Soluzioni dei Problemi di controllo

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1 Soluioni i roblmi i ontrollo Si v raliar un sistma i ontrollo i tipo on transitorio h si annulli in tmpo finito minimo Dato h la ha già un polo in non è nssario introurn altri pr mo l ontrollor G r ottnr un sistma a ilo hiuso on tmpo i risposta finito, i poli lla funion i trasfrimnto a ilo hiuso G W vono ssr olloati tutti nll'origin, ioè bisogna G imporr h n n δ W ov l'intro n v ssr il più piolo possibil A tal sopo la G v anllar tutti i poli gli ri i intrni al rhio i raggio unitario v moifiar i offiinti l polinomio W in moo h sso abbia tutt l raii nll'origin n bas al primo rquisito la slta iniial pr G è la sgunt G 5 h prmtt i anllar il polo in lo ro in 5 lla Tuttavia tal G non rius a spostar tutti i poli l polinomio W nll'origin r soisfar il sono rquisito quini si v gnraliar la G Qusto può ssr fatto pr tntativi, iniiano a aggiungr a nominator un polinomio l primo n orin β β vrifiar s si ris a imporr W δ ; si vrifihrà subito h tal slta è insuffiint pr ui si prosguirà ompliano anora la G aggiungno un polinomio l primo orin α a numrator, ottnno α α α G 5 β β a ui α α G β β offiinti α, α, β, β vanno alolati imponno h l raii l polinomio W, lla funion i trasfrimnto l sistma a ilo hiuso, abbia tutt l raii nll'origin Si ottin a ui quini W α δ α β β β β δ β β α β β α β δ, β β, α β β, α β Si può sglir δ, i onsguna si ha

2 β, β, α, α l ontrollor h soisfa tutti i rquisiti rihisti è quini il sgunt G 5 Com si v sso introu un ultrior polo in nl ramo irtto, pr ui il sistma a ilo hiuso risultrà ssr i tipo Qusto garantis h l'rror i lungo prioo in risposta a obittivi a rampa è nullo La soluion i qusto problma può anh ssr ottnuta appliano la proura iniata nl paragrafo 9 in ui G sono rapprsntat nl sgunt moo ' " n n ' ' " ng ng G G ', " " G G " Si ottin subito h,, n G G " 5 noltr v ssr G ' a ui si riava n G α α ' a ui G β β γ ' ' n γ G G ' " max{ γ γ n,} γ, min G Si è quini ottnuta irttamnt la G prntmnt ostruita pr tntativi offiinti α, α, β, β vanno alolati om prima, imponno h l raii l polinomio W siano tutt nll'origin Dall'quaion all iffrn si v riavar la funion i trasfrimnto l prosso Qusto si ottin failmnt sguno la trasformata ta i ambo i mmbri, riorano h si vono onsirar oniioni iniiali null Si ottin Y 5 U a ui Y U 5 onno quini G, il polinomio a nominator lla funion i trasfrimnto a ilo hiuso ivnta W, 5 5

3 L raii i qusto polinomio al variar l paramtro possono stuiarsi miant il luogo ll raii La iffrna poli/ri è n m, pr ui u rami l luogo 5 anranno nl punto all'infinito on asintoti il ui ntro è 5 L'anamnto qualitativo l luogo è il sgunt Com si v pr il luogo ngativo LN l raii non sono mai tutt all'intrno l rhio i raggio unitario; in partiolar l u raii h tnono all'infinito sono smpr strn a sso r il luogo positivo inv si nota h è possibil h l raii possano ssr tutt ontmporanamnt intrn al rhio i raggio unitario: infatti la rai in, all'aumntar i, si muov lungo l'ass ral ntra nl rhio in orrisponna a Contmporanamnt l altr u raii si muovono all'intrno l rhio lungo l'ass ral fino a inontrarsi nl punto singolar, poi ivntano omplss oniugat sono al rhio pr poi tnr all'infinito sono i u asintoti vrtiali on ntro in -5 Si v vrifiar h quano la prima rai è in l altr u non siano già usit al rhio A tal sopo aloliamo il valor i pr ui una rai è in W 5 5, a ui si ha 4 Ora, pr trminar l altr u raii in orrisponna i qusto valor i, ossrviamo h il polinomio W, ha la sgunt struttura W 4 5 α α, α a ui, uguagliano i offiinti ll potn llo stsso orin, si ha W,4

4 Quano la prima rai ntra nl rhio i raggio unitario l altr u valgono i ± pr ui sono già usit al rhio Di onsguna non sistono ontrollori proporionali h assiurino stabilità asintotia l sistma a ilo hiuso 4 L'rror in risposta a * Y è ato a * * * Y n Y Y W E Dato h pr i ampioni ll'rror sono nulli si ha h n E on n γ Uguagliano l u sprssioni si ottin n n n n Ora, nl nominator l trmin a stra i sono solo raii nll'origin, pr ui il trmin nl nominator a sinistra v pr fora ssr anllato al

