Le equazioni differenziali

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1 Le equazioni differenziali Unità. Introduzione alle equazioni differenziali Nell Unità 5 abbiamo visto che il concetto di derivata di una funzione ha numerose interretazioni fisiche. Per esemio, se sðtþ raresenta la osizione all istante t di un coro che si muove lungo una retta, le derivate s ðtþ e s ðtþ raresentano risettivamente la velocità e l accelerazione del coro all istante t. Molti modelli matematici di fenomeni naturali ortano erciò a scrivere relazioni che coinvolgono una funzione incognita e alcune delle sue derivate. Di qui scaturisce il concetto di equazione differenziale, che ossiamo definire come segue. Tema O EQUAZIONE DIFFERENZIALE Un equazione differenziale è un equazione in cui l incognita è una funzione, e in cui comaiono una o iù derivate della funzione incognita. Ci occueremo di equazioni differenziali ordinarie, cioè di equazioni differenziali in cui la funzione incognita è una funzione di una sola variabile. Salvo avviso contrario, la funzione incognita dell equazione sarà indicata con la lettera y e suorremo che y sia funzione della variabile. Si dice ordine di un equazione differenziale l ordine massimo di derivazione che vi comare. Modi di dire Le equazioni differenziali in cui la funzione incognita diende da iù di una variabile vengono dette equazioni differenziali alle derivate arziali. ESEMPI a. Il roblema di determinare le rimitive della funzione f ðþ equivale a risolvere l equazione differenziale del rimo ordine: y ¼ f ðþ. b. L equazione y þ y ¼, dove y raresenta la funzione incognita, è un altro esemio di equazione differenziale del rimo ordine. Risolvere l equazione significa determinare la funzione y in modo che, er ogni valore di, la somma della derivata della funzione ðy Þ e della funzione stessa (yþ sia uguale a. c. L equazione y ¼ y þ èun equazione differenziale del secondo ordine. SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE Si dice soluzione (o curva integrale) di un equazione differenziale di ordine n in un intervallo I una funzione derivabile n volte in I e soddisfacente l equazione differenziale er ogni I. In generale le soluzioni di un equazione differenziale sono infinite. ESEMPIO Le soluzioni dell equazione differenziale y ¼ (corrisondente al roblema di trovare le rimitive della funzione f ðþ¼þ sono esresse, al variare di c R, dall equazione: y ¼ þ c detta integrale generale dell equazione differenziale. Le soluzioni sono dunque infinite e ciascuna è individuata da un valore diverso di c. Tra le infinite soluzioni dell equazione differenziale se ne uò individuare una articolare, richiedendo che sia soddisfatta una ulteriore condizione. Per esemio, se vogliamo che yðþ ¼ 7, allora si trova che c ¼, cui corrisonde l integrale articolare: y ¼ þ. Notazioni Nella teoria delle equazioni differenziali la funzione incognita y viene sesso indicata con la scrittura: y ¼ yðþ anziché con la scrittura: y ¼ f ðþ. La condizione di assaggio er un unto (, y Þ viene erciò indicata con: yð Þ¼y. 655

2 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Prova tu Le definizioni introdotte nell esemio ossono essere così generalizzate: si dice integrale generale di un equazione differenziale una formula che assegna, al variare eventualmente di uno o iù arametri in essa contenuti, tutte le soluzioni dell equazione differenziale; si dice integrale articolare una articolare soluzione dell equazione differenziale ottenuta dall integrale generale imonendo alcune condizioni iniziali; in articolare, il roblema di determinare la soluzione di un equazione differenziale del rimo ordine soddisfacente la condizione yð Þ¼y di assaggio er il unto di coordinate ð, y Þ viene detto roblema di Cauchy. ESEMPIO Il roblema di trovare la soluzione dell equazione differenziale y ¼ y þ che soddisfa la condizione yðþ ¼èun esemio di roblema di Cauchy; esso si riassume solitamente con la scrittura: ( y ¼ y þ yðþ ¼ ESERCIZI a. 67. Determina l ordine di ciascuna delle seguenti equazioni differenziali: a. y ¼ y b. y ¼ y y þ c. y ¼ y 4 ðy Þ. Determina l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ ; individua quindi l integrale articolare che soddisfa la condizione yðþ ¼.. Equazioni differenziali del rimo ordine In questo aragrafo studiamo due articolari classi di equazioni differenziali del rimo ordine: le equazioni differenziali lineari; le equazioni differenziali a variabili searabili. Equazioni differenziali lineari del rimo ordine Cominciamo con il definire le equazioni di cui vogliamo occuarci. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE Un equazione differenziale del rimo ordine si dice lineare quando si uò scrivere nella forma: y ¼ aðþy þ bðþ [.] essendo y la funzione incognita e aðþ, bðþ due funzioni assegnate, continue in un intervallo I. Una soluzione dell equazione [.] è una funzione derivabile in I, che soddisfa l equazione er ogni I. Per la ricerca delle soluzioni dell equazione [.] sussiste il seguente teorema. TEOREMA. Integrale generale di un equazione differenziale lineare del rimo ordine L integrale generale dell equazione y ¼ aðþy þ bðþ è esresso dalla formula: y ¼ e AðÞ ð e AðÞ bðþ d [.] 656 essendo AðÞ una rimitiva della funzione aðþ.

3 DIMOSTRAZIONE Il unto chiave er giungere all integrale generale dell equazione [.] è moltilicare i suoi due membri er il cosiddetto fattore integrante, e AðÞ, essendo AðÞ una rimitiva della funzione aðþ. Otteniamo così l equazione: e AðÞ y ¼ aðþe AðÞ y þ e AðÞ bðþ ossia: e AðÞ y aðþe AðÞ y ¼ e AðÞ bðþ [.] In questo modo il rimo membro dell equazione [.] uò essere interretato come la derivata di e AðÞ y; infatti, ricordando che y è una funzione di e alicando le regole di derivazione del rodotto e delle funzioni comoste, abbiamo: D e AðÞ y ¼ e AðÞ y A ðþe AðÞ y ¼ e AðÞ y aðþe AðÞ y Unità Le equazioni differenziali Integrando i due membri della [.] abbiamo allora: ð e AðÞ y ¼ e AðÞ bðþ d da cui infine, moltilicando entrambi i membri er e AðÞ : y ¼ e AðÞ ð e AðÞ bðþ d La formula [.] va letta con attenzione: si otrebbe dimostrare che la scelta della rimitiva AðÞ di aðþ è ininfluente, quindi in ratica si uò scegliere la rimitiva con costante nulla (tralasciando dunque la costante di integrazione); la costante di integrazione va invece considerata nel calcolo dell integrale indefinito ð e AðÞ bðþ d. ESEMPIO Risoluzione di un equazione differenziale lineare del rimo ordine Risolviamo l equazione differenziale: y ¼ y sin þ sin. Identifichiamo le funzioni aðþ e bðþ aðþ ¼sin e bðþ ¼sin Cerchiamo una rimitiva di aðþ Come detto oc anzi, scegliamo la rimitiva con costante di integrazione nulla: ð AðÞ ¼ sin d¼ cos Altre notazioni L equazione differenziale dell esemio a fianco otrebbe venire assegnata anche in una delle seguenti forme: y ðþ ¼yðÞ sin þ sin dy ¼ y sin þ sin d Scriviamo l integrale generale dell equazione differenziale In base alla formula [.], l integrale generale dall equazione è dato da: ð y ¼ e cos e cos sin d ossia: y ¼ e cos ð e cos þ cþ che equivale a: y ¼ þ ce cos Integrale generale dell equazione data Concludiamo l analisi delle equazioni lineari del rimo ordine con alcune osservazioni. 657

