MATLAB-SIMULINK. Simulink. Ing. Alessandro Pisano.

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1 MALAB-SIMULINK Simulink Ing. Alessandro Pisano

2 Indice Inroduzione Librerie e blocchi elemenari () Realizzazione di un modello Esempio: cosruzione e visualizzazione di una sinusoide Scela del soluore Modifica delle imposazioni predefinie Uilizzo di variabili dal workspace Librerie e blocchi elemenari () Esporazione dai verso il Workspace e su file eserno Esempio: filro passa basso Inegraore Esecuzione auomaizzaa di es Analisi sperali (FF) Filraggio digiale Esempio: sisema ermico ad e gradi di liberà Uilizzo di blocchi rasnfer funcion Esempio: Simulazione di un sisema di regolazione di emperaura Creazione di soosisemi Mask Esempio Disribuzione di emperaura nel roore di una urbina Realizzazione di sisemi MIMO LI Variabili popup e checkbox Esempio: sisema di frenaura con ABS Embedded Malab Funcion oolbox avanzai. SimMechanics e SimDriveline

3 3 Finesra di avvio (v. 7.8.) Edior M-files Avvio SIMULINK Carella correne

4 4 Programmazione dei modelli di simulazione per via grafica

5 5 Possibilià di suddividere il modello complessivo in soosisemi paralleli o embricai (un soosisema può essere imporao direamene in un modello di simulazione differene) Possibilià di definire finesre di paramerizzazione (Masks) Esporazione nel workspace Malab dei risulai della simulazione Esecuzione auomaizzaa di es oolbox avanzai: SimDriveline e SimMechanics

6 6 Avvio SIMULINK New Librerie principali

7 7 Libreria Commonly used blocks

8 8 Libreria Sinks Libreria Sources

9 9 Realizzazione di un modello Simulink Pagina di lavoro

10 Realizzazione di un modello Simulink 3 fasi. Imporare nella pagina di lavoro i blocchi elemenari Simulink necessari, rascinandoli con il mouse dalla rispeiva libreria (drag-and-drop). Paramerizzare i blocchi Simulink nelle rispeive finesre di paramerizzazione, alle quali si accede dalla pagina di lavoro facendo doppio click con il mouse sopra il blocco sesso. 3. Collegare ra loro i blocchi Simulink racciando le opporune linee di inerconnessione in modo da realizzare le funzionalià desiderae

11 Esempio inroduivo: cosruzione e visualizzazione di un segnale sinusoidale Sono sufficieni due blocchi elemenari: un blocco che generi il segnale desiderao, ed un blocco che ne permea la visualizzazione. Il primo blocco lo roveremo nella libreria Sources (blocco Sine Wave), Il secondo blocco (blocco Scope), si rova nella libreria Sinks. I blocchi necessari vanno imporai nella pagina di lavoro Uniled rascinando con il mouse (drag-and-drop) l icona del blocco all inerno della pagina di lavoro. Il risulao di ale procedura è mosrao in Figura. Salvare il modello e aribuire un nome al file con esensione.mdl

12 Si deve ora collegare l uscia del generaore di funzione Sine Wave con l ingresso del blocco di visualizzazione Scope. Per effeuare un collegameno ra due blocchi vi è una procedura rapida. Si deve selezionare il blocco di origine (cliccandovi sopra), e si deve successivamene selezionare il blocco di desinazione con il aso crl premuo. Un collegameno correamene eseguio viene indicao come in Figura In alernaiva, si può porare la freccia del mouse nel puno di origine del collegameno e quindi racciarlo enendo premuo il aso sinisro del mouse, porandosi fino al puno di desinazione.

13 3 Devono ora essere imposai i parameri di ampiezza, frequenza e sfasameno che definiscono la paricolare sinusoide che si desidera generare. A al fine è necessario fare doppio click sul blocco Sine Wave, e come risulao si apre una finesra di dialogo all inerno della quale vanno imposai i parameri di funzionameno. Ampiezza Bias Frequenza Sfasameno aso OK

14 4 Si deve ora imposare la duraa (cioè l inervallo emporale) della simulazione. La duraa si può imposare direamene dai menù della pagina di lavoro aso RUN Duraa (valore di defaul.) Cliccando sul aso RUN viene eseguia la simulazione. Dopo che è saa eseguia la simulazione si può visualizzare il segnale generao cliccando sul blocco Scope.

15 5 Ora si aumeni la frequenza della sinusoide da rad/s a rad/s Si ripea la simulazione. Si ri-aggiorni il grafico della finesra grafica Scope cliccando sul pulsane nella barra dei menu della finesra Scope Grafico spigoloso Si deve andare a modificare il meodo di inegrazione, che definisce il passo di discreizzazione emporale che viene impiegao nella simulazione del modello.

16 6 Il meodo di inegrazione (Solver) si imposa selezionando il menu della pagina di configurazione Simulaion->Configuraion Parameers

17 7 La scela del soluore con il quale di risolvono numericamene le equazioni differenziali del modello è ovviamene irrilevane per il semplice esempio in esame che non coinvolge alcun legame differenziale. Il moivo della spigolosià del grafico sa nel fao che il meodo proposo di defaul (ode45 a passo variabile) ha scelo dei passi di discreizzazione emporale piuoso elevai, e sono sai quindi generai pochi campioni del segnale In modelli di simulazione complessi, la scela del soluore numerico (Runge-Kua, Dormand-Prince, Eulero, ) e delle relaive caraerisiche (passo fisso/variabile, ec) va faa con crierio.

18 8 Runge-Kua e Dormand-Prince sono degli oimi soluori general-purpose. Per simulazioni muli-domain con la copresenza di cosani di empo molo differeni ra loro sono consigliai i meodi a passo variabile dedicai ai problemi Siff (es. ode5s/siff). Per simulazioni con elemeni disconinui (non-smooh dynamics) i meodi a passo variabile alvola forniscono rispose non veriiere. Il soluore Eulero a passo fisso, con un passo sufficienemene piccolo, è rienuo affidabile per sisemi nonsmooh. Si scelga il soluore ode (Eulero) a passo fisso, e se ne imposi il Fixed-Sep size a.

19 9 Considerazioni aggiunive Una scela oimale per il soluore bilancia, per il problema in esame, la precisione della soluzione e la mole di calcoli richiesa, che influenza il empo di simulazione. Per idenificare un soluore adeguao serve esperienza. Il passo di campionameno deve essere commisurao alla rapidià di variazione dei segnali in gioco. Quando si sceglie un soluore a passo variabile si può pensare di inrodurre un limie massimo per il passo adaaivo. Quando il modello non coniene sai coninui (non vi sono cioe blocchi dinamici come Inegraori, blocchi ransfer Fcn, ec.) Simulink usa il soluore discree anche se viene specificao un soluore differene,.

20 Modifica delle imposazione predefinie per i files Simulink all aperura

21 Modificare le Solver Opions come in figura

22 Modificare le Daa Impor/Expor Opions come in figura

23 3 Si ripea la simulazione e si riaggiorni il grafico Il grafico della sinusoide è ora correamene rappresenao. In base alla scela faa per il passo fisso del soluore, vengono ora generai, e inerpolai dal grafico, campioni per ogni secondo di evoluzione del segnale. La sinusoide viene però mosraa a parire dall isane =5. Sono sai persi i campioni precedeni. Il moivo è che, al fine di non saurare rapidamene la memoria del programma, vige in Simulink una imposazione di defaul in base alla quale nei blocchi di ipo Scope vengono visualizzai e manenui in memoria solo gli ulimi 5 campioni del segnale.

