Algoritmi e Strutture Dati. Grafi
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- Elisa Puglisi
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1 Algoritmi Struttur Dti Grfi Alrto Montrsor Univrsità i Trnto 08//7 This work is lins unr Crtiv Commons Attriution-ShrAlik 4.0 Intrntionl Lins.
2 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
3 Introuzion Dfinizioni Grfi orintti non orintti: finizioni Grfo orintto (irt) È un oppi G = (V, E) ov: V è un insim i noi (no) o vrtii (vrtx) E è un insim i oppi orint (u, v) i noi tt rhi (g) V = {,,,,,f } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
4 Introuzion Dfinizioni Grfi orintti non orintti: finizioni Grfo non orintto (unirt) È un oppi G = (V, E) ov: V è un insim i noi (no) o vrtii (vrtx) E è un insim i oppi non orint [u, v] tt rhi (g) V = {,,,,,f } E = { [,], [,], [,], [,], [,], [,] } f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
5 Introuzion Dfinizioni Trminologi Un vrti v è tto int u s sist un ro (u, v) In un grfo inirtto, l rlzion i inz è simmtri Un ro (u, v) è tto inint u v f (, ) è inint (, ) è inint (, ) è inint è int è int è int Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
6 Introuzion Dfinizioni Dimnsioni l grfo Dfinizioni n = V numro i noi m = E numro i rhi Alun rlzioni fr n m In grfo non orintto, m n(n ) = O(n ) In grfo orintto, m n n = O(n ) Complssità i lgoritmi su grfi L omplssità è sprss in trmini si i n h i m ( s. O(n + m)) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
7 Introuzion Dfinizioni Dfinizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E), un mmino C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ ) E pr 0 i k. Esmpio:,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 4 Not: un mmino è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
8 Introuzion Dfinizioni Dfinizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E), un mmino C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ ) E pr 0 i k. Esmpio:,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 4 Not: un mmino è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
9 Introuzion Spifi Spifi Grfi inmii Nll vrsion più gnrl, il grfo è un struttur i ti inmi h prmtt i ggiungr/rimuovr noi rhi. Grph Grph( ) St siz() St V() St j(no u) insrtno(no u) insrteg(no u, No v) ltno(no u) lteg(no u, No v) % Cr un nuovo grfo % Rstituis il numro i noi % Rstituis l insim i tutti i noi % Rstituis l insim i noi inti u % Aggiung il noo u l grfo % Aggiung l ro (u, v) l grfo % Rimuov il noo u l grfo % Rimuov l ro (u, v) l grfo Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
10 Introuzion Spifi Spifi riott (snz rimozioni) Grph Grph( ) In luni si, il grfo è inmio m sono possiili solo insrimnti Il grfo vin rito ll inizio poi non vin moifito Qusto h riflssi sull implmntzion sottostnt St siz() St V() St j(no u) insrtno(no u) insrteg(no u, No v) % Cr un nuovo grfo % Rstituis il numro i noi % Rstituis l insim i tutti i noi % Rstituis l insim i noi inti u % Aggiung il noo u l grfo % Aggiung l ro (u, v) l grfo Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
11 Introuzion Mmorizzzion Mmorizzr grfi Mtri i inz Spzio rihisto O(n ) Vrifir s u è int v rihi tmpo O() Itrr su tutti gli rhi rihi tmpo O(n ) Il pr grfi nsi List i inz Spzio rihisto O(n + m) Vrifir s u è int v rihi tmpo O(n) Itrr su tutti gli rhi rihi tmpo O(n + m) Il pr grfi sprsi Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
12 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi orintti m uv = { (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
13 Introuzion Mmorizzzion List i inz: grfi orintti G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 0 / 7
14 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi non orintti m uv = { (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n oppur n(n )/ it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
15 Introuzion Mmorizzzion List i inz: grfo non orintto G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
16 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi psti Grfi psti Gli rhi sono ssoiti un pso (osto, profitto, t.) Il pso è ssgnto un funzion i pso w : V V R S non sist ro fr u vrtii, il pso ssum un vlor h ipn l prolm.g. w(u, v) = Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
17 Introuzion Mmorizzzion List i inz - vrizioni sul tm Si il ontto i list i jnz h il ontto i list i noi possono ssr linti in vri moi: Struttur Jv C++ Python List ollgt LinkList list Vttor sttio [] [] [] Vttor inmio ArryList vtor list Insim HshSt st st TrSt Dizionrio HshMp TrMp mp it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
18 Introuzion Mmorizzzion Vttor i inz: grfo orintto G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
19 Introuzion Mmorizzzion Dttgli sull implmntzion S non ivrsmnt spifito, nl sguito: Assumrmo h l implmntzion si st su vttori i inz, sttii o inmii Assumrmo h l intifitor No si quivlnt un int, quini l sso ll informzioni vrà osto O() Assumrmo h opo l inizilizzzion, il grfo si sttio Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