4 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Nel caso articolare in cui nell equazione y ¼ aðþy þ bðþ la funzione bðþ sia costante e uguale a, l equazione si dice omogenea e il suo integrale generale, come si uò dedurre dalla [.], èsemlicemente: y ¼ ce AðÞ Si uò dimostrare che il roblema di Cauchy: y ¼ aðþ y þ bðþ yð Þ¼y con aðþ, bðþ funzioni continue in un intervallo I e I (cioè il roblema di trovare tra le soluzioni dell equazione y ¼ aðþy þ bðþ quella che soddisfa la condizione yð Þ¼y Þ ammette semre una unica soluzione definita (almeno) in tutto l intervallo I. Alcuni esemi di roblemi di Cauchy relativi a equazioni lineari del rimo ordine ti verranno roosti negli esercizi. Equazioni differenziali a variabili searabili Definiamo ora una nuova classe di articolari equazioni differenziali del rimo ordine. Osserva Se bðyþ non è di rimo grado, le equazioni differenziali a variabili searabili sono equazioni differenziali non lineari. Saranno questi gli unici casi che tratteremo di equazioni non lineari. EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI Un equazione differenziale del rimo ordine si dice a variabili searabili quando la derivata rima della funzione incognita uò scriversi come rodotto di una funzione della sola variabile indiendente e di una funzione nella sola incognita y, ovvero quando l equazione uò scriversi nella forma: y ¼ aðþ bðyþ [.4] dove aðþ e bðyþ si suongono due funzioni continue in oortuni intervalli. Esemi y ¼ y è un equazione differenziale a variabili searabili, con: aðþ ¼ e bðyþ ¼y y ¼ e þy, essendo equivalente a y ¼ e e y,èun equazione differenziale a variabili searabili, con: Controesemi y ¼ þ y non è un equazione differenziale a variabili searabili. y ¼ e þ e y non è un equazione differenziale a variabili searabili. aðþ ¼e e bðyþ ¼e y 65 Attenzione! Potrebbe forse aarire un o «oscuro» il modo in cui abbiamo maniolato il simbolo dy d. In effetti esso raresenta la derivata della funzione incognita, quindi non ha alcun significato trattarlo come se fosse una frazione e «sezzarlo» (come è stato fatto) nei due ezzi d e dy. Il metodo esosto è da intendersi come un artificio uramente formale, utilizzato unicamente erché consente di arrivare in modo semlice all integrale generale dell equazione. Per determinare le soluzioni di un equazione differenziale a variabili searabili si rocede così:. si controlla anzitutto se esistono soluzioni dell equazione algebrica bðyþ ¼: se y è una soluzione di quest ultima equazione, allora la retta y ¼ y è una soluzione dell equazione differenziale [.4] (infatti il rimo membro si annulla erché la derivata di una funzione costante è zero e il secondo membro si annulla erché y è una soluzione dell equazione bðyþ ¼Þ;. suosto bðyþ 6¼, si raresenta la derivata y tramite la notazione di Leibniz y ¼ dy, in modo da riscrivere la [.4] nella forma: d dy ¼ aðþ bðyþ d oi si «searano» le variabili: dy ¼ aðþ d bðyþ

5 e si integra membro a membro: ð ð bðyþ dy ¼ aðþ d [.5] ediaðþ, si ot- Indicate con BðyÞ e AðÞ due rimitive risettivamente di tiene così una relazione del tio: bðyþ BðyÞ ¼AðÞþc [.6] che esrime il legame, in forma imlicita, tra e y. In alcuni casi è ossibile ricavare y in funzione di, in modo da ottenere l integrale generale in forma eslicita. Alle soluzioni esresse dalla [.6] andranno oi aggiunte le eventuali soluzioni costanti trovate all inizio. ESEMPI Risoluzione di un equazione differenziale a variabili searabili Risolviamo le seguenti equazioni differenziali: a. y ¼ y b. y ¼ y Attenzione! A rigore, nella [.6] avremmo dovuto utilizzare una costante c al rimo membro e una costante c al secondo, ma esse ossono essere oi conglobate nell unica costante: c ¼ c c Quindi, in ratica, si utilizza una sola costante, a uno dei due membri. Unità Le equazioni differenziali a. Osserviamo che l equazione si uò riscrivere nella forma: y ¼ y da cui aare chiaro che è del tio [.4] con aðþ ¼ e bðyþ ¼ y. È semre bðyþ 6¼, quindi non ci sono soluzioni costanti. Procediamo allora nella risoluzione, secondo il metodo indicato. dy d ¼ y ydy¼ d ð ð ydy¼ d Riscrivendo y come raorto di differenziali Searando le variabili Integrando y ¼ þ c Calcolando gli integrali indefiniti y ¼ þ c Moltilicando i due membri er rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ c Eslicitando risetto a y Poiché c descrive, al variare di c R, tutti i valori reali, così come c, la formula cui siamo giunti uò essere esressa iù semlicemente nella forma: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ c L integrale generale dell equazione è quindi costituito da due famiglie di funzioni, risettivamente di equazioni: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ c e rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ c 659

6 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali b. L equazione y ¼ y èdel tio y ¼ aðþ bðyþ, con aðþ ¼ebðyÞ ¼y. L equazione ammette anzitutto la soluzione costante y ¼ (in corrisondenza della quale bðyþ ¼Þ. Le altre soluzioni dell equazione si ossono ricavare suonendo y 6¼ e rocedendo come nell esemio recedente; abbiamo: y ¼ y Equazione da risolvere dy d ¼ y Riscrivendo y come raorto di differenziali dy ¼ d y ð ð y dy ¼ d ln jy j ¼ þ c jy j ¼e þc y ¼e þc Searando le variabili Integrando Calcolando gli integrali indefiniti Ricordando che ln a ¼ b, a ¼ e b Ricordando che jaj ¼b, a ¼b y ¼ e þc [.7] Attenzione! Non semre è ossibile eslicitare risetto a y l integrale generale di un equazione a variabili searabili. Per esemio, uoi verificare che l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ y þ e y è y þ e y ¼ þ c: in questo caso non è ossibile risolvere quest ultima equazione risetto a y, in modo da esrimere eslicitamente y come funzione di. Osservando che la [.7] equivale a y ¼ e c e e che, al variare di c R, e c descrive tutti valori reali diversi da zero (e c descrive tutti i valori ositivi mentre e e c descrive tutti i valori negativi), ossiamo esrimere l integrale generale nella forma: y ¼ þ ce, con c R Questa formula raresenta tutte le soluzioni dell equazione originaria: sia le funzioni descritte dall equazione [.7] (che si ottengono al variare di c R, con c 6¼ Þ, sia la soluzione costante trovata all inizio (che si ottiene er c ¼ ). Il roblema di Cauchy er le equazioni a variabili searabili: y ¼ aðþ bðyþ yð Þ¼y [.] essendo aðþ, bð yþ funzioni che suoniamo continue risettivamente negli intervalli I e J, I e y J, ammette semre almeno una soluzione, definita in un oortuno intorno di. È da notare erò che, senza iotesi di maggior regolarità sulle funzioni aðþ e bðyþ, la soluzione otrebbe non essere unica; inoltre la soluzione otrebbe non risultare definita in tutto I, ma solo in un intervallo «iù iccolo», in esso contenuto. Potrai trovare alcuni esemi di questo tio negli esercizi. Prova tu ESERCIZI a. 67 Risolvi le seguenti equazioni differenziali del rimo ordine.. y ¼ y þ y ¼ 4 þ c. y þ y ¼ y ¼, y ¼ þ c. y ¼ e þy [y ¼ ln ðc e Þ, c > ] 66

