II-9 Successioni e serie

SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie geometrica............................................... 6 3 Criteri per serie a termii o egativi 8 3. Criteri del cofroto.............................................. 8 3. Criterio del rapporto.............................................. 9 3.. Lo sviluppo i serie di e x....................................... 0 3.3 Criterio della radice.............................................. 4 Criteri per serie a termii di sego o costate 5 Soluzioi degli esercizi 3 Successioi Ua successioe reale è ua fuzioe defiita i N isieme dei umeri aturali) a valori i R. Idicherò quasi sempre ua successioe scrivedo a, dove N e a appartiee ad R. Qualche volta userò la otazioe classica f). Può succedere che ua successioe o sia defiita su tutti i umeri aturali, besì i u sottoisieme di N, come ad esempio sui umeri aturali maggiori o uguali di u certo 0 N. Ad esempio la successioe l ) è defiita N, 3. Chiamerò allora i geerale successioe ua fuzioe defiita i N, ad eccezioe al più di u umero fiito di puti. Osservazioe Data ua fuzioe di variabile reale f : a,+ ) R, co a 0, si può otteere da questa ua successioe cosiderado la restrizioe di f all isieme N, o ad u suo sottoisieme. Così ad esempio la successioe precedete l ) si può vedere come la restrizioe ad N \ {,} della fuzioe f :,+ ) R defiita da fx) = lx ). Ua proprietà importate delle successioi può essere la mootoia. Ua successioe a è crescete se o decrescete se si ha a + a ). La successioe è ivece decrescete se o crescete se si ha a + a ). si ha a + > a equivale a dire che,m : < m = a < a m ) si ha a + < a equivale a dire che,m : < m = a > a m ) Osservazioe Ua successioe può o essere crescete, ma esserlo da u certo puto i poi. I questo caso diremo che la successioe è defiitivamete crescete modo di dire già usato tra l altro co gli itegrali geeralizzati). Lo stesso dicasi per gli altri casi di mootoia. Se la successioe è defiita i u sottoisieme di N, al scrittura va itesa el seso per ogi i cui è defiita la successioe. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SUCCESSIONI. Limite di ua successioe Particolarmete importate è il cocetto di limite di ua successioe. L uico caso sigificativo di limite di ua successioe è il limite per +. La defiizioe, che comuque o vediamo, è ovviamete simile a quella del limite di ua fuzioe reale per x che tede a +. Il cocetto è quello di capire, quado tede all ifiito, a che valore se esiste) si avvicia la quatità a. Se tale valore è l scriveremo Ivece si scrive rispettivamete lim a = l l R) + lim a = + oppure + lim a = + se il valore di a tede a divetare ifiitamete grade, positivo o egativo. Ovviamete, come per le altre fuzioi, il lim + a i qualche caso può o esistere. Ache per le successioivale il risultato, giàvisto per le fuzioi di variabilereale, per cui sela fuzioe è mootoa allora il limite esiste. Vale ifatti il seguete Teorema di esisteza del limite per successioi mootoe) Se la successioe a è mootoa crescete o o decrescete), allora il lim a esiste ed è uguale al sup{a }. Tale limite risulta fiito se la successioe è limitata + N superiormete, risulta + i caso cotrario. Aalogamete, se la successioe a è mootoa decrescete o o crescete), allora il lim a esiste ed è + uguale all if {a }. Il limite è fiito se la successioe è limitata iferiormete, è i caso cotrario. N Si può dimostrare il seguete risultato, facilmete ituibile. Proposizioe Data ua fuzioe f : 0,+ ) R, se questa ha limite per x +, allora ache la successioe a = f) ha limite per + e i due limiti coicidoo. Esempio Cosideriamo la successioe a = e il limite + Dato che possiamo cocludere che ache lim + + =. l Esempio Possiamo dire che lim + trascurabile rispetto ad, per +. lim + +. x lim x + x+ =, lx vale zero, dato che lim x + x = 0. Quidi possiamo dire che l è Esempio Ricordado il limite fodametale, si può cocludere che la successioe defiita da a = + ) ha limite per + e lim + = e. + ) Osservazioe Si oti che o vale il viceversa dell ultima proposizioe: o è vero cioè che, se la successioe a = f) ha limite, allora ache la fuzioe di variabile reale defiita da x fx) ha limite. Si cosideri ad esempio la successioe. 3 Essa ovviamete vale 0 per ogi, quidi ha limite 0 per +. La fuzioe x x x o ha ivece limite per x +. 4 Quato detto ella proposizioe ha importaza el calcolo del limite di ua successioe. Può essere comodo cioè, el calcolo del limite di ua successioe, cosiderare il limite della fuzioe corrispodete. Questo perché ci soo metodi molto poteti di calcolo del limite di ua fuzioe di variabile reale che o soo applicabili al calcolo del limite di ua successioe. 