Linear parametric Model

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1 Liner Prmetric Models 1. Introduzione LPM è un pcchetto informtico sviluppto in R per l ppliczione di modelli prmetrici lineri dti idrologici in prticolre serie di precipitzioni giornliere. Esso consiste in un insieme di routine che permettono di definire per ciscun serie in ingresso l corrispondente rppresentzione con il modello più rppresenttivo e cpce di incorporrne l meglio le componenti deterministiche e csuli. Il pckge consente inoltre di operre delle trsformzioni preliminri lle serie in ingresso per rimuovere eventuli componenti indesiderte per un modello linere e reinserirle successivmente l processo di simulzione; nel cso di serie di precipitzioni giornliere è consentit l ulteriore ppliczione di un procedur correttiv lle serie simulte in grdo di ripristinrne le crtteristiche reli. Il pckge è costituito delle seguenti routine: r.egls 1 lpm mlpm rin.dpt Subset Autoregressive Model Liner prmetric Model Multivrite liner prmetric model Rinfll Adptor e può funzionre nei seguenti csi: - Definizione e ppliczione di un modello ARMA breve memori (per serie di piogge e di temperture) - Definizione e ppliczione di un modello ARMA lung memori (FARMA, per serie di portte) - Definizione e ppliczione di un modello multivrito VAR breve memori (per serie multivrite di piogge e temperture) 1 Tle funzione viene pplict prevlentemente ll interno di mlpm

2 2. Rppresentzione di un serie univrit trmite un modello ARMA Per l ppliczione di un modello linere ARMA(p,q) univrito definito dll espressione φ ( B ) x = θ ( B) t t in cui φ(b) e θ(b) : polinomi dei coefficienti AR e MA B : opertore lgebrico B k x t =x t-k x t : vribile temporle dell serie in esme t : vribile temporle dei residui è sufficiente servirsi dell routine implementt lpm l cui sintssi è osservbile con l istruzione help(lpm) fig 1. Figur 1. Schermt di help dell funzione lpm.

3 Tle routine consente l lettur dei seguenti dti in uscit: <object>$res <object>$pr <object>$stdev <object>$bic Serie di residui Coefficienti dell modellzione Scrto dei coefficienti dell modellzione Indice BIC del modello <object>$simdes List delle serie simulte destgionlizzte <object>$sim List delle serie simulte (ristgionlizzte ed eventulmente corrette) In disply vengono inoltre forniti: - Risultto del Test di Portmnteu : vlore dell sttistic Q e dell vribile χ 2 - Indice BIC - Prmetri AR e MA - Intervlli di confidenz dei prmetri AR e MA E inoltre possibile l visulizzzione di lcuni grfici (imponendo grph=t) reltivi - componenti periodiche dell medi e scrto qudrtico medio - funzione di utocorrelzione dei residui. Come esempio viene preso in considerzione un cmpione di dti di precipitzioni giornliere per un totle di 5475 vlori pri 15 nni di osservzioni. Le operzioni d eseguire sono le seguenti: Anlisi preliminre dell stgionlità dell serie Scelt del modello ottimo. Simulzione 2.1. Anlisi dell stgionlità Affinché si possibile l nlisi e l conseguente rimozione delle componenti periodiche con LPM è essenzile disporre di un cmpione periodicità inter, nel cso in esme è necessrio rimuovere

4 tutti i vlori corrispondenti l 29 febbrio di nni bisestili. L routine lpm permette l osservzione grfic degli ndmenti delle componenti stgionli di medi e scrto qudrtico medio, tli componenti dovrnno essere rimosse per rendere l serie qunto più possibile stzionri e quindi idone d essere rppresentt con un modello linere. Per l destgionlizzzione delle serie è implementto nell stess routine il codice di clcolo STL (Sesonl trend decomposition bsed on Loess) il qule permette di interpolre le componenti stgionli ffinché le rimozione si limitt lle sole componenti periodiche deterministiche trscurndo le componenti di disturbo intorno d esse. Incrementndo il vlore delle vribili smen, svr si ottiene un progressiv regolrizzzione dei rispettivi ndmenti (figure 2,3,4). Figur 2. Schermt di ppliczione dell routine lpm con finestr di interpolzione di 8 unità.

