6. La distribuzione F e l analisi della varianza

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1 6. L drbuzoe F e l l dell vrz 6.. L drbuzoe F 6... U defzoe dell c F Per defre l c F occorre rorre l coceo d drbuzoe cmpor preeo el Cp. 3. Codermo u popolzoe ormlmee drbu co prmer e. Scelmo due umer er e. Ermo or due cmpo dpede d dmeoe e (uccevmee, e co remmoe dopo l formzoe del prmo), e clcolmo le corrpode vrze e. A cu dell dpedez de due cmpo dce che le due me e dell vrz prmerc oo dpede. D quee due vrze clcolmo l rpporo: F (6.) Trdo d due me d u medem vrz è roevole pere che queo rpporo vco d. Dopo ver rerodoo l eleme er ell popolzoe, procedmo ll erzoe d due uov cmpo, empre d dmeoe e, e clcolmoe cor le vrze e. Acor u vol clcolmo l rpporo F delle due vrze. Rpemo cor defmee que operzoe. Oerremo per que v u drbuzoe d vlor dell c F. L equzoe d que drbuzoe è o ed è ll be d ue le ecche che che preeeremo queo cpolo. Prm d prlre d que drbuzoe è uv mpore fre u pccol eerlzzzoe dell defzoe d opr. S è f qu prlo d u popolzoe ormlmee drbu co prmer e ; relà que codzoe è u po pù rerv del ecero: relà l cmpomeo può vvere che d due dffere popolzo, empre drbue ormlmee, co mede e dffere m co l e vrz. L codzoe d omoeeà delle vrze è o col erme d omochedcà. I e, l c F è l rpporo d due me dpede dell comue vrz d due popolzo ormlmee drbue e omochedche. Sulle re uzo d dpedez, ormlà e omochedcà dovremo orre dcuere luo 7. 5., perché dfeo d u o pù d ee ue le ecche che decrveremo perdoo (o rcho d perdere) l loro vlore L drbuzoe dell c F L c F è clcol ull be d due vrze cmpore e ; corrpode cmpo ho ell eerlà de c dmeoe e dffere; qud rd d lberà delle due vrze, def dll (3.), oo eere due umer e dffere. Que due umer deermo l equzoe dell drbuzoe F, che duque, come l drbuzoe, o h u ol curv d drbuzoe m fe. Az, el co dell drbuzoe vevmo olo u umero d eprmere rd d lberà dell c, mere queo co bbmo rd d lberà del umerore che rd d lberà del deomore. L equzoe dell curv d drbuzoe dell c F è cor pù complc d quell del ; che queo co e dmo u veroe emplfc, l olo copo d reder coo dell dpedez d vlor d e : ( ) F f 0 (6.) ( ) F dove 0 rppree u coe che dpede ch e d e. Come per l drbuzoe rd d lberà dell c F oo po pedce fr pree qudre: [, ]. Il prmo umero rppree per covezoe rd d lberà dell vrz umerore mere l ecodo rd d lberà dell vrz deomore. F. 6. rppree dvere curve d drbuzoe dell vrble F : F [,], F [,], F [,3], F [,4] e F [,5]. Come vede bee dll fur, dfferez dell drbuzoe ormle e dell drbuzoe del, l curv d drbuzoe dell c F è mmerc: ell u form pù pc pree u obb po mmercmee r. A der pree u dmeo oco ( bb defmee ull e delle ce) mere der o. Queo o è ro e pe che l c F è u rpporo d due vrze, e qud è comuque u quà pov: o eoo vlor ev dell c F. F

