ALTRE FORME DI DIPENDENZA DALLA DENSITA

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1 ALTRE FORME DI DIPENDENZA DALLA DENSITA Limii del modello logisico discreo: Può produrre valori di popolazione negaiva Ad ale densià corrispondono alle generazioni successive densià negaive (esinzione?)

2 asso di crescia r(p) asso di crescia r(p) 4 Non ha senso che il asso di crescia sia < -1 ( più di una more pro capie!...) m y = m * (1 - x / K ) 0 K -1 Sarebbe più sensao considerare funzioni di queso ipo per descrivere l andameno di r(p): y = exp(1 - x / K)) K ax densià di popolazione P densià di popolazione P

3 P+1 Un modello più realisico dovrebbe produrre, in corrispondenza a densià molo ale, dei valori piccoli ma posiivi. Una popolazione che supera la capacià porane decade subio dopo a valori molo bassi di densià, ma è credibile che una pare di essa sopravviva. Una funzione che produce un andameno di queso ipo è ad esempio: y xe x m(1 ) K P

4 Modello di Beveron-Hol (1957) p 1 (1 r( p )) p con r( p ) 1 1 ap P 1 P 1P massimo asso di crescia della popolazione in condizione di non affollameno misura la forza della compeizione inraspecifica

5 popolazione popolazione Si può dimosrare che la capacià porane vale K Modello di Beveron-Hol lambda=1.5 alpha=2 y0=0.2 y0= Modello di Beveron-Hol lambda=1.5 alpha=2 y0=0.2 y0=0.1 y0= Capacià porane K=(lambda-1)/alpha = Capacià porane K=(lambda-1)/alpha = Tempo Tempo Qualunque sia il valore iniziale della popolazione, a lungo ermine essa si asseserà alla capacià porane

6 I PUNTI DI EQUILIBRIO DEL MODELLO DI BEVERTON-HOLT P 1 P 1 P P P P P ( 1P ) P 0 P ( 1P ) 0 P 1

7 Puni di equilibrio del modello di Beveron-Hol Diagramma a ragnaela per la ricerca dei puni sazionari P 1 1.5P 1 2P P 0 insabile P 1 È equilibrio sabile y

8 IL MODELLO DI RICKER (1954) P P P exp( ) 1

9 Il salmone del Pacifico Durane il ciclo riproduivo, le femmine di salmone ricercano un luogo nel greo del fiume dove deporre le uova, in aesa che vengano fecondae da un maschio. Al crescere della densià degli aduli, cresce la probabilià che più femmine scelgano lo sesso luogo. Oncorhynchus disruzione accidenale di alcune delle uova con conseguene decomposizione proliferazione di diversi ageni paogeni che infesano le uova depose Inolre in alcuni casi, si sono anche osservai fenomeni di cannibalismo degli aduli nei riguardi delle proprie uova. è ragionevole pensare che la sopravvivenza dei nuovi nai decresca con il numero di aduli riproduivi non in modo lineare

10 asso di crescia r(p) 4 y = exp(1 - x / K)) K P rp ( ) exp(1 ) 1 K densià di popolazione P p 1 (1 r( p )) p P P 1 (1 exp(1 ) 1) P K P P 1 P exp(1)* P exp( ) K P 1 P exp( P )

11 COMPORTAMENTO DEL MODELLO DI RICKER ( DINAMICHE CAOTICHE ) P P 1 P exp( ) 0 P P P 0 P ( 1 exp( P )) 0 exp( P ) 1 1 P log( ) log( ) log() P P ln()

12 5 1 Dopo un breve periodo, la popolazione si assesa al valore di equilibrio ln( ) non banale 1. 61

13 Se si ha un andameno ciclico (di periodo 2). Si alernano anni a popolazione scarsa con anni a popolazione abbondane L equilibrio non banale è insabile: parendo da densià vicine ad esso, si ende ad allonanarsi. Ci si avvicina invece ciclicamene ad alri 2 puni (non di equilibrio)

14 14 1 Dopo un breve ransiorio, la popolazione oscilla con periodicià ra 4 valori diversi. Ciclo di periodo 4 Ad ogni anno di elevaa abbondanza segue regolarmene un anno di bassa densià, ma di valore non cosane. I minimi e i massimi assumono alernaivamene valori diversi.

