardo a un problma alaorio ch si sa raando. Molo più spsso, ci si acconna dlla conoscnza di alcuni paramri saisici smpliicai o indici cararisici valor aso o valor mdio di una disribuzion η ξ ( d E{ ξ} ξ pr v.a. coninua Δ {} ξ ( d p δ( - d p δ ( d η E - ξ ξ Rapprsna un valor baricnrico aorno al qual si disribuiscono i valori dlla variabil alaoria sssa E Noa: p pr v.a. discra { α ξ β υ} α E{} ξ β E{} υ

187 Esmpio: ξ ( / ξ ( p δ ( p 3, η ξ E{} ξ

188 Indici cararisici di una disribuzion varianza di una variabil alaoria ( ξ {( ξ η } ( ( d Δ ξ E η ξ σ ξ v.a. coninua ( ( ξ ξ ( υ ( Δ ξ σ E {( ξ η } ( η ( ξ ( ηξ pδ ( - p ξ ( η ( ( ξ δ - d p ηξ ξ d v.a. discra d η Dnsià di probabilià con ugual valor aso ma divrsa varianza (σ υ > σ ξ Inolr si dinisc dviazion sandard: σ ξ var ianza

189 { } ( d m ξ ξ ξ E Δ Indici cararisici di una disribuzion valor quadraico mdio o ponza di una variabil alaoria ( { } { } { } { } { } ξ η η ξ η η ξ η ξ σ ξ ξ ξ ξ ξ ξ E E E E E Δ ξ ξ ξ ξ ξ η η η m m Noa ch, pr la linaria dll opraor E { } ( p d m ξ ξ ξ E Δ v.a.coninua v.a.discra

190 La variabil alaoria uniorm / Una variabil alaoria coninua ξ è uniorm sull inrvallo ( a,b s la sua dnsià di probabilià ξ ( y è cosan in al inrvallo si annulla al di uori di sso. Esmpio: rovar la F la dlla v.a.: coordinaa di un puno sclo quiprobabilmn ra a b. a b F ξ ( b a a pr pr pr < a a > b b F ξ (y Y ( ξ ( df d pr a b a alrov b /(b-a a b ξ Y (y ( y ξ

191 La variabil alaoria uniorm / ξ ( df d pr a b a alrov b η ξ a b m a b ξ ab ( b a σ ξ

192 La variabil sponnzial unilara Una variabil alaoria coninua è sponnzial unilara s la sua dnsià di probabilià è sprssa dalla rlazion ξ η η ( p u( F ξ ( ( α dα [ p( η ] u( ξ η ξ ξ m ξ ( d ( η p( η d η ( η p( η d η ξ /η ( ξ ( F ξ ( F ( σ { ξ } η η η ξ E ξ ξ

193 La variabil alaoria Gaussiana (o normal ξ ( ( η σ πσ cararizzaa da σ ξ η ξ var ianza valor mdio

194 n N (n Φ(n Q(n ( d F / ( π ξ Δ Φ ( π ξ ξ ξ σ η Nl caso ( ξ ( ( F ξ Δ Φ Variabil normal sandard

195 rasormazion di una variabil alaoria ξ ξ y g [ ] η ξ ( s i s i y g[ ] S η( s i orma dl valor mdio η η { g( ξ } g( ( E d ξ

196 Procssi alaori Diniamo l sprimno alaorio: Qual lo sao di salu cardiaco (lrocardiogramma di pazini dl //3 di un ambulaorio mdico? Ovviamn non sappiamo chi si prsnra in ambulaorio il //3, quindi diniamo lo spazio campion Ω { ω i } ch collziona ui i pazini! Quando si prsna il pazin ω ι misuriamo l lrocardiogramma i ( ( L sprimno rapprsnao dal Procsso alaorio: { } ( ω ; ( ω ; ( i i Ω ω ω ω 3 ( ( 3

