L INCERTEZZA DI MISURA

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1 L INCERTEZZA DI MISURA Geeraltà Come è appreo el captolo precedete, l terme mra eprmere l rapporto tra valor d de gradezze della tea atra, d c la ecoda è ata come rfermeto (tà d mra). Per come è defto, l valore merco rcavato da tale rapporto force modo voco ed eqvocable l valore ato dalla mra tea. Tttava, paado dalla defzoe teorca del terme mra alla a mrazoe oa all eeczoe pratca d procedmeto permetale atto a forre la valtazoe della mra, pò verfcare che, rpetedo pù volte la tea mrazoe, o ottegao empre gl te rltat. Però, oervado co pù attezoe rltat d mra ottet, pò rcotrare che e oo compre all tero d a faca d valor (ved fgra che ege). Dperoe delle mre Rpetzoe delle mrazo Dperoe delle mre ottete rpetedo pù volte la tea procedra d mrazoe Qeta oervazoe d carattere pramete emprco porta ad potzzare che l valore della mra è, co boa probabltà, compreo all tero della dtrbzoe dvdata da qeta faca d valor e oltre che, maggore è l mero d mrazo che ha forto lo teo rltato d mra, maggore è la attedbltà d qel rltato. Se, po, la dperoe delle mre è gtfcata dall eteza d fattor d fleza varabl modo caale, aleatoro, è lecto pporre che gl effett lle dvere mrazo ao a loro volta aleator, dpedet, tattcamete correlat e, come tal, a valor medo llo. Poché le cae che prodcoo qeto tpo d dperoe elle mre o oo geere prevedbl modo tematco, o è poble elmarle; però pò peare d atteare gl effett prodott lla mra. A tale copo, rltat d mra oo terpretat come dervat dalla mrazoe d mrado c è ovrappoto egale d rmore a valore medo llo. Allora, e rltat ottet elle vare mrazo vegoo medat, l valore della meda rlta pratcamete eble alla preeza d rmore. S ottee, tal modo a orta d fltraggo del rmore ed è, per qeto motvo, che oltamete dca come mglore tma della mra l valore medo della dtrbzoe otteta come rltato d mrazo rpette. Ramedo: per otteere l rltato d a mrazoe, pò rpetere certo mero d volte la procedra d mra ed aocare al valore medo della dtrbzoe otteta l gfcato d mglore tma della mra. Prma d procedere, deve teere coto che, accato alle cae a c è fatto fora ceo, che flezao la mra modo aleatoro, ve e oo altre che la flezao modo tematco. Qete ltme, ache rpetedo pù volte l procedmeto d mrazoe, flezao la mra empre allo teo modo e qd o evdezao, come qelle d atra aleatora, co a dperoe de rltat d mrazoe. S pò cocldere che fattor d fleza d tpo aleatoro dervao da feome caal e o cotrollabl e prodcoo lla mra effett o prevedbl e dver og volta che rpete la tea mrazoe. I fattor d fleza d tpo tematco dervao da cae coocte e, come tal, hao empre lo teo effetto lla mra ache e qeta è rpetta gra mero d volte. Qete de categore d fattor d fleza oo d atra completamete dvera e rlta mpoble tdare gl effett che e prodcoo lla mra ado a metodologa come. Pertato, per valtare correttamete l certezza d mra, è ecearo azttto eparare gl effett prodott da fattor d fleza tematc da qell aleator. La valtazoe degl effett tematc va eegta aalzzado teorcamete dver fattor d fleza e prevededo gl effett che e pooo avere l rltato fale d mra. U mle approcco coete, qd, ache d apportare la dovta correzoe al rltato d mra che rmae qd flezato da ol effett aleator. La valtazoe degl effett aleator vee eegta facedo rcoro a prcp della teora della probabltà e della tattca. Le certezze corrpodet oo decrtte term d valore medo (llo per defzoe, dato che gl effett tematc oo tat ttt corrett) e d carto qadratco medo che vee ato per qatfcare l certezza d mra. Per qato cocere la valtazoe dello