24 4 Per modificare ale imposazione per uno specifico blocco si deve cliccare sul pulsane Parameers nella finesra del blocco Scope La finesra Scope Parameers ha due soomenu: General e Daa Hisory. Dal soomenu Daa Hisory si deve disselezionare la check-box Limi daa poins o las..

25 5 Ora ripeendo la simulazione e riaggiornando il grafico visualizzaa per inero la sinusoide viene Per visualizzare un segnale cosiuio dalla somma di re sinusoidi imporiamo nella pagina di lavoro due nuove isanze del blocco elemenare Sine Wave, ed imporiamo anche un blocco che rappreseni un nodo sommaore (blocco Sum dalla libreria dei Commonly Used Blocks)

26 6 Il blocco Sum deve essere preliminarmene paramerizzao specificando il numero di segnali in ingresso, ed il segno con il quale concorrono alla sommaoria, per mezzo di una sringa (es ) Scegliamo +++ L aspeo del blocco divena Dopo aver cancellao la linea di collegameno preesisene ra il primo blocco Sine Wave ed il blocco Scope, si realizzi la connessione riporaa in Figura.

27 7 Ora si possono assegnare i parameri di ampiezza, frequenza, bias e sfasameno, delle re sinusoidi, rieseguire la simulazione e visualizzare il grafico prodoo dal blocco Scope. ue le variabili definie nel workspace di Malab sono disponibili e accessibili da pare dei blocchi Simulink. I parameri di un modello possono essere espressi uilizzando delle variabili (es. A,f,b, ) alle quali si può assegnare un valore con un file scrip Malab da eseguirsi prima della esecuzione della simulazione. A=; f=; b=5; phi=; A=4; f=pi; b=; phi=pi/; A3=; f3=4*pi; b3=; phi3=; Il modello può essere in queso modo riparamerizzao con esrema facilià.

28 8 Libreria Coninuous Libreria Disconinuiies Libreria Discree

29 9 Libreria Lookup ables Libreria Mah operaions

30 3 Libreria Model Verificaion Libreria Signal rouing

31 3 Vediamo come esporare in Malab i dai prodoi eseguendo i Simulink. modelli Serve il blocco o Workspace dalla libreria Sinks Il blocco o Workspace riceve in ingresso il segnale (scalare o veoriale) che salva nel workspace. Il blocco si inerconnee agli alri come in Figura. Per racciare un collegameno a parire da un collegameno preesisene si deve porare il mouse nel puno di diramazione, premere il aso desro, e poi allonanarsi e racciare il collegameno enendo il aso desro premuo, fino a giungere al puno di desinazione del collegameno

32 3 Il blocco o Workspace va paramerizzao specificando il nome della variabile che verrà creaa nel workspace di Malab (scegliere y) ed il formao di salvaaggio (è opporuno modificare il formao di defaul Srucure e selezionare invece Array). Per oimizzare l impiego della memoria del programma si può anche imposare un faore inero di decimazione (es. con decimaion = i dai vengono salvai nel workspace con uno sep emporale vole superiore, quindi si avranno meno elemeni nel veore y). Si manenga il valore uniario di defaul. Il veore dei empi viene salvao di defaul soo forma di array con il nome ou. Bisogna però disabiliare una imposazione che limia a il numero massimo di elemeni per ou. Si deve andare ne Simulaion- >Configuraion Parameers, e nel menu Daa Impor/Expor disselezionare la check-box Limi Daa Poins o Las

33 33 Lanciando la simulazione vengono creai nel workspace di Malab gli array y e ou. Verificarlo digiando il comando whos Si può visualizzare in Malab il grafico del segnale con il comando plo(ou,y),grid

34 34 Esporazione su file dei dai prodoi da modelli Simulink. Se si desidera che i dai siano non solo esporai nel workspace di Malab ma anche salvai in modo permanene su un file, si può generare un file dai nel formao binario.ma con il blocco o File, dalla libreria Sinks I files con esensione ma sono dei ma-files. Il blocco deve essere paramerizzao specificando nella apposia finesra di configurazione: -Il nome (comprensivo dell esensione) del ma-file che verrà creao (es. y_es.ma). -Il nome che verrà assegnao alla variabile quando il ma-file sarà successivamene apero in Malab (scegliere y) E possibile imposare una decimazione dei dai. Se si sceglie una Decimaion > è bene generare anche un veore dei empi sincrono con la variabile soocampionaa

35 35 Lanciare la simulazione, e verificare come nella carella di lavoro sia ora presene il file y_es.ma Possono essere esporai segnali veoriali. Per mezzo del blocco Mux (libreria Commonly Used Blocks) si possono aggregare i re segnali sinusoidali in un unico segnale veoriale con re componeni.

36 36 La sruura inerna dei ma-files prevede la memorizzazione dei dai in una sruura reangolare N m m m m N N N N y y y y y y y y y y y y I ma-files possono essere aperi successivamene in Malab con il comando load. >> load y_es Viene generaa nel workspace di Malab una variabile mariciale avene il nome specificao nella finesra di configurazione del blocco o File e la sruura reangolare riporaa sopra.

37 37 Filro passabasso Consideriamo un filro passa-basso RC V in + V ou Equazione differenziale RC V ou V V ou in Equazione differenziale espliciaa rispeo alla derivaa di ordine più elevao V ou V in Vou RC Posso realizzare uno schema di simulazione uilizzando un blocco Inegraor, un blocco Sum e un blocco Gain, olre che ovviamene un generaore di segnale per cosruire la ensione di ingresso ed un blocco Scope per visualizzare la ensione di uscia.

38 38 Modello Simulink. Grazie al blocco Mux è possibile visualizzare i segnali Vin e Vou nel medesimo blocco Scope. Inseriamo anche un blocco o Workspace (nome variabile vou, ipo array) V ou V V RC in ou Assegniamo un valore ai parameri scrivendo un semplice scrip R=e4; % k Ohm C=e-5; % pf La cosane di empo del filro vale RC=. s

39 39 Finesra di paramerizzazione del Signal Generaor. 4 ipologie di segnali disponibili (sinusoidale, onda quadra, dene di sega, random) Il filro può essere implemenao in forma più compaa mediane un blocco ransfer Funcion RC V ou V V ou in F s V V ou in s s src Rappresenazioni equivaleni Si devono specificare i coefficieni dei polinomi a numeraore e denominaore della Fd uilizzando la noazione Malab per la rappresenazione dei polinomi src [ RC ]

40 4 Inegraore Nella finesra di paramerizzazione dell inegraore il paramero piu imporane da seare è la condizione iniziale (Iniial Condiion), che di defaul viene imposaa pari a zero Se l inegraore riceve in ingresso un segnale veoriale, genera in uscia un veore di pari dimensione che coniene l inegrale delle diverse componeni del veore di ingresso Possono essere inrodoe saurazioni inferiori e/o superiori sulle uscie dell inegraore. Può essere anche applicao un rese sull uscia del inegraore. Il rese ripora l uscia dell inegraore al valore della condizione iniziale

41 4 Inegraore con ingresso veoriale Condizioni iniziali diverse per le uscie

42 Inegraore con saurazione superiore 4

43 43 Esecuzione auomaica di es Il seguene codice lancia in sequenza due simulazioni con valori diversi dei parameri R e C, memorizza la Vou nelle due prove nei veori y ed y, e raccia dei grafici delle varie soluzioni in re finesre grafiche disine % VERIFICA CHE IL MODELLO SIA APERO, E IN CASO CONRARIO LO APRE if isempy(find_sysem('name','filropassabasso')) open_sysem('filropassabasso') end R=e4; % k Ohm C=e-5; % pf sim('filropassabasso'); y=vou; figure() plo(ou,vou) IMP. Uilizzo della funzione sim( model ) R=e4; % k Ohm C=e-5; % pf sim('filropassabasso'); y=vou; figure() plo(ou,vou) figure(3) plo(ou,y,ou,y)