7 . Equazioni differenziali lineari del secondo ordine Un equazione differenziale del secondo ordine è un equazione nella quale, oltre all incognita y, comaiono anche le derivate y e y. Ci occueremo di una articolare classe di equazioni differenziali del secondo ordine, recisamente le equazioni della forma: ay þ by þ cy ¼ f ðþ [.9] dove y è la funzione incognita, a, b e c sono numeri reali e f ðþ è una funzione assegnata. Nel caso articolare in cui risulta f ðþ ¼, l equazione [.9] si dice omogenea (a coefficienti costanti). Unità Le equazioni differenziali ESEMPI a. L equazione y þ y þ 4y ¼ è un esemio di equazione lineare del secondo ordine, non omogenea. b. L equazione y ¼ èil iù semlice esemio di equazione omogenea del secondo ordine del tio [.9]. Essa equivale a y ¼ c, quindi a y ¼ c þ c, con c, c R: le soluzioni dell equazione y ¼ sono dunque tutti e soli i olinomi di rimo grado. Il rocedimento generale er giungere all integrale generale di un equazione della forma [.9] revede due casi, a seconda che l equazione sia o meno omogenea. Li affrontiamo searatamente. Equazioni omogenee Per le equazioni omogenee: ay þ by þ cy ¼ [.] il rocedimento risolutivo, che illustriamo qui di seguito senza fornire dimostrazioni, revede anzitutto la risoluzione dell equazione algebrica di secondo grado (nell incognita rþ: ar þ br þ c ¼ [.] detta equazione caratteristica della [.]. Si distinguono a questo unto tre casi, a seconda che il discriminante dell equazione caratteristica sia maggiore, uguale o minore di zero. Se >, allora l equazione [.] ha due soluzioni reali distinte, r ed r,e l integrale generale dell equazione [.] è: y ¼ c e r þ c e r [.] Se ¼, allora l equazione [.] ha una sola soluzione (doia), diciamola r, e l integrale generale dell equazione [.] è: y ¼ e r ðc þ c Þ [.] Se <, allora l equazione [.] non ha soluzioni reali, ma ha due soluzioni comlesse coniugate, r ¼ i e r ¼ þ i, e l integrale generale dell equazione [.] è: y ¼ e ðc cos þ c sin Þ [.4] 66

8 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali ESEMPI Risoluzione di equazioni omogenee Risolviamo le seguenti equazioni differenziali: a. y 4y þ y ¼ b. y 4y þ 4y ¼ c. y þ 9y ¼ a. L equazione caratteristica dell equazione differenziale è: r 4r þ ¼ che ammette come soluzioni: r ¼ edr ¼. In base alla [.] l integrale generale dell equazione data è allora: y ¼ c e þ c e b. L equazione caratteristica dell equazione differenziale è: r 4r þ 4 ¼ che ammette la soluzione doia r ¼. In base alla [.] l integrale generale dell equazione data è allora: y ¼ e ðc þ c Þ c. L equazione caratteristica dell equazione differenziale è: r þ 9 ¼ che ammette le due soluzioni comlesse coniugate: r ¼i Soluzioni della forma i con ¼, ¼ In base alla [.4] l integrale generale dell equazione è allora: y ¼ e ðc cos þ c sin Þ ¼c cos þ c sin Equazioni non omogenee Per le equazioni non omogenee si uò dimostrare il seguente teorema. TEOREMA. Integralegeneralediun equazionedellaforma[.9] L integrale generale dell equazione: ay þ by þ cy ¼ f ðþ si ottiene sommando all integrale generale dell equazione omogenea associata: ay þ by þ cy ¼ un integrale articolare dell equazione originaria. Il roblema che si one è la ricerca dell integrale articolare dell equazione non omogenea. Ci limitiamo a dare alcune indicazioni su come trovare questo integrale articolare, che denoteremo con gðþ, nel caso in cui la funzione f ðþ sia uno dei seguenti tii: a. una funzione olinomiale; b. una funzione esonenziale del tio f ðþ ¼he k ; c. una funzione goniometrica del tio f ðþ ¼h sin k o f ðþ ¼h cos k. 66 L integrale articolare si cerca con il metodo di somiglianza, vale a dire: se f ðþ è un olinomio si cerca gðþ di tio olinomiale, se f ðþ è una funzione esonenziale si cerca anche gðþ di tio esonenziale, e così via. Precisamente, la ricerca va fatta secondo le indicazioni riassunte nella seguente tabella, che ci limitiamo a enunciare.

9 Se... f ðþ è un olinomio di grado n f ðþ ¼he k f ðþ ¼h sin k oure f ðþ ¼h cos k...si cerca un integrale articolare del tio gðþ ¼P n ðþ con P n ðþ olinomio di grado n se non è radice dell equazione caratteristica gðþ ¼P n ðþ se è radice dell equazione caratteristica di moltelicità uguale a gðþ ¼ P n ðþ se è radice dell equazione caratteristica di moltelicità uguale a gðþ ¼Ae k se k non è radice dell equazione caratteristica gðþ ¼Ae k se k è radice dell equazione caratteristica di moltelicità uguale a gðþ ¼A e k se k è radice dell equazione caratteristica di moltelicità uguale a gðþ ¼A sin k þ B cos k se ik non sono radici comlesse dell equazione caratteristica gðþ ¼ðA sin k þ B cos kþ se ik sono radici comlesse dell equazione caratteristica ESEMPIO Equazione non omogenea con f ðþ di tio olinomiale Risolviamo l equazione differenziale y y þ y ¼. Risoluzione dell equazione omogenea associata L equazione caratteristica dell equazione omogenea associata, y y þ y ¼, è: r r þ ¼ che ha come soluzione doia r ¼. Pertanto l integrale generale dell equazione omogenea è: ðc þ c Þ e Attenzione!. Nel caso in cui f ðþ sia un olinomio, risulta radice dell equazione caratteristica se e solo se nell equazione ay þ by þ cy ¼ risulta c = ; risulta radice dell equazione caratteristica di moltelicità se e solo se b ¼ c ¼. In quest ultimo caso l equazione è della forma ay ¼ f ðþ, quindi conviene risolverla semlicemente con due integrazioni successive.. Negli integrali articolari di tio olinomiale, i coefficienti del olinomio P n ðþ sono da determinarsi imonendo che esso soddisfi l equazione differenziale.. Analogamente, negli integrali articolari di tio esonenziale e goniometrico k è un numero assegnato, mentre A e B sono da determinare imonendo a gðþ di soddisfare l equazione differenziale. Unità Le equazioni differenziali Ricerca dell integrale articolare Nel secondo membro dell equazione comare la funzione f ðþ ¼ (olinomiale di grado ). Poiché non è soluzione dell equazione caratteristica, cerchiamo (secondo quanto indicato in tabella) un integrale articolare definito da un olinomio di grado, ossia un integrale articolare del tio: gðþ ¼A þ B þ C A, B, C sono le costanti da determinare Osserviamo che: g ðþ ¼A þ B e g ðþ ¼A quindi, affinché la funzione gðþ sia soluzione dell equazione data, deve essere: A ða þ BÞþðA þ B þ CÞ ¼ y y y da cui: ða Þ þðb 4AÞþA BþC ¼ er ogni R er ogni R Per il rinciio di identità dei olinomi questa condizione imlica: A ¼ A ¼ >< >< B 4A ¼ ) B ¼ 4 A B þ C ¼ C ¼ 6 66

