A mechanical model for FRP-strengthened beams in bending. Un modello meccanico per travi inflesse rinforzate con FRP

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1 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 A mechanical moel for FRP-strengthene beams in bening Un moello meccanico per travi inflesse rinforzate con FRP S Bennati, N Darano, P S Valvo Dipartimento i Ingegneria Civile Strttre, Università i Pisa, Largo Lcio Lazzarino, 5616 Pisa ABSTRACT FRP materials are crrently se to repair an strengthen existing civil engineering constrctions by boning sitably ispose FRP laminae to the external srface of the strctral elements to be reinforce The sccess of sch interventions, however, is threatene by elamination an ecohesion phenomena In particlar, for concrete strctres, elamination an ecohesion phenomena can occr at ifferent levels, involving the FRP laminae, the ahesive or the sperficial layers of the concrete itself In this paper we analyse the problem of a beam strengthene by an FRP strip bone to its intraos an sbjecte to applie bening coples at its en sections In the propose mechanical moel the beam an reinforcement strip are moelle accoring to classical beam theory, while the ahesive an its neighboring layers are moelle as an interface having a tri-linear constittive law (elastic-softening-rptre) The moel is escribe by a set of ifferential eqations, enowe with appropriate bonary conitions An analytical soltion to the problem is etermine, incling explicit expressions for the main qantities of interest (internal forces, isplacements, etc) Base on the evelope moel, the reinforce beam exhibits an overall nonlinear mechanical response, ranging over several stages: from linear elastic behavior to amage, ntil the complete eboning of the FRP reinforcement SOMMARIO I materiali FRP sono impiegati ormai correntemente per interventi i consoliamento e rinforzo i costrzioni civili esistenti, nei qali lamine i FRP, opportnamente isposte, vengono incollate slla sperficie esterna egli elementi strttrali a rinforzare Il sccesso i tali interventi pò essere tttavia compromesso a fenomeni i elaminazione e istacco che, nel caso specifico elle strttre i calcestrzzo, pò manifestarsi a iversi livelli, coinvolgeno le lamine i FRP, l aesivo e/o gli strati sperficiali el calcestrzzo Nel presente lavoro affrontiamo il problema i na trave rinforzata con na striscia i FRP incollata all intraosso, soggetta a coppie concentrate applicate alle se estremità Nel moello meccanico proposto la trave e la striscia i rinforzo sono moellate secono la teoria elle travi classica, mentre l aesivo e gli strati aiacenti sono moellati come n interfaccia avente na legge costittiva i tipo tri-lineare (elastico-softeningrottra) Il moello è escritto a n sistema i eqazioni ifferenziali, otato i opportne conizioni al contorno, che viene risolto analiticamente, ricavano espressioni esplicite per le principali granezze i interesse (spostamenti, caratteristiche ella sollecitazione, etc) Il moello prevee per la trave rinforzata na risposta meccanica complessiva non lineare, articolata in più fasi: a qella elastica lineare a qella anneggiata, fino a arrivare al completo istacco el rinforzo KEYWORDS FRP strengthening; Ahesive; Beam theory; Interface 6

