Serie numeriche. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 1. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 1 / 32

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1 Serie numeriche Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 1 / 32

2 Definizione Data una successione numerica {a n }, poniamo S k = a 0 + a a k = e chiamiamo {S k } successione delle somme parziali. a n Poniamo (formalmente) e chiamiamo a n = lim k + n=k a n = a n serie numerica con termine generale a n. lim k + S k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 2 / 32

3 Definizione (Carattere di una serie) Diciamo che la serie a n 1 converge, se esiste finito lim k + S k. In tal caso chiamiamo S = la somma della suddetta serie. lim k + S k 2 diverge, se 3 oscilla, se lim S k {+, }. k + lim S k. k + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 3 / 32

4 Esempi 1 Sia a n = n. Allora la serie a n diverge. Infatti, per ogni k 1 si ha k(k + 1) S k = n = (principio di induzione) 2 Quindi lim k + S k = +. 2 La serie ( 1)n oscilla. Infatti, per ogni k N si ha S k = Quindi lim k + S k. ( 1) n = { 0 per k dispari 1 per k pari Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 4 / 32

5 Lemma La serie geometrica di ragione q R, ossia la serie q n 1 converge se q < 1. In tal caso si ha lim S k = 1 k + 1 q. 2 diverge se q 1. 3 oscilla se q 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 5 / 32

6 Dimostrazione: con l aiuto del principio di induzione è facilmente verificabile (esercizio) che S k = k + 1 se q = 1 q k = q k+1 1 q 1 se q 1 Quindi lim S k = k + + se q 1 se q q se q < 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 6 / 32

7 In generale: se modifichiamo l indice a partire dal quale sommo la serie a n n=m a n il carattere della serie NON CAMBIA. Cambia solo il valore della somma. Notazione: a volte useremo la notazione a n = a n. n k n=k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 7 / 32

8 Lemma (Condizione necessaria per la convergenza) Sia n a n una serie convergente. Allora lim a n = 0. n + Dimostrazione: Si ha lim a n = lim (S n S n 1 ) = 0 n + n + N.B. Come dimostra l esempio sulla pagina successiva, la condizione lim a n = 0 n + è solo necessaria, ma non sufficiente per la convergenza della serie n a n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 8 / 32

9 Esempio importante Sia a n = log(1 + 1 n ), n 1. Allora ma lim a n = 0, n S k = log(1 + 1 n ) = (log(n + 1) log n) = log 2 log 1 + log 3 log log(k + 1) = log(k + 1). Quindi S k + per k + e la serie diverge. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 9 / 32 a n

10 Serie numeriche a termini positivi Definizione Sia a n > 0 per ogni n N. Allora + a n si dice serie numerica a termini positivi. Lemma Sia + a n una serie numerica a termini positivi. Allora essa o converge o diverge (non oscilla). Dimostrazione: Per ogni k 1 si ha S k+1 = S k + a k+1 > S k. Quindi la successione S k è crescente, perciò ammette limite per k + e vale lim S k = sup S k k + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 10 / 32 k N

11 Serie numeriche a termini positivi Le dimostrazioni di seguenti Teoremi vengono omesse. Teorema (Criterio del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni tali che 0 < a n b n n N. Valgono le seguenti implicazioni: 1 se la serie + b n converge, allora converge anche + a n e vale a n b n 2 se la serie + a n diverge, allora diverge anche + b n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 11 / 32

12 Serie numeriche a termini positivi Teorema (Criterio del confronto asintotico) Siano {a n } e {b n } due successioni positive e supponiamo che esista il limite Se L (0, ), allora vale a n lim = L. n + b n a n converge b n converge N.B. Nel caso L = 1 diciamo che a n e b n sono asintoticamente equivalenti e scriviamo a n b n n +. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 12 / 32

13 Serie numeriche a termini positivi Esempio La serie armonica diverge. Infatti, 1 n log ( ) n. n Quindi la divergenza della serie armonica segue dal criterio del confronto asintotico e dal fatto che la serie diverga. 1 n log ( n ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 13 / 32

14 Serie numeriche a termini positivi Teorema (Criterio del rapporto) Sia {a n } una successione positiva. Supponiamo che Allora a n+1 lim n + a n 1 se q < 1, la serie n 0 a n converge; 2 se q > 1, la serie n 0 a n diverge; = q [0, + ]. N.B. se q = 1, allora si dice che il criterio è inefficace. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 14 / 32

15 Serie numeriche a termini positivi Teorema (Criterio della radice) Sia {a n } una successione positiva. Supponiamo che Allora lim n + n an = q [0, + ]. 1 se q < 1, la serie n 0 a n converge; 2 se q > 1, la serie n 0 a n diverge; N.B. se q = 1, allora si dice che il criterio è inefficace. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 15 / 32

16 Esempi 1 La serie diverge. Infatti, si ha n 0 n n n! a n+1 lim n a n (n + 1) n+1 ( n! n + 1 = lim n (n + 1)! n n = lim n n ) n = e > 1. 2 La serie converge. Infatti, n 0 ( ) n n 2 2 n n + 1 lim n n an = lim n 2 ( ) n n = n lim n ( n ) n = 2 e < 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 16 / 32

17 Consideriamo la serie armonica generalizzata: Si verifica facilmente che lim n n α (n + 1) α = lim n 1 n α con α R. n 1 n α = 1 α R. Quindi sia il criterio del rapporto che il criterio della radice risultano inefficaci. Serve allora un criterio più fine. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 17 / 32