10 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Un integrale articolare dell equazione data è erciò: gðþ ¼ þ 4 þ 6 Integrale generale dell equazione data In base al teorema., l integrale generale dell equazione data si ottiene sommando all integrale generale dell equazione omogenea associata l integrale articolare gðþ oc anzi individuato: ðc þ c Þ e þ þ 4 þ 6 Integrale generale dell equazione data integrale generale dell equazione omogenea associata integrale articolare dell equazione data ESEMPIO Equazione non omogenea con f ðþ di tio esonenziale Risolviamo l equazione differenziale y 9y ¼ e. Risoluzione dell equazione omogenea associata L equazione omogenea associata ha come equazione caratteristica r 9 ¼, che ha come soluzioni r ¼. Pertanto l integrale generale dell equazione omogenea associata è: c e þ c e Ricerca dell integrale articolare Nel secondo membro dell equazione comare la funzione f ðþ ¼e. Poiché il coefficiente dell esonente,, èsoluzione dell equazione caratteristica, dovremo cercare un integrale articolare della forma: gðþ ¼A e A è la costante da determinare Imonendo a gðþ di soddisfare l equazione differenziale, si trova che A ¼ 6, quindi l integrale articolare è: gðþ ¼ 6 e Integrale generale dell equazione data Sommando all integrale generale dell equazione omogenea associata l integrale articolare gðþ aena trovato, otteniamo l integrale generale dell equazione data: c e þ c e þ 6 e Integrale generale dell equazione data integrale generale integrale articolare dell equazione omogenea dell equazione data associata PER SAPERNE DI PIÙ Da che cosa diendono le condizioni oste nella tabella degli integrali articolari? Nell ultimo esemio, al secondo membro dell equazione comare la funzione f ðþ ¼e. Tuttavia, in base a quanto indicato in tabella, non abbiamo cercato un integrale articolare del tio gðþ ¼Ae bensì del tio gðþ ¼Ae. Da che cosa diende ciò? Il motivo è che sarebbe imossibile trovare una soluzione articolare del tio gðþ ¼Ae. Infatti, imonendo che gðþ soddisfi l equazione y 9y ¼ e si giunge alla condizione 9ae 9ae ¼ e : a causa del fatto che è radice dell equazione caratteristica, il rimo y y membro è uguale a, quindi si ottiene la condizione ¼ e, che non è mai verificata! Per ragioni analoghe a queste, la tabella degli integrali articolari imone talvolta di cercare integrali «somiglianti» a f ðþ oa f ðþ invece che a f ðþ. 664

11 Problemi di Cauchy Gli esemi recedenti mettono chiaramente in luce che l integrale generale di un equazione del secondo ordine diende da due arametri arbitrari. Per individuare una soluzione articolare sarà quindi necessario imorre due condizioni iniziali: solitamente si richiede che in un unto la soluzione abbia un assegnato valore y e la derivata rima un assegnato valore y.èquesto il cosiddetto roblema di Cauchy er le equazioni differenziali del secondo ordine; in articolare, er le equazioni lineari che abbiamo trattato in questo aragrafo lo si assegna nella forma: >< ay þ by þ cy ¼ f ðþ yð Þ¼y [.5] y ð Þ¼y Unità Le equazioni differenziali Si otrebbe dimostrare che il roblema [.5], con f ðþ funzione continua in R, ammette semre una unica soluzione, definita in tutto R. Alcuni roblemi di Cauchy di questo tio ti verranno roosti negli esercizi. Prova tu ESERCIZI a. 675 Determina l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali.. y þ 5y 6y ¼ [ y ¼ c e 6 þ c e ]. y þ 6y þ 9y ¼ [ y ¼ e ðc þ c Þ]. y þ y þ y ¼ [ y ¼ e ðc cos þ c sin Þ] 4. y þ 4y ¼ [ y ¼ c cos þ c sin þ ] 4. Problemi che hanno come modello equazioni differenziali I modelli matematici di sistemi che si evolvono nel temo sono sesso basati su equazioni che descrivono con quale velocità variano le grandezze coinvolte nel fenomeno in esame. Poiché la velocità di variazione di una grandezza è raresentata dalla derivata della funzione che la esrime, è chiaro che questi modelli matematici sono sesso costituiti da equazioni differenziali. In questo aragrafo resentiamo alcuni roblemi tiici che conducono a modelli di questo genere. Modelli di crescita e di decadimento In molti modelli matematici reosti a studiare come cresce o decresce nel temo una data grandezza, si suone che la velocità di variazione della grandezza siaroorzionale alla grandezza stessa. Indicata con y la variabile che raresenta la grandezza in esame, l equazione differenziale che traduce questo modello matematico è: y ¼ ky [.6] la velocità di variazione di y è roorzionale a y (k è la costante di roorzionalità) Le equazioni differenziali del tio [.6] con costante di roorzionalità k > sono il iù semlice modello che si alica, er esemio, allo studio della crescita di una oolazione. Le equazioni differenziali del tio [.6] con costante di roorzionalità k < sono invece il modello adatto a raresentare, er esemio, il fenomeno del decadimento radioattivo oure a descrivere come diminuisce la concentrazione di un farmaco nel sangue con il trascorrere del temo. Osserva Riscrivendo l equazione differenziale [.6] nella forma y y ¼ k e osservando che il raorto y al rimo y membro ha il significato di tasso di variazione relativo di y, si uò anche dire che le equazioni del tio [.6] sono i modelli matematici dei fenomeni in cui il tasso di variazione relativo è costante. Per esemio, l equazione [.6] con k ¼, uò descrivere l evoluzione di una oolazione che cresce del % nell unità di temo. 665

12 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali PROBLEMA Crescita di una oolazione di roditori In base ai dati raccolti da recedenti rilevazioni, si stima che una oolazione di comuni toi di camagna cresca al tasso ercentuale del 4% mensile. Suoniamo che la oolazione iniziale sia comosta da due toi. a. Quanti toi ci saranno doo anno? b. Doo quanto temo la oolazione raggiungerà i esemlari? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Ci oniamo l obiettivo di determinare una funzione y ¼ yðtþ che esrima il numero yðtþ di toi al temo t (misurato in mesi). Grazie a questa funzione, otremo risondere alle domande oste dal roblema. COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Attenzione! In questo caso la variabile indiendente non è la consueta ma la variabile t che raresenta il temo. Ciò è molto frequente nei roblemi di modellizzazione che coinvolgono equazioni differenziali. Tenendo conto di quanto osservato a roosito della [.6], le informazioni fornite dal testo si ossono tradurre nella seguente equazione differenziale: y y ¼,4 il tasso relativo è uguale al 4% di crescita della oolazione ossia: y ¼,4y È nota inoltre la condizione iniziale: yðþ ¼ Il modello del nostro roblema è quindi il roblema di Cauchy: y ¼,4y yðþ ¼ RISOLVIAMO L EQUAZIONE DIFFERENZIALE Suoniamo y 6¼ ; abbiamo: y ¼,4y ) dy dt ¼,4y ) dy y ¼,4 dt ) ) ln jyj ¼,4t þ C )jyj ¼e,4tþC ) ) y ¼e C e,4t ) y ¼ ce,4t Ponendo e C ¼ c In base alla condizione yðþ ¼, otteniamo infine c ¼, quindi l esressione analitica della funzione cercata è: y ¼ e,4t UTILIZZIAMO LA FUNZIONE OTTENUTA PER RISPONDERE ALLE DOMANDE DEL PROBLEMA Per valutare il numero di toi doo un anno, ossia doo mesi, calcoliamo: yðþ ¼ e,4 ¼ e 4, 4, Doo anno dobbiamo quindi asettarci una oolazione di circa 4 toi. Per determinare quando la oolazione di toi raggiungerà i esemlari, risolviamo l equazione: e,4t ¼ ) e,4t ¼ 5 ),4t ¼ ln 5 ) t ¼ ln 5,4 5,54 Concludiamo quindi che i esemlari verranno raggiunti doo circa 5 mesi e mezzo. Come suggerisce quanto emerso dalla soluzione di quest ultimo roblema, l integrale generale dell equazione [.6] è: 666 y ¼ ce kt [.7]