44 44 Rispose in frequenza e analisi sperali Impariamo ora a visualizzare la risposa in frequenza di filri lineari, e a visualizzare lo spero di frequenza di un segnale campionao. Per il filro considerao F s V V ou in s s src RC. Le segueni isruzioni richiedono all uene l inserimeno da asiera dei parameri R e C R=inpu('Inserire il valore di R [Ohm] (valore consigliao: R=e4): \n'); C=inpu('Inserire il valore di C [Farad] (valore consigliao C=e-5): \n'); Con i valori consigliai per R e C, la pulsazione di aglio è pari a /RC = rad/sec f=.6 Hz omega_=/(r*c); disp(['la frequenza di aglio è: ', numsr(omega_/(*pi)), rad/sec']);

45 45 Posso definire in Malab un oggeo di ipo ransfer Funcion e visualizzarne quindi la sua risposa in frequenza (più precisamene: i diagrammi semilogarimici del modulo in db e della fase della Funzione di Risposa Armonica F(jw) in funzione della pulsazione w) con il comando Bode bode(f),grid; Cambiamo il valore della cosane di empo RC, e riracciamo i diagrammi

46 46 Ora riferiamoci allo schema modificao Il generaore di segnali è sosiuio da un blocco Fcn (libreria User-Defined Funcions) che riceve in ingresso il segnale prodoo dal blocco Clock (libreria Sources), cioè il empo correne. Il blocco o Workspace scrive la variabile ou, di ipo array. Il blocco Fcn puo implemenare una qualunque funzione saica, e si paramerizza compilando, nella apposia finesra di configurazione del blocco, una casella di eso in linguaggio Malab, con la variabile sandard u che denoa la variabile in ingresso al blocco Il codice A*sin(omega*u)+A*sin(omega*u) definisce un segnale somma di due sinusoidi con ampiezza e pulsazione paramerizzae dai coefficieni A, omega, A, omega. Il blocco Fcn consene di implemenare facilmene segnali con una espressione analiica anche complessa, che porebbero richiedere un elevao numero di blocchi elemenari.

47 47 Assegniamo un valore alle cosani. A=; omega=.6*(*pi); %rad/s (pari alla pulsazione di aglio) A=; omega=; Vogliamo visualizzare l ingresso e l uscia del filro, ed i relaivi speri di poenza figure() plo(ou,ou(:,),'k',ou,ou(:,),'k--'),grid, ile('segnale di ingresso V_{in} e segnale di uscia V_{ou}'), xlabel('empo [s]'), legend('v_{in}','v_{ou}') axis([ - ]) ZOOM

48 48 Si salvi nella carella di lavoro il seguene codice nel file spero.m funcion spero(,x,n) % calcolo del veore delle frequenze f=:/(lengh()):/(); f=f'; % calcolo della Fas Fourier ransform Y=ff(x); % calcolo dello densià sperale di poenza normalizzao % che permee di oenere un'ampiezza uniaria dello spero % per una sinusoide di ampiezza uniaria P=*abs(Y)/lengh(Y); % creazione grafico nella finesra n-esima figure(n), plo(f(:ceil(lengh(f)/)),p(:ceil(lengh(p)/))) xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') La funzione spero riceve come argomeni, nell ordine: il veore dei empi, il veore del segnale, ed il numero della finesra nella quale racciare il diagramma

49 49 Ora si può uilizzare la funzione spero(.) per produrre i grafici desiderai >>spero(ou,ou(:,),), axis([ 3.]) >>spero(ou,ou(:,),), axis([ 3.]) Vin Vou

50 5 Per oenere uno spero maggiormene fedele a quello, ideale, a larghezza nulla, si deve aumenare il empo di simulazione. sim= Vin Vou sim= Vin Vou

51 5 Si salvi nella carella di lavoro il seguene codice nel file spero.m funcion [freq daa]=spero(,x) % calcolo del veore delle frequenze f=:/(lengh()):/(); f=f'; % calcolo della Fas Fourier ransform Y=ff(x); % calcolo dello densià sperale di poenza normalizzao % che permee di oenere un'ampiezza uniaria dello spero % per una sinusoide di ampiezza uniaria P=*abs(Y)/lengh(Y); freq=f(:ceil(lengh(f)/)); daa=p(:ceil(lengh(p)/)); Rispeo alla funzione spero, la funzione spero non produce il grafico, ma resiuisce all eserno i due veori che consenono di produrre il grafico successivamene (ad esempio, all inerno di una sruura subpplo)

52 5 Analizziamo il seguene codice [F,X]=spero(ou,ou(:,)); figure(4), subplo(,,), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di ingresso'), xlabel( empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(,,) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.]) [F,X]=spero(ou,ou(:,)); figure(5), subplo(,,), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di uscia'), xlabel( empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(,,) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.])

53 53 L oupu del precedene codice è il seguene Concludiamo queso esempio punualizzando come il modello possa essere reso compleamene paramerizzabile e gesibile da scrip avendo cura di specificare le grandezze come la duraa della simulazione, le condizioni iniziali degli inegraori, il passo di discreizzazione, ec, per mezzo di cosani simboliche. Definiamo la variabile sim

54 54 Analizziamo il seguene codice % VERIFICA CHE IL MODELLO SIA APERO, E IN CASO CONRARIO LO APRE if isempy(find_sysem('name','filropassabasso')) open_sysem('filropassabasso') end A=; omega=.6*(*pi); A=; omega=; sim=; sim('filropassabasso'); [F,X]=spero(ou,ou(:,)); figure(6), subplo(4,,), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di ingresso'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(4,,) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.]) [F,X]=spero(ou,ou(:,)); subplo(4,,3), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di uscia'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(4,,4) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.])

55 55 Analizziamo il seguene codice (con.) A=; omega=3*(*pi); A=; omega=; sim=; sim('filropassabasso'); [F,X]=spero(ou,ou(:,)); figure(7), subplo(4,,), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di ingresso'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(4,,) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.]) [F,X]=spero(ou,ou(:,)); subplo(4,,3), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di uscia'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -.5.5]) subplo(4,,4) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.])

56 56 L oupu del precedene codice è il seguene

57 57 % VERIFICA CHE IL MODELLO SIA APERO, E IN CASO CONRARIO LO APRE if isempy(find_sysem('name','filropassabasso')) open_sysem('filropassabasso') end R=e4; % k Ohm C=e-5; % pf A=; omega=.6*(*pi); A=; omega=*(*pi); sim=; armoniche disine sim('filropassabasso'); [F,X]=spero(ou,ou(:,)); figure(8), subplo(4,,), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di ingresso'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -4 4]) subplo(4,,) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.]) [F,X]=spero(ou,ou(:,)); subplo(4,,3), plo(ou,ou(:,)),ile('segnale di uscia'), xlabel('empo[s]') grid,axis([ -4 4]) subplo(4,,4) plo(f,x),grid xlabel('frequenza [Hz]') ylabel('x(j \pi f)') ile('spero di poenza normalizzao') axis([ 5.])

