Guide d onda planari dielettriche (Slab)

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1 Guide d oda plaari dielettriche (Slab) La propagazioe si basa, i primo luogo, sulla riflessioe itera totale alle due iterfacce. La regioe itera viee chiamata core metre la regioe che lo circoda viee chiamata claddig

2 Propagazioe elle guide plaari Oltre alla codizioe di riflessioe totale occorre che vi sia iterfereza costruttiva tra le varie ode per avere propagazioe

3 Propagazioe elle guide plaari k AB Φ k Φ ' A B ' mπ Fase del coefficiete di riflessioe oltre l agolo limite

4 k π λ Essedo: si ha: Propagazioe elle guide plaari AB Φ k AB AB + cos a ; cosθ ' A B si θ ' mπ si θ π Φ mπ π cos ( θ) ( ) θ + cos θ si θ cos θ π a λ cos θ Φ mπ Iterfereza costruttiva (codizioe di guida)

5 Propagazioe elle guide plaari Gli agoli θ m che verificao la codizioe di iterfereza costruttiva rappresetao i modi di propagazioe della guida. Le iformazioi sulla polarizzazioe soo coteute ella fase φ m del coefficiete di riflessioe i accordo co le formule di Fresel. La codizioe di iterfereza costruttiva si scrive quidi: π a cosθm Φ m λ mπ m 0,, Al crescere dell idice m (modi superiori) l agolo θ m decresce fio ad u miimo rappresetato dall agolo limite θ c

6 Costati di propagazioe i guida Per ogi modo di propagazioe, corrispodete ad u agolo θ m, è possibile scomporre il vettore d oda k elle due compoeti β m e k m rispettivamete parallela e ortogoale all asse della guida: β k m m k k siθ m cosθ π siθm λ π cosθ λ m La sovrapposizioe dei raggi paralleli produce ua distribuzioe stazioaria di campo che si propaga lugo l asse co vettore di oda β m cioè ad u modo di propagazioe m

7 Struttura dei modi di propagazioe i guida Cosiderado u oda co il campo elettrico parallelo alla iterfaccia core-claddig, cioè diretto lugo x, e due raggi che si sovrappogoo el puto C si può calcolare il campo totale sommado i cotributi. φ ( ) ' k AC Φ k A C m Differeza di fase i C

8 Struttura dei modi di propagazioe i guida φ k k a y cosθ m Φ m ( a y) cosθm Φ m k a y cosθ m cos ( π θ ) m Utilizzado la codizioe di iterfereza costruttiva si ha: φ mπ + Φ a ( ) m a y Φ mπ ( mπ + Φ ) Quidi i campi elettrici dei due raggi i C si scrivoo: E E m ( x, y, t) E cos( ωt β z + k y + φ) 0 ( x, y, t) E cos( ωt β z k y) 0 m m y a m m m

9 Struttura dei modi di propagazioe i guida Il campo totale i C sarà quidi E E + E cioè, per le formule di prostaferesi: E ( ) x, y, t E cos k y + cos ωt β z + 0 m φ m φ Si tratta di u oda che viaggia lugo z co costate di propagazioe β m e ampiezza modulata lugo y. Poiché φ è ua fuzioe dell idice m e della polarizzazioe, per ogi modo esisterà u diverso profilo di campo trasverso (lugo y)

10 Modo fodametale i guida Per il modo fodametale m0 si ottiee: Φ a ( ) 0 x, y, t E cos k y cos ωt β z y 0 E Φ a

11 Modi superiori i guida Si evidezia che i modi superiori hao ua maggiore peetrazioe el claddig. Ifatti al dimiuire dell agolo θ m dimiuisce la ampiezza della compoete trasversa (immagiaria) del vettore d oda el claddig k ycladdig jk Claddig siθ m

12 Guide moomodo e multimodo Il umero di modi che possoo propagarsi i ua guida è legato al umero di agoli che verificao cotemporaeamete la codizioe di riflessioe totale e quella di iterfereza costruttiva. siθ m > siθ c ; cosθ c Il valore massimo di m si ha per θ m θ c, quidi utilizzado la codizioe di iterfereza costruttiva, si ottiee: a π λ Φ mπ Nella espressioe precedete m rappreseta, quidi, il umero di modi