carto qadratco medo (certezza), pooo egre de procedmet d valtazoe: valtazoe d categora A e valtazoe d categora B: La valtazoe delle certezze, a d categora A che B, è empre fatta term tattc modo da coetre a dcazoe dell certezza che precda dal metodo ato per pervere alla a valtazoe. Nel cao d valtazoe d categora A, la caratterzzazoe tattca derva dall aal della dperoe de rltat d mra mrazo rpette e, pertato, lla tma della freqeza d rpetzoe de rltat d mra; vcevera, el cao d valtazoe d categora B, la caratterzzazoe tattca foda lla fdca elle formazo dpobl. IMPORTANTE!!! Boga tare attet el compeare gl effett tematc che agcoo elle mrazo perché fattor d fleza d tpo tematco peo pooo drre ache effett ecodar d tpo aleatoro. I partcolare,

2 dopo aver eegto la correzoe del rltato d mra, a c è fatto precedetemete ceo, boga acora coderare gl evetal effett ecodar, l c effetto lla mra reta comqe mprevedble, che vao trattat eme alle certezze d atra aleatora. A ttolo d eempo, facca rfermeto all effetto d carco trodotto dall ermeto d o trmeto el crcto d mra. Tale effetto tee coto del fatto che lo trmeto, per come è realzzato e per poter forre l dcazoe della mra, aorbe a certa alqota d eerga dal crcto el qale è erto. Dalla cooceza delle carattertche dello trmeto e dalla cooceza del mrado, le legg della fca coetoo d tmare teorcamete l effetto d carco trmetale e qd d prevedere la correzoe da apportare alla mra. Evdetemete, qeto è eempo d fattore d fleza d tpo tematco. S bad però che la correzoe da apportare alla mra o tee coto delle certezze d atra aleatora che affggoo le carattertche d fzoameto dello trmeto e la defzoe del mrado. Qete cotrbcoo a drre effett ecodar d tpo aleatoro lla mra e qd devoo eere trattate come tal. Defzoe certezza Parametro aocato al rltato d a mrazoe che caratterzza la dperoe de valor ragoevolmete attrbbl al mrado. Valtazoe delle certezze d categora A Poché la valtazoe dell certezza d categora A baa elaborazo tattche codotte rltat d mrazo rpette, prma d procedere, è embrato opporto rportare defzo e formle rchete per codrre tal elaborazo. Dato eme d mre rpette q k d a gradezza q, la tma q della meda della popolazoe è defta come: La varaza permetale ( q k ) q k q k della tea popolazoe è defta come: ( q ) ( q q ) k k Lo carto qadratco medo (o carto tpo) permetale ( q k ) è defto come la radce qadrata potva della varaza permetale: k () () ( q ) ( q q ) k k k (3) Pertato, lo carto tpo d og gola oervazoe è data dall epreoe (3). La mglore tma della mra procedmeto baato oervazo rpette è forta dalla meda calcolata co l epreoe (). L certezza tpo q rlta eere: della meda ( ) ( q ) ( q ) k (4) Da qato detto evce che, eegedo mrazo rpette ed amedo come rltato d mra la tma della meda ecodo la (), è poble rdrre lo carto tpo e, qd, l certezza della mra d fattore par alla radce qadrata del mero d mrazo eegte. ATTENZIONE!!! U apetto al qale o empre preta ffcete attezoe è che: perché ao valde le epreo rportate, è ecearo che le oervazo effettate ao tattcamete dpedet. Se le oervazo o oo dpedet, gl tmator epre dalle eqazo () e (3) o oo vald. S tega preete che o è emplce garatre l dpedeza d eme d oervazo. Pertato, rteere che ameto defto del mero d oervazo comporta a corrpodete dmzoe dell certezza tpo, come farebbe tedere la (4), è topa. Ioltre, tega preete che, ametado l mero d oervazo, ameta corrpodetemete l tempo d oervazoe, pertato, perché rltat medat ao gfcatv è ecearo che, drate l tempo d mra, a comqe verfcata la tazoaretà d ttte le gradezze covolte elle mrazo tee.