2 F. 6. Come per ue le curve d drbuzoe le ree oo l curv d drbuzoe dell c F rppreeo delle probblà; precmee: l re oo l curv d drbuzoe compre fr due vlor e b rppree l probblà d oeere cmpodo co u popolzoe (o due popolzo omochedche) u vlore d F compreo fr e b Le vole dell drbuzoe F u cod Ache per l c F l Appedce force l opporu vol de vlor crc. Eedo pù frequee l uo d e u cod (per mov chr ) è pù comodo vere bul vlor crc ppuo d u cod. Il fo d vere due umer e per rd d lberà dell c, mpoe d orzzre vlor crc d F rhe e coloe. Le coloe oo ee co dffere vlor de rd d lberà del umerore. Le rhe oo vece ee co l vlore de rd d lberà del deomore. O colo è dopp, per rccolere vlor crc corrpode rd d lberà e lvello 0.05 e 0.0. No oo rpor vlor crc lvello I vlor crc oo quell che delmo c l cod d der co re pr l lvello d fcvà celo. F. 6. F. 6. uerà compredere come fuzo l Tvol 4. S r dell curv d drbuzoe F co 6 e 8 rd d lberà. Il lvello d fcvà celo è 0.05, corrpodee d u re oo l cod d der pr l 5% dell re ole, che come ue le curve d drbuzoe vle. Il vlore crco che delm que cod crve F 0.05[6,8], e vle.44. Queo vlore rov colo 6, r 8, prm oocolo, corrpodee d =0.05. Alomee F 0.0[,40] vle 7.3, ed equvle l vlore d c che delm l cod d der co re 0.0 (% dell re ole). Ache per l c F vloo le covezo mbolche per l fcvà fe per l c : oo rppreee vvmee F. 6.3 (cor co l drbuzoe 6 e 8 rd d lberà). F. 6.3

3 Ache l mbolmo per l fcvà dell c F è coforme quo blo eerle Rmoo due problem per. Come comporr el co d vlor d e mc ull Tvol 4? Dcmo che per quo rurd l Tvol 4 rpor u vlor d fo 6; queo fc, come vedremo formul (6.7), eere coper per che che rurdo fo 7 rupp dver d d r coemporemee; ce è bbodz per quluque permezoe colc. M, e propro o dovee bre, c può comporre lomee quo uero ppreo per vlor mc d : e l clcolo è fo l compuer co ppoo ofre l problem o poe; u clcolo mule occorrerebbe u procedur deom erpolzoe rmoc che clcol modo ppromo l vlore d mce ull be de due vlor pree ull vol ubo opr e ubo oo l vlore mce. C è uv u modo pù brvo, che e o empre oddfcee: quello d rferr l vlore d preee ull vol mmedmee precedee quello mce. Se F rulerà fcv rpeo quel vlore crco lo rà mor roe rpeo l vlore mce coo (che è ferore); lomee, e F rulerà o fcv rpeo l vlore crco mmedmee uccevo quello mce, mor roe rà o fcv rpeo l vlore mce coo (che è uperore). Que emplce ecc d ure vlor pù vc dpobl ull vol è rfer come uo d vlor crc coervv. U ulmo problem. Come comporr el co (o frequee) d e due code? Queo è l eo roveco del problem decro l erme d : là vevmo l problem d vere vole due code per e u cod, mere qu bbmo vole u cod per u e due. L oluzoe è l eo roveco d quell uer : per vlor crc lvello 0.05, 0.0 e 0.00 u e due code occorre dmezzre, cercdo rpevmee vlor crc lvello 0.05, e delle vole due code. Queo le eorc; d fo purroppo l Tvol 4 o rpor vlor crc lvell 0.05, e I prc duque o ulzzeremo, qudo rà ecero, l ecc de vlor crc coervv. 6.. Te per l omoeeà d due vrze 6... Iqudrmeo del problem Comcmo co u eempo. U ruppo d doce d u deerm dcpl ffro l problem dell omoeeà delle vluzo cre. S uppoe che l rcoro d u rl d vluzoe comue po mlorre l omoeeà delle vluzo. Per verfcre l poe permelmee u elboro vee correo modo dpedee d u doce, ccuo ecodo u propr rl d vluzoe. Il pueo rezzo eo d ccu docee vee rero. Dopo u dcuoe elbor u rl d vluzoe comue, ed u uovo elboro vee correo cor modo dpedee d u doce, m que vol ecodo l rl comue. E euo pere che b u rl comue per rrvre d u perfeo llemeo delle vluzo; uv porebbe eere u po v. Ache uov pue rezz veoo rer e cofro co prm. Co ere cofrore? No cero le mede de due rupp d vluzo: l dfferez d mede cerfcherebbe eveulmee u dfferee lvello d deuezz l obev d pre de due elbor core; queo co o c ere pere qule de due ude è o pù brvo. Smo vece ere l rdo d omoeeà delle vluzo epree erm d pueo rezzo. Il rdo d omoeeà de pue d uo eo ruppo mur co u dce d dperoe, coè co l vrz (o co l devzoe drd). Cò che dovremo ooporre e è duque u dfferez d vrze, e o u dfferez d mede. Trdo d due vrze vee poeo rcorrere ll c F Il e F mx Prldo eerle l e F mx oopoe e l dfferez fr due vrze. Il e preuppoe come u e b ull c F che le due popolzo d cu oo r cmpo o ormlmee drbue. L poe ull H 0 è quell d omoeeà delle vrze prmerche:. oppure bbmo u e due code oppure d u A ecod che l poe lerv H cod. Nelle lee eerl l e coe el clcolre l vlore d F ecodo l (6.), e verfcre e l vlore oeuo è fcvo oppure o l lvello precelo; come vede è emplcmo, m occorre u preczoe: è del uo rbrro celere fr le due vrze dpobl qule meere umerore e qule deomore; uv occorre rcordre che l Tvol 4 rferce lle code d der dell drbuzoe, corrpode vlor d F mor d ; e o poemo umerore l vrz pù pccol, oerremmo u vlore d F more d e qud cdremmo ell cod d r dell drbuzoe per l qule o dpomo de vlor crc; per queo movo è ecero porre umerore dell (6.) empre l vrz pù rde, modo d cdere eveulmee oo l cod d der dell drbuzoe. Queo pe l ome eo l e. S o che co le che z e queo problem o uev, cu dell mmer delle loro drbuzo. Ivece, come bbmo à pù vole oo, l drbuzoe F è mmerc.

