Stati Limite per Flessione e Pressoflessione

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1 Coro di Aggiornamento per Geometri u Problematihe Strutturali Stati Limite per Fleione e Preofleione 19 novembre 005 Dr. Daniele Zonta Dipartimento di ngegneria eania e Strutturale Univerità di Trento dzonta@ing.unitn.it Riferimenti onografii [1] aonet Ch., Save., "Calolo Platio a rottura delle otruzioni", Clup, [] Ballio G., azzolani., "Strutture in aiaio", HOEPL, [] Toniolo G. "Cemento armato. Calolo agli tati limite (/1)", a Ed., Zanihelli, [4] Leonhardt F., önnig E., "C.a. &.a.p.", Vol. : "Le bai del dimenionamento nelle otruzioni in emento armato", Ed. di Sienza e Tenia, ilano, [5] Leonhardt F., önnig E., "C.a. &.a.p.", Vol. : "L armatura nelle otruzioni in emento armato; tatia, tenologia, tipologia", Ed. di Sienza e Tenia, ilano, [6] Euroodie - Progettazione delle trutture di aletruzzo, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifii, ENV

2 Sommario potei di bae ui materiali SLU per forzo normale (rihiamo) Travi: omportamento fleionale SLU per fleione Riditribuzione dei momenti SLU per preofleione SL di feurazione SL di deformazione odelli σ ε emplifiati per il aletruzzo -ε% [] a) modello parabola-rettangolo. b) modello triangolo-rettangolo. ) modello tre blok. 0.8R 0.85 fd 0.85 γ m k Fondamenti Stati Limite di per Elementi Fleione Strutturali e Preofleione - uratura

3 odello σ ε per l aiaio 0.01 odello perfettamente elatio-platio [] f d f γ yk ε f E d ε d 0.01 Fondamenti Stati Limite di per Elementi Fleione Strutturali e Preofleione - uratura potei di bae per i aloli di reitenza [] 1. Le ezioni tralano e ruotano rimanendo piane (Bernoulli): ε ε 0 +θy.. Perfetta aderenza tra aletruzzo e aiaio d armatura: ε ε.. Reitenza a trazione del aletruzzo traurabile: f t 0 ; E t Legami otitutivi σ-ε del materiale: - alolo elatio legge di Hooke: σ E ε, σ E σ. - alolo non lineare diagrammi σ-ε emplifiati.

4 Pilatri in emento armato: deformazione elatia N [] 1 E A + ( 1 nρ ) ε n E E A A + na i [] σ N A i σ nσ Pilatri in emento armato SLU [] 0.85 f d A N ( 1+ ω ) ε 0.% ε N Rd 0.85 f A + f A 0.85 f A 1 d d ( + ω ) [] f A ω 0.85 f A d

5 Sforzo normale: prerizioni normative Siurezza. Nei ai di ompreione o di preofleione, he non iano determinati da preompreione, vanno ripettate le eguenti prerizioni: a) lo forzo normale deve riultare minore di quello alolato per ompreioni entrate on una maggiorazione del 5% del oeffiiente γ ; b) in ogni ao, per tenere onto delle inertezze ul punto di appliazione dei arihi i deve ipotizzare una eentriità, previta nella direzione più favorevole, da ommare a quella eventuale dei arihi e di entità pari al maggiore dei due valori h/0 e 0 mm, eendo h la dimenione nella direzione oniderata per la eentriità; ) per elementi nelli, ome definiti in 4..4., i devono effettuare le oneguenti verifihe. Travi: omportamento fleionale [4]

6 Travi: omportamento fleionale [4] Travi: omportamento fleionale [4]

7 Legge ario-deformazione [4] Travi: meanimo retitente [4]

8 Solette nervate: meanimo di rottura [] [] [4] Stato [4] bh A i S i,0 S i + nad,0 J bh 1 h + bh + na ( d ) EJ θ σ ' J ft J h ( h ) ft σ J σ J ( d )