13 Guide moomodo e multimodo m a λ Φ π Poiché elle codizioi di riflessioe totale Φ/π, ua stima del umero di modi è data da: m V V π πa λ dove V umber

14 Codizioe di propagazioe moomodale La codizioe di propagazioe moomodale dipede i assoluto dalle dimesioi della guida, dalla lughezza d oda e dagli idici di rifrazioe. Bisoga imporre che il umero massimo di modi sia uo e quidi che il valore massimo di m sia miore o uguale a zero, cioè: V Φ Φ 0 V π Poiché Φ dipede dalla polarizzazioe secodo le formule di Fresel e assume valori che tedoo a π per polarizzazioe parallela al piao di icideza (TM) e π per polarizzazioe ormale allo stesso (TE), si ha: V TE π e V TM π Si sceglie quidi la codizioe più restrittiva

15 Lughezza d oda di cut-off I termii di lughezza d oda si può scrivere la codizioe di propagazioe moomodale per le due polarizzazioi come segue: λ TE 4a λ C TE λ TM a λ C TM Le lughezze d oda di cut-off rappresetao i valori miimi per i quali si ha propagazioe moomodale. I ua guida dielettrica plaare simmetrica c è sempre almeo u modo che si propaga, ovvero o esiste il cut-off totale. Nelle guide asimmetriche può esistere il cut-off totale.

16 Compoeti dei campi ei modi TE e TM I modi TE presetao ua compoete o ulla del campo magetico lugo la direzioe di propagazioe z. I modi TM presetao ua compoete o ulla del campo elettrico lugo la direzioe di propagazioe z.

17 Determiazioe del umero di modi i guida Per determiare il umero di modi i ua guida occorre risolvere l equazioe che esprime la codizioe di iterfereza costruttiva esplicitado la fase del coefficiete di riflessioe oltre l agolo limite. Ad esempio, per i modi TE, si ha dalle formule di Fresel: θ θ + m m si B cos A ; jb A jb A r m m m m cos si tg ; r θ θ Φ Φ

18 Determiazioe del umero di modi i guida Dalla codizioe di iterfereza costruttiva si ha quidi: ak cosθ m mπ Φ m tg ak cosθ m m π si θm cosθ m f ( θ m ) L equazioe precedete può essere risolta graficamete

19 Determiazioe del umero di modi i guida a0µm λ0.9µm Il umero di itersezioi delle due curve per θ c < θ m < π/ forisce il umero di modi e i corrispodeti agoli

20 Diametro di modo i guida Il diametro di modo MFD (Mode Field Diameter) rappreseta la estesioe della regioe lugo y dove il campo è sigificativamete diverso da zero. Comprede ache il campo evaescete. E Claddig ' (y ) E Claddig (0)exp( α claddig ' y ) α claddig π λ si θ m / θ m 90 π λ ( ) / V a a V + w 0 a + a V V Diametro di modo

21 Dispersioe i guida La dispersioe può essere suddivisa i tre tipologie: Dispersioe del materiale Dispersioe itra-modale Dispersioe iter-modale E dovuta alla variazioe della velocità di propagazioe al variare della frequeza dell oda e/o al variare del modo e produce allugameto degli impulsi lumiosi che viaggiao ella guida. La dispersioe del materiale esiste quado la radiazioe ha u certo coteuto spettrale e il materiale i cui essa si propaga preseta u idice di rifrazioe che varia co la frequeza. La dispersioe del materiale si somma quidi agli altri effetti dispersivi

22 Dispersioe i guida La dispersioe itra-modale si maifesta quado la velocità di gruppo, ell ambito del sigolo modo, varia co la frequeza. Quidi ache ua guida moomodale, realizzata co materiale o dispersivo, può presetare dispersioe tra le diverse compoeti spettrali della radiazioe che si propaga i essa. La dispersioe iter-modale si maifesta solo elle guide multimodo ed è dovuta alle diverse velocità di gruppo dei diversi modi v g dω dβ Velocità di gruppo m

23 Dispersioe i guida Dalla codizioe di iterfereza costruttiva e dalla defiizioe di β m si ricava il seguete diagramma, delimitato dalle rette che rappresetao la propagazioe libera el core e el claddig. Diagramma di dispersioe

