Analisi e sintesi di un sistema a retroazione per il controllo di velocità di un veicolo

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1 Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici Analisi e sintesi di un sistema a retroazione er il controllo di velocità di un veicolo Anno Accademico 2011/2012 Candidato: Ottavio Gelone matr. N

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3 Indice Introduzione 4 Caitolo 1. Modello lineare Modello a ciclo aerto con Equazioni Differenziali Ordinarie Modello a ciclo aerto con sazio di stato Modello a ciclo aerto con funzione di trasferimento Modello al calcolatore Modello a ciclo chiuso con controllore PID (sintesi del controllore) Modello a ciclo chiuso con luogo delle radici (sintesi del controllore) 18 Bibliografia 20 III

4 Introduzione I l controllo di velocità, noto anche con i termini inglesi cruise control e autocruise, è un sistema che controlla automaticamente la velocità di un autovettura. Il controllo agisce in modo tale da mantenere una velocità costante imostata dal guidatore. In articolare tale sistema è un controllo automatico, cioè un sistema che si refigge di modificare il comortamento di un sistema controllato (nel nostro caso il veicolo), ovvero delle uscite di tale sistema (nel nostro caso la velocità del veicolo), attraverso la maniolazione delle grandezze identificate come i suoi ingressi. Il controllore viene rogettato doo uno studio reliminare del sistema da controllare er individuarne il modello matematico esatto, servendosi degli strumenti messi a unto dalla teoria dei sistemi. Il controllo automatico di un sistema è ossibile solo nella misura in cui il sistema stesso è raggiungibile e osservabile, cioè nella misura in cui è ossibile ortarlo in un dato stato interno agendo sui suoi ingressi, e risalire allo stato attuale del sistema basandosi sulle sue uscite. Uno dei rimi esemi di controllo di velocità è il Regolatore di Watt o Regolatore centrifugo che controlla la velocità di un motore regolando la quantità di combustibile affinché il veicolo ossa raggiungere una velocità quasi costante. Il regolatore di Watt utilizza il rinciio di controllo roorzionale. Tale disositivo fornisce, in una catena di retroazione, un arametro che è funzione della velocità angolare. Questo arametro uò essere uno sostamento meccanico che agisce in retroazione negativa su una valvola di regolazione dell alimentazione del motore er mantenere aunto la velocità quanto iù costante. Esso e costituito da due o iù masse oste in rotazione da un albero rotante. Per effetto della forza centrifuga le masse tendono ad allontanarsi dall'asse di rotazione, ma il loro allontanamento è contrastato da un sistema di molle o dalla forza di gravità terrestre attraverso un sistema articolato. Un sistema di leve trasforma lo sostamento radiale delle masse nello scorrimento assiale di un collare; una leva releva quest'ultimo sostamento er trasferirlo all'organo da controllare, che uò essere una valvola di regolazione di combustibile, di vaore o di acqua in una condotta forzata. 4

5 Il rimo regolatore di Watt fu rogettato da James Watt nel 1788 su suggerimento di Matthew Boulton, suo socio in affari, er regolare la velocità di motori a vaore. In realtà regolatori centrifughi del genere venivano usati già nel diciassettesimo secolo er regolare la distanza e la ressione tra le macine dei mulini a vento. Quindi è un errore sostenere che il vero e rorio inventore di tali disositivi sia stato James Watt, anche erché questi non sostenne mai di averli inventati. Una curiosità interessante è che un modello gigante del regolatore di Watt si trova a Smethwick, nella contea Inglese delle West Midlands, ed è conosciuto come The Flyball Governor. Il regolatore centrifugo è usato sesso come un tiico esemio di sistema dinamico, infatti anche un altro scienziato che ha dato imortanti contributi all elettromagnetismo e quindi all ingegneria dell informazione, quale James Clerk Maxwell, nel 1868 scritte un imortante studio intitolato On governors, che è considerato un classico er la teoria di controllo in retroazione, e nel quale Maxwell si rifà rorio al disositivo di Watt. Il controllo di velocità moderno fu inventato nel 1945 dall inventore e ingegnere meccanico Ralh Teetor. L idea gli venne mentre era in un auto guidata dal suo avvocato che, mentre arlava, accelerava e frenava continuamente causando a Teetor non oco fastidio. La rima auto con il sistema di Teetor era una Imerial del 1958 (chiamata Auto-ilot). Questo sistema calcolava la velocità in base alle rotazioni dell albero motore e attraverso un solenoide, utilizzato er variare la osizione della valvola a farfalla del gas come necessario. Il controllo di velocità come già detto è un sistema che automaticamente controlla la velocità di un automobile. Il guidatore imosta la velocità desiderata e il sistema assume il controllo dell acceleratore dell auto, migliorando così il comfort di guida in condizioni di scarso traffico. Al contrario, naturalmente, in condizioni di traffico intenso nelle quali l auto varia di molto la sua velocità, il sistema non è iù di grande utilità od effetto. Perciò molti disositivi non ermettono l utilizzo al disotto di una certa soglia di velocità. 5

