Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

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1 Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope 8-4. Sistemi di disequazioni 8-5. sistemi Determinati e Indeterminati 8-6. Problemi Classici in Due Variabili 8-7. Proprietà delle Potenze: Moltiplicazione di Monomi 8-8. Proprietà delle Potenze: Potenza di una Potenza 8-9. Proprietà delle Potenze: Divisione di Monomi Esponenti Negativi e Nullo Addizione e Sottrazione di Polinomi Moltiplicazione di Polinomi Moltiplicazione tra Binomi Fattori Comuni Scomposizione di Polinomi Speciali Scomposizione di Trinomi Quadratici Risolvere Equazioni per Scomposizione Rappresentazione Grafica di Parabole Risoluzione di Equazioni Mediante Radici Quadrate Completamento del Quadrato Risolvere Equazioni della Forma x 2 +bx+c= Rappresentazione Grafica di Disequazioni Quadratiche Proporzionalità Inversa Espressioni Razionali e Funzioni Semplificazione di Espressioni Razionali Operazioni con Expressioni Razionali Soluzione di Equazioni Razionali Dimostrazione in Algebra Funzioni con coefficienti Irrazionali e Risoluzione di Equazioni con Radicali Funzioni Irrazionali e Equazioni con Radicali Tabelle e Grafici di Equazioni Lineari Pendenze e Intercette Equazioni Lineari in Due Variabili Proporzionalità Diretta e Proporzione Introduzione alla Risoluzione Equazioni Introduzione alla Risoluzione di Disequazioni Operazioni con Funzioni Funzioni Inverse Disuguaglianze Lineari in Due Variabili Equazioni Parametriche Introduzione alla Risoluzione di Equazioni Quadratiche Scomposizione di Espressioni Quadratiche Completamento del Quadrato Introduzione alle Funzioni Quadratiche Equazioni Quadratiche e Numeri Complessi Curve Fitting con Modelli Quadratici Risolvere Disuguaglianze Quadratiche Funzioni Logaritmiche Proprietà delle Funzioni Logaritmiche Applicazioni di Logaritmi Comuni Risoluzione di Equazioni Esponenziali Un Introduzione ai Polinomi Prodotto e Scomposizione di Polinomi Risoluzione di Equazioni Polinomiali Zeri delle Funzioni Polinomiali

2 8-62. Funzioni Razionali e loro Grafico Moltiplicazione e Divisione di Espressioni Razionali Addizione e Sotttrazione di Espressioni Razionali Risolvere Equazioni e Disequazioni Razionali Espressioni e Funzioni Radicali Risolvere Equazioni e Disequazioni Radicali Risolvere Sistemi Nonlineari Serie Geometriche Infinite La Legge dei Seni Risolvere Equazioni Trigonometriche

3 Ordine Algebrico delle Operazioni Calcolare la seguente espressione ( ) 4 x 2 Inserire l espressione così come appare [EXE] 2. Problemi con Percentuali Scrivere la percentuale 65% sotto forma di decimale e di frazione. Inserire la percentuale scritta come 65/100 Per ottenere il risultato sotto forma di decimale [EXE] [F1] (TRNS) [B] (Approx) [SHIFT + (-)] (Ans) [EXE] 3. Le Forme Standard e Point-Slope Scrivere nella forma standard l equazione 5x - 7y = 9x - 2y + 4 Inserire l equazione L introduzione delle lettere avviene con il tasto ALPHA L introduzione del simbolo di = con SHIFT +. L inserimento di un equazione è identificato con la comparsa sul lato dx del display di un numero crescente con i passaggi eseguiti Applicare il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) (1) 9x + 2y

4 4. Sistemi di Disequazioni Risolvere graficamente il sistema 8x + 2y > 1 x 3y < 4 Introdurre la prima disequazione Manipolare la disequazione per esplicitarla rispetto alla y [F4] (eqn) (1) 8x [EXE] [F4] (eqn) (2)/2 [EXE] Svolgere separando incognita e termine noto [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) (3) [EXE] Inserire la seconda disequazione e ripetere le procedure Le procedure vengono svolte separatamente, ma possono anche essere eseguite in forma concatenata Assegniamo le disequazioni così ottenute a delle variabili per poterle rappresentare graficamente nel MENU grafico. Facciamo sempre attenzione all uso del segno meno, distinguendo il simbolo di operazione dal segno del numero! [F4] (eqn) [4] -4x+1/2 [VARS] [F1] [1] [EXE] Ripetere la procedura per la seconda disequazione [F4] (eqn) [8] x/3+4/3 [VARS] [F1] [2] [EXE] Rappresentazione grafica intermedia [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Nel menu grafico le assegnazioni vanno convertite in relazioni di maggioranza e minoranza [MENU] [3] (STAT-GRPH) per la Y1 : [F3] (TYPE) [6] (CONV) [2]