24 Iterpretazioe della dispersioe itra-modale Nell ambito del sigolo modo, l aumeto di lughezza d oda causa la dimiuzioe del V-umber e quidi l aumeto del diametro di modo La maggiore peetrazioe el claddig fa viaggiare queste compoeti più velocemete (il claddig ha u idice di rifrazioe miore del core)

25 Iterpretazioe della dispersioe iter-modale I modi superiori percorroo distaze maggiori ed hao quidi tempi di arrivo diversi provocado u complessivo allugameto dell impulso. Per ua distaza L l allugameto dell impulso sarà: τ L v g mi v L g max L c L c

26 Guide dielettriche asimmetriche Nelle guide asimmetriche la codizioe di iterfereza costruttiva cotiee due termii di fase diversi per le due iterfacce e quella di riflessioe totale deve essere verificata sempre alle due iterfacce. Il mezzo co idice 3 viee detto substrato

27 Guide dielettriche asimmetriche Nelle guide asimmetriche può o esistere alcu modo propagativo. I tal caso l eergia viee irradiata attraverso il substrato o il claddig superiore. Detti θ c e θ c3 gli agoli critici relativi alla iterfaccia superiore e a quella iferiore si ha: θ c θ c3 θ Spettro cotiuo Spettro discreto C è cofiameto Modi propgativi C è cofiameto superiore: Modi di substrato No c è cofiameto: Modi radiativi

28 Tipologie di guide dielettriche reali Nelle guide dielettriche, per avere cofiameto laterale, si ricorre a diverse strutture: f f f Buried Chael Raised Strip Embedded Strip f f Rib Ridge

29 Aalisi delle guide a caale c : idice di rifrazioe del mezzo estero superiore f : idice di rifrazioe dello strato guidate s : idice di rifrazioe del substrato I metodi pricipali di aalisi approssimata soo: a) Metodo degli idici efficaci (EIM) b) Medoto delle differeze fiite (FDM) c) Metodo degli elemeti fiiti (FEM)

30 Metodo degli idici efficaci L idice efficace di uo strato guidate è defiito, per ogi modo, come prodotto dell idice di rifrazioe dello strato per il seo dell agolo di icideza del raggio associato al modo stesso ieff i siθ m Ua struttura guidate tridimesioale può essere ricodotta ad ua struttura bidimesioale mediate gli idici efficaci. Il problema viee quidi ricodotto all aalisi di guide slab cosetedo la determiazioe approssimata dei modi e delle costati di propagazioe i guida.

31 Metodo degli idici efficaci Si calcolao gli idici efficaci della guida cetrale di spessore t g e di quelle laterali di spessore t lat. come se fossero guide slab (usado modi ad esempio TE). Si costruisce poi ua guida slab simmetrica (figura a destra) utilizzado per idici quelli efficaci calcolati precedetemete e si aalizza (usado modi TM).

32 Metodi delle differeze e degli elemeti fiiti Differeze fiite: Si sostituiscoo ell equazioe d oda le derivate co le differeze fiite arrivado quidi ad u sistema algebrico Elemeti fiiti: Si discretizza la regioe di iteresse i u gra umero di sottoregioi, co forme caoiche, chiamate elemeti. Si rappreseta il campo egli elemeti mediate poliomi iterpolati e si impogoo adeguate codizioi al cotoro agli estremi della fiestra computazioale per risolvere le equazioi

33 Fibre ottiche Step-idex Le fibre ottiche soo guide dielettriche a sezioe circolare. Per le fibre si defiisce la differeza di idice ormalizzata: Per le fibre di uso comue <<

34 Propagazioe elle fibre ottiche La geometria cilidrica impoe u cofiameto bidimesioale per cui i modi soo caratterizzati da due idici che descrivoo l iterfereza costruttiva i due dimesioi Raggi meridiai: itersecao l asse della fibra Raggi sghembi: procedoo a zig-zag itoro all asse della fibra