6 Controllo di velocità introdotto in una Chrysler Imerial del Un regolatore centrifugo è usato er rilevare la velocità del veicolo e modificare il comortamento della valvola a farfalla. La velocità desiderata è secificata attraverso una molla di taratura. moderni controlli di velocità sesso vanno accesi eslicitamente rima di esser usati, alcuni altri invece sono semre accesi ma non semre attivi. Altri ancora hanno un bottone on/off, e infine se ne trovano anche con solo un tasto on che va remuto doo l accensione del veicolo. Sesso sono resenti comandi er imostare funzioni diverse del controllo come set, resume, che ermette di riortare la velocità a quella imostata rima di aver frenato, accelerate, cost, che ermette di ridurre la velocità desiderata senza frenare e cancel. Il sistema si disattiva nel caso in cui vengano remuti il edale del freno o quello della frizione, er motivi di sicurezza. In genere il controllo è gestito con comandi facilmente raggiungibili dal conducente, con due o iù ulsanti sul volante o sul bordo del mozzo come quelli sui veicoli Honda, sul gambo delle frecce come nei vecchi veicoli General Motors o un gambo dedicato come su Toyota e Lexus. Progetti recedenti revedevano invece una manoola er imostare la velocità scelta. Il guidatore deve ortare il veicolo alla velocità desiderata manualmente e usare l aosito bottone er settare il controllo di velocità alla velocità corrente. Il controllo uò rendere il segnale di velocità da un albero di trasmissione rotante, dal cavo del tachimetro, da un sensore di velocità delle ruote, dal contagiri oure da imulsi di velocità interni rodotti elettronicamente dal veicolo. Il veicolo manterrà la velocità desiderata agendo sul cavo della valvola a farfalla con un solenoide, oure nei 6