2 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN INTRODUZIONE I materiali compositi fibro-rinforzati a matrice polimerica (FRP) sono impiegati ormai correntemente per il consoliamento e il rinforzo i costrzioni civili esistenti Gli elementi strttrali esistenti realizzati con materiali traizionali qali, a esempio, mratra, legno, calcestrzzo, acciaio etc vengono rinforzati incollano slla loro sperficie esterna lamine i FRP i forma opportna (in no o più strati, a realizzare n laminato), a secona el tipo i prestazione ell elemento che si esiera migliorare [1 4] Tra le case che possono compromettere il sccesso egli interventi i ci sopra sono sicramente a consierare i fenomeni i elaminazione e istacco tra l elemento a rinforzare e il rinforzo i FRP Nel caso specifico elle strttre i calcestrzzo, la elaminazione pò manifestarsi a iversi livelli, coinvolgeno le lamine i FRP, l aesivo e/o gli strati sperficiali el calcestrzzo La elaminazione è provocata alle tensioni tangenziali che si svilppano tra gli elementi incollati Per qesto, sono state messe a pnto apposite prove i laboratorio per valtare la resistenza egli incollaggi in iverse conizioni i esercizio Una tipologia i prova molto iffsa è qella in ci na striscia i FRP viene incollata s n blocco i calcestrzzo e qini sottoposta a trazione fino al so completo istacco [5, 6] Sono stati proposti iversi moelli teorici i tale prova, che ifferiscono, principalmente, per il legame costittivo assnto per l interfaccia tra calcestrzzo e FRP I iversi moelli, in genere, consierano na risposta iniziale i tipo elastico lineare, ove le tensioni tangenziali all interfaccia sono proporzionali agli spostamenti relativi corrisponenti Sccessivamente, i moelli assmono na risposta i tipo softening, che intene rappresentare il progressivo anneggiamento ell interfaccia prima ella rottra Cottone e Giambanco [7] consierano na legge i tipo lineare ecrescente per la fase i softening, mentre Cornetti e Carpinteri [8] propongono na legge i tipo esponenziale ecrescente Nel presente lavoro affrontiamo il problema i na trave inflessa rinforzata con na striscia i FRP incollata all intraosso, soggetta a coppie concentrate applicate alle estremità Un problema simile, ma con n carico concentrato applicato in mezzeria, è stato consierato a Carpinteri et al [9] Il moello meccanico qi proposto si basa slle segenti ipotesi semplificative: - la trave è flessibile, ma inestensibile, e presenta n comportamento inefinitamente elastico; - la striscia i rinforzo è priva i rigiezza flessionale, nqe rislta soggetta solo a sforzi assiali; - l interfaccia che rappresenta lo strato i aesivo e gli strati sperficiali egli elementi incollati sege na legge sforzi tangenziali-spostamenti relativi i tipo tri-lineare elastico-softening-rottra Il moello meccanico è escritto a n sistema i eqazioni ifferenziali, otato i opportne conizioni al contorno Il problema matematico che ne rislta è risolto analiticamente, ricavano espressioni esplicite per le principali granezze i interesse (spostamenti, caratteristiche ella sollecitazione, etc) trave rinforzo aesivo Figra 1: Trave inflessa con rinforzo i FRP Figre 1: FRP-strengthene beam in bening Il moello prevee per la trave rinforzata na risposta meccanica complessiva i tipo non lineare, nella qale sono riconoscibili alcne istinte fasi i comportamento Nella prima fase, l interfaccia è interamente in campo elastico; la solzione analitica comprene e regioni corrisponenti, rispettivamente, alle parti i trave con e senza rinforzo La prima fase i comportamento termina qano alle estremità el rinforzo, ove gli spostamenti relativi interfaccia sono massimi, si raggingono le tensioni tangenziali corrisponenti al limite elastico Nella secona fase, le porzioni ell interfaccia prossime alle estremità el rinforzo entrano nel campo i risposta softening; la solzione analitica prevee allora tre regioni corrisponenti, rispettivamente, alla parte priva i rinforzo, a qella con interfaccia anneggiata e a qella con interfaccia elastica La secona fase i comportamento termina qano alle estremità el rinforzo si 61

