Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html. Itroduzioe al corso. Itroduzioe alla statistica, statistica descrittiva. Frequeza assoluta e relativa. Modi di rappresetare graficamete i dati. Aggregazioe di dati i classi. Campioe, media campioaria e sue proprietà. Media pesata. Mediaa e moda. Lezioe 2 (28/9, ore 16:30). Materiale e comuicazioi alla pag. di F. Fladoli: http://www2.ig.uipi.it/~a008484/dispstatisticagestioaletrieale.html. Iizio dello studio del capitolo 3, sui fodameti del calcolo delle probabilità. Vegoo date le defiizioi di uiverso, eveti, eveti elemetari o esiti; essi vegoo esemplificati mediate affermazioi riguardati il possibile risultato del lacio di u dato. Vegoo discusse le operazioi (uioe, itersezioe e complemetare) su eveti, collegadole alle operazioi logiche sulle relative affermazioi. Viee poi defiita la probabilità (iterpretata ituitivamete col cocetto di massa). Vegoo illustrazioe alcue regole che discedoo dagli assiomi, su P (A c ) e P (A B) ache el caso o disgiuto (iterpretate tramite l idea di massa). Viee spiegato che i uo spazio Ω fiito è suffi ciete avere le probabilità degli esiti, dalle quali si calcolao le probabilità di tutti gli eveti. Lezioe 3 (1/10, ore 10:30). Desità di probabilità ed esempio di probabilità associata, desità espoeziali, desità discrete ed esempio di probabilità associata, desità geometriche. Probabilità codizioale, iterpretazioe grafica, osservazioe sul fatto che è ua probabilità (metre P (A B) o ha particolari proprietà rispetto a B). Formula di fattorizzazioe, dimostrazioe, rappresetazioe tramite albero degli eveti. Esercizio sulle vedite di vio, che esemplifica il cocetto di probabilità codizioale e la formula di fattorizzazioe. Defiizioe di idipedeza tra eveti, a partire dalla codizioe P (A B) = P (A). Lezioe 4 (5/10, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Variaza e deviazioe stadard campioaria co esempi e teciche per abbreviare il calcolo. Percetili campioari e quartili. Box plot. Formula di Chebyshev 1
co dimostrazioe ed esempi di applicazioi. Campioi ormali, asimmetrici, bimodali. Campioi bivariati e coeffi ciete di correlazioe campioario. Lezioe 5 (5/10, ore 16:30). Dimostrazioe del fatto che l idipedeza tra due eveti A e B equivale alla proprietà P (A) = P (A B) ( A o dipede da B ), ed equivale a P (B) = P (B A) ( B o dipede da A ); queste ultime quidi equivalgoo, pur o essedo simmetriche. Esercizio. U sistema S è composto da tre sottosistemi S 1, S 2, S 3. La probabilità che S i si rompa è p i. Suppoedo che il fuzioare o meo dei sottosistemi sia idipedete, calcolare la probabilità che si rompa S. Osservazioe: la proprietà che A e B siao idipedeti equivale a: A c e B c soo idipedeti; ed ache a: A e B c soo idipedeti; ed ifie a: A c e B soo idipedeti. Lezioe 6 (8/10, ore 10:30). Formula di Bayes, u esempio, liguaggio cause-effetti, probabilità a priori ed a posteriori delle cause; problema della causa più probabile, ache el caso di cause a priori equiprobabili, iterpretazioe del calcolo sull albero degli eveti. Fuzioe di distribuzioe cumulativa el caso cotiuo e discreto, sue proprietà, grafici, esempio dell espoeziale. Cocetto di variabile aleatoria, coessioe co le desità e la cumulativa. Lezioe 7 (12/10, ore 11:30). Cardialità di u isieme. Spazi di esiti equiprobabili; P (A) = A Ω (rapporto tra il umero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili). Elemeti di calcolo combiatorico. Pricipio di eumerazioe. Fattoriale e coeffi cieti biomiali. {permutazioi} =!, {disposizioi} = ( 1) ( k + 1) (verificati col pricipio di eumerazioe). Le fuzioi biuivoche f : {1,..., } {1,..., } soo le permutazioi; le fuzioi iiettive f : {1,..., k} {1,..., } soo le disposizioi. Teorema: {combiazioi} = ( k). Dimostrazioe usado classi di equivaleza di disposizioi. Esercizi sulle combiazioi (icluso esempio 3.5.4 del libro, detta distribuzioe ipergeometrica). Lezioe 8 (12/10, ore 16:30). Variabili aleatorie discrete, loro valori, loro desità discreta e suo grafico. Esempi: Beroulli e biomiale (verifica della somma 1 col biomio di Newto). Grafici tipici della biomiale. Euciato del teorema che lega Beroulli e biomiali. Esempio della baca e dei corretisti, i cui si vuole calcolare la probabilità che il umero di corretisti che si preseta superi ua certa soglia. Esercizi per casa su fattorizzazioe e Bayes: es. 10 (H2) del 28/05/2010; 2
