Introduzione alla Fisica. Ripasso di matematica Grandezze fisiche Vettori

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1 Introduzione ll Fisic Ripsso di mtemtic Grndezze fisiche Vettori

2 Alger dei numeri reltivi Numeri reltivi: numeri preceduti dl segno + o dl segno segno 5, modulo o vlore ssoluto (si indic con ) Due numeri reltivi sono concordi se hnno lo stesso segno es: ( ; 7,15 ; 6001); discordi se hnno segno contrrio es: (+7,6 ; 1,); opposti se hnno stesso modulo e segno contrrio es: (,1 ; +,1) reciproci (inversi) se hnno lo stesso segno e modulo inverso es: ( 4/5 ; 5/4) Chimimo espressione lgeric un espressione mtemtic che contiene numeri reltivi numeric: 4 1 letterle: 5

3 ... dove le lettere rppresentno In un espressione mtemtic un generico numero intero (0; 1; ; ;...) intero reltivo (.. ; -1; 0; 1;...) rele (-1/; 16,11111; 7; e,7...) In un legge fisic un grndezz fisic vlore numerico + unità di misur m (,7 kg; 8 mg; 1 l;...) t ( 8,7 ms; h;,7 giorni;...) Stess lger!!

4 Somm lgeric Nell lger dei numeri reltivi, un espressione contenente ddizioni e sottrzioni numeriche e letterli z + 5 8y viene sempre considert come un somm lgeric, ovvero intes come somm di numeri reltivi: + + ( z) + ( + 5) + ( 8y) + ( 4) 4 Not: per scioglimento delle prentesi in un espressione si elimin l prentesi se precedut dl segno + + ( 4x y + z) 4x y + z si elimin l prentesi cmindo segno tutti i fttori l suo interno se precedut dl segno - ( 4x y + z) 4x + y z

5 Le 4 operzioni Addizione (somm) ( ) + ( 6) 8 ( 1) + ( + 9) 4 Addendi concordi:somm dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenz dei moduli segno dell ddendo di modulo mggiore Sottrzione (differenz) ( 4) ( 9) ( 4) + ( + 9) + 5 Si ottiene sommndo l primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottrendo) Moltipliczione (prodotto) ( 4)( )( 7) 84 Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pri di segni negtivo -> numero dispri di segni Divisione (quoziente o rpporto) 1 ( 1) : ( + 7) ( 1) + 7 Si ottiene moltiplicndo il dividendo per il reciproco del divisore

6 Esempi: : : 6 7 [ ]. R [ ]. 5 R

7 Potenze se, esponente L ( volte) Proprietà delle potenze di ugul se n + m! (nessun prticolre proprietà) + (**) + (*) dipende! n * m n+m * (**) * (*) **** 5 ( n ) m n*m ( ) (**) * (**) ***** 6 n / m n-m / (**)/(*) 1 M ttenzione: / (**)/(*) 1 - / (*)/(**) 1/ -1 - / (**)/(**) L regol continu vlere, purchè si definisc -n 1/ n 0 1 potenz esponente negtivo potenz esponente nullo

8 Esempi: ( )( ) + ( + ) ( ) ( ) 1 R. 18 [ R. 8] [ R. 16] [ R. 16] [ R. 9] 1 1 [ R. 64]

9 Rdice E` l operzione invers dell elevmento potenz: n è quel numero l cui potenz n-esim è ugule d : ( n ) n n n L ( n volte) l rdice di indice pri di un numero negtivo non esiste l rdice di indice dispri di un numero esiste ed è unic 4 8 ; 7 esistono sempre due rdici di indice pri di un numero positivo 5 ±5 Not: un potenz con esponente frzionrio è ugule d un rdicle che h per indice il denomintore dell frzione m n n/m 6 6/ (**)*(**) (**) **

10 Esempi: 6 1 [ R. 4] 4 4 ( 4) ( 4) 1 R. [ R. ssurdo] [ R. 00]

11 Momomi e Polinomi Monomio: un qulunque espressione lgeric che si present sotto form di prodotto di fttori numerici e letterli Coefficiente 4 Grdo nell letter Prte letterle identici se hnno stesso coefficiente e stess prte letterle 4 ; ; 0,6 ; K 6 simili se hnno l stess prte letterle e diverso coefficiente 8 c 4 ; 5 7 c 4 ; 5, Polinomio: è un somm lgeric di più monomi non simili c 4 ; L ; mn + n 4 ; 4 + 9

