Raffinamenti dell equilibrio di Nash

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1 Raffinamenti dell equilibrio di Nah equilibri perfetti nei ottogiohi (SPE) ed altro Appunti a ura di Fioravante PATRONE verione del: maggio ndie Equilibri perfetti nei ottogiohi (SPE) SPE problematii 4 3 Famoi SPE problematii: hain tore paradox e entipede 4 Equilibri perfetti e propri: enni 4 Vengono introdotti gli equilibri perfetti nei ottogiohi (he indiherò brevemente ome SPE, uando l aronimo inglee... ), derivendo anhe eempi problematii. Viene fatto un breve enno anhe ad altri raffinamenti (equilibri perfetti e propri). ink vari: Fioravante PATRONE ASD Suderia a Bellaria Deiori (razionali) interagenti Equazioni differenziali e urang-utang

2 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone Equilibri perfetti nei ottogiohi (SPE) Si onideri il gioo (dovuto a Selten ) in forma etea di figura. (, ) T R (, ) B (, ) Figura : l gioo di Selten Quale riultato i i può attendere? Tenendo onto dei preuppoti di razionalità ed intelligenza dei gioatori, poiamo penare he giohi T. Perhè prevede he, quando toa a egliere, egli eglierà, vito he gli dà un riultato migliore he R (infatti ottiene un payoff pari ad e gioa, mentre e eglie R ottiene ). Vito he il payoff he ottiene dalle elte T ed è addirittura il migliore be lui poa avere in queto gioo, i poiamo davvero attendere he egli elga T. iò he abbiamo fatto non è tato altro he appliare il metodo dell induzione a ritroo: la hiave per riolvere il problema di oa gioare è tata l idea di andare a vedere oa avviene all ultimo nodo e da lì rialire ai nodi preedenti. Poiamo, omunque, rivere la forma trategia del gioo e vedere di trovarne gli equilibri di Nah: R T,, B,, Per la preiione, il gioo analizzato da Selten avrebbe ome payoff, da initra a detra, (3, ), (, ) e (, ). Dal punto di vita dell analii, non fa differenza. l gioo è tato oniderato da Selten, a pag. 37, in Spieltheoretihe Behandlung eine Oligopolmodell mit Nahfrageträgheit. Teil : Betimmung de dynamihen preigleihgewiht, Zeithrift für die geamte Staatwienhaft,, 3-34, 965. Ringrazio Pier Angelo Mori per avermi prourato queto famoo ontributo di Selten, diffiilmente rintraiabile nelle bibliotehe italiane.

3 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 3 Si vede immediatamente he queto gioo ha due equilibri (in trategie pure): (T, ) e (B, R). Quale è il eno del nuovo equlibrio he abbiamo trovato, ovvero (B, R)? Poiamo interpretarlo ome riultato di una minaia (di ritorione ) da parte di : e non gioa B (he dà a il riultato migliore poibile), allora per ritorione gioherà R, punendo il gioatore. Va notato, tuttavia, he punie anhe e teo! a elta di R non è infatti ottimale per, he ottiene un payoff migliore gioando. ome è poibile he un equilibrio di Nah preveda per un gioatore una elta ub-ottimale? a ripota è faile: in realtà, l equilibrio (B, R) non prevede affatto he giohi davvero R; la elta di B fa terminare il gioo e quindi non deve effettivamente fare queta elta. Più in generale, un equilibrio di Nah può prevedere delle elte non ottimali da parte dei gioatori, ma quete elte riguardano nodi dell albero he non vengono raggiunti, e viene appunto gioato quanto previto dall equilibrio. D altro anto, l equilibrio (B, R) embra omunque eere meno attendibile di quanto non lo foe (T, ). n effetti, la minaia da parte di di gioare R è ben poo attendibile: e lo ignora e gioa T, a queto punto, per la ua tea razionalità, gioherà. nomma, abbiamo operto he non tutti gli equilibri di Nah ono uguali. E queto lo abbiamo vito hiaramente utilizzando la forma etea. Tutto iò i porta alla definizione di equilibrio perfetto nei ottogiohi (SPE: ubgame perfet equilibrium), he è dovuto a Selten (965). Se i limitiamo, per empliità, ai giohi ad informazione perfetta, la ondizione he imponiamo è he non olo i abbia un equilibrio, ma he tale reti anhe quando retringiamo le trategie ai ottogiohi del gioo dato. Per un gioo ad informazione perfetta la definizione di ottogioo è empliiima: i tratta di oniderare un generio nodo e prenderlo ome radie del gioo. Oerviamo he il metodo della induzione a ritroo per trovare un equilibrio di Nah in un gioo ad informazione perfetta fornie, in realtà, un equilibrio perfetto nei ottogiohi. Se abbiamo un gioo ad informazione imperfetta, non è alun problema ad etendere la definizione di ottogioo. Eo arà individuato da un ottoinieme dei vertii dell albero dato, on la proprietà he e un nodo appartiene a queto ottoinieme, allora tutto l inieme di informazione individuato da queto nodo vi appartiene. l metodo di induzione a ritroo non può, però, eere generalmente appliato ai giohi a informazione imperfetta.

