APPENDICE B. Sintesi Modulare (Modular Synthesis)

Transcript

1 APPENDICE B Sintesi Modulre (Modulr Synthesis) Nell modellizzzione di un impinto complesso, è opportuno costruire il modello trmite modelli componenti di minore complessità, identificti nell impinto fisico. Allo stesso modo è opportuno essere cpci di esprimere un specific come un composizione di sotto-specifiche più semplici. Spesso il modello dell impinto e l specific sono dti come set di sotto-modelli e sotto-specifiche, ognuno relizzto per ctturre un certo spetto del comportmento possiile, permesso e desiderto dell intero sistem. Essere cpci di sfruttre quest struttur modulre nell procedur di sintesi può migliorre considerevolmente il compito di sintesi. Ci sono due migliorie di se che possimo ottenere usndo l sintesi modulre. Possimo ridurre il lvoro richiesto nell procedur di sintesi e possimo umentre le dimensioni dei prolemi che simo in grdo di gestire. Queste sono importnti migliorie che ci permettono di trttre prolemi di interesse industrile, l posto di semplici esempi ccdemici. IMPIANTO MODULARE, SUPERVISORE MONOLITICO Immginimo di vere un impinto P, modellizzto d due 1 sotto-impinti, P 1 E P, in modo tle che P=P 1 P. Assumimo che tutti i sotto-impinti ino lo stesso lfeto, Ó P. Assumimo inoltre di vere un singolo supervisore, S, con lo stesso lfeto. Voglimo scoprire se S è controllile e non loccnte rispetto P. Questo si può fre utilizzndo l modulrità di P. Controllilità Comincimo notndo che se S è controllile rispetto d un certo sotto-impinto, dicimo P 1, llor S è nche controllile rispetto P. Per vedere questo, osservimo che l controllilità di S rispetto P può essere descritt dlle espressioni equivlenti seguenti. L(S)Ó u L(P) L(S) L(S)Ó u L(P 1 P ) L(S) L(S)Ó u [L(P 1 ) L(P )] L(S) [L(S)Ó u L(P 1 )] [ L(S)Ó u L(P )] L(S) Or, se è vero che L(S)Ó u L(P 1 ) L(S) llor nche l ultim espressione è certmente ver, quindi S è dvvero controllile rispetto P. Questo ci dice che se prtimo con un specific Sp per un impinto P composto d sotto-impinti P 1 e P, possimo clcolre S 0 =P 1 Sp e d questo generre un sotto-utom controllile (e non loccnte) S S 0. Quindi, se P 1 e P hnno lo stesso lfeto, sppimo che S srà controllile nche rispetto P. Non doimo controllre che si vero e nemmeno clcolre l intero P. Inoltre, l utom S 0 che generimo srò molto spesso significtivmente più piccolo rispetto P Sp. 1 Per semplicità lvoreremo solo con due sotto-impinti, tuttvi tutti i risultti possono essere estesi d un numero ritrrio (m finito) di sotto-impinti. Quest ssunzione non è strettmente necessri. E sufficiente che il set di eventi non controllili di un sottoimpinto si ugule l suset di eventi non controllili dell ltro. Tuttvi, omettere quest ssunzione complic notevolmente l dimostrzione. Inftti ess grntisce che L(P 1 P )=L(P 1 ) L(P ).