197 Pino Analogamn: qual sara il sgnal lonico ch arrivra in riczion? Giovanni R onica (? Franco Piro Un sgnal alaorio è rapprsnao da un procsso alaorio ω ; ω ; { } ( ( ( i i

198 ( Θ, ampizza rqunza L uscia un procsso alaorio ( π ( Θ, a cos Θ dov Θ è una variabil alaoria uniormmn disribuia in usualmn si indica ( Θ, ( [, π

199 Noa: ( ω ; ( sgnal drminao ( ω ; ( Esprimno: qual valor avra il sgnal all isan i? 4 Variabil alaoria ( ( ( 3 ( - 4 ( -4 ( ω ; mpo, 3 4 5

200 Cararizzazion saisica di un procsso alaorio saisich I ordin ( ω ( ; una variabil alaoria 4 ( ( ( Funzion disribuzion di probabilia di primo ordin dl procsso - 3 ( 4 ( F Δ ( ; { ( } Pr -4 ( mpo, dipnd anch da una variabil mporal prché l proprià saisich dlla variabil alaoria cambiano, in gnral, al cambiar dll isan di mpo al qual si campiona il procsso. F ; F ( ( ;

201 Cararizzazion saisica di un procsso alaorio saisich II ordin ( F ; (al variar di! non suicin a cararizzar l proprià dl procsso Es.: un procsso alaorio pr modllar ( prvdr la quoazion di un iolo in borsa ( probabilià dll vno ch la quoazion dl iolo all isan di vndia sia maggior dlla quoazion all isan di acquiso : F Pr Δ (, ;, { (, ( } richid la considrazion congiuna di du variabili alaori sra dallo ssso procsso in isani disini. Non puo ssr calcolaa da F ( ; disribuzion di probabilià dl scondo ordin dl procsso

202 Cararizzazion saisica compla di un procsso alaorio unzion disribuzion di probabilià dll n-simo ordin F Δ (,..., ;,,..., Pr{ (, (,..., ( }, n n o alrnaivamn (,,..., ;,,..., n n Δ n F unzion dnsià di probabilià di ordin (,,..., ;,,..., n... n n n n pr qualunqu numro n di variabili alaori cioè di qualunqu ordin. (, (,,K ( Praicamn impossibil!!!!! paramri saisici smpliicai n

203 Indici saisici dl ordin di un procsso alaorio Funzion valor mdio saisico η ( Il valor di qusa unzion a un isan assgnao è il valor mdio dlla variabil alaoria, sraa dal procsso all isan ssso: η ; ( E{ ( } ( d ( Al variar di, quindi dlla v.a. ( 4 3 ( ( η Pr procssi coninui: Δ ( E{ ( } (, d - Pr procssi discri: 4 ( ( η ( E{ ( } P( ( Δ i i i mpo,

204 Indici saisici dl ordin di un procsso alaorio unzion ponza mdia saisica isanana valor quadraico mdio dlla v.a. onua issando l isan P { } Δ ( E ( i i ( ; P unzion varianza: σ { } Δ ( E ( ( η ( i d ( ( ( η ( ( ; i procssi coninui procssi discri la varianza dlla variabil alaoria onua issando l isan Noa: ( P ( ( σ η ( η ( P( ( i d i procssi coninui procssi discri

205 Esmpio: Sia dao il procsso alaorio ( a ( π Θ cos dov Θ U(,π ampizza rqunza issao il valor dl mpo La v.a. a cos( π Θ si puo pnsar com onua dalla rasormazion dlla v.a. Θ Pr il il orma dl valor mdio { g( ξ } g( ( η E d η ξ Θ y g(θ ( π Θ a cos E Θ Θ { ( } E { a cos( π } a cos( π θ ( θ dθ π a cos π a π ( π θ dθ [ sin( π π sin( π ] sin( π Θ a π

