Trasformata di Fourier discreta (Discrete Fourier Transform DFT)
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- Laura Rossi
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1 Trasorata d ourr dscrta (Dscrt ourr Transor DT) - Dscrtzzazon dlla sr d ourr - Dnzon rortà dlla DT - DT d sgnal traslat - Un so d DT - orula d nvrson dlla DT - DT ral - Trasorata cosno dscrta (DCT) - Trasorata sno dscrta (DST) - Trasorata cosno quarto d onda - Dscrtzzazon dlla sr d ourr S consdr un sgnal rodco x(t), d rodo T, rarsntato dalla sr d ourr: x ( t ) c, c x ( t ). t T Pr calcolar cocnt d ourr c s uò rcorrr ad una orula d quadratura. S suonga d suddvdr l ntrvallo [,T] n ntrvall gual dant unt: T t T t n T n ; n,,...,. S uò allora arossar l ntgral d una unzon h(t) su [,T] dant la soa d trn ch s ottngono oltlcando l valor d h(t) n un unto t n r la lunghzza dll ntrvallo adacnt.
2 S usa qund l arossazon: T h ( t ) dt h ( t n ). n sgu la sgunt arossazon r cocnt d ourr: T c, n x n ( t ). n Da qusta srsson sgu ch s ottngono solo cocnt tra loro dstnt; dalla rlazon: ( ± ) n n, sgu natt ch: c c, ±,. S s on: d odo ch: [ ] c, [ n] x( t ),, n n [ ] [ n], n dant gl cocnt d ourr cos calcolat s uò ottnr una arossazon a trn dl sgnal d artnza. ttndo ch sa ar, s uò scrvr: x n n n ( t ) [ ] x( t ) [ n]. u s è suosto d calcolar l sgnal solo n unt t n. S ossrv ch la rqunza assa lgata alla dstanza d caonanto è data da: Ω δt T T rtanto l aronca assa è / volt l aronca ondantal., ()
3 Un rsultato ortant dlla tora dlla trasorata d ourr dscrta è ch la rcdnt soa non dà solant una arosazon d valor dl sgnal d artnza a rsttusc sattant tal valor. S s ossrva noltr ch gl [] orano una succsson rodca con rodo ch anch gl sonnzal nlla soatora sono rodc n con rodo, s otrà scrvr: n [ n] [ ]. () Inatt, s s ha una succsson rodca, la soa d suo valor su un qualunqu ntrvallo rodo (d lunghzza ) non dnd dall ntrvallo n quston. La () costturà la dnzon dlla trasorata d ourr dscrta ntr la () sarà dtta la sua orula d nvrson. Prssa Sa un sgnal caonato, rarsntato da un vttor d lunghzza con coonnt [], [],....., [-] ; nlla tora dlla DT occorr consdrar l sgnal rolungato n un sgnal rodco con rodo. Così [] è dnto r ogn, con la rortà [] [-] []. [-] [-][] [] [][] 3
4 4 - Dnzon rortà dlla DT La trasorata d ourr dscrta d un sgnal rodco d rodo è la succsson rodca, anch d rodo, dnta da: r ogn d n artcolar r,,...,-. Vrca dlla rodctà:. ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ) ( ± ± ] [ ] [ La DT d un sgnal RELE soddsa all condzon: [ ] [ ] [ ]. * DIOSTRZIOE: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. * )* ( * La sconda rlazon sgu dalla rodctà dl sgnal.
