Qualunque sia il valore iniziale della popolazione, a lungo termine essa si assesterà alla capacità portante

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1 popolazione popolazione.25 Modello di Beveron-Hol y=.2 y= Modello di Beveron-Hol y=.2 y=.1 y= lambda=1.5 alpha=2 Capacià porane K=(lambda-1)/alpha = lambda=1.5 alpha=2 Capacià porane K=(lambda-1)/alpha = Tempo Tempo Si può dimosrare che la capacià porane vale K 1 Qualunque sia il valore iniziale della popolazione, a lungo ermine essa si asseserà alla capacià porane

2 I PUNTI DI EQUILIBRIO DEL MODELLO DI BEVERTON-HOLT P 1 P 1 P P P P P ( 1P ) P P ( 1P ) P 1

3 Puni di equilibrio del modello di Beveron-Hol Diagramma a ragnaela per la ricerca dei puni sazionari P 1 1.5P 1 2P P insabile P 1 È equilibrio sabile y

4 IL MODELLO DI RICKER (1954) P P exp( P )

5 Il salmone del Pacifico Durane il ciclo riproduivo, le femmine di salmone ricercano un luogo nel greo del fiume dove deporre le uova, in aesa che vengano fecondae da un maschio. Al crescere della densià degli aduli, cresce la probabilià che più femmine scelgano lo sesso luogo. Oncorhynchus disruzione accidenale di alcune delle uova con conseguene decomposizione proliferazione di diversi ageni paogeni che infesano le uova depose Inolre in alcuni casi, si sono anche osservai fenomeni di cannibalismo degli aduli nei riguardi delle proprie uova. è ragionevole pensare che la sopravvivenza dei nuovi nai decresca con il numero di aduli riproduivi non in modo lineare

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7 COMPORTAMENTO DEL MODELLO DI RICKER ( DINAMICHE CAOTICHE ) P P 1 P exp( ) P P P P ( 1 exp( P )) exp( P ) 1 1 P log( ) log( ) log() P P ln()

8 5 1 f Y Dopo un breve periodo, la popolazione si assesa al valore di equilibrio ln( ) non banale 1. 61

9 1 1 Se si ha un andameno ciclico (di periodo 2). 1 Si alernano anni a popolazione scarsa con anni a popolazione abbondane L equilibrio non banale è insabile: parendo da densià vicine ad esso, si ende ad allonanarsi. Ci si avvicina invece ciclicamene ad alri 2 puni (non di equilibrio)

10 14 1 Dopo un breve ransiorio, la popolazione oscilla con periodicià ra 4 valori diversi. Ciclo di periodo 4 Ad ogni anno di elevaa abbondanza segue regolarmene un anno di bassa densià, ma di valore non cosane. I minimi e i massimi assumono alernaivamene valori diversi.

11 Comporameno caoico 18 1 N. 3 L abbondanza della popolazione ora fluua in maniera caoica. (caos deerminisico)

12 Il caos deerminisico deermina una sensibile dipendenza della soluzione dai dai iniziali. I valori previsi dal modello si differenziano sempre di più e addiriura sono in conro-fase dopo il renesimo passo (max e min scambiai) Valori iniziali diversi : N.3 N

13 APPLICAZIONE DEL MODELLO DI RICKER Le aringhe del Mare del Nord

14 N+1 [ 1 3 onnellae] La relazione sock-recluameno per queso ipo di popolazione ha prodoo la abella: N N N [ 1 3 onnellae]

15 N+1 [ 1 3 onnellae] Modello di Ricker per una popolazione di aringhe 7 6 Dai misurai Modello di Ricker N N exp( N 1 ) N [ 1 3 onnellae]

16 In una cera annaa si è verificao un peggiorameno della qualià delle acque dovuo all inquinameno La moralià delle aringhe è aumenaa del 3% ogni anno Variane del Modello di Ricker che prende in considerazione l effeo dell inquinameno N f ( N ).3* ( N 1 f ) N Ricker f ( N )[1 1 Inquinameno.3]

17 Puni di equilibrio in assenza e con inquinameno Senza inquinameno: N N exp( N 1 ) N 1 N Inersezione della curva N exp( N ) con la biserice Con inquinameno N [1.3]* N exp( N 1 ) N 1 N N exp( N Inersezione della curva con la rea di coefficiene angolare 1\.7 (biserice ruoaa) ) 1.7 N