20 Introuzion Mmorizzzion Itrzion su noi rhi Pr itrr su tutti i noi l grfo, srivrmo: forh u G.V() o { Esgui oprzioni sul noo u } Pr itrr su tutti i noi l grfo su tutti gli rhi, srivrmo: forh u G.V() o { Esgui oprzioni sul noo u } forh v G.j(u) o { Esgui oprzioni sull ro (u, v) } Il osto i tl oprzion srà: O(m + n) on list i inz vrinti O(n ) on mtrii i inz Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
21 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
22 Visit i grfi Visit i grfi Dfinizion l prolm Dto un grfo G = (V, E) un vrti r V (ri), visitr un un volt sol tutti i noi l grfo h possono ssr rggiunti r Visit in mpizz (Brth-first srh) (BFS) Visit i noi pr livlli: prim si visit l ri, poi i noi istnz ll ri, poi istnz, t. Applizion: lolr i mmini più rvi un singol sorgnt Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
23 Visit i grfi Visit i grfi Dfinizion l prolm Dto un grfo G = (V, E) un vrti r V (ri), visitr un un volt sol tutti i noi l grfo h possono ssr rggiunti r Visit in profonità (Dpth-First Srh) () Visit riorsiv: pr ogni noo int, si visit riorsivmnt tl noo, visitno riorsivmnti i suoi noi inti, t. Applizion: orinmnto topologio Applizion: omponnt onnss, omponnti fortmnt onnss Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
24 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
25 BFS Brth-first srh - Oittivi Visitr i noi istnz rsnti ll sorgnt Visitr i noi istnz k prim i visitr i noi istnz k + Clolr il mmino più rv r tutti gli ltri noi L istnz sono misurt nl numro i rhi ttrvrsti Gnrr un lro rth-first Gnrr un lro ontnnt tutti i noi rggiungiili r, tl pr ui il mmino ll ri r l noo u nll lro orrispon l mmino più rv r u nl grfo. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
26 BFS Brth-first srh fs(grph G, No r) Quu S = Quu( ) S.nquu(r) ooln[ ] visit = nw ooln[g.siz()] forh u G.V() {r} o visit[u] = fls visit[r] = tru whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() { visit il noo u } forh v G.j(u) o { visit l ro (u, v) } if not visit[v] thn visit[v] = tru S.nquu(v) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 0 / 7
27 BFS Cmmini più rvi Applizion BFS: Cmmini più rvi Pul Erös (93-996) Mtmtio 500+ rtioli, 500+ o-utori Numro i Erös Erös h vlor ros = 0 I o-utori i Erös hnno ros = S X è o-utor i quluno on ros = k non è outor on quluno on ros < k, llor X h ros = k + L prson non rggiunt qust finizion hnno ros = + Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
28 BFS Cmmini più rvi Alrto Montrsor, ros = 4 Alrto Montrsor, ros = 4 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7 33
29 BFS Cmmini più rvi Clolr il numro i Erös ros(grph G, No r, int[ ] rős, No[ ] prnt) Quu S = Quu() S.nquu(r) forh u G.V() {r} o rős[u] = rős[r] = 0 prnt[r] = nil whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() forh v G.j(u) o if rős[v] == thn rős[v] = rős[u] + prnt[v] = u S.nquu(v) % S il noo v non è stto soprto Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
30 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
31 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {,, f } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
32 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {, f,, } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
33 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { f,,, h } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
34 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {,, h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
35 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {, h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
36 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
37 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { g, j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
38 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
39 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
40 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
41 BFS Cmmini più rvi Alro BFS (BFS Tr) L visit BFS può ssr ust pr ottnr il mmino più rv fr u noi (misurto in numro i rhi) "Alro i oprtur" on ri r Mmorizzto in un vttor i pri prnt ros([...], No[ ] prnt) [... ] whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() forh v G.j(u) o if rős[v] == thn rős[v] = rős[u] + prnt[v] = u S.nquu(v) printpth(no r, No s, No[ ] prnt) if r == s thn print s ls if prnt[s] == nil thn print rror ls printpth(r, prnt[s], prnt) print s Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
42 BFS Cmmini più rvi Alro BFS (BFS Tr) 0 k f g h l Quu = { } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
43 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
44 Dpth-First Srh () Dpth-First Srh Spsso un suroutin ll soluzion i ltri prolmi Utilizzt pr splorr un intro grfo, non solo i noi rggiungiili un singol sorgnt Output Inv i un lro, un forst pth-first G f = (V, E f ) Formt un ollzion i lri pth-first Struttur ti Stk spliito Stk impliito, ttrvrso l riorsion Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