3 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 raggingono gli spostamenti relativi ltimi, corrisponenti all inizio ella rottra Nella terza fase i comportamento, le porzioni ell interfaccia prossime alle estremità el rinforzo si rompono e, nqe, il rinforzo si stacca alla trave; la solzione analitica comprene ancora tre regioni corrisponenti, rispettivamente, alla parte i trave inizialmente priva i rinforzo con agginto il tratto s ci il rinforzo si è istaccato, alla parte i trave ove l interfaccia è anneggiata e alla parte ove l interfaccia è ancora elastica Al crescere ei carichi, le parti i interfaccia anneggiata e rotta si estenono fino a interessare l intera lnghezza ella trave Al completo istacco, la risposta complessiva el sistema iventa qella ella trave inizialmente priva i rinforzo; qesta ltima fase i comportamento, tttavia, si ragginge solo in maniera asintotica al crescere illimitato elle coppie applicate alla trave MODELLO MECCANICO C onsieriamo na trave AB i lnghezza L l e altezza ella sezione trasversale H, semplicemente appoggiata e caricata alle estremità a e coppie gali e opposte i intensità M (Fig 1) Una striscia i rinforzo i FRP è incollata centralmente all intraosso ella trave per na lnghezza b Inichiamo con h la istanza el baricentro ella sezione ella trave al so intraosso (nel caso i sezione rettangolare, h H /) Inichiamo, inoltre, con E e J, rispettivamente, il molo i Yong e il momento inerzia ella sezione ella trave e con E f e Af Bt, rispettivamente, il molo i Yong e l area ella sezione trasversale ella striscia i FRP ( B f e t f inicano la larghezza e lo spessore ella striscia stessa) Consierata la simmetria el sistema, è possibile limitarne lo stio alla sola metà sinistra, introceno opportni vincoli in corrisponenza ell asse i simmetria (Fig ) Introciamo n ascissa crvilinea s con origine all estremo caricato ella trave Sia a lb la lnghezza el tratto inizialmente non rinforzato ella trave Inichiamo con v e, rispettivamente, lo spostamento trasversale e la rotazione (positiva se oraria) ella sezione trasversale ella trave; inichiamo con w lo spostamento assiale ella sezione trasversale el rinforzo Figra : Moello ella trave rinforzata Figre : Moel of the strengthene beam Assmiamo che le tensioni tangenziali ell interfaccia segano la segente legge costittiva lineare a tratti (Fig ): k w, ww (risposta elastica), ( w) ks( w w), w ww (risposta softening),, w w (rottra), (1) ove k e k s sono le costanti elastiche che corrisponono, rispettivamente, ai tratti con risposta elastica e softening e wwh () 6

4 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN è lo spostamento relativo fra trave e rinforzo in corrisponenza ell interfaccia; w e w sono gli spostamenti relativi che corrisponono, rispettivamente, al limite elastico e alla rottra ell interfaccia Figra : Legame costittivo per l interfaccia Figre : Constittive law for the interface PROBLEMA DIFFERENZIALE I l comportamento el sistema trave-rinforzo è ifferente a secona el tipo i risposta fornita all interfaccia È possibile iniviare tre casi, le ci solzioni saranno prima ricavate separatamente e sccessivamente impiegate per ricostrire la risposta complessiva el sistema nelle se iverse fasi i comportamento Caso a) Interfaccia elastica Nel caso in ci la risposta ell interfaccia è in campo elastico, alle eqazioni i eqilibrio e al legame costittivo si ricava il segente sistema i eqazioni ifferenziali che governa il problema (qi e nel segito l apice inica l operazione i erivazione rispetto all ascissa s; le granezze relative a qesto caso sono inicate col peice e = elastic): kbfh kb fh ve''''( s) ve''( s) we'( s), EJ EJ kb f kb fh we''() s we() s ve'() s Ef Af Ef Af Risolveno il sistema () si ottiene la solzione generale per lo spostamento trasversale ella trave, () v ( s) Acoshs A sinh s As A s As A, (4) e e per lo spostamento assiale el rinforzo, EJ E A h we () s ( A sinhs A cosh s) Ahs A hs6 A Ah, E A h Bf k (5) ove kb (1/ E A h / EJ ) f Qini, si possono ricavare la rotazione ella sezione ella trave, ( s) v '( s) ( A sinhs A cosh s) As A s A, (6) e e lo spostamento relativo all interfaccia,

5 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 EJ E Ah w s w s h s A s A s A e() e() e() ( 1sinh cosh ) 6, Bfkh B fk (7) la tensione tangenziale all interfaccia, EJ E Ah s k w s A s A s A e() e() ( 1sinh cosh ) 6, Bh f Bf il momento flettente nella trave, (8) M s EJv s EJ A sa s As A (9) e( ) e''( ) [ ( 1cosh sinh ) 6 4], la forza i taglio nella trave, T s EJv s hb s A EJ E A h (1) e( ) e'''( ) f e( ) 6 ( ), e, infine, la forza normale nel rinforzo, EJ Ne( s) EAwe'( s) ( A1cosh s Asinh s) Ef Afh( As A4) h (11) Caso b) Interfaccia softening Nel caso in ci l interfaccia rispone in campo softening, alle eqazioni i eqilibrio e al legame costittivo si ricava il segente sistema i eqazioni ifferenziali (le granezze relative a qesto caso sono inicate col peice s = softening): kbh s f kbh s f vs''''( s) vs''( s) ws'( s), EJ EJ kb s f kbh s f kb s f ws''() s ws() s vs'() s w Ef Af Ef Af Ef Af Risolveno il sistema (1) si ottiene la solzione generale per lo spostamento trasversale ella trave, (1) v () s B cossb sinsb s B s B sb (1) s e per lo spostamento assiale el rinforzo, EJ E A h ws () s ( B sinsb cos s) B hs B hs6 B B h w, (14) E A h Bfks ove kb (1/ E A h / EJ ) s f Qini, si possono ricavare la rotazione ella sezione ella trave, () s v '() s ( B sinsb cos s) B s B sb, (15) s s lo spostamento relativo all interfaccia, EJ E A h w s w s h s B sb s B w s () s() s() ( 1sin cos ) 6, Bkh f s Bk f s la tensione tangenziale all interfaccia, EJ s k w w s B s B s B E Ah s() s[ s()] ( 1sin cos ) 6, Bh f Bf (16) (17) 64