3 Eempo U operatore effetta le 0 oervazo otto rportate q k d parametro fco Q. L tà d mra è qella propra dello trmeto tlzzato ed è q degata geercamete co l mbolo. q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q La mglor tma del parametro Q è la meda delle 0 oervazo q k valtata ecodo l eqazoe (): q qk k Lo carto tpo d oervazoe è, dall eqazoe (3): e pertato l certezza tpo d q, ( q ), è: 0 k k k ( q ) ( q q ) 0. ( q ) ( q ) k Valtazoe delle certezze d categora B Qalora ao dpobl formazo relatve all certezza del tema d mra (o d a a parte), è poble decrvere l comportameto dello teo ado procedmeto d valtazoe della certezza oto come Valtazoe dell certezza d categora B: l operatore, qeto cao, tlzza le formazo dpobl per decrvere l certezza del tema d mra (o d a a parte) eza rcorrere a mrazo rpette. Le formazo dpobl pooo eere della atra pù dparata. Ee pooo provere da dat acqt mrazo precedet, da carattertche metrologche dcharate dal cotrttore degl trmet d mra tlzzat, da propretà de materal, dall epereza dell operatore, e coì va. A ttolo d eempo vogla valtare l certezza trodotta ell mpego d mltmetro facedo o d a valtazoe d categora B baata lla cooceza delle pecfche del mltmetro teo forte dal cotrttore el maale d o. Facedo ad eempo rfermeto al mltmetro HP 3440A della Hewlett&Packard, l maale d o rporta delle tabelle deomate Accracy Specfcato. Il mltmetro, trmeto d mra d gradezze d vara atra (teo e corret DC, teo e corret AC, reteze, perodo e freqeza d egal perodc) preeta certezza d mra dpedete dal tpo d mrado. Pertato, l cotrttore deve dcharare l comportameto del mltmetro ttte le codzo operatve d caca. Nel maale d tete, etoo qd tate tabelle d Accracy Specfcato per qate oo le gradezze che lo trmeto è grado d mrare. Voledo, per eempo, effettare la mra del valore effcace d a teoe alterata odale, farà rfermeto alla tabella egete che, come dcharato ella prma coloa, rgarda la Fcto Tre RMS AC Voltage.

4 Fcto Rage Freqecy Tre RMS AC Voltage mv V to V 3 Hz 5 Hz 5 Hz 0 Hz 0 Hz 0 khz 0 khz 50 khz 50 khz 00 khz 00 khz 300 khz 3 Hz 5 Hz 5 Hz 0 Hz 0 Hz 0 khz 0 khz 50 khz 50 khz 00 khz 00 khz 300 khz 4 Hor 3 C ± 5 C Accracy Specfcato: ±(% of readg + % of rage) Temperatre Coeffcet/ C 90 day Year 0 C 8 C 3 C ± 5 C 3 C ± 5 C 8 C 55 C Per valtare l certezza d categora B, boga mparare a leggere correttamete qeta tabella. Per prma coa, dvdao le codzo c opera l mltmetro: la portata (Rage), la freqeza del egale c eege la mra (Freqecy), l tempo tracoro dall ltma calbrazoe del mltmetro (4 Hor, 90 day, Year). S verfca fe e la temperatra a c eege la mra a tera o etera alla faca 3 C ± 5 C. Le codzo operatve dello trmeto dvdao tabella a cella c oo cotet de coeffcet che defcoo l certezza come omma d de alqote percetal: Percetale della lettra (% of readg); Percetale del fodo cala (% of rage). La lettra dello trmeto, l fodo cala tlzzato e de coeffcet dvdat tabella coetoo d calcolare le de alqote che, ommate tra loro, forcoo valore che c coetrà d tmare la faca d certezza del mltmetro eprea ell tà d mra del mrado ( qeto cao Volt). Tale faca d certezza o olo decrve la dperoe delle mre del mltmetro qalora adaero a rpetere pù mrazo dello teo mrado ma tee ache coto della dperoe delle mre ottebl da ttta la popolazoe d mltmetr HP 3440A at elle tee codzo operatve. Per charre meglo qato opra detto, ege eerczo merco: S vogla valtare l certezza treca trodotta da mltmetro ella mrazoe d a teoe alteratva d 5 V RMS, freqeza 30 khz, alla temperatra d 5 C, co mltmetro HP 3440A calbrato da meo d 90 gor. S dvda la cella defta dalla coloa 90 day e dalla rga Rage ( V to V), Freqecy (0 khz - 50 khz). I coeffcet rcavat dalla tabella oo pertato l accracy rlta eere: ( 5 0.