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1 Avvrtnz Mtmti Disrt (lmnti) E-O CL Informti 0 imr 00 Qust fotoopi sono istriuit solo om inizion gli rgomnti svolti lzion NON sostituisono in lun moo il liro i tsto: A. Fhini, Algr mtmti isrt, Dil Znihlli Mrin Czzol (mrin@mtpp.unimi.it) Diprtimnto i Mtmti Applizioni Univrsità i Milno Bio Al liro i tsto si rimn pr l ffttivo svolgimnto gli rgomnti ( pr l rttifi i vntuli rrori ontnuti in qust pgin). Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Rlzioni orin Insimi (przilmnt) orinti Dto un insim A, un rlzion su A è tt rlzion i orin o smplimnt orinmnto su A s è riflssiv ntisimmtri trnsitiv ovvro s A, A ( ) =,, A ( ) ( ) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Insimi orinti Rstrizion i un rlzion is0/ Dfinizion Un insim è tto (przilmnt) orinto s in A è finit un rlzion i orin. Dfinizion Un rlzion orin è tt orinmnto totl s, A ( ) ( ) is0/ Si A un insim su ui è finit un rlzion R, B un sottoinsim i A Dfinizion L rstrizion R B i R B è il sottoinsim i B B to R B = R ( B B ) Ossrvimo h Dfinizion Un insim A è tto totlmnt orinto s su A è finit un rlzion orin totl. o Z on l rlzion orin (fr. 9 novmr 00) è totlmnt orinto. s R è riflssiv, llor R B è riflssiv s R è simmtri, llor R B è simmtri s R è ntisimmtri, llor R B è ntisimmtri s R è trnsitiv, llor R B è trnsitiv Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 8 Tropp fr! is0/ Consirimo A = {,,,,} Z on l rlzion A (ioè l rstrizion i Z A) Dl momnto h è un orinmnto (totl) su Z, si h h A è un orinmnto (totl) su A Essno A un insim finito, possimo isgnr il igrmm i is0/ S sppimo i vr h fr on un rlzion i orin possimo orri pr omttr l igrmm lun fr su ogni lmnto è prsnt un ppio, onvnimo llor i omttrli l momnto h vl l proprità trnsitiv, pr ogni trn i lmnti, i A, ogni volt h i sono u fr onsutiv llor v ssri nh l fri h ongiung irttmnt on onvnimo llor i omttr qust ultim fri. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 8

2 9 0 Esrizi Con qust nuov onvnzion, possimo ripulir il igrmm Inftti, spno h l rlzion è un orinmnto, l quttro onizioni prmttono i rivr l onizioni pr qulsisi oppi i lmnti i A. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 9 Si A = {,,,,}. Mostrr h l rlzion orin vist è un orinmnto totl su A Si onsiri in A l rlzion R s solo s mostrr h R è un rlzion i orin su A isgnr il igrmm i R Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 0 o o is0/ Si onsiri in Z l rlzion (ioè sono in rlzion s soltnto s ivi ). In ltr prol s soltnto s k Z = k è riflssiv: Z ( ) è trnsitiv:,, Z, s llor si h. Inftti si si hnno h,k Z tli h = k = h, llor = h (k ) = (h k) L rlzion non è un rlzion i orin in Z. È prò possiil ggirr il prolm in u moi is0/ si Z = {x Z : x 0} l rlzion ristrtt Z è ntisimmtri si l rlzion i quivlnz in Z finit ponno s soltnto s ( ) ( ) nll insim quozint Z è finiil l rlzion [] [] s soltnto s m non è ntisimmtri:, m = Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. è ntisimmtri su Z Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. o o Quini is0/ (Z, ) è un insim orinto (Z, ) è un insim orinto L u ostruzioni sono l tutto nlogh, nl snso h si h un orrisponnz iunivo φ : Z Z φ onsrv l rlzion nl snso h pr ogni, Z si h s soltnto s φ() φ() is0/ Consirimo A = {,,,,} Z Z on l rlzion A (ioè l rstrizion i Z A) Dl momnto h è un orinmnto su Z, si h h A è un orinmnto su A Di nuovo, possimo isgnr il igrmm i A Esrizio Rltivmnt, mostrr h in Z si h ( ) ( ) s soltnto s = ± Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Un ultrior onvnzion is0/ Possimo omttr l fri, pur i stilir priori un vrso l isgno Stilimo h s, llor nl isgno sono ollgti un sgmnto, m st l i sotto i. Pr (A, ) si h llor Il igrmm ontin tutt l informzioni h i prmttono i riostruir l rlzion su A Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. is0/ Nll insim A imo quini finito l u rlzioni orin L u rlzioni hnno proprità lgrih iffrnti: smpio è un orinmnto totl, mntr non sono onfrontili risptto Mtmti Disrt (lmnti) E-O p.