9 Stato [4] na b J b + na bd na ( d ) nρ d ξd nρ EJ θ σ J σ J ( d ) Diagramma delle tenioni nel l [] -ε%

10 Campi di rottura a fleione h b d 0.6d.5%o 0.66d σ κ C Z 10%o 1.8%o 4 σ Stati tenionali nei ampi, e 4 []

11 Campo h b d 0.6d.5%o 0.66d 0.85f d z κ0.4 Cb 10%o ε ε f d Z Z C R Z z f A β f d b χ β ( 1 χξ ) f A 1 ω R f A f A ω d ω ξ β 0.85 f b β d β d R f A 1 ω d Limiti del Campo b 0.6d.5%o 0.66d ω ξ d β h d 10%o 1.8%o 4 f A f ω ρ 0.85 f bd 0.85 f d d ξ ω βξ 0.1 ρ 0.75% z 0. 9d.5 ξ ω βξ ρ 1.85% ε z 0. 74d

12 Campo b 0.6d ε.5%o σ κ Cb h d z 10%o ε f d Z f Z C R Z z A β ( ξ ) 0. f bdξ 85 d 11.10ξ + ( 4.57 ω ) ξ + ω ξ ω 0 R ( ( ξ ) ξ ) f A 1 χ ξ ω Diagramma delle tenioni in ampo b ε.5%o ε ε d h d 10%o ε ε ε u ε d ε u ξ 1 ξ 10.5 ξ.86 1 ξ 1 κ ε ε ε ξ β β β ε u ε u ε u ( 1 ξ ) ( ξ ) ε ε ξ χ χ + χ ε u ε u 1 ξ ( ξ )

13 Campi e : predimenionamento b.5%o * C 0.85 fdb * h d f A f A 0.85 fdb * * ωd f b Rd f >1.8%o A d * d Z f A Campo 4 b.5%o 0.85f d κ h d 0.66d C z 10%o ε ε σ Z ε u ε d ξ ε 1 ε ξ u σ E ε E ε 1 ξ ε ξ ε u f 1 ξ ε ξ ε u

14 Campo 4 b.5%o 0.85f d κ h d 0.66d C z 10%o ε ε σ Z Z C σ A β fdbdξ R C z ε β ξ + ωξ ω 0 ε d ω β ε ξ ε ω ε u β ε R β 0.85 fdbdξ ( 1 χξ )d u Eempio Φ16 57 A mm A 6φ16 106mm Rk00 FeB44k σ adm 9. 75Pa σ, adm 60Pa ρ 0.84% f d Pa f 7. 9Pa na bd mm ξ 0.9 b na d, adm A d 1kN 0.497m 156kN σ R, adm 16kNm b σ, adm d 7kN 0.497m 16kN f A f A * ω 0.4 * ωd 16mm 170mm ξ fd A 0.85 fdb β d * Rd f A d 450kN 0.504m 7kNm γ 1.67[ 1.45]

15 Eempio Φ0 50 A mm A 10φ 0 140mm Rk00 FeB44k σ adm 9. 75Pa σ, adm 60Pa ρ 1.57% f d Pa f 7. 9Pa na bd mm ξ 0.49 b na d, adm A d 816kN 0.09m 170kN σ R, adm 99kN b σ, adm d 477kN 0.09m 99kN f A f A * ω 0.44 * ωd 111mm 19mm ξ fd A 0.85 fdb β d * Rd f A d 1174kN 0.195m 7kN γ.9[ 1.5] Trave alta o baa? b h d 50 mm 600 mm 57 mm 800 mm 80 mm 50 mm 80 6Φ Φ A ρ ω * 16 mm 106 mm 0.84% mm 0 mm 140 mm 1.57% mm 10Φ0 ζ () 170 mm 19 mm ξ Rd 7. knm 8.4 knm