6 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN il momento flettente nella trave, M s EJv s EJ B sb s B s B (18) s( ) s''( ) [ ( 1cos sin ) 6 4], la forza i taglio nella trave, s( ) s'''( ) f s( ) 6 ( ), T s EJv s hb s B EJ E A h (19) e, infine, la forza normale nel rinforzo, EJ Ns( s) EAws'( s) ( B1cos s Bsin s) Ef Afh( Bs B4) h () Caso c) Interfaccia rotta (o rinforzo assente) Nel caso in ci l interfaccia è rotta (o il rinforzo è assente perché mancante fin all inizio), l eqazione ifferenziale per la trave è la segente (le granezze relative a qesto caso sono inicate col peice = ebone): EJv ''''( s ) (1) Lo spostamento trasversale ella trave ha la segente espressione v () s Cs C s C sc () 1 4 Qini, si possono ricavare la rotazione ella sezione ella trave, () s v '() s Cs C sc, () il momento flettente nella trave, 1 M () s EJv ''() s EJ(6Cs C ), (4) e, infine, la forza i taglio nella trave, 1 1 T ( s) EJv '''( s) 6 C EJ (5) SOLUZIONE NELLE DIVERSE FASI DI COMPORTAMENTO Fase 1) Interfaccia elastica N ella fase 1 i comportamento, l interfaccia fra trave e rinforzo è ttta in fase elastica La trave rinforzata pò essere sivisa in e regioni: la regione priva i rinforzo, i lnghezza a, e la regione con interfaccia elastica, i lnghezza b la (Fig 4) Imponeno le conizioni al contorno, v (), M () M, v ( a ) v ( a ), ( a ) ( a ), M ( a ) M ( a ), T ( a ) T ( a ), N ( a ), e e e e e () l, T () l, w () l, e e e (6) si ricavano le costanti i integrazione per qesta fase Le loro espressioni analitiche, tttavia, esseno pittosto lnghe, vengono omesse in qesta see e saranno presentate in na versione estesa el presente lavoro 65

7 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 Figra 4: Fase 1) Interfaccia elastica Figre 4: Stage 1) Elastic interface La fase 1 ha termine qano lo spostamento relativo (massimo) all estremo ella striscia i FRP ragginge il valore al limite elastico, ovvero qano wa ( ) w (7) A tale conizione corrispone il segente valore ella coppia applicata alla trave: EJ M w coth b h (8) Fase ) Interfaccia elastica-anneggiata Nella fase i comportamento, l interfaccia fra trave e rinforzo è in parte in campo elastico (interfaccia elastica), in parte in campo softening (interfaccia anneggiata) La trave rinforzata pò essere sivisa in tre regioni: la regione priva i rinforzo, i lnghezza a, la regione con interfaccia anneggiata, i lnghezza c (a eterminare), e la regione con interfaccia elastica, i lnghezza b c (Fig 5) Imponeno le conizioni al contorno, Figra 5: Fase ) Interfaccia elastica-anneggiata Figre 5: Stage ) Elastic-amage interface 66

