Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

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1 LIUC ebook Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui Luca Ghezzi

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3 LIUC ebook, 2

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5 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui, Luca Ghezzi LIUC Uiversità Cattaeo Castellaza 2013

6 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui, Luca Ghezzi Copyright 2013 Uiversità Carlo Cattaeo - LIUC C.so Matteotti, Castellaza (VA) Data di pubblicazioe: Luglio ISBN

7 Idice Premessa... 7 Rigraziameti Calcolo fiaziario di base Pricipi fiaziari: accumulazioe e scoto di ammotari di dearo Iteresse semplice Iteresse composto Obbligazioi (seza cedola) Scoto commerciale Cotratti e mercati fiaziari Tassi equivaleti di iteresse composto Pricipio di scidibilità Fattori di motate i 2 variabili e esclusioe dell arbitraggio Redite aue immediate: valori attuali, motati e valori Redite aue immediate: proprietà Redite aue immediate co rate costati Redite periodiche immediate co rate costati Redite perpetue aue immediate Ripagameto rateale di u prestito Il piao di ammortameto La locazioe fiaziaria (leasig) Legislazioe italiaa sul credito al cosumo e sui mutui ipotecari Valutazioe degli ivestimeti reali Sull uso dei bilaci pro-forma Il valore attuale etto (VAN) Il tasso itero di redimeto (TIR) Sull uso cogiuto di VAN e TIR Il valore attuale rettificato Sulla valutazioe di u impresa ella pratica professioale Obbligazioi a tasso fisso Apprezzameto di obbligazioi a tasso fisso e co cedole aue Apprezzameto di obbligazioi co cedole semestrali (trimestrali) La fuzioe redimeto a scadeza-prezzo Sul tasso di redimeto effettivo Durata media fiaziaria Covessità La stima del rischio di credito da parte delle agezie specializzate La cartolarizzazioe di crediti o trasferibili Sulla gestioe attiva di portafogli obbligazioari Struttura a termie dei tassi di iteresse Sui tassi di iteresse a trascurabile rischio di credito Sulla rilevazioe della struttura a termie dei tassi Euribor Tassi di iteresse a termie Apprezzameto di obbligazioi a tasso variabile Riferimeti bibliografici

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9 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui 1, Luca Ghezzi 2 Oradum est ut sit mes saa i corpore sao Decimus Iuius Iuvealis, I-II secolo d.c. Premessa La Matematica fiaziaria cocere l impiego di strumeti scietifici elle attività di ivestimeto e fiaziameto. Più precisamete, essa riguarda modelli e procedimeti quatitativi covalidati, utilizzabili per predere decisioi ell ambito della valutazioe e del cofroto di piai di ivestimeto reale; del cofroto di operazioi bacarie e parabacarie, quali u deposito vicolato, u mutuo immobiliare ipotecario a tasso fisso e/o variabile, u prestito di titoli cotro garazia, o ua locazioe fiaziaria di bei strumetali; della progettazioe di cotratti fiaziari, quali u obbligazioe strutturata o ua polizza assicurativa sulla vita a capitale o redimeto garatito; come pure dei processi di gestioe di redimeti e rischi fiaziari, per esempio el caso di u portafoglio di prestiti bacari, di u fodo pesioe, o di u fodo comue di ivestimeto; dei processi di supervisioe e cotrollo dei rischi fiaziari. Questi apputi, cocepiti per gli studeti di u corso uiversitario di Matematica fiaziaria, soo stati origiariamete stesi come complemeto, coforme alla tradizioe italiaa, del libro di testo Lueberger (1998), u opera di be più ampio respiro, compiutamete riuscita ella compeetrazioe di rigore metodologico e di chiarezza espositiva. Essi si basao soprattutto su ua traduzioe parziale degli Hadouts for Fiacial modellig, redatti i iglese dal secodo autore; grazie all esperieza professioale del primo autore, il materiale proposto è stato corredato di riferimeti a e di esempi e esercizi coereti co la prassi operativa. L appredimeto e la ritezioe della disciplia potrebbero quidi essere agevolati dall uso di ua duplice chiave di lettura: quella logica, relativa alle proprietà dei procedimeti aalitici e 1 Aalisi rischi, Credito Bergamasco Gruppo Baco Popolare, Bergamo. 2 Associato di Igegeria ecoomico gestioale, Uiversità Carlo Cattaeo, Castellaza (Va). 7