18 Il seguente teorema di MacLaurin mette in evidenza il legame tra la teoria degli integrali impropri e la teoria delle serie numeriche: Teorema (Criterio di MacLaurin) Sia f : [1, + ) R una funzione positiva e decrescente in [1, + ). Sia a n = f (n). Allora la serie converge se e solo se converge l integrale improprio a n In tal caso vale n=2 a n 1 1 f (x) dx. f (x) dx a n. (1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 18 / 32

19 Dimostrazione: Sia b n = n n 1 f (x) dx, n 2. Siccome f è decrescente, si ha Quindi dal criterio del confronto segue che a n b n a n 1 n 2. (2) a n converge n=2 b n converge (3) Inoltre, detto B k = b n, n=2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 19 / 32

20 si ha B k = n=2 n n 1 f (x) dx = k 1 f (x) dx Quindi la serie n 2 b n converge se e solo se converge l integrale improprio 1 f (x) dx. Considerata l equivalenza (3), questo dimostra la prima parte della tesi. Per dimostrare la stima (1) basta notare che l equazione (2) implica a n B k = n=2 k 1 f (x) dx a n k 2. Con il passaggio al limite k +, usando il teorema del confronto per limiti, si ottiene (1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 20 / 32

21 Conseguenze del criterio di MacLaurin Direttamente dal criterio di MacLaurin segue che la serie n=2 1 n α (log n) β converge β R se α > 1 converge β > 1 se α = 1 diverge in tutti gli altri casi In particolare, per la serie armonica generalizzata vale 1 converge α > 1. nα Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 21 / 32

22 Serie numeriche a termini di segno variabile Definizione 1 Diciamo che la serie numerica n 0 a n converge assolutamente se la serie a n converge n 0 2 Diciamo che la serie numerica n 0 a n converge semplicemente se essa converge, ma la serie a n diverge n 0 Come nel caso di integrali impropri vale il seguente Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 22 / 32

23 Teorema (Criterio di convergenza assoluta) Data {a n } R, supponiamo che la serie n 0 a n converga assolutamente. Allora n 0 a n converge e vale a n a n. n 0 n 0 Il criterio di convergenza assoluta può essere applicato in combinazione con i criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice e di MacLaurin per dimostrare convergenza di alcune serie a termini con segno variabile. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 23 / 32

24 Esempio La serie cos(n!) n 2 converge assolutamente Infatti, cos(n!) 1 per ogni n N. Quindi la serie cos(n!) n 2 converge per il criterio del confronto e di MacLaurin. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 24 / 32

25 Il criterio di convergenza assoluta ovviamente non può essere applicato alle serie che convergono solo semplicemente. In questi casi abbiamo bisogno di un criterio più fine. Teorema (Criterio di Dirichlet) Sia {a n } tale che la successione A k = a n è limitata. Sia inoltre {b n } una successione decrescente e tale che lim b n = 0. n + Allora la serie a n b n converge n 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 25 / 32

26 Dimostrazione: consideriamo la successione delle somme parziali S k = Siccome a n = A n A n 1, si ha a n b n S k = (A n A n 1 )b n = (A n b n A n 1 b n 1 ) + A n 1 (b n 1 b n ) = A k b k a 0 b 0 + c n, dove c n = A n 1 (b n 1 b n ). Per ipotesi esiste M > 0 tale che A n 1 M n 1. (4) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 26 / 32

27 Quindi c n = A n 1 b n 1 b n M = M b n 1 b n (b n 1 b n ) = M(b 0 b k ), dove abbiamo usato il fatto che b n 1 b n 0 per ogni n 1. Dunque la serie n 1 c n converge (per il criterio del confronto), e il criterio di convergenza assoluta implica la convergenza della serie n 1 c n. Quindi lim k + c n =: C R. Visto che A k b k 0 per k + in quanto la successione A k è limita e b k 0, l equazione (4) implica che esiste finito il limite lim k + S k = C a 0 b 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 27 / 32

28 Corollario del criterio di Dirichlet Teorema (Criterio di Leibniz) Si consideri la serie n 0 ( 1)n b n. Supponiamo che 1 {b n } sia una successione decrescente; 2 {b n } sia una successione infinitesima, cioè lim n + b n = 0. Allora la serie n 0 ( 1)n b n è convergente. Dimostrazione: Siccome ( 1) n = { 1 per k pari 0 per k dispari, la tesi segue dal criterio di Dirichlet applicato con a n = ( 1) n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 28 / 32

29 Osservazione Sia il criterio di Dirichlet che il criterio di Leibniz possono essere applicati anche in situazioni in cui la successione b n è solo asintoticamente decrescente, cioè quando esiste m N tale che b n+1 b n n m. Esempio Consideriamo la serie ( 1) n b n, b n = ( ) 10π n cos n n 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 29 / 32

30 Esempio (continuato) Ovviamente b n 0, ma non è chiaro se la successione è decrescente. Consideriamo allora la funzione f (x) = ( ) 10π x cos x 1. x Per x 10 si ha f 1 (x) = 2x x 10π x 2 ( ) 10π sin < 0. x Quindi la funzione f è decrescente in [10, ) il che implica che b n+1 b n vale per ogni n 10. Dunque la serie 9 ( 1) n b n = n 1 ( 1) n b n + ( 1) n b n n 10 converge per il criterio do Leibniz. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 30 / 32

31 Alcune serie notevoli x n n! = ex x R; ( 1) n x 2n (2n)! = cos x x R; ( 1) n+1 x 2n+1 (2n + 1)! = sin x x R; ( 1) n+1 x n n = log(1 + x) x R : 1 < x 1; ( 1) n x 2n+1 (2n + 1) = arctan x x R : 1 x 1; Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie Analisi Matematica 1 31 / 32