5 per la Y2 : [F3] (TYPE) [6] (CONV) [3] Selezionare ora entrambe le funzioni per il grafico [F1] (SEL) Rappresentazione grafica finale [F5] (DRAW) 5. Sistemi Determinati e Indeterminati Determinare se il sistema 2x + y = 1 è determinato o indeterminato risolvendolo algebricamente. 6x + 3y = 8 Introdurre le due equazioni Per confermare ogni immissione concludere con [EXE] Manipolare l equazione 1 risolvendola rispetto a y La sintassi è visibile in figura Operare la sostituzione, applicando il metodo del confronto. [F1] [9] (substitute) (eqn(2),eqn(3))

6 6. Problemi Classici in Due Variabili Una cassetta di frutta del peso di 65 kg contiene 30 frutti. Ogni melone pesa 1,5 kg e ogni cocomero 3,5 kg. Quante cocomeri, C, e quanti meloni, M, vi sono nella cassetta? Il problema può essere riassunto nelle due equazioni C + M = 30 3,5C + 1,5M = 65 Risolviamo mediante il comando solve [F1](TRNS) [4] (solve)({eqn(1),eqn(2)},{p,m}) 7. Proprietà delle Potenze: Moltiplicazioni di monomi Semplificare (5x 3 )(-8y 7 x 2 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 8. Proprietà delle Potenze: Potenza di un Monomio Semplificare (x 3 y 4 ) 2 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto

7 9. Proprietà delle Potenze: Divisione tra Monomi Semplificare (-x 2 y 5 )/(xy 6 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 10. Esponente Negativo Semplificare (2a 4 )(8a 7 )(3a -3 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto Il segno negativo di un numero va introdotto con (-) 11. Addizione e Sottrazione tra Polinomi Trovare la somma di (3x 2 +4x 4-5x+5)+(2x 3 -x 2-2x 4 +2) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 12. Moltiplicazione tra Polinomi Trovare il prodotto di (3x - 7)+(3x + 7) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto Manipolare per ottenere il risultato [F1](TRNS) [1] (expand) [SHIFT + (-)] (Ans)

8 14. Fattori Comuni Scomporre 2x x Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta e [F1](TRNS) [8] (collect) (espressione,fattore manipolare per ottenere il risultato comune) Scomporre Polinomi Speciali Scomporre x 2-14x + 49 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta e [F1](TRNS) [3] (factor) (espressione) manipolare per ottenere il risultato Altro esempio con trinomi notevoli 17. Risolvere Equazioni mediante Scomposizione Risolvere scomponendo x 2 + 8x = 9 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Portare il termine noto al primo membro [F4] (eqn)(1) - 9 Scomporre il polinomio al primo membro Le soluzioni sono pertanto x = 1 e x = -9 [F1] [3] (factor) (eqn) 2

9 18. Rappresentazione Grafica di Parabole Trovare il vertice di y = x 2-12x + 20 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Manipolare la funzione scrivendo il secondo termine come completamento di un quadrato, supponendo che X 2 sia il quadrato del primo termine -12x sia il doppio prodotto [F1] (TRNS) [8] (collect) Assegnare il secondo membro della funzione alla variabile Y1 per la rappresentazione grafica. Mostrare la funzione Cancellare, spostandosi col cursore Y= Assegnare a tale trinomio la variabile Y1 Impostare la rappresntazione grafica [F6] [F3] (R-ANS) [VARS] [F1] (1) [ESC] [F5] (GRPH) Scegliere la scala di visualizzazione degli assi cartesiani Xmin = - 5 xmax = 20 scale = 5 Ymin = -50 ymax = 50 scale = 10 [SHIFT+OPTN] (v-windows) seguito da [EXE] Rappresentare [F6] (DRAW) La parabola è rivolta verso l alto e l ordinata del vertice è il valore minimo [F3] (G-SOLV) [3] (min)

