potenziale. La costante di proporzionalita e detta massa gravitazionale F g

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1 L ide che l grvit non si un for come le ltre e che poss essere considert come un propriet geometric dello spio-tempo deriv sostnilmente dl Principio di Equivlen, coniugto nelle sue diverse forme. Comincimo con il Principio di Equivlen Debole L second legge dell dinmic ci dice che un corpo sottoposto d un for (di qulsisi ntur) produce un ccelerione proporionle! ll for stess. L costnte di proporionlit e dett mss inerile. L legge di Grvitione Universle di Newton dice che in presen di un cmpo grvitionle un corpo e sottoposto d un for proporionle l grdiente! del potenile. L costnte di proporionlit e dett mss grvitionle F g = m g Φ m g = m I! = Φ! F = m I Glileo intui che l rispost ll ccelerione grvitionle e universle e non dipende dl tipo di corpo considerto. In termini Newtonini questo vuol dire che L mss inerile e ugule quell grvitionle e che percio il comportmento di prticelle in cdut liber e indipendente dll loro mss Sperimentlmente quest equivlen e stt verificte con grnde precisione.

2 Il principio di equivlen debole puo essere enuncito con formulioni equivlenti. Principio di Equivlen (Debole) 1. L mss inerile e ugule ll mss grvitionle. 2. Esistono triettorie preferenili dette inerili (o di cdut liber) in cui viggino le prticelle non ccelerte (=sottoposte solo ll grvit ). 3. Il moto di prticelle in cdut liber in regioni piccole dello spio-temp e lo stesso in un cmpo grvitionle o in un sistem uniformemente ccelerto. L formulione 2) vle solo per i cmpi grvitionli. Un cmpo elettromgnetico prticelle con criche opposte si muoverebbero in direioni diverse. L formulione 3) e ben illustrt dl popolre esperimento idele dell osservtore in un box ccelerto.

3 Con l introduione dell RS in cui divent chiro che l mss e un mnifestione dell energi-momento d Einstein prve necessrio riformulre il principio di equivlen specificndo che, in un box isolto, non e possibile distinguere tr grvit ed ccelerione ttrverso nessun tipo di esperimento fisico. Principio di Equivlen (di Einstein) In un piccol regione dello spio tempo le leggi dell fisic si riducono quelle dell reltivit specile. E impossible rivelre l presen di un cmpo grvitionle ttrverso esperimenti locli di qulsisi ntur. Questo principio suggerisce che l grvit si un propriet intrinsec dello spiotempo. In RS esiste un clsse di osservtori privilegiti (inerili) rispetto i quli si possono individure i sistemi ccelerti. P. es. un cric elettric ccelert e individubile in tutti questi sistemi. Vicevers non esistono sistemi di riferimento in cui si poss cpire se un ccelerione dovut e ll grvit. E invece nturle definire sistemi non-ccelerti (in cdut liber) come sistemi privilegiti. L grvit non viene vist come un for che induce un ccelerione. Vengono invece definiti sistemi ero ccelerione, ovvero in moto di cdut liber in presen di cmpi grvitionli

4 In bse questo rgionmento possimo costruire qulcos di simile i sistemi di riferimento inerili. In RS esiste un procedur ttrverso cui, mettendo iniseme ste rigide ed orologi e possibile costruire un sistem di riferimento inerile esteso tutto lo spio-tempo. Ovvero GLOBALMENTE inerile. In presen di un cmpo grvitionle e delle sue disomogeneit quest procedur non e piu vlid. Se noi prtimo d un sistem in cdut liber e ripetimo l procedur precedente finiremo per vedere oggetti distnti in moto di cdut liber come ccelerti. L soluione e quell di continure definire sistemi di rifermento LOCALMENTE inerili, che seguno il moto in cdut liber di singole prticlelle in regioni piccole dello spio tempo Il principle problem dell RG e quello di cpire come trsformre le misure delle grndee fisiche d un sistem loclmente inerile d un ltro

5 L ide e quindi quell di considerre l grvit come un propriet intrinsec dello spio-tempo. In prticolre di considerrl un mnifestione dell CURVATURA Non possimo DIMOSTRARE che l grvit si effttivmente dovut ll curvtur dello spio-tempo. Possimo pero elborre un teori bst su quest ide e verificrne l vlidit trmite esperimenti. Per mostrre che l ide che ll bse dell for di grvit ci si il concetto di curvtur considerimo un effetto fisico noto l effetto Doppler e considerimo le sue conseguene ll luce del principio di equivlen di Einstein. Eseguimo quindi un esperimento idele.

6 λ 0 t=t 0 Considerimo 2 ri in moto uniformemente ccelerto () distn reltiv. Al tempo t=t 0 dl ro inseguitore viene emesso un treno d ond monocromtico. λ t=t 0 +/c Δt = /c Δv = Δt = /c Δλ = Δv λ 0 c = c 2 Il treno d ond e ricevuto dl secondo ro l tempo t=t 0 +Δt=t 0 +v/c nel sistem di riferimento di un osservtore esterno. A cus dell ccelerione, nel tempo Δt i due ri hnno umentto le loro velocit di un quntit Δv=Δt. Per questo motivo le onde che rggiungono il ro nteriore risultno shiftte cus del convenionle effetto Doppler. Il red-shift e Δλ/λ 0.

7 Δλ = g λ 0 c 2 λ λ 0 Secondo il Principio di Equivlen di Einstein lo stesso effetto dovrebbe osservrsi in presen di un cmpo grvitionle. Si immgini che un osservtore chiuso in un stn in cim ll torre si in grdo di rivelre un treno monocromtico di fotoni emesso d un pprto terr l tempo t 0. Osservtore ed emettitore sono sottoposti ll stess ccelerione di grvit g. Secondo il principio di equivlen l osservtore sull torre dovrebbe percio osservre lo stesso effetto di Redshift osservto dll osservtore sul ro, I fotoni d lui rivelti vrebbero un lunghe d ond mggiore di quelli emessi e l differen srebbe pri g /c 2 Simo in presen del noto effetto di Redshift Grvitionle l cui esisten e implicit l principio di equivlen e non dipende di dettgli dell teori dell reltivit generle.

8 Il principio di equivlen predice il fenomeno di Redshift Grvitionle. Vedimo or che implicioni ne possimo trrre sull geometri dello spio-tempo. Rppresentimo l esperimento dell torre nel digrmm spio-temporle in figur t Treno d ond Δt 0 Δt 1 Treno d ond 0 1 A t 0 viene emesso, d terr ( 0 ), un treno d onde di lunge λ 0 in un tempo Δt Il treno d onde viggi fino ll sommit dell torre ( 0 ) e qui viene rivelto. Il tempo tr un crest d ond e quell si Δt 0 =λ 0 /c ( terr) e Δt 1 =λ 1 /c (sull torre).

9 Se ssumimo che il cmpo grvitionle si sttico llor le linee di universo dei fotoni emessi ll iniio del treno d ond dovrebbero essere uguli quelle dei fotoni emessi ll fine. Quindi ci si spetterebbe che gli intervlli temporli di emissione e riceione del treno di fotoni sino identici Δt 0 =Δt 1. M in effetti non lo sono. Per effetto del redshift grvitionle, predetto dl principio di Equivlen, bbimo invece: t Treno d ond Δt 0 Δt 0 = λ 0 c λ 1 c = Δt 1 Δt 1 Treno d ond Interpretione: Lo spio-tempo ttrverso cui i fotoni hnno viggito non e pitto, m curvo. 0 1