5 ' numrator Si ha quini h Dato h vin rihisto il minimo tmpo finito i risposta sappiamo h la G v anllar tutti i poli gli ri i h sono intrni al rhio i raggio unitario α G β 5 β, tnno onto h v anh assgnar la rai al nominator i, può ssr ultriormnt spifiata nl moo sgunt β Da qusta si ottin G α 5 β β G Dalla rlaion prntmnt trovata n α β β n si ha α β β β β n Uguagliano i nominatori si v h v ssr pr ui il tmpo finito minimo è pari a 4 oi sgu h α β β α β β a ui si ottin h β, β /, α 4 / quini 4 5 G noltr si ottin h n /, pr ui risulta / / E

6 / Si aotta il sgunt shma y * G G y - on G 5 si ha G 5, si ottin stabilità asintotia pr { 6 } { > /} Con < 6 G, La snsibilità non ipn all ntità lla variaion i è pari a S 7, q, G 5 q W y u u, y y, y /, y, si può riptr la sintsi l aso prnt ma il tmpo finito minimo i risposta sarà più lungo i un passo prhé non si può anllar la rai q r q 5, 4

7 8 9 G,, > 9 / o < / y y u 5u 5u y, y, y 6, y 8, y4 54

8 y * G G y G, G 5

9 rima soluion: G, l'rror è nullo inipnntmnt all variaioni i p, prhè il sistma a ilo hiuso è i tipo l paramtro va slto in moo a avr stabilità asintotia l sistma a ilo hiuso Sona soluion: G, pr la stabilità asintotia 9 < < 9 mntr pr la spifia sulla snsibilità < Quini 67 < < 9 4 5, 5 r si ha stabilità asintotia pr, 8

10 5, > < β α Con β α, nll'insim ammissibil 5 G β α 4 G 6 Appliano Shur-Cohn si ottngono l sgunti isguaglian pr i paramtri l ontrollor 4 > > > > 4 < < < <

11 L rror è pari a K a on K, a ui S S L rror è a insnsibil all variaioni i prhé è inipnnt a sso nv l variaioni rlativ i sono i sgno opposto a qull i pr ui s a smpio aumnta l %, si ha una variaion rlativa i pari a a ui, pr ui 7 assum il valor 9, iminuis priò l % 8 G G, non sistono ontrollori intgrali h rnano il sistma a ilo hiuso asintotiamnt stabil G, sistma il a ilo hiuso è asintotiamnt stabil s, sistma il a ilo hiuso è asintotiamnt stabil pr, sono soisfatt l sgunti isguaglian > > < 4 il ontrollor h assgna il tmpo finito i risposta è ato a

12 9 a 5 %, 5% b %, % l ontrollor α G α α rn il sistma a ilo hiuso astatio β β risptto a isturbi i attuaion ostanti sglino i sgunti valori i paramtri α, α, α, β, β, assgna il tmpo i risposta finito L'insim ammissibil pr i paramtri è finito all sgunti isquaioni α > α β > α > α < α β < α < α α α r α, β nll'insim ammissibil G ; α β i valori α, α, α si ottngono olloano tutti i poli nll'origin 4

13 5 G 4 Non si hanno intrvalli i stabilità asintotia prima soluion: G, smpli ma pr rispttar il vinolo sulla snsibilità potrbb srvir un valor troppo alto i, tal a non garantir la stabilità asintotia Sona soluion: G, l'rror è nullo inipnntmnt a p pr ui la snsibilità è ro; si ha un ontrollor un pò più omplsso l prnt 4 r 8 il sistma a ilo hiuso ha u poli i moltpliità in ± 6i Si ha stabilità asintotia pr p 84, 5 L'insim ammissibil pr i paramtri l ontrollor è finito all sgunti isquaioni

14 > 5 p 5 p > < 5 p > 5 p > 5 > < < < 5 < G p G, assgna tutti i poli nll'origin, G 5 5 G Dall anamnto l luogo si v h sist un intrvallo i stabilità asintotia a avallo ll origin, intrvallo l tipo i qullo iniato nl tsto Controllo a invrsion, G, G

15 G δ max, l sistma a ilo hiuso ha tmpo i risposta finito quini margin i stabilità massimo, pr variaioni l paramtro simmtrih risptto al valor L'insim ammissibil i paramtri è finito all sgunti isquaioni a > a b > a b > a < a b < a b < a > 4 a G,,

16 5 b G 5 5 G α 7 L'insim ammissibil i paramtri è finito all sgunti isquaioni

17 > < 8 a / b l'insim ammissibil i paramtri è finito all sgunti isquaioni 6β α > 6 4β α > 4 6β α > 4,5 9 u, u, u 9 4 L'insim ammissibil i paramtri è finito all sgunti isquaioni

18 5 5 > > > > 5 5 < < < < 4, 4 8,8 4 G 4 5

19 4 8, 44 a S p, b, < o > 45 a G ; ; -/5 ; /5 ; 4 -/5 ; 5-4/5 ; b G 45 58

20 46 a 5,, b m M M 47 4, 79, 48 L'insim ammissibil i paramtri è finito all sgunti isguaglian 4 / < a < / 4 / < b < 8 / 4 / < < / 49 a ossrvator intità on G b E

21 5 T C, C y, 5 a ossrvator riotto on T, E 4 b ossrvator riotto l punto prnt on E 8 5 ossrvator riotto on T, E * 5 a u y y 4 b σ 4 y" 54 a b 5 5 * u y σ σ y" 55 a 5 * u y y 9 b σ y" 9 56 a * u y b σ σ 5 y "