58 58 L oupu del precedene codice è il seguene

59 59 Sisema massa molla smorzaore su piano inclinao * M x * b x k x F Mg sin sin F

60 6 Modello Simulink Modello Simulink compao

61 6 Razzo kz z F m( g m ( ) z ) m( ) F z. m m e m m F cos m( ) kz z F g z

62 6 Razzo kz z F m( g m ( ) z ) m( ) F. m m e m m F cos z

63 63 Ora simuliamo un sisema ermico Consideriamo un sisema ermico rappresenao da un volume V circondao da una paree e conenene un fluido q f e Sia e() [K] la emperaura eserna alla paree, f() [K] la emperaura del fluido inerno al volume, e q() [J/s] una sorgene di calore inerna al volume. Sia Cf [J/K] la capacia ermica del fluido, e sia Kie (J/K s) il coefficiene di scambio ermico ra inerno ed eserno. C f f q K ie e f

64 64 Per radurre una equazione differenziale in ermini di una combinazione ra blocchi Simulink si deve espliciare l equazione differenziale rispeo alle derivae di ordine piu elevao. K K q C C K C K q C f ie e ie f i f ie e f ie f f Con un blocco inegraore (Inegraor) e con dei blocchi Consan e Gain si può realizzare il seguene modello di simulazione che ipoizza dei valori cosani per q e e Si noi come all ingresso dell inegraore, puno cui corrisponde il segnale df/d, venga cosruia elemeno per elemeno la formula K q C f e ie f f

65 65 Per eseguire la simulazione bisogna assegnare un valore ai parameri Cf [J/K] e Kie [J/Ks], alla condizione iniziale f(), ed al valore cosane dei segnali e e q. La condizione iniziale dell inegraore si specifica nella relaiva finesra di dialogo Scrip di paramerizzazione f_zero=98.6; %[K], pari a 5 C q=; % J/s q=kw e=33.6; %[K], pari a 5 C; Cf=e3; % J/K per kg di sosanza Kie=e; % J / K s, per m^ di superficie di scambio

66 66 Si desidera visualizzare f sia in gradi Kelvin che in gradi cenigradi in finesre Scope separae. La conversione da K a C può essere realizzaa con il blocco Fcn (libreria User Defined Funcions Il blocco Fcn consene di realizzare una funzione saica ra un paramero di ingresso (scalare o veoriale) e un paramero di uscia scalare. Si deve scrivere l espressione della funzione, denoando con u (parola riservaa) la variabile in ingresso al blocco Si desidera anche modificare il profilo di q() Si può uilizzare il blocco Sep, libreria Sources q q()

67 67 Si realizzi lo schema seguene Grafico della emperaura f in gradi cenigradi

68 Esecuzione auomaica di es 68 Il seguene codice lancia in sequenza re simulazioni con valori diversi di q clear all close all clc if isempy(find_sysem('name','sis_ermico')) open_sysem('sis_ermico') end f_zero=98.6; %[K], pari a 5 C q=3; % J/s q=kw sop=; %secondi e=33.6; Cf=e3; Kie=e; %[K], pari a 3 C; % J/K per kg di sosanza % J / K s, per m^ di superficie di scambio sim('sis_ermico'); figure() plo(empo,f),grid f_3=f; q=35; sim('sis_ermico'); figure() plo(empo,f),grid f_35=f; q=4; sim('sis_ermico'); figure(3) plo(empo,f),grid f_4=f; IMP. Uilizzo della funzione sim( model ) figure(4) plo(empo,f_3,empo,f_35,empo,f_4),grid legend('q=3 kw','q=3.5kw','q=4kw')

69 69 Realizziamo lo sesso modello in maniera più compaa, uilizzando il blocco ransfer Funcion (libreria Coninuous). rasformiamo secondo Laplace l equazione differenziale sc f f s K s Qs K s sc K s Qs K s ie f f C f f ie e K s q K sc q K q K K f ie ie f e ie ie e f i ie ie e e ie i s Qs K s Noazione impropria, ma chiara f sc f K ie ie e Schema a blocchi K ie e Schema Simulink compao q() + + scf K ie f

70 7 Paramerizzazione del blocco ransfer Funcion Il blocco deve rappresenare la Funz. di rasf. F s sc f K ie Si devono specificare i coefficieni dei polinomi a numeraore e denominaore della Fd uilizzando la noazione Malab per la rappresenazione dei polinomi (un veore che coniene i coefficieni dl polinomio in ordine decrescene rispeo alle poenze di s) sc f K ie [ C K ] ie f Si può aggirare la rasformazione secondo Laplace ragionando sui coefficieni della equazione differenziali C u f f K u ie q K f ie e u [] [ C ] f Kie f

71 7 Fd del secondo ordine a a b u b u a u a [ b ] b a a

72 7 a y a y b u b u a y

73 73 Obbieivi aggiunivi Far variare nel empo la emperaura eserna ed osservare le corrispondeni fluuazioni della emperaura inerna Nell ipoesi che q() possa assumere solo due valori (il valore nullo q=, ed un valore cosane q=q* ) realizzare un sisema di conrollo ON-OFF per regolare ad un valore desiderao la emperaura del fluido inerno al volume Confronare i risulai oenui impiegando come conrollore un rele con e senza iseresi

74 74 Schema SIMULINK FILE: ermicodof_feedback.mdl f_zero=98;.6 %[K], pari a 5 C q=; % J/s e=33;.6 %[K], pari a 5 C; Cf=e3; % J/K Kie=e; % J / K s

75 75 Sisema a ciclo apero

76 76 Ampiezza iseresi = 4 C Ampiezza iseresi = C

77 77 Complichiamo il modello raiamo in maniera disina gli accumuli ermici nel volume e nella paree di conorno. Definiamo quindi un modello più complesso che mi fornisca anche l evoluzione emporale della emperaura della paree p(). p emperaura della paree q f e Cf [J/K] è la capacia ermica del gas inerno al volume Cp [J/K] è la capacia ermica del maeriale che cosiuisce la paree Kip [J/K s] è il coefficiene di scambio ermico ra l inerno del volume e la paree. Kpe [J/K s] è il coefficiene di scambio ermico ra la paree e l eserno. C f f C p p q K ip K pe p f K e p ip p f

78 78 Espliciiamo il sisema di equazioni rispeo alle derivae di ordine più elevao f p K ip q C K f C pe C p f p K ip e p C p p f f Imporiamo nella pagina di lavoro un uleriore blocco inegraore la cui uscia sarà la emperaura p della paree. Uilizziamo anche un visualizzaore a Display (libreria Sinks) Lo schema può essere realizzao come segue

79 79 Scrip di configurazione dei parameri f_zero=5+73.5; %[K], pari a 5 C p_zero=+73.5; %[K], pari a C Cf=e3; % J/K Cp=e3; % J/K Kip=e; % J/K s Kpe=e; % J/K s q=; % J/s e=+73.5 %[K], pari a C; Risulai della simulazione

80 8 Si desidera acquisire il segnale q() da un file eserno. Il segnale q() sia disponibile nella forma di un file dai di ipo ASCII File dai_problema.da La prima riga ripora i empi e la seconda ripora il valore del segnale Bisogna creare un ma-file (lo chiamiamo dai_ma.ma) che conenga ali informazioni. %clear all load dai_problema.da M=dai_problema; empi=m(,:); %non uilizzao segnale=m(,:); %non uilizzao save dai_ma M %si puo fare direamene >> save dai_ma dai_problema f_zero=98.6; %[K], pari a 5 C p_zero=+73.6; %[K], pari a C Cf=e3; % J/K Cp=e3; % J/K Kip=e; % J/K s Kpe=e; % J/K s q=; % J/s e=+73.6; %[K], pari a C;

81 8 Per imporare il segnale si può uilizzare il blocco Simulink From File, dalla libreria Sources Schema Simulink In accordo con i dai acquisii, la duraa della simulazione deve essere posa pari a.

82 8 Creazione di soosisemi Si vuole rendere più compaa la rappresenazione del modello araverso la definizione di un macroblocco come in figura q p f e p Simulink consene di definire dei macroblocchi (soosisemi) che rappresenano una paricolare inerconnessione ra alri blocchi, alla quale si accede esplorando il conenuo del soosisema.