10 19. Risolvere Equazioni mediante Radici Quadrate Solve the equation (x - 3) 2 16 = 0 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Portare il trmine noto a secondo membro La sintassi appare nella figura a lato Estrarre la radice quadrata dell equazione così scritta [SHIFT + X 2 ] Risolvere le due equazioni [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4](eqn) Completamento del Quadrato Scrivere y = x x 18 come completamento di un quadrato Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Manipolare la funzione scrivendo il secondo termine come completamento di un quadrato, supponendo che X 2 sia il quadrato del primo termine 46x sia il doppio prodotto

11 21. Risoluzione di Equazioni della Forma x 2 + bx + c = 0 Trovare i punti dove i grafici di ogni sistema si intersecano. Rappresentare graficamente per la verifica. y = x + 3 y = x 2 4x + 3 Applicando il concetto di sistema, introduciamo l equazione risolvente che uguaglia i due secondi membri. Manipolare l equazione portando tutto a primo membro e sommando X 2 sia il quadrato del primo termine 46x sia il doppio prodotto Essendo un equazione spuria, risolviamo mediante scomposizione. Otteniamo in tal modo le soluzioni x = 0 e x = 5 [F3] (EQUA) [4] (rewrite)[f4] (eqn) 1 [EXE] [F1] (TRNS) [3] (factor)[f4] (eqn) 2 [EXE] Verifichiamo graficamente il risultato. Assegnamo le due equazioni a due diverse variabili Y1 e Y2, che saranno automaticamente riprodotte nel menu grafico. X+3 [VARS][F1]( n)[1] [EXE] X2-4X+3 [VARS][F1]( n)[2] [EXE] Procedure per la rappresentazione grafica Introduciamo i fattori di scala [ESC] [F5] (GRAPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] (DRAW) Individuiamo le intersezioni (la seconda usando il tasto cursore) [F3] (G-SOLV) [5] (Isect) Risposta (0,3) e (5,8)

12 22. Rappresentazione Grafica di Disequazioni Quadratiche Risolvere e rappresentare graficamente la disequazione quadratica x 2 + 7x + 12 > 0. La risoluzione può essere estremamente semplice mediante la [F1] (TRNS) [4] (solve) [F3] (EQUA) [1] [1] funzione solve La rappresentazione grafica si può effettuare nel menu Grafico Inseriamo la disequazione e selezioniamola per ottenerne il grafico. Impostiamo prima il tipo di funzione come disuguaglianza [MENU] [3] (GRPH-TBL) [F3] (TYPE) [5] (INEQUA)[1] (Y>) [EXE] Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione [F5](DRAW)[1] [EXE] [SHIFT+OPTN] Per meglio osservare le proprietà del grafico ingrandiamo la parte che coinvolge le intersezioni con l asse x [F2] (ZOOM) [1] (Box) [EXE]. Spostiamo con il cursore il puntatore nel punto di inizio di costruzione del rettangolo da ingrandire seguito da [EXE], spostiamo poi il cursore per specificare il vertice opposto + [EXE] Ricerca delle soluzioni. L ingrandimento mostra che la parabola di riferimento incontra l asse x in due punti, dividendolo in tre parti (intervalli). La disequazione sarà pertanto verificata per x < -4 e x > -3. [F4] (G-SOLV) [1] (Root)

13 23. Proporzionalità Inversa Se y varia inversamente rispetto a x e y = 5 quando x = 15, scrivi un equazione che mostri la relazione tra x e y. Introduzione dell equazione in base ai valori assegnati e al tipo di proporzionalità. Due grandezze sono inversamente proporzionali se y = k/x. Dobbiamo ricavare il valore di k in base ai valori assegnati. Calcoliamo k mediante l operazione inversa L equazione è pertanto del tipo y = 75 / x [F4] (eqn) [1] x 15 Per rappresentare graficamente assegnamo il secondo membro dell equazione ad una variabile grafica 75/X [VARS] [F1] [1] [EXE] Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione [ESC] [F5](GRPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] 24. Espressioni e Funzioni Razionali Riscrivere la funzione, y = (5x +x 2 ) / x 2, in termini più semplici e rappresentarla graficamente Introduzione dell equazione Semplifichiamo [F1] (TRNS) [6] (smplfy) [F4] (eqn) [1] Per rappresentare graficamente assegnamo il secondo membro dell equazione ad una variabile grafica Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione 1 + 5/X [VARS] [F1] [1] [EXE] [ESC] [F5](GRPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6]