5 Un sgnal rodco s dc PRI s soddsa la condzon: [-] [] ; rtanto, all ntrno dll ntrvallo rodo {,,, -}, s ha: [-] []. S è dsar l sgnal contn ()/ valor dstnt; / s è ar. / ar dsar Un sgnal rodco s dc DISPRI s soddsa la condzon: [-] - [] ; rtanto, all ntrno dll ntrvallo rodco {,,, -}, s ha: [-] - []. S ha: [] - [] - [] qund [] ; s è ar, s ha anch [/]. sgu ch, s è dsar, l sgnal contn, a art l sgno, (-)/ valor dstnt ntr, s è ar, n contn (-)/. ar / dsar 5
6 La DT d un sgnal PRI è PRI ntr la DT d un sgnal DISPRI è DISPRI. DIOSTRZIOE: S è ar, s ha: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. - L ulta guaglanza drva dall ossrvazon, gà atta, ch la soa su un ntrvallo rodo d valor d una succsson rodca non dnd dall ntrvallo. In odo analogo s dostra la sconda art dlla rooszon. S è un sgnal RELE PRI allora anch la sua DT è ral ar; s è un sgnal RELE DISPRI allora la sua DT è IGIRI DISPRI. Pr quanto rguarda la ra art dlla rooszon s ha: [ ] [ ] [ ]. * In odo analogo s ottn la sconda art: [ ] [ ] [ ]. * 6
7 UDRO RISSUTIVO DELLE PROPRIET DI SIETRI: sgnal RELE DT [ ] *[ ] *[ ] [ - ] sgnal PRI DT PRI [ ] [ - ] [ ] [ - ] sgnal DISPRI DT DISPRI [ ] - [ - ] [ ] - [ - ] sgnal RELE PRI DT RELE PRI [ ] *[ ] [ - ] [ ] *[ ] [ - ] sgnal RELE DISPRI DT IGIRI DISPRI [ ] *[ ] - [ - ] [ ] - *[ ] - [ - ] 3 - DT d sgnal traslat Sa un ntro d un sgnal rodco; s dc -TRSLTO d l sgnal rodco dnto da: [ ] [ ]. Usando anch la condzon d rodctà: [ ] [ ], s vd ch, nll ntrvallo rodo d artnza {,,, -}, l tto d una -traslazon d consst nl orr nll oszon {,,, -} valor d nll oszon { -, -,, -} nll oszon {,,, -} valor d nll oszon {,,, --}. Prtanto una - traslazon è quvalnt ad una PERUTZIOE CICLIC d valor d sull ntrvallo ondantal. 7
8 S è ar /, s ottn l RIBLTETO dl sgnal: valor d nll scond / oszon vngono ost nll r /, ntr valor nll r / oszon vngono ost nll scond /. Eso d rbaltanto d un sgnal / 8
9 Tora - La DT dl -traslato d è data da: Dostrazon S ha: [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], ( ) dov s è usato ancora una volta l atto ch la soa su un ntvallo rodo non dnd dall ntrvallo. OSSERVZIOE l caso artcolar d ar /, s ha [ ] [ ]. / 4 - Un so d DT S consdr l sgnal rodco d lunghzza cos dnto r valor dll ndc nll ntrvallo -/, /: [], -, -,...,,...,-, ; < / [], altrnt. Prtanto l sgnal ha solo coonnt dvrs da zro. Tnndo conto dlla rodctà la DT uò ssr dnta da: / [ ] [ ], / qund, nl caso artcolar consdrato, s ha: [ ]. S ossrv ch s ha: []. 9
10 E oortuno scrvr la trasorata nl odo sgunt: [ ] ; R s calcola allora la soatora dant la orula gà u volt usata:. sn sn Sosttundo nll srson r [] s ottn: [ ], - sn sn cos da cu, utlzzando la orula: sn a cos b sn(a b) sn(a b), s gung al rsultato nal: [ ]. sn sn S ossrv ch [] ha l asso assoluto r, ; ha un andanto oscllant dcrscnt con zr (u sattant cabant d sgno) sazat crca d /(): u è largo l sgnal, u strtto dvnta l asso rncal dlla sua DT.
11 5 - orula d nvrson dlla DT In dvrs orazon d laborazon d sgnal s ttuano orazon sulla sua DT; s on allora l robla d sar qual sgnal corrsond alla DT laborata. Pù n gnral s on l robla d sar s la DT d un sgnal contn un norazon colta sul sgnal dso, o, n altr arol, s è ossbl rcostrur l sgnal a artr dalla sua DT. La rsosta a qusto robla è data dalla orula d nvrson dlla DT ch assu la ora sgunt: [ ] [ ]. art l attor /, s not la stra tra dnzon d nvrson dla DT: s ottngono l una dall altra cabando n ad sonnt. Dostrazon - La orula d nvrson è una drttaconsgunza dl atto ch la soa dll radc -s dll untà è zro. S s ndca con h[] l scondo bro dlla orula d nvrson rcdntnt data, sosttundov la orula dlla DT s ha: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],, ) ( ) ( ) ( S h dov s è osto: [ ]., ) ( S
12 Pr s ha S[, ] ntr r dvrso da s ha: S[, ]. ust ulta rortà drva dal Tora sulla soa dll radc - s dll untà dato ch, al varar d, trn dlla soatora rcorrono tutt l radc -s. S uò counqu rtr la dostrazon d qul Tora onndo S uò anch scrvr: S w ( ) [, ] δ [, ], dov s è ntrodotto l sbolo d Kroncr δ [, ] ch è gual a r d gual a zro altrnt. La condzon suddtta è anch dtta condzon d ortogonaltà. sgu ovvant ch h[ ] [ ].. Suonao ch sa ar. S s ntroducono sgunt sgnal rodc: w [ ] ;,,...,, la orula d nvrson uo ssr scrtta nlla ora sgunt: [ ] [ ] w [ ], qund l sgnal rodco [] è una cobnazon lnar d sgnal rodc w []. ust godono dll rortà: w w [ ] ; w [ ] ( ) [ ] v [ ] ;,...,.