45 Dpth-First Srh (Riorsiv, stk impliito) fs(grph G, No u, ooln[ ] visit) visit[u] = tru { visit il noo u (pr-orr) } forh v G.j(u) o if not visit[v] thn { visit l ro (u, v) } fs(g, v, visit) { visit il noo u (post-orr) } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
46 If you o not unit, you will gt th BFS vs Esguir un st su himt riorsiv può ssr rishioso in grfi molto grni onnssi E possiil h l profonità rggiunt si troppo grn pr l imnsion llo stk l linguggio In tli si, si prfris utilizzr un BFS oppur un st su stk spliito Dfult Vlu Xss fult vlus r pltform spif Stk siz in Jv Tl 9 Xss Dfult Vlus Pltform Dfult Winows IA3 64 KB Linux IA3 8 KB Winows x86_64 8 KB Linux x86_64 56 KB Winows IA64 30 KB Linux IA64 04 KB ( MB) Solris Spr 5 KB Flgs or Othr Options A Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
47 Componnti onnss Componnti (fortmnt) onnss Motivzioni Molti lgoritmi h oprno sui grfi inizino omponno il grfo nl su omponnti onnss. Tli lgoritmi sono sguiti su ognun ll omponnti I risultti sono riomposti ssim. Dfinizioni Componnti onnss (Connt omponnts, CC), finit su grfi non orintti Componnti fortmnt onnss (Strongly onnt omponnts, SCC), finit su grfi orintti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 30 / 7
48 Componnti onnss Dfinizioni: Rggiungiilità Dfinizion Un noo v è rggiungiil un noo u s sist lmno un mmino u v. Il noo è rggiungiil l noo vivrs Il noo è rggiungiil l noo, m non vivrs Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
49 Componnti onnss Grfi onnssi omponnti onnss Dfinizioni Dfinizioni: Grfi onnssi omponnti onnss Un grfo non orintto G = (V, E) è onnsso ogni suo noo In è rggiungiil grfo non orintto G ogni ltro suo noo Un grfo non orintto G = (V, E Un grfo G ) è un omponnt onnss G = (V, E ) è un omponnt onnss i G è un sottogrfo è un i G sottogrfo onnsso mssiml onnsso mssiml i G G è un sottogrfo i G (G G) V V E E G è mssiml G è mssiml s non non sist un sottogrfo G i G h si nssun ltro sottogrfo G i onnsso G tl h G più grn i G, ovvro tl è onnsso più grn i G pr ui G G G (i.. G G G) Alrto Montrsor G è onnsso sist un mmino ogni vrti ogni ltro vrti Dfinizioni G è un sottogrfo i G (G G) s solo s V V E E Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7 A
50 Componnti onnss Applizion : Componnti onnss Prolm Vrifir s un grfo è onnsso oppur no Intifir l su omponnti onnss Soluzion Un grfo è onnsso s, l trmin ll, tutti i noi sono mrti Altrimnti, l visit v riominir po un noo non mrto, intifino un nuov omponnt l grfo Struttur ti Un vttor i h ontin gli intifitori ll omponnti i[u] è l intifitor ll.. ui pprtin u Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 33 / 7
51 Componnti onnss Applizion : Componnti onnss (Grph G, int[ ] i) forh u G.V() o i[u] = 0 int ountr = 0 forh u G.V() o if i[u] == 0 thn ountr = ountr + fs(g, ountr, u, i) fs(grph G, int ountr, No u, int[ ] i) i[u] = ountr forh v G.j(u) o if i[v] == 0 thn fs(g, ountr, v, i) rturn i Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 34 / 7
52 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss g f h i j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
53 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
54 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
55 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
56 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
57 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
58 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
59 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
60 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
61 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
62 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
63 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
64 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
65 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
66 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
67 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
68 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
69 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
70 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
71 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
72 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
73 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
74 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
75 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
76 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
77 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
78 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
79 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
80 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
81 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
82 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
83 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
84 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
85 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
86 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h 3 j 3 k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