14 25. Semplificazione di Espressioni Razionali Semplificare (4 - x)/(x 2 x - 12) e determinare le condizioni di validità sulla variabile Le condizioni di validità vanno impostate per il denominatore. [F1] (TRNS) [3] (factor) Essendo di secondo grado, ne verifichiamo la scomponibilità Le condizioni saranno pertanto x = 4 e x = -3 Semplifichiamo ora la frazione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) [F6] [F3] (R-ANS) aggiungendo il numeratore della frazione [EXE] 26. Operazioni con Espressioni Razionali Risolvere 2/x + 3/(x+1) Eseguiamo la somma delle due frazioni algebriche [F1] (TRNS) [7] (combine) Le restrizioni saranno pertanto x = 0 e x = -1

15 27. Risolvere Equazioni Fratte Risolvere l equazione 2/x + 1/3 = 4/x mostrando l uso dei criteri di equivalenza. Inserire l equazione Come si può notare, ogni volta che si inserisce un equazione, compare a dx un numero d ordine che la caratterizza. Applichiamo il secondo criterio con la condizione che x 0 [F4] (eqn) [1] moltiplicata per 3X Eseguiamo il calcolo [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [2] Applichiamo il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [3] 6 Possiamo eseguire anche la verifica della soluzione sostituendo il valore trovato (x = 6) nell equazione di partenza, identificata con il numero 1 [F1] (TRNS) [9] (sbstit) [F4][1],[F4] [4] 28. Dimostrazioni Matematiche Dimostrare: Se due numeri naturali sono entrambi pari, allora la loro somma è pari. La dimostrazione deve valere per qualunque numero naturale. Utilizziamo pertanto una scrittura letterale. Se un numero A è pari, esso è multiplo di 2 Se un numero B è pari, esso è multiplo di 2 Calcoliamo la somma dei due numeri pari Raccogliamo a fattor comune [F1] (TRNS) [3] (factor) Si può osservare che anche la somma è multipla di 2 e quindi è rappresentata un numero pari.

16 29. Operazioni con i Radicali Semplificare 3 ( 5 + 9) Eseguiamo il calcolo semplificando l espressione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) É possibile ottenere anche il valore decimale approssimato [F1] (TRNS) [B] (approx) 30. Funzioni con coefficienti Irrazionali e Risoluzione di Equazioni con Radicali Risolvere l equazione x 2 + 8x + 15 = 7 mediante l uso dei radicali Introduciamo l equazione Verifichiamo che la calcolatrice sia impostata per lavorare con i numeri reali. [CTRL + F3] (SET-UP) I primi due termini possono rappresentare una parte del quadrato di (x + 4), pertanto scriviamo come completamento del quadrato [ESC] [F1] (TRNS) [8] (collect) [F4] (eqn) [1] Applichiamo i criteri di equivalenza, ed estraiamo la radice quadrata, come se fosse un equazione pura Risolviamo [F1] (TRNS) [4] (solve)

17 34. Tabelle e Grafici di Equazioni Lineari Rappresentare graficamente l equazione y + 4 = x - 7 Introdurre l equazione. Come si nota compare sulla dx dell equazione il suo numero identificativo per la calcolatrice Applicare il criterio di equivalenza per renderla esplicita rispetto alla variabile y [F4] (eqn) [1] - 4 Assegnare il secondo membro di tale relazione alla variabile grafica Y1 [VARS] [X-11] [F1] [1] Passiamo all ambiente grafico [ESC] [F5] (GRPH) Selezioniamo la scala per la rappresentazione [SHIFT+OPTN] (V-Windows) Rappresentiamo graficamente [F6] (DRAW)