4 I del d clcolo oo vlupp el Box 6.. che eemplfc l problem propeo 6... I clcol oo emplc e ler. ; cò mplc forumee l uo d u e d u cod. Il movo dell L poe lerv cel è H : cel el fo che bbmo u roevole movo d credere che l vrblà delle vozo co u rl comue rdo rpeo quell delle vluzo co rle dffere; qud dodo l rl comue c pemo u vrz o emplcemee dfferee, m pù precmee more. S oerv u ecodo peo eree. Come vede d d del Box 6., due elbor eprmoo prezo bbz dffere: l prm è curmee peore dell ecod; uv l e o ee coderzoe que crcoz, m olo delle dffere vrblà delle vozo Iroduzoe ll l dell vrz o ANOVA U uovo pprocco ll vluzoe dell dfferez fr rupp Il e per l cofroo fr due rupp dpede preeo couce u buo puo d prez. I eo rv d vlure e due rupp d d cofro proveoo d popolzo che co l e med prmerc oppure o. I queo cpolo l problem è eerlzzo d u umero mpreco d rupp, qud o ecermee olo due. Il rfermeo ll Pre meodoloc è qud l 4... e l 4... Nel e l clcolo pu dremee d u cofroo delle due mede cmpore, come evdez mmedmee l dfferez umerore dell (5.0). Il uovo pprocco è dreo m pù ole. Ecco l romeo rdoo ll eezle. Abbmo dver rupp d d, per fre le dee l umero de rupp; per emplfcre lmeo zlmee le coe uppomo che u l rupp bbo eleme; volmo pere e le loro mede prmerche oo fcvmee dffere u dll lr. I lre prole c ere pere e dffere rupp proveoo d popolzo co mede prmerche dffere oppure o. S pozz che l rupp d d cofroo proveo u d u e popolzoe c ormlmee drbu d med e vrz (poe ull H 0 ). Que poe mplc che le mede prmerche d ccu ruppo o uul, coè che o v o dffereze fcve fr le mede. Dell vrz dell popolzoe uc pozz clcolo, ull be de d coeu el rupp, due me dpede, be u due meod dffere. L prm m: clcolmo l vrz cmpor ll ero d ccuo del rupp. Delle vrze coì oeue clcolmo l med. Duque, e, l prm m d è l med delle vrze cmpore ll ero d o olo ruppo. Que m è chm vrz ll ero de rupp e dc col mbolo (dll lee h, ll ero) I formul: ( rcord che bbmo doo l poe emplfcor che u l rupp bbo eleme; el co eerle che rupp bbo u dfferee umero d eleme l (6.3) v modfc, per dre u peo more lle vrze be u pù eleme). L ecod m: prmo dll relzoe (3.) che eprme l errore drd dell med; elevdo qudro oemo: d cu oldo oemo: Que relzoe dc l rd per rrvre ll ecod m: e c dce che l vrz dell popolzoe è d dll vrz delle mede cmpore molplc per. Souedo l vlore prmerco co l u m cmpor dchmo col mbolo oemo l ecod m dell vrz ; I formul: (6.3) (6.4) ; l chmmo vrz fr rupp e l ( rcord che che l (6.4) è vld olo el co che u rupp bbo eleme, e v ou el co eerle). Rumedo, bbmo e, due me dell vrz e vrz. Eedo me d uo eo prmero loro vlor dovrebbero eere bbz ml e qud l rpporo