87 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Cilo Cilo (yl) In un grfo non orintto G = (V, E), un ilo C i lunghzz k > è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ E) pr 0 i k u 0 = u k. k > slu ili nli omposti oppi i rhi (u, v) (v, u), h sono onniprsnti ni grfi non orintti. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 36 / 7
88 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Grfo ilio Grfo ilio Un grfo non orintto h non ontin ili è tto ilio. f Prolm Dto un grfo non orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 37 / 7
89 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo non orintto ilio ooln hscyl(grph G) ooln[ ] visit = nw ooln[g.siz()] forh u G.V() o visit[u] = fls forh u G.V() o if not visit[u] thn if hscylr(g, u, null, visit) thn rturn tru rturn fls Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 38 / 7
90 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo non orintto ilio ooln hscylr(grph G, No u, No p, ooln[ ] visit) visit[u] = tru forh v G.j(u) {p} o if visit[v] thn rturn tru ls if hscylr(g, v, u, visit) thn rturn tru rturn fls Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 39 / 7
91 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Cilo Cilo (yl) In un grfo orintto G = (V, E), un ilo C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ E) pr 0 i k u 0 = u k. Esmpio:,,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 5 Not: un ilo è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti ( slusion l primo ll ultimo) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 40 / 7
92 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Grfo orintto ilio (DAG) DAG Un grfo orintto h non ontin ili è tto DAG (irt yli grph). f Grfo ilio Un grfo è ilio s ontin un ilo. f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
93 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
94 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
95 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
96 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
97 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
98 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
99 Clssifizion gli rhi Clssifizion gli rhi Alro i oprtur Ogni volt h si smin un ro un noo mrto un noo non mrto, tl ro vin ro ll lro Gli rhi (u, v) non inlusi nll lro possono ssr ivisi in tr tgori S u è un ntnto i v in T, (u, v) è tto ro in vnti S u è un isnnt i v in T, (u, v) è tto ro ll initro Altrimnti, vin tto ro i ttrvrsmnto Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 43 / 7
100 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) { visit il noo u (pr-orr) } tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o { visit l ro (u, v) (qulsisi) } if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim: onttor t: isovry tim (tmpo i soprt) ft: finish tim (tmpo i fin) { visit il noo u (post-orr) } tim = tim + ; ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 44 / 7
101 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
102 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
103 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] t[v] = 0 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
104 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
105 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] t[v] = 0 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
106 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] [3, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
107 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
108 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
109 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] t[u] < t[v], ft[v] 0 [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
110 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim t[v] = 0 [, ] [, 5] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
111 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
112 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] t[u] > t[v], ft[v] = 0 [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
113 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] othrwis [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
114 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
115 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
116 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, ] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
117 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, ] [, 5] othrwis [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
118 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, 0] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
119 Clssifizion gli rhi Clssifizion gli rhi Prhè lssifir gli rhi? Possimo imostrr proprità sul tipo gli rhi usr qust proprità pr ostruir lgoritmi migliori Torm Dt un visit i un grfo G = (V, E), pr ogni oppi i noi u, v V, solo un ll onizioni sgunti è vr: Gli intrvlli [t[u], ft[u]] [t[v], ft[v]] sono non-sovrpposti; u, v non sono isnnti l uno ll ltro nll forst DF L intrvllo [t[u], ft[u]] è ontnuto in [t[v], ft[v]]; u è un isnnt i v in un lro DF L intrvllo [t[v], ft[v]] è ontnuto in [t[u], ft[u]]; v è un isnnt i u in un lro DF Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 46 / 7