% % ) ± ( ) 0.0[ V] accracy ± ± (5) Per poter paare dal valore dell accracy coì calcolata all certezza treca dello trmeto è qd ecearo potzzare a dtrbzoe d probabltà. I aeza d formazo da parte del cotrttore è ecearo por elle codzo pù retrttve potzzado a dtrbzoe forme d c l accracy rappreeta l valore mamo. I qeto cao, come meglo dettaglato el egto, l certezza ottee dvdedo per l accracy per 3 (la devazoe tadard d a dtrbzoe forme è par alla emampezza della dtrbzoe dvo per 3) ed partcolare [ V] Qalora la temperatra a c effetta la prova a etera all tervallo 3 C ± 5 C, le alqote percetal rcavate dalla tabella vao corrette co coeffcet d temperatra che, ell ltma coloa, oo epre (coeffcete d correzoe)/ C. La correzoe de coeffcet 0. e 0.05 arà otteta moltplcado coeffcet d correzoe (0.0 e 0.005) per la dffereza d temperatra T valtata come: temperatra a c effetta la prova meo 8 (e la temperatra d prova è maggore d 8 C); 8 meo temperatra a c effetta la prova ( e la temperatra d prova è more d 8 C). Se per eempo la temperatra d prova foe 5 C, le alqote percetal 0. e 0.05 devoo eere corrette ado coeffcet d temperatra 0.0 e moltplcat per T(8-5)3. e qd l accracy rlta: x x ( % % ) ± ( ) 0.04[ V] accracy ± ± (7) (6)

5 e l certezza accracy/ [ V] ATTENZIONE!!! È bee otare che, poché la valtazoe dell certezza d categora B o baa mrazo rpette, co a mrazoe gola o ha alca formazoe merto alla eteza d evet eter d atra caale che poao drre ella mra cotrbto aggtvo all certezza. Pertato, l certezza valtata ell eerczo precedete, tee coto olo del cotrbto trodotto dal mltmetro. Icertezza globale. Le cae d certezza tema d mra pooo eere varate e pooo eere valtate modo dfferete a ecoda che eegao mre rpette (categora A) o che c affd a cooceze acqte varo modo (categora B). I a mrazoe, è ache poble valtare alc cotrbt d certezza co mre rpette ed altr co valtazo d categora B. L eprmere, og cao, le certezze forma omogeea d carto tpo coete d poter combare var cotrbt, dpedetemete dalle modaltà mpegate per valtarl. A tal rgardo, la Norma precrve d combare qadratcamete le certezze delle vare categore co a relazoe del tpo: ( ) + (8) A B B B c A è la varaza d categora A ed term ome d certezza globale. B oo le varaze d categora B. A tale epreoe la Norma da l Epreoe dell certezza valore aolto o relatvo L certezza aocata ad a mra, a ea d categora A, d categora B o certezza globale, è a qattà che pò eere dcharata valore aolto: tal cao corrpode alla emampezza della faca ed ha le tee dmeo del mrado; valore relatvo: tal cao eprme l rapporto tra l certezza aolta e l valore cetrale della faca e qd è dmeoale. Eo pò ache eere epreo valore percetale o part per mloe. Effett tematc Se oo preet degl effett tematc gfcatv el proceo d mra e vao corrett, però la correzoe a a volta arà affetta da certezza che adrà a cmlare co l certezza dovta ad altr effett caal: xcx+c xc x + c Icertezza etea U. A volte l certezza o bata perché è tereat ad tervallo [x-u, x+u] (dove U è l certezza etea) che c apetta compredere a frazoe rlevate della dtrbzoe de valor ragoevolmete attrbbl al mrado. Tale frazoe pò eere terpretata come probabltà d copertra o lvello d fdca o d cofdeza. S è detto che og rltato d mra, per la preeza dell certezza, o pò eere epreo da co mero ma deve eere epreo da a faca d valor dper toro ad valore cetrale x 0. Qeto gfca che, co a certa probabltà, l mrado ha valore coteto all tero d tale faca. Effettare mre rpette per valtare la faca d certezza coete d verfcare permetalmete come oo dtrbt rltat d mra toro al valore cetrale x 0, e ao la tea trmetazoe e lo teo metodo, e rprodcoo le tee codzo operatve. L certezza etea ottee moltplcado l certezza tpo per fattore d copertra k che ame tpcamete valor.95,, 3, 4. Il fattore d copertra, detto ache grado d fdca, dca drettamete qale percetale d valor cade all tero dell certezza etea. Per capre meglo qeto mportate cocetto è tle dare terpretazoe probabltca della faca d certezza.