5 F (6.5) dovrebbe eere bbz promo d. Prm d procedere occorre u preczoe propoo dell (6.5). Il rpporo fr le due vrze è o corremee chmo co F, quo r effevmee d due me dpede dell vrz comue ( rcord che l c F è ppuo def cocluoe del 6... come rpporo d due vrze dpede). L dpedez delle due me drebbe relà pe; qu c ccoeeremo uvmee del fo che le due procedure d m euoo loche dffere Come vr F Tormo l rpporo (6.5). Per cpre come vr l vlore d F ecod delle crcoze, Tb. 6. rpormo re eemp b u re rupp (qud = 3)., che vulzzmo rfcmee (rvero l ecc llur el Box., Pre c) e d cu clcolmo prllelo l c F ecodo l (6.5). Il prmo eempo (colo d r) h re mede uul 0 e vrze rpevmee uul, e 3; el ecodo ( colo cerle) re rupp ho le ee vrze dell eempo d r, m mede dffere (8, 0 e ); l erzo eempo (colo der ) h le ee mede del ecodo, m vrze mor (4, 5 e 6). I u rupp = 5. D rfc vedmo ubo: ell colo r l uulz delle re mede, e l loro duulz e rme due c; m che: l e vrblà e prm due eemp e u more vrblà el erzo (rffe pù pere). D u cofroo uvo fr l ulm due rfc omo che ell ulmo l dfferez fr le mede pre m rpeo ll lro d u more vrblà de d: coè embr che lo cco eo fr re rupp vble el rfco cerle ve qulche modo rorbo, quello der, dlle rffe pù pere. Gr. Gr. Gr. 3 Gr. Gr. Gr. 3 Gr. Gr. Gr F F Tb F E vemo d lzzre clcol che cocludoo Tb. 6.. L vrz delle mede (ecer per l clcolo d ) è rcv rvero l (3.7) zché rvero l coue equvlee compuzole (3.9), quo bbmo umer er che o dro problem d rroodmeo, ed l clcolo è pù pedo; duque: L med delle mede ecer el clcolo d (6.6) è cr ell prm r.