83 83 Creazione di soosisemi Si dispongano i blocchi del modello come in figura, in modo che sia possibile racciare un reangolo nel quale enrano i segnali di inpu del soosisema e dal quale escono i segnali di oupu.

84 84 Con il mouse si deve racciare nella pagina di lavoro un reangolo come quello nella slide precedene. Poi, dal menu Edi della pagina di lavoro Simulink, si deve selezionare il comando Creae Subsysem Ridisponendo i blocchi dello schema si puo realizzare la seguene configurazione Cliccando sul blocco Subsysem si accede al suo conenuo. Si noino i blocchi In, In, Ou ed Ou

85 85 Rinominando i blocchi In, In, Ou ed Ou si può fare in modo che nelle pore di inpu e di Oupu del Subsysem compaia il nome della grandezza associaa La paramerizzazione del modello è aualmene effeuaa per mezzo del file di scrip precedenemene illusrao, che assegna una valore alle cosani simboliche usae nel modello Simulink definendo opporune variabili omologhe nel workspace di Malab. ale m-file di scrip deve sempre accompagnare il file Simulink (che ha esensione.mdl) e deve essere lanciao prima di ques ulimo Può essere conveniene disporre di una maschera di paramerizzazione inerna al modello Simulink. In queso modo ue le informazioni associae al modello sono conenue in un unico file (il file.mdl) e la riparamerizzazione del modello avviene in maniera più semplice, senza dovere ogni vola rilanciare il file scrip con esensione.m

86 86 Creazione di MASK Bisogna porarsi con il mouse sul Subsysem Camera di Combusione, premere il aso desro del mouse, e selezionare Mask Subsysem dal menu che compare

87 87 Dopo avere selezionao Mask Subsysem si deve nuovamene porarsi con il mouse sul Subsysem Camera di Combusione, premere il aso desro del mouse, e selezionare savola Edi Mask dal menu che compare. Finesra di configurazione della mask Andare nel soomenù: Parameers

88 88 Nel soomenù Parameers compleare le voci Dialog Parameers come in Figura, creando una riga per ognuno dei 6 parameri da seare. Pulsane Add Aggiunge una riga. Per ciascun paramero, olre al nome della relaiva variabile (Cf, Cp, ) si può riporare una frase descriiva che comparirà nella maschera di configurazione, che riporiamo nella slide seguene.

89 89 Maschera di paramerizzazione del Subsysem Viene visualizzaa facendo doppio click sul blocco Simulink del Soosisema E possibile inserire manualmene il valore dei parameri nelle opporune caselle di eso. I valori inserii vengono memorizzai al salvaaggio del file, e riproposi alla sua riaperura. Per accedere al conenuo del blocco mascherao premere il aso desro del mouse e poi selezionare Look Under Mask Scrip semplificao %clear all load dai_problema.da M=dai_problema; empi=m(,:); %non uilizzao segnale=m(,:); %non uilizzao save dai_ma M q=; % J/s e=+73.6; %[K], pari a C; FILE: ermico_dof_mafile_mask.mdl

90 9 Si inserisca una uleriore mask che consena l imposazione manuale di q e e FILE: ermico_dof_mafile_mask.mdl Scrip %clear all load dai_problema.da M=dai_problema; empi=m(,:); %non uilizzao segnale=m(,:); %non uilizzao save dai_ma M

91 9 Sospensioni aive Modello quarer car a due masse

92 9 Sospensioni aive Modello quarer car a due masse M b 4kg M 5kg 5 k N / m 5 k.5 N / m 3 c Ns / m

93 q i Serbaoi idraulici 93 H() a w Serbaoio a sezione cosane reangolare q u V() = volume di liquido conenuo nel serbaoio (in m 3 ) H() = livello del liquido nel serbaoio (in m) V awh q i porae volumeriche in ingresso ed in uscia dal serbaoio (in m 3 /sec) q u V q q V awh q q i u i u H aw aw q q i u q u C H

94 q i Serbaoio a sezione reangolare variabile 94 b r c w H max H q i q u porae volumeriche in ingresso ed in uscia dal serbaoio (in m3/s) q u V() = volume di liquido conenuo nel serbaoio (in m3) H() = livello del liquido nel serbaoio (in m) q i q u porae volumeriche in ingresso ed in uscia dal serbaoio (in m3/sec) Eq. di bilancio V q q q u C H i u

95 q i Serbaoio a sezione reangolare variabile 95 b q u c w H max r V r c w c H b H max r H H r b H max H V bw H H cwh max V bw H H cw H max H bw H max H cw q i q u q u C H

96 q i Serbaoi accoppiai in configurazione vericale 96 H a w H a w q q a w i u b q u qi c H bw h H c w q q i u h w H q qi C u H C q u H q u

97 Serbaoi accoppiai in configurazione orizzonale q b q c q 3 97 h H a w w H a3 w3 q q 3 a w q q H H q 3 bw H cw h q q q q C H H H sgn H C H H H sgn H3 a w q q H

98 98 Seing Up Your Compiler Before building your Embedded MALAB Funcion block, you mus se up your C compiler by running he mex -seup command, as described in he documenaion for mex in he MALAB Funcion Reference. You mus run his command even if you use he defaul C compiler ha comes wih he MALAB produc for Microsof Windows plaforms. You can also use mex o choose and configure a differen C compiler, as described in Building MEX-Files in he MALAB Exernal Inerfaces documenaion. Suppored Compilers for Simulaion Builds. o view a lis of compilers for building models conaining Embedded MALAB Funcion blocks for simulaion: Navigae o he Suppored and Compaible Compilers Web page [hp:// Selec your plaform. In he able for Simulink and relaed producs, find he compilers checked in he column iled Simulink (Embedded MALAB).

99 Esercizio 99

100 .

101 X=.; Y=.; A=; B=; C=5; D=;

102 Modello in forma mariciale x y Ax Bxy Cy Dxy q M q q M q

103 3 Funcion file M_LV.m da creare nella Curren Direcory funcion [ ou ] = M_LV( in ) global A B C D X=in(); Y=in(); ou()=a*x-b*x*y; ou()=-c*y+d*x*y; end Scrip di paramerizzazione clear all global A B C D q_zero=[..]; A=; B=; C=4; D=;

104 4 Sisema omogeneo di equazioni differenziali lineari a x a x a x x... n n a x a x a x x... a x a x a x x n n n... n nn n n x Ax A=diag(-[ 3 4 5]); B=rand(5); A=inv(B)*A*B; xzero=[ ];

105 5 Sisema non omogeneo di equazioni differenziali lineari ax ax... a nxn bu bu b mum a x a x... a x b u b u b u x... x n... x x n n m a x a x a x b u b u... b u n n Ax Bu... nn n n n m nm m A=diag(-[ 3 4 5]); rand=rand(5); A=inv(rand)*A*rand; B=[ ; ; ; ; ] xzero=[ ]; m n 5

106 clear all clc A=[ ; 3 4; -]; B=[ ; ; ]; xiniziale=[ 3]; 6

107 7 Embedded Malab Funcion block Consideriamo nuovamene il sisema ermico del secondo ordine p emperaura della paree q f e f K ip q C f C f p f p K ip pe C p e p K C p p f

108 8 Realizziamo il modello SIMULINK in maniera differene, generando i segnali q e e con dei blocchi Signal Builder (libreria Sources).. FILE: ermico_dof_mafile_mask_emf.mdl

109 9.. e realizzando le equazioni per mezzo di un blocco Embeddbed MALAB Funcion (EMF) y = uscie u = ingressi p = parameri Inegraore veoriale (bidimensionale)