18 35. Pendenza e Intercette Trovare le intersezioni di 2x - 5y = 7 Introdurre l equazione. Come si nota compare sulla dx dell equazione il suo numero identificativo per la calcolatrice L intersezione con l asse x, se esiste, corrisponde ad un punto la cui ordinata è nulla. Assegnamo quindi 0 alla variabile y Richiamiamo l equazione 1 modificata da tale assegnazione e risolviamola. Otteniamo che l intercetta sull asse è (7/2,0) [F4] (eqn)... Cancelliamo l assegnazione fatta per la variabile Y per poter calcolare l eventuale intercetta sull asse delle ordinate [F6][F1] (CLR) [1] (clrvar) [Y] L intersezione con l asse Y, se esiste, corrisponde ad un punto la cui ascissa è nulla. Assegnamo quindi 0 alla variabile X Richiamiamo l equazione 1 modificata da tale assegnazione e risolviamola. Otteniamo che l intercetta sull asse è (0,-7/5) [F4] (eqn) Equazioni lineari in due variabili Scrivere l equazione esplicita della retta passante per i punti (3, -5) e (1, 2). L equazione.di una retta passante per due punti può essere espressa da y = mx + q dove m è il coefficiente angolare e q è l intercetta con l asse y m = ( y2 y1) ( x 2 x1) Introduciamo il calcolo per m e assegnamolo alla variabile M Sostituiamo nell equazione 1 le coordinate di un punto e risolviamo rispetto a q. [F1] [9] (sbstit) [F4](eqn) [1],X=2,Y=1) [F1] (TRNS) [4] (solve)[f4](eqn)[2],q L equazione è pertanto y = -7/2 x + 8

19 37. Proporzionalità Diretta e Proporzioni Risolvere (2X - 8)/4 = X/3 Introdurre l equazione Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [1] x 12 Portiamo tutti i termini a primo membro e sommiamo [F3] (EQUA) [4] (rewrit) [F4](eqn) [2] [F1] Applichiamo i criteri di equivalenza per trovare la soluzione [F4] (eqn) [3] +24 [F4] (eqn) [4] /2 38. Introduzione alla Soluzione delle Equazioni Risolvere a(a + 1)/b = c + 3 rispetto a b Introdurre l equazione Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza, supposto B 0 [F4] (eqn) [1] x B Risolviamo specificando come incognita B [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4](eqn) [1], B

20 39. Introduzione alla Soluzione delle Disequazioni Risolvere 2(x - 5) < 6x + 8 Introdurre la disequazione Per il simbolo < : [F3] (EQUA) [1] [2] Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Eseguiamo le moltiplicazioni [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [1] Applichiamo il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [2] 6x +10 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [3] /( 4) 42. Operazioni con le funzioni Sia f(x) = x 2 + 2x + 3 e g(x) = x + 2. Trovare f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x)g(x), e f(x)/g(x) Introdurre le due funzioni Come sempre ogni relazione è identificata sulla dx da un numero progressivo Eseguiamo le operazioni richieste [F4] (eqn) [1] ± [F4] (eqn) [2] Moltiplichiamo e scriviamo sotto forma polinomiale [F4] (eqn) [1] x [F4] (eqn) [2] Dividiamo [F4] (eqn) [1] / [F4] (eqn) [2]

21 43. Funzioni Inverse Trovare un equazione per l inverso di y = -5x + 7 Introdurre la funzione, scambiando tra loro le incognite Applichiamo i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [1] 7)/(-5) 44. Disuguaglianze Lineari in Due Variabili Rappresentare graficamente x + 3y > 1 Introdurre la disuguaglianza Risolvere rispetto a Y applicando i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [1] X)/3 Assegnare il secondo membro alla variabili Y1 della calcolatrice Il comando R-ANS serve per evitare la trascrizione della disequazione [F6] [F3] (R-ANS) {cancellare Y>} [VARS] [F1] [1] Passare al Menu grafico GRPH-TBL Selezionare la funzione Converetirla in disequazione [MENU] [3] (GRPH-TBL) [F1] (SEL) [F3] (TYPE) [6] (CONV) [2] (Y>) [F3] (TYPE) [5] (INEQUA) [1] (Y>) Rappresentare graficamente, scegliendo la scala appropriata [F5] (DRAW)

