Esercizi di Informatica Teorica

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1 Esrcizi di Informtic Toric Aril 2, 23 Esrcizio A rtir dll srssion rgolr (b + ) costruir un ǫnfa uivlnt. i ricord ch s L = L() r un rgx, llor sist un ǫnfae tl ch L(E) = L() con:. sttmnt uno stto ccttnt 2. nssun rco ntrnt in 3. nssun rco uscnt dll stto finl L struttur di bs sui simboli (ǫ = in usto ngli srcizi succssivi) sugli ortori di union, conctnzion chiusur sono: + * Figur : truttur bs di ǫ-nfa r srssioni rgolri. A rtir dll struttur di bs r i simboli = = b si ottin l utom r l conctnzion b:

2 b Figur 2: L ǫ-nfa r b. Qust ultimo vin utilizzto com blocco r frn l union con l srssion = : b Figur 3: L ǫ-nfa r b +. L utom risultnt rrsnt il blocco di un chiusur, il ch rmtt di ottnr l utom corrisondnt ll srssion (b + ) : b Figur 4: L ǫ-nfa r (b + ). i otrbb ossrvr ch è ossibil smlificr ciscun dll orzioni sull rgx singolrmnt, ottnndo un utom corrtto (Figur ). Tuttvi lcun combinzioni di usti formti ossono ortr risultti rrti. Ad smio, si considri il linguggio di un srssion rgolr. L stringh di usto linguggio si ottngono conctnndo un numro rbitrrio 2

3 + * Figur 5: ǫ-nfa ltrntivi r srssioni rgolri di bs. di stringh di fcndol sguir d un numro rbitrrio di stringh di. L utom r vin riortto in Figur. * *!= ** Figur 6: L ǫ-nfa r risult rrto. Qusto utom riconosc nch stringh dl tio vxy dov v, x y. Qust rò sono stringh ch trminno con un string dl linguggio invc ch con un dl linguggio ( in gnrl i du linguggi ossono contnr stringh divrs). Tl string vrrbb riconosciut rtir dllo stto inizil rggiungndo lo stto finl di (v ). Lo stto finl di coincid con lo stto inizil di, uindi lggndo un string x ci ortimo nllo stto finl di. D ui sgundo i du rcorsi tichttti con ǫ ci riortimo nllo stto inizil di. Un string y ci ort nuovmnt nllo stto finl di. D ui si sgu l rco tichttto ǫ si rriv llo stto finl di ch è nch stto finl dll utom. Quindi l string vxy vin ccttt ur vndo un struttur in. 3

4 Esrcizio 2 Dto il DFA di Figur 2, clcolr r , Figur 7: DFA. L formul r clcolr l srssion rgolr è: k ij = k ij + k ik (k kk ) k kj L srssion ch rrsnt tutti i rcorsi ch dllo stto i llo stto j snz ssr r stti con tichtt l iù k è dt d du contributi: i) tutt i rcorsi d i j ch ssno r stti con tichtt l iù k ; ii) rcorsi ch ssno r lo stto k. In ust ultimo cso il rcorso uò ssr szzto in tr rti: dllo stto i vdo llo stto k ssndo r stti con tichtt l iù k ; un volt nllo stto k osso sguir, r un numro rbitrrio di volt, ulsisi rcorso ch mi riorti ui ssndo r stti con tichtt l iù k ; infin, dllo stto k si rriv llo stto j, smr ssndo r stti con tichtt infrior k. r 2 = ; r 22 = ǫ; r = ǫ; r 2 = Esrcizio 3 r 22 = r 22 + r 2(r ) r 2 = ǫ + (ǫ) = ǫ + Dto un NFA con l sgunt tbll di trnsizion: δ N {, } { } {, 2 } 2 { 2 } ottnr un DFA uivlnt. i utilizz l costruzion lzy vlution. i rt dll unico stto rggiungibil si clcol l insim dgli stti d sso rggiungibili nll NFA lggndo, 4

5 risttivmnt, i simboli. L insim dgli stti ottnuti rrsnt un unico stto nl DFA, r il ul ndrà clcolt l funzion di trsfrimnto. Qusto unico stto rrsnt il ftto ch nll NFA ossimo trovrci contmornmnt in ciscuno dgli stti coinvolti. i ricord ch l formul r ottnr lo stto succssivo uno stto {, 2,..., r } dl DFA, lggndo il simbolo, è: δ D (, 2,..., r, ) = r δ N ( i, ) i= δ D ({ }, ) = δ N (, ) = {, } δ D ({ }, ) = δ N (, ) = { } δ D ({, }, ) = δ N (, ) δ N (, ) = {, } {, 2 } = {,, 2 } δ D ({, }, ) = δ N (, ) δ N (, ) = { } = { } δ D ({ }, ) = δ N (, ) = {, 2 } δ D ({ }, ) = δ N (, ) = In modo nlogo si ottngono i vlori r i rimnnti stti (r i uli si omttono i ssggi intrmdi): δ D ({,, 2 }, ) = {,, 2 } δ D ({,, 2 }, ) = {, 2 } δ D ({, 2 }, ) = {, 2 } δ D ({, 2 }, ) = { 2 } δ D ({ 2 }, ) = δ D ({ 2 }, ) = { 2 } L utom ottnuto è rrsntto in Figur 3. Esrcizio 4 Dto l NFA di Figur 4, numrr tutti i rcorsi sguiti vndo in inut l string. Il non dtrminismo dll NFA f sì ch iù strd ossno ssr sguit contmornmnt. All lttur dl rimo, l utom si ortrà si nllo stto ch nllo stto. Il rimo rcorso si svilurà in modo dtrministico ttrvrso gli stti r, s, s, s in succssion. Nll ltro rcorso, ll lttur dl simbolo, si rimn nllo stto. L succssiv lttur di uno cus l gnrzion di du rcorsi com nl cso inizil. Il rimo rcorso rosgu in d ui, ll lttur dllo succssivo si ortrà in r. A usto unto rò l ultimo simbolo d lggr è un m non sistono rchi uscnti d r 5