120 Grfi ilii orintti Tori Torm Un grfo orintto è ilio non sistono rhi ll initro nl grfo. Dimostrzion s: S sist un ilo, si u il primo noo l ilo h vin visitto si (v, u) un ro l ilo. Il mmino h onntt u v vrrà prim o poi visitto, v vrrà soprto l ro ll initro (v, u). solo s: S sist un ro ll initro (u, v), ov v è un ntnto i u, llor sist un mmino v u un ro u v, ovvro un ilo. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 47 / 7
121 Grfi ilii orintti Applizion : DAG ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 48 / 7
122 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
123 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
124 Grfi ilii orintti Applizion : DAG t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
125 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
126 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
127 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
128 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
129 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, ] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
130 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, ] t[u] < t[v], ft[v] 0 [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
131 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, 6] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
132 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Non vin iniviuto nssun ro ll initro, quini tutt l himt riorsiv rrivrnno l trmin ritornrnno fls. ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 50 / 7
133 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
134 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
135 Grfi ilii orintti Applizion : DAG t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
136 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
137 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
138 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
139 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] t[u] > t[v], ft[v] = 0 [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
140 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Vin iniviuto un ro ll initro, h us l rstituzion i tru in un himt l onsgunt rstituzion i tru prt i tutt l himt riorsiv prnti. ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
141 Orinmnto topologio Orinmnto topologio rinmnto topologio Dto un Dfinizion DAG G (irt yli grph), un orinmnto topologio su G è un orinmnto Dto unlinr DAG i G, suoi un orinmnto vrtii tl pr topologio ui: i G è un orinmnto s linr G ontin i l ro suoi noi (u,v), llor tl h u ompr s (u, prim v) i E, v nll orinmnto llor u ppr prim i Pr v nll orinmnto. trnsitività, onsgu h s v è rggiungiil u, llor u ompr prim i v nll'orinmnto Esistono più orinmnti topologii Not: Spossono il grfossri ontin più orinmnti un ilo, topologii non sist un orinmnto topologio Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 lrto Montrsor 7453 / 7
142 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Prolm Srivr un lgoritmo h prn in input un DAG ritorn un orinmnto topologio pr sso. Niv solution Trovr un noo snz rhi ntrnti Aggiungr qusto noo nll orinmnto rimuovrlo, insim tutti i suoi rhi Riptr qust prour fino quno tutti i noi sono stti rimossi Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 54 / 7
143 Orinmnto topologio Orinmnto topologio - Algoritmi niv Soluzion irtt Output: Output: Output: Output: 3 5 Output: 3 5 Output: Alrto Montrsor 76 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 55 / 7
144 Orinmnto topologio Orinmnto topologio sto su Algoritmo Esguir un nl qul l oprzion i visit onsist nll ggiungr il noo in tst un list, "t finish tim" (post-orin) Rstituir l list osì ottnut. Output L squnz i noi, orinti pr tmpo rsnt i fin. Prhè funzion? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 56 / 7
145 Orinmnto topologio Orinmnto topologio sto su Algoritmo Esguir un nl qul l oprzion i visit onsist nll ggiungr il noo in tst un list, "t finish tim" (post-orin) Rstituir l list osì ottnut. Output L squnz i noi, orinti pr tmpo rsnt i fin. Prhè funzion? Quno un noo è "finito", tutti i suoi isnnti sono stti soprti ggiunti ll list. Aggiungnolo in tst ll list, il noo è in orin orrtto. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 56 / 7
146 Orinmnto topologio Orinmnto topologio - L lgoritmo Stk topsort(grph G) Stk S Stk() ooln[ ] visit = ooln[... G.siz()] forh u G.V() o visit[u] = fls forh u G.V() o if not visit[u] thn ts-fs(g, u, visit, S) rturn S ts-fs(grph G, No u, ooln[ ] visit, Stk S) visit[u] = tru forh v G.j(u) o if not visit[v] thn ts-fs(g, v, visit, S) S.push(u) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 57 / 7
147 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
148 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
149 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
150 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] [3, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
151 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] [3, 4] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