10 Ettore Cui, Luca Ghezzi alle peculiarità dei procedimeti empirici, e quella operativa, relativa ai cotratti, alle operazioi e ai processi fiaziari. La compresioe di questi ultimi o deve illudere; l esposizioe, spesso a carattere itroduttivo, è propedeutica ai corsi specialistici. Tuttavia, il quadro d isieme tacitamete proposto, sebbee parziale, è strutturato e desumibile mediate ua lettura attiva. Gli apputi soo orgaizzati i 5 distite sezioi, tutte le successive essedo sviluppate a partire dalla prima 1. Calcolo fiaziario di base 2. Ripagameto rateale di u prestito 3. Valutazioe degli ivestimeti reali 4. Obbligazioi a tasso fisso 5. Struttura a termie dei tassi di iteresse La correte versioe è priva di ua sezioe fiale sui fodameti della gestioe di portafogli azioari, ivece presete egli Hadouts for Fiacial modellig; al lettore iteressato si segalao, oltre al già mezioato Lueberger (1998), le opere Farrell (1997), Keasey et alii (1998), Corell (1999) e Jackso (2003). Ogi sezioe può compredere ua schematica spiegazioe di ozioi teoriche, accompagata da esempi illustrativi, e di procedimeti empirici; u esseziale presetazioe di procedimeti operativi come pure ua sitetica citazioe di orme di legge. Ove possibile, si mezioao pure gli specifici tassi aui di iteresse usati ella prassi operativa; alcui esercizi e le loro soluzioi, i quali si aggiugoo agli esempi proposti el libro di testo Lueberger (1998). Oltre a esemplificare u procedimeto aalitico, u esercizio offre, a volte, l occasioe per descrivere u cotratto fiaziario e delle regole operative. Tutti gli esercizi soo stati risolti al calcolatore, mediate dei fogli elettroici, ove possibile programmati e covalidati; per esempio, el caso dell ammortameto all italiaa, ua volta iseriti i dati (il capitale prestato C, il umero di rate, la loro cadeza m, il tasso periodale di iteresse applicato i m ), il foglio elettroico restituisce l itero piao di ammortameto (ua tabella di + 1 righe e 5 coloe: il tempo t, la quota di capitale C t, la quota di iteresse I t, la rata effettuado gli arrotodameti co la precisioe richiesta. R t e il debito residuo D t ), 8

11 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria L approccio è orietato alle applicazioi e duque multidiscipliare, co possibili riferimeti ai pricipi teorici e alle ozioi pratiche di altre disciplie, quali la cotabilità, l ecoomia idustriale, l ecoomia dei mercati e degli itermediari fiaziari. Si tega presete che u serio esame fiale dovrebbe cocerere sia la teoria sia la pratica; gli autori codividoo ifatti co altri colleghi la covizioe che ua proficua teoria riposa su solide basi pratiche, e viceversa. Per imparare bee e seza troppa fatica la Matematica fiaziaria, come pure per o dimeticarla assai presto, bisoga quidi acquisire allo stesso tempo u po di dimestichezza co la Tecica fiaziaria. Pertato, co riferimeto ai pricipali puti di u programma aalitico, occorre sapere dove e quado u problema fiaziario emerga ella pratica professioale; chi siao le cotroparti e gli itermediari fiaziari; come e per mezzo di quali dati si possa risolverlo; quale sia il sigificato fiaziario dei più importati passaggi aalitici e, se richiesto, perché il procedimeto risolutivo è appropriato (ua dimostrazioe può rivestire iteresse, i quato aiuta a ricordare meglio u procedimeto aalitico e le sue proprietà). Si rammeta che la Matematica fiaziaria si basa su ragioameti passo a passo. Qualora tale capacità o sia tra le doti di uo studete, la frequeza alle lezioi dovrebbe essere cosiderata come u agevole e proficuo modo di appredere. Grazie alla duplice chiave di lettura, all orietameto alle applicazioi e al taglio agile, gli apputi soo fruibili ache da u lettore che, operado già el modo del lavoro, desideri rifrescare e/o aggiorare le proprie cogizioi di Matematica e tecica fiaziaria. Numerose soo le estesioi e le itegrazioi rispetto a ua più tradizioale trattazioe, ormai u po datata; si segalao, a questo proposito, le sezioi 2.3, 3.1, 3.4, 4.3, 4.4, 4.5 e 5.1. Bergamo - Castellaza, 11 febbraio 2013 Rigraziameti Si rigraziao setitamete i professori Fraco Cesarii (già Uiversità Cattolica del Sacro Cuore, Milao) e Lorezo Peccati (Uiversità Luigi Boccoi, Milao) per i loro preziosi commeti e suggerimeti i merito a precedeti versioi. Nodimeo, la resposabilità di ogi evetuale errore è degli autori. Ulteriori commeti e suggerimeti soo graditi e possoo essere iviati all idirizzo elettroico 9