35 Modi elle fibre ottiche I modi derivati dai raggi meridiai soo di tipo TE o TM come elle guide plaari I modi derivati dai raggi sghembi hao compoeti logitudiali sia del campo elettrico sia del campo magetico. Soo chiamati modi ibridi ed idicati co HE e EH Nel caso di fibre debolmete guidati ( <<), esistoo modi simili ad ode piae liearmete polarizzate (co i campi elettrici e magetici ortogoali tra loro ed alla direzioe di propagazioe z) ma di ampiezza o costate ella sezioe trasversa della fibra. Tali modi vegoo idicati come modi LP (Liearmete Polarizzati) E LP E lm (r, ϕ)exp [ j( ωt β z) ] lm l m 0,,,,,3,

36 Modi LP lm elle fibre ottiche m rappreseta il umero di massimi che si icotrao lugo u raggio l rappreseta il umero di massimi lugo la circofereza LP 0 è il modo fodametale

37 Fibre ottiche moomodo e multimodo Aalogamete alle guide plaari è possibile realizzare fibre ottiche moomodo agedo sulle dimesioi e sugli idici di rifrazioe. Si defiisce il V-umber: πa V λ + πa λ V <.405 Codizioe di propagazioe moomodale Stima del umero di modi M i ua fibra step-idex: M V /

38 Fibre ottiche moomodo e multimodo b ( β k) lm Il parametro b è detto costate di propagazioe ormalizzata b0 βk Propagazioe el claddig b βk Propagazioe el core

39 Apertura umerica I ua fibra ottica o tutti i raggi laciati i igresso possoo essere guidati. Solo i raggi che rietrao i u certo coo presetao riflessioe totale all itero della fibra e possoo quidi essere guidati. Questo cocetto è valido ache per le guide plaari simmetriche, ovviamete lugo u piao ortogoale alle superfici guidati e passate per l asse della guida. I tal caso o si parla, quidi, di coo. Si defiisce apertura umerica NA il prodotto tra l idice di rifrazioe del mezzo estero alla fibra ed il seo dell agolo di accettaza massimo.

40 Calcolo dell apertura umerica Si utilizza la legge di Sell e l agolo critico si θ c NA 0 siα max si π θ c λ πa V

41 Dispersioe elle fibre moomodo Nelle fibre ottiche moomodo è presete la dispersioe del materiale e la dispersioe itra-modale (dispersioe da guida d oda). L effetto complessivo è u allargameto degli impulsi di luce che si propagao lugo la fibra.

42 Dispersioe elle fibre moomodo La dispersioe del materiale è dovuta alla dipedeza dell idice di rifrazioe del materiale dalla lughezza d oda. Per ua fibra di lughezza L si ha: τ L m D m λ La dispersioe del itra-modale è dovuta alla dipedeza della velocità di gruppo del modo fodametale LP 0 dal V-umber e quidi, per ua assegata fibra, dalla lughezza d oda. Per ua fibra di lughezza L e per.5<v<.4 si ha: τ L w D w λ D m λ d c dλ D w.984n g ( πa) c D m è detto coefficiete di dispersioe del materiale D w è detto coefficiete di dispersioe della guida e: d Ng dλ

43 Dispersioe totale elle fibre moomodo La dispersioe totale, detta ache semplicemete dispersioe cromatica, è dovuta alla combiazioe degli effetti del materiale e della guida. I prima approssimazioe gli effetti si sommao. τ L D m + D w λ Il miimo della dispersioe totale si ha per λ.33µm Adameto della dispersioe totale per a4.µm

44 Effetti della polarizzazioe elle fibre ottiche Se la fibra o è perfettamete simmetrica ed omogeea si hao variazioi di idice di rifrazioe co la direzioe. Ciò implica che le diverse polarizzazioi del campo elettrico i fibra vedoo idici di rifrazioe diversi. Questi effetti soo dovuti a differeze ella composizioe del vetro, a stress locali e variazioi della geometria e provocao allugameto degli impulsi, cioè u effetto dispersivo. Tipicamete si ha u allugameto di frazioi di picosecodo al Km

45 Fibre ottiche a dispersioe appiattita E possibile realizzare fibre co u profilo di dispersioe appiattito (Dispersio Flatteed Fibers) agedo sul coefficiete D w mediate variazioi della geometria (fibre a doppio claddig)