6 2 2, 2 Figur 8: Il DFA uivlnt ottnuto con Lzy vlution.,, s r, Figur 9: NFA. con tichtt. Il rcorso vin bbndonto. L ultimo rcorso ttivo ci f trovr nllo stto doo vr ltto il rfisso. L lttur dllo succssivo cr nuovmnt du rcorsi. Il rimo rosgu nllo stto ll lttur dll ultimo simbolo,, si sost nllo stto r. Il scondo rcorso rimn in ll lttur dll ultimo rimn in usto stto. issumndo, gli stti rggiunti trminndo l lttur dll inut sono gli stti s, r, (vdi Figur 5). Poiché lo stto s è stto finl l string vin ccttt. Esrcizio 5 Dt l tbll di trnsizion di un ǫ NFA: clcolr l funzion ǫ clos r tutti gli stti. L ǫ clos si clcol in modo induttivo. In rtnz f rt dll ǫ clos di uno stto, lo stto stsso. uccssivmnt si includono gli stti rggiungibili d sso con un ǫ-trnsizion si itr il rocdimnto fino undo non ci 6

7 r s s s r X r Figur : Prcorsi sguiti dll NFA di Figur 4 con inut δ ǫ b c {} {} {r} {} {} {r} r {} {r} {} sono ltri stti d ggiungr. I vri ssggi sono illustrti in Tbll. ECLOE() = {} δ(, ǫ) = non ci solo ltri stti ECLOE() = {} δ(, ǫ) = {} ECLOE() ECLOE() = {, } δ(, ǫ) = non ci solo ltri stti ECLOE(r) = {r} δ(r, ǫ) = {} ECLOE(r) ECLOE(r) = {r, } δ(, ǫ) = {} ECLOE(r) ECLOE(r) = {r,, } δ(, ǫ) = non ci solo ltri stti Tbl : Clcolo dll silon chiusur Esrcizio 6 i A = (Q, Σ, δ,, { f }) un ǫ-nfa tl ch non sist nssun trnsizion ntrnt in nssun uscnt d f. Dscrivr il linguggio ccttto d ognun dll sgunti vrinti di A, in trmini di L = L(A). ) Autom costruito d A ggiungndo un ǫ-trnsizion d f. Il linguggio ottnuto è L +. Inftti r rggiungr f dobbimo vr ltto un string w L. L ggiunt dll ǫ-trnsizion ci riort vntulmnt llo stto inizil ci rmtt di conctnr ltr stringh di L. b) Autom costruito d A ggiungndo un ǫ-trnsizion d vrso ogni stto rggiungibil d (lungo cmmini ch ossono comrndr si simboli di Σ ch ǫ). 7

8 L Figur : Autom dl cso ). Uno stto uò ssr rggiunto in uno o iù ssi. L situzion ottnut è rrsntt in Figur 7. x y i f Figur 2: Illustrzion dl cso b). Prim si vv ch l string w = xy rtnv L, or un ulsisi string y ch rt d un unto ulsisi di w rtin L. L string y è di ftto un ulsisi suffisso di w L. Il linguggio ccttto rtnto è ullo di tutti i suffissi (nch imrori) di stringh di L: {y Σ thr is x Σ : xy L} i fcci ttnzion com l iotsi ch non ci sino rchi ntrnti in è crucil r ottnr solo stringh di L loro suffissi. Inftti suonimo ch ci si un rco ntrnt in. Qusto otrbb rrsntr l ultimo st di un ciclo ch rt d ttrvrso ltri stti dll utom ritorn llo stto inizil. i v l string ssocit usto rcorso. i vd l Figur 8 com rifrimnto. v x y i f Figur 3: Illustrzion dl cso b) s ci fossro rchi ntrnti in. Or suonimo ch l string v xy L nll utom di rtnz, m ch vy / L. uonimo inolst ch y si suffisso solo di xy. Aggiungndo 8

9 un ǫ-trnsizion d i si ottin l ccttzion di vy. M vy non è suffisso di nssun string di L. c) Autom costruito d A ggiungndo un ǫ-trnsizion vrso f d ogni stto ch uò rggiungr f (lungo cmmini ch ossono comrndr si simboli di Σ ch ǫ). L situzion ottnut è rrsntt in Figur 9. x y i f Figur 4: Illustrzion dl cso c). Con un rgionmnto dul l rcdnt si ottin: {x Σ thr is y Σ : xy L} d) Autom costruito con l rgol di unti b) c). Il linguggio ottnuto è costituito d suffissi, rfissi infissi di L. 9