6 Cofromo clcol relv prm due eemp: le vrze (, e 3) oo le ee e due eemp e qud l vrz ll ero de rupp h lo eo vlore. Ivece l vrz fr rupp è ull el prmo co (f le re mede oo uul, qud ho vrz ull) e puoo elev el ecodo (dove f le mede dverfco). Cò coduce dffere vlor d F: el prmo co F = 0, el ecodo F = 0. Qud bbmo chro che prà d vrz ll ero de rupp F crece l crecere dell dfferez fr le mede. M co erve emee l vrz ll ero de rupp che deomore? Cò è peo dl cofroo fr l ulm due eemp (quell ell colo cerle e der): le mede de re rupp e due eemp oo le ee (8, 0 e ) e qud erm olu l dfferez fr d ee ell eempo cerle ed quello ull der è l e. Eppure, è deo opr, e relzomo dcch fr le mede lle relve vrze dobbmo cocludere che ell eempo cerle l dcco fr re rupp ppre pù eo. Ebbee, propro que eceà d relzore l vrblà delle mede ll vrblà er rupp uerce d rpporre l vrz fr rupp umerore co l vrz ll ero de rupp deomore. If, e flmee cofromo vlor d F el ecodo e el erzo eempo omo che quello cerle F = 0 mere quello der F = 4. I e, quell che er l ezoe oev derv dll l de re rfc è coferm dl clcolo de re vlor d F: 0 el co cu l dfferez fr le mede è ull, 0 qudo lo cco fr re rupp è mmo, 4 el co cu le cco è mo d u more vrblà ll ero de rupp I rd d lberà e l fcvà d F Re d chrre come vlure l fcvà dell c F or def. Per queo occorre urlmee rcorrere ll Tvol 4 modo del uo loo quo mo bu fre co l Tvol 3 dell c e l Tvol dell c z. Tuv per fre queo bbmo boo d pere qul oo rd d lberà dell c F def ell (6.5): è quo c ccmo chrre. Per quo rurd l vrz fr rupp l dcoro è preo fo: e è clcol molplcdo per l vrz delle mede che h (6.7) rd d lberà, come è fcle vedere dll (6.6); que oo duque rd d lberà dell vrz umerore. Per rd d lberà del deomore, l dcoro è cor u vol uvo: r d u med d vrze cmpore, ccu delle qul h rd d lberà; qud rd d lberà ol dell vrz deomore oo rpeu vole: ( ) (6.8) (cor u vol pre ezoe l fo che che l (6.8) è vld olo el co che u rupp bbo eleme, e v ou el co eerle, corrmee ll (6.7) che mee l u vldà che el co eerle). Or bbmo u ulmo puo d dcuere: r d u e u cod o due? Formulmo l poe ull e l poe lerv: H 0 : I rupp oo r d popolzo ve ue l re med prmerc ; H : I rupp oo r d popolzo d cu lmeo due ho med prmerc dver fr loro. Sul corvo lmeo due oreremo chuur d prrfo. Per or dobbmo rfleere ul umero d code del e. Il fo che H rched che lmeo u med dver dlle lre e o more porebbe durc d opre per le due code, m le coe o o queo modo: rcord che l c F è empre pov, e co l eemp Tb. 6. bbmo moro chrmee che u quluque dfferez d mede (ez pecfcre l vero delle dffereze) lz empre l vlore d F: l preez d eveul dffereze fr le mede po duque empre vero l cod d der l vlore d F. Per queo movo l e che mo preedo è d u ol cod. Or bbmo u l eleme per decdere dell fcvà d F: e oo o; l e è d u cod; l Tvol 4 è d u cod; qud: dopo ver clcolo l c F cerchmo ull Tvol 4 l vlore crco l lvello d fcvà dedero; F, ] uccevmee, e F F, ] llor è fcvo lvello e rfumo l poe ull H, lrme 0 [ [ o. Smo debo d u ulm pezoe, propoo delle prole corvo lmeo due ell formulzoe d H rpor opr. L poe lerv deve eere u ezoe dell poe ull; or, l ezoe dell propozoe ue le mede prmerche oo uul o è l propozoe ue le mede prmerche oo dvere, m pù emplcemee