46 Fibre ottiche multimodo a gradiete di idice L icoveiete pricipale delle fibre moomodo è la piccola NA e quidi la difficoltà di accoppiameto della luce dall estero. Le fibre multimodo presetao u maggiore diametro del core ed ua maggiore NA è quidi più facile accoppiare poteza i esse. Tuttavia, a causa della dispersioe iter-modale che si aggiuge a quella cromatica si hao otevoli allugameti degli impulsi. Ua possibile soluzioe è rappresetata dalle fibre a gradiete di idice. Si compesa il percorso maggiore co ua riduzioe dell idice di rifrazioe e quidi ua maggiore velocità

47 Fibre ottiche multimodo a gradiete di idice Traettoria del raggio co variazioe a gradio (a) e cotiua (b) dell idice di rifrazioe [ ( r a) ] γ r r < a a Si dimostra che la dispersioe iter-modale è miima se: 4 + γ + 3 ( )

48 Atteuazioe elle fibre ottiche Le cause di atteuazioe della luce che si propaga elle fibre ottiche soo molteplici e si dividoo i itriseche ed estriseche Le cause itriseche soo essezialmete legate all assorbimeto ed alla diffusioe (scatterig) Le cause estriseche soo dovute a fattori esteri quali la piegatura (bedig) della fibra stessa

49 Assorbimeto elle fibre ottiche L assorbimeto cosiste el trasferimeto di eergia dall oda elettromagetica al materiale co aumeto dell eergia vibrazioale del reticolo. Il trasferimeto è massimo quado la frequeza dell oda è vicia alla frequeza di vibrazioe aturale del reticolo. Ciò avviee tipicamete ell ifrarosso. L oda può ache essere assorbita da impurità di tipo ioico producedo picchi di assorbimeto a precise lughezze d oda (Es. ioi OH - )

50 Diffusioe elle fibre ottiche La diffusioe implica che parte dell eergia dell oda elettro-magetica viee assorbita e diretta i direzioi diverse da quella di propagazioe. Il feomeo, particolarmete evidete quado la luce icotra particelle, molecole o disomogeeità più piccole della lughezza d oda, è chiamato scatterig di Rayleigh e o è elimiabile ella pratica. Lo scatterig di Rayleigh dimiuisce al crescere della lughezza d oda

51 Atteuazioe itriseca totale elle fibre ottiche Si evideziao due fiestre utili per le comuicazioi:30m e 550m

52 Atteuazioe estriseca elle fibre ottiche Ua delle cause dell atteuazioe estriseca è la micro-curvatura della fibra che provoca agoli di icideza iferiori all agolo limite oppure variazioi locali dell idice di rifrazioe che iducoo ua maggiore peetrazioe el claddig co possibile accoppiameto verso l estero.

53 Fabbricazioe delle fibre ottiche Esistoo diverse teciche per la realizzazioe delle fibre ottiche. Ua delle più usate è detta Outside Vapor Depositio (OVD) e prevede la preparazioe della cosiddetta preforma cioè ua barra di vetro di circa 0-30mm di diametro e - metri di lughezza, co u profilo di idice variabile lugo il raggio, mediate drogaggio da fase vapore. La preforma viee poi tirata per otteere la fibra. Preparazioe della preforma: Vegoo deposti strati co diverso drogaggio per avere il profilo di idice

54 Fabbricazioe delle fibre ottiche Tiraggio della fibra ottica e rivestimeto co polimero protettivo. Durate il tiraggio il foro lasciato dal supporto della preforma collassa

55 Fibra ottica fiita Fibra ottica di tipo tight buffer cioè co buffer estero solidale co il rivestimeto polimerico. Esistoo ache loose buffer dove la fibra è libera el buffer estero

56 Trasmissioi digitali su fibra ottica Per evitare iterfereza itersimbolica, dovuta all allugameto degli impulsi a causa della dispersioe, la bit-rate (B) deve, el caso di RZ (Retur -to-zero), essere : B τ

57 Trasmissioi digitali su fibra ottica La massima bit-rate dipede i geerale dalla forma dell impulso, dalla bada dell impulso, dalla dispersioe totale e lughezza della fibra ottica oché dalla tecica di trasmissioe. Per impulsi co profilo gaussiao si ha: B 0. 5 σ Se la deviazioe stadard dello spettro della sorgete è σ λ, per ua fibra moomodo di lughezza L si ha: B 0.5 D ch σλ L

58 Trasmissioi aalogiche su fibra ottica Misurado la risposta i frequeza di ua fibra ottica si osserva u comportameto di tipo passa-basso causato dagli effetti di dispersioe che fissao quidi la massima frequeza di modulazioe possibile f op. Ituitivamete f op è dell ordie della massima bit rate, i realtà è poco più bassa perché ella trasmissioe digitale viee tollerata ua parziale sovrapposizioe degli impulsi.