206 mpo normalizzao, a ( ( a π π η sin

207 Indici saisici dl ordin di un procsso alaorio Funzion di auocorrlazion auocovarianza Y ( Fissiamo du isani di mpo arbirari la corrlazion: (unzion di du isani R R la auocovarianza: C (, Δ E {[ ( η ( ][ ( η ( ]} [ η ( ] [ ( ] (, ;, dd η NOA: C Z ( Δ E{ ( ( } (, ; dd,, Δ ( E ( ( { } P( (, ( i j i, i j j ( (procssi coninui (procssi discri (, R (, η ( η (

208 Esmpio: sia il procsso alaorio ( a cos( π Θ Fissando oniamo l du v.a.: ( a cos( π Θ ( a cos( π Θ R (, E{ (, ( } E { a cos( π Θ a cos( π Θ } Θ π a cos π ( π θ cos( π θ dθ il orma dl valor mdio E{ g ( } g( ( d con g( η η ξ ξ π a π [ cos( π ( θ cos( π ( ] dθ noa R (, R (

209 Procssi alaori sazionari Sazionarià in snso sro gli indici saisici di un procsso dipndono in gnral dalla scla dgli n isani di mpo ( ad s. (,,..., n;,,,..., η (, R (,,...,, n considriamo la nuova n-upla di isani Δ, Δ,... S accad ch: (,..., ; Δ, Δ,..., Δ (,,..., ;,,...,, n n n n n, Δ il procsso si dic sazionario in snso sro ( Δ ( hanno l sss saisich....ma ( Δ (

210 Sazionarià in snso sro: sazionaria di ordin S il procsso sazionario In snso sro ( ( ; Δ ; Δ ( ; ( sazionaria di ordin ( η η u l variabili alaori sra da ( sono quidisribui P ( P ( σ σ

211 ( ( Δ Δ, ;,, ;, Sazionarià in snso sro: sazionaria di ordin S il procsso sazionario In snso sro ( ( ;,, ;, sazionaria di ordin ( ( R R, ( ( C C, Gnralizzando: u l saisich di ordin n di un procsso sazionario in snso sro dipndono solano dall dirnz (disanz ( ( n n n n n 3 3,,, ;,...,,,...,, ;,...,, K n n 3 3,,, K

212 Esmpio: Sia il procsso ( A (ω; dov A: v.a.: A [,] il procsso è sazionario di ordin uno prché, comunqu si issi un isan di mpo, la dnsià di probabilià dlla variabil alaoria risulan è smpr la sssa: - ( ( ; poich ( A A comunqu si issi la n-upla di isani si oin smpr la sssa n-upla di variabili alaori ( A, ( A, K, ( n A il procsso è sazionario di ordin n qualunqu il pro-csso è invarian rispo a una raslazion dll ass di mpi di, prciò Δ ha l sss saisich di qualunqu ordin di Δ ( (

213 Sazionarià in snso lao Un procsso alaorio è sazionario in snso lao (o in snso dbol s: η ( η R (, R ( C R (, E{ [ ( η ][ ( η ]} ( η C ( Noa: poso R Δ ( R (, τ E{ ( ( τ }, τ S il procsso Sazionaria in snso lao R C (, τ R ( τ (, τ C ( τ Un procsso sazionario in snso sro è anch sazionario in snso lao la sazionarià in snso lao non implica qulla in snso sro.

214 Esmpio: Sia dao il procsso alaorio ( a ( π Θ cos dov Θ U(,π a π sin Il procsso non sazionario In snso lao! { ( } ( π E ampizza rqunza Sia Θ U(,π E a π π a π { ( } cos( π θ dθ [ sin( π π sin( π ] π a R π 4 (, [ cos( π ( θ cos( π ( ] dθ a cos π ( ( R ( Dipnd solo da Non dipnd da! Il procsso è sazionario in snso lao!!