18 Recluameno N+1 25 Effeo dell inquinameno Sock(N)

19 Densià 6 Le dinamiche emporali a confrono 5 Senza inquinameno 4 Con inquinameno Tempo [anni]

20 accrescimeno r(p) EFFETTO ALLEE Warder Clyde Allee Biologo ecologisa USA In alcune popolazioni e in cere condizioni ambienali il asso di accrescimeno è massimo ad una densià di individui inermedia ra la minima e la massima popolazione P Per valori della popolazione non così grandi da rendere rilevani l effeo della compeizione inraspecifica, l aumeno della popolazione provoca un aumeno del asso di accrescimeno

21 Ciò è vero per popolazioni doae di una sruura sociale (lupi), per le quali l aumeno della numerosià significa maggiore aiuo, sicurezza e proezione del singolo individuo. Si vuole cosruire una funzione che per valori di P piccoli risuli crescene, menre per valori grandi di P risuli decrescene Queso ipo di dipendenza da densià prende il nome di DEPENSAZIONE. Una parabola rivola verso il basso soddisfa le ipoesi che abbiamo poso su r(p).

22 accrescimeno r(p) accrescimeno r(p) r( P) c( K P)*( P Pd ) Due siuazioni possibili : Pd < Pd > Per valori di P molo piccoli, r(p) può essere negaivo (depensazione non criica) oppure posiivo (depensazione criica) 1 Depensazione non criica 1 Depensazione criica 5 5 Pd K Pd K -5-1 Pd = popolazione P -5 Pd = popolazione P

23 Evoluzione della popolazione con effeo Allee P P ) P 1 P c( K P )*( P c è una cosane legaa al asso malhusiano di crescia 25 Evoluzione con effeo ALLEE 25 d c m KP d Evoluzione con effeo ALLEE Depensazione non criica Depensazione criica

24 PUNTI DI EQUILIBRIO con effeo Allee I due casi di depensazione criica e non criica si rivelano molo diversi nella ricerca dei puni di equilibrio. P 1 P Equilibrio per popolazioni con effeo Allee c( K P)*( P P ) P d Equilibrio per popolazioni con effeo Allee Depensazione non criica Depensazione criica

25 Depensazione non criica: P P K K capacià porane Depensazione criica P P P d P K La sabilià dei puni di equilibrio dipende dai valori numerici che specificano la parabola, cioè dalla pendenza della curva Depensazione non criica: P = insabile P = K dipende dai parameri P = sabile possibile esinzione Depensazione criica: P = Pd insabile P = K dipende dai parameri

26 UN ESEMPIO Il branco di lupi Si consideri una popolazione di lupi con capacià porane K=1 e asso di crescia descrio dalla legge di depensazione. Supponiamo c=1^(-6) e Pd = 1 (depensazione criica) o Pd = -1 (depensazione non criica). Simuliamo l evoluzione della popolazione su 5 anni

27 11 Evoluzione branco di lupi N 2 Nd = Evoluzione branco di lupi N 2 Nd =

28 Nel caso criico una popolazione di lupi con numerosià inferiore a 1 (Nd) si esingue 8 Evoluzione branco di lupi Nd =

29 Si supponga che venga concessa la caccia. P 1 P c( K P )*( P Pd ) P E E consenia l abbaimeno di 2 esemplari ogni caccia anno a parire dall undicesimo anno. 12 Depensazione non criica con prelievo Dall'anno11 all'anno 24 si prelevano 2 esemplari L effeo del prelievo è evidene, ma alla fine del periodo venaorio la popolazione è in grado di recuperare

30 Depensazione criica con prelievo Dall'anno 15 all'anno 3 prelievo di 15 esemplari Anche in queso caso l effeo della caccia si fa senire, ma la popolazione è in grado di recuperare Depensazione criica con prelievo Dall'anno 15 all'anno 31 prelievo di 15 esemplari Ma se la caccia è permessa anche all anno 31, alla fine del periodo venaorio la popolazione si rova soo il valore Nd, ciò provoca l inesorabile esinzione anche se la caccia viene sospesa

31 La regolamenazione di una popolazione con depensazione criica è molo delicaa! NON E NECESSARIO STERMINARE TUTTI GLI INDIVIDUI PER INDURRE UNA POPOLAZIONE ALL ESTINZIONE