5 Ricordo che ua successioe, come ua qualuque fuzioe, è limitata superiormete se lo è la sua immagie. Nel ostro caso quidi la successioe a è limitata superiormete se è è limitato superiormete l isieme {a : N}. 3 Ricordo che il simbolo... sta ad idicare la parte itera di... 4 Si vada a rivedere il grafico della fuzioe, ella dispesa sulle Fuzioi reali. 5 A titolo di esempio, il teorema di De l Hôpital per il calcolo dei limiti, che abbiamo visto i precedeza. Come lo studete ricorderà, per l applicazioe del teorema è ecessario che le fuzioi siao derivabili: le successioi o soo ivece fuzioi derivabili perché?). A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SERIE 3 Defiizioe Se a è ua successioe, chiamiamo sottosuccessioe di questa ua qualuque sua restrizioe, co l uica richiesta che quest ultima sia defiita su ifiiti aturali. Data cioè ua successioe a defiita i N, se A è u sottoisieme ifiito di N, si chiama sottosuccessioe la successioe m a m defiita per m A. Esempio Se cosideriamo la successioe ) che assume, alterativamete i valori e ), possiamo costruire la sua sottosuccessioe defiita sui umeri aturali pari. Si tratta ovviamete di ua successioe che assume sempre il valore. La sottosuccessioe defiita ivece sui umeri aturali dispari assume sempre il valore. Abbiamo visto poco fa che, se ua fuzioe ha limite all ifiito, allora ha lo stesso limite la successioe ad essa associata. È facile allora ituire che ache ua sottosuccessioe ha lo stesso limite della successioe da cui proviee. Meglio: se ua successioe ha limite, allora ogi sua sottosuccessioe ha lo stesso limite. Può succedere, come el caso della sottosuccessioe di ) defiita sugli pari, che la sottosuccessioe abbia limite, metre la successioe o lo ha. 6 Attezioe. Per provare che ua successioe ha limite o basta quidi calcolare il limite di ua sottosuccessioe. Per provare ivece che ua successioe o ha limite si può cercare di dimostrare che ci soo due sue diverse sottosuccessioi che hao limiti diversi. Così, el caso di ), possiamo dire che essa o ha limite dato che la sottosuccessioe sugli pari vale sempre, e quidi ha limite, metre la sottosuccessioe sugli dispari vale sempre, e quidi ha limite. Esercizio. Si calcolio i limiti idicati. + a) lim + 3+ b) +3l c) lim + 4 +5l d) Serie lim + lim + l + ) Il cocetto di serie cerca di rispodere alla domada: come ci comportiamo se dobbiamo sommare ifiiti termii? 7 Possiamo ragioare itato così: suppoiamo che gli ifiiti termii da sommare siao i valori di ua certa successioe. Defiizioe Data ua successioe a, si dice somma parziale -esima di a la uova successioe defiita da s = a +a +...+a, 8 Osservazioe I primi termii della successioe s soo quidi s = a, s = a +a, s 3 = a +a +a 3,... Osservazioe Data ua successioe a, resta allora ad essa associata ua uova successioe, la successioe delle somme parziali di questa, cioè s. Defiizioe Si dice serie associata alla successioe a la successioe s delle sue somme parziali. La successioe a viee detta il termie geerale della serie. Defiizioe Si dice che la serie di termie geerale a ) coverge se la successioe s delle somme parziali di a ha limite fiito. Si dice che la serie diverge se s ha limite ifiito. Si dice ifie che la serie è idetermiata se o esiste il limite di s. Co la dicitura studiare il carattere di ua serie si itede stabilire se la serie coverge, diverge o è idetermiata. Osservazioe Se la serie coverge, il lim + s si dice la somma della serie aziché il limite della serie, come sarebbe più appropriato). Se la serie coverge possiamo dire, i modo poco rigoroso ma efficace, che la somma della serie è la somma degli ifiiti termii da cui siamo partiti. La serie associata alla successioe a viee usualmete idicata co la scrittura a 9 oppure co a +a +...+a +.... 6 Riuciado al formalismo di ua dimostrazioe rigorosa, si capisce però facilmete che la successioe ) o può avere limite, dato che passa pereemete dal valore al valore e viceversa. 7 Se state pesado che la somma di ifiiti termii debba ecessariamete essere ifiita tra breve vedremo che questo o è vero. 8 Chiaramete, se la successioe a è defiita per 0, ache s è defiita per 0. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SERIE 4 Nel seguito, quado o c è il rischio di fare cofusioe, aziché quado possibile, aziché far partire da lo si fa partire da 0 e si scrive quidi da u 0 >. Esempi Cosideriamo la serie cioè la serie di termie geerale a =. La sua somma parziale -esima è, a scriverò più semplicemete a. Spesso, =0 a. A volte può ache partire s = ++...+ = +) ricordare il piccolo Gauss). Questa serie quidi diverge, dato che lim + s = lim + +) = +. Si chiama serie di Megoli la serie +) = + 3 + 3 4 +..., cioè la serie di termie geerale a = +). La sua somma parziale -esima è Pertato s = = + 3 + 3 4 +...+ +) ) + ) + 3 3 4 = + ) +...+ ) + si oti che quasi tutti i termii si semplificao). lim s = lim ) =, + + + e quidi la serie di Megoli coverge e la sua somma è. Questo è il primo esempio che prova che la somma di ifiiti termii può essere u umero fiito. Cosideriamo la serie + =0 + ). Risulta s = + )+ 3 )+ 4 3)+...+ + ) = + ache qui quasi tutti i termii si semplificao). La serie diverge i quato lim + s = lim + + = +. Osservazioe Nei tre esempi abbiamo potuto stabilire il carattere della serie e la sua somma quado essa è covergete) utilizzado soltato la defiizioe, che al mometo è l uico strumeto a ostra disposizioe. Faccio otare che questo è per certi versi aalogo al calcolo di u itegrale geeralizzato a + attraverso la defiizioe, cioè co il calcolo di ua primitiva: trovare ua primitiva è paragoabile a trovare l espressioe geerale della somma parziale s. Forse si ituisce che questo o è sempre così facile come egli esempi proposti. Tra breve impareremo a studiare il carattere di ua serie ache quado o si può otteere la geerica somma parziale e questo è paragoabile allo studio della covergeza dell itegrale ache seza il calcolo della primitiva). 9 Si legge sommatoria per che va da a + di a. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SERIE 5 Esercizio. Si scriva l espressioe del termie geerale delle segueti serie: a) + 3 + 5 + 7 +... b) + 4 + 9 + 6 +... c) 3 ++ 5 8 + 6 6 +... d) + 6 + + 0 + 30 +... Uo dei pochi risultati del tutto geerali sulle serie è il seguete importate Teorema codizioe ecessaria di covergeza) Sia a ua successioe. Se la serie a coverge, allora lim + a = 0. Osservazioe La dimostrazioe di questo risultato è immediata. Se s è la somma della serie, per ipotesi u umero reale, si ha lim a = + lim s s ) 0 + = lim s lim + = s s = 0. + s Osservazioi Questo risultato forisce ua codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie. Può essere utile quidi o tato per stabilire che ua serie coverge, quato per stabilire che ua serie o coverge. Ad esempio, si cosideri la serie. Dato che il limite del termie geerale è, la serie o coverge. + Attezioe che la codizioe del teorema o è sufficiete, cioè o basta provare che il termie geerale tede a zero per provare che ua serie coverge. Esempio U esempio che prova che il tedere a zero del termie geerale o è sufficiete per la covergeza della ) serie è il seguete: si cosideri la serie + già icotrata poco fa). Per il termie geerale si ha =0 + = + ) ++ ) ++ = e questo tede a zero per + ma, come visto prima, la serie diverge. ++ Esempio U altro esempio di serie o covergete co termie geerale che tede a zero è la serie Possiamo scrivere l + ) = l + = l+) l. Quidi la successioe delle somme parziali è s = l+l + ) +l + ) +...+l + ) 3 ) ) ) 3 4 + = l+l +l +...+l 3 = l+l3 l+l4 l3+...+l+) l = l+). l + ). Pertato lim s = lim + zero. 0 Segue dal fatto che + l+) = +, e quidi la serie diverge. Il termie geerale della serie però tede a s = a +...+a } {{ } +a = s +a e quidi a = s s. s La covergeza è ell ipotesi del teorema e quidi esso o mi può cosetire di provare che ua serie coverge. Ivece mi può servire per provare che o coverge, dato che, se o soo vere le ecessarie cosegueze della covergeza della serie, la serie o può covergere. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SERIE 6. La serie armoica Ua serie molto importate è la serie = + + 3 + 4 +... detta serie armoica. Si può dimostrare o sarebbe facile farlo co la sola defiizioe) che la serie armoica diverge. Si chiama ioltre serie armoica geeralizzata la serie, co α > 0. α La covergeza della serie armoica geeralizzata dipede, come è facile ituire, dal valore di α. Si può dimostrare che la serie armoica geeralizzata coverge se α > e diverge se 0 < α <. Si oti che gli altri casi cioè α 0) o soo sigificativi dato il termie geerale o tede a zero. E si oti ioltre l aalogia dei risultati sulla covergeza della serie armoica co quelli riguardati la covergeza dell itegrale geeralizzato + Esempi Soo esempi di serie armoiche geeralizzate