215 Proprià dlla unzion di auocorrlazion pr un procsso sazionario in snso lao La unzion di auocorrlazion è pari: Inai: R ( τ ( τ R R ( τ E{ ( ( τ } E{ ( τ ( } R ( τ Il valor assuno da nll origin uguaglia la ponza mdia saisica dl procsso R ( E ( { } P è massima in modulo nll origin: R ( R ( τ Inai E{ [ ( ± ( τ ] } E [ ( ] [ ( τ ] ± ( ( τ { } R ( R ( ± R ( R ( mr ( τ τ S R ( τ non conin componni priodich lim R τ τ ( lim ( τ η η C τ

216 4 la unzion di auocorrlazion misura la rapidià di variazion dl sgnal alaorio τ mpo, τ mpo, R (τ R (τ Y τ cor τ τ cor τ mpo di corrlazion la minima disanza ch dv inrcorrr ra du isani di ossrvazion ainché l variabili alaori sra dal procsso siano incorrla

217 Filraggio di un sgnal alaorio.5. ( h( Y( D( daa una unzion campion dl procsso di ingrsso ( ω ; y ( ω ; ( ω ; ; h( ( ω ; ; mpo normalizzao, /..5. " convnzionalmn Y ( ( h( η Y Rlazion ingrsso-uscia ra l unzioni valor mdio saisico ( E{ Y ( } E{ ( h( } E h( α ( α Inai: ( ( ( dα E { h( α ( α } dα ( α E{ ( α } dα h( α η ( α dα η ( h( h η ilrando la componn drminaa dl procsso η ( h(

218 Rlazion ingrsso-uscia ra l unzioni di auocorrlazion R Y (, E{ Y ( Y ( } E{ [ ( h( ] [ ( h( ]} E ( α h( α dα ( β h( β dβ quindi ( E{ ( α h( α ( β h( β } dαdβ R Y, h α β α β ( α h( β E{ ( α ( β } dαdβ R β α ( α, β h( α h( β dαdβ [ R (, β h( ] h( β dβ R ( h( h(,

219 Filraggio di un procsso alaorio sazionario in snso lao Poichè η ( η η ( h( h( α η ( α dα η h( α dα η H( ηy R ( τ R ( τ E{ Y ( Y ( τ } E{ [ ( h( ] [ ( τ h( τ ]} Y Y, H [ H ( ] ( ( α ( α dα h( β ( τ β E h dβ E h α β ( β h( α ( α ( τ β dβ dα α β β h ( β h( α E{ ( α ( τ β } dβ dα h( α R ( τ β α h( β ( β h( α R ( τ β α dαdβ h R α Y Y β α poichè (, τ R ( τ h( β [ R ( τ β h( τ β ] dβ R Y α h dβ dα ( α R ( τ β α dα R ( τ β h( τ β ( τ R ( τ h( τ h( τ r h ( τ

220 Analisi di Fourir pr sgnali alaori sazionari in snso lao Un sgnal alaorio puo ssr scomposo nlla sovrapposizion di oscillazioni armonich l cui ampizz asi variano in manira alaoria pr ciascuna rqunza In gnr ci si limia alla dscrizion dllo spro di ponza S ( Δ lim ( Noa: Un sgnal alaorio sazionario amm unzioni campioni a ponza inia (non possono ssr ad nrgia inia a mno di procssi a mdia nulla!

221 Dnsià spral di ponza di un procsso sazionario S ( Δ lim ( Ricorda: ( è la rasormaa di Fourir dl sgnal ( roncao sull inrvallo [ /, / ] ( ha nrgia inia Ovviamn: S ~ ~ ω ( ; Δ Δ ~ ( ω; lim S ( E S ( ω; { } lim E { ~ ( } Dinizion valida pr sgnali alaori qualsiasi (anch non sazionari ma di diicil applicazion!