12 10 Ettore Cui, Luca Ghezzi

13 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria 1. Calcolo fiaziario di base 1.1. Pricipi fiaziari: accumulazioe e scoto di ammotari di dearo Il tempo t sia misurato i ai e 0 sia il correte istate. Si suppoga che u ammotare di dearo C sia prestato per uo spazio di tempo [ 0;t ] e sia ripagato mediate u uico ammotare. Poiché l esercizio del credito è attività remuerata, il creditore riceverà dal debitore u più elevato valore futuro o motate FV = C + I i cambio del prestito del capitale C ello spazio di tempo [ 0;t ]. La differeza I è l iteresse maturato, ossia il compeso per il creditore, il quale è, coeteris paribus, tato maggiore quato più distate è la scadeza t. Poiché si ha df ( t) FV = Cf t dt ( t) co f ( 0) = 1 e > 0 per ogi 0 dove f ( t) è u fattore di motate, l accumulazioe di dearo (o capitalizzazioe) è u processo el quale l iteresse si accumula al passare del tempo capitale C FV = C + I = Cf (t) tempo 0 tempo t dall avvio Per il mometo si prescide sia dal rischio di tasso sia dal rischio di credito. I altre parole, o si tiee coto del fatto che le previsioi isite ell iiziale struttura a termie del mercato moetario possao o trovare riscotro el successivo adameto temporale dei diversi tassi di iteresse, quali l Eoia, gli Euribor e i tassi swap itrodotti più avati; ioltre, si suppoe che il debitore assolva sicuramete tutti i propri obblighi cotrattuali. Ifie, o si cosiderao esplicitamete giori di differimeto, commissioi e tasse, di cui si tiee ivece coto i alcui esercizi. Pertato, la teoria viee sviluppata i u cotesto determiistico, essedo certi per ipotesi sia gli ammotari di dearo, sia i tassi di iteresse, preseti e futuri. Si suppoga che u credito co valore omiale C e scadeza t sia veduto al tempo 0 a u miore valore attuale PV = C D, essedo la differeza D lo scoto. Il compratore diviee creditore; pertato, riceverà u più elevato motate C, compredete u compeso per il prestito PV ello spazio di tempo [ 0;t ]. Poiché si ha PVf ( t) C df ( t) = C e duque PV = co f t f dt ( t) ( 0) = 1 e > 0 per ogi 0 11