22 45. Equazioni Parametriche Trasformare la coppia di equazioni parametriche x(t) = 6t 7 y(t) = 4t + 5 in una singola equazione in x e y. Introdurre le due equazioni Risolvere l equazione 2 rispetto a T applicando i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [2] 5)/4 Scambiamo il primo col secondo membro [F1] (TRNS) [5] (exchnge) [F4] (eqn) [3] Sostituire l equazione 4 nella 1 [F1] (TRNS) [9] (sbstit) (eqn 1), (eqn 4) 46. Introduzione alla Risoluzione delle Equazioni Quadratiche Risolvere l equazione 3(x - 5) = 11 Introdurre l equazione Risolvere l equazione rispetto a (x 5) ed estrarre la radice quadrata ([F4] (eqn) [1] 2)/3 Risolvere separatamente le due equazioni derivanti dal modulo negli intervalli x 5 e x < 5

23 47. Scomporre Espressioni Quadratiche Fattorizzare l espressione quadratica x 2-16x + 15 Introdurre l equazione Operare la scomposizione [F1] (TRNS) [3] (factor) [F6] [F3] 48. Completamento del Quadrato Risolvere l equazione, x 2 + 2x = 13, mediante il completamento del quadrato. Introdurre l equazione Essendo il primo membro una parte del quadrato del binomio (x+1) 2 se ne può chiedere il completamento [F1] (TRNS) [8] (collct) [F4] (eqn) [1],x+1 Risolvere l equazione applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [2] +1 ([F4] (eqn) [3]) Operiamo sulle due equazioni risultanti, riscrivendole e applicando nuovamente i criteri di equivalenza La prima e... La seconda

24 49. Introduzione alle Funzioni Quadratiche Mostrare che la funzione f(x) = (x + 1)(x - 7) è una funzione quadratica scrivendola sotto la forma f(x) = ax 2 +bx + c e studiando l eventuale massimo o minimo. Introdurre l espressione Espandere l espressione scrivendola nella forma polinomiale [F1] (TRNS) [1] (expand) [SHIFT + (-) (ANS) Assegnare questa espressione ad una variabile grafica [F&] [F3] (R-ANS) [VARS] [F1]( )1 Passare alla visualizzazione grafica dopo aver scelto una opportuna scala grafica con SHIFT + OPTN [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Trovare il minimo della funzione Come si vede dalla figura minimo(3;-16) [F3] (G-SOLV) [3] (Min) 50. Equazioni Quadratiche e Numeri Complessi Risolvere 2x 2 + 5x + 4 = 0; Semplificare (-1 + 2i)(3 + 4i) Impostare la modalità con numeri complessi [CTRL + F3] (SET UP) su Answer Type [F2] Risolvere direttamente l equazione rispetto all incognita X [F1] (TRNS) [4] (solve) [equazione],x Eseguire la moltiplicazione tra complessi Il numero immaginario è ottenibile con [SHIFT + 0]

25 52. Risolvere Disequazioni Quadratiche Risolvere x 2-7x + 10 < 0 Introdurre la disequazione Per < [F3] (EQUA) [1] (INEQUA) [2] Risolvere direttamente la disequazione [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Assegnare al 1 membro della disequazione la variabile grafica Introdurre il 1 membro [VARS] [F1] [1] Rappresentiamola graficamente, dopo aver impostato la scala [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Ecco il grafico La parabola assume valori negativi per x compreso tra le due radici (i punti di intersezione con le ascisse) L intervallo sarà pertanto 2 < x < 5 [F3] (G-SOLV) [1] (Root) (cursore dx)

26 53. Funzioni Logaritmiche Risolvere 10 x = 12 rispetto a x. Introdurre la equazione Risolvere passando al logaritmo in base 10 Risolvere e poi calcolare il valore approssimato [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [2] 54. Proprietà delle Funzioni Logaritmiche Scrivere l espressione, log log 2 7, come un singolo logaritmo e semplificare Introdurre l espressione Essendo il logaritmo in base 2, dobbiamo ricordare le formula di trasformazione della base log 2 x = log10 x log10 2 Semplificare l espressione [F1] (TRNS) [7] (combine) [SHIFT + (-)] Risolvere [F1] (TRNS) [6] (smplfy)