12 Le operzioni lgeriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenz, e ricordndo che solo monomi simili possono essere sommti lgericmente Esempi: + 5 ( ) ( 6 ) 5 8 : c 9 c ( ) c [ R ]. [ ] R. 18 R. 4 4 [ R c] 4. [ ] 4 6 R. 9 c

13 Il prodotto di due polinomi si ottiene come somm lgeric dei prodotti di ciscun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Esempi: ( )( ) + ( )( ) + y x y x 5 4 I clcoli possono essere semplificti nel cso di prodotti notevoli: ) ( ) ( ) )( ( ± + ± ± + ± ± + [ ] 6. R [ ] y xy x R

14 Il quoziente di due polinomi non è in generle risoluile. Tuttvi, è spesso possiile semplificre un frzione lgeric rccogliendo ed eliminndo i fttori moltiplictivi comuni tutti i termini del numertore e del denomintore Esempi: ( 8 1 ): ( 4) x + 11y + 6 1x + y + 9 [ R. ] R. 6 R. 5 R. x + 11y + 6 1x + y + 9

15 Le frzioni di frzioni si risolvono fcilmente ricordndo le proprietà viste finor Esempi:

16 Equzioni Equzione relzione di uguglinz tr due memri verifict per prticolri vlori di un vriile incognit x + 0! x -/ Proprietà: Sommndo (sottrendo) un stess quntità entrmi imemri Moltiplicndo (dividendo) per un stess quntità entrmi imemri il risultto non cmi e d qui deriv il metodo di risoluzione: x + 0 x + 0! x - x/ -/! x -/ Es. x x ! x 6 x/ 6/! x

17 Esempi: ( x + 5) 5 + x ( x ) + x + 1 c (5 x) x ( x + ) [ R. x ] [ R. x ] R. 1 c [ R. impossiile] ( x) x ( x + ) [ R. sempre verificto]

18 : c:d! d c Proporzioni Prodotto dei medi prodotto degli estremi Null di mgico: sono solo normli equzioni! / c/d! c/d c d/ d/c d c/ Conversione di unità di misur Es. Prezzo in lire! Prezzo in euro N lire lire N lire 1 euro x x 1 euro lire Prezzo in euro! Prezzo in lire Neuro x 1euro lire x N Neuro lire 1 euro euro N N lire euro Fttore di conversione rpporto tr due unità di misur

19 Esempio: risolvere usndo le proporzioni Medinte perfusione intrvenos vengono somministrte 50 gocce l min di soluzione fisiologic (0 gocce 1mlitro). Dopo 0 min, qunti mlitri di soluzione sono stti somministrti? [ R. 75 ml]

20 Potenze di dieci e notzione scientific 10 5 (si legge dieci ll quint ) è ugule 1 moltiplicto per * (si legge dieci ll meno 5 ) è ugule 1 diviso per / è ugule 1.0 spostndo l virgol destr di 5 posti è ugule 1.0 spostndo l virgol sinistr di 5 posti Notzione scientific (form esponenzile) Si us nei clcoli scientifici per esprimere numeri molto grndi e molto piccoli prte numeric numero compreso tr 0,1 e 10 5, prodotto si usno nche i simoli e potenz di 10 l esponente rppresent il numero di posti decimli di cui occorre spostre l virgol

21 Esempi: convertire d notzione numeric scientific notzione numeric ordinri (o vicevers) 0, ,6 10, [ R. ] -,1 10 [ R. ] 5 9,7 10 [ R. 8600] [ R. 0,000000] Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operzioni complicte, con risultti estti o non lontni dl risultto vero. 0,0000 0,000 0, ,

22 Equzioni Equzioni nell Fisic Relzione di uguglinz tr due memri tutto ciò che è 1 o memro (numeri + unità di misur) deve essere ugule tutto ciò che è o memro Es. Are di un rettngolo: A (50 cm)*(1 m) 50 cm*m (d evitre!) 50 cm * 100 cm 5000 cm 5000 cm NO! 0.5 m * 1 m 0.5 m 0.5 m NO! A 50 cm, 1 m Equivlenze tr unità di misur