152 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
153 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
154 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
155 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [7, ] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
156 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
157 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, ] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
158 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
159 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,,, } Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
160 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
161 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
162 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
163 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [7, 8] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
164 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [7, 8] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [9, 0] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
165 Componnti fortmnt onnss Grfi omponnti fortmnt onnssi Dfinizioni Un grfo orintto G = (V, E) è onnsso ogni suo noo è rggiungiil ogni ltro suo noo Un grfo orintto G = (V, E ) è un omponnt onnss G è un sottogrfo onnsso mssiml i G G è un sottogrfo i G (G G) V V E E G è mssiml s non sist nssun ltro sottogrfo G i G tl h G è onnsso più grn i G (i.. G G G) f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 59 / 7
166 Componnti fortmnt onnss Componnti fortmnt onnss Domn Quli sono l omponnti onnss i qusto grfo? f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 60 / 7
167 Componnti fortmnt onnss Componnti fortmnt onnss Domn Quli sono l omponnti onnss i qusto grfo? f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 60 / 7
168 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz 3 f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
169 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
170 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
171 Componnti fortmnt onnss Algoritmo i Kosrju Kosrju Algorithm (978) Effttu un visit l grfo G Clol il grfo trsposto G t Esgui un visit sul grfo G t utilizzno, sminno i noi nll orin invrso i tmpo i fin ll prim visit L omponnti onnss ( i rltivi lri DF) rpprsntno l omponnti fortmnt onnss i G int[ ] s(grph G) Stk S = topsort(g) G T trnspos(g) rturn (G T, S) % First visit % Grph trnsposl % Son visit Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
172 Componnti fortmnt onnss Orinmnto topologio su grfi gnrli I gnrl Applino l lgoritmo i orinmnto topologio su un grfo gnrl, simo siuri h: s un ro (u, v) non pprtin un ilo, llor u vin listto prim i v nll squnz orint Utilizzimo quini topsort() pr ottnr i noi in orin rsnt i tmpo i fin. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 63 / 7
173 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Orinmnto topologio [, ] [3, 0] [, ] [7, 8] [4, 9] f [5, 6] Stk = {,,,,, f } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 64 / 7
174 Componnti fortmnt onnss Clolo l grfo trsposto Grfo trsposto (Trnspos grph) Dto un grfo orintto G = (V, E), il grfo trsposto G t = (V, E T ) h gli stssi noi gli rhi orintti in snso opposto.: E T = {(u, v) (v, u) E} int[ ] trnspos(grph G) Grph G T = Grph() forh u G.V() o G T.insrtNo(u) forh u G.V() o forh v G.j(u) o G T.insrtEg(v, u) Costo omputzionl: O(m+n) O(n) noi ggiunti O(m) rhi ggiunti Ogni oprzion ost O() rturn G T Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 65 / 7
175 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 66 / 7
176 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 66 / 7
177 Componnti fortmnt onnss Clolo ll omponnti onnss Inst of xmining th nos in n ritrry orr, this vrsion of () xmins thm in th orr in whih thy r stor in stk. (Grph G, int[ ] i, Stk S) forh u G.V() o i[u] = 0 int ountr = 0 whil not S.isEmpty() o u = S.pop() if i[u] == 0 thn ountr = ountr + fs(g, ountr, u, i) fs(grph G, int ountr, No u, int[ ] i) i[u] = ountr forh v G.j(u) o if i[v] == 0 thn fs(g, ountr, v, i) rturn i Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 67 / 7
178 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Componnti onnss [3, 4] [5, ] [, ] [6, 9] f [0, ] [7, 8] Stk = {,,,,, f } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 68 / 7
179 Componnti fortmnt onnss SCC: Th lgorithm int[ ] s(grph G) Stk S = topsort(g) G T trnspos(g) rturn (G T, S) % First visit % Grph trnsposl % Son visit Costo omputzionl: O(m + n) Ogni fs rihi O(m + n) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 69 / 7
180 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Orinmnto topologio [0, ] [, 7] [9, ] [4, 5] [3, 6] f [, 8] Stk = {,, f,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 70 / 7
181 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
182 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
183 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Componnti onnss [3, 4] [7, 0] [, ] [5, ] f [6, ] [8, 9] Stk = {,, f,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena A.A