59 Caratteristiche tipiche delle fibre ottiche Proprietà Step-idex multimodo Step-idex moomodo Graded idex ( - )/ Diametro core [µm] Diametro claddig [µm] Apertura Numerica Bit Rate [Gb s - km] Atteuazioe [db/km] (λ.3µm) 0. (λ.55µm) 0.3 (λ.55µm) Tipo di sorgete LED Diodo Laser LED, Diodo Laser Applicazioe tipica Collegameti brevi o reti locali Collegameti lughi Collegameti su medie distaze o reti locali a larga bada

60 Graded idex rods Le GRaded Idex (GRIN) rods soo barrette dielettriche cilidriche (tipicamete di vetro) co idice di rifrazioe che varia i maiera parabolica dal cetro verso la periferia, co il massimo al cetro. Soo come fibre a gradiete di idice co diametro di alcui millimetri. I raggi percorroo quidi traettorie simili a siusoidi di periodo (pitch) P. A secoda della lughezza, misurata i termii del pitch, si ottiee i uscita u fascio covergete, collimato o divergete

61 Leti sottili Le leti soo costituite da materiale dielettrico, di idice, delimitato da due calotte sferiche, S e S, di raggi r e r (x,y) x c c y r z r La lete si defiisce sottile se: x + r y << ; x + r y <<

62 Leti sottili Lo spessore della lete è fuzioe della posizioe. Da cosiderazioi di tipo geometrico si trova facilmete, utilizzado l approssimazioe di lete sottile: x ( x, y) Max r r + U frote d oda piao che attraversa ua lete subisce u ritardo di fase, variabile co la posizioe, tra i due piai tageti alla lete i igresso e i uscita : ϕ ( x, y) k ( x, y) + k [ ( x, )] 443 lete y 0 Max y aria

63 Leti sottili Il termie di fase dell oda emergete sarà quidi: ( ) Max 0 r r y x k k j exp Defiedo la lughezza focale f attraverso la seguete espressioe : ( ) r r f + + f y x k k j exp 0 Max 0 Si ottiee:

64 Leti sottili E evidete che l oda emergete o è più u oda piaa. Ifatti il frote d oda che emerge dalla lete è quello di u oda sferica, per agoli piccoli rispetto all asse z (approssimazioe parassiale ), che origia el puto di coordiate (0,0,f) posto sull asse z. x A (x,y,0) r y P (0,0,f) z exp ( jk r) x + y r f + f 0 ; r x + y + f se x + y f << Approssimazioe parassiale

65 Covezioi sulle leti La lete è CONVERGENTE se i raggi proveieti dall ifiito covergoo f f f > 0 La lete è DIVERGENTE se i raggi proveieti dall ifiito divergoo f < 0 f f Diottria: /f (co f misurata i metri)

66 Esempi di leti Piao covessa bi-covessa f > 0 f > 0 Piao cocava bi-cocava f < 0 f < 0

67 Esempi di leti Meisco Cilidrica f > 0 or f < 0 f > 0 or f < 0 Sferica f > 0

68 Equazioe delle leti sottili e formazioe delle immagii s + s ' f S e S rappresetao le distaze dell oggetto e della sua immagie dalla lete. F : puto focale s F s s s F Immagie reale (i raggi covergoo ad essa) Immagie virtuale (i raggi divergoo da essa)

69 Equazioe delle leti sottili e formazioe delle immagii s + s ' f S e S rappresetao le distaze dell oggetto e della sua immagie dalla lete F : puto focale F s s F Oggetto reale (i raggi divergoo da esso) s o Oggetto virtuale (i raggi covergoo ad esso)