13 Il modello adatto a descrivere i fenomeni governati da equazioni differenziali del tio [.6] sono dunque le funzioni esonenziali. Il difetto del modello esonenziale, er quanto riguarda l alicazione allo studio della crescita di una oolazione, è che esso imlica, con il trascorrere del temo, una crescita illimitata della oolazione stessa: infatti, se k >, il limite della funzione [.7] er t!þèþ. In molti casi ciò non è realistico: all aumentare della oolazione intervengono infatti dei vincoli esterni che frenano la crescita (er esemio limitazioni ambientali, saturazione dell ambiente, riduzione delle risorse nutritive ecc.). Una modifica all equazione y ¼ ky er costruire un modello che tenga conto di questi fattori consiste nel moltilicare la costante k er un fattore che decresce al crescere della oolazione. Una ossibilità è assumere come modello l equazione differenziale: y ¼ ky y [.] h dove k e h sono costanti ositive. L equazione [.] è detta equazione logistica. Risolvendola, si trova che il suo integrale generale è: y ¼ h þ ce kt Il grafico di una funzione di questo tio (con h > ek > ) è quello mostrato in fig..: come uoi vedere, y! h er t!þ: la costante h, detta caacità dell ambiente, raresenta il «tetto» che la oolazione non uò suerare. la crescita rallenta man mano che y si avvicina alla caacità dell ambiente h y y = h Rifletti Ragiona sull equazione [.]. Quando y è un numero iccolo il fattore y è rossimo a, quindi h influisce oco sul modello (la crescita, all inizio, è dunque simile a quella del modello esonenziale); al contrario, via via che y si avvicina ad h, il fattore y h diventa semre iù rossimo a, esercitando una correzione semre iù marcata del modello esonenziale, finché, nel caso limite in cui y ¼ h, risulta y ¼, ovvero la crescita si arresta. Unità Le equazioni differenziali all inizio la crescita è simile a quella esonenziale O t Figura. Grafico della soluzione dell equazione logistica. Modelli in fisica: l equazione del moto Passiamo ora a occuarci di roblemi che conducono a equazioni differenziali nell ambito della fisica. Consideriamo un unto materiale P di massa m che uò muoversi lungo una retta. Fissiamo un sistema di ascisse risetto al quale la osizione del unto P sia raresentata dall ascissa ðtþ di P e suoniamo che il unto sia soggetto a una forza costante F (diretta nella stessa direzione e nello stesso verso dell asse ). La legge di Newton del moto fornisce l equazione: ossia: F ¼ m forza massa accelerazione ¼ F [.9] m Il moto del unto è quindi descritto da un equazione differenziale del secondo ordine. Integrando due volte otteniamo: ðtþ ¼ F m t þ c t þ c Attenzione! Ricorda che ¼ ðtþ, quindi nell equazione [.9] la variabile diendente è mentre la variabile indiendente è t. In altre arole: t fa le veci della consueta e fa le veci della consueta y. 667

14 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali dove le due costanti c e c ossono essere determinate, er esemio, fissando la osizione e la velocità del unto a un dato istante (er esemio quando t ¼ ). Più in generale, ossiamo considerare il caso in cui sul unto P agisce una forza non costante oure il caso in cui agiscono iù forze, di varia natura: alicando la legge del moto di Newton sarà comunque semre ossibile scrivere l equazione differenziale che descrive il moto del unto, anche se si otterranno ovviamente equazioni differenziali di tio iù comlicato risetto alla [.9]. PROBLEMA Il aracadutista Un modello er descrivere la caduta libera di un aracadutista, rima che ara il aracadute, consiste nell assumere che egli sia soggetto, oltre che al rorio eso, a una forza dovuta alla resistenza dell aria, che agisce in verso oosto alla forza eso e che si suone direttamente roorzionale alla velocità del aracadutista secondo una costante k (misurata in kg/s). Assumendo questo modello, con una costante k ¼ 7 kg/s, e suonendo che il aracadutista, di massa 7 kg, si lanci dall aereo con velocità iniziale nulla, risondere alle seguenti domande. a. Quale sarà la velocità del aracadutista doo s? b. Quale velocità limite otrà raggiungere il aracadutista, rima di arire il aracadute? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Ci oniamo l obiettivo di determinare una funzione v ¼ vðtþ che esrima la velocità vðtþ (in m/s) del aracadutista all istante t (misurando il temo in secondi). Grazie a questa funzione otremo risondere alle domande oste dal roblema. COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Assumiamo come sistema di riferimento un asse y, con verso orientato verso il basso. Sul aracadutista agiscono la forza eso, mg, e la forza di resistenza dovuta all aria, kv; la legge del moto di Newton fornisce l equazione: ma ¼ mg kv a ¼ aðtþ indica l accelerazione Osservando che a ¼ v, ossiamo riscrivere questa equazione in termini della velocità: mv ¼ mg kv È noto inoltre che la velocità iniziale del aracadutista è nulla, quindi che: vðþ ¼ Il modello del nostro roblema è dunque il roblema di Cauchy: mv ¼ mg kv vðþ ¼ RISOLVIAMO L EQUAZIONE DIFFERENZIALE L equazione differenziale: mv ¼ mg kv L incognita è v ¼ vðtþ è lineare del rimo ordine; risolvendola (rova a farlo er esercizio), si trova l integrale generale: vðtþ ¼ mg k þ ce m k t Attenzione! Per risolvere l equazione differenziale resta attenzione al fatto che qui la variabile indiendente è t e la variabile diendente è v. Puoi risolvere l equazione searando le variabili, oure secondo lo schema delle equazioni lineari del rimo ordine, riconoscendo che l equazione è del tio: v ¼ aðtþv þ bðtþ con aðtþ ¼ k e bðtþ ¼g. m La formula che dà l integrale generale è: ð e AðtÞ e AðtÞ bðtþ dt essendo AðtÞ una rimitiva di aðtþ. 66

15 Imonendo la condizione vðþ ¼ si trova che deve essere c ¼ mg k, quindi: vðtþ ¼ mg e m k t k Tenendo conto, infine, dei dati del nostro roblema, ossia m ¼ 7 kg, k ¼ 7 kg/s e che g ¼ 9, m/s, concludiamo che il modello del nostro roblema è la funzione: vðtþ ¼9 e t UTILIZZIAMO LA FUNZIONE OTTENUTA PER RISPONDERE ALLE DOMANDE DEL PROBLEMA Per determinare la velocità del aracadutista doo s calcoliamo: vðþ ¼9 e 4,74 La velocità del aracadutista sarà quindi di circa 5 m/s. Poiché la funzione vðtþ è strettamente crescente e il suo limite er t!þè 9, concludiamo che la velocità «limite» che otrà essere raggiunta dal aracadutista è di circa 9 m/s. Unità Le equazioni differenziali 4 6 v(m/s) v limite = 9 m/s O 5 t(s) Prova tu ESERCIZI a. 67. Ricava l integrale generale dell equazione logistica [.].. Riconsidera il Problema e risolvilo suonendo questa volta che la forza di resistenza dovuta all aria sia roorzionale al quadrato della velocità. 669