Inggnri Sinz Informtih - Csn A.A. 3- iln@s.unio.it, pitro.iln@unio.it : psuooi Clol il osto l mmino minimo un vrti sorgnt s tutti i rstnti vrtii nl grfo. Clol un lro i oprtur i mmini minimi (shortst pth
Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena A.A
Inggnri Sinz Informtih - Csn A.A. - iln@s.unio.it, pitro.iln@unio.it Algoritmo i Floy-Wrshll Algoritmo Floy-Wrshll Algoritmo i Floy-Wrshll: psuooi Clol il osto l mmino minimo tr tutt l oppi i vrtii in
Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 25: Algoritmi sui grafi. Lezione 25 - Modulo 1. Problema. Notazioni per il percorso più breve
Informti Informti LZION : lgoritmi sui grfi Lzion - Moulo Moulo : Prolm l prorso più rv Moulo : Spnning tr osto minimo Prolm l prorso più rv Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr
Esempio 1 Consideriamo un grafo G con insieme di nodi. mentre l insieme di archi é il seguente sottinsieme di coppie di nodi in V
1 Tori i grfi Pr prim os imo l finizion i grfo. Dfinizion 1 Un grfo G é ostituito un oppi i insimi (V, A) ov V é tto insim i noi A é tto insim i rhi é un sottinsim i tutt l possiili oppi i noi in V. S
Informatica II. Capitolo 5. Alberi. E' una generalizzazione della struttura sequenza
Alri Informtic II Cpitolo 5 Alri E' un gnrlizzzion dll struttur squnz Si rilss il rquisito di linrità: ogni lmnto (nodo) h un solo prdcssor m può vr più succssori. Il numro di succssori (figli) può ssr
Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone
Mhin non ompltmnt spifit Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spifit Comptiilità Vrsion l 5/12/02 Sono mhin in ui pr lun onfigurzioni
Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona
Minimizzzion gli Stti in un Rt Squnzil Sinron Murizio Plsi Murizio Plsi 1 Sintsi i Rti Squnzili Sinron Il proimnto gnrl i sintsi si svolg ni sgunti pssi: 1. Rlizzzion l igrmm gli stti prtir ll spifih l
Minimum Spanning Tree
Minimum Spnnin Tr LASD 00-05 Un pplizion: ostruzion i un iruito Si vuol rr un iruito lttronio onnttno n omponnti lttronii mint n- ili isuno i quli è posto tr un oppi i omponnti Solo lun oppi i omponnti
Minimum Spanning Tree
Minimum Spnnin Tr LASD 00-05 Un pplizion: ostruzion i un iruito Si vuol rr un iruito lttronio onnttno n omponnti lttronii mint n- ili isuno i quli è posto tr un oppi i omponnti Solo lun oppi i omponnti
Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona
Minimizzzion gli Stti in un Rt Squnzil Sinron Murizio Plsi Murizio Plsi 1 Sintsi i Rti Squnzili Sinron Il proimnto gnrl i sintsi si svolg ni sgunti pssi: 1. Rlizzzion l igrmm gli stti prtir ll spifih l
Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica
Modlli di Sistmi di Produzion Modlli Algoritmi dll Logisti 000- Prolm dl ommsso viggitor: EURISTICHE CARLO MANNINO Spinz Univrsità di Rom Diprtimnto di Informti Sistmisti Euristih pr il TSP simmtrio Considrimo
Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone. Macchine non completamente specificate
Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spifit Comptiilità Vrsion l 9/12/03 Mhin non ompltmnt spifit Sono mhin in ui pr lun onfigurzioni
Circuiti Sequenziali Macchine Non Completamente Specificate
CEFRIEL Consorzio pr l Formzion l Rir in Inggnri ll Informzion Politnio i Milno Ciruiti Squnzili Mhin Non Compltmnt Spifit Introuzion Comptiilità Riuzion l numro gli stti Mtoo gnrl FSM non ompltmnt spifit
Corso di Automi e Linguaggi Formali Parte 3
Esmpio Sdo il pumping lmm sist tl ch ogni prol di tin un sottostring non vuot ch puo ssr pompt o tglit rpprsntrl com Invc non in dv ssr in posso Corso di Automi Linguggi Formli Gnnio-Mrzo 2002 p.3/22 Corso
j Verso la scuola superiore Gli insiemi N, Z, Q, R
j Vrso l suol suprior Gli insimi N, Z, Q, R Individu l rispost orrtt Un numro è divisor sondo di un numro s L oprzion è impossiil possiil in Z possiil in R Trdundo il tsto nll simologi mtmti si h ; pplindo
Sistemi lineari COGNOME... NOME... Classe... Data...
Cpitolo Sistmi linri Risoluzion grfi lgri rifi pr l lss prim COGNOME............................... NOME............................. Clss.................................... Dt...............................
Minimizzazione degli Stati in una macchina a stati finiti
Rti Loih Sintsi i rti squnzili sinron Minimizzzion li Stti in un mhin stti initi Proimnto: Spiih Dirmm li stti Tll li stti Minimizzzion li stti Coii li stti Tll ll trnsizioni Slt lmnti i mmori Tll ll itzioni
Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone
Mhin non ompltmnt spifit Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spifit Comptiilità Vrsion l 15/01/05 Sono mhin in ui pr lun onfigurzioni
Circuiti Nel progettare un circuito destinato a svolgere una certa funzione normalmente si hanno a disposizione i seguenti elementi:
Ciruiti Nl progttr un iruito stinto svolgr un rt funzion normlmnt si hnno isposizion i sgunti lmnti: NODO )Uno o più sorgnti i f..m. not (ttri, gnrtor i tnsion) )Filo mtllio (onuttor) ) intrruttori )sistnz
a b }. L insieme Q è pertanto l insieme delle frazioni.