27 55. Applicazioni ai Logaritmi Comuni Risolvere 3 x = 16 rispetto a x Introdurre l equazione Risolvere anche nella forma approssimata [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] 57. Risolvere Equazioni Esponenziali Risolvere 4e 3x-6 = 55 rispetto a x. Introdurre l equazione Risolvere calcolando il logaritmo naturale di entrambi i membri [ln] [F4] (eqn) [1] Applicare i principi di equivalenza Possiamo ottenere anche il valore approssimato [F1] (TRNS) [B] (approx) [F4] (eqn) [4] 58. Introduzione ai Polinomi Calcola la differenza (-5x 3-7x 2 + x + 2) - (4x 3-6x 2-3x + 9) Introdurre l espressione e premere [EXE]

28 59. Prodotto e Scomposizione di Polinomi Scomponi 3x 3-300x Dividi (x 3 + 6x 2 - x - 30)/(x 2 + 8x + 15) Introdurre l espressione Scomporre il polinomio [F1] (TRNS) [3] (factor) [SHIFT + (-)] (ANS) Introdurre i polinomi da dividere Eseguire la divisione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) 60. Risoluzione di Equazioni Polinomiali Trovare tutte le radici di x 4-9x = 0 Introdurre l equazione biquadratica Risolvere l equazione [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Scomporre il trinomio di quarto grado in fattori [F1] (TRNS) [2] (rfactor) Rappresentare graficamente, scegliendo l opportuna scala (in questo caso può andare bene la soluzione Standard (STD)) [trinomio] [VARS] [ ] [F1] (Yn) [1]

29 [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Determinare graficamente le soluzioni; in tal caso otteniamo i valori approssimati [F3] (G-SOLV) [1] (Root) e muovere il cursore dx Risposta: Le radici sono 2.45, -1.73, 1.73, Zeri delle Funzioni Polinomiali Scrivere una funzione polinomiale in forma standard usando le seguenti informazioni. f(x) è di terzo grado e ammette tre soluzioni reali: x = -1; x = 1; x = 2; inoltre f(0) = 4; Mediante le informazioni date si può supporre che la funzione polinomiale sia del tipo: f(x) = A(x 1) (x + 1) (x 2) Introduciamo la funzione sopra definita [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Svolgere il prodotto di fattori [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [1] Determiniamo il valore del parametro A imponendo la condizione F(0) = 4 [F1] [9] (sbstit) ([F4] ((eqn) [2],F=4,X=0) Risolvere l equazione rispetto ad A [F1] [4] (solve) [F4] [3], A Sostiutiamo ora A nell equazione iniziale [F1] [9] (sbstit) ([F4] [3],[F4][4])

30 62. Funzioni Razionali e loro Grafici Identificare tutti gli asintoti di y = (2x 2 1)/(x 2 9) Introdurre la funzione assegnata Scomporre il polinomio al denominatore [F1] (TRNS) [3] (factor) [F4] (eqn) [1] Gli asintoti verticali si avranno per x = 3 e x = -3 Riscriviamo la funzione come somma di frazioni, considerando come variabile x 2 9 [F1] [8] (collect) ([F4] ((eqn) [1],F=4,X=0) Si otterrà l asintoto verticale y = Moltiplicare e Dividere Espressioni Razionali Semplificare (ax-bx+ay-by)/(ax+bx+ay+by) Introdurre l espressione assegnata Eseguire la semplificazione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) 64. Addizione e Sottrazione di Espressioni Razionali Semplificare (x - y) - (x -1 y -1 ) Introdurre l espressione assegnata Eseguire la sottrazione scrivendo il risultato in frazione [F1] (TRNS) [7] (combine)

31 65. Risolvere Equazioni e Disequazioni Risolvere + = 3x 8 3x Introdurre l equazione assegnata Risolvere applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [1] x 3X x 8 Ricordiamo che dobbiamo imporre x 0 Svolgiamo il calcolo [F1](TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [2] Risolvere applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [3] 8 [F4] (eqn) [3] /3 66. Espressioni e Funzioni con Radicali Trovare l inversa di y = x 2 + 4x + 4, e rappresentare graficamente la funzione e la sua inversa. Introdurre la funzione inversa, scambiando la variabile X con la Y Scambiare i due membri [F3] (EQUA) [5] [F4] [1] Fattorizziamo il primo membro [F1](TRNS) [3] (factor) [F4] (eqn) [2] Estraiamo la radice del primo e secondo membro [F4] (eqn) [3] Risolviamo i due casi previsti dal valore assoluto