3 7 Esrizio 8 Elmnti notvoli Si onsiri l insim X = {,,,,} i sgunti igrmmi i rlzioni orin su X. Si srivno sprssmnt l rlzioni om sottoinsimi i X X. R R Si (A, ) un insim orinto. Dirmo h A è minimo i A s x A x A è mssimo i A s x A x A è un lmnto miniml i A s x A ( x x = ) A è un lmnto mssiml i A s x A ( x x = ) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 Mtmti Disrt (lmnti) E-O p Elmnti notvoli In A = {,,,,} on l rlzion orin R rpprsntt l igrmm in figur is0/ non è minimo è mssimo, inftti x A x sono lmnti minimli è un lmnto mssiml Esrizi Si provi h s un insim przilmnt orinto A h un minimo m, llor m è l unio minimo i A (x. 0., p. 9). Si provi h il minimo i A è un lmnto miniml i A (p. 9). Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 9 R is0/ Nl sguito inihimo on B un sottoinsim i A. Dirmo h A è un minornt i B s x B x A è un mggiornt i B s x B x A è un strmo infrior i B (inf(b)) s è il mssimo i minornti i B A è un strmo suprior i B (sup(b)) s è il minimo i mggiornti i B Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 0 In A = {,,,,} on l rlzion orin R rpprsntt l igrmm in figur is0/ Si B = {,,} B mmtt om minimo R B non mmtt mssimo sono lmnti mssimli l unio mggiornt i B è l unio minornt i B è il minimo i mggiornti i B è, ioè sup(b) = il mssimo i minornti i B è, ioè inf(b) = Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. In A = {,,,,} on l rlzion orin R rpprsntt l igrmm in figur is0/ Si B = {,} B non mmtt minimo R B non mmtt mssimo sono lmnti si mssimli h minimli in B B non h minornti i mggiornti i B sono il minimo i mggiornti i B è, ioè sup(b) = B non mmtt strmo infrior Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Esrizi In A = {,,,,} on l rlzion orin R rpprsntt l igrmm in figur is0/ Si B = {,} B non mmtt minimo R B non mmtt mssimo sono lmnti si mssimli h minimli in B sono minornti pr B è l unio mggiornt i B il minimo i mggiornti i B è B non mmtt strmo infrior, in qunto l insim {, } non mmtt mssimo Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Dto un insim orinto A, nlogmnt qunto visto pr minimi lmnti minimli, si provi h is0/ s A h un mssimo M, llor M è l unio mssimo i A. Il mssimo i A è un lmnto mssiml i A. Rltivmnt strmo suprior strmo infrior, si provi h S un sottoinsim B i A h un strmo suprior in A, llor tl strmo suprior è unio (x. 0., p. 9). S un sottoinsim B i A h un strmo infrior in A, llor tl strmo infrior è unio. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p.

4 Rtioli Notzion Dfinizion Un insim przilmnt orinto (L, ) è tto rtiolo s ogni oppi i lmnti mmtt strmo suprior strmo infrior. Risrivimo l finizion i strmo suprior i B = {x,y} sup(b) è mggiornt i B, ovvro x sup(b) y sup(b) sup(b) è il minimo i tli mggiornti i B, ovvro ( (x ) ( ) ) z z y z sup(b) z Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Dti x,y L, utilizzimo i simoli x y = sup({x,y}) x y = inf({x,y}) Possimo llor srivr h (L, ) è un rtiolo s solo s pr ogni x, y in L sistono u lmnti x y x y tli h x (x y) y (x y) ( (x ) ( ) ) z z y z (x y) z (x y) x (x y) y ( (z ) ( ) ) z x z y z (x y) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 8 is0/ Consirimo l insim A = {,,,,} l u rlzioni R R Consirimo l insim A = {,,,,,} l u rlzioni R R (A, R ) non è un rtiolo, (A, R ) è un rtiolo. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 is0/ (A, R ) è un rtiolo, (A, R ) non è un rtiolo. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p MCD mm is0/ Si A un insim. In X = P(A) onsirimo l rlzion i orin. (X, ) è un rtiolo inftti, ti x,y X, ovvro ti u sottoinsimi i A, si h inf({x,y}) = x y = x y sup({x,y}) = x y = x y Esrizio Si A = {,,} si X = P(A). Costruir il igrmm l rtiolo (X, ). is0/ Si onsiri l insim orinto (Z, ) (o s si prfris (Z, )). Dfinimo MCD (,) = inf({,}) = mm (,) = sup({,}) = Cioè è il Mssimo Comun Divisor i s qulor, llor L lgoritmo ll ivisioni sussiv prmtt i lolr un tl, i onsgunz i mostrr h Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 9 (Z, ) è un rtiolo. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 0 MCD mm Rtioli Attnzion prò, (Z, ) è un insim quozint! is0/ Srivimo priò MCD ([], [] ) = inf([], [] ) = [] [] mm ([], [] ) = sup([], [] ) = [] [] [] è il Mssimo Comun Divisor i [] [] s [] [] [] [] qulor [] [] [] [], llor [] [] is0/ S (L, ) è un rtiolo, llor sono oprzioni in L. In ltr prol (L,, ) è un struttur lgri. Quli sono l proprità i? (L,, ) è un struttur not? E (L,, )? Essno [] = {, }, il Mssimo Comun Divisor non è univomnt trminto, m è trminto mno l sgno. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p.