8 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN v (), M () M, v ( a ) v ( a ), ( a ) ( a ), M ( a ) M ( a ), T ( a ) T ( a ), N ( a ), s s s s s v ( a c) v ( a c), ( a c) ( a c), M ( a c) M ( a c), s e s e s e T ( a c) T ( a c), w ( a c) w ( a c), N ( a c) N ( a c), s e s e s e () l, T ( l), w ( l), e e e (9) si ricavano le costanti i integrazione per qesta fase Le loro espressioni analitiche, tttavia, esseno pittosto lnghe, vengono omesse in qesta see e saranno presentate in na versione estesa el presente lavoro La lnghezza c, che rislta incognita, pò essere eterminata imponeno che lo spostamento relativo nella sezione i raccoro tra la regione anneggiata e qella elastica sia gale al valore corrisponente al limite elastico, ovvero che sia wa ( c) w () Esplicitano l Eq () e teneno conto elle espressioni elle costanti i integrazione, ricavate alle Eq (9), si ottiene il valore ella coppia applicata corrisponente a n ato valore i c, M M{cos ccoth[ ( b c)] sin c}tanh b (1) Viceversa, risolveno (per via nmerica) l Eq (1) rispetto a c, se ne pò ricavare il valore in fnzione i n ato M La lnghezza c cresce con M rante ttta la fase, che ha termine qano lo spostamento relativo (massimo) all estremo ella striscia i FRP ragginge il valore corrisponente alla rottra ell interfaccia, ovvero qano wa ( ) w () Esplicitano l Eq (), opo alcne semplificazioni, si ricava l eqazione che (risolta nmericamente) fornisce il valore massimo i c, inicato con c, corrisponente al termine ella fase : tanh[ ( b c )] tan c () Si osserva che poiché il primo membro ell Eq () è sempre positivo, eve esserlo anche il secono Pertanto, eve essere rispettata la conizione c cc, (4) ove c c è na lnghezza caratteristica Peraltro, poiché per valori nmerici corrisponenti a problemi correnti la tangente iperbolica che compare nell Eq () assme valori prossimi all nità, invece che risolvere per via nmerica l Eq () è anche possibile tilizzare l espressione approssimata 1 c arctan (5) Il valore ella coppia applicata corrisponente al termine ella fase, inicato con c nell Eq (1) M, si ottiene sostiteno il valore i Fase ) Interfaccia elastica-anneggiata-rotta Al termine ella fase, l interfaccia comincia a rompersi all estremo più sollecitato e il rinforzo si stacca alla trave Nella fase, la trave rinforzata pò essere sivisa in tre regioni: la regione priva i rinforzo (comprenente qella inizialmente non rinforzata e qella s ci il rinforzo si è staccato), i lnghezza a (a eterminare), la regione con interfaccia anneggiata, i lnghezza c (anch essa a eterminare), e la regione con interfaccia elastica, i lnghezza lac (Fig 6) 67

9 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 Imponeno le conizioni al contorno, Figra 6: Fase ) Interfaccia elastica-anneggiata-rotta Figre 6: Stage ) Elastic-amage-broken interface v(), M() M, v( a) vs( a), ( a) s( a), M( a) Ms( a), T( a) Ts( a), Ns( a), vs( ac) ve( ac), s( ac) e( ac), Ms( ac) Me( ac), Ts( ac) Te( ac), ws( ac) we( ac), Ns( ac) Ne( ac), () l, T () l, w () l, e e e si ricavano le costanti i integrazione per qesta fase Le loro espressioni analitiche, tttavia, esseno pittosto lnghe, vengono omesse in qesta see e saranno presentate in na versione estesa el presente lavoro Le lnghezze a e c, che risltano entrambe incognite, possono essere eterminate imponeno che lo spostamento relativo nella sezione i raccoro tra la regione anneggiata e qella elastica sia gale al valore corrisponente al limite elastico e che lo spostamento relativo all estremità ella striscia sia qello che corrispone alla incipiente rottra ell interfaccia, ovvero che siano wa ( ) w e wa ( c) w (7) Sostiteno nelle Eq (7) le espressioni che tengono conto elle costanti i integrazione fornite alla solzione el sistema (6), opo alcne semplificazioni, si ottengono EJ w hm{ sin c cos c tanh[ ( l a c)]}, EJ wcos c ( hm EJ wsin c) tanh[ ( l a c)] Dalla prima elle Eq (8) si ricava w EJ sin c tanh[ ( lac)] ( ) cos c M h che sostitito nella secona fornisce ( EJ w hm sin c)[ EJ ( ) w sin c hm ] (4) L Eq (4) ha e possibili solzioni, na elle qali, tttavia, viene scartata poiché conce a valori complessi i a Pertanto, teneno anche conto che w / w 1 /, si trovano (6) (8) (9) 68