14 Ettore Cui, Luca Ghezzi dove ( t) 1 f è u fattore di scoto coiugato, lo scoto di dearo (o attualizzazioe) è u procedimeto iverso al precedete, secodo cui u ammotare esigibile a ua successiva data è ridotto a u miore ammotare esigibile a ua precedete data, quest ultimo essedo, coeteris paribus, tato miore quato più distate è la scadeza t del credito. 1 PV = C D = Cf(t) valore omiale C tempo 0 scadeza: tempo t Il motate e il valore attuale soo 2 operatori lieari egli ammotari di dearo. Pertato, se 2 ammotari di dearo C 1 e C 2 soo prestati per degli spazi di tempo [ t 1 ;t] e [ t 2 ;t] rispettivamete, il loro motate al tempo t sarà FV = C f ( t t ) + C f ( t ). Ioltre, se due t2 crediti co valori omiali C 1 e C 2 soo esigibili ai tempi t 1 e t 2 rispettivamete, il loro 1 valore attuale al tempo 0 sarà ( ) ( ) PV = C f t C f t. 2 2 Per effettuare i calcoli fiaziari i esame, occorre stabilire ua regola di accumulazioe o di scoto di modo che il fattore di motate f ( t) e il fattore di scoto coiugato f ( t) 1 assumao ua specificazioe aalitica. Siao i u tasso auo di iteresse e d u tasso auo di scoto commerciale; el prosieguo esamieremo le 3 regole usate ella comue pratica, dette pure regimi fiaziari: l iteresse semplice, per cui f ( t) ( + it) = 1 ; f t = 1 + i ; l iteresse composto, per cui ( ) ( ) t 1 lo scoto commerciale, per cui f ( t) = ( 1 dt) I liea di pricipio, le regole dell iteresse semplice e dello scoto commerciale dovrebbero essere applicate solamete alle operazioi di breve termie, le quali durao meo di 18 mesi. La regola dell iteresse composto dovrebbe ivece essere applicata alle operazioi di medio e lugo termie; le prime durao tra i 18 mesi e i 5 ai metre le secode durao più di 5 ai. Ove o diversamete specificato, si assumerà i tutta la sezioe che ogi mese abbia 30 giori, coeretemete co la regola di calcolo dei giori 30/360 europea itrodotta ell esempio 1 isieme alle regole di calcolo dei giori effettivi/360 e effettivi/365. Pertato, come mostrato ell esempio 2, uo spazio di tempo di 1 ao, 6 mesi e 18 giori è espresso come 6 18 t = = 1,55 ai; il calcolo iverso è svolto egli esercizi 1 e

15 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Iteresse semplice Il tempo t sia misurato i ai, 0 sia il correte istate, e i sia il tasso auo di iteresse semplice, vale a dire l iteresse auo su u uità di capitale. Si suppoga che u capitale C sia prestato per uo spazio di tempo [ 0;t ]. Poiché l iteresse semplice si accumula liearmete al passare del tempo secodo l equazioe il motate I = Cit ( it) FV = C + I = C + Cit = C 1 + verrà pagato dal debitore al creditore al tempo t i cambio del prestito di C ello spazio di tempo [ 0;t ]. Pertato, il motate di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di motate lieare f ( t) ( + it) = 1. Esempio soo prestati da mercoledì 16 settembre a mercoledì 16 dicembre al tasso auo dell 1%; si trovi l iteresse semplice applicado la regola di calcolo dei giori: a) effettivi/360 o effettivi/365; b) 30/360 europea. Le 5 regole di calcolo dei giori soo spiegate i Cherubii-Della Luga (2002, pag. 146); il primo (l ultimo) gioro di u prestito è sempre escluso (icluso). Svolgimeto. a) Poiché il prestito dura effettivamete = 91 giori, si ha 91 I = Cit = *0,01* = 252, I = Cit = *0,01* = 249, b) Il prestito dura covezioalmete = 90 giori, i quato si suppoe che ogi mese abbia 30 giori; se la data iiziale o fiale cadesse il 31 del mese, sarebbe spostata al 30. Si ha quidi 90 I = Cit = *0,01* = 250, OSSERVAZIONE. A u divisore pari a 360 corrispode l ao commerciale metre a u divisore pari a 365 corrispode l ao civile. 13

16 Ettore Cui, Luca Ghezzi Esempio soo prestati per 1 ao, 6 mesi e 18 giori al tasso auo del 6%. Si trovio l iteresse semplice e il motate ell ipotesi che ogi mese abbia 30 giori. Svolgimeto. Si ha 6 18 I = Cit = * 0,06* 1+ + = * 0,06*1,55 = FV = C + I = C it ( 1 + ) = = ( 1+ 0,06*1,55 ) = Esempio 3. All iizio di u certo ao e dopo 9 mesi, e soo rispettivamete prestati al tasso auo del 4%. Si trovio l iteresse e il motate dopo altri 12 mesi. Svolgimeto. La liearità dell iteresse semplice rispetto al tempo comporta che gli iteressi delle 2 operazioi possao essere sommati. Ioltre, ache i motati delle 2 operazioi possoo essere sommati, i quato il motate è u operatore lieare egli ammotari di dearo. Si ha duque I = I A + IB 21 = 5.000* 0,04* * 0,04 = ( C + C ) + = ( ) = 5.000*1, *1,04 = FV = I A B OSSERVAZIONE. A causa della liearità dell iteresse semplice, il suo ammotare semestrale Ci 0, 5 è metà dell ammotare auo Ci, il suo ammotare trimestrale Ci 0, 25 è u quarto dell ammotare auo Ci, etc. Le stesse proporzioi valgoo per i tassi periodali di iteresse semplice, vale a dire gli iteressi periodici su u uità di capitale: il tasso semestrale è i 0,5, il tasso trimestrale è i 0, 25, etc. Esempio soo prestati per 1 ao e 3 mesi a iteresse semplice. Il motate dopo 3 mesi ammota a Si trovio a) il motate auo; b) il motate fiale; c) il tasso trimestrale di iteresse; d) il tasso auo di iteresse i. Svolgimeto. Poiché l iteresse trimestrale è = 500, a) l iteresse auo e il motate auo soo rispettivamete 500 *4 = e = ; b) l iteresse fiale e il motate fiale soo rispettivamete 500 *5 = e = ; c) il tasso trimestrale di iteresse è 500 / = 1% ; d) si ha i = 4 * 500/ = 4*1% = 4%, cioè 4 volte il tasso trimestrale. 14