covergeti le segueti:, 4 5, x α dx. i cui abbiamo rispettivamete α =, α = 5/4 e α = 3/ tutti maggiori di ). Soo ivece esempi di serie armoiche geeralizzate divergeti le segueti:, 3, 3 i cui abbiamo rispettivamete α = /, α = /3 e α = 5/6 tutti miori di ).. La serie geometrica Altra serie estremamete importate è la serie =0 r, co r R. Essa viee detta serie geometrica di ragioe r. Possiamo studiare i dettaglio la covergeza della serie geometrica. Azitutto due casi semplici: se r = 0 ovviamete la serie coverge e ha per somma 0; se r = la serie diverge i quato la somma parziale -esima è s = + e pertato lim + s = +. Possiamo poi otteere la somma parziale -esima i geerale co r 0 e r ), i quato si ha e, moltiplicado ambo i membri per r r 0), si ottiee Pertato s = +r +r +r 3 +...+r r s = r+r+r +...+r ) = r+r +r 3 +...+r +r + aggiugo e tolgo ) = +r+r +...+r } {{ +r } + s = s +r +. r)s = r + e quidi r ) s = r+. r Dispoedo ora dell espressioe della somma parziale, possiamo cocludere i tutti i casi o acora risolti. Si potrebbe obiettare rigorosamete) che, se r = 0, o può partire da 0 ma deve partire da. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

SERIE 7 Se r <, abbiamo che r + 0 per +, e quidi lim + s = r. Se r >, lim + s = +. 3 Se r, si può vedere co qualche coto che il limite di s o esiste e quidi che la serie è idetermiata. Riassumedo, per la serie geometrica =0 la serie coverge se r < e ha per somma r ; la serie diverge a + ) se r ; la serie è idetermiata se r. Esempio Determiiamo la somma della serie r si hao i segueti risultati: =0. Possiamo riscriverla come =0 + o ache come ). Si tratta quidi di ua serie geometrica di ragioe r =. Essa è covergete, dato che la ragioe è i valore assoluto miore di. Co quato trovato poco fa, possiamo cocludere che la somma della serie è =0 =. Osservazioe La serie geometrica iizia co = 0. Se ivece abbiamo ua serie geometrica covergete che, aziché iiziare co = 0 iizia co =, basta fare così aggiugo e tolgo il termie macate r 0 ): Quidi, ad esempio, la serie r = =0 ha per somma r r 0 = r = r r. Più i geerale la somma di ua serie geometrica covergete che iizia co = p è =p r = =0 p r =0 =. r = r rp r = rp r. Osservazioe Riflettedo sulla serie armoica geeralizzata e sulla serie geometrica, è chiaro a questo puto u fatto del tutto geerale: la covergeza di ua serie dipede da quato rapidamete il suo termie geerale tede a zero. I altre parole ua serie coverge se il suo termie geerale tede a zero abbastaza rapidamete. Nel caso ad esempio della serie armoica geeralizzata + =, abbastaza rapidamete vuol dire co α >. Vedremo più α avati che la serie armoica è i certo qual modo uo spartiacque tra le serie covergeti e quelle divergeti. Esercizio. Esercizio.3 Esercizio.4 Si dica se la serie Si dica se la serie Si dica se la serie =0 = 5 coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. / coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. ) 3 Il umeratore tede a e il deomiatore è u umero egativo dato che r >. e coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 8 3 Criteri per serie a termii o egativi Le serie co termie geerale o egativo, cioè le serie del tipo + =0 a, co a 0 per ogi, o possoo essere idetermiate quidi o covergoo o divergoo). Ifatti i questo caso la successioe delle somme parziali è o decrescete e quidi ha limite, 4 che potrà essere fiito e o egativo) o ifiito. Se il termie geerale o tede a zero, sicuramete la serie diverge. 5 Vediamo qui alcui criteri di covergeza per serie a termii o egativi. 3. Criteri del cofroto Proposizioe Criterio del cofroto) Siao a e b due successioi tali che 0 a b per ogi. Se b coverge, allora a coverge; se a diverge, allora b diverge. 6 Osservazioe Quado valgoo le ipotesi del criterio del cofroto si dice che la serie a è miorate della serie b o che la secoda è maggiorate della prima). Il criterio è applicabile ache se a è defiitivamete miorate di b, e cioè se a b vale da u certo 0 i poi. Esempi Cosideriamo la serie. Si tratta di u caso particolare di serie armoica geeralizzata. Sappiamo già, co quato detto i precedeza, che essa coverge. Ora lo dimostriamo di uovo, utilizzado il criterio del cofroto. Si ha 7,. ) La serie + = ) = + coverge ache la serie data. +) coverge è la serie di Megoli) e quidi, per il criterio del cofroto, Chiaramete a questo puto possiamo dire, sempre per il criterio del cofroto, che coverge ache ua qualuque serie del tipo α, co α > : ifatti, se α >, allora < α. Dal fatto che la serie