7 veicoli iù moderni sull acceleratore elettronico: in quest ultimo caso il controllo della velocità uò essere facilmente integrato nell Unità di controllo motore. Quando il controllo di velocità è attivo, la valvola a farfalla uò comunque essere usata er accelerare l auto, ma, una volta che il edale è rilasciato, l auto rallenterà fino a raggiungere la velocità recedentemente settata come desiderata. Alcuni sistemi moderni, chiamati adattivi, includono la ossibilità di ridurre automaticamente la velocità quando la distanza dell auto che si trova davanti a quella controllata, oure il limite di velocità, diminuiscono. Quest ultima caratteristica è utile se si guida in zone oco conosciute. Questo sistema revede la resenza di un radar che, di solito, è montato anteriormente al veicolo. Inoltre il controllo di velocità di alcuni sistemi incorora un limitatore di velocità, cioè una funzione che non ermetterà al veicolo di accelerare oltre un massimo re-settato che uò coincidere con il limite di velocità della articolare strada in cui ci si trova, informazione che uò essere carita da un sistema GPS aggiuntivo. Daniel Aaron Wisner inventò l Automotive Electronic Control Cruise nel 1968 come ingegnere er la RCA's Industrial and Automation Systems Division a Playmouth in Michigan. La sua invenzione venne descritta in due brevetti deositati quell'anno, il secondo dei quali modificò il suo rogetto originale inserendo una memoria digitale: è stato il rimo gadget elettronico a svolgere un ruolo imortante nel controllo di una macchina ed introdusse l industria automobilistica nell era del controllo con calcolatore. Due decenni iù tardi Motorola Inc. sviluò un circuito integrato, il MC14460 Auto Seed Control Processor realizzato in CMOS: in seguito il controllo di velocità è stato adottato da molte case automobilistiche come equiaggiamento standard. Il vantaggio del controllo di velocità elettronico risetto al suo redecessore meccanico, che era riservato ai modelli iù costosi e non aveva mai guadagnato una grande accoglienza, è che uò essere facilmente integrato con il sistema elettronico anti-incidente e con l unità di controllo motore. Tra i rinciali vantaggi del controllo di velocità vi è, sorattutto nei tragitti molto lunghi, il minor affaticamento del guidatore e in generale l aumentato comfort di guida, con la ossibilità di cambi di osizione iù sicuri, sorattutto su autostrade e strade a oca densità di traffico. Come risultato ositivo ulteriore abbiamo una riduzione del consumo di carburante. Tra gli svantaggi c è la ossibilità di rovocare incidenti, causati dalla ossibilità di un calo dell attenzione da arte del conducente, non dovendo egli mantenere una ressione costante sul edale dell acceleratore, con ossibilità di assoimento e conseguenze gravi. A tal roosito sono in fase di studio dei sistemi automatici atti a rilevare l assoimento del conducente ed a contrastarlo mediante avvisi acustici. Inoltre, se usato in condizioni di fondo stradale bagnato o ghiacciato uò ortare allo slittamento del veicolo (anche se il roblema uò essere evitato con un controllo elettronico di stabilità). Ancora, nel caso di un terreno con endenza variabile il controllo di velocità uò ortare ad un accelerazione inefficiente evitabile invece da una guida attenta da arte di un guidatore eserto senza l utilizzo del controllo automatico. 7

8 Caitolo 1 Modello lineare 1.1 Modello a ciclo aerto con Equazioni Differenziali Ordinarie Un rimo semlice modello da studiare attraverso la teoria dei sistemi e dei controlli automatici uò essere schematizzato come in Figura 1. Figura 1 All interno del blocco Comute la velocità misurata dai sensori in uscita al veicolo è confrontata con la velocità desiderata (velocità di riferimento). Basandosi sulla differenza tra la velocità attuale e quella desiderata (errore) l acceleratore (o il freno) vengono usati er modificare la forza alicata dal motore al veicolo. Il modello del sistema veicolo a se stante (senza l aggiunta del controllo) è mostrato in Figura 2. Figura 2 dove u = ingresso di controllo (forza alicata dal motore) 8

9 y = uscita (velocità del veicolo) δ = eventuale disturbo in ingresso al veicolo Il nostro obiettivo è quello di regolare (controllare) la velocità ad un valore di riferimento costante che indicheremo con y Descriviamo il modello del veicolo attraverso l equazione che sintetizza il secondo rinciio della dinamica, quindi attraverso il modello che utilizza le equazioni differenziali ordinarie (ODE= Ordinary differential equation): F = m a Dove F e la forza alicata al veicolo, ed m e a sono la massa e l accelerazione del veicolo stesso. F = myɺ Saiamo che F = u cy myɺ = u cy myɺ + cy = u y(0) = 0 Analizziamo il sistema controllato darima nel caso in cui non ci sia nessun disturbo in ingresso (δ = 0): Come già detto y è la velocità desiderata. Poniamo quindi u = ky dove k è un guadagno costante. Dalle equazioni recedenti abbiamo: myɺ + cy = ky er t y tende ad un valore costante ed il contributo in cui figura la derivata di y tende a 0 (derivata di costante). k y = y c Se scegliamo il guadagno k in modo tale che k = c si avrà rorio y = y Analizziamo ora il sistema nel caso iù comlesso in cui ci sia in ingresso un cero disturbo δ 0 myɺ + cy = u + δ u = ky k 1 y y = y + δ c c Figura 3 Passiamo ora alla sintesi del controllo in retroazione schematizzato di seguito in Figura 4: Figura 4 9