222 Dnsià spral di ponza di un procsso sazionario in snso lao il orma di Winr-Khinchin val anch nl caso di procssi alaori sazionari la P S ( ponza S E S Δ jπτ ( R ( τ dτ R ( τ cos( πτ è una unzion ral pari mdia dl { ( } S ( d S ( d ( sgnal alaorio è : dτ

223 Filraggio dlla dnsià spral di ponza di un procsso alaorio S ( ( SY( ( Y h( S Y ( F [ R ( τ ] F[ R ( τ h( τ h( τ ] S ( H ( H ( Y h( è ral H ( H ( S * ( S ( H ( H ( S ( H ( Y

224 Esmpio: ( a ( Θ cos π Θ U(,π Il procsso sazionario In snso lao a R ( cos( π τ τ S a ( F[ R ( τ ] F cos( π τ [ δ ( δ ( ] a 4 S ( a /4 a /4 -

225 τ R (τ τ cor ξ/τ cor S ( S (ξ Banda B Hz Banda B Hz mpo (ms Banda B Hz ( S Rlazioni mpo rqunza ( S

226 Sgnal alaorio: Rumor bianco R (τ S ( S ( ξ ξ ( S τ S ( S ( R ( τ S ( δ ( τ lim R τ ( τ limc ( τ τ η η il procsso alaorio rumor bianco ha valor mdio η

227 Un smpio di rumor bianco: Rumor rmico Rsisor ral a mpraura (in gradi lvin R Rsisor idal (rddo gnraor di rumor bianco R N( N( S ( S ( R N N R è la cosan di Bolzmann.38 3 J/K R 9 K Inolr N( è una v.a. gaussiana a mdia nulla

228 Procssi rgodici In gnral è divrsa la mdia saisica dalla mdia mporal. Mnr la mdia mporal si a sui divrsi valori assuni dalla singola unzion mmbro nl mpo, la mdia saisica si oin psando i valori onui dall divrs unzioni mmbro al mpo con la pd di ξ. v ( v (..... _ v( ξ v ( i E [ V ( ] ξ ( d v ( w > lim v ( w ξ <, i, d (Mdia saisica (Mdia mporal Pr il procsso rgodico, una grandzza saisica può ssr ricavaa aravrso una mdia mporal su una qualunqu ralizzazion dl procsso ssso

229 Canali & Rumor Comunicazioni Elrich I

230 Sommario Proprià dl Canal Canal Rumoroso Cararizzazion dl canal Rumoroso Rumor In Banda Il rumor ni sismi analogici in banda bas Giuspp Ruggri

231 Sommario Proprià dl Canal Canal Rumoroso Cararizzazion dl canal Rumoroso Rumor In Banda Il rumor ni sismi analogici in banda bas Giuspp Ruggri 3

232 Obiivo Ci proponiamo quindi di sguio di saminar l proprià dl canal di rasmission di indicar in qual modo d proprià dipndano dalla sruura isica dl canal ssso. Ciò allo scopo di ddurr di criri di dimnsionamno di componni dl canal rasmissivo, nonché di acquisir lmni pr dcidr s è opporuno rasormar i mssaggi mdian modulazion prima di immrli nl canal rasmissivo, d in caso armaivo, qual è il ipo di modulazion più convnin. Canal Idal Diniamo idal un canal di rasmission ch ornisca in ogni isan all'srmo d'uscia, connsso alla dsinazion o al dmodulaor, un valor dl sgnal idnico a qullo assuno nllo ssso isan, dal sgnal applicao all'srmo d'ingrsso dalla sorgn o dal modulaor: ' ( ' ( ( ( canal idal ' ( (, ( h( δ ( L quivaln di più canali in cascaa, ch nll condizioni di connssion ni puni inrmdi d srmi siano idali, cosiuisc un canal idal. Giuspp Ruggri 4