17 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Iteresse composto Il tempo t sia misurato i ai, 0 sia il correte istate, e i sia il tasso auo effettivo di iteresse composto. Si suppoga che u capitale C sia prestato per uo spazio di tempo [ 0;t ]. Qualora l iteresse sia composto aualmete secodo la covezioe espoeziale, il motate FV al tempo t di u capitale pari a C vale di modo che l importo C ( 1 i) t ( 1 ) FV = C + i t + verrà restituito al tempo t i cambio del prestito di C ello spazio di tempo [ 0;t ]. Pertato, il motate di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di motate espoeziale ( ) ( ) t f t = 1 + i. L iteresse composto I al tempo t vale t t I = FV C = C ( 1+ i) C = C ( 1+ i) 1 Per i = 5%, l iteresse composto su u uità di capitale I = 1,05 t 1 importa 1,05 1 = 0,05000 dopo 1 ao 1, = 0,10250 dopo 2 ai 1, = 0,15763 dopo 3 ai... 1, = 0,62889 dopo 10 ai DIMOSTRAZIONE. Quado l iteresse è composto aualmete, esso viee aggiuto al capitale alla fie di ciascu ao. Pertato, alla fie del primo ao l iteresse maturato Ci viee aggiuto al capitale, che diviee FV C + Ci = C( + i) = 1. Ioltre, alla fie del secodo C 1 + i i = Ci + Ci, dove ao l iteresse maturato ( ) 2 2 Ci è iteresse sull iteresse, viee FV = C 1 i C i i C + i. Si comprede aggiuto al capitale, che diviee ( + ) + ( 1 + ) = ( 1 ) 2 immediatamete (e si dimostra mediate iduzioe matematica) che ciascua composizioe aua dell iteresse equivale a ua moltiplicazioe del capitale per il fattore di motate ( 1 + i), da cui si ottiee FV C( + i) t = 1 alla fie del t-imo ao. Sebbee il tempo t sia itero el ostro ragioameto, esso può assumere qualsiasi valore reale o egativo i forza della covezioe espoeziale. 15

18 Ettore Cui, Luca Ghezzi Esempio soo prestati per 1 ao, 6 mesi e 18 giori al tasso auo del 6%, come ell esempio 2. Si trovio il motate e l iteresse composto ell ipotesi che ogi mese abbia 30 giori. Svolgimeto. Si ha FV = C I = FV C = C t 1,55 ( 1+ i) = *1,06 = , 02 t ( 1 + i) C = , = , 02 Si cosiderio i motati a iteresse semplice e composto allo stesso tasso auo i; i corrispodeti fattori di motate soo allora ( 1 + it) e ( + i) t 1. Come si osserva el seguete diagramma, dove i =100%, l uo cresce liearmete metre l altro cresce espoezialmete (geometricamete) co ( ) ( ) t 1 + it > 1+ i per ogi 0 < 1 causa del pagameto dell iteresse sull iteresse. 1 + it < 1+ i per ogi t > 1 a < t e ( ) ( ) t 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 iteresse semplice iteresse composto Pertato, per qualsiasi dato tasso auo di iteresse i e qualsiasi scadeza distate più di 1 ao, il motate a iteresse composto è maggiore di quello a iteresse semplice. Per esempio, per t = 2, la differeza i 2 essedo l iteresse sull iteresse. si ha ( 1 i) = 1+ 2i + i > 1+ 2i Qualora il tempo t o sia itero, si può pure fare uso della covezioe lieare e quidi della capitalizzazioe mista, secodo la quale il motate FV al tempo t di u capitale pari a C vale FV = C + i + iδ ( 1 ) ( 1 ) 16