es. 1 del 20/07/2010; es. 1.i del 29/06/2010. Si cosiglia ache la lettura degli esempi 3.5.3, 3.7.4, 3.7.7. Lezioe 9 (15/10, ore 10:30). Descrizioe del foglio Excel da preparare a casa, coteete i valori della biomiale, desità e cumulata, che serve a calcolare probabilità e soglie. Ogi studete deve predisporre u tale foglio persoalizzadolo co la risoluzioe di u problema. Dimostrazioe rigorosa del teorema che lega Beroulli e biomiali. Valor medio aritmetico (empirico) di u campioe e valor medio (valore atteso) teorico di ua v.a. Legame tra i due: detti a k i valori della v.a. X e p (a k ) le loro probabilità, la def. di media è E [X] = a k p (a k ), metre vale x = x 1 +... + x = a k p k dove p k è la frequeza relativa empirica co cui si osserva a k el campioe. Esempi elemetari di calcolo del valor medio. Iterpretazioe grafica, casi simmetrici. Esercizio per casa (probabilità che al massimo uo su sette abbia successo). Lezioe 10 (18/10, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Esercizi su probabilità discreta. Lezioe 11 (19/10, ore 11:30). Proprietà del valor medio: positività, mootoia, liearità (seza dimostrazioe). Valor medio di ua Beroulli e di ua biomiale. V.a. di Poisso, verifica della somma 1, teorema degli eveti rari. Valor medio di ua Poisso. Schema di Beroulli (schema successo-isuccesso). Numero di successi su prove: v.a. B (, p); oppure approssimativamete P (λ) se è grade e p è piccolo (successi rari); λ = p = umero medio di successi. Primo istate di successo: geometrica (co la covezioe che si parte dal tempo 0). Trasformazioi di v.a. discrete, valor medio di ua trasformazioe, esempi ed esercizi. Variaza e deviazioe stadard. V ar [X] = E [X 2 ] µ 2 X. Esempio della Beroulli. Lezioe 12 (19/10, ore 16:30). Eleco provvisorio di formule geerali (es. liearità del valor medio e E [XY ] = E [X] E [Y ] el caso di v.a. idipedeti che vedremo i seguito) e di valori medi particolari (media e variaza di Beroulli, biomiali, Poisso, dado per buoe le formule delle variaze che vedremo). Esercizi vari simili a quelli dei compiti. 3
Lezioe 13 (25/10, ore 10:30). Proprietà della variaza. V.a. idipedeti: proprietà del valor medio del prodotto (seza dimostrazioe), cosegueze sulla variaza della somma. Defiizioe di covariaza e di v.a. scorrelate, legame co l idipedeza, teorema geerale sulla variaza della somma. Media e variaza di Beroulli (dalla defiizioe) e biomiale (usado le proprietà di valor medio e variaza di ua somma). Cocetrazioe delle biomiali, problema dei 10000 uteti. Fuzioe geeratrice dei mometi, teorema di legame coi mometi, teorema sulla geeratrice della somma di v.a. idipedeti. Geeratrice di Beroulli, biomiale, Poisso e calcolo della variaza di ua v.a. di Poisso. Idee sul fatto che variaza e geeratrice di ua Poisso si possoo dedurre ituitivamete dal teorema degli eveti rari. Media e variaza di ua v.a. espoeziale, dalla defiizioe. Geeratrice di v.a. co desità, esempio delle espoeziali, per le quali o è fiita per tutti i valori del parametro. Eleco di desità, media, variaza e geeratrice di ua gaussiaa N (µ, σ 2 ), per ora seza tutti i calcoli. Nota: se si escludoo alcue domade basate su quatili e cumulativa gaussiaa e relative tavole, e sul teorema limite cetrale (TLC), si possoo svolgere praticamete tutti gli esercizi teorici delle prove scritte (tali prove soo divise i ua serie di domade teoriche ed ua di domade di statistica, di solito raggruppate i due esercizi separati, quidi facilmete idetificabili). Lezioe 14 (26/10, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Esercizi su valore atteso, probabilità di eveti e fuzioi caratteristiche per v.a. beroulliae, biomiali, poissoiae e gaussiae. Lezioe 15 (2/11, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Disuguagliaze di Markov e di Chebishev, covergeza i probabilità, legge debole dei gradi umeri. Esercizi su probabilità discreta, variabili Beroulliae e biomiali. Lezioe 16 (8/11, ore 10:30-12:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Stadardizzazioe e riproducibilità della variabile gaussiaa. Uso delle tabelle della fuzioe di ripartizioe della gaussiaa stadard. Quatili gaussiai (stadard e o). Somma di gaussiae idipedeti e ideticamete distribuite. Teorema limite cetrale. Euciato ed esempio di utilizzo. Lezioe 16 (8/11, ore 12:30-13:30). Dimostrazioe del teorema limite cetrale. Esercizi dai compiti. 4