I1. Insimisti I1.1 Insimi Il ontto i insim è un ontto primitivo, prtnto non n vin t un finizion rigoros. Si può ir, intuitivmnt, h un insim è un ollzion i oggtti pr ui vlgono lun proprità: Un lmnto i un
Macchine non completamente specificate. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di Reti Sequenziali Sincrone
Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i Rti Squnzili Sinron Riuzion l numro gli stti pr Mhin Non Compltmnt Spiit Comptiilità Vrsion l 13/01/05 (Frrni( Antol) Mhin non ompltmnt spiit Sono mhin in ui
1 a. 1 b. Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura. b 1
Rpprsnt i sgunti numri su un rtt orintt, sglino utonommnt un opportun unità i misur. 0 0 f g 7 0 h 0 Si noti h il m..m i nomintori è 0, quini un slt opportun è siurmnt qull i utilizzr 0 qurtti om unità
Sintesi: Assegnamento degli stati. Sintesi Sequenziale Sincrona Sintesi Comportamentale di reti Sequenziali Sincrone. Sintesi: Scelta del codice
Sintsi: Assgnmnto gli stti Sintsi Squnzil Sinron Sintsi Comportmntl i rti Squnzili Sinron L riuzion l numro gli stti minimizz il numro i lmnti i mmori quini i vriili i stto h srivono l mhin sinttizzr A
Cognome e Nome: Numero di Matricola: Spazio riservato alla correzione
Cognom Nom: Numro i Matriola: Spazio risrvato alla orrzion 1 2 3 6 Total /25 /27 /28 /20 /100 1. a) Si finisa formalmnt il ontto i orin topologio i un grafo irzionato alilio. In assnza i qusta finizion
Che cosa c è nella lezione. Questa lezione si occupa di tecniche avanzate di risoluzione dei problemi: il backtracking. il paradigma greedy.
Algoritmi Progrmmzion Avnzt - tori /9 Ch cos c è nll lzion Qust lzion si occup i tcnich vnzt i risoluzion i problmi: il bcktrcking il prigm gry. 2/9 Algoritmi Progrmmzion Avnzt - tori 3/9 Tipologi i problmi
Cognome e Nome: Numero di Matricola: Spazio riservato alla correzione
Cognom Nom: Numro di Matriola: Spazio risrvato alla orrzion 1 2 3 4 5 6 Total /18 /8 /20 20 /18 /16 /100 1. a) Indiar quali dll sgunti affrmazioni sono vr quali sono fals. 1. log(n n )= Θ((log n) n ) 2.
GT Definizione di grafo orientato e non
Grfi - efinizioni GT. 3.- Definizione i grfo orientto e non Un grfo orientto G = (V,E) è formto ll oppi i insiemi V e E oe: V è un insieme i ertii E è un insieme i rhi: oppie orinte i ertii (u,), elementi
Una relazione R in un insieme A si dice relazione d'ordine (o ordinamento) se e solo se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
F0 RELZIONI D'ORDINE. Rlzioni 'orin Un rlzion R in un insim si i rlzion 'orin (o orinmnto) s solo s è rilssiv, ntisimmtri trnsitiv. Prsi u lmnti x, y, s R è un orinmnto in, si i h «x pr y» si sriv x y,
$marina/did/mdis03/ $marina/did/md $marina/did/mdis03/
Avvrtnz Mtmti Disrt (lmnti) E-O CL Informti 0 imr 00 Qust fotoopi sono istriuit solo om inizion gli rgomnti svolti lzion NON sostituisono in lun moo il liro i tsto: A. Fhini, Algr mtmti isrt, Dil Znihlli
Aquadue Duplo Pag. 1
Collgr il progrmmtor l ruintto. Pg. 1 4 5 6 TIME DY 4 5 6 STRT STOP CNCEL TIME DY lik! 4 5 6 STRT STOP CNCEL TIME DY Pr (o.): 8410 prir il moulo i progrmmzion prmno sui u pulsnti ltrli insrir un ttri llin
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Sopo Struttur ati pr insimi isiunti Gstir in moo iint una ollzion S = {S 1, S 2,..., S k } i insimi isiunti qualora l sol oprazioni onsntit siano: 1) rar un nuovo insim ontnnt un solo lmnto (tal lmnto
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Euristiche per il Problema del Commesso Viaggiatore
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e una funzione g ε S f tali che = sup g : g S f tale che h ε f < ε/2; analogamente, per
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