233 Canal pro Si dinisc pro un canal ch ornisc all'uscia, connssa con la dsinazion, un sgnal ( lgao a qullo, (, applicao all'ingrsso dalla sorgn dalla rlazion: Canal ( ( pro ( ( G d La cosan G si chiama guadagno di nsion s sono nsioni, guadagno di corrn s i sgnali sono corrni. La Cosan A/G prnd il nom di anuazion di nsion o rispivamn di corrn. La cosan d è il mpo di riardo o di propagazion o di ransio. E il mpo ch occorr ainché il sgnal passi dalla pora di ingrsso a qulla di uscia dl canal. Giuspp Ruggri 5

234 Canal pro Si dinisc pro un canal ch ornisc all'uscia, connssa con la dsinazion, un sgnal ( lgao a qullo, (, applicao all'ingrsso dalla sorgn dalla rlazion: Canal ( ( pro ( ( G d ' j π j π ( ( j π ( d ( d G ( d G d d d d G j π d ( { { h( Gδ ( d ( G ( H ( G Arg ( Arg ( π d j πd Giuspp Ruggri 6

235 Canal pro Si dinisc pro un canal ch ornisc all'uscia, connssa con la dsinazion, un sgnal ( lgao a qullo, (, applicao all'ingrsso dalla sorgn dalla rlazion: Canal ( ( pro ( ( G d Si vriica ch una cana di più canali, ch nll condizioni di inrconnssion ni puni inrmdi d srmi si comporino com pri, cosiuisc un canal pro, avn mpo di propagazion ugual alla somma di mpi di propagazion guadagno gual al prodoo di guadagni. Un canal pro si idniica con il canal idal s: G d. Giuspp Ruggri 7

236 Giuspp Ruggri Canal linar mpo-invarian ( Un canal si dinisc Canal ( linar mpo-invarian (o LI prmann s vriica l sguni proprià: Sussis la proprià di invarianza mporal: a risposa dl canal ad un qualunqu sgnal non dipnd dal mpo. ( ( Sussis la proprià di linarià: ( ( ' ( ( ' ' a( b( a ( b ' ( ( ( Ni canali rali inolr è valido il principio di causalià: s applico all ingrsso un sgnal ( il sgnal di uscia, ( è nullo ngli isani prcdni dl sgnal di ingrsso. h( < 8

237 Canal ( ( LI Canal linar mpo-invarian G ( ( ( τ h( τ dτ ( h( ( ( H ( ' H ( h( d j π H ( G( jη ( η ( Giuspp Ruggri 9

238 Canal ( ( LI Canal linar mpo-invarian G ( ( ( τ h( τ dτ ( h( ( ( H ( ' H ( h( d j π H ( G( jη ( η ( Giuspp Ruggri

239 Canal ( ( LI Canal linar mpo-invarian G ( ( ( τ h( τ dτ ( h( ( ( H ( ' H ( h( d j π H ( G( jη ( η ( Giuspp Ruggri

240 Canal ( ( LI Canal linar mpo-invarian G ( ( ( τ h( τ dτ ( h( ( ( H ( ' H ( h( d j π H ( G( jη ( η ( ( π [ d DISP( ] η Giuspp Ruggri

241 Canal ( ( LI Canal linar mpo-invarian G ( ( ( τ h( τ dτ ( h( ( ( H ( ' H ( h( d j π H ( G( jη ( η ( { ( G( ( Arg ( Arg ( η( Giuspp Ruggri 3

242 { Canal linar mpo-invarian Canal ( ( LI Il canal linar mpo invarian prmann è anch pro s soddisa l sguni condizioni: { ( G( ( G( G Arg ( Arg ( η( η( π d Giuspp Ruggri dη d π d d dη π d L inrvallo di rqunza più idono pr il rasrimno di sgnal è di solio qullo in cui il guadagno è massimo, ano prché sgnali con spro in al inrvallo giungono all srmo ricvn con maggior innsià, quano prché aorno al valor massimo il guadagno ha andamno pianggian d è quindi approssimaivamn cosan. 4

243 Banda dl canal G Si individua com banda dl canal qulla ch inroduc una disorsion di ampizza di as limiai in un rang prissao. B d B B B I B Giuspp Ruggri 5