7 lmeo due d ee oo dvere fr loro. Fo qu oo coderzo d pur loc. M qule è l coeuez prc d uo cò? E que: e F è fcvo bbmo dmoro che lmeo due rupp oo dffere fr loro, m qul o, e e oo olo due, o è pecfco. Per perlo occorroo de uppleme d de (ved 7... e 7...) L l dell vrz o ANOVA olo crero d clfczoe: co prcolre per rupp d uule dmeoe Il e che bbmo fo d decrvere è l prmo e l pù emplce d u ere rcol e rcchm d ecche che prede l ome d l dell vrz o ANOVA (cromo looe d ANly Of VArce). Pù precmee r d u ANOVA olo crero d clfczoe, ed cor pù precmee bbmo ro l co prcolre cu rupp ho u l e dmeoe. Lo copo del preee prrfo è d ezzre l procedur memc procudol d u comme e le pezo. Il problem è quello d ooporre e l dfferez fr due o pù rupp d d. Prelmrmee, per ccu ruppo clcolo med e vrz. Dopo ver formulo le due poe H 0 e H oppozoe coformemee quo fo procede l clcolo d ecodo l (6.4) e d ecodo l (6.3); clcol qud F ecodo l (6.5) e dopo vere dvduo rd d lberà co l (6.7) e l (6.8) deerm l u fcvà cofrodo co l opporu vlor crc dell Tvol 4. L poe ull vee re o meu coeuez ll fcvà o meo dell c F. Rcordmo cor u vol che buo pre delle formule dce vle olo lmmee l co d rupp co uule dmeoe, e dro modfce el co eerle. L procedur comple è llur el Box 6..: el coro d u permezoe rul ru dl ruppo d corollo C oo cofro co re rupp permel S, S e S 3. S o che l vrz o è clcol co l (6.6) per evre l propzoe d error d rroodmeo; è vece ulzz l equvlee compuzole (3.9). S o lreì che l Tvol 4 o rpor l vlore 5 ; ummo per F l vlore coervvo corrpodee 40, ecodo l ecc de vlor crc coervv decr L ANOVA evdez l eez d lmeo due rupp fcvmee dffere fr loro. M, per pere qul o ed erprere corremee l eo del e occorre u upplemeo d de (ved 7... e 7...) L ddvà delle omme de qudr e de rd d lberà E or ule rchmre ll memor l mbolmo rodoo , e precmee l covezoe y dove y vee chmo cro emo dell vr em rpeo ll med, eme ll covezoe dove l mbolo lee omm de qudr (oededo del cr). E ule olre rchmre ll memor l formul (.8) compuzolmee pù effcee per l clcolo d, d e che orm ulzzmo bulmee. Que rchm permeoo d rcrvere l coue formul per u vrz cmpor ell form y (6.9) y E dce che o vrz può eere epre oo form d rpporo fr l omm de qudr e corrpode rd d lberà. I u l dell vrz o clcolmo l rpporo fr le due vrze e. Ache quee vrze pooo eere epree co u rpporo del po (6.9). Co u emplce eeoe del mbolmo pomo crvere:

8 (6.0) Or mo ere clcolre dremee e per meere luce u mporm propreà. Dlle precede (6.0) rcvmo rvero u emplce po le eue (6.) che ulzzmo per l clcolo d e relvmee d del Box 6.. Oemo: Or, empre co d del Box 6., vluppmo u uovo clcolo: codermo u uco ruppo, couo dll ufczoe d u l eleme d u e quro rupp. Abbmo qud u uper ruppo d eleme. D queo uper ruppo clcolmo l vrz, che per ovv mov dcheremo col ome d vrz ole, e dcheremo rcorredo l mbolmo (6.) Per rd d lberà dell vrz ole bbmo l emplce clcolo Per l clcolo d rcorrmo ll formul compuzole (.8). Per eprmere co u mbolo corre l omm delle vre d u rupp crvmo, d dcre che prm opermo u omm ee d erm ll ero d ccu ruppo, e uccevmee ommmo l ol d ruppo u uco ole eerle. Aloo fco h l crur. Duque, ordo ll omm de qudr bbmo: e qud: 48 ( è l umero ole d eleme de quro rupp) e Adeo mo flmee rdo d evdezre u mporm propreà dell l dell vrz. S o che: che, lvo u pccolo errore dovuo d rroodme el clcolo, è uule. Duque: (6.3) I modo cor pù emplce è mmedo verfcre che: (6.4) L propreà dell l dell vrz epre dlle (9.3) e (9.4) prede l ome d ddvà dell omm de qudr e d ddvà de rd d lberà. I eerle può dmorre l vldà d que propreà, che qu bbmo emplcemee verfco rvero u eempo.