10 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN EJ alc arctanh( tan c ) e M w (41) h sin c Poiché, per motivi fisici, la lnghezza a pò solo amentare, consieriamo la sa erivata rispetto a c Si osserva che affinché a sia crescente è necessario che nella fase i comportamento c ecresca al valore c fino a zero Contemporaneamente, a cresce al valore a al valore l, cioè fino al completo istacco el rinforzo Tale sitazione, in realtà, si ragginge solo asintoticamente Infatti, alle Eq (41) si vee che al tenere a zero i c, la lnghezza a tene a l e la coppia applicata M cresce illimitatamente Fase 4 Interfaccia rotta Nella fase 4, in realtà ragginta solo asintoticamente, l interfaccia fra trave e rinforzo è interamente rotta, a eccezione ella sezione i mezzeria ove, per motivi i simmetria, lo spostamento relativo interfaccia e la corrisponente tensione tangenziale sono sempre nlli La trave si comporta come na trave priva i rinforzo (Fig 7) Figra 7: Fase 4) Interfaccia rotta Figre 7: Stage 4) Broken interface Imponeno le conizioni al contorno, v (), M () M, ( l), T ( l), si ricavano le costanti i integrazione per qesta fase M Ml C 1, C, C, C4 EJ EJ (4) (4) APPLICAZIONE NUMERICA A titolo i esempio si consiera na trave i calcestrzzo i lnghezza L = 6 m e sezione trasversale rettangolare i imensioni B = cm e H = 4 cm La striscia i FRP i rinforzo ha larghezza B f = 5 cm e spessore t f = 5 cm I moli i Yong ella trave e ell FRP valgono, rispettivamente, E = MPa e E f = 56 MPa Le costanti che efiniscono il legame ell interfaccia sono k = 48 N/mm, = 4 MPa e w = 5 mm Utilizzano l Eq (8) si ricava il valore ella coppia applicata al limite elastico, M 1447 kn m Inoltre, all Eq (4) si ricava il valore ella lnghezza caratteristica ella regione anneggiata, c c = 515 mm, mentre risolveno per via nmerica l Eq () si etermina il valore c = 76 mm (Fig 8) Da qest ltimo, tramite l Eq (1), si ricava M 561 kn m 69

11 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 Figra 8: Determinazione i c Figre 8: Determination of c La Fig 9 mostra l anamento ello spostamento trasversale ella trave v in fnzione ell ascissa crvilinea s, per qattro valori ella coppia applicata M corrisponenti alle qattro fasi i comportamento escritte nel paragrafo preceente Figra 9: Spostamento trasversale v: a) fase 1: M M ; b) fase : M 9M ; c) fase : M 11M ; ) fase 4: M 11M Figre 9: Transverse isplacement v: a) stage 1: M M ; b) stage : M 9M ; c) stage : M 11M ; ) stage 4: M 11M 7

12 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN La Fig 1 mostra l anamento ello spostamento relativo w e ella tensione tangenziale all interfaccia in fnzione ell ascissa crvilinea s, per tre valori ella coppia applicata M corrisponenti alle prime tre fasi i comportamento escritte nel paragrafo preceente Come si pò osservare, al crescere i M, lo spostamento relativo nella sezione i estremità el rinforzo amenta: qano tale spostamento spera i valori w e w, si manifestano, rispettivamente, l inizio el comportamento softening ell interfaccia e il istacco el rinforzo al spporto Figra 1: Spostamento relativo w e tensione tangenziale all interfaccia : a) fase 1: M M ; b) fase : M 9M ; c) fase : M 11M Figre1: Interfacial relative isplacement w an shear stress : a) stage 1: M M ; b) stage : M 9M ; c) stage : M 11M 71