16 Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema O SINTESI Formule e metodi imortanti Equazioni lineari del rimo ordine L integrale generale dell equazione y ¼ aðþ y þ bðþ è esresso dalla formula: ð y ¼ e AðÞ e AðÞ bðþ d essendo AðÞ una rimitiva della funzione aðþ. La costante d integrazione c va tenuta in considerazione solo nel calcolo dell integrale, mentre è suerflua nel calcolo della rimitiva. Equazioni a variabili searabili Per determinare l integrale generale dell equazione y ¼ aðþ bðyþ occorre searare le variabili e integrare i due membri; si giunge così a dover calcolare: ð bðyþ dy ¼ ð aðþ d Vanno cercate a arte le eventuali soluzioni costanti dell equazione (cioè quelle er cui bðyþ ¼Þ Equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti Per determinare l integrale generale dell equazione ay þ by þ cy ¼, occorre anzitutto considerare l equazione caratteristica ar þ br þ c ¼ : Se essa ha due soluzioni reali distinte, r ed r, l integrale generale è: y ¼ c e r þ c e r Se essa ha una soluzione (doia), r, l integrale generale è: y ¼ e r ðc þ c Þ Se essa ha due soluzioni comlesse coniugate, r ¼ i e r ¼ þ i, l integrale generale è: y ¼ e ðc cos þ c sin Þ L integrale generale dell equazione: ay þ by þ cy ¼ f ðþ si ottiene sommando all integrale generale dell equazione omogenea associata: ay þ by þ cy ¼ un integrale articolare dell equazione originaria. CONOSCENZE E ABILITÀ. Introduzione alle equazioni differenziali TEORIA a Test Þ Quale delle seguenti equazioni differenziali è lineare? A y þ ¼ yy C y þ y ¼ B y þ ¼ y D y þ y ¼ y Þ Quale delle seguenti equazioni differenziali è del secondo ordine? A y þ ¼ yy C y þ y ¼ B y þ ¼ y D y þ y ¼ y

17 Þ Determina er quali valori di k l equazione differenziale ðk Þy þ ky þ y ¼ y : a. è lineare b. è del rimo ordine Þ 4 Determina er quali valori di k l equazione differenziale ðk þ Þy þðkþþy þ y ¼ ky : a. è lineare b. è del rimo ordine Þ 5 Stabilisci quali delle seguenti funzioni sono soluzioni dell equazione differenziale y þ y ¼ : a. y ¼ sin b. y ¼ sin c. y ¼ sin cos d. y ¼ sin þ cos þ Þ 6 Stabilisci quali delle seguenti funzioni sono soluzioni dell equazione differenziale y 4y ¼ : a. y ¼ e b. y ¼ e 4 c. y ¼ e d. y ¼ e þ Þ 7 Interretazione di grafici. Stabilisci se la funzione il cui grafico è raresentato in figura uò essere una soluzione dell equazione differenziale y 4y ¼. y Þ Interretazione di grafici. La funzione il cui grafico è raresentato in figura è soluzione di una sola delle seguenti equazioni differenziali: A y ¼ þ y B y ¼ y C y ¼ 4y D y ¼ 4y Individua qual è l equazione differenziale di cui la funzione è soluzione, giustificando la risosta. y O Þ 9 Determina a, b e c in modo che y ¼ a þ b þ c sia una soluzione dell equazione differenziale: y y þ y ¼ þ a ¼, b ¼, c ¼ 9 4 Þ Determina a, b e c in modo che y ¼ a þ b þ c sia una soluzione dell equazione differenziale: y y y ¼ þ 4 þ [a ¼, b ¼, c ¼ ] Þ Determina l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ ð þ Þ. y ¼ 6 ð þ Þ þ c Þ Determina l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ sin cos. [ y ¼ cos sin þ c] Þ Determina l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ þ. y ¼ 6 þ þ c þ c Unità Le equazioni differenziali O Þ 4 Determina l integrale generale dell equazione differenziale y ¼ þ e. y ¼ 4 e þ 6 þ c þ c. Equazioni differenziali del rimo ordine TEORIA a. 656 Þ 5 Equazioni lineari ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo l integrale generale dell equazione: y ¼ y þ Si tratta di un equazione lineare, cioè della forma y ¼ aðþ y þ bðþ, con: aðþ ¼ e bðþ ¼ La formula risolutiva di tale equazione è: ð y ¼ e AðÞ e AðÞ bðþ d, con AðÞ rimitiva di aðþ (dove la costante di integrazione c va tenuta in considerazione solo nel calcolo dell integrale, mentre è suerflua nel calcolo della rimitiva). 67

18 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Alicando la formula risolutiva al nostro esemio, otteniamo: ð AðÞ ¼ d ¼ lnjj ¼ln jj ¼ ln quindi l integrale generale è: ð y ¼ e ln e ln d da cui: ð y ¼ d e ln ¼ ed e ln ln ¼ e ¼ in base alla definizione di logaritmo e alle rorietà dei logaritmi ð y ¼ d y ¼ ð þ cþ Determina l integrale generale delle seguenti equazioni lineari. h Þ 6 y ¼ 4y [y ¼ ce 4 ] Þ y ¼ y y ¼ c i þ Þ 7 y ¼ y [ y ¼ ce ] h Þ y þ y ¼ y ¼ c Þ y ¼ y sin [ y ¼ ce cos ] þ i Þ 9 y ¼ y Þ [ y ¼ c ] y y þ ¼ þ y ¼ 4 þ þ þ c Þ y ¼ y þ 6 [ y ¼ ce ] Þ y y ¼ e [ y ¼ðcþÞe ] Þ y y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [ y ¼ ce ffiffiffiffiffiffi þ Þ ] 4 y þ y ¼ e [ y ¼ ce e ] þ Þ Þ y ¼ y cos [ y ¼ ce cos þ sin ] 5 y þ y ¼ 4 y ¼ c þ 4 Þ y ¼ y þ 9 [ y ¼ ce ] Þ 6 y ¼ y þ e [ y ¼ e þ ce ] Þ 4 y y ¼ [ y ¼ ce ] Þ 7 y ¼ yþe y ¼ e þ ce Þ 5 y 4y ¼ e [ y ¼ðc þ c Þe ] Þ 6 y þ 4y ¼ e y ¼ ce 4 þ 6 e Þ 7 ð Þy þ y ¼ 4 y ¼ þ c ð Þ Þ y þ y ¼ sin [ y ¼ ce þ sin cos ] Þ 9 y þ y ¼ y ¼ ce Þ y ¼ y [ y ¼ ce þ þ ] Þ 9 y ¼ y þ þ [ y ¼ ce ] Þ 4 y ¼ y þ [ y ¼ ln þ c þ ] Þ 4 y y ¼ 4e [ y ¼ ce e ð þ Þ] Þ 4 y þ y tan ¼ cos [ y ¼ðþcÞcos ] Þ 4 y ¼ y þ y ¼ ln ð þ Þ þ þ c Þ 44 ESERCIZIO GUIDATO y ¼ y Risolvi il roblema di Cauchy yðþ ¼ Determina l integrale generale dell equazione y ¼ y e verifica che è: y ¼ ce þ [*] Determina ora la costante c in base alla condizione yðþ ¼; imonendo che il grafico di una funzione di equazione [*] assi er (, ) troverai: c ¼. Quindi la soluzione del roblema di Cauchy è: y ¼ e þ 67 Risolvi i seguenti roblemi di Cauchy. ( y ¼ þ y < y ¼ y þ Þ 45 [ y ¼ 4e ] Þ yðþ ¼ 46 : yðþ ¼ 5 y ¼ e