10 Sistema: myɺ + cy = u Controllo: u = k( y y) A ciclo chiuso avremo: myɺ + cy = k( y y) y(0) = 0 k t myɺ + cy = k( y y ) ( c + k) y = ky y = y k + c Scegliendo k sufficientemente grande ossiamo rendere l errore a regime ( t ) quanto iccolo vogliamo: k k c k 1 e = y y = y y = (1 ) y = y 0 k + c k + c c + k Nel caso in cui δ 0 myɺ + cy = k( y y) + δ t k δ myɺ + cy = k( y y ) + δ y = y + k + c k + c er k 1 y 1 y 0 δ y Osservando le seguenti equazioni: myɺ + cy = k( y y) myɺ + ( c + k) y = ky notiamo che variando k in effetti cambia la natura stessa della descrizione matematica del sistema. Possiamo quindi alterarne le rorietà transitorie. In articolare: ( c+ k ) t y( t) Ae + y Fino ad ora abbiamo tenuto conto er il sistema in questione un controllo roorzionale. L azione del guadagno k garantisce che er k l errore a regime tende a 0. Inoltre saiamo che all aumentare di k i oli del sistema diventano comlessi coniugati e quindi la sovraelongazione aumenta causando una comarsa di oscillazioni che recedono fenomeni di instabilità. Ora analizziamo l aggiunta di un azione integrale che garantisce, in resenza di un riferimento costante, un errore a regime nullo. L ingresso al sistema sarà: u = ke( t) + k e( τ ) dτ e conseguentemente y y Sistema: myɺ + cy = u I Controllo: u = k( y y) + k ( y y) dt A ciclo chiuso abbiamo: myɺ + cy = k( y y) + k ( y y) dt derivando entrambi i membri: my ɺɺ + cyɺ = k( yɺ yɺ ) + ki ( y y) Per t I I = 10

11 ki my ɺɺ + ( c + k) yɺ + ki y = ki y y = y = y ki Come notiamo l azione integrale rallenta il sistema introducendo un ulteriore dinamica ( yɺ ɺɺ y). Inoltre saiamo che con l aggiunta dell azione integrale aumenta la robabilità che il sistema a ciclo chiuso oscilli. 1.2 Modello a ciclo aerto con sazio di stato Lo stesso sistema uò essere raresentato nel dominio dello state sace (sazio di stato), aggiungendo aunto uno stato. Ad esemio oniamo uno stato x uguale alla velocità del veicolo: myɺ + cy = u c 1 xɺ = x + u x = y mxɺ + cx = u m m y = x er semlicità oniamo c a = m 1 xɺ = ax + bu b = m y = x E ancora una volta suoniamo di voler regolare la velocità a regime ad un valore esattamente ari alla velocità desiderata y. Poiché si vuole errore a regime nullo (y= y ) il controllore a retroazione deve ossedere un azione integrale: u = kx ki z z ɺ controllore = y y A ciclo chiuso si avrà: xɺ = ax + bu u = kx ki z Sistema Controllo y = x z ɺ = y y = x y Ciclo Chiuso xɺ = ax bkx bkiz xɺ a bk bki x 0 y z x y = + ɺ = zɺ 1 0 z 1 y = x y = x In questo caso il olinomio caratteristico del sistema è 2 2 q( s) = s tr( A) s + det( A) q( s) = s ( a bk) s + bki Dove a bk bk A I = 1 0 Scegliendo a bk < 0 e 11

12 bk I > 0 In base alla regola della ermanenza dei segni (le radici del olinomio caratteristico devono avere arte reale negativa), il sistema risulterà asintoticamente stabile. Quindi a regime zɺ = 0 y = y come desiderato. 1.3 Modello a ciclo aerto con funzione di trasferimento Il sistema a ciclo aerto del veicolo da controllare uò essere modellato anche attraverso la cosiddetta funzione di trasferimento. Questo ci ermetterà di sfruttare molte tecniche di sintesi del controllore quali quella relativa al luogo delle radici e la sintesi frequenziale di tio trial and error. Partendo dall equazione myɺ + cy = u Y ( s) Effettuiamo sua trasformata di Lalace ed isoliamo il termine che indicheremo con G(s) e che U ( s) raresenta rorio la funzione di trasferimento. Y ( s) 1 msy ( s) + cy ( s) = U ( s) Y ( s)( ms + c) = U ( s) = G( s) = U ( s) ms + c 1.4 Modello al calcolatore Possiamo utilizzare l ambiente di calcolo Matrix Laboratory, iù noto con l acronimo MATLAB, er simulare il sistema al calcolatore e er velocizzare le rocedure di sintesi di un controllore adatto, nel nostro caso un controllo di velocità che soddisfa certe secifiche desiderate. Possiamo utilizzare sia il modello dello sazio di stato che quello della funzione di trasferimento. Assumendo che: m = 1000kg c = 50Nsec/m u = 500N er lo sazio di stato abbiamo il seguente codice MATLAB m=1000; c=50; u=500; A=[-b/m]; B=[1/m]; C=[1]; D=0; veicolo=ss(a,b,c,d); mentre er il modello della funzione di trasferimento abbiamo: m=1000; c=50; 12