13 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 La Fig 11 mostra l anamento el momento flettente nella trave M in fnzione ell ascissa crvilinea s, per qattro valori ella coppia applicata M corrisponenti alle qattro fasi i comportamento escritte nel paragrafo preceente Si osserva che, al crescere i M e al consegente progressivo istacco el rinforzo, la risposta ella trave rinforzata tene a qella ella trave priva i rinforzo Figra 11: Momento flettente M: a) fase 1: M M ; b) fase : M 9M ; c) fase : M 11M ; ) fase 4 (trave priva i rinforzo): M 11M Figre 11: Bening moment M: a) stage 1: M M ; b) stage : M 9M ; c) stage : M 11M ; ) stage 4 (no strengthening): M 11M La Fig 1 mostra l anamento ella forza normale nella striscia i rinforzo N in fnzione ell ascissa crvilinea s, per tre valori ella coppia applicata M corrisponenti alle prime tre fasi i comportamento escritte nel paragrafo preceente Si osserva che, al crescere i M e al consegente progressivo istacco el rinforzo, la lnghezza ella parte attiva el rinforzo si rice progressivamente (teneno a zero nel limite per M ) La Fig 1 mostra l anamento ella coppia applicata M in fnzione ello spostamento trasversale in mezzeria vl () nelle iverse fasi i comportamento La crva bl tratteggiata si riferisce alla trave priva i rinforzo (Fase 4) La Fig 14 mostra la lnghezza ella regione anneggiata c in fnzione ella lnghezza ella zona priva i rinforzo a Drante la fase, c cresce a a c, mentre la coppia applicata passa a M a M ; rante la fase, c ecresce c a, mentre a amenta al valore iniziale a fino alla semi-lnghezza ella trave l (completo istacco el rinforzo) 7

14 S Bennati et alii, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11; ISBN Figra 1: Forza normale N: a) fase 1: M M ; b) fase : M 9M ; c) fase : M 11M Figre 1: Axial force N: a) stage 1: M M ; b) stage : M 9M ; c) stage : M 11M Figra 1: Coppia applicata M in fnzione ello spostamento trasversale in mezzeria Figre 1: Applie cople M as a fnction of the transverse isplacement of the mi-span section 7

15 S Bennati et alii, Convegno Nazionale IGF XXI, Cassino (FR), Italia, 1-15 gigno 11, 6-74 Figra 14: Lnghezza ella regione anneggiata c in fnzione ella lnghezza ella regione istaccata a Figre 14: Length of amage region c as a fnction of the length of the ebone region a CONCLUSIONI N ell articolo è stato analizzato il problema i na trave rinforzata con na striscia i FRP incollata all intraosso, soggetta a coppie concentrate applicate alle se estremità È stato messo a pnto n moello meccanico ove la trave e la striscia i rinforzo sono moellate secono la teoria elle travi classica, mentre l aesivo e gli strati aiacenti sono moellati come n interfaccia avente na legge costittiva i tipo tri-lineare (elastico-softening-rottra) Il problema ifferenziale che escrive il moello è stato risolto analiticamente, ricavano espressioni esplicite per le principali granezze i interesse (spostamenti, caratteristiche ella sollecitazione, etc) Il moello prevee per la trave rinforzata na risposta meccanica complessiva non lineare, articolata in più fasi: a qella elastica lineare a qella anneggiata, fino a arrivare al completo istacco el rinforzo Il presente lavoro costitisce, comnqe, n work in progress, i ci sono stati presentati i primi parziali risltati Ulteriori sti sono in corso per chiarire la ipenenza el tipo i risposta el sistema ai principali parametri el problema Inoltre, per valiare il moello sarà inispensabile effettare n confronto con le previsioni i altri moelli simili, sia analitici sia nmerici, e con i risltati i prove sperimentali BIBLIOGRAFIA [1] L Hollaway, M Leeming, Strengthening of reinforce concrete strctres, Woohea Pblishing, UK (1999) [] V Zerbo, A Di Tommaso, L Ceriolo, In: Proceeings of strctral analysis of historical constrctions, Balkema (4) [] L C Bank, Composites for Constrction, John Wiley & Sons, New Jersey (6) [4] CNR-DT /4, Istrzioni per la Progettazione, l Eseczione e il Controllo i Interventi i Consoliamento Statico meiante l tilizzo i Compositi Fibrorinforzati, rev 7 (8) [5] J Yao, J G Teng, J F Chen, Compos Part B-Eng, 6 (5) 99 [6] C Mazzotti, M Savoia, B Ferracti, Constr Bil Mater, (9) 159 [7] A Cottone, G Giambanco, Eng Fract Mech, 76 (9) 1957 [8] P Cornetti, A Carpinteri, Eng Strct, (11) 1988 [9] A Carpinteri, P Cornetti, N Pgno, Eng Strct, 1 (9) 46 74