16 Elementi inflei: ondizioni di vinolo [5] Elementi inflei: ondizioni di vinolo [5] [5]

17 Elementi inflei: ondizioni di vinolo [5] Elementi inflei: ondizioni di vinolo [5]

18 nviluppo dei diagrammi di momento [5] Riditribuzione e arrotondamento [5]

19 Arrotondamento del momento ull'appoggio [5] Campi di rottura a preofleione h d' b A'a Aa d 0 1 %o.5%o σ σ ' Z' C Z 10%o 1.8%o 4 5 σ

20 Campi di rottura: ontributo dell'aiaio 0 1 %o.5%o,, -4a a-b 1-a A f ( h / d' ) ( h / ') A f d 4a-4b 4b-5a 10%o 1.8%o 4 A f 5 0, 0-1 A f 5b A f N( ) Campi di rottura: ontributo del l 1 %o.5%o -4 0 β ( h χξ d ) bdf d ξ / %o 1.8%o 4 5 0, 1, 1- βbdfdξ βbdfdξ 4 βbdfd N( )

21 ' Campi di rottura: armatura immetria -4 N( ) A f 0, 0-1,, -4a a-b 1-a A f ( h / d ) A f A f ( h / d ') 4a-4b 4b-5a A f N( ) 5b ξ ( h χξ d ) βbdf d / βbdfdξ βbdfdξ 4 βbdfd N ( ) 0, 1, 1- Campi di rottura: armatura immetria f A ω 0.85 f A d ν N 0.85 f Sd d A µ 0.85 f Sd d A h []

22 Campi di rottura: ontributo dell'aiaio 1 %o.5%o 0 10%o 1.8%o 4 5 ( A A' ) f ( h / d' ) ( A A' ) f ( A + A' ) f N( ) Campi di rottura: armatura non immetria f A ω 0.85 f A d ν N 0.85 f Sd d A µ 0.85 f Sd d A h []

23 Eempio A m A 4φ14 615mm ρ 0.6% Rk00 FeB44k f d Pa f 7. 9Pa f A ω 0.85 f A d h / 0 10mm e 0mm 0mm N Sd Sd 1000kN Sd 5kN, tot Sd + N Sd e kN N ν 0.85 f µ 0.85 f Sd d Sd d A A h Eempio e 0mm e h / 0 f A ω 0.85 f A d N ν 0.85 f µ 0.85 f Sd d Sd d A A h []

24 Aderenza aiaio - aletruzzo Eempio di filamento di una barra di aiaio da un bloo di l. R: forza he tende a produrre lo filamento. τ b : tenioni di aderenza. [] Equilibrio della barra: R σ A τ b π φ l Lunghezza di anoraggio Le barre tee devono eere prolungate oltre la ezione nella quale ee ono oggette alla maima tenione in miura uffiiente a garantirne l anoraggio nell ipotei di ripartizione uniforme delle tenioni tangenziali di aderenza. Con le tee modalità i dovrà inoltre verifiare he l anoraggio ia garantito al di là della ezione a partire dalla quale ee non vengono più pree in onto, on riferimento alla tenione effettiva ivi agente. [1]

25 Lunghezza minima di anoraggio [] La rii del itema può verifiari o per nervamento dell aiaio o per filamento delle barra d armatura. mponendo: Si riava: l b π φ f y τ br 4 φ f y φ f 4 τ 4 f br π φ l bd Aderenza aiaio - aletruzzo L adeione aiaio-l è dovuta a fenomeni di divera natura: Adeione himia moleolare. Compenetrazione geometria dovuta alla abroità delle uperfii a ontatto (fig. a). [] fig. b): nervature per aumentare la abroità. fig. ) ontributo di attrito dovuto a ompreioni traverali (ritiro). fig.d) ontributo del onfinamento traverale. Dovuto ad armature traverali o erhiature on funzionamento a traliio