13 u=500; num=[1]; den=[m b]; veicolo=tf(num,den); Aggiungendo risettivamente ai due codici le righe ste(a,u*b,c,d); e ste (u*num,den); ossiamo ottenere la risosta al gradino del sistema a ciclo aerto. Eseguendo il codice in MATLAB otteniamo il grafico della risosta riortato in Figura 5: Figura 5 Dal grafico ci accorgiamo che il veicolo imiega iù di 100 secondi er raggiungere lo stato a regime di una velocità ari a 10 m/s. Da qui caiamo ad esemio se la secifica richiesta sul temo di assestamento è soddisfatta. Oltre alla secifica sul temo di assestamento otrebbero essere richieste altre secifiche. Ad esemio se suoniamo che il veicolo riceve dal motore una forza ari a 500 Newton (valore già utilizzato nell esemio MATLAB), l auto raggiungerà un massimo di velocità ari a 10 m/s. Ad esemio è richiesto che un auto ossa raggiungere tale velocità in meno di 5 secondi. Dal momento che il nostro controllore è un semlice modello di controllo di velocità, una sovraelongazione del 10% della velocità otrebbe essere accettabile. Allo stesso modo un 2% di errore a regime otrebbe essere accettabile. Quindi le nostre secifiche di rogetto otrebbero essere: Temo di assestamento < 5 sec Sovraelongazione < 10% errore a regime < 2% Quindi già dal grafico ci accorgiamo che la secifica sul temo di assestamento non è soddisfatta. 13

14 Bisogna quindi assare alla sintesi del controllore. Questo uò essere sintetizzato attraverso diverse tecniche. 1.5 Modello a ciclo chiuso con controllore PID (sintesi del controllore) Un rimo metodo è quello di usare il controllore PID e di tararne i guadagni (roorzionale, integrale e derivativo). Y ( s) 1 Partiamo dalla funzione di trasferimento del sistema a ciclo aerto: G( s) = = U ( s) ms + c Con i valori numerici m = 1000kg c = 50Nsec/m U(s) = 100 e Y(s) velocità in uscita. Il sistema retroazionato è schematizzato in Figura 6. Figura 6 Come già detto le secifiche di rogetto er il controllo di velocità sono: Temo di assestamento < 5 sec Sovraelongazione < 10% errore a regime < 2% Il controllore PID nel dominio di Lalace è raresentato dalla somma dei 3 seguenti contributi (Proorzionale, Integrale, Derivativo): ki k + + skd s Come rimo asso eliminiamo il contributo integrale e derivativo ed osserviamo il comortamento a ciclo chiuso con il controllore PID dotato del solo guadagno roorzionale. C( s) G( s) k In questo caso la funzione di trasferimento a ciclo chiuso è Gcc ( s) = = 1 + C( s) G( s) ms + c + k Come già accennato un guadagno roorzionale abbatte il temo di assestamento. Iniziamo col orre k = 50 e utilizziamo MATLAB er calcolare la risosta al gradino ancora una volta attraverso il codice: k=50; m=1000; c=50; u=10; num=[k]; den=[m c+k]; 14

15 %t=0:0.1:20; ste(u*num,den,t) ylabel('velocità(m/s)'); otteniamo: Figura 7 - k = 50 Provando ad aumentare il valore di k otteniamo i risultati mostrati in Figura 8 e 9: 15