23 Equivlenze tr unità di misur Occorre conoscere il fttore di conversione tr le diverse unità di misur Es. Velocità km/h! m/s m/s! km/h 1 km/h 1000 m / 600 s 1m/s 0,001 km / (1/600) h 0,8 m/s,6 km/h n km/h n 0,8 m/s n m/s n,6 km/h Velocità di un tlet dei 100 m: di un utomoile: dell luce: 10 m/s 10.6 km/h 6 km/h 10 km/h 10 0,8 m/s,6 m/s km/s 10 8 m/s 10 8,6 km/h 1, km/h Ovvimente il fttore di conversione inverso è l inverso del fttore di conversione! Es. 0,8 1 /,6

24 Esempi: convertire le seguenti grndezze nelle unità di misur indicte 1 in/min in cm/s kg/m in g/cm 1h 7 0 in min

25 Percentule Metodo comodo per esprimere vrizioni (umenti o diminuzioni) rispetto un situzione not 1 % 1/ n % n/ n 0.01 n Esempi: % di 150 / , ,5 0% di , % di 0,00 0,0 0, , % di (rddoppire umentre del 100% pssre l 00 %) Per mille : 1 1/ % Prte per milione : 1 ppm 1/ % 0.001

26 Attenzione: l percentule e sempre reltiv ll grndezz cui si riferisce! Esempi: 0% di 1000 grmmi ( ) grmmi 00 grmmi Aumentre un quntità Q del 5%: Q Q + 5%Q Q + 0,05 Q Q (1 + 0,05) 1,05 Q Diminuire un quntità Q del 5%: Q Q - 5%Q Q - 0,05 Q Q (1-0,05) 0,95 Q Soluzione di un sostnz in cqu l 5% in volume: d es. in 1 litro di soluzione, 950 cm d cqu e 50 cm di soluto in peso: d es. in 1 kg di soluzione, 950 g d cqu e 50 g di soluto

27 Superfici e volumi Rett [L] 1 Pino [L] Spzio [L] V (m L(m) S (m ) ) L re dell superficie di un corpo si misur sempre in m, cm, Il volume (o cpcità) di un corpo si misur sempre in m, cm, c S V c r S π r V (4/) π r r S π r V π r l In generle: S se ltezz V re se ltezz l Attenzione lle conversioni tr unità di misur! 1 m (1 m) (10 cm) 10 4 cm cm 1 m (1 m) (10 cm) 10 6 cm cm 1 cm (1 cm) (10 - m) 10-4 m m 1 cm (1 cm) (10 - m) 10-6 m m 1 l 1 dm (1 dm) (10-1 m) 10 - m (10 1 cm) 10 cm

28 Angolo pino α ngolo giro ngolo pitto ngolo retto α R s 60 π rd 180 π rd 90 π/ rd Unità di misur grdi, minuti, secondi 1 60' 1' 60" es: 7' 8" rdinti lunghezz rco s R Per convertire tr grdi e rdinti si può utilizzre l semplice proporzione x rd : y grdi π : 180 Esempio: convertire 60 o in rdinti

29 Tringolo rettngolo Teorem di Pitgor c + c c Esempio: Csi prticolri c 0 o 60 o c c

30 Funzioni Funzione relzione univoc tr due grndezze vriili vriile dipendente yf(x) vriile indipendente Definire l funzione yf(x) signific stilire come vri l vriile dipendente y l vrire dell vriile indipendente x. L funzione che leg le due grndezze X ed Y può essere rppresentt grficmente ttrverso un curv in un pino crtesino Esempi: yx yx vriile dipendente Y 0 Assi Crtesini vriile indipendente X

31 Attenzione: Un relzione di dipendenz e un funzione se per ogni vlore dell vriile indipendente x esiste uno e un solo vlore dell vriile dipendente y Esempio: person! dt di nscit SI " NO person! trg uto NO " SI y y?? x n! y n SI x n! y n NO SI x NO x Un funzione e invertiile se ogni vlore dell vriile dipendente y corrisponde uno e un solo vlore dell vriile indipendente x.