5 Figur 3. Schermt di ppliczione dell routine lpm con finestr di interpolzione di 20 unità. L obiettivo è quello di definire delle finestre di smoothing tli d rendere tli ndmenti qunto più possibile regolri cercndo di evitre che un interpolzione troppo robust poss ridurre sensibilmente nche le componenti deterministiche. Nel cso in esme sembr opportuno utilizzre un finestr di 90 unità per entrmbe le componenti; inftti come si può notre dll figur 4 i rispettivi ndmenti risultno degutmente depurti delle componenti di disturbo.

6 Figur 4. Schermt di ppliczione dell routine lpm con finestr di interpolzione di 30 unità Scelt del modello ottimo L scelt del modello ARMA(p,q) più dtto rppresentre le crtteristiche dell serie viene effettut nlizzndo i vlori dell indice di selezione utomtic BIC (Byesin Informtion Criterion) reltivo tutti quei modelli che superno il Test di Portmnteu il cui coefficiente di significtività è definibile ttrverso l vribile lsign; nel cso di serie idrologiche è sufficiente un vlore pri 0.05 (5%). Il test risult positivo se il vlore dell sttistic di Portmnteu Q risult minore del corrispondente quntile di un vribile χ 2 con h-(p+q) grdi di libertà essendo h (Plg) l intervllo con cui si intende pplicre il test (defult Plg=20). Un indice BIC minore suggerisce un mggiore predisposizione dell serie osservt d essere rppresentt dl modello in esme. A questo punto occorre fissre i corrispondenti vlori di sogli p mx e q mx e effetture l stim dei coefficienti di ciscun modello ARMA(p,q) con p [ 0, p ] e q [ 0, q ] mx mx. Nel disply di uscit

7 vengono inoltre visulizzti gli intervlli di confidenz di ciscun coefficiente AR e MA reltivo d un probbilità del 95%, gendo sull vribile prob è possibile modificre tle vlore. Nell esempio si decide di scegliere p = mx 4 e q = 2 mx, il risultto è visibile in figur 5 con rissunto in tbell 1 Figur 5. Schermt reltiv ll scelt del modello ottimo

8 Tbell 1. Risultti delle stime di modelli ARMA ARMA(p,q) BIC Test Portmnteu Q χ 2 1, , , , , , , , , , , , Tutti i modelli stimti superno il Test di Portmnteu, il modello ottimo, cioè con indice BIC minore, risult il modello ARMA(1,0). Nturlmente nessuno degli indici di selezione utomtic è ffidbile in mnier ssolut, l procedur più indict in questi csi è quell di selezionre 2 o 3 modelli con indice minore e confrontre i prmetri sttistici (medi, vrinz, simmetri, curtosi, cf..) delle serie simulte corrispondenti con quelli delle serie storiche. In questo modo si può osservre in mnier dirett l vlidità di ciscun modello utilizzto per l simulzione 2.3. Simulzione In LPM dt l non normlità delle serie idrologiche, l fse di simulzione viene opert con un semplice permutzione temporle dell serie dei residui t indicndo nell vribile nsim il numero di serie che si vuole simulre con l stess numerosità del cmpione osservto. Nel nostro cso si sceglie di simulre 50 serie sintetiche utilizzndo il modello ottimo ARMA(1,0); il risultto è visibile in figur 6

9 Figur 6. Schermt reltiv ll simulzione di un serie di precipitzione Come si può notre l serie simult present numerosi vlori negtivi, i fini idrologici è un condizione ssolutmente inccettbile. Per superre l ostcolo occorre pplicre un procedur correttiv ( studit per serie di precipitzioni giornliere) l qule si propone di effetture due operzioni: - imposizione dell stess percentule di giorni di non pioggi dell serie storic - imposizione dello stesso volume di pioggi precipitto nell serie storic e quindi ripristinre le reli crtteristiche di un serie di precipitzioni; per ttivre tle procedur in LPM è sufficiente gire sull vribile logic rin, imponendo rin=t (figur 7).