26 Tirante: tato [] Tirante: tato []

27 Feurazione degli elementi in CA rm φ 50 + k1k 4ρ eff [4] k k a. m. liie fleione trazione [] Area effiae EC [6]

28 Eempio: ditanza fra le feure 50 A 6φ16 106mm ρ eff 6.9% 600 6Φ16 57 A eff ( h d ), b mm φ 16 rm 50 + k1 k mm 4ρ eff Φ0 50 A 10φ 0 140mm A eff ( h d ), b mm ρ eff 5.% φ 0 rm 50 + k1 k mm 4ρ eff Tenion Stiffening ε m σ 1 β1β E [] β 1 β rm w k φ 50 + k1k 4ρ 1.7ε a. m. liie lunga durata breve durata m rm eff

29 SL di feurazione Selta degli tati limite di feurazione. Nel propetto 7- ono indiati i riteri di elta dello tato limite on riferimento alle eigenze opra riportate. PROSPETTO 7- Gruppi di eigenze a b Condizioni ambiente Poo aggreivo oderatamente aggreivo olto aggreivo Combinazione di azioni Armatura Senibile Poo enibile Stato limite w k Stato limite w k frequente ap. feure w ap. feure w quai deomp. o permanente ap. feure w 1 ap. feure w frequente ap. feure w 1 ap. feure w quai permanente deompre. ap. feure w 1 ap. feure rara e formaz. w 1 ap. feure w feure frequente deompre. ap. feure w 1 w1 0,1 mm w 0, mm w 0,4 mm Eempio 1: Eempio: ombinazioni di ario q k 1kN / m g k kn / m L5.m SLU qd γ g gk + γ qqk kN / m SLE Rara qd gk + qk kN / m SLE Frequente qd gk + ψ 1 qk kN / m SLE Quai permanente q g + ψ q kN m d k k / qd L d 1kNm 8 qd L d 149kNm 8 qd L d 18kNm 8 qd L d 116kNm 8

30 Eempio: proprietà geometrihe Φ16 Si,0 A i 57 9mm σ ' fk. 18 J ( h ) f Pa A mm A 6φ16 106mm Ai A + na mm bh 6 S i, 0 + nad mm ρ 0.8% bh h J + bh + na ( d ) mm ffk J 46kN h na bd mm b na b J + na 9 4 ( d ).1 10 mm Eempio: feurazione Φ16 57 SLE Frequente ε Sd 18kNm m σ E 1 β ( d ) Pa Sd σ 14 J % %0 β Sd wk 1.7ε mrm % mm < 0. 4mm SLE Quai Permanente ε Sd 116kNm m σ E 1 β ( d ) Pa Sd σ 194 J % %0 β Sd wk 1.7ε mrm % mm < 0. mm

31 Eempio: proprietà geometrihe 80 Si,0 A i 159mm σ ' fk. 18 J Φ0 50 ( h ) f Pa A mm A 10φ 0 140mm Ai A + na 71100mm bh 6 S i, 0 + nad mm bh h J + bh + na 1 ρ 1.4% 9 4 ( d ) mm ffk J 5kN h na bd mm b na b J + na 9 4 ( d ) mm Eempio: feurazione Φ0 50 SLE Frequente ε Sd 18kNm m σ E 1 β ( d ) Pa Sd σ 195 J % %0 β Sd wk 1.7ε mrm % mm < 0. 4mm SLE Quai Permanente ε Sd 116kNm m σ E 1 β ( d ) Pa Sd σ 177 J % %0 β Sd wk 1.7ε mrm % mm < 0. mm