70 Beam expader a b f f Si realizza co due leti poste i asse ad ua distaza pari alla somma delle lughezze focali

71 Accoppiameto i e da fibra co lete sferica N.B. I raggi o soo parassiali h 0.7 mm h mm

72 Aberrazioi comui elle leti Aberrazioi cromatiche: Soo dovute alla dipedeza dell idice di rifrazioe e quidi della lughezza focale, dalla lughezza d oda Coma: I codizioi di o perfetta parassialità quado ua sorgete putiforme si trova lotao dall asse della lete, l immagie risulta u disco di froma allugata Astigmatismo: Co sorgeti molto lotae dall asse, la capacità di focheggiameto della lete è diversa a secoda del piao logitudiale el quale giace la sorgete

73 Lete di Fresel Ua lete di Fresel è ua lete di grade superficie e piccolo spessore, ivetata el 8, costituita da segmeti sferici. Ogi segmeto ha la stessa forma che avrebbe i ua lete sferica classica delle stesse dimesioi ma seza il materiale sottostate. E utilizzata per i fari, per i proiettori di traspareze e ovuque serva ua lete di grade superficie e spessore miimo. La qualità delle immagii è discreta

74 Specchi Specchi parabolici: Formao immagii solo se l sorgete è posta i uo dei puti focali Specchi ellittici: Formao immagii solo se l sorgete è posta i uo dei puti focali Specchi sferici: Formao immagii co aberrazioe trascurabile solo se i raggi soo parassiali. Uo specchio sferico di raggio R ha ua lughezza focale pari a R/

75 Effetti ottici - Miraggio L immagie di u oggetto lotao appare ivertita come se fosse riflessa dalla superficie di ua pozza d acqua che si trova tra lo osservatore e l oggetto Aria Fredda Aria calda Acqua??

76 Effetti ottici - Loomig L immagie di u oggetto lotao appare sospesa ell aria Aria Calda Aria Fredda

77 Prisma α ϕ θ Per agoli piccoli si ha: I geerale si dimostra che la miima deviazioe è: θ mi α arcsi si α θ ( )α dθ dλ α si si α d dλ Potere dispersivo del prisma

78 Formalismo ABCD I codizioi di parassialità è possibile descrivere la propagazioe dei raggi lumiosi mediate l agolo e l altezza del raggio rispetto ad u asse di riferimeto (asse ottico del sistema) θ h h θ 0 L z (asse ottico) Piao di igresso Sistema Ottico Piao di uscita Detta x(z) l equazioe cartesiaa del raggio si ha: h x(0); θ tgθ x(z) & z 0 h x(l); θ tgθ x(z) & z L

79 Formalismo ABCD E possibile correlare i parametri i igresso e quelli i uscita mediate ua matrice M detta matrice ABCD x(l) x(l) & x(0) M ; x(0) & M A C B D Si dimostra che il determiate di M è pari al rapporto tra gli idici di rifrazioe del mezzo di uscita e quello di igresso al sistema ottico. Ogi sistema ottico, i codizioi di parassialità, può essere descritto dalla sua matrice ABCD. Nel caso di più sistemi i cascata la matrice complessiva è il prodotto delle sigole matrici eseguito i ordie iverso (a partire dall ultima lugo il percorso dei raggi)

80 Esempi di matrici ABCD Tratto di lughezza d i spazio libero : 0 d M d Tratto di lughezza d i u mezzo di idice di rifrazioe : 0 d M d Lete sottile di lughezza focale f : f 0 M f

81 Esempi di matrici ABCD d f Sistema composto M M f M d f d d f

82 Esempi di matrici ABCD Matrice ABCD di ua GRIN-Rod di lughezza d e idice di rifrazioe: 0 -( r )/ d cos d si d si d cos M

83 Sequeza di matrici ABCD Nel caso di ua sequeza di m sistemi tutti uguali, si dimostra che la matrice complessiva si scrive: A C B D m siθ Asi ( mθ) si[ ( m ) Θ] Bsi( mθ) Csi( mθ) Dsi( mθ) si[ ( m ) Θ] cosθ A + D Questa espressioe è utile per lo studio, i termii di raggi, dei risoatori

84 Trasformazioe di u fascio gaussiao Quado u fascio gaussiao attraversa u sistema ottico descritto da ua matrice ABCD, il raggio di curvatura complesso q del fascio si trasforma come segue: q u Aq Cq i i + + B D Dove q i e q u soo i raggi di curvatura complessi rispettivamete all igresso e all uscita del sistema.