4 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 4 SPE problematii Se l idea di equilibrio perfetto nei ottogiohi permette di eliminare aluni equilibri di Nah, per oì dire inferiori, non i i deve però apettare he ompaiano tutti i problemi. Bata oniderare gli eempi delle figure, 3 e 4: provate a trovare gli SPE. E, oprattutto, erate di immaginare oa farete voi, e fote il gioatore. (, ) T R (, ) B l r (, ) (, ) Figura : Siete ottimiti o peimiti? (, ) T R (, ) B l r (, ) (, ) Figura 3: E qui, iete ottimiti o peimiti?

5 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 5 (, ) T R (, ) B l r (, ) (, ) Figura 4: E, infine, qui iete empre ottimiti?

6 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 6 Su una falariga analoga (ma non identia) ai tre eempi appena itati, i potrebbe anhe oniderare il gioo di figura 5, he poiamo aimilare all idea di ultimatum game. Si noti he in queto eempio è un unio equilibrio perfetto nei ottogiohi. T (, ) R (, ) B l r (5, 5) (, 5) Figura 5: Un ulteriore eempio ul tema dell ottimimo/peimimo

7 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 7 Un altro eempio è dato dalla figura 6. n queto ao è un unio SPE. Ma erto il gioatore potrebbe eere inattivito e fa la elta previta dal SPE. n effetti, queto gioo aomiglia al oiddetto ultimatum game, he è fore il più tudiato a livello della Teoria dei Giohi perimentale. l gioo dell ultimatum avviene oì: u un tavolo i ono monete T (, ) R (, ) B (, ) Figura 6: Una elta deliata? da euro. l gioatore deve fare una propota di partizione, indiando quante monete lui vuole prendere (da a 99). Dopo di he toa a, he può egliere tra due opzioni: aetta la propota di partizione di oppure rifiuta. Nel ao in ui rifiuti, entrambi i gioatori non prendono nulla. Nella figura 7 è diegnato (in parte: per ovvi motivi molti rami ono tati omei) il gioo in forma etea. E immediato verifiare he il SPE prevede he elga 99 monete per é e he aetti. Nella realtà effettiva, la probabilità he aetti, qualora tenga per é più di una ettantina di monete, è molto baa. Una prima piegazione di queti riultati è he non ono difformi dalle predizioni della Teoria dei Giohi: empliemente, le preferenze del gioatore non tengono onto olo dei oldi. Ma potrebbero (poono!) inorporare altri fattori: apetti di giutizia, o di rivala, od altro. Una ulteriore diffioltà he i ha on gli equilibri perfetti nei ottogiohi è legata al fatto he un ottogioo potrebbe avere due equilibri di Nah. Tenendo onto di queto, per un gioatore può aadere he una ua elta ia ottimale e viene gioato nel ottogioo un equilibrio di Nah, ma queta non lo ia più e invee venie gioato l altro. Bata vedere l eempio di Figura 8.

8 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 8 S 99 N 99 S 98 N q q q q q q q q q S 97 N S 98 N S 99 N Figura 7: ultimatum game l gioo ha due ottogiohi: é teo (ome empre), ed un ottogioo proprio. Nel ottogioo proprio i gioatori e affrontano la laia battaglia dei ei he ha due equilibri: (T, ) e (B, R). Se viene elto (T, ), queto omporta un payoff pari a 3 per he quindi eglierebbe S (vito he D gli dà un payoff pari a ). Se invee viene elto (B, R), a onviene l alternativa D he, ome già notato, gli dà un payoff pari a, invee he S he lo porterebbe ad ottenere. nomma, vi ono due SPE: (T,, S) e (B, R, D). l guaio è he non i apie ome poa apere quale arà la elta di e. nomma, ritroviamo anhe on gli SPE il problema della non rettangolarità. Analogo al gioo di Figura 8 è il gioo di Figura 9, ul quale non faio troppi ommenti, in quanto è, per l appunto, una emplie variante. (T t, l, S) e (Bb, Rr, D) ono due equilibri di Nah perfetti nei ottogiohi. Ei preuppongono he nei due ottogiohi iano gioati: nel primo ao, (T, ) e (t, l); nel eondo (B, R) e (b, r). Non è però faile omprendere da dove provengano tali doti divinatorie del gioatore. Solo per urioità, vediamo in Tabella la forma trategia del gioo di Figura 9:

9 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 9 S D T B.5.5 R R 3 Figura 8: Diffioltà a oordinare le apettative S D T B t b R R l r l r Figura 9: Diffioltà a oordinare le apettative

10 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone l r Rl Rr Tt Tb Bt Bb eglie S l r Rl Rr Tt Tb Bt Bb eglie D Tabella : a forma trategia del gioo in Figura 9 3 Famoi SPE problematii: hain tore paradox e entipede Vi ono altri eempi in ui un SPE riulta eere problematio. Un paio ono molto famoi: il hain tore paradox (Selten, Theory and Deiion, 978) e il entipede (Roenthal, Journal of Eonomi Theory, 98). Nel ao del hain tore paradox, abbiamo un gioatore (la atena di upermerati) he i onfronta in equenza on vari gioatori (nell eempio di Selten ono, iauno in una ittà divera). iauno dei quali può deidere e aprire oppure no un upermerato. Rinvio alla lettura del lavoro originario di Selten per i dettagli e per le molte ed intereanti oniderazioni he fa. l gioo è otituito da una orta di ripetizioni di una truttura omponente (he è analoga all eempio he abbiamo uato per introdurre gli SPE), he è riportata in figura. idea è he il gioatore può deidere e aprire un upermerato (N) oppure no (OUT). Se non lo apre, ovveroia e non fa onorrenza alla atena di upermerati S, la atena S guadagna 5 (perhè non trova onorrenza) mentre lui reta on il apitale he aveva, ioè. Se uno apre il upermerato, la reazione di S può eere di due tipi diveri: A (A ta per aggreiva ), oppure ( ta per oniliante ). a elta A potrebbe orripondere, ad eempio, ad una guerra di prezzi, he porta di fatto ia he S a non guadagnare nulla (anzi, perde anhe il apitale he aveva). Se invee la elta è, di fatto i due i partiono il merato. È evidente he l equilibrio perfetto nei ottogiohi è (N,). Nel ao di due potenziali onorrenti per S, l albero è rappreentato in figura. equilibrio perfetto nei ottogiohi è indiato dalle free. l riultato è

11 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone N OUT S (, 5) A (, ) (, ) payoff di S payoff di payoff di Figura : l gioo dell entrante N S A N OUT N S S A A 4 7 OUT 5 OUT Figura : l gioo dell entrante a due tadi N OUT S A 7 5 per i due potenziali rivali (he di fatto aprono entrambi il upermerato), e di 4 per la atena S. Si noti he S potrebbe ottenere un payoff pari a, e

12 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone potee onvinere i due potenziali onorrenti a tare fuori dal merato. Se i potenziali rivali, anzihé eere due, ono venti (ome nell eempio originale di Selten), S riaverebbe un guadagno ben maggiore ( 5 anzihè ) e riuie a onvinerli he lui adotterebbe una trategia aggreiva. nomma, l idea di SPE non ontempla l utilità he può avere per un gioatore otruiri una reputazione : lo obbliga, e oì i può dire, a fare delle elte miopi, pur e razionali. eempio di Roenthal motra aluni apetti intereanti. Uno è he l eito di un SPE può eere ineffiiente. Ma queto non è erto una novità. Motra anh eo una orta di miopia nelle trategie he i gioatori vengono obbligati a gioare e i aetta l idea di SPE. apetto però più intereante riguarda un problema di ontraddittorietà nelle argomentazioni he tanno alla bae dell idea di SPE. l gioo è diegnato in figura (volendo, lo i può allungare a piaimento, per rendere anora più tridenti le diffioltà he emergono). (4, 4) D D D D D D D D (, ) (, ) (, ) (, 3) (, ) (, 4) (3, 3) (, 5) Figura : l entipede di Roenthal Sono già tate mee in evidenza (on free) le elte he orripondono al SPE. ome i vede, il riultato è ineffiiente. Ed un po di apaità di vedere lontano dovrebbe portare i gioatori a non defezionare ubito dal gioo. Ma è un problema anor più grave. Si peni al ragionamento he fa quando defeziona la terza volta in ui toa a lui gioare. Perhè defezionare? Perhè ritiene (da induzione a ritroo) he nella moa ueiva defezionerebbe. Ma e i trova davvero a dover gioare la ua terza moa, iò è olo perhé ha deio per ben tre volte di omportari in modo divero da ome prerive lo SPE (ed anhe teo, i noti!). Appare quindi un po urioo he defezioni ipotizzando un omportamento futuro di razionalità da parte di, he e foe tato adottato in paato non avrebbe ertamente portato a dover gioare!