32 Introduciamo l equazione che si ottiene per x -2 Risolviamo rispetto a Y Introduciamo l equazione che si ottiene per x < -2 Risolviamo rispetto a Y Richiamiamo entrambe le due equazioni così ottenute. [F3] (EQUA) [2] (rcleqn) [6,8] (Si noti il richiamo multiplo ottenibile introducendo tra i numeri caratterizzanti le singole equazioni, il simbolo della virgola) Assegniamo entrambi i secondi membri ad una diversa variabile grafica [VARS] Passiamo al menu grafico. (Vedremo entrambe le funzioni già selezionate) [ESC] [F5] (GRPH) Rappresentiamo graficamente dopo aver scelto la scala grafica [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] (DRAW) 68. Risolvere Equazioni e Disequazioni Irrazionali Risolvere 3x 2 = x 2 e verificare la soluzione. Introdurre l equazione Elevare al quadrato ed espandere per eseguire i necessari calcoli [F4] (eqn) [1] [X 2 ] [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] [2] Scriviamo l equazione nella forma normale [F3](EQUA) [4] (rewrite) [F4] [3]

33 Risolviamo mediante scomposizione in fattore del 1 membro [F1] [3] [F4] (eqn) [4] Le soluzioni sono facilmente ottenibili: x = 1 e x = 6 Verifichiamo se queste sono soluzioni anche per l equazione irrazionale, sostituendo il valore della x [F1] [9] (sbstit) ([F4] [1],X=1) [F1] [9] (sbstit) ([F4] [1],X=6) Come si può notare solo la soluzione x = 6 è accettabile 70. Risolvere Sistemi Non Lineari x 2 + 2y 2 = 16 Usare il metodo di riduzione per risolvere il sistema 2 2 4x + 2y = 16 Verificare che la calcolatrice esegua le operazioni e risolva le equazioni solo nell insieme R. [CTRL+F3] (SET-UP) seguito da [ESC] Introdurre separatamente le due equazioni Si ricordi che ogni equazione è contrassegnata da un numero progressivo Sottraiamo la prima equazione alla seconda, come richiede il metodo di riduzione [F4](eqn) [2] [F4] [1] Risolviamo dividendo l equazione per il coefficiente 3 [F4] (eqn) [3] / 3 Sostituiamo per ottenere i valori di Y e risolviamo rispetto a Y Le soluzioni saranno pertanto (0 ; 2 2) (0 ; -2 2) [F1] (TRNS) [9] (sbstit) ([F4] (eqn) [1],X=0) ([F4] (eqn) [5] / 2)

34 71. Serie Geometriche Infinite k Calcolare ( 8 15) k = 0 Introdurre l espressione La sintassi si vede nella figura e si può così riassumere [CTRL+F3] (SET-UP) [4] ( ak,k, α, β) β = ak k= α 74. La Legge dei Seni Trova il lato a noti gli elementi indicati in figura Impostare l angolo in gradi sessaggesimali m 61 p = 5 n 52 [F2] (CALC) [4] seguito da [ESC] Calcolare il terzo angolo e assegnare ogni angol oad una variabile 52 A 61 B 180-(A+B) C Introdurre la relazione del teorema Risolviamo rispetto ad N [F1] (TRNS) [4] (solve) Calcoliamo il valore numerico [F1] (TRNS) [B] (approx) [F4] (eqn) [2]

35 78. Risolvere Equazioni Trigonometriche Risolvere cos(2x) - sin x = 0 rispetto a x. Impostare l angolo come radiante [CTRL+F3] (SET-UP) seguito da [ESC] Introduciamo e risolviamo l equazione Sottraiamo la prima equazione alla seconda, come richiede il metodo di riduzione [F4](eqn) [2] [F4] [1] Risolviamo dividendo l equazione per il coefficiente 3 [F4] (eqn) [3] / 3 Sostituiamo per ottenere i valori di Y e risolviamo rispetto a Y Le soluzioni saranno pertanto (0 ; 2 2) (0 ; -2 2) [F1] (TRNS) [9] (sbstit) ([F4] (eqn) [1],X=0) ([F4] (eqn) [5] / 2)

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