6 N I /N X x 0 x Itogramma delle freqeze relatve d x Sa N I l mero d mre che cadoo all tero d tervallo d valor d ampezza x defto dagl etrem x I x I+ x.. Poamo allora affermare che, detto N l mero totale delle mre, la probabltà che a mra cada all tero dell tervallo x è N I /N. Tale probabltà va otto l ome d freqeza relatva. I fgra rporta tpco togramma delle freqeze relatve. La dtrbzoe è mmetrca rpetto ad valore cetrale x 0, toro al qale addea l maggor mero d rltat; pù c allotaa dal valore cetrale, pù rdce la probabltà d otteere rltat d mra. Se la dtrbzoe delle probabltà é d tpo gaao, rdcedo l ampezza x facedola tedere a zero, l togramma degeera a crva cota co tpco adameto a campaa ota come crva d Ga. L epreoe aaltca della crva d Ga è: f ( x) ( x x0 ) e σ (9) σ π Tale epreoe è caratterzzata dallo carto tpo σ. Qato more è lo carto tpo tato more è la dperoe de rltat toro al valore cetrale x 0. Per tale dtrbzoe pò dmotrare che la probabltà che a geerca mra cada ella faca x 0 ±σ è del 68.4%. Pertato, amedo σ (o la a valtazoe permetale eegta mero lmtato d mrazo) come ampezza della faca d certezza (certezza tpo), attrbce grado d fdca (probabltà) del 68.4% al fatto che l valore del mrado cada all tero della faca x 0 ±σ. Se, per la pecfca applcazoe a c è detata la mra, tale grado d fdca embra approprato, occorre ametare l ampezza della faca rcorredo ad fattore d copertra maggore d. I tal cao pò dmotrare che, per a dtrbzoe gaaa, valgoo le propretà epree ella egete tabella: fattore d copertra k grado d fdca mrado etero a x 0 ±kσ 95.4% 4.6% % 0.3% % 0.006% ATTENZIONE!!! L certezza, defta term d carto tpo, decrve la probabltà che ha a mra d cadere all tero d a determata faca. Ete approcco alteratvo d defzoe dell certezza che mra a defre la faca d certezza o term probabltc ma term determtc. Eo, facedo rfermeto per motv d atra prdezale al cao pù favorevole (wort cae), vole detfcare qale a la faca a c appartee la mra el cao c ttt fattor d fleza gocho combado tra loro el modo pù favorevole. Tale approcco vole qd defre la faca d ampezza mama a c pò apparteere la mra. Per qeto motvo peo cotrttor rportao dat dell certezza term d a faca m±a c, co probabltà del 00% e dtrbzoe forme, gace la mra m. I tal cao, alla faca ±a vee attrbto l ome d tolleraza o accracy. Ea pò eere eprea term aolt (±a), pò eere eprea ache term relatv e relatv percetal. Dalla tolleraza/accracy (±a) è poble ralre allo carto tpo (σ) ado l epreoe: a σ, 3 No ha, vece, eo parlare d fattore d copertra, ecodo qato defto precedetemete. Propagazoe delle certezze elle mre drette ed certezza tpo compota. Ne paragraf precedet c amo occpat d defre e d valtare l certezza el cao d mrazo d tpo dretto. Nelle mre drette, vece, l mrado vee valtato drettamete bae alle dcazo forte da certo mero d trmet ed alla relazoe fzoale dettata da a legge fca ota. La legge d propagazoe delle