13 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 3 Ritorniamo un momento ul gioo del entipede, di ui riporto otto una verione un po più orta per omodità (per avere una matrie un po più piola, enza perdere nulla di eenziale). Ho anhe indiato on imboli diveri le alternative diponibili in orripondenza dei vari nodi: quindi, D vuol dire he il gioatore defeziona alla prima moa, mentre ad eempio vuol dire he il gioatore ontinua alla eonda moa. 3 3 (3, 3) D d D d D 3 d 3 (, ) (, ) (, ) (, 3) (, ) (, 4) Abbiamo vito he è un unio SPE, ed abbiamo vito la problematiità he preenta la ua giutifiazione in queto gioo. Potremmo hiederi oa avvenga per gli equilibri di Nah. Preto detto. Poiamo rivere la forma normale del gioo, deritta dalla tabella eguente: d d d 3 d d 3 d d 3 d 3 d d 3 d 3 d 3 3 D D D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) D 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, 3) (, 3) (, ) (, ) 3 (, ) (, ) (, ) (, ) (, 3) (, 3) (, 4) (3, 3) Si vede failmente ome queto gioo abbia 6 equilibri di Nah, orripondenti alle oppie di trategie per ui i gioatori utilizzano la moa D (ripettivamente d ), e he individuano le 6 aelle del quadrante in alto e a initra della matrie del gioo in forma trategia.

14 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 4 Si noti ome l eito previto, omunque, dall equilibrio di Nah ia uguale a quello previto dal SPE. Per entrambi queti onetti di oluzione, i prevede he i gioatori defezionino alla prima moa. a differenza tra la predizione dell equilibrio di Nah e quella del SPE, è he l equilibrio di Nah non offre neuna retrizione al omportamento dei gioatori nei nodi eguenti, mentre il SPE è molto più rigido. Tanto è vero he di SPE e n è uno olo. Già he tiamo parlando di entipedi, vorrei itare un gioo he ha alune aratteritie imili al entipede. Si tratta del gioo prendere o laiare dovuto a Reny. Ne derivo qui otto la forma etea. Anhe qui, ome nel entipede, i arebbe la onvenienza a raggiungere l ultimo nodo. Eito he arebbe failmente prevedibile e foe poibile ottorivere aordi vinolanti (ovvero, nel onteto dei giohi ooperativi). ome nel entipede, ad ogni tadio la oluzione preferita è la deviazione. A differenza del entipede, più i proede ol gioo, e quindi più i i avviina all eito ooperativo più forti diventano gli inentivi a deviare. (n/, n/) D D D D D D (, ) (, ) (3, ) (, 4) (n, ) (, n) 4 Equilibri perfetti e propri: enni SPE ono un oiddetto raffinamento degli equilibri di Nah he frutta la forma etea. Sono però tati propoti altri raffinamenti he utilizzano olo la forma trategia. Mi limito a itare due nomi: gli equilibri perfetti (introdotti da Selten nel 975) e gli equilibri propri (dovuti a Myeron, 978). Vediamo un paio di eempi. Nel primo ao abbiamo due equilibri di Nah (in trategie pure): (T, ) e (B, R). Ma olo (T, ) è perfetto. Una oì ompleta libertà di omportamento non i ha empre! Ad eempio, nel Dilemma del Prigioniero ripetuto due volte non è he i gioatori poano fare quello he vogliono nei nodi dell albero non raggiunti dal gioo in equilibrio.

15 Raffinamenti dell equilibrio di Nah Fioravante Patrone 5 Nel gioo: R T,, B,, R T,, 9, 9 M,, 7, 7 B 9, 9 7, 7 7, 7 n queto gioo ia (T, ) he (M, ) ono equilibri perfetti, mentre olo (T, ) è proprio. idea di equilibrio perfetto è baata ul fatto he il gioatore non è in grado di evitare errori. E quindi un equilibrio dovrebbe eere, per oì dire, limite di equilibri he i ottengono obbligando i gioatori ad effettuare errori (il limite i fa faendo tendere a zero gli errori). idea di equilibrio proprio è imile, olo he i aume he un gioatore metta, per oì dire, più impegno ad evitare gli errori he per lui ono più otoi. Per una definizione formale, i rinvia ai manuali (ad e., Gibbon. Oppure Fudenberg e Tirole, ad anhe Myeron).

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