armoica + diverge possiamo dedurre che divergoo tutte le serie del tipo α co 0 < α < : ifatti da α, vera per ogi, si ha che + è maggiorate della serie armoica e quidi, α per il criterio del cofroto, diverge. Osservazioe Come cosegueza del criterio del cofroto abbiamo il risultato che segue. Siao a e b due a successioi a termii positivi e sia lim = 0 quidi possiamo ache dire che a è trascurabile rispetto a b per + b + ). i) Se b coverge, allora ache a coverge; ii) Se a diverge, allora ache b diverge. Possiamo stabilire ora due utili criteri di cofroto co successioi ifiitesime campioe: se a è ua successioe positiva, allora se, per +, a è trascurabile rispetto a α co α >, allora la serie a coverge; se, per +, è trascurabile rispetto ad a, allora la serie a diverge. 4 Per il teorema di esisteza del limite per successioi mootoe. 5 Ifatti, se il termie geerale o tede a zero, la serie o può covergere e, o potedo essere idetermiata, ecessariamete diverge. 6 Si oti acora la somigliaza di questo criterio co quelli di cofroto per gli itegrali geeralizzati. 7 Ifatti ) =, da cui, passado ai reciproci, si ricava la disuguagliaza scritta. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 9 Esempio La serie Esempio La serie = = l coverge perché l è trascurabile rispetto a per +. l diverge perché è trascurabile rispetto a l Altra sostaziale cosegueza del criterio del cofroto è la seguete utilissima per +. Proposizioe Criterio del cofroto asitotico) Siao a e b due successioi a termii positivi. Se a e b soo a equivaleti per +, cioè se lim =, allora le due serie + b a e b hao lo stesso carattere. Osservazioe I realtà per garatire la tesi è sufficiete che il limite di a /b sia fiito e diverso da zero, 8 dato che la covergeza o dipede da ua costate moltiplicativa. + Esempio Cosideriamo la serie +. Trascurado, el termie geerale della serie, le quatità trascurabili, e cioè a umeratore ed a deomiatore, possiamo dire che + + è equivalete a =, per +. Quidi la serie data è come la serie armoica e cioè diverge. Esempio Cosideriamo la serie + 3 3 +. Ricordado che 3 è trascurabile rispetto a e è trascurabile rispetto a 3, per +, allora + 3 3 + è equivalete a 3 = ). 3 Quidi la serie data ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragioe 3 <, che è covergete, e quidi coverge. Osservazioe I vari criteri di cofroto per le serie a termii o egativi soo i tutto e per tutto aaloghi a quelli visti per gli itegrali geeralizzati a +. Esercizio 3. a) c) + + +) 3. Criterio del rapporto Si studi carattere delle segueti serie, usado i criteri del cofroto: b) d) = + e Proposizioe Criterio del rapporto) Sia a ua successioe a termii positivi tale che a + l = lim + a esista, fiito o ifiito. Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. Osservazioe Il criterio del rapporto o è applicabile, e quidi ulla si può dire, quado risulta Si pesi ad esempio alle due successioi coverge. e a + l = lim =. + a. Per etrambe l =, ma la serie diverge metre la 8 Si ricordi che limite del quoziete a /b fiito e diverso da zero si può esprimere dicedo che a e b hao lo stesso ordie di gradezza. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 0 Esempi Si cosideri la serie =0. Si ha9! a + /+)! lim = lim = lim + a + /! +! +)! = lim + + = 0. Quidi l = 0 e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. Si poteva ache utilizzare u cofroto co la serie di Megoli. Si cosideri la serie =0. Si ha a + +)/ + ) + lim = lim + a + / = lim + + + = lim + =. Quidi l = e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. 3.. Lo sviluppo i serie di e x Sia x u umero reale e cosideriamo la serie =0 x. Si ha! a + x + /+)! x + lim = lim + a + x = lim /! + +)!! ) x Quidi, per il criterio del rapporto, la serie coverge qualuque sia x. Si può dimostrare che x! = ex. Osservazioe Dalla covergeza della serie =0 x = lim + x 0 = 0. + segue che la successioe x! tede a zero per + per! =0 ogi x, e che quidi x è trascurabile rispetto a! per +, qualuque sia x. Come caso particolare abbiamo quidi che e è trascurabile rispetto a!, per +. Dato che gli studeti soo soliti ricordare la classica gerarchia degli ifiiti logaritmi < poteze < espoeziali, e da questa forse ricavare l impressioe che gli espoeziali siao ifiiti imbattibili, la relazioe trovata poco fa, cioè che e è trascurabile rispetto a!, fa quidi, per così dire, crollare il mito, dato che idividua u ifiito più forte di u espoeziale. Chi vuole può provare a dimostrare che d altro cato! è trascurabile