110 Il blocco Camera di Combusione conserva la medesima maschera della implemenazione precedene

111 Codice del blocco EMF funcion ydo = fcn(y,u,p) Cf=p(); Cp=p(); Kip=p(3); Kpe=p(4); q=u(); e=u(); f=y(); p=y(); fdo=q/cf+(kip/cf)*(p-f); pdo=(kpe/cp)*(e-p)-(kip/cp)*(p-f); ydo=[fdo pdo]; Codice analogo a quello di un Funcion file Variabili globali non concesse all inerno di blocchi EMF. I parameri della mask non sono direamene accessibili da pare della EMF

112 Paramerizzazione dei Signal Builder arge

113 3 Zoom on Sposiamo verso sinisra quesa linea (doppio click su di essa)

114 4 Sposiamo verso desra quesa linea con modalià analoghe Sposiamo verso l alo quesa linea con modalia analoghe

115 5 Profilo compleo q() Profilo più complicao per q() Proflo piu complicao per ()

116 6 Non serve piu un file scrip in abbinameno Risulai della simulazione

117 7 Servomoore in correne coninua di R kv i d L L L v d d k J i b J J res

118 8 Servomoore in correne coninua i x v u res J b J k L k L R A V J L B v L L k i L R d di V J J b i J k d d res B u Ax x

119 9 SIMULAZIONE DI MANIPOLAORI ROBOICI Piano orizzonale m, m masse dei link l, l lunghezze dei link J, J momeni di inerzia dei link r, r coeff. di ario viscoso C(), C() coppie applicae ai giuni

120 Modello maemaico ermini inerziali Coppie applicae Ario viscoso Coriolis e cenripee m * 4 m l J m l m * J 4 m l

121 Coppie applicae Siano le coordinae cosani di un puno di lavoro desiderao d d K K C d p d Si applichino le segueni coppie ai giuni (conrollore PD) K K C d p d d K p K, guadagni cosani K K C d d p d

122 q Veore delle variabili di giuno Modello veoriale in forma esplicia M q F q, q C Rq q innl

123 3 Scrip di paramerizzazione m=5; m=5; l=; l=; J=; J=; r=5; r=5; msar=.5*m*l^+j+m*l^; msar=j+.5*m*l^; q=[pi/;]; qdo=[;]; R=[r ; r]; Kp=; Kd=;

124 4 M q F q, q C Rq q innl

125 5 funcion [ ou ] = generaa( in ) m=5; m=5; l=; l=; J=; J=; msar=.5*m*l^+j+m*l^; msar=j+.5*m*l^; alfa=in(); bea=in(); Funcion files funcion [ ou ] = generafinnl( in ) ou(,)= msar+msar+m*l*l*cos(bea); ou(,)= msar+.5*m*l*l*cos(bea) ; ou(,)=msar+.5*m*l*l*cos(bea); ou(,)=msar; end m=5; m=5; l=; l=; J=; J=; msar=.5*m*l^+j+m*l^; msar=j+.5*m*l^; alfa=in(); bea=in(); alfado=in(3); beado=in(4); ou(,)=m*l*l*(alfado*beado+.5*beado^)*sin(bea); ou(,)=-m*l*l*.5*alfado^*sin(bea); end

126 Modello compao con Embedded Malab Funcion 6

127 7 Embedded Malab Funcion funcion qddo = fcn(q,qdo,c) %#eml m=5; m=5; l=; l=; J=; J=; msar=.5*m*l^+j+m*l^; msar=j+.5*m*l^; r=5; r=5; alfa=q(); bea=q(); alfado=qdo(); beado=qdo(); A=[msar+msar+m*l*l*cos(bea) msar+.5*m*l*l*cos(bea); msar+.5*m*l*l*cos(bea) msar]; FinNL=[m*l*l*(alfado*beado+.5*beado^)*sin( bea); -m*l*l*.5*alfado^*sin(bea)]; R=[r ; r]; qddo = inv(a)*(finnl+c-r*qdo);

128 Manipolaore planare a gdl 8

129 H q Bq gq 9 H qq Bq q gq

130 3 H qq Bq q gq q H q Bq q gq F q B q gq

131 3 funcion [ ou ] = generaa_manip( in ) m=5; m=5; l=; lc=; l=; lc=; J=; J=; q=in(); q=in(); ou(,)= m*lc^+i+m*(l^+lc^+*l*lc*cos(q))+i; ou(,)= m*l*lc*cos(q)+m*lc^+i; ou(,)=ou(,); ou(,)=m*lc^+i; end

132 3 funcion [ ou ] = generag_bqdo( in ) m=5; m=5; l=; lc=; l=; lc=; J=; J=; g=9.8; q=in(); q=in(); qdo=in(3); qdo=in(4); qdo=[qdo;qdo]; h=m*l*lc*sin(q) B=[-h*qdo -h*(qdo+qdo); h*qdo ]; grav=[m*lc*g*cos(q)+m*g*(lc*cos(q+q)+l*cos(q)); m*lc*g*cos(q+q)]; ou=b*qdo+grav; end

133 33 Sisemi ermici spazialmene disribuii Barra meallica filiforme di lunghezza L = 5 cm x x L x Variabile di ineresse: la emperaura x, Ipoesi : barra uniforme, ermicamene isolaa, in assenza di sorgeni di calore Equazione del calore monodimensionale x x,, C p k k x, x

134 34 x x,, C p k k x, x è la densià [kg /m 3 ] C è la capacia ermica a pressione cosane per unia di massa [J/kg K] p k è la conduivià ermica [J/s m K ; W / mk ] Valori per il ferro puro (rif. Schaum rasmissione del calore, abella B- pag. 36) k C p 7856 kg/m è il coefficiene di diffusione [m /s] c 435 J/kgK k 63 W/mK (a C) p.8 5 m / s (a C) x, x, x PDE

135 35 Analisi in regime sazionario x, x x x Siano noi e manenui cosani i valori di emperaura agli esremi L L La soluzione è calcolabile in forma chiusa, ma scegliamo di risolvere l equazione numericamene perché queso modo di ragionare di consenirà di risolvere agevolmene anche i problemi disribuii in regime ransiorio, che vedremo in seguio. Soluzione in forma chiusa x L L x x h h h h h h L / 5 x x x x x x3 x x4 4 NODI SOLUZIONE x L x

136 36 h x x x x Definiamo il veore che coniene le emperaure incognie nei nodi soluzione. 4 3,.,, 3 h x x x x h x x x x h x x L x x Approssimiamo l equazione in un inorno dei nodi soluzione, e meiamo a sisema L

137 37 Isoliamo alla sinisra dell uguale le emperaure incognie, ordinandole L 4 3 A b A b A 4 3 Sisema di equazioni lineari L b

138 emperaura [ C] 38 =; %emperaura nel puno x= L=5; %emperaura nel puno x=l L=.5; %Lunghezza della sbarra N=4; %numero di nodi di discreizzazione h=l/(n+); A=[- ; - ; - ; -]; b=[-;;;-l]; disp('il veore incognio è:') =inv(a)*b disp('veore compleo:') _o=[ ' L]' x=:h:l; _eorica=+(l-)/l*x Ascissa lungo la sbarra [m] plo(x,_o,'*',x,_eorica,'r'),grid xlabel('ascissa lungo la sbarra [m]') ylabel('emperaura [ C]')