19 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria dove t = + δ co itero e 0 δ 1. Se, per esempio, = 3 ai e δ = 0,25 ai = 3 mesi, il fattore di motate vale ( 1 i) ( 1 i0,25) e discede dall applicazioe dell iteresse composto per u periodo di 3 ai seguita dall applicazioe dell iteresse semplice per u periodo di 3 mesi. Poiché la fuzioe espoeziale ( 1 i) ( 1+ i) ( 1+ iδ ) ( 1+ i) t + è covessa, si ha ovvero per qualuque durata itera ( δ = 0 e t = ) si ottiee lo stesso motate co etrambe le covezioi; per qualuque durata o itera la capitalizzazioe mista forisce u motate maggiore. I grafici dei due fattori di motate per i = 100% soo riportati el diagramma sotto + δ 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 espoeziale lieare Esempio 6. All iizio di u certo ao e dopo 9 mesi, e soo rispettivamete prestati al tasso auo del 4%, come ell esempio 3. Si trovio il motate e l iteresse composto dopo altri 12 mesi, facedo uso della covezioe lieare e della capitalizzazioe mista. Svolgimeto. I motati delle 2 operazioi possoo essere sommati, i quato il motate è u operatore lieare egli ammotari di dearo. Si ha duque FV = C A B i 12 ( 1 + i ) 1 i C 1 i 1 = 7.956,75 ( C A + C ) = 7.956, = 456,75 I = FV B Obbligazioi (seza cedola) Se u prestito prede la fattispecie di u titolo, viee diviso i obbligazioi di modo che può essere cotemporaeamete cocesso da più obbligazioisti/creditori, co coseguete 17

20 Ettore Cui, Luca Ghezzi frazioameto del credito e del rischio di credito. Poiché le obbligazioi soo dei titoli, ogi obbligazioista/creditore ha la facoltà di rivedere il proprio credito successivamete. I cambio del credito, il debitore, vale a dire l emittete delle obbligazioi, si impega legalmete ad effettuare degli opportui ripagameti alle scadeze cotrattuali. Il rischio di credito riguarda ua perdita fiaziaria per gli obbligazioisti dovuta all iadempieza dell emittete delle obbligazioi i merito a dei ripagameti cotrattuali. Le obbligazioi soo emesse, tra gli altri, dai tesori degli stati sovrai, dagli eti sovraazioali (per esempio, la World Bak, la Europea Ivestmet Bak e l Asia Developmet Bak, fodate el 1944, 1958 e 1966 da u certo umero di paesi membri, co sede cetrale a Washigto, el Lussemburgo e a Maila rispettivamete), dagli eti locali (per esempio, le città), dalle bache e dalle società quotate. Ioltre, come spiegato ella sezioe 4.4, le obbligazioi possoo essere pure emesse a frote di u operazioe di cartolarizzazioe. Come ivece spiegato ella sezioe 4.3, il merito di credito degli emitteti di obbligazioi è determiato dalle agezie iterazioali di valutazioe del credito. Se il merito di credito dello Stato è opportuo, i titoli di Stato possoo essere riteuti privi di rischio di credito; le obbligazioi societarie icorporao ivece del rischio di credito i u qualche grado. Naturalmete, u prestito obbligazioario risulta meo persoalizzabile e elastico di u prestito bilaterale cocesso da ua sola baca a u solo prestatario. Tuttavia, se il prestatario è ua grade e importate impresa, il prestito può essere cocesso da u sidacato di bache iterazioali. Esistoo diversi tipi di obbligazioi, fra cui le obbligazioi seza cedola, le obbligazioi a tasso fisso e le obbligazioi a tasso variabile, itrodotte più sotto, ella sezioe 4 e ella sezioe 5 rispettivamete. Le obbligazioi a tasso fisso o variabile pagao delle cedole aue, semestrali o trimestrali a titolo di iteresse sul capitale preso a prestito; ioltre, rimborsao di solito il capitale preso a prestito i u uica soluzioe al mometo della loro scadeza. Alcue obbligazioi a tasso fisso possoo essere rimborsate aticipatamete dall emittete, a partire da ua prestabilita data e a u prestabilito prezzo, che di solito comprede u premio. Poiché u obbligazioe seza cedola o stacca alcua cedola, essa quota sempre a scoto; il suo prezzo è duque miore del valore omiale e pari al valore attuale di quest ultimo, calcolato mediate u tasso auo di redimeto a scadeza. Giori di differimeto, commissioi e tasse soo cosiderati esplicitamete egli esercizi 4, 5 e 6, i quali coceroo operazioi su BOT o CTZ, le obbligazioi seza cedola emesse dal Tesoro italiao. 18