7 certezze elle mre drette vole determare l certezza d a mra dretta fzoe delle gole certezze delle tme d greo e del legame fzoale che lega l cta agl gre. Idchamo co x, x,.., x le gradezze d greo, co x, x,.., xm le corrpodet certezze tpo e co f(x, x,.., x ) l legame fzoale che lega la gradezza d cta y agl gre. S ppoga po che le gradezze d greo ao tattcamete correlate. I tal pote l certezza tpo dell cta y rlta: y (0) x x y x x I tale epreoe, le dervate parzal x rappreetao coeffcet d ebltà e y l certezza tpo compota. Per alc legam fzoal rcava qato portato tabella. Legame fzoale y a x y ( x ) a Icertezza compota y y y a a x x x Eemp d applcazoe della teora delle certezze.. I crcto elettrco, oo pot ere retor R ed R le c pecfche, term d valore omale e tolleraza, oo: R 0 kω, R % % R 0 kω, R % 0.5% Calcolare l valore della reteza eqvalete e dell certezza eprea valore aolto, relatvo e relatvo percetale. S ama che le tolleraze eprmao, valore percetale, valor etro c pò eere coteto l valore d caca reteza co dtrbzoe d probabltà d tpo forme. Solzoe: La reteza eqvalete R EQ d de retor pot ere è data dalla omma de valor delle reteze: R EQ (0 + 0) 30 kω Per calcolare l certezza aolta y tramte la (0), boga azttto valtare gl cart tpo R ed r de de retor dalle tolleraze percetal R % e R %:. R y R R % 0000 R R % R ( R + R ) ( R + R ) [ Ω] ; 57. [ Ω] R + R R + R 65 R R L certezza yr (eprea valore relatvo) è data da: yr y R EQ L certezza y% (eprea valore relatvo percetale) è data da: r % ry % ( 57.73) + ( 57.73) 8. [ Ω]

8 . I crcto elettrco oo pot parallelo retor R ed R le c pecfche oo: R 0 kω, R % % R 0 kω, R % 0.5% Calcolare l valore della reteza eqvalete e dell certezza eprea valore aolto, relatvo e relatvo percetale. S ama che le tolleraze eprmao, valore percetale, valor etro c pò eere coteto l valore d caca reteza co dtrbzoe d probabltà d tpo forme. Metodo probabltco - Solzoe: La reteza eqvalete R EQ d de retor pot parallelo è data dalla relazoe: R EQ R R Ω R + R Per calcolare l certezza y (eprea valore aolto) tramte la (0), boga azttto valtare gl cart tpo R ed r dalle tolleraze R % e R %: R R R % 0000 R R % R [ Ω] ; 57. [ Ω] y L certezza y (eprea valore aolto) valta applcado la (0): R R R R R + R R + R R R R + R R R R R ( R + R ) ( R + R ) L certezza yr (eprea valore relatvo) è data da: yr y R EQ L certezza y% (eprea valore relatvo percetale) è data da: r % ry % [ Ω] GRANDEZZE CORRELATE Se alce delle gradezza oo correlate (e. ella tma del loro valore tervee lo teo trmeto, o lo teo campoe d mra, o lo teo dato d rdermeto), per teer coto delle correlazo l eqazoe (0) modfca el egete modo: ( x x ) + ( x x ) y, j x j x x j x j + x x j, j () dove (x,x j ) (x j,x ) è la covaraza tmata aocata a x e x j, e le x oo certezze tpo. Il grado d correlazoe tra x e x j è caratterzzato dal coeffcete d correlazoe r(x, x j ): ( x x ) r ( x, x j ) ( x ) ( x ), j. Il coeffcete d correlazoe è compreo tra 0 e : 0 r(x, x j ). I partcolare e le tme oo dpedet allora l coeffcete è par a 0, metre e oo completamete correlate è par a, valor termed dcao a parzale correlazoe. j

9 Covaraza La covaraza tra de varabl caal z, v, pò eere valtata per va permetale o per va aaltca. La tma per va permetale della covaraza (z,v) é otteta attravero M coppe dpedet d oervazo mltaee delle de gradezze:, () M ( z v) ( z z) ( v v) M dove z e v rappreetao le mede delle de varabl aleatore. Se le de varabl dpedoo etrambe da eme d P varabl tra loro correlate q k : z g(, q, q,,q P ), v h(, q, q,,q P ) detto (q ) l certezza aocata alla tma d q ha: P g h ( z, v) ( q ). (3) q q k ATTENZIONE!!! Poché alla ommatora d (3) cotrbcoo olo qe term per c g h 0 e q q 0 covaraza è lla e o v oo varabl com a g( )e h( ). la