85 Trasformazioe di u fascio gaussiao Se u fascio gaussiao icide su ua lete sottile di focale f ed il waist si trova proprio sulla faccia di igresso della lete, si ha: 0 u f 0 i w j f q f 0 M ; w j q π λ π λ Per calcolare la uova posizioe del waist occorre applicare la propagazioe i u tratto di spazio libero e trovare il puto i cui il raggio di curvatura complesso diveta puramete immagiario

86 Risoatori ottici I ottica si utilizzao spesso risoatori aperti cioè seza pareti laterali grazie alla elevata direttività dei raggi R R Il risoatore si dice allieato se le ormali alle superfici dei due specchi si sovrappogoo lugo u asse passate per il cetro degli specchi.

87 Modi dei risoatori ottici Si dimostra che i fasci gaussiai soo modi dei risoatori ottici. La codizioe di risoaza richiede che: a) I raggi di curvatura R(z) del fascio devoo essere uguali a quelli degli specchi ei puti i cui il fascio gaussiao icotra gli specchi (codizioe di risoaza trasversale) b) I fasci si devoo sovrapporre i fase dopo ogi riflessioe sugli specchi (codizioe di risoaza logitudiale) Si dimostra che le frequeze di risoaza per il modo trasverso fodametale soo date da: ν ν ν f f h + + c d π arccos d R d R h,, Frequeza di battimeto fodametale (Free spectral rage dell iterferometro Fabry-Perot)

88 Modi dei risoatori ottici La frequeza di battimeto fodametale ν f rappreseta la seguete codizioe: dk π π d π λ 0 Cioè la fase cumulata da u oda piaa i u giro completo del risoatore deve essere π. ν f rappreseta ache la spaziatura i frequeza tra due modi logitudiali successivi della cavità ed il suo iverso è detto roud trip time cioè tempo di adata e ritoro. Tipicamete ν f cade el rage dei GHz per cavità i aria co lughezza dell ordie dei cetimetri

89 Modi trasversi superiori dei risoatori ottici I modi superiori trasversi soo fasci gaussiai co ua distribuzioe di itesità ella sezioe trasversale idicata ella figura seguete

90 Perdite ei risoatori ottici L eergia accumulata ei risoatori ottici tede a decadere el tempo co legge espoeziale goverata da ua costate di tempo τ ph detta tempo di vita medio dei fotoi legata alle perdite per passaggio ρ e al roud trip time: τ ph d cρ Le perdite della cavità soo dovute a diversi fattori: a) Perdite sugli specchi dovute al coefficiete di riflessioe b) Perdite sugli specchi dovute alle loro dimesioi fiite c) Perdite per accoppiameto co l estero (soo itezioali) d) Perdite per assorbimeto da parte di materiali i cavità

91 Stabilità dei risoatori ottici U risoatore ottico si dice stabile se i raggi rimbalzao avati e idietro tra gli specchi seza mai uscire. La codizioe di stabilità dipede dalla lughezza della cavità e dai raggi degli specchi. Essa può essere facilmete studiata descrivedo il risoatore come u opportuo sistema ottico che si ripete all ifiito. Ricordado che uo specchio sferico di raggio R è assimilabile ad ua lete sottile di focale R/ si ha che il periodo è rappresetato dal seguete sistema ottico: f R / f R / d d

92 Stabilità dei risoatori ottici Utilizzado le matrici ABCD il periodo è descritto da: + + P f f d f d f d f f d f f f d d f d M Dalla formula delle sequeze di matrici si calcola la quota del raggio dopo u umero qualsiasi di rimbalzi. La stabilità richiede che la quota del raggio sia ua fuzioe periodica e quidi tali devoo essere gli elemeti della matrice della sequeza. Quidi: D A cos co cos + Θ Θ < <

93 Stabilità dei risoatori ottici Si ottiee facilmete: R R d R d R d < + < R d R d < + < > < 0 R d R d R d R d Codizioe di stabilità

94 Stabilità dei risoatori ottici Dal puto di vista grafico si ha, posto: g d ; g R R d g Istabile Istabile B Istabile A: R R d Cofocale B: R R Fabry-Perot C: R R d/ Cocetrico C A g g g Istabile g g I rami dell iperbole equilatera limitao le regioi di stabilità