32 Le funzioni dell Fisic Rett 1 o grdo Iperole! proporz.dirett proporz.invers " y rddoppi l rddoppire di x y si dimezz s v t PVk! Pk/V λ c T λf c! λ c/f F m V R I s P Rett t Iperole V

33 Prol o grdo Frz. qudr.! proporz.dir.qudr. proporz.inv.qudr." y qudruplic y si riduce un qurto l rddoppire di x l rddoppire di x s ½ t F g G m 1 m /r E k ½ m v F e K q 1 q /r s F Prol t proporz.inv.qudr r

34 Funzioni dipendenti dl tempo Vst clsse di fenomeni dell Fisic (e dell vit quotidin) Tempo vriile indipendente prmetro del moto Moti: Oscillzioni: Decdimenti: ss(t), vv(t), (t) s(t) A sin(ωt) n(t) n 0 e -λt

35 Grndezze fisiche Definizione opertiv: Grndezz fisic! Proprietà misurile Es. Senszione di cldo/freddo NO (soggettiv, divers per ciscuno) Tempertur SI (oggettiv, ugule per tutti) Misur di un grndezz: medinte un dispositivo sperimentle in confronto con un ltr grndezz omogene di riferimento costnte e riproduciile Espressione di un grndezz: numero + unità di misur rpporto tr misur e cmpione di riferimento MAI dimenticre l unità di misur! Dire un corpo è lungo 4 non h senso. Dire l densità dell cqu è 1 non h senso. e dirlo ll esme

36 Grndezze fondmentli Fondmentli concetti intuitivi e indipendenti l uno dll ltro non definiili in termini di ltre grndezze e derivte Lunghezz [L] Mss [M] Tempo [t] Intensità di corrente [i] Tempertur ssolut [T] Derivte definiili in termini delle grndezze fondmentli medinte relzioni nlitiche Superficie (lunghezz) [L] Volume (lunghezz) [L] Velocità (lunghezz/tempo) [L] [t] -1 Accelerzione (velocità/tempo) [L] [t] - Forz (mss * ccelerz.) [L] [M] [t] - Pressione (forz/superficie) [L] -1 [M] [t] - In generle: [L] [M] [t] c [i] d [T] e

37 Sistemi di unità di misur Stilire un sistem di unità di misur fissre le grndezze fondmentli e il vlore dei loro cmpioni unitri Sistem [L] [M] [t] [i] [T] lunghezz mss tempo intens. temper. corrente ssolut MKS / SI m kg s A o K Internzionle metro chilogr. secondo mpere gr.kelvin cgs cm g s A o C centim. grmmo secondo mpere gr.celsius Sistemi prtici vri esempi Lunghezz Tempo Volume Velocità Pressione Energi Clore ngstrom, nno-luce minuto, or, giorno, nno litro chilometro/or tmosfer, millimetro di mercurio elettronvolt, chilowttor clori Fttori di conversione: MKS! cgs cgs! MKS 1 m 10 cm 1 kg 10 g 1 cm 10 - m 1 g 10 - kg MKS, cgs! prtici e vicevers proporzioni con fttori numerici noti

38 Se si sglino le unità di misur

39 Multipli e sottomultipli

40 Per esprimere revemente grndezze fisiche grndi o piccole: numero 1,, cifre + unità di misur con multiplo/sottomultiplo (di in ) Es g g 5.78 ( ) g 57.8 kg 57.8 kg g g g g 4.7 mg g g 4.7 ( ) g 470 µg Per confrontre grndezze infinitmente grndi o piccole: Ordine di grndezz potenz di 10 più vicin l numero considerto Es. Idrogeno: rggio tomo: m, rggio nucleo m! m /10-15 m 10 5 L tomo di idrogeno è volte più grnde del suo nucleo!