2 Non loccggio L controllilità non è sufficiente. E richiesto nche che il supervisore si non loccnte rispetto P, cioè voglimo che il supervisore si tle che L m ( P S) = L(P S). Quest proprietà non è verificile semplicemente come l controllilità. Dto che l utom S sopr definito er stto generto come sotto-utom di P 1 Sp, sppimo che P 1 S=S, in modo tle che se S è non loccnte rispetto se stesso, llor srà non loccnte nche rispetto P 1. Tuttvi non imo grnzie di come S si comporterà rispetto P, perciò non possimo dire niente proposito del sistem in nello chiuso P S. Prim di trovre un soluzione questo prolem, gurdimo il prolem rigurdnte supervisori (e specifiche) multiple per un singolo impinto. SUPERVISORE MODULARE, IMPIANTO MONOLITICO A volte imo il modello di un impinto singolo P e due 3 sotto-specifiche Sp 1 ed Sp. Assumimo che entrme le sotto-specifiche ino lo stesso lfeto dell impinto 4. Generimo quindi due supervisori, uno per ogni sotto-specific. Aimo S 1 S 10 =P Sp 1 e S S 0 =P Sp. Ovvimente si S 1 che S sono controllili (e non loccnti) rispetto P, in modo tle che P S 1 =S 1 e P S =S. Controllilità Tuttvi, qundo entrmi i supervisori controllno lo stesso impinto, il sistem risultnte è P (S 1 S ) e l questione è or se S 1 S =S è controllile e/o non loccnte rispetto P. Dto che S 1 ed S hnno lo stesso lfeto e dto che l conctenzione gode dell proprietà distriutiv rispetto ll intersezione, l controllilità non è un prolem. Per vedere questo, notimo che tutte le espressioni seguenti sono equivlenti. L(S 1 S )Ó u L(P) L(S 1 S ) [L(S 1 ) L(S )]Ó u L(P) L(S 1 ) L(S ) L(S 1 )Ó u L(S )Ó u L(P) L(S 1 ) L(S ) [L(S 1 )Ó u L(P)] [ L(S )Ó u L(P)] L(S 1 ) L(S ) Ovvimente, dto che entrmi i supervisori sono controllili rispetto P, l ultim espressione è ver. Così nche S 1 S è controllile rispetto P. Questo signific che P (S 1 S )=S 1 S. Non loccggio Tuttvi, l proprietà di non loccggio è un prolem differente. Aimo l grnzi che S1 S si non loccnte (rispetto P), cioè che L m 1 S ) = L(S 1 S )? Se l rispost è no, possimo scoprire qundo è grntito? Sppimo che P (S 1 S )=S 1 S, così simo interessti nell proprietà di non loccggio di S 1 S, che è 1 S ) = L(S 1 S ). Poiché entrmi i supervisori hnno lo stesso lfeto, possimo L m riscrivere l espressione sopr come Lm 1) ) = L(S 1 ) L(S ). Or, dto che ogni supervisore è individulmente non loccnte rispetto P, si può riscrivere ulteriormente come Lm 1) 1 ) semplicemente sostituendo L(S i ) con L m i ) (per i=1,). L espressione Lm 1) 1 ) 3 Come prim, questo cso può essere esteso d un numero di specifiche ritrrio (m finito). 4 Come sopr, quest ssunzione si può trlscire, m semplific l dimostrzione.

3 è fondmentle, poiché qundo è ver, sppimo che S 1 S è non loccnte. Inftti, è solo qundo quest espressione è ver che i due supervisori individulmente non loccnti sono insieme non loccnti 5. Qundo l espressione sopr è ver, S 1 ed S sono non conflittuli. Il concetto di non conflittulità intuitivmente signific che qundo due supervisori concordno nell inizire un string, essi concordno nche su come finirl. Questo signific che entrmi rggiungono uno stto mrcto trmite l stess string. Le loro mrcture, in un certo senso, coincidono. Qundo sono conflittuli essi inizino un string, m nell esecuzione verso un qulche stto mrcto, essi non concordno su quli eventi eseguire, S 1 vuole ndre d un prte (lcuni eventi specifici) e S vuole ndre d un ltr (eventi differenti). Questo ovvimente port d uno stto di locco dl qule non è più possiile procedere. Il risultto di quest discussione è che imo isogno di trovre due supervisori S 1 ed S che non solo sino non loccnti (e controllili) rispetto P, m che sino nche non conflittuli uno rispetto ll ltro. In questo cso sppimo che l loro composizione sincron srà nch ess non loccnte rispetto P. Supervisori non conflittuli e conflittuli Sotto sono mostrti due supervisori S 11 e S 1, insieme con l loro composizione sincron. Come possimo vedere, ognuno è individulmente non loccnte e così pure l loro composizione. Osservndo i loro linguggi, imo che L m (S 11 )={å,,, } e L m (S 1 )={,,, }. Le chiusure prefisse di questi linguggi sono L m S ) = {å,,,,, } e L m S ) = {å,,,, }. Si h che L m 11 1 ) = {å,,} e L 11) Lm 1 ) = {å,,}, quindi i due supervisori sono non conflittuli. E stnz sicurmente nche l loro composizione sincron è non loccnte. Si noti che il linguggio dell composizione è L m (S 11 S 1 )={}. ( 11 ( 1 m = S 11 S 1 S 11 S 1 Sotto sono mostrti due ltri supervisori, S 1 e S, insieme con l loro composizione sincron. Come possimo vedere, ognuno è individulmente non loccnte, m l loro composizione sincron non lo è. Osservndo i loro linguggi, imo che L m (S 1 )={,,, } e L m (S )={,,, }. Le chiusure prefisse di questi linguggi sono L m S ) = {å,,,,, } e L m S ) = {å,,,,, }. L intersezione è L m S ) S ) ( ( 1 ( 1 L m ( = {å,,} e l chiusur prefiss dell intersezione è L 1) Lm ) = {å,}. I due insiemi non sono uguli e perciò l composizione sincron S 1 S è loccnte. Ess h i linguggi L m (S 1 S )={} e L(S 1 S )={å,,}. m = 5 Assumendo che controllino l impinto ttrverso mutu sincronizzzione.