16 Figura 8 - k = 100 Figura 9 - k =

17 Osserviamo che er k = 50 e k = 100 le secifiche sul temo di assestamento e sull errore a regime non sono soddisfatte. Per k = 1000 invece l errore a regime è quasi uguale a zero e il temo di assestamento è diminuito a meno di 0.5 secondi. Comunque sia la risosta è solo ideale oiché un controllo di velocità reale non uò cambiare la velocità del veicolo da 0 a 10 m/s in meno di 0.5 secondi. Quindi bisogna scegliere un guadagno roorzionale adatto che ci dia un temo di assestamento che sia aragonabile ad un caso reale, ad esemio k = 800. In aggiunta bisogna aggiungere un contributo integrale er eliminare, con un olo in zero, l errore a regime. La funzione di trasferimento a ciclo chiuso con l aggiunta del controllore integrale è C( s) G( s) k s + ki Gcc ( s) = = C( s) G( s) ms + ( c + k ) s + k I Poniamo come rova iniziale k I = 40 e quindi eseguiamo il codice MATLAB seguente: k = 800; ki = 40; m=1000; c=50; u=10; num=[k ki]; den=[m c+k ki]; ste(u*num,den,t) ottenendo la risosta riortata in Figura 10: Figura 10 - k = 800 e k = 40 I 17

18 È evidente che tutte le secifiche di rogetto sono soddisfatte, rendendo inutile l aggiunta del contributo derivativo. Da notare che abbiamo usato un tiico aroccio di rogetto quale quello del trial and error in quanto abbiamo modificando rietutamente i guadagni, tentando di arrivare al risultato serato e sbagliando intenzionalmente, rima di risolvere il roblema con dei valori adatti er i contributi del PID. 1.6 Modello a ciclo chiuso con luogo delle radici (sintesi del controllore) Un altro metodo er rogettare il controllo di velocità è quello di ricorrere al cosiddetto luogo delle radici. Il luogo delle radici è un grafico che ci mostra tutte le ossibili osizioni dei oli a ciclo chiuso del sistema al variare di un guadagno roorzionale. Consideriamo quindi la funzione di C( s) G( s) k trasferimento a ciclo chiuso Gcc ( s) = = 1 + C( s) G( s) ms + c + k Le secifiche di un roblema ossono essere tradotte sul luogo delle radici in termini di smorzamento e frequenza naturale, esresse risettivamente dalle seguenti disequazioni: 2 s% ln ζ s% 2 ln + π ωn t a che determinano una arte recisa del iano comlesso dove dovranno trovarsi i oli del sistema er soddisfare le secifiche. Dove s raresenta lo smorzamento ercentuale e % t a il temo di assestamento. Le nostre secifiche di rogetto sono ancora: Temo di assestamento < 5 sec Sovraelongazione < 10% errore a regime < 2% Dalle quali, sostituendo i valori numerici nelle disequazioni er lo smorzamento e la frequenza naturale, otteniamo che ζ 0.6 e ωn 0.36 Possiamo generare un luogo delle radici tramite il seguente codice: m = 1000; c = 50; u = 10; num=[1]; den=[m c]; rlocus(num,den) axis([ ]); sgrid(0.6, 0.36); 18

19 il luogo delle radici è mostrato in figura 11: Figura 11 Grazie all ambiente MATLAB ossiamo trovare facilmente il valore del guadagno associato ad ogni unto del luogo delle radici. Per soddisfare le secifiche richieste basterà scegliere un unto, e quindi il valore del guadagno ad esso associato, che si trovi alla sinistra della circonferenza tratteggiata e contemoraneamente all interno del settore angolare discriminato dalle rette tratteggiate in Figura 11. Attraverso questa rocedure le secifiche sul temo di assestamento e sulla sovraelongazione sono soddisfatte. Solo quella che riguarda l errore a regime non risulta tale. Per risolvere questo ulteriore roblema basterà sintetizzare un controllo aggiuntivo, quale ad esemio quello di una rete lag. 19

20 Bibliografia [1] Karl Johan Åström, Richard M. Murray [2011] Feedback Systems [2] Wikiedia the free encycloedia (htt://en.wikiedia.org/wiki/cruise_control) [3] Wikiedia the free encycloedia (htt://en.wikiedia.org/wiki/centrifugal_governor) 20