41 Esempio: Il referto di un esme del sngue di un fornisce i seguenti vlori: V.E.S. 7, mm/h Glicemi 98 mg/dl Si esprimno tli risultti nelle unità del Sistem Internzionle R. -6,0 10 m/s 0,98 kg/m Un cellul sferic h un dimetro d 0 µm. Qule è il volume dell cellul in cm? [. 4, cm ] R V

42 Alcune grndezze fisiche Alcune lunghezze vlore in m - distnz dell stell più vicin m - nno-luce m (9 milioni di milirdi di km) - distnz Terr-Sole m 149 Gm (150 milioni di km) - distnz Terr-Lun m 80 Mm ( km) - rggio dell Terr m 6.8 Mm (6000 km) - ltezz del Monte Binco m 4.8 km (5 km) - ltezz di un uomo m 1.7 m - spessore di un foglio di crt 10-4 m 100 µm (1/10 di mm) - dimensioni di un gloulo rosso 10-5 m 10 µm (1/100 di mm) - dimensioni di un virus 10-8 m 10 nm (100 ngstrom) - dimensioni di un tomo m (1 ngstrom) - dimensioni di un nucleo tomico m

43 Alcune grndezze fisiche Alcune msse vlore in kg - mss del Sole kg - mss dell Terr kg - mss di un uomo 7 10 kg - mss di un gloulo rosso kg - mss del protone kg - mss dell elettrone kg Alcuni tempi vlore in s - er cristin s (000 nni) - nno solre s - giorno solre s - intervllo tr due ttiti crdici s (8/10 di sec.) - periodo di virz. voce sso s (/100 di sec.) - periodo di virz. voce soprno s (50 milionesimi di sec.) - periodo di vi. onde rdio FM 100 MHz 10-8 s (10 milirdesimi di sec.) - periodo di vi. rggi X s (1 milirdesimo di milirdesimo di sec.)

44 Errori di misur Ogni misur dirett o indirett di un grndezz è ffett d errore stim di qunto il vlore ottenuto può discostrsi dl vlore rele. Esempio: l 5, ± 0, Per convenzione: l 5, equivle l 5, ± 0,1 Attenzione : 5, 5,0 Errore reltivo o percentule Misur: ± lungh (6 ± 0.5) cm Errore reltivo: err / err (0.5 cm)/(6 cm) Errore percentule: err% / 100 err% err %

45 si indicno con v (oppure con l letter v in grssetto) sono crtterizzte d dti vettore modulo v punto di ppliczione grndezze vettorili direzione verso modulo (v o v ) direzione verso Esempio di vettore: spostmento s modulo s s,7 m direzione : verticle verso : dll lto verso il sso ltri vettori: velocità, ccelerzione,... Le grndezze che non hnno ntur vettorile sono chimte grndezze sclri Esempio: tempertur, pressione, densità,...

46 Vettori uguli Vettori opposti stesso modulo stess direzione stesso verso stesso modulo stess direzione verso opposto Not: due vettori possono essere uguli nche se il punto di ppliczione è differente; il vettore opposto di v è il vettore (-v).

47 somm di due vettori regol del prllelogrmm (metodo grfico) s + s s ènche chimto vettore risultnte di e Due vettori opposti hnno risultnte null!!

48 scomposizione di un vettore Un vettore può sempre essere scomposto in un somm di due vettori detti componenti, uno prllel (//) ed uno perpendicolre ( ) rispetto d un qulsisi direzione e verso stiliti. direzione scelt v v // α v Per chi conosce l trigonometri: v // v cos α v v sen α... ltrementi: usre (qundo possiile) le proprietà dei tringoli

49 differenz di due vettori regol del prllelogrmm (metodo grfico) d d - d d d +

50 moltipliczione o divisione di un vettore per uno sclre Moltiplicre o dividere un vettore per uno sclre equivle moltiplicre o dividere il modulo del vettore, lscindo invrit l direzione ed il verso. Esempio: v v ½ v

51 prodotto sclre di due vettori // φ // φ 0 // φ 90 // 0 φ 180 //

52 cso unidimensionle Se tutti i vettori nel prolem considerto hnno l stess direzione, il prolem si semplific notevolmente (prolem unidimensionle) somm e differenz di vettori somm lgeric dei corrispondenti moduli prodotto sclre di due vettori Prodotto lgerico dei corrispondenti moduli lger ordinri delle grndezze sclri

53 ~ oppure ~ > (<) >> (<<) ( ) x x - x Simologi Mtemtic ugule pprossimtivmente ugule circ ugule, dell ordine di grndezz di diverso d mggiore (minore) di molto mggiore (minore) di mggiore (minore) o ugule direttmente proporzionle modulo (o vlore ssoluto) di x vrizione (umento) di x (x dopo -x prim ) diminuzione (o differenz) di x (x prim -x dopo )