4 S 1 S q q S 1 S Il prolem con S 1 ed S è che concordno nell inizire un string con gli eventi, m poi sono in disccordo su come continure l string verso uno stto mrcto. S 1 vuole continure con, dove S vuole continure con. Come vedimo nell composizione, questo port d uno stto di locco q q dl qule nessuno stto mrcto può essere rggiunto. q q Spere questo ci port concludere che possimo sintetizzre ogni supervisore individulmente e poi controllre il risultto per identificre eventuli conflitti. In generle, questo è molto più efficiente rispetto sintetizzre un unico supervisore per l intero impinto, nche se doimo riclcolre i supervisori qundo sono in conflitto. E ncor un questione pert e soggett ricerc come riclcolre in modo efficiente i supervisori qundo sono in conflitto. IMPIANTO MODULARE, SUPERVISORE MODULARE Il cso generle rigurd un impinto modulre, P=P 1 P, e un supervisore modulre S=S 1 S. I supervisori possono derivre d specifiche Sp 1 ed Sp correlte con i sotto-impinti originli, m quest condizione non è richiest. S1 potree, d esempio, derivre d S 10 =P 1 P Sp 1, mentre S potree derivre d S 0 =P Sp. Tuttvi, in questi csi, possimo sempre generre sotto-impinti ridondnti e rinominrli (renumerrli, in questo cso). Possimo cioè scrivere che P 1 =P 1 P e sintetizzre S 1 d S 10 =P 1 Sp 1. Ovvimente or possimo usre P 1 l posto di P 1. Questo signific che possimo sempre ssumere che ogni supervisore derivi dlle specifiche Sp 1 ed Sp collegte i rispettivi sotto-impinti, che non devono necessrimente essere gli originli. Assumimo quindi che S 1 si controllile e non loccnte rispetto P 1 e che S si controllile e non loccnte rispetto P. L questione llor è: S=S 1 S è controllile e non loccnte rispetto P=P 1 P? Se l rispost è no, qundo divent verifict? Considerimo prim l controllilità. Dovree pprire scontto che, ssumendo che tutti i sottoimpinti e supervisori ino lo stesso lfeto 6, S srà sicurmente controllile rispetto P. Possimo ccertrci di ciò osservndo le seguenti espressioni, che sono equivlenti. L(S 1 S )Ó u L(P 1 P ) L(S 1 S ) [L(S 1 )Ó u L(P 1 )] [ L(S )Ó u L(P )] L(S 1 ) L(S ) 6 Come prim, quest ssunzione può essere trlscit, m semplific il nostro rgionmento.