139 Modificare il codice per includere un numero arbirario N di nodi soluzione. 39

140 emperaura [ C] 4 =; %emperaura nel puno x= L=5; %emperaura nel puno x=l L=.5; %Lunghezza della sbarra N=; %numero di nodi di discreizzazione h=l/(n+); A=zeros(N,N); for i=:n, A(i,i)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end Ascissa lungo la sbarra [m] b=zeros(n,); b()=-; b(n)=-l; disp('il veore incognio è:') =inv(a)*b %ISRUZIONE ALERNAIVA =A\b; disp('veore compleo:') _o=[ ' L]' x=:h:l; _eorica=+(l-)/l*x plo(x,_o,'*',x,_eorica,'r'),grid xlabel('ascissa lungo la sbarra [m]') ylabel('emperaura [ C]')

141 4 La soluzione in regime permanene è ancora calcolabile in forma chiusa E noo e prefissao il valore di emperaura all esremo sinisro, menre la emperaura all esremo desro non è imposa. Ora sudiamo un problema differene Poiché la sbarra è ermicamene isolaa si avrà che il flusso ermico nei bordo desro è pari a zero xl x x x Soluzione in forma chiusa h h h h x x x x x x x x L x x x

142 Modificare il codice Malab A b A b

143 Ora analizziamo il caso in cui anche la emperaura all esremo sinisro non è imposa. Il sisema lineare non puo essere risolo numericamene perche ammee infinie soluzioni. cos x Soluzione in forma chiusa Seguendo il medesimo ragionameno adoao in precedenza si oiene il sisema: A b A b

144 44 Cosa succede se le due emperaure agli esremi, ancorché impose dall eserno, siano variabili nel empo?. L analisi in regime sazionario perde di significao! L equazione del calore deve ora essere consideraa nella sua inerezza. x, x, x Il ragionameno svolo in precedenza va opporunamene modificao. La discreizzazione del dominio è sempre valida. x h h h h h h L / 5 x x x x x x3 x x4 x L x

145 45 Definiamo il veore che coniene le emperaure incognie nei nodi soluzione, che a differenza dal caso sazionario non sono più delle cosani, ma sono delle funzioni del empo.,, 3, 4 L Condizioni al conorno NOE x, x,, L, L x Quesa ipologia di condizioni al conorno sono dee di DIRICHLE. x i,,3, 4 i i, x i i h i L 5

146 46 x i x i x x x,,, h x x x x 3, h x x x x 3 4, 3 h x x x x 3 4, 4 h x x L x x x i x i x x, 4,,3, i Le derivae seconde vengono approssimae mediane differenze finie, in maniera analoga a quano fao in precedenza ma coinvolgendo funzioni del empo anzichè cosani

147 47 x, i i,,3, x 4 x x i Sosiuendo le approssimazioni alle differenze finie si oiene un sisema di equazioni differenziali ordinarie (ODE), di ordine pari al numero di nodi soluzioni (4 nel caso in esame). h 3 h h 4 4 h L 3

148 48 h h h 3 h h h L Risula conveniene separare alla desra dell uguale le quanià incognie dalle quanià noe () e L () N, u Bu A 4 3,,, h A h B

149 49 Ora sia il coefficiene di diffusione che lo sep h di discreizzazione spaziale influenzano espliciamene la soluzione. L analisi in regime sazionario prevedeva la scomparsa di ali coefficieni dalle relazioni risoluive Devono essere noe le emperaure nei nodi soluzione all isane iniziale =, cioè il veore cosane,,, 3 4 Va rimarcao che rascorso un ransiorio sufficienemene lungo i profili di emperaura non dipendono più dalle condizioni iniziali, e endono ad una soluzione di regime dinamico le cui caraerisiche sono indipendeni dalle condizioni iniziali

150 5 clear all clc L=.5; N=; rho=7856; Cp=435; k=63; alfa=k/(rho*cp); h=l/(n+); A=zeros(N,N); for i=:n, A(i,i)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; x=linspace(h,l-h,n); =:camp:finale; numsample=lengh(); ini=*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=ini; =3+5*sin(.*)'; L=3*ones(numsample,); for i=:numsample- do=ac*_soluz(i,:)'+bc*[(i);l(i)]; _soluz(i+,:)=_soluz(i,:)+camp*do'; end x_ex=linspace(,l,n+); _soluz_ex=[ _soluz L]; [X,Y] = meshgrid(x_ex,); Cond. al conorno Eulero esplicio Ac=(alfa/h^)*A; Bc=(alfa/h^)*B; camp=.; finale=; h=mesh(x,y,_soluz_ex); ile('disribuzione emperaura lungo la sbarra.'); xlabel('coordinaa spaziale x [m] ','FonName','imes','FonSize',4); ylabel('empo [s]','fonname','imes','fonsize',4); zlabel('(x,)','fonname','imes','fonsize',4); se(gca,'fonsize',4,'fonname','imes'); Grafica

151 Profilo spazioemporale della soluzione 5

152 5 clear all clc L=.5; N=5; rho=7856; Cp=435; k=63; alfa=k/(rho*cp); h=l/(n+); A=zeros(N,N); for i=:n, A(i,i)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; Ac=(alfa/h^)*A; Bc=(alfa/h^)*B; camp=.; finale=; x=linspace(h,l-h,n); =:camp:finale; numsample=lengh(); ini=3*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=ini; =3+*sin(.*)'; L=3*ones(numsample,); for i=:numsample- do=ac*_soluz(i,:)'+bc*[(i);l(i)]; _soluz(i+,:)=_soluz(i,:)+camp*do'; end x_ex=linspace(,l,n+); _soluz_ex=[ _soluz L]; [X,Y] = meshgrid(x_ex,); h=mesh(x,y,_soluz_ex); ile('disribuzione emperaura lungo la sbarra.'); xlabel('coordinaa spaziale x [m] ','FonName','imes','FonSize',4); ylabel('empo [s]','fonname','imes','fonsize',4); zlabel('(x,)','fonname','imes','fonsize',4); se(gca,'fonsize',4,'fonname','imes');

153 53

154 54 Ora applichiamo una condizione al conorno che non fissi il valore della emperaura nell esremo desro, ma imponga l isolameno ermico dell esremo desro x=l in analogia con quano fao nella analisi a regime. x, x, x, x L, Quesa ipologia di condizione al conorno viene dea di NEUMANN. x L, L h N Si ricava il modello discreizzao

155 55, u Bu A 4 3,,, h A h B u Bu A 4 3,,, h A h B

156 56 clear all clc L=.5; N=; rho=7856; Cp=435; k=63; alfa=k/(rho*cp); h=l/(n+); A=zeros(N,N); for i=:n, A(i,i)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end A(N,N)=-; B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; Ac=(alfa/h^)*A; Bc=(alfa/h^)*B; camp=.; finale=; x=linspace(h,l-h,n); =:camp:finale; numsample=lengh(); ini=*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=ini; =+5*sin(.*)'; L=*ones(numsample,); for i=:numsample- do=ac*_soluz(i,:)'+bc*[(i);l(i)]; _soluz(i+,:)=_soluz(i,:)+camp*do'; end x_ex=linspace(,l,n+); _soluz_ex=[ _soluz _soluz(:,end)]; [X,Y] = meshgrid(x_ex,); h=mesh(x,y,_soluz_ex); ile('disribuzione emperaura lungo la sbarra.'); xlabel('coordinaa spaziale x [m] ','FonName','imes','FonSize',4); ylabel('empo [s]','fonname','imes','fonsize',4); zlabel('(x,)','fonname','imes','fonsize',4); se(gca,'fonsize',4,'fonname','imes');

157 k=63 57

158 k=63 58

159 59 Sisema LI (Linear ime Invarian) MIMO (muli-inpu-muli-oupu) A Bu A u Bu Uso di Marix Gain Inegraore saurao

160 6 Un processo ermico D a parameri disribuii Cilindro cavo. Pari grigie in acciaio. Pare bianca: volume con vapore ad ala emperaura. saore Pare nera: piccolo volume inerno r Coordinaa radiale roore r max Es. Sezione di una urbina a vapore