13 Pr,,..., /- s ha: w [ ] cos sn. Prtanto r s ha l aronca ondantal ntr r gl altr valor d s ottngono l aronch suror. ulla d rqunza assa corrsond a /. Con l rcdnt notazon s uò anch scrvr la orula d nvrson dlla DT nlla ora sgunt: [ ] [ ] w [ ]. ( ) 6 DT ral l caso d un sgnal ral [ ] d ar la DT colssa uò ssr razzata dall sgunt trasorat ral: B [ ] R [ ] [ ] cos ; [ ] I [ ] [ ] sn ;,...,,..., ; r l qual val la orula d nvrson: [ ] [ ] / ( ) [ ] cos( ) B [ ]. sn( ) 3
14 4 L srsson d [ ] B[ ] sguono da [ ] [ ] [ ] [ ] ; sn cos B da tal srsson sgu anch ch: [ ] [ - ] [ - ] ; B[ ] - B[ - ] - B[ - ] ; B[ ] B[ / ]. Ossrvazon L rcdnt rortà lcano ch: - r orzzar [ ] B[ ] occorr orzzar solo ral; - sa r l calcolo d [ ], B[ ] ch r l calcolo dlla orula d nvrson occorrono orazon su ral anzchè su colss. La orula d nvrson dlla DT ral sgu da qulla dlla DT colssa scrtta nl odo sgunt: [ ] [ ] [ ]. B Usando l rortà d stra d [ ] B[ ] s uò scrvr l ro trn co sgu: [ ] [ ] [ ] [ ], / /, s s on - nlla sconda soatora, qusta dvnta: [ ]. /
15 5 Raccoglndo var trn s ottn: [ ] [ ] [ ]. cos / nalogant r l scondo trn s ottn: [ ] [ ] [ ], / / B B B dato ch B[ ] B[ / ] sono null. Ettuando ancora l cabanto d ndc, s ha: [ ]. / B [ ] [ ]. sn / B B Cobnando du trn s ottn: Insrndo l srsson rcdntn ottnut r l so contnnt cocnt [ ] B[ ] nlla orula d nvrson dlla DT colssa s ottn la orula d nvrson dlla DT ral. La DT ral tt n vdnza l atto ch, quando s haachar con sgnal ral,s uò sr avorar con succsson ral rchè tal sono [ ] B[ ], ch sono anch, rsttvant, ar dsar.