10 Figur 7. Schermt reltiv ll simulzione di un serie di precipitzione con l ppliczione dell procedur correttiv 3. Rppresentzione di un serie univrit trmite un modello FARIMA L ppliczione di un modello FARIMA (Frctionl ARIMA) in ppliczioni idrologiche è necessrio in quei csi in cui l serie storic viene d essere crtterizzt d un spicct dipendenz nche tr elementi reltivmente distnti nel tempo ( lung memori). Il generico modello FARIMA(p,d,q) è definito dll seguente espressione in cui φ ( = θ d B ) xt ( B) d : opertore differenz =(1-B) d t

11 Anche in questo cso l funzione d utilizzre è lpm con l ulteriore istruzione frctionl=t nel conto delle vribili per stbilire che si trtt di un modello frzionrio. Serie lung memori possono essere d esempio quelle reltive portte fluvili scl di ggregzione giornlier, qui viene preso in considerzione un cmpione di vlori registrti nell stzione idrometric di Ripett sul Tevere. Il cmpione consiste in vlori pri 64 nni di osservzioni nche in questo cso depurte del 29 febbrio. Rispetto l cso precedente, oltre ll nlisi delle componenti stgionli viene pplict preveventivmente un trsformzione logritmic ll serie storic (imponendo trsfo=t) Figur 8. Schermt reltive ll nlisi preliminre dell serie storic l qule consente di evitre l generzione di vlori negtivi in simulzione dopo l trsformzione invers; tuttvi in molti csi tle trsformzione provoc delle spordiche impennte di vlori (specilmente qundo l serie osservt present un vrinz elevt) che possono rendere l serie inutilizzbile. In questo cso si decide di utilizzre un finestr di interpolzione pri 60 unità per entrmbe le componenti stgionli (figur 8)

12 Osservndo i risultti delle stime reltive ll fse di modellzione (figur 9) si può notre che nessuno dei modelli super il Test di Portmnteu (con memori h pri 100 unità, Plg=100) m nonostnte l condizione si decide di proseguire nei pssggi; il modello più idoneo in questo cso risult il FARIMA(4,0.478,2) (tbell 2). Figur 9. Schermt reltiv ll scelt del modello ottimo

13 Tbell 2. Risultti delle stime di modelli FARIMA FARMA(p,d,q) BIC Test Portmnteu Plg=100 Q χ 2 1,0.467, ,0.488, ,0.486, ,0.490, ,0.473, ,0.480, ,0.484, ,0.483, ,0.4873, ,0.486, ,0.491, ,0.478, Un esempio di simulzione è rppresentto in figur 10. Figur 10. Schermt reltiv ll simulzione di un serie di portte

14 4. Rppresentzione di un serie multivrit trmite un modello VAR Il modello multivrito utoregressivo VAR(p) oltre lle qulità già descritte nel primo prgrfo per il cso univrito permette inoltre di determinre coefficienti di dipendenz tr vribili tr loro distinte unite in un unic vribile vettorile. In prtic è possibile stbilire eventuli legmi tr serie di pioggi registrte in pluviometri tr loro contigui o nche tr serie di pioggi e serie di temperture pprtenenti stzioni di misur loclizzte in un re reltivmente limitt. Il generico modello VAR(p) è definito dll seguente relzione y + u t = ν + A1 yt 1 + A2 yt Ap yt p t essendo y y, y,..., y } vettore k-dimensionle { t = 1 t 2t kt ν = { ν 1, ν 2,..., ν } k vettore costnte (intercett) u = { 1, 2,..., } t u t u t ukt vettore di vribili csuli (vector white noise) A i i11 = i 21 i i2k i 1,2,..., p ik1 i12... ik 2... i1k... ikk = mtrici dei coefficienti utoregressivi (AR) In LPM l ppliczione di un modello VAR(p) viene effettuto ttrverso l funzione mlpm l cui sintssi è osservbile con l istruzione help(mlpm) (figur 11)

15 Figur 11. Schermt di help dell funzione mlpm In tle routine sono implementti lcuni tr i metodi di stim più comuni : metodo di Yule-Wlker, lgoritmo di Burg, metodo OLS (Ordinry Lest Squres) quest ultimo con l possibilità di selezionre i prmetri più significtivi e fissre tutti gli ltri zero (metodo EGLS, Estimted Generlized Lest Squres) defininendo così il modello SVAR (Subset VAR). Il metodo di stim può essere definito gendo sull vribile estimte. L metodologi di selezione dei prmetri è bst sul coefficiente t-rtio definito dl primo membro dell disequzione (); un volt stbilito priori un vlore di sogli k, secondo tle metodo vengono considerti non significtivi tutti quei prmetri in cui si h ijk scrto ( ) ijk < k