19 Þ 47 Þ 4 Þ 5 y >< y ¼ þ y ¼ 5 ln < y þ y sin ¼ sin y : ¼ 5 Equazioni a variabili searabili ESERCIZIO GUIDATO [y ¼ e þ ] [ y ¼ 4e cos þ ] Determina l integrale generale dell equazione y y ¼ sin. Þ 49 Þ 5 < y ¼ y þ : yðþ ¼6 ( y ¼ y cot þ sin y, con < < ¼ y ¼ sin, con > y ¼ cos Unità Le equazioni differenziali Controlla se esistono soluzioni costanti. Seara le variabili, riscrivendo l equazione nella forma: y dy ¼ sin d Integra i due membri: y ::: ¼ ::: þ c Esrimi infine y in funzione di, ottenendo così che l integrale generale è dato dalla formula: y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c cos Osserva che, al variare di c in R,c assume tutti i valori reali, esattamente come c; quindi l integrale generale dell equazione uò scriversi iù semlicemente nella forma: y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c cos Determina l integrale generale delle seguenti equazioni a variabili searabili. Þ 5 y ¼ y y ¼ þ c arctan, y ¼ Þ 64 y ¼ y y þ y ¼ Þ 5 y y ¼ [y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ lnj þ jþc] ¼ 9 y þ Þ 54 y ¼ þ þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y [y ¼ þ þ þ c] Þ 55 y ¼ y cos [ y ¼ ce sin ] Þ 56 y ¼ e y [ y ¼ ln jc þjjj ] Þ 57 ðy þ Þ sin y ¼ [ y ¼ ce cos ] " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # Þ 5 yy ¼ y ¼ 4 þ c Þ 59 y y ¼ ½y ¼ ce Š Þ 6 y ¼ y ð4 Þ y ¼, y ¼ þ c Þ 6 y ¼ ye [ y ¼ ce e ] h Þ 6 ð Þy ¼ y y ¼ c i Þ 6 y ¼ y cos y ¼, y ¼ sin þ c c þ ln jj y ¼, y ¼ 9 þ c, con 9 þ c Þ 66 y ¼ e þy y ¼ ln c e Þ 67 y ¼ þ y þ h ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ þ c] Þ 6 y ¼ y ln [ y ¼ ce ðln Þ ] Þ 69 y ¼ðþe Þ y [ y ¼ ce þe ] Þ 7 y ¼ y [ y ¼ þ ce ] Þ 7 yy ¼ sin [ y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c cos ] Þ 7 y ¼ð þ Þe y [ y ¼ ln ð þ þ cþ] Þ 7 y ¼ sin [ y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin cos þ c] y Þ 74 y ¼ ðy Þ [ y ¼ þ c, y ¼ ] ffiffiffiffiffi Þ 75 y ¼ 6e y [ y ¼ðe þ cþ, y ¼ ] 67

20 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Þ 76 y ¼ y þ y [ y ¼ cð Þ 4 e ] Þ 77 y ¼ e ðy þ Þ [ y ¼ e þ c þ e, y ¼ ] þ c " Þ 7 y ¼ y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # 4 þ c y Þ ESERCIZIO SVOLTO >< y ¼ þ þ Risolviamo il roblema di Cauchy y yðþ ¼ Þ 79 Þ y ¼ e ffiffiffi y h ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i y ¼ qðe e þ cþ, con e e þ c y ¼ ð þ y Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ tan ð þ cþ, con rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c < < c Integrando l equazione a variabili searabili y ¼ þ þ, si trova che l integrale generale è: y ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ þ þ c La soluzione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi del roblema di Cauchy dato non uò aartenere alla famiglia di funzioni di equazione y ¼ þ þ þ c, erché queste ultime assumono solo valori ositivi o nulli, mentre la soluzione cercata deve assumere valore er ¼. La soluzione va dunque cercata nell insieme delle funzioni di equazione: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ þ þ c Imonendo la condizione yðþ ¼, troviamo che c ¼ 4; ertanto la soluzione del roblema di Cauchy è: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ þ þ þ 4 Risolvi i seguenti roblemi di Cauchy. >< y ¼ þ þ 4 Þ y [ y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ 4 þ 9] yðþ ¼ Þ >< y ¼ y þ y yðþ ¼ ffiffiffi < y ¼ y cos Þ 4 y : ¼ 4 [ y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln j þ jþ4] [ y ¼ðsin þ Þ ] ( y ¼ ðy þ Þ Þ 5 yðþ ¼ y Þ ¼ ffiffiffi >< y 6 yðþ ¼4 Þ 7 >< y ¼ yðþ ¼ 5 y ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ [ y ¼ þ e ] [ y ¼ð þ ln jjþ, con jj e ] y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ PROVA DI VERIFICA Introduzione alle equazioni differenziali ed equazioni del rimo ordine Þ Determina, se esistono, i valori di a R er cui l equazione differenziale: ða Þy þða þ Þy þða Þy ¼ þ 4 Þ a. è lineare; b. è del rimo ordine; c. ammette come integrale articolare y ¼ þ. Determina k in modo che la funzione y ¼ ke sia un integrale articolare dell equazione differenziale: y y y ¼ 6e 674

21 Determina l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali. Þ y ¼ y Þ 4 y þ 4y ¼ e Þ 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y þ y ¼ Þ 6 y y ¼ ffiffiffi, con > Þ 7 y ¼ ye Þ Risolvi il roblema di Cauchy: y þ y ¼ yðþ ¼ Þ 9 Risolvi il roblema di Cauchy: < y ¼ ðy Þ þ : yðþ ¼ Þ Determina l integrale articolare dell equazione y ¼ y che ha come asintoto verticale la retta di equazione ¼. unto er ogni esercizio risolto correttamente; sufficienza: almeno 6 unti Le soluzioni sono in fondo al volume Unità Le equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine TEORIA a. 66 Equazioni omogenee Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina gli integrali generali delle seguenti equazioni differenziali: a. y þ 5y 6y ¼ b. y þ y þ 6y ¼ c. y 4y þ y ¼ a. L equazione caratteristica, r þ 5r 6 ¼, ha come soluzioni: r ¼ 6, r ¼, quindi l integrale generale è: y ¼ c e ::: þ c e ::: b. L equazione caratteristica, r þ r þ 6 ¼, ha la soluzione doia r ¼ 4, quindi l integrale generale è: y ¼ e ::: ðc þ c Þ c. L equazione caratteristica, r 4r þ ¼, ha le soluzioni comlesse coniugate 4i, quindi l integrale generale è: y ¼ e ðc cos ::: þ c sin :::Þ Determina l integrale generale delle seguenti equazioni. Þ 9 y þ y y ¼ [ y ¼ c e þ c e ] Þ 9 y ¼ y [ y ¼ c þ c e ] Þ 9 y 4y ¼ [ y ¼ c e þ c e ] Þ 9 y þ 9y ¼ [ y ¼ c cos þ c sin ] Þ 9 y þ y þ 6y ¼ [ y ¼ e 4 ðc þ c Þ] Þ 94 y þ y 9y ¼ [ y ¼ c e þ c e 9 ] Þ 95 y þ y þ 4y ¼ [ y ¼ e ½c cos ð ffiffiffi Þþc sin ð ffiffiffi ÞŠ] Þ 96 y y 4y ¼ [ y ¼ c e 4 þ c e ] h i Þ 97 y þ y 4y ¼ y ¼ c e þ c e 7 Þ 9 y þ 4y þ 5y ¼ [ y ¼ e ðc cos þ c sin Þ] Þ 99 y ¼ y [ y ¼ c cos ð ffiffiffi Þþc sin ð ffiffiffi Þ] Þ y þ y y ¼ [ y ¼ c e þ c e 5 ] Þ y 6y þ 9y ¼ [ y ¼ðc þ c Þ e ] Þ y ¼ 4y y [ y ¼ e ðc cos þ c sin Þ] Þ y ¼ y þ y ½y ¼ c e þ c e Š Þ 4 y þ y þ y ¼ [ y ¼ e ðc cos þ c sin Þ] Þ 5 y ¼ y þ y [ y ¼ c e ffiffi ð Þ þ c e ffiffi ðþ Þ ] Þ 6 y 5y ¼ [ y ¼ c e ffiffi ffiffi 5 þ 5 c e ] Þ 7 y þ 6y þ 9y ¼ [ y ¼ðc þ c Þe ] Þ y þ 6y 7y ¼ [ y ¼ c e 7 þ c e ] Þ 9 y þ 5y ¼ [ y ¼ c sin 5 þ c cos 5] Þ y þ y þ 5y ¼ [ y ¼ðc þ c Þe 5 ] Þ y 6y þ y ¼ [ y ¼ðc sin þ c cos Þe ] Þ y ¼ y þ y [ y ¼ c e þ c e ] Þ y y ¼ y [ y ¼ c e þ c e ] Þ 4 y þ 4y ¼ 5 4 y y ¼ c sin þ c cos e Þ 5 y ¼ y 5y [ y ¼ðc sin þ c cos Þe ] 675