15 Comporameno caoico 18 1 N L abbondanza della popolazione ora fluua in maniera caoica. (caos deerminisico)

16 Valori iniziali diversi : N N Il caos deerminisico deermina una sensibile dipendenza della soluzione dai dai iniziali. I valori previsi dal modello si differenziano sempre di più e addiriura sono in conro-fase dopo il renesimo passo (max e min scambiai)

17 APPLICAZIONE DEL MODELLO DI RICKER Le aringhe del Mare del Nord

18 N+1 [ 10 3 onnellae] La relazione sock-recluameno per queso ipo di popolazione ha prodoo la abella: N N N [ 10 3 onnellae]

19 Tramie una procedura di fiing ai minimi quadrai è possibile risalire alla funzione relaiva al modello di Ricker capace di descrivere la dinamica di quesa popolazione clear all global N N0 N1 % Numero di aringhe (10^3 onellae)al empo N=[ ]; % Numero di aringhe (10^3 onellae)al empo +1 N1=[ ]; plo(n,n1,'o') ile('sock-recluameno per una popolazione di aringhe del Mare del nord') xlabel('n [ 10^3 onnellae]') ylabel('n+1 [ 10^3 onnellae] ')

20 % Approssimazione ai minimi quadrai con il modello di Richer % % N(+1)= lambda* N()*exp(-K*N()) % % % p = [ lambda, K ]: parameri da idenificare % ======================================== N0= N(1); p=[ ]; opions=opimse('tolx',0.001); % [p,fmin,exi,ou]=fminsearch('rerr',p,opions); % % Rappresenazione grafica dei risulai % % y dai calcolai con il modello % N1 dai misurai % for i=1:lengh(n) y(i)= ricker(p,n(i)); end % valori iniziali dei parameri da idenificare

21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Calcolo dell'errore % ra i valori misurai e quelli calcolai (modello di Ricker) % % ( Errore = Disanza euclidea) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% funcion z=rerr(p) global N N0 N1 % len = lengh(n); for i=1:len y(i)= ricker(p,n(i)); end z=norm(y-n1); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Definizione del MODELLO DI % RICKER % % N(+1)= lambda* N()*exp(-K*N()) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% funcion y =ricker(param,n) global N N0 N1 lambda=param(1); K=param(2); y=lambda*n*exp(-k*n);

22 N+1 [ 10 3 onnellae] figure(2) plo(n,n1,'o',n,y) ile( 'Modello di Ricker per una popolazione di aringhe') xlabel('n [ 10^3 onnellae]') ylabel('n+1 [ 10^3 onnellae]') legend('dai misurai','modello di Ricker') Modello di Ricker per una popolazione di aringhe Dai misurai Modello di Ricker N N exp( N 1 ) N [ 10 3 onnellae]

23 Effeo inquinameno (Variane del Modello di Ricker) In una cera annaa si è verificao un peggiorameno della qualià delle acque dovuo all inquinameno La moralià delle aringhe è aumenaa del 30% ogni anno N f ( N ) 0.3* ( N 1 f ) Ricker Inquinameno N f ( N )[ ]

24 Puni di equilibrio in assenza e con inquinameno Senza inquinameno: N N exp( N 1 ) N 1 N Inersezione della curva N exp( N ) con la biserice Con inquinameno N [1 0.3]* N exp( N 1 ) N 1 N N exp( N Inersezione della curva con la rea di coefficiene angolare 1\0.7 (biserice ruoaa) ) N

25 Recluameno N Effeo dell inquinameno Sock(N)

26 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Equilibrio in caso di inquinameno (more del 30% delle aringhe) % % f(n+1) = f(n) -0.3*f(N) % % ==> equilibrio: f(n)[1-0.3] = N % ==> inersezione di f(n) con la rea: N / [1-0.3] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % figure(3) equi=n; inqui=1/(1-0.3); y2=inqui*n; plo(n,y,n,equi,'g',n,y2,'--r') ile('effeo dell inquinameno') xlabel('sock(n)') ylabel('recluameno N+1')

27 Dinamiche emporali a confrono Dinamiche emporali a confrono T=[0:20]; a1(1)=n0; a2(1)=a1(1); for i=1:lengh(t)-1 a1(i+1)=ricker(p,a1(i)); a2(i+1)=ricker(p,a2(i)); a2(i+1)=a2(i+1)-0.3*a2(i+1); end plo(t,a1,t,a1,'o',t,a2,t,a2,'*') ile('le dinamiche emporali a confrono') xlabel('tempo [anni]') ylabel('densià')

28 Densià 60 Le dinamiche emporali a confrono 50 Senza inquinameno 40 Con inquinameno Tempo [anni]