Lezioe 17 (9/11, ore 11:30). Iizio della Statistica Matematica. Defiizioe di campioe X 1,..., X e di X, legame e differeze rispetto a x 1,..., x e di x, ache esemplificato i u problema di vedite e dati gioralieri, passati e futuri. Teorema su media e variaza di X, e sulla sua gaussiaità i ipotesi di gaussiaità delle X i. Legami tra X (o x) e µ. Oltre ad uo già visto alla lezioe 9, il teorema precedete idica il legame E [ X ] = µ (stimatore corretto) e E [ X µ 2] = σ 2 che quatifica la viciaza tra X e µ (iterpretazioe grafica). Si poe u problema più strigete di quatificazioe: discutere la validità di ua disuguagliaza del tipo X µ δ. Viee discussa ituitivamete, poi viee calcolata P ( ) X µ δ trovado P ( ( ) ( ) X µ δ δ = Φ Φ δ ). σ σ Esercizio per casa: risolvere u problema iverso, cioè di trovare δ tale che P ( X µ δ ) = 0.95. Lezioe 18 (15/11, ore 10:30). Itervalli di cofideza. Basadosi sul risultato della lezioe precedete, si risolve il problema iverso, di trovare il umero δ tale che P ( X µ δ ) = 1 α. Si trova δ = σq 1. Di passaggio, viee sottolieato che l equazioe Φ (x) = β equivale a x = q β. Risultato espresso ella forma: µ = X ± σq 1 co probabilità 1 α. Quado dai dati sperimetali si trova x, scriveremo: µ = x ± σq 1 a livello di cofideza 1 α. Aalisi della formula δ = σq 1 al variare di α ed. Esercizio dai compiti, i cui si applica la formula, icotrado il problema della scelta di α, che ecessita di avere capito il sigificato, e del calcolo di σ. Problema dell ipotesi di gaussiaità, aiuto dal TLC per quato riguarda la formula dell itervallo di cofideza. Problema del calcolo della quatità da teere i magazzio, differeze e legami relativamete al problema precedete (calcolo della soglia più cautelativo, usado come media il valore estremo dell itervallo di cofideza). Lezioe 19 (16/11, ore 11:30). Soluzioe molto dettagliata dell esercizio 1 del 17/9/2011, domade i, ii, iii, iv. 5
Lezioe 20 (22/11, ore 10:30). Teoria dei test statistici (verifica delle ipotesi). Problema, partedo dall esercizio 1 del 17/9/2011, domada v, della differeza tra u uovo campioe ed uo vecchio, o meglio (ipotizzado che il campioe vecchio avesse determiato i parametri co esattezza), della differeza tra u uovo campioe ed ua vecchia media µ 0. Elemeti di teoria: ipotesi ulla H 0, regioe di rifiuto e di accettazioe, probabilità α che la gradezza statistica su cui si basa il test cada ella regioe di rifiuto quado H 0 è vera, schema del test. Esemplificazioe co caso del test sulla media. La base è il teorema sugli itervalli di cofideza. Riformulazioe caoica del test (dati z, α q 1 α, cofroto tra z e q 1 α ). 2 2 Valore p, defiito come il valore di demarcazioe tra gli α per cui il test rifiuta H 0 (si verifica che soo quelli che verificao α > p) e quelli per cui il test o rifiuta H 0 (quelli che verificao α < p). Calcolo del valore p el test per la media. Test i quest ottica: dati z p, valutazioe della sua piccolezza. Lezioe 21 (23/11, ore 10:30). Valore p defiito come probabilità che i valori teorici siao più estremi di quelli sperimetali: P ( Z > z ) el caso del test per la media. Giustificazioe ituitiva e sigificato egli esempi. Esercizio 1 di Luglio 2011, domade (i) e (iii). Lezioe 22 (29/11, ore 10:30). Errori di prima e secoda specie, loro probabilità, poteza di u test, esempio di cotrollo della qualità. Lezioe 23 (30/11, ore 11:30). Test uilaterali, modalità, coveieza, esercizi, p-value. Lezioe 24 (6/12, ore 10:30). Esercizi su stime della media e itervalli di cofideza, test per la media, soglie. Lezioe 25 (7/12, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati. Variabili aleatorie chi quadro, legame co la variaza campioaria, elemeti di statistica legati alle chi quadro. Lezioe 25 (13/12, ore 10:30). Esercizi proposti di statistica. Lezioe 26 (14/12, ore 11:30). Esercizi proposti di statistica. 6