21 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Esempio 7. U risparmiatore sottoscriva oggi, all emissioe, delle obbligazioi seza cedola co valore omiale di e durata di 6 mesi. Il prezzo percetuale di sottoscrizioe sia 98,058. Si trovio a) l esborso del risparmiatore; b) il tasso auo di redimeto a scadeza, el regime dell iteresse semplice; c) il tasso auo di redimeto a scadeza, el regime dell iteresse composto. Svolgimeto. Il tempo t sia misurato i ai, ogi mese abbia 30 giori e y idichi il tasso auo icogito. 98,058 a) L esborso del risparmiatore ammota a * = 9.805, b) Risolvedo l equazioe PV C = ovvero 98, yt y0,5 100 fattore di scoto semestrale, si ricava y = 2 1 = 3,961%. 98,058 =, dove ( ) 1 1+ y 0,5 è u c) Risolvedo l equazioe PV = C( 1 + y) t 0, 5 0, 5 ovvero 98,058 = 100( 1+ y ), dove ( 1+ y ) è u fattore di scoto semestrale, si ricava y = 1 = 4%. 98,058 Scoto commerciale Siao t il tempo, misurato i ai, 0 il correte istate e d il tasso auo di scoto commerciale, vale a dire lo scoto auo su u valore omiale pari a 1. Si suppoga che u credito C esigibile al tempo t sia veduto a ua baca al tempo 0. Poiché lo scoto commerciale cresce liearmete col tempo secodo l equazioe il valore attuale PV D = Cdt PV = C D = C Cdt = C 1 ( dt) è l ammotare pagato dalla baca al tempo 0. Pertato, il valore attuale di C al tempo 0 è pari al valore omiale C moltiplicato per il fattore di scoto 1 f ( t) ( dt) = 1 ; affiché PV sia positivo, si deve avere 1 t <. d 19

22 Ettore Cui, Luca Ghezzi Esempio 8. U eopesioato cede il proprio esercizio commerciale. L acquirete emette, tra l altro, ua cambiale pagherò avete il eopesioato quale beeficiario; si tratta di ua promessa di pagameto co valore omiale di e co scadeza a 4 mesi e 15 giori da adesso. Per disporre immediatamete del proprio credito, il eopesioato fa scotare il pagherò dalla propria baca, la quale applica u tasso auo dell 8%. Si trovi l ammotare icassato dal eopesioato ell ipotesi che ogi mese abbia 30 giori. Svolgimeto. Si ha 4 15 D = Cdt = * 0,08* + = * 0,08* 0,375 = PV = C D = C dt ( 1 ) = = ( 1 0,08* 0,375) = OSSERVAZIONE. La cessioe del credito è salvo buo fie; i altre parole, se l emittete della cambiale pagherò fosse isolvete e la cambiale pagherò rimaesse quidi isoluta, il beeficiario, ossia il eopesioato, dovrebbe rifodere la baca. Per questa ragioe, la baca si premuirà al mometo dello scoto, accertado se si possa cocedere al eopesioato u fido co cifra di castelletto o miore del valore omiale del credito. Lo scoto di pagherò è operazioe bacaria oggi poco frequete metre lo scoto di cambiali tratte è caduto i disuso Cotratti e mercati fiaziari Il sistema fiaziario di u ecoomia è composto dagli itermediari fiaziari, dagli ivestitori istituzioali, dai mercati fiaziari e dalle autorità di vigilaza. Tra gli itermediari fiaziari figurao: le bache commerciali, di ivestimeto e di affari, le bache cooperative e le casse rurali, le società di itermediazioe mobiliare, le società di credito al cosumo, le società di locazioe fiaziaria e di riscossioe dei crediti. Tra gli ivestitori istituzioali figurao: le compagie di assicurazioe, i fodi pesioe, i gestori di patrimoi, i fodi comui di ivestimeto, i fodi immobiliari, i fodi speculativi, i fodi di private equity e veture capital. Tra le autorità di vigilaza italiae figurao: la Baca d Italia, istituita el 1893, la CONSOB (acroimo di Commissioe azioale per le società e la borsa), istituita el 1974, l IVASS (acroimo di Istituto per la vigilaza sulle assicurazioi) e la COVIP (acroimo di Commissioe di vigilaza sui fodi pesioe). U sistema fiaziario cosete agli operatori di effettuare i propri pagameti e ai fodi di fluire dagli operatori i surplus di risparmio agli operatori i deficit di risparmio; più precisamete, i fodi possoo fluire lugo il caale idiretto che passa attraverso gli 20