161 6 Es. Sezione di una urbina a vapore

162 6 Ipoesi: simmeria angolare della disribuzione di emperaura Si desidera calcolare la disribuzione di emperaura nel roore (in uno dei suoi raggi) r, r r min r max Mediane misure acquisie in una urbina in esercizio, si suppone noa la emperaura nella pare bianca (regione del vapore in ala emperaura) In una modellazione più deagliaa, si porebbe essere ineressai a valuare la disribuzione di emperaura nella superficie delle pale di roore, onde valuare gli sress ermici sui maeriali. Problema complesso (anche nella formulazione semplificaa soo esame) perche il modello maemaico è una equazione alle derivae parziali (sisema a parameri disribuii, sisema infinio-dimensionale)

163 63 Eq. di diffusione (Equazione del calore) monodimensionale in coord. cilindriche, con unica variabile spaziale la coordinaa cilindrica radiale r K k C p è il coefficiene di diffusione [m /s] C è la capacia ermica a pressione cosane per unia di massa [J/kg K] p k è la conduivià ermica [J/K s m] è la densià [g /m 3 ]

164 64 r r max r i r min i h i,,,..., N r = r r min h r r N max r i i, min

165 65 Approssimazione delle derivae spaziali mediane differenze finie h r i i i h r i i i i Sisema di ODE r h r h h K h r h h r h h K h h r K i i i i i i i i i i i i i i i i i N i...,,,

166 66 Sisema di ODE r h r h h K r h r h h K 3 r h r h h K N N N N N N N, u N N,...,,, 3, N Boundary condiions Bu A

167 67 N N r h r h r h r h r h r h r h h K 3 A Bu A r N h h K B N N,...,,, 3, Condizioni iniziali

168 68 Modello Simulink FILES urbinavapore.mdl _cenroroore.ma _vapor.ma Esporazione dai verso il Workspace Conenuo del Subsysem Modello ermico Roore Due diverse modalià di specificare i due segnali di inpu. Linee spesse che rappresenano segnali mulidimensionali

169 69 Paramerizzazione del modello Uilizziamo una mask

170 7 Cosruzione della maschera di paramerizzazione

171 7 Calcolo delle Marici A e B

172 7 Codice copiabile ed seguibile Marici A e B (per n = 6) n=4; r_min=.5; r_max=.39; rho=79; C=.45; k=73; _in=8; h=(r_max-r_min)/n; K=k/(rho*C*e3)/h^; A=zeros(n,n);B=zeros(n,); for i=:n, A(i,i)=-(+h/(r_min+i*h)); end for j=:n-, A(j,j+)=+h/(r_min+j*h); A(j+,j)=; end B(,)=;B(n,)=+h/r_max; A=K*A; B=K*B;

173 73 Documenaion - descrizione della MASK

174 74 Analisi dei risulai Imposiamo preliminarmene due valori cosani per le emperaure al conorno u, C N 3 3 Profili emporali degli elemeni del veore Uscia del blocco Scope

175 75 Profilo di emperaura al nodo 4

176 76 Con dei profili differeni per le boundary condiions, l evoluzione del profilo di emperaura è differene. Ora processiamo in Malab i risulai della simulazione, creando dei grafici 3D. r_min=.5; r_max=.39; n=4; [X,Y] = meshgrid(linspace(r_min,r_max,n),ou); h=mesh(x,y,ro) ile('disribuzione emperaura roore.') xlabel('coordinaa radiale r [m] ','FonName','imes','FonSize',4) ylabel('empo [s]','fonname','imes','fonsize',4) zlabel('(r,)','fonname','imes','fonsize',4) se(gca,'fonsize',4,'fonname','imes')

177 Inveriamo la direzione dell asse dei empi 77

178 78 Compleiamo queso esempio mosrando l impiego, nella Mask, di variabili di configurazione ipo popup o checkbox e un loro possibile impiego. Si apporino le segueni modifiche alla lisa dei Parameers

179 Si apporino le segueni modifiche alle isruzioni di Iniializaion 79

180 8 Si apporino le segueni modifiche allo schema Simulink Ora si esegua il modello con diverse scele per le variabili pop up e checkbox, e si analizzino i risulai. FILES: urbinavapore.mdl _cenroroore.ma _vapor.ma

181 8 Ani-lock bracking sysem (ABS) Simulazione di un sisema di frenaura con ABS Modello quaro di veicolo I f Rr F m v F ps 4 mg F ps 4 I f R m mg v 4 4 r ps s mg 4 s s F ps = velocià ruoa = forza da inerazione pneumaico/srada s v / R r Rr = raggio ruoa I = inerzia ruoa f s = scorrimeno = coppia frenane Sisema dinamico NON LINEARE, del secondo ordine Caraerisica -s noa in forma abellare

182 8 mg I f Rr 4 m mg v s 4 4 s Modello SIMULINK Lookup able Blocco Fcn per il calcolo dello scorrimeno clear all g = 9.8; v = 4; % velocia iniziale (m/s) Rr =.6; % raggio m = ; % massa Sop a veicolo fermo J = 5; % inerzia % Curva mu-slip slip = :.5:.; mu = [ ];

183 83 Lookup able (libreria Lookup ables) La caraerisica viene disegnaa sulla maschera del blocco Blocco Sop Simulaion (libreria Sinks ) Inerrompe la simulazione quando il veicolo si ferma Inegraori saurai

184 84 Deaglio sulla pare che inerrompe la simulazione

185 85 Inegraori saurai Soluzione semplificaa per inerrompere la simulazione quando il veicolo si ferma

186 86 Ora modelliamo l ABS La dinamica del sisema di frenaura idraulico è approssimaa da un filro del primo ordine (dinamica cassei disribuori) e da un inegraore saurao (pressurizzazione). Il conrollo è un relè (conrollo bang-bang). L apposio blocco Relay si rova nella libreria Disconinuiies Kf = 3; %guadagno PBmax = 5; % saurazione B =.; %cosane di empo

187 87 Modello complessivo FILES: ABS_OpenClosedLoop.mdl ABS_OpenClosedLoop_DAI.m E sao aggiuno un blocco Manual Swich (libreria Signal Rouing) per poer simulare una frenaura non conrollaa (f=-). Eseguiamo una simulazione, e visualizziamo i risulai nei blocchi Scope

188 88 Frenaura non conrollaa (ABS disaivao) Il pneumaico si blocca dopo.5 secondi circa, menre la marcia del veicolo coninua per alri 4 secondi. Lo scorrimeno divena uniario quando il pneumaico si blocca

189 89 Frenaura con ABS aivao Il pneumaico ora si blocca solo nell ulima pare della frenaa. Il bloccaggio del pneumaico avviene quando ormai la velocia di marcia del veicolo è prossima a zero, la marcia del veicolo si arresa infai dopo pochi decimi di secondo. Lo scorrimeno viene regolao aorno al se poin desiderao.. divenando uniario solo a frenaa ormai conclusa. Nella prossima slide si confronano due diversi es del sisema ABS con una diversa velocia di marcia iniziale V.

190 9 Con ABS v = 4 m/s 45 km/h Con ABS v = 7 m/s 5 km/h

191 9 oolbox avanzai SimMechanics Modellazione di sisemi meccanici muli-body

192 9 Modello VMRL 3D

193 93 Visa differene

194 94 Variare il conrollo sul FUEL (Subsysem Conrol) Osservare la velocià dell albero moore in RPM, e correlarne le variazioni ai corrispondeni incremeni e decremeni del fuel rae

195 95 oolbox avanzai SimDriveline Componeni e modelli area auomoive Animazione 3D