5 Dto che è vero che L(S 1 )Ó u L(P 1 ) L(S 1 ) e L(S )Ó u L(P ) L(S ), llor l ultim espressione deve essere ver. Tuttvi, esttmente come sopr, non è grntito che S si un supervisore non loccnte rispetto P. Assumimo che P 1 S 1 =S 1 e P S =S. Quest ipotesi è corrett, essendo grntit dll nostr procedur di sintesi. Poi, ovvimente, P S=(P 1 P ) (S 1 S )=S 1 S =S così che il sistem in nello chiuso è non loccnte ogniqulvolt S non lo è. D qunto imo imprto sopr, questo srà vero se e solo se S 1 ed S sono non conflittuli. Rivedimo or questo cso con mggiore dettglio e dimo l inter dimostrzione. Teorem. Dti due (sotto-) impinti P 1 e P con lo stesso lfeto e due supervisori S 1 ed S, tli che P 1 S 1 =S 1 e P S =S, dove S i (per i=1,) è controllile e non loccnte rispetto P i. Allor, il sistem in nello chiuso (P 1 P ) (S 1 S ) srà controllile e non loccnte se e solo se S 1 ed S sono non conflittuli. Dimostrzione. Sltimo l prte di controllilità, che è già stt mostrt sufficienz. Spendo che S 1 ed S sono controllili rispetto P 1 P, notimo che il sistem in nello chiuso è (P 1 P ) (S 1 S )=S 1 S. Perciò, per mostrre che S 1 S è non loccnte rispetto P 1 P è sufficiente mostrre che S 1 S è non loccnte rispetto se stesso. Aimo che L 1 1 ) e L ) poiché entrmi sono non loccnti e P i S i =S i. Qundo S1 ed S sono non loccnti le espressioni seguenti sono equivlenti. L m 1 ) = Lm 1) ) S1 ed S non conflittuli L(S 1 ) L(S )= Lm 1) ) S1 ed S non loccnti L(S 1 S )= L m S 1 S ) S1 S non loccnte ( Cos possimo dire desso proposito del primo prolem, qundo imo un impinto modulre ed un singolo supervisore? Possimo gire nel modo seguente. Definimo S 1 =P 1 S ed S =P S e considerimo S 1 ed S come due supervisori per l impinto P=P 1 P. Questo è vlido, dto che P i S i =P i (P i S)=P i S=S i (per i=1,) e perciò P (S 1 S )=(P 1 P ) (S 1 S )=S 1 S =(P 1 S) (P S)=P S. Questo signific che possimo considerre S 1 ed S come due supervisori per il singolo impinto P, nche nel cso di impinto modulre e supervisore monolitico. I risultti conseguiti sopr per impinto monolitico e supervisore modulre vlgono nche per questo cso. Questo è un ottimo risultto, poiché ci risprmi un scco di lvoro. Per esempio, sopr imo concluso che qundo S 1 ed S sono non loccnti, rispettivmente, rispetto P 1 e P, il sistem in nello chiuso è non loccnte, se e solo se S 1 ed S sono non conflittuli. Questo vle nche nel cso di impinto modulre e supervisore monolitico con le interpretzioni dette sopr di P, S 1 ed S. Tuttvi, notimo che nel modo in cui imo posto il prolem sopr in origine, non sppimo se S si vermente non loccnte rispetto P oppure no. In questo cso non imo grnzie che l non conflittulità tr S 1 ed S grntisc il non loccggio del sistem in nello chiuso. Inftti sppimo che sono S 1 e P che devono essere non conflittuli per fre in modo che il sistem in nello chiuso si non loccnte. Come evidenzito sopr, nell re del controllo supervisivo modulre c è un sconfint vrietà di modi in cui l impinto, l specific ed il supervisore intergiscono. Perciò c è nche un moltitudine di ricerche e, poiché questo iut comttere l complessità computzionle, è un

6 rgomento molto importnte. Risultti recenti sono stti ottenuti sotto diverse ssunzioni, come d esempio che tutti i sotto-impinti ino lo stesso lfeto (come sopr) o che tutti i sotto-impinti ino lfeti disgiunti (Queiroz (000)). Inoltre, il supervisore ottenuto trmite composizione sincron può essere rimpizzto usndo pprocci meno restrittivi, come il controllo supervisivo mutumente non loccnte (mutully non-locking supervisory control) di Fin (000) o l multiply non-locking supervision di Thistle (1997). Congiungere questi risultti (ed estenderli) in qulcos di simile d un grnde teori unifict per il controllo supervisivo modulre (grnd unified theory for modulr supervisory control) è un cmpo di ricerc oggigiorno molto importnte. Trnslted y Mr. Sndmn