22 Tema O Calcolo integrale ed equazioni differenziali Þ 6 ESERCIZIO SVOLTO >< y 6y þ 5y ¼ Risolviamo il roblema di Cauchy yðþ ¼ y ðþ ¼ L integrale generale dell equazione y 6y þ 5y ¼ è: y ¼ c e þ c e 5 Dobbiamo ora determinare c e c in base alle condizioni yðþ ¼ey ðþ ¼. La condizione yðþ ¼ fornisce: ¼ c þ c [**] Per imorre la condizione y ðþ ¼, deriviamo anzitutto la [*]; abbiamo che y ¼ c e þ 5c e 5, quindi sarà y ðþ ¼ se e solo se: ¼ c þ 5c [***] Risolvendo il sistema formato da [**] e [***] otteniamo: c ¼ ec ¼. La soluzione del roblema di Cauchy è quindi: y ¼ e e 5. [*] Risolvi i seguenti roblemi di Cauchy. >< y þ y þ 5y ¼ Þ 7 yðþ ¼ [ y ¼ e 5 ð þ 7Þ] y ðþ ¼ >< y 7y þ 6y ¼ Þ yðþ ¼5 [ y ¼ 4e þ e 6 ] y ðþ ¼ >< y þ 4y ¼ Þ 9 yðþ ¼ [ y ¼ cos þ sin ] y ðþ ¼4 Equazioni non omogenee >< 4y 4y þ y ¼ Þ yðþ ¼ y ðþ ¼ >< y y þ 6y ¼ Þ yðþ¼ y ðþ¼ >< y 6y 7y ¼ Þ yðþ ¼ y ðþ ¼ y ¼ e þ [ y ¼ e 5 ð cos 7 sin Þ] [ y ¼ e 7 þ 6e ] Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina gli integrali generali delle seguenti equazioni differenziali: a. y þ 9y ¼ b. y 4y ¼ e a. Determina anzitutto l integrale generale dell equazione omogenea associata e verifica che esso è: y ¼ c cos þ c sin Determina oi un integrale articolare dell equazione data: oiché non è soluzione dell equazione caratteristica associata, devi cercare come integrale articolare un olinomio di rimo grado, della forma A þ B. Troverai così che un integrale articolare è y ¼ 9. L integrale generale dell equazione data è ertanto y ¼ c cos þ ::::: þ ::::: b. Procedi similmente al caso recedente, osservando che devi cercare un integrale articolare della forma Ae (erché?). Troverai che l integrale generale dell equazione data è y ¼ c e þ c e þ 4 e. 676 Determina l integrale generale delle seguenti equazioni. Þ 4 y þ y ¼ [ y ¼ c e þ c þ ] Þ 7 y þ 4y ¼ [ y ¼ c sin þ c cos ] Þ 5 y þ y ¼ 6 [ y ¼ c sin þ c cos þ 6] Þ y þ y 5y ¼ [ y ¼ c e 5 þ c e ] Þ 6 y þ 6y þ 9y ¼ y ¼ðc þ c Þ e 9 Þ 9 y þ 9y ¼ y ¼ c sin þ c cos þ 4

23 Þ y þ y y ¼ e y ¼ c e þ c e 4 e Þ y þ 4y ¼ [ y ¼ c sin þ c cos þ ] Þ y þ y ¼ 4 y ¼ c e þ c þ 5 Þ y þ y y ¼ e y ¼ c e þ c e þ e Þ 4 y þ y þ y ¼ [ y ¼ c e þ c e þ 4 þ 6] Þ 5 y þ 4y ¼ y ¼ c sin þ c cos þ 4 Þ 6 y þ y ¼ sin y ¼ c sin þ c cos cos Þ 7 y 9y ¼ y ¼ c e þ c e Þ y þ 4y ¼ [ y ¼ c sin ðþþc cos ðþþ] Þ 9 y þ 4y þ 4y ¼ y ¼ c e þ c e þ 5 Þ 4 y þ y ¼ 6 cos [ y ¼ c sin þ c cos þ sin ] Þ 4 y y þ y ¼ [ y ¼ c e þ c e þ þ ] Þ 4 y y 4y ¼ e y ¼ c e þ c e 4 e Þ 4 y þ 4y ¼ cos [ y ¼ c sin þ c cos þ sin ] Þ 44 y þ 4y ¼ e y ¼ c e 4 þ c e Þ 45 y 4y ¼ cos y ¼ c e 4 þ c sin cos Risolvi i seguenti roblemi di Cauchy. y 4y ¼ 4 >< Þ 46 yðþ ¼ [ y ¼ e þ e þ ] y ðþ ¼ y þ y ¼ 5 >< e Þ 47 yðþ ¼ y ¼ sin þ cos þ e y ðþ ¼ Þ 4 Þ 49 y 4y þ 4y ¼ e >< yðþ ¼ y ðþ ¼ y y þ y ¼ >< yðþ ¼ y ðþ ¼ y ¼ e ð þ 4Þ y ¼ 4 e e þ þ 4 Unità Le equazioni differenziali PROVA DI VERIFICA Equazioni del secondo ordine lineari, omogenee e a coefficienti costanti Determina l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali. Þ y y 6y ¼ Þ y ¼ 5y Þ 4y y þ 5y ¼ Þ 4 y þ y ¼ Þ 5 y 4y ¼ y Þ 6 Þ 7 Þ y ¼ 4y y Risolvi il roblema di Cauchy: >< y y þ y ¼ yðþ ¼ y ðþ ¼7 Risolvi il roblema di Cauchy: >< y 4y 5y ¼ yðþ ¼ y ðþ ¼ Þ 9 Vero o falso? a. y ¼ y è un equazione differenziale lineare del secondo ordine V F b. ðy Þ ¼ y þ èun equazione differenziale lineare del secondo ordine V F c. le soluzioni dell equazione y þ y þ 4y ¼ sono eriodiche V F d. le soluzioni dell equazione y þ 4y þ 4y ¼ sono limitate in ð,š V F e. le soluzioni dell equazione y 4y þ 4y ¼ sono limitate in ð,š V F f. le soluzioni di un equazione differenziale del secondo ordine, lineare omogenea a coefficienti costanti esistono semre e sono definite in R V F Þ Determina er quale valore di a le soluzioni dell equazione differenziale y þða Þy þðaþ7þy ¼ sono tutte eriodiche. In corrisondenza di questo valore di a, determina l integrale generale dell equazione. unto er ogni esercizio risolto correttamente; sufficienza: almeno 6 unti Le soluzioni sono in fondo al volume 677