rispetto a e, sempre per +. Esercizio 3. a) c) +)! +)! Si studi il carattere delle segueti serie, usado il criterio del rapporto: b) d) 3 9 Ricordo che! =... per ogi N. 0 No si faccia cofusioe qui: la variabile del limite è, che tede all ifiito, metre x è costate. Si osservi che i primi termii della serie detta serie espoeziale) soo i termii del poliomio di Taylor di e x. I uo dei capitoli precedeti scrivevamo e x = +x+ x! + x3. La serie espoeziale estede all ifiito la validità della formula di Taylor e dà la possibilità 3! di scrivere e x come ua somma di ifiiti termii di tipo poliomiale. Si chiama lo sviluppo i serie di Taylor di e x. Si oti ache che co l approssimazioe poliomiale siamo costretti ad usare il simbolo = metre co la serie di Taylor possiamo sez altro scrivere =, dato che le due espressioi dao effettivamete la stessa quatità. È peraltro facile capire che e x o sia l ifiito più forte, dato che basta u xe x per avere uo più forte. No esiste u ifiito più forte di tutti gli altri. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 3.3 Criterio della radice Proposizioe Criterio della radice) Sia a ua successioe a termii positivi tale che l = lim a + esista, fiito o ifiito. Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. Osservazioe Come il criterio del rapporto, ache il criterio della radice o è applicabile quado risulta Esempi Si cosideri la serie. Si ha l = lim + lim + a =. = lim + = 0, e quidi, per il criterio della radice, la serie covergesi poteva ache utilizzare il criterio del rapporto o il criterio del cofroto). Si cosideri la serie e l. Si ha e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie lim e l = lim + + e l = lim + = 0, e l. Si ha lim e l = lim + + el = lim = 0 cofroto stadard) + e e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie lim + + ). Si ha +/) = lim + +/) = lim + e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si oti che ivece la serie 3 = /e, +/) + ) diverge i quato il suo termie geerale o tede a zero tede a /e). Alla stessa serie o è applicabile il criterio della radice, dato che lim + +/) = lim + +/) =. 3 Si ricordi il limite fodametale lim + +/) = e. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

4 CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Esercizio 3.3 a) c) e) g) + + Si studi il carattere delle segueti serie: b) + d) f) + ) h) )! + + +3 4 +5 =0 4 Criteri per serie a termii di sego o costate =0 Defiizioe Si dice che ua serie + =0 a è assolutamete covergete o che coverge assolutamete) se coverge la serie + =0 a. Osservazioe Per evitare a questo puto cofusioe, la covergeza vista fiora viee detta semplice si dice ache che la serie coverge semplicemete). Tra i due tipi di covergeza sussiste ua relazioe, espressa dalla seguete Proposizioe Se ua serie coverge assolutamete allora coverge semplicemete e si ha ioltre a a. Esempio La serie ) ha termii di sego o costate alterativamete uo positivo e l altro egativo). Essa coverge i quato coverge assolutamete. Ifatti ) =, e, come oto, + coverge. Osservazioe La proposizioe appea vista può forire u utile criterio di covergeza semplice per serie a termii o tutti positivi. L assoluta covergeza è ua codizioe sufficiete per la covergeza semplice. Nulla si può dire se o c è assoluta covergeza. Vedremo tra breve u esempio di serie covergete ma o assolutamete covergete. Tra le serie a termii di sego o costate ua classe importate è costituita dalle serie a termii di sego alterato. Ua serie è a termii di sego alterato se può essere scritta come =0 ) b, co b > 0 per ogi. Proposizioe Criterio di Leibitz le serie a termii di sego alterato) Sia b ua successioe decrescete e ifiitesima cioè che tede a zero) per +. Allora la serie + =0 ) b coverge. Esempio U caso iteressate è la cosiddetta serie armoica a segi alterati, cioè ) = + 3 + 4 5 +... Ovviamete essa o coverge assolutamete. Però coverge semplicemete: ifatti la successioe / è decrescete e ifiitesima per + e quidi per il criterio di Leibitz la serie coverge. Esempio Ache la serie decrescete e ifiitesima. = ) coverge, i base al criterio di Leibitz. Ifatti la successioe /l è l A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 3 Esempio Si faccia attezioe a o credere che la preseza el termie geerale di ua serie dell espressioe ) faccia automaticamete della serie ua serie a termii di sego alterato. Si cosideri ad esempio la serie + ). I termii dispari soo ulli, metre quelli pari valgoo. Quidi si tratta di ua serie a termii positivi