23 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria itermediari fiaziari e gli ivestitori istituzioali o lugo il caale diretto che passa attraverso i mercati fiaziari. I etrambi i caali, al flusso dei fodi si accompagao la stipula di cotratti fiaziari o la egoziazioe di titoli; i etrambi i casi, i datori di fodi assumoo dei rischi di mercato e di credito. Certi specifici rischi di mercato o di credito possoo essere mitigati o coperti stipulado degli opportui cotratti derivati; i altre parole, essi possoo essere trasferiti alle cotroparti dei cotratti derivati. Le famiglie soo el complesso operatori i surplus di risparmio, ossia datori etti di fodi, metre le imprese soo el complesso operatori i deficit di risparmio, ossia preditori etti di fodi. L ammiistrazioe pubblica è u operatore i deficit di riparmio ogi volta che il suo bilacio è i deficit, perché le spese superao le imposte e le tasse. Il resto del modo può essere el complesso sia u datore etto di fodi sia u preditore etto di fodi. I processi testé mezioati avvegoo grazie al supporto di sofisticate reti telematiche. Ifatti, ua miriade di pagameti e ua miriade di egoziazioi vegoo quotidiaamete eseguite ei rispettivi circuiti. Quado il fiaziameto è diretto, le imprese raccolgoo capitale di debito e/o mezzi propri, i quato le loro obbligazioi e/o azioi soo sottoscritte all emissioe. Le obbligazioi e le azioi soo emesse ei mercati primari e egoziate ei mercati secodari. I secodi possoo essere costituiti da ua borsa valori, o da u mercato over the couter, o da u sistema multilaterale di egoziazioe. Ua borsa valori come NYSE (acroimo di New York Stock Exchage), LSE (acroimo di Lodo Stock Exchage) e BI (acroimo di Borsa italiaa) è u mercato regolametato, autorizzato e cotrollato dalla competete autorità di vigilaza come la statuitese SEC (acroimo di Securities ad exchage commissios), la britaica FSA (acroimo di Fiacial services authority) e la ostra CONSOB. Le azioi quotate soo più liquide e più volatili di quelle o quotate. Ogi società quotata soddisfa specifici requisiti; i suoi bilaci auali soo certificati da ua società di revisioe cotabile. Il sistema di egoziazioe di ua borsa valori può basarsi sugli ordii o sulle quotazioi dearo-lettera. Nel primo sistema di egoziazioe, gli ordii di acquisto e di vedita dei titoli soo accoppiati elettroicamete; el secodo sistema di egoziazioe, gli specialisti dei diversi titoli quotati propogoo le proprie quotazioi dearo-lettera e accoppiao gli ordii. U ordie al meglio è eseguito al miglior prezzo possibile metre u ordie co limite di prezzo è eseguito al prezzo richiesto o a uo migliore. L esecuzioe di u ordie è garatita solo dagli specialisti, i quali soo proti a comprare (vedere) titoli al prezzo dearo (lettera) per ovviare a squilibri tra gli ordii di acquisto e gli ordii di vedita. Ua cassa di compesazioe e garazia garatisce il 21

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