16 in cui k rppresent il quntile di un distribuzione t-student n-p*-1 grdi di libertà essendo n l numerosità del cmpione e p* il numero totle dei prmetri, l probbilità reltiv tle distribuzione viene ssegnt con l vribile prob. In definitiv l funzione mlpm permette l memorizzzione dei seguenti dti in uscit: <object>$coeff <object>$coeffstd <object>$struct <object>$pacrx <object>$ccrx <object>$ccrres List delle mtrici A i stimte List delle mtrici degli scrti dei prmetri stimti Struttur delle mtrici dei coefficienti selezionti (modello SVAR) Coefficienti di Correlzione przile dell serie storic Coefficienti di Correlzione dell serie storic Coefficienti di Correlzione dell serie sdei residui <object>$ccrsim1 Coefficienti di Correlzione dell serie simult n 1 <object>$pacrsim1 Coefficienti di Correlzione przile dell serie simult n 1 <object>$fit <object>$ic <object>$qst <object>$sim Prmetri vri di ingresso e di uscit dll fse di stim Vlore dell indice AIC Vlore dell Sttistic di Portmnteu List delle serie simulte In disply si h invece : - Risultto del Test di Portmnteu multivrito : vlore dell sttistic Q e dell vribile χ 2 - Indici AIC e SBC - Numero di prmetri stimti in seguito ll procedur di selezione. È inoltre possibile l visulizzzione dei seguenti grfici (plot=t): - Funzioni di correlzione przile delle serie storiche - Funzioni di correlzione delle serie storiche - Funzioni di correlzione delle serie dei residui - Funzioni di correlzione di un serie simult - Funzioni di correlzione przile di un serie simult

17 Come esempio si utilizz un cmpione multivrito di 4 serie di precipitzioni registrte presso stzioni pluviometriche in Sicili. In questo cso l rimozione delle componenti stgionli delle serie viene effettut utilizzndo le medesime finestre di interpolzione per ciscun di esse,l routine mlpm non dispone del supporto grfico come nel cso univrito,tuttvi l nlisi dell ndmento dell sttistic di Portmnteu Q e degli indici AIC e SBC l vrire dei coefficienti di interpolzione permettono di cpire se uno smoothing troppo robusto st rendendo il sistem destgionlizzto poco idoneo ll modellzione utoregressiv. Figur 12. Schermt reltiv ll nlisi degli ndmenti di Q, e indici AIC, SBC. In figur 12 si può notre come per un modello VAR(1) l sttistic di Portmnteu diminuisc progressivmente umentndo l finestr di interpolzione d unità fino 35 dove invece ument; per l modellzione si decide quindi di utilizzre un finestr di interpolzione di 33 unità. Per l stim di un generico modello pieno VAR(p) è necessrio fissre over=f. Tr i modelli

18 stimti si osserv l positività del Test. P prtire dl VAR(11) che risult nche essere il modello ottimo (figur 13). Figur 13. Schermt reltiv ll scelt del modello ottimo In figur 14 è rppresentt l stim OLS delle mtrici AR del modello VAR(11) tle procedur in questo cso consiste nel clcolo di 176 prmetri totli (11*4 2 ),

19 Figur 14. Schermt di visulizzzione delle prime 4 mtrici stimte di un VAR(11) Per testimonire l potenzilità dell modellzione seleziont SVAR(p) si decide inoltre di pplicre l procedur di selezione (over=t in defult) utilizzndo per k un probbilità del 80 %, il numero dei prmetri stimti con il metodo EGLS si riduce 57, tutti gli ltri sono considerti non significtivi e quindi vengono fissti zero (figur 15)

20 Figur 15. Schermt di visulizzzione delle prime 4 mtrici stimte di un SVAR(11) Il Test. P e gli indici AIC e SBC confortno nell scelt pres. Si può pssre ll simulzione delle serie con un SVAR(11), l funzione mlpm pplic utomticmente l procedur correttiv (rin=t in defult) ciscun delle serie simulte (figur 16)

21 Figur 16. Schermt reltiv ll simulzione di un sistem di serie di precipitzioni. Si vuole inoltre puntulizzre che se il sistem in esme non comprende solo serie di precipitzioni giornliere è necessrio modificre l procedur di simulzione imponendo dpprim rin=f nel conto delle vribili e successivmente pplicndo l routine rin.dpt (sintssi in figur 17)

22 Figur 17. Schermt di help dell funzione rin.dpt su ciscun delle serie di pioggi simulte per fr si che l procedur correttiv si limitt lle sole serie di precipitzioni.