16 7 Trasorata d cosno dscrta (DCT) Pr un sgnal ral, d lunghzza, la trasorata cosno dscrta è dnta da: [ ] [ ] [ ] cos ( ) [ ], r,..., ; val noltr la orula d nvrson: [ ] [ ] [ ] cos [ ]. S ossrv ch sa [ ] ch C[ ] sono costtut da valor dstnt d du succsson ar d rodo. Sgu dalla DT ral alcata al caso d un sgnal ar d lunghzza. Pochè s ha [-] [], qusto sgnal contn valor dstnt rcsant: [] [] contat una sola volta, [],..., [-] contat du volt. Valgono l sgunt rlazon: [ ] cos ( ) [ ] cos ;,...,, [ ] sn ( ) [ ] sn ;,..., ; dalla ra rlazon sgu ch [] è dato dall srsson dlla agna rcdnt, ntr dalla sconda, tnndo anch conto dl atto ch []sn(), sgu ch B[]. La orula d nvrson sgu o dalla orula d nvrson dlla DT ral con sosttuto da. E ovvo ch la trasorata cosno, ur ssndo stata drvata dalla DT, è una nuova trasorata r sgnal d lunghzza. 6
17 8 - Trasorata sno dscrta (DST) Pr un sgnal d lunghzza la trasorata sno è dnta da: B [ ] [ ] sn, r,..., -; val la orula d nvrson: [ ] B[ ] sn. S ossrv ch dall orul dat sgu ch s ossono consdrar sa [ ] ch S[ ] co drvant da sgnal dsar d rodo. Graz a qusta ossrvazon anch la trasorata sno dscrta uò ssr ddotta dalla DT dalla sua orula d nvrson. Sgu dalla DT ral alcata al caso d un sgnal dsar d lunghzza. Pochè s ha [-] - [], qusto sgnal contn - valor dstnt rcsant, dato ch [] [], [],..., [-] contat du volt (una volta con l sgno l altra con l sgno -). Valgono l sgunt rlazon: [ ] cos ( ) [ ] cos ;,...,, [ ] sn ( ) [ ] sn ;,..., ; dalla ra rlazon sgu ch [], ntr dalla sconda sgu ch B[] è dato dall srsson dlla agna rcdnt. La orula d nvrson sgu o dalla orula d nvrson dlla DT ral con sosttuto da. E ovvo ch la trasorata sno, ur ssndo stata drvata dalla DT, è una nuova trasorata r sgnal d lunghzza -. 7
18 9 - Trasorata cosno quarto d onda dscrta (E-DCT) Pr un sgnal d lunghzza è dnta da: [ ] [ ] cos ( ), con la orula d nvrson: [ ] [ ] [ ] cos ( ). Co rsulta da qusta orula l sgnal uò ssr rolungato ad una succsson rodca d rodo, soddsacnt alla condzon d artà quarto d onda: [ ] [-()] [ ()] ; la succsson è ottnuta dal sgnal onndo nll oszon da a - l sgnal rrcorso n snso nvrso. Una succsson ch god dll rcdnt rortà vn dtta quarto d onda ar. La sua DT, dnta al solto da: god dll sgunt rortà: ) ) [ ] [ ], ) * [ ] [ ] *[ ] [ ] [ ]. La ) è gà nota d sr l atto ch [ ] è ral; la ) è scca dl to d sgnal consdrato. Da qust du rortà s ha ch: [ ] [ ], *[ ] [ ], * qund n sgu la ). on rsta dunqu ch dostrar la ). ; ; 8
19 Usando la artà quarto d onda, dalla dnzon d DT s ha: * [ ] [ ] [ ( ) ]. Ponndo - () d usando la rortà ch la soa su un ntrvallo rodo non dnd dal artcolar ntrvallo consdrato, s ottn: * [ ] [ ] ( ) [ ], qund la ) è dostrata. S onga ora: [ ] [ ] [ ] ( ) ; [ ] god dll sgunt rortà: ) ) ) v) [ ] [ ] ; [ ] rodca d rodo *[ ] [ ] ; [ ] ; [ ± ] [ ] [ ] [ ]. 4 ; S ossrv ch [ ], ur ssndo ral, ar rodca con rodo, ha solo valor dstnt. Inatt, graz a v ), r,..., assu gl stss valor assunt r -,...,, a cabat d sgno. 9
20 La ) sgu dall rortà ) ) d [ ]; natt s ha: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. * [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. * * La rodctà uò ssr drttant vrcata. Inoltr la ) sgu da ) da ): La ) sgu da ). Inn la v ) sgu dalla rodctà d [ ]: [ ] [ ] [ ] [ ]. ± ± ± Dalla dnzon d [ ] s ha: [ ] [ ] [ ] [ ] ; rtanto, s nlla sconda soa s on () s tn conto dl atto ch [ ()] [ -()] [ ], s ottn: [ ] [ ] [ ] [ ]. cos
21 La orula d nvrson uò ssr ottnuta dalla orula d nvrson dlla DT, tnndo conto dlla rortà ) d [ ]. S ha: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. ) ( S nlla sconda soa s on s tn conto dlla rortà v ) r cu [ ] - [ ], nonchè dlla rlazon:, cobnando l du soator s ottn la orula d nvrson dsdrata.
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