5 Proprità i Dfinizion ltrntiv i Rtiolo Si (L, ) un rtiolo, pr ogni x,y,z L si può imostrr h x y = y x x (y z) = (x y) z x (x y) = x x y = y x x (y z) = (x y) z x (x y) = x Ossrvimo h (L, ) (L, ) sono u smigruppi ommuttivi. Esrizio In gnrl (L, ) (L, ) non sono monoii /o gruppi. Ngli smpi i rtioli visti, stilir s si trtt i monoii /o gruppi. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Lo stuio ll proprità i suggris un finizion ltrntiv i rtiolo. Dfinizion Un rtiolo è un struttur lgri (L,, ) on u oprzioni tli h pr ogni x,y,z L si h x y = y x x (y z) = (x y) z x (x y) = x x y = y x x (y z) = (x y) z x (x y) = x Ossrvimo h in qust finizion i rtiolo l u oprzioni svolgono ruoli simmtrii. Qusto h un importnt onsgunz. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Prinipio i ulità pr i rtioli is0/ Proposizion S P è l nunito i un torm i tori i rtioli in ui intrvngono solo l oprzioni, s P è l nunito h si ottin P smino i simoli, llor nh P è l nunito i un torm i tori i rtioli. ovvro Proposizion S P è un proprità (h oinvolg solo i simoli ) vr pr ogni rtiolo, llor nh P, ottnut P smino i simoli, è vr pr ogni rtiolo. Dfinizion P è tto nunito ul i P. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. is0/ L sgunt proposizion è vr pr ogni rtiolo ( = ) l momnto h x (x y) = x, ponno x = y =, si h ( ) = ( ) m llor = ( ) l momnto h x (x y) = x, ponno ( ) x = y =, si h ( ) = pr il prinipio i ulità i rtioli è vr nh l ( = ) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 8 Proprità i rtioli is0/ Attnzion prò, il prinipio i ulità pr i rtioli si può pplir solo proposizioni h vlgono pr ogni rtiolo. A smpio nl rtiolo rpprsntto l igrmm ( ) = ( ) ( ) è fls ( ) = ( ) ( ) è vr Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 is0/ Si (L,, ) un rtiolo, L ( = ) ( = ) supponimo h =, llor = ( ) = ( ) = vno mostrto h pr ogni si h ( = ) ( = ) pr ulità pr ogni si h ( = ) ( = ), m qusto è sttmnt qullo h oimo mostrr (pplino l proprità ommuttiv smino i ruoli i ). Esrizio Confrontr qust imostrzion on l imostrzion riportt Fhini p. 9. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 8 9 Dfinizion ltrntiv i rtiolo 0 Proprità i rtioli Si (L,, ) un rtiolo (intso om struttur lgri on u oprzioni,... ). is0/ Allor in L è finiil un rlzion orin, ponno x y s soltnto s x y = x pr qunto visto l finizion è quivlnt ll x y s soltnto s x y = y Esrizio Mostrr h è un rlzion i orin. Mostrr inoltr h, risptto qust rlzion orin, ogni oppi i lmnti mmtt strmo suprior strmo infrior, h sup inf oiniono sttmnt on. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 9 Si (L,, ) un rtiolo. L u sgunti proposizioni sono quivlnti is0/,, L,, L ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) M non vlgono nssrimnt in ogni rtiolo, smpio ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 0

6 Proprità i rtioli Sottortiolo? Si (L,, ) un rtiolo. Dfinizion Un rtiolo (L,, ) è tto istriutivo s vlgono l proprità istriutiv,, L,, L ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Si h un omplt rttrizzzion i rtioli istriutivi Proposizion Un rtiolo è istriutivo s soltnto s non h sottortioli isomorfi i u smpi visti nl luio prnt. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Dt un struttur lgri (A,,,...), in gnrl un sottostruttur è un sottoinsim i A h è su volt un struttur lgri (risptto ll stss oprzioni,,...). Più prismnt, to un rtiolo (L,, ) Dfinizion Un sottortiolo S i L è un sottoinsim i L h è su volt un rtiolo risptto ll rstrizion i S. Dto un gruppo (G, ) Dfinizion Un sottogruppo H i G è un sottoinsim i G h è su volt un gruppo risptto ll rstrizion i H. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Isomorfo? Si onsiri il rtiolo il sottoinsim {,, } non è un sottortiolo il sottoinsim {,,, f } è un sottortiolo il sottoinsim {,,,, f } non è un sottortiolo il sottoinsim {,,,,} è un sottortiolo f Quno u struttur lgrih sono uguli? Quno u struttur hnno l stss proprità lgrih? Pr risponr oorr introurr i ontti i omomorfismo isomorfismo i struttur. is0/ Dt u struttur llo stsso tipo, in gnrl un omomorfismo è un pplizion h onsrv l oprzioni. In prtiolr Dfinizion Dti u gruppi (G, ) (H, ), un omomorfismo i gruppi è un pplizion f : G H tl h pr ogni g,g G f(g g ) = f(g ) f(g ) Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Isomorfo? Isomorfo? is0/ Dfinizion Dti u nlli (A, +, ) (B,, ), un omomorfismo i nlli è un pplizion f : A B tl h pr ogni, A f( + ) = f( ) f( ) f( ) = f( ) f( ) Dfinizion Dti u rtioli (R,, ) (Q,, ), un omomorfismo i rtioli è un pplizion f : R Q tl h pr ogni r,r R f(r r ) = f(r ) f(r ) f(r r ) = f(r ) f(r ) is0/ Un isomorfismo è un omomorfismo iunivoo. L proprità lgrih i un struttur sono l proprità invrinti pr isomorfismo. Dirmo h (R,, ) (Q,, ) sono isomorfi s sist un isomorfismo R Q. S R h un rt proprità ( smpio R è istriutivo) s R Q sono isomorfi, llor nh Q h qull stss proprità ( smpio Q è istriutivo). Du rtioli ( isgnili ) sono isomorfi s solo s sono rpprsntili llo stsso igrmm. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 7 Esrizio 8 is0/ Stilir s il rtiolo in figur è istriutivo non è istriutivo prhé {,,,, f } è un sottortiolo non istriutivo si può nh vrifir irttmnt h ( ) = ( ) ( ) f Stilir s il rtiolo in figur è istriutivo (tm sm frio 00) is0/ {,, f,g} è un sottortiolo i R (istriutivo) {,,,} è un sottortiolo i R (istriutivo) {,,, f,g} è un sottortiolo i R (istriutivo) f g {,,,, f,g} è un sottortiolo i R (istriutivo) {,,,, f,g} non è un sottortiolo i R Mtmti Disrt (lmnti) E-O p Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 8

7 9 Proprità i rtioli 0 Proprità i rtioli Dfinizion S sist l lmnto nutro risptto, lo himimo zro i L lo inihimo on il simolo 0. Anlogmnt, s sist l lmnto nutro risptto, lo himimo uno i L lo inihimo on il simolo. Ossrvimo h, s sist, lo zro i (L,, ) è il minimo i L Inftti pr finizion lo zro è l lmnto nutro i, ioè x L x 0 = x M x 0 = x s solo s 0 x Dfinizion Un rtiolo (L,, ) è tto limitto s sistono 0 In ltr prol, L è limitto s mmtt mssimo minimo. Si (L,,,0,) un rtiolo limitto Dfinizion Dto L, l lmnto è tto omplmnto i s = = 0 Anlogmnt l uno i (L,, ) è il mssimo i L Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 9 Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. 0 Proprità i rtioli L L In L, h om omplmnto In L gli unii lmnti h hnno omplmnti sono Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. Dfinizion Un rtiolo limitto (L,,,0,) è tto omplmntto s ogni lmnto mmtt omplmnto. Si h il sgunt Torm S un rtiolo (L,,,0,) è limitto istriutivo, llor ogni lmnto mmtt l più un omplmnto. Dfinizion Un rtiolo i Bool è un rtiolo limitto, istriutivo omplmntto. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p. i rtioli i Bool Si A un insim si X = P(A). Allor (X,, ) è un rtiolo i Bool. L insim ll proposizioni on l oprzioni è un rtiolo i Bool. Mtmti Disrt (lmnti) E-O p.