32 Limiti di deformazione: EC P(1) La deformazione di un elemento o di una truttura deve, di regola, eere tale da non omprometterne la funzionalità o l apetto etetio. P() Adeguati valori limite di deformazione, he tengano onto della natura della truttura, delle finiture, dei tramezzi e degli aeori nonhé della funzione della truttura tea aranno, di regola, onordati oi ommittente. () Le deformazioni non devono di regola uperare quelle he poono eere opportate enza inonvenienti da altri elementi ollegati quali tramezzi, vetrate, rivetimenti, ervizi e finiture. n qualhe ao poono eere rihieti dei limiti partiolari per aiurare il orretto funzionamento di mahinari o impianti otenuti dalla truttura o per evitare he l aqua ritagni u tetti piani. Anhe le vibrazioni poono rihiedere limiti, in quanto poono auare diagio o allarme negli utenti dell edifiio e, in ai etremi, danni trutturali. Limiti di deformazione: EC (5) L apetto e la funzionalità della truttura poono eere pregiudiati e l infleione alolata di una trave, piatra o balzo oggetti ai arihi quaipermanenti è maggiore di 1/50 della lue. L infleione va intea ome relativa agli appoggi. Può eere previta una ontrofreia per ompenare tutta o parte dell infleione, ma la monta delle aeforme vero l alto non deve di regola eere maggiore di 1/50 della lue. (6) Le infleioni poono auare danni a tramezzi, a elementi onnei o in ontatto on l elemento oniderato, e a finiture e infii, e la deformazione previta oi alolo he i manifeta dopo la otruzione di tali elementi riulta eeiva. Un limite adeguato dipende dalla natura dell elemento he può eere danneggiato, ma, indiativamente, un limite di 1/500 della lue è oniderato ragionevole nella maggior parte dei ai. Tale limite può eere reo meno vinolante e gli elementi he poono eere danneggiati ono tati progettati per adattari a infleioni maggiori o e è nota la loro apaità di reitere a infleioni maggiori enza danno.

33 Deformazioni: D Eempio 1: Deformazione Q L δ δ QL EJ ql 4 EJ < δ < < δ < δ δ QL EJ ql 4 EJ J bh 1 h + bh + na( d ) + na( d ) J b

34 Deformazione δ ζδ + 1 ( ζ ) δ ζ 1 β 1 β β a. m. liie β lunga durata breve durata [] Vioità: D VSCOSTÀ. n mananza di perimentazione diretta, per il oeffiiente finale di vioità ϕ (t, t 0 ), di un onglomerato ottopoto ad una tenione al più uguale a 0, R kj al tempo t 0 j di mea in ario, i ammetteranno i eguenti valori: a) Atmofera on umidità relativa di ira 75% t 0 α 0 m α 60 m 7 giorni,7, giorni, 1,9 > 60 giorni 1,4 1,7 b) Atmofera on umidità relativa di ira 55% t 0 α 0 m α 60 m 7 giorni,8, giorni,0,5 > 60 giorni 1,7,0 in ui: t 0 età onglomerato a partire dalla quale i onidera l effetto del ritiro; A α dimenione fittizia ; u Eeff A area della ezione del onglomerato; u perimetro della ezione di onglomerato a ontatto on l atmofera. Per valori intermedi i interpolerà linearmente. E 1 + φ

35 Eempio: deformazione Φ16 57 A α 6mm u t0 8gg φ.15 um. 75% E Eeff 9911Pa 1+ φ 4 d L 5. 8 eff J 5 q δ 84 E mm δ 4 5 qd L Eeff J mm ξ δ 0.9δ δ 10.17mm Eempio: deformazione Φ0 50 A α 80mm u t0 8gg φ.14 um. 75% E Eeff 994Pa 1+ φ 5 qd L δ mm 84 E J eff 4 δ 4 5 qd L Eeff J mm ξ L δ 0.9δ δ 5.7mm > 0.08mm 50

36 Rapporti di nellezza limite: D Trave alta o baa? 50 SL Φ0 50 LTE 6Φ16 SLU fleione R 6 knm 9 knm 1 knm 46.1 knm 5.0 knm J 5.69E+09 mm 4 1.9E+09 mm 4 J.1E+09 mm 4 1.6E+09 mm 4 rm 7 mm 89 mm SLE feurazione w k -q.p mm 0.1 mm 0.4 mm SLE feurazione w k -frequente 0.1 mm 0.1 mm 0. mm ξ q.p SLE deformazione δ q.p mm 5.7 mm 0.08 mm