9 Nell ddvà dell ANOVA rede l fco pù profodo del e e l u elez memc. I prc l ANOVA urd d co u voe complev, e compoe l vrz ole de d due compoe: quell dovu ll vrzoe ll ero de rupp e quell dovu ll vrzoe fr rupp. Que ffermzoe c rcolle quello che bbmo vo co re eemp d Tb S fcc però ezoe d u co mpore: l compozoe dell vrz ole elle due compoe fr rupp e ll ero de rupp o è u compozoe ddv: l ddvà ue fr le omme de qudr e fr rd d lberà, m o fr le vrze; l vrz ole o è l omm delle vrze fr rupp e ll ero de rupp. L compozoe dell vrz fr d c rcolle dremee quello che bbmo vo co re eemp d Tb L vol ruv d u ANOVA olo crero d clfczoe Le coderzo vole ducoo rumere clcol d u ANOVA u bell drd che rpormo d euo eemplfcdo co l eempo del Box 6.. Fo d vrzoe F Fr rupp * All ero de rupp Tole Vlore crco coervvo: F 0.05[3, 40] 3. 3 Tb. 6. Nell vol ruv può ure u covezoe che è ule coocere, perché rcorre frequeemee leerur e el ofre co: le vrze veoo peo chme qudr med ed dce col mbolo (dll lee Me Squre) perché oo ppuo u or d med de qudr del cr. Come o l bell evdez l compozoe delle fo d vrzoe; corremee, ll r dell vrzoe ole o è rporo l vlore dell corrpodee vrz, quo come è deo o v è ddvà fr le vrze. Il vlore d F è rporo col compeee mbolmo rurdo l u fcvà. Compleo l vol vlor crc d cofroo per l c F. Queo modo d rumere rul dell ANOVA è vldo che el co eerle che mo per ffrore ANOVA olo crero d clfczoe: co eerle Geerlzzzoe delle procedure d clcolo L procedur d clcolo decr e prrf precede h vldà olo el co cu u l rupp cofroo ho emee eleme. Or c occuperemo del co eerle cu o ruppo h u dfferee umero d eleme:,, 3,. I propoo può dmorre l euee formul d clcolo per : (6.5) A queo puo l de è emplcm: clcolmo l modo coueo e clcolmo ecodo l (6.5); po, be ll (6.3) clcolmo per dfferez. Co l opporu vlor per rd d lberà delle due vrze oemo mmedmee l vrz fr rupp, l vrz ll ero de rupp, e fe l rpporo F. E melo dre eplcmee, che e coo, che l procedur eerlzz or dele d che l co prcolre à ro d rupp co l e dmeoe (e por urlmee llo eo rulo) P compuzol Seuedo u collud ed effcce pr de e d c per o memc (ved R. R. Sokl e F. J. Rohlf, 98), dchmo qu u ere d p compuzol elemer che pezzeo l clcolo decro Il Box 6. 3 mor l pplczoe prc dell procedur decr.. (ole eerle, coè omm d ue le vre ). (omm de qudr d ue le vre )

10 3. 4. (omm d ue le omme d ruppo eleve qudro e dve per l propr dmeoe) (qudro del ole eerle dell quà dvo per l umero ole d eleme) Sull be d quee quro quà clcolo po le omme de qudr: quà quà 4 quà 3 quà 4 I prcolre o che l dfferez (quà quà 4) corrpode ll uule formul compuzole per l clcolo d u qul, mere l dfferez (quà 3 quà 4) equvle l clcolo dell (6.6). Come preco chuur d , è clcolo per dfferez. Per rd d lberà delle due vrze bbmo: Qud, per le due vrze fr rupp e ll ero de rupp: F L procedur comple è pplc el Box 6.3. Nel Colleo de Doce d u uo colco poe u problem: fr uov cr prm cle rlevo eme lquo dfferez crc l lvello d ffezoe colc; prcolre è eo l problem delle eze dlle lezo. S pozz che dffere eme rurdo o relzoe ll uo colco d proveez. Fr le dvere cuole che coucoo l bco d uez dell uo veoo cele quelle che reoo pù rppreeve u eo o ell lro. I d relv lle eze u medemo e be defo perodo colco veoo rccole per o udee d o cuol oopo d oervzoe. I d rccol veoo rrupp per cuol e oopo d l dell vrz. Que mor l eez d u dfferez fcv fr l ude provee d lmeo due cuole dvere. Acor u vol, per pere qul o occorre u upplemeo d de (ved 7... e 7...) Il co prcolre co due rupp: ANOVA e e per rupp dpede Per cocludere ccemo l eo che ue fr l ANOVA e l e per rupp dpede. I , roducedo l dcoro ull l dell vrz, bbmo deo che r d u ecc per rolvere l problem dell dfferez fr rupp el co cu rupp o pù d due. Nurlmee che el co d due rupp è poble ulzzre l l dell vrz, m queo co l e è pù comodo, pece e clcol oo d fre mulmee. Sebbee due e embro profodmee dffere, relà l e o è lro che u co prcolre dell ANOVA: f può dmorre che co due rupp l vlore dell c F ell ANOVA eul l qudro dell c del e per rupp dpede. I mbol l relzoe che le le che ed F è: [ ] F[, ] (6.6) S o che (6.6) F h u rdo d lberà l umerore, l che ppuo verfc qudo rupp oo due. L relzoe (6.6) può eere fclmee verfc che rvero le vole de vlor crc delle due che. A olo d eempo:

11 0.05[0] F 0.05[,0] L equvlez fr l e e l ANOVA el co d due rupp è verfco ell eempo del Box 6.4, Pre b Due formule d clcolo ul I eere e reoco delle permezo oo rpore olo le vole ruve de e c; ee mco d rezz, che vece oo ezz form à re, rvero l umero d eleme, l med e l devzoe drd (o l vrz ) d o ruppo. Per l leore può eere ule (o per rprov perole, o per u eveule upplemeo d de c, o per elborre cofro co d loh d lr uor o propr) rlre o o d rezz (co mpoble) m lmeo lle due mpor quà e vo, oo l puo d prez per o elborzoe c. I propoo bbmo due formule. L prm derv blmee dll defzoe d med: (6.7) L ecod derv dll formul (3.9) per : (6.8), che, come bbmo U eempo pe l emplce ulzzo delle due formule el Box 6.4 Pre, cu predo d d re relv due rupp vee elboro l ANOVA.

12 Box 6.. Te F mx per l dfferez fr due vrze Pue rezz e d dver e co rle d vluzoe dffere d u prmo elboro; pue rezz e dl e e co rl d vluzoe comue d u ecodo elboro. X Pue co rle dffere (prmo elboro) H 0 : Pue co l e rl (ecodo elboro) H : (e d u cod) 6 5 Clcolo le due vrze: X X X X X Poo umerore l vrz more fr le due: F X * Dll Tvol 4 oeo vlor crc: F 0.05[5,5] 5.05 F 0.0[5,5] Cocluo: l vlore d F è fcvo lvello 0.05; rfuo l poe ull: l dozoe d u rl comue h rdoo l vrblà delle vluzo. Rf.: 6...

13 Box 6.. ANOVA olo crero d clfczoe; rupp d uule dmeoe Pue rezz relv d u prov oev ommr d u ruppo d corollo C e re rupp permel S, S e S 3. C S S S = 4 = 4 H 0 : I rupp oo r d popolzo ve ue l re med prmerc ; H : I rupp oo r d popolzo d cu lmeo due ho med prmerc dver fr loro F * L Tvol 4 o rpor l vlore 5 F 0.05[3,40] ; ummo per F l vlore coervvo corrpodee 40 : Cocluo: F è fcvo lvello Repo l poe ull H 0 : lmeo due de quro rupp ho rporo pue co fcve dffereze fr loro. Rf.:

14 Box 6.3. ANOVA olo crero d clfczoe; co eerle Gor d ez dlle lezo d lu del prmo o d u uo colco, dv per cuol d proveez. Scuol A Scuol B Scuol C Scuol D Scuol E H 0 : I rupp oo r d popolzo ve ue l re med prmerc ; H : I rupp oo r d popolzo d cu lmeo due ho med prmerc dver fr loro quà quà quà 3 quà

15 F * Tvol ruv dell ANOVA: Fo d vrzoe F Fr rupp * All ero de rupp Tole Vlor crc coervv: F 0.05[4, 30]. 69 ; F 0.0[4, 40] Cocluo: F è fcvo lvello Repo l poe ull H 0 ; le eze dverfco ecodo le cuole d proveez, lmeo per due d quee. Rf.:

16 Box 6.4. ANOVA prre d, e ; equvlez co l e D relv pue d u prov oev d due rupp: Gruppo Gruppo Pre Per l prmo ruppo: Alomee, per l ecodo ruppo bbmo: H 0 : I rupp oo r d popolzo ve ue l re med prmerc ; H : I rupp oo r d popolzo co med prmerc dver fr loro quà quà quà 3 quà F *

17 Tvol ruv dell ANOVA: Fo d vrzoe F Fr rupp * All ero de rupp Tole Vlor crc coervv: F 0.05[,8] 4. 4 ; F 0.0[,8] 8. 8 Cocluo: F è fcvo lvello Repo l poe ull H 0 ; pue de due rupp oo fcvmee dffere. Pre b Equvlez del e per rupp dpede * F Cò verfc l relzoe (6.6) Rf.: Pre : e ; Pre b: e