e si ha + ) = La serie coicide co la serie armoica e pertato diverge. + =. Osservazioe Può succedere che i ua serie a termii di sego alterato + =0 ) b la successioe b o sia i realtà decrescete, ma lo sia da u certo puto i poi cioè sia defiitivamete decrescete). Come già osservato i altre occasioi, il carattere di ua serie o dipede da quello che succede i u umero fiito di primi termii. Ache l applicazioe del criterio di Leibitz risete di questo aspetto. Il criterio si potrebbe euciare dicedo che se la successioe b è ifiitesima e defiitivamete decrescete, allora la serie coverge. Esercizio 4. a) ) Si studi il carattere delle segueti serie: b) 5 Soluzioi degli esercizi Esercizio. = ) l c) =0 ) a) Il limite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Dividedo umeratore e deomiatore per il limite è uguale al lim + +/ 3+/ = 3. b) Il limite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Possiamo scrivere l = l. Se cosideriamo la 3/ corrispodete fuzioe di variabile reale fx) = l x, per x + si ha u oto cofroto tra u logaritmo x 3/ l ed ua poteza. Come visto i molte occasioi, si ha lim x l x + = 0 e pertato ache lim x 3/ + = 0. 3/ c) Il limite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Pesado alla fuzioe di variabile reale fx) = x+3lx e ricordado i soliti cofroti logaritmi/poteze, per x + a umeratore e a deomiatore soo 4x +5l x x trascurabili i logaritmi e quidi il limite è uguale al lim x + 4x = lim x + x che vale zero. Pertato ache +3l il limite lim + 4 +5l = 0. d) Il limite si preseta ella forma idetermiata +. Possiamo scrivere razioalizzado) + ) lim + = lim ) ++ ) + + ++ = lim + + ++ = lim + ++ = 0. I qualche caso si può stabilire il limite di ua successioe a cosiderado la serie di termie geerale a. Se la serie coverge allora la successioe tede a zero la ota codizioe ecessaria di covergeza di ua serie). Si oti che el ostro caso questo espediete o si può utilizzare, dato che la serie + + ) =0 diverge è uo dei primi esempi icotrati sulle serie). Esercizio. a) I deomiatori soo i umeri aturali dispari e quidi si può scrivere + 3 + 5 + 7 +... = + =0 +. 4 Il termie geerale è quidi a = 3 +. 4 Come già osservato altre volte, la scrittura o è uica. Si può ache scrivere ad esempio + 3 + 5 + 7 +... = + o acora + 9 o i ifiiti altri modi. 0 Si oti che ciò che fa passare da ua espressioe all altra o è che u cambio di variabile, aalogo a quelli che abbiamo visti co gli itegrali. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 4 b) I deomiatori soo i quadrati dei umeri aturali. Quidi possiamo scrivere + 4 + 9 + + 6 +... =. Il termie geerale è quidi a =. c) Notado che = 4/4, a umeratore ci soo i umeri aturali a partire da 3 e a deomiatore ci soo le poteze di a partire da ). Quidi possiamo scrivere d) Possiamo scrivere 3 ++ 5 8 + 6 6 +... = + + 6 + + 0 + + 30 +... = +. Il termie geerale è quidi a = +. +). Il termie geerale è quidi a = +). Esercizio. Si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /5. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo, ) codizioe ecessaria e sufficiete di covergeza di ua serie geometrica). I geerale la somma di ua serie geometrica covergete) di ragioe r è / r), quidi el ostro caso la somma della serie è / /5) = 5/4 la serie parte da = 0 e quidi o occorre togliere essuo dei primi termii). Esercizio.3 Possiamo scrivere / = ), e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r =. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui la serie iizia da = e quidi la somma è / r) r 0 = / r) = r/ r). Nel ostro caso quidi la somma della serie è / / =. Esercizio.4 Si ha + ) = e = + = e) e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /e. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui occorre fare attezioe al fatto che la serie parte da = e quidi la somma è / r) r 0 r = r / r) = /e +/e = /e +e). Esercizio 3. a) +. Il termie geerale o tede a zero, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge. Voledo + applicare il cofroto possiamo dire che +)/+)è equivalete a /, per + el seso che abbiamo sempre dato a questa locuzioe, cioè el seso che il limite del rapporto tra +)/+) e / è ). b) c) +. Serie a termii positivi. Possiamo dire che /+ ) è equivalete a /, per +. La serie data è quidi come la serie armoica geeralizzata + /α co α =, e quidi coverge. +). Serie a termii positivi. Sul termie geerale possiamo dire che +) = + è equivalete a, per + lo si verifichi). Quidi la serie è come la serie armoica, che diverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 5 d) = e. La serie è a termii positivi. Qui possiamo usare u cofroto co ua serie geometrica, dato che è trascurabile rispetto a, per + lo studete verifichi questa scrittura). e e La serie geometrica + = e = + = e ) coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge. Esercizio 3. a) +)!. Serie a termii positivi. Poedo a = /+ )!, il criterio del rapporto dice di calcolare il lim + a + /a ): se tale limite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso si ha a + /+3)! lim = lim + a + /+)! = lim +)! + +3)! = lim 5 = 0. + +3)+) Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. b). Serie a termii positivi. Poedo a =, calcoliamo il limite a + +) / + +) +) lim = lim + a + / = lim + + = lim + = /. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. c). Serie a termii positivi. Calcoliamo il limite +)! +)/+)! +)+)! + lim = lim = lim + /+)! + +)! + +) = 0. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. d) 3. Serie a termii positivi. Calcoliamo il limite /+)3 + ) lim + /3 = lim ) + Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 3 = lim +)3+ + 3+) = /3. Esercizio 3.3 a). Serie a termii positivi. Osserviamo che + lim + + = /. Quidi il termie geerale o tede a zero. La serie diverge. 5 Si ha ifatti +3)! = +3) +) +)!. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 b). Serie a termii positivi co termie geerale che tede a zero. Si può usare il criterio del rapporto )! provare) oppure u cofroto. Osservado che )! = ) ) > ) se >, c) allora possiamo dire che la serie data è miorate della serie + / )). Quest ultima è come + /, che coverge. Quidi la serie data coverge per il criterio del cofroto. +. Serie a termii positivi. Semplicemete co u cofroto: la serie è come + /, che diverge. d) e) + + +. Serie a termii positivi. Trascurado le quatità trascurabili, la serie è come + 3/, che coverge., cioè +. Termii positivi e termie geerale che tede a zero lo si verifichi). Si può fare col criterio del rapporto provare), ma forse qui coviee il criterio della radice. Ricordo che, detto a il termie geerale della serie, il criterio della radice dice di calcolareil lim + a : se tale limite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso calcoliamo il lim + / = lim / = lim ) / = lim + + + + ). Ora il fattore / tede a zero, metre il fattore = / tede a, per +. Quidi il limite vale 0 e, per il criterio della radice, la serie data coverge. +3 f) 4 +5. Termii positivi e termie geerale che tede a zero lo si verifichi). Possiamo prima semplificare l espressioe del termie geerale trascurado le quatità trascurabili, che soo a umeratore e 4 a =0 deomiatore lo studete verifichi che i effetti è così). Quidi possiamo scrivere che g) +3 3 4 è equivalete a +5 5 = ) 3, per +. 5 Allora la ostra serie è asitotica alla serie geometrica + =0 3 5 ), che coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge per il criterio del cofroto asitotico. + ). Vediamo itato se il termie geerale tede a zero. lim + = lim + ) + + = lim ) ) + = + e, ) ricordado il limite fodametale. Pertato il termie geerale della serie data o tede a zero e quidi la serie diverge. h) =0. Il termie geerale tede ovviamete a zero. Cerchiamo di applicare il criterio della radice co il lim = lim + + = 0. Quidi i base al criterio della radice la serie data coverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 7 Esercizio 4. a) b) c) ). Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe radice è crescete è ua poteza di espoete positivo). Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + / = + // è ua serie armoica geeralizzata divergete. = ) l. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /l. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe logaritmica è crescete. Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + = /l diverge: ifatti, come i u esercizio molto simile i precedeza, ricordado che l è trascurabile rispetto ad, possiamo affermare che / è trascurabile rispetto a /l. Pertato, dato che la serie armoica diverge, allora diverge ache la serie data. =0 ) 3. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. La successioe 3 tede a zero per + ed è decrescete dato che la fuzioe espoeziale a deomiatore è crescete. Quidi la serie data coverge i base al criterio di Leibitz. Questa volta c è ache covergeza assoluta, dato che la serie + =0 3 è uguale a + =0 3 e quest ultima coverge essedo ua serie geometrica di ragioe 3. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza