2. Torsione per la sezione generica (prof. Elio Sacco)

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1 . Torsione per la sezione generica (prof. Elio Sacco).. Torsione per la sezione generica... Cinemaica Nel caso di sezione generica, la cinemaica della rave consise nella roazione relaiva ra le sezioni della rave secondo un angolo specifico di roazione Θ cosane lungo l asse della rave, come accade per la sezione circolare, ed un ingobbameno della sezione anch esso cosane rispeo ad x. Si assume quindi che il veore di sposameno abbia la forma: u= xθ x +Θωe (.) ovvero in forma esplicia: u u u = x x Θ = x x Θ = ω Θ (.) essendo ω = ω( x, x) la funzione di ingobbameno che dipende solo dalla geomeria della sezione e x x = (.) x Definio che sia il campo di sposameni dalla (.) è possibile calcolare le deformazioni ad esso associao: ε = ε = ε = ε = 0 ε ε =Θ ω x, =Θ ω + x, (.4) ovvero, inroducendo il veore di deformazione: γ ε γ = = =Θ( + x ) (.5) ω γ ε... Legame cosiuivo Le ensioni si ricavano ramie legame cosiuivo: 8

2 σ = σ = σ = σ = 0 σ = GΘ ω x σ, = GΘ ω + x, (.6) ovvero, inroducendo il veore le cui due componeni sono le ensioni angenziali non nulle: σ τ = = Θ( + x ) (.7) G ω σ... Equilibrio Le equazioni indefinie di equilibrio forniscono: 0 = σ = GΘ ω x 0 = σ = GΘ ω + x,,,,,, 0 = σ + σ = GΘ ( ω + ω ),,,, (.8) La prima e la seconda delle (.8) sono verificae poiché, per ipoesi, Θ è cosane lungo l asse della rave. l conrario, la erza delle (.8) non è auomaicamene verificaa e conduce all equazione di campo: ω + ω = ω = (.9),, 0 L equazione ai limii sul manello della rave, come illusrao in Figura, fornisce: 0 = τ n= GΘ( ω + x ) n (.0) La relazione (.0) equivale a: 0 = ω n+ x n (.) G x x n x Figura : Torsione per la sezione generica. 9

3 Essendo x = e x, l equazione (.) divena: 0 ω ω = n e n x= n x con = e n la angene al conorno della sezione rea. Poso generico puno della sezione si calcola come: per cui la (.) si riscrive nella forma: ρ ρ ρ llora, l equazione di equilibrio al conorno si può scrivere come: ρ = x x, il veore posizione del x = = (.) 0 = ω n ρ ρ (.) ω n= ρ ρ (.4)..4. Problema di Neumann In definiiva l equazione indefinia di equilibrio (.9) e la condizione ai limii (.4) conducono al seguene problema alle derivae parziali per la deerminazione di ω : ω = 0 in ω n= ρ ρ su (.5) noo come problema di Neumann per l equazione di Laplace. E chiaro l aspeo puramene geomerico del problema (.5). In analisi maemaica si mosra che la soluzione del problema di Neumann esise ed unica, a meno di una cosane arbiraria, purché sia soddisfaa la condizione: John von Neumann (Budapes, 8 dicembre 90 Washingon, 8 febbraio 957) maemaico e informaico sauniense di origine ungherese. Fu una delle personalià scienifiche premineni del XX secolo cui si devono fondamenali conribui in campi come eoria degli insiemi, analisi funzionale, opologia, fisica quanisica, economia, informaica, eoria dei giochi, fluidodinamica e in moli alri seori della maemaica. Pierre Simon marchese di Laplace (Beaumon-en-uge, marzo 749 Parigi, 5 marzo 87) maemaico, fisico e asronomo francese. Fu uno dei principali scienziai nel periodo napoleonico. Ha dao fondamenali conribuii a vari campi della maemaica, dell'asronomia e della eoria della probabilià ed è sao uno degli scienziai più influeni al suo empo, anche per il suo conribuo all'affermazione del deerminismo. Laplace, infai, diede la svola finale all'asronomia maemaica riassumendo ed esendendo il lavoro dei suoi predecessori nella sua opera in cinque volumi écanique Célese (eccanica celese) (799-85). Queso capolavoro ha rasformao lo sudio geomerico della meccanica sviluppao da Newon in quello basao sull'analisi maemaica. Nel 799 fu nominao minisro degli inerni da Napoleone che nel 806 gli conferì il iolo di cone dell'impero. Fu nominao marchese nel 87, dopo la resaurazione dei Borboni. 0

4 ω n ds = 0 (.6) Nel caso in esame la condizione di esisenza (.6) è soddisfaa. Infai, enendo cono delle (.4) e (.), si ha: n = = = 0 (.7) ω ds ρ ρ ds ρ ds essendo ( ρ ) ds un differenziale esao. La cosane a meno della quale si individua la soluzione del problema rappresena uno sposameno rigido lungo l asse x della rave. Essendo u = Θ ω la componene dello sposameno del generico puno in direzione dell asse della rave, l indeerminazione della soluzione del problema (.5) è eliminaa ponendo nullo lo sposameno medio: w = u d = Θ ωd = 0 ωd = 0 (.8) in al modo la funzione ω ( x, x) resa univocamene deerminaa...5. Risulani E necessario ora verificare la validià della soluzione, conrollando che la risulane sia nulla ed il momeno risulane dia il momeno orcene applicao. f ale scopo si osserva inizialmene che le caraerisiche della solleciazione N ed sono nulle essendo σ = 0. Inolre, ricordando che τ n = 0 su, si consideri l inegrale: che, per il eorema della divergenza fornisce: ( ) ds σ 0 = x τ n = x n ds (.9) i i (.0) 0 = x jσi d = x jσ i i, id + x j, iσid = x jσi, id + σ jd = V, j essendo per la (.8) σ, + σ, = 0. In definiiva, si ricava che la risulane del aglio è nulla. Per quano riguarda il momeno orcene, endendo in cono le espressioni delle ensioni angenziali (.6) e (.6), si ha: = e x τd = x σ x σ d ( ) = GΘ x ω + x x ω x d,, ω, ω, = GΘ x + x + x x d = GΘ Ip + x ω, xω, d (.)

5 Inroducendo il faore di rigidezza orsionale J : si oiene: p ω, ω, (.) J = I + x x d Θ= GJ La soluzione in ermini di sposameni, deformazioni e ensioni, del problema dell equilibrio elasico della rave di sezione generica soggea a orsione, risula quindi: u = xx GJ u u = = x x GJ ω GJ (.) ε ε = ω, x GJ = ω, + x GJ (.4) σ σ = ω, x J = ω, + x J (.5) dove la funzione di ingobbameno ( x, x ) ω si oiene risolvendo il problema di Neumann (.5)... Funzione di Prandl Il problema della orsione può essere risolo in maniera alernaiva araverso l uso della funzione di Prandl dea anche la funzione delle ensioni. Si suppone che le ensioni derivino dalla funzione delle ensioni (o di Prandl) F = F( x, x) ramie la relazione: Ludwig Prandl (4 February ugus 95) fisico edesco. E sao un pioniere dell areodinamica e sviluppò le basi maemaiche per I principi fondamenali dell aeronauica subsonica nel 90. I suoi sudi hanno idenificao lo srao di conorno, i profili alari soili e le eorie della poranza. Il numero di Prandl prende nome da lui.

6 F τ = = e F (.6) F,, ovvero: σ (, ) σ (, ) x x = F x x = F (.7),, In al modo la erza equazione indefinia di equilibrio (.8) divena: 0= σ + σ = F F = 0 (.8),,,, ovvero è auomaicamene soddisfaa. Dalle ensioni definie ramie le relazioni (.7) si ricavano le deformazioni: ε = ε = ε = ε = 0 ( x x ) ε, ( x x ) ε, F, = G F, = G (.9)... Problema di Dirichle La paricolare scela per la rappresenazione delle ensioni angenziali assicura la condizione di equilibrio. Per verificare la congruenza associaa alle deformazioni (.9), è necessario imporre il soddisfacimeno delle equazioni indefinie di congruenza inerna, che nel caso generale risulano: ε ε = ε ε,,,, ε ε = ε ε,,,,,,,, ε ε = ε ε,,, ε ε = ε ε,,, ε ε = ε ε,,, ε ε = ε ε,,, (.0) e per il problema in esame si riducono alle: 0 = ε ε = ε ε 0 = ε ε = ε ε,,,,,,,,,, (.) in alri ermini si ha: ε, ε, = cosane (.)

7 L equazione (.) può essere riscria in ermini di ensioni angenziali: G ε ε = σ σ = k (.),,,, 0 essendo k 0 una cosane. Tenendo cono delle relazioni (.7), la (.) divena: σ σ = F + F = k (.4),,,, 0 D alra pare, ricordando le espressioni (.6) e (.6) delle ensioni angenziali oenue a parire dalla formulazione cinemaica del problema, si ha: σ σ = GΘ( ω ω + + ) = GΘ (.5),,,, e quindi, per la (.4), k0 = GΘ, ovvero: F + F = F = GΘ (.6),, che rappresena la condizione necessaria e sufficiene di congruenza per il problema della orsione di una sezione monoconnessa. Per quano riguarda la condizione di equilibrio sul manello della rave, la (.0) si rasforma in: 0 F F F = τ n= e n= e n= (.7) cioè F cosane su. Nel caso di sezione monoconnessa la cosane può essere posa uguale a zero perchè lo sao ensionale non dipende da quesa cosane, essendo oenuo come gradiene di F. L equazione di campo (.6) con la condizione al limie (.7) conduce al problema di Dirichle 4 : F = GΘ in F = 0 su (.8) Nauralmene, una qualsiasi funzione F ) definia come: ) F = F + k con k cosane risolve il problema (.8). 4 Johann Peer Gusav Lejeune Dirichle (Düren, febbraio maggio 859) maemaico edesco ricordao soprauo per la moderna definizione "formale" di funzione. Egli fu educao in Germania e quindi in Francia, dove ebbe modo di isruirsi da moli dei più celebri maemaici del empo. Il suo primo lavoro riguardava l'ulimo eorema di Ferma. Per quano riguarda il suo conribuo alla meccanica razionale, è di fondamenale imporanza per lo sudio delle vibrazioni e dell'equilibrio sabile dei sisemi il Crierio di Dirichle per i sisemi soggei solamene a forze conservaive. 4

8 ... Risulani Nasce ora l esigenza di verificare che la risulane delle ensioni sia nulla e che il momeno risulane fornisca una solleciazione di pura orsione. La risulane delle ensioni angenziali τ definie dalla relazione (.6) vale: V = τ d = e F d = e Fnds = 0 (.9) essendo F = 0 sul conorno della sezione. nche qualora si consideri la funzione F ), che assume valore k sul conorno, si dimosra agevolmene che V = 0. Infai: Il momeno orcene vale invece: V τ e = d = ) F d = e Fnds ke nds = 0 k ds= 0 (.40) = e x τ d = e x ( F e ) d = x ( ) = e e x ( x) ( x) = Fx nds+ Fd F d Fd = div F d + Fdiv d (.4) ma il primo inegrale dell ulimo ermine è nullo, essendo per la seconda delle (.8) F = 0 su, per cui si ha: = Fd (.4) Nel caso si consideri F ) si perviene allo sesso risulao. Infai, si ha: ) ) = Fx nds+ Fd = Fx nds k x nds + Fd + k d = 0 k div x d+ Fd+ k = 0 k d+ Fd+ k = 0 k + Fd + k = ( ) Fd 5

9 ... Ingobbameno Infine, inverendo la relazione (.7) e enendo cono della (.6) si ricava l espressione del gradiene della funzione di ingobbameno ω in funzione della funzione delle ensioni F : τ e x e x GΘ GΘ F x = + GΘ ( F ) ω = = +, F x, (.4) Noe che siano la funzione F e l angolo uniario di orsione Θ ramie le equazione (.8) e (.4), dalla (.4) si ricava ω in funzione del momeno orcene e quindi si definiscono gli sposameni della rave...4. Soluzione In definiiva, per deerminare la soluzione del problema della orsione uilizzando la formulazione di Prandl, si esegue la procedura:. Si risolve il problema deerminando così la funzione ( ) ) F = in ) (.44) F = 0 su ) F x, x ;. Si assume F( x, x ) G F( x, x ) = Θ ) ;. Si impone che la funzione (, ) F x x soddisfi la condizione di equilibrio: ) (.45) = Fd = 4 G Θ Fd deerminando l angolo uniario di orsione come: Θ= 4G Fd ) (.46) 4. Si ricava l ingobbameno inegrando l equazione: F x ω = + GΘ F x,, (.47)..5. Sezione elliica Si consideri una rave con sezione elliica di semidiameri a e b, soggea ad una solleciazione di orsione uniforme. Come dimosrao, è possibile valuare lo sao ensionale che insorge nella sezione e l ingobbameno che essa subisce, araverso la funzione di Prandl. Per la sezione elliica la funzione delle ensioni assume la forma: 6

10 ab x x F( x, x) = GΘ a b + a b + (.48) parire dalla specifica espressione della funzione di Prandl è possibile ricavare le ensioni angenziali, ramie le relazioni: e gli scorrimeni angolari che ne derivano: a σ = F, = GΘ x a + b σ (.49) b = F, = GΘ x + a b γ a = σ = Θ + x G a b (.50) b = σ = Θ x + γ G a b Per quano concerne la funzione di ingobbameno, essa è oenibile mediane l inegrazione delle relazioni: ω, = F, + x G Θ ω, = F, x G Θ (.5) rispeivamene lungo la direzione x e x. Tali inegrazioni conducono alla medesima espressione della funzione d ingobbameno, che divena: ω ( x, x ) a = a b + b x x (.5)..6. Sezione reangolare Si prenda in esame il caso di una rave con sezione reangolare di dimensione a b, solleciaa da un momeno orcene cosane. Nel caso di sezione reangolare il problema della orsione uniforme viene affronao araverso la ecnica dello sviluppo in serie di Fourier. In paricolare, sviluppando in serie il ermine noo dell equazione differenziale (.44) si ha: f 6 mπ x nπ y = sin sin (.5) nm a b m= n= π dispari dispari essendo x=x e y=x. Poso: 7

11 F% = m= n= m= n= m= n= m= n= % B% C% mn D% mn mn mn mπ x nπ y sin sin a b mπ x nπ y sin cos a b mπ x nπ y cos sin a b mπ x nπ y cos cos a b (.54) l equazione di Prandl assume la forma: = m= n= m= n= m= n= m= n= % B% C% D% ( + ) π mb na mπ x nπ y mn sin sin ab a b ( + ) mb na m x n y π π π mn sin cos ab a b ( + ) mb na m x n y π π π mn cos sin ab a b ( + ) π mb na mπ x nπ y mn cos cos ab a b 6 mπx nπy sin sin π m= n= nm a b dispari dispari (.55) ovvero: ( + ) 0= sin sin π mb na 6 mπx nπy % mn m= n= ab nmπ a b dispari dispari ( mb + na ) π ( mb + na ) mn π mπ x nπy mπx nπy + % mn sin sin + % sin sin m= n= ab a b m= n= ab a b dispari pari pari dispari (.56) π ( mb + na ) + % mπx nπy π ( mb + na ) mπx nπy mn sin sin + B sin cos % mn ab a b ab a b m= n= m= n= pari pari ( mb + na ) π ( mb + na ) D mn π mπx nπy mπx nπy + C% cos sin + % cos cos ab a b ab a b mn m= n= m= n= Dovendo l equazione (.56) essere valida per ogni x e y, devono annullarsi ui i coefficieni della sommaoria; ciò consene di pervenire alla seguene espressione della funzione F % : 8

12 % (, ) = sin sin 4 m= n= nmπ m b n a a b (.57) F x x ( dispari) ( dispari) E possibile quindi deerminare la quanià: Per cui dalla relazione (.46) si ricava: ( dispari) ( dispari) 6ab ( + ) 64ab ( + ) mπ x nπ x Fd % = (.58) 6 m= n= n m π m b n a Θ= = 4G Fd % 4G m= n= ( dispari) ( dispari) 64 ab ( + ) n m π m b n a 6 (.59).. Sezione reangolare allungaa Si considera ora il caso in cui la sezione della rave di forma reangolare di dimensione a b con un lao di dimensione molo maggiore dell alro: a >> b. In queso caso non appare applicabile a rigore il principio di Sain-Venan, in quano, come risula evidene, la sezione non è compaa. Si suppone allora che la solleciazione di orsione sia applicaa in modo opporuno sulle basi della rave, ed in seguio si vedrà cosa si inende per modo opporuno. Si sceglie il sisema di riferimeno in modo ale che l origine sia baricenrica e l asse x sia parallelo al lao maggiore a, come mosrao in Figura. b x a Figura : Sezione reangolare allungaa. x Se la sezione raengolare è sufficienemene allungaa, ed al limie il rapporo ab / ra il lao maggiore e quello minore ende ad infinio, appare giusificao supporre che la ensione angenziale τ non dipenda dall ascissa x, ovvero τ, = 0. La erza equazione indefinia di equilibrio (.8), riscria nella forma: σ, σ, 0 + = (.60) 9

13 assicura che σ, = 0, ovvero la componene angenziale σ non dipende da x. D alra pare, la condizione al conorno sul manello della rave (.0) impone che sul bordo della sezione la ensione angenziale sia angene al bordo sesso. Se ne deduce che sui due lai maggiori della sezione reangolare la ensione angenziale ha componene solo lungo la direzione x, ovvero σ ( ± b/ ) = 0. llora lungo ogni corda la componene angenziale σ è nulla.... Funzione di Prandl Si vuole ora affronare il problema della orsione per la sezione reangolare allungaa ramie la eoria di Prandl, uilizzando cioè la funzione delle ensioni F. Sulla base delle considerazioni appena sviluppae, si raa di cosruire una funzione F che soddisfa le condizioni (.8), ovvero che sia a laplaciano cosane e che assuma valore nullo per x = ± b/. ale scopo si assume: b b b F = c x + x = c x 4 (.6) con c cosane che viene deerminaa uilizzando l equazione di congruenza nel campo (.8) : F = c= GΘ (.6) In definiiva, ricavando la cosane c dall equazione (.6) e sosiuendola nella forma di rappresenazione di F (.6), si oiene: b F = GΘ x 4 (.6) L angolo specifico di orsione Θ si calcola imponendo che il momeno risulane delle ensioni angenziali sia il valore assegnao. Infai, uilizzando la formula (.4) si ha: b = Fd = GΘ x d = GΘJ 4 (.64) dove il faore di rigidezza orsionale J vale: ab J = (.65) Inverendo la (.64), enendo cono della relazione (.65), si oiene finalmene: Θ= (.66) Gab Una vola rovao il valore di Θ si sosiuisce nell espressione (.6) della funzione di Prandl F e si oiene: 0

14 b F = x ab 4 (.67) Infine, uilizzando le espressioni (.7) che forniscono le componeni della ensione angenziale in funzione di F, si ha: 6 σ = F, = x σ = F, = 0 (.68) ab Il modo opporuno, di cui si parlava in precedenza, con il quale viene applicaa la solleciazione di orsione sulle basi della rave, è definio dalla forma delle ensioni angenziali (.68). Nella generica sezione della rave, la ensione angenziale massima in valore assoluo si ha per x =± b/ : τ max = (.69) ab... Effeo di bordo Tenendo cono dell equazione (.6) l espressione della ensione angenziale (.68) può essere riscria nella forma equivalene: σ = GΘ x σ = 0 (.70) Volendo allora calcolare il valore del momeno orcene in funzione di Θ, come momeno risulane della disribuzione delle ensioni angenziali espresse dalla (.70), si ha: ( σ σ ) = e x τ d = x x d ab = GΘ x d= GΘ 6 (.7) Si evidenzia che il risulao appena oenuo ramie l espressione (.7) è in conraso con quello oenuo ramie la formula (.66). Infai la (.7) fornisce un momeno orcene pari alla meà di quello calcolao con la (.66). Tale risulao è dovuo all approssimazione ipoizzaa sull andameno del veore τ nella sezione. Le espressioni (.70) delle ensioni angenziali non soddisfano la condizione (.7) per x = ± a/. Le formule (.70), infai, forniscono una buona approssimazione dell andameno delle ensioni angenziali nella pare cenrale della sezione, menre presenano un andameno inacceabile per x =± a/. In realà, volendo soddisfare la condizione di manello scarico su ua la froniera della sezione, si dovrà ammeere un differene andameno delle ensioni angenziali, rispeo a quello definio dalla (.70), in paricolare in prossimià delle due zone di esremià della sezione. Si consideri allora una di quese due zone e si imponga la condizione di equilibrio su una qualsiasi pare P della sezione che risieda in quesa zona, come mosrao in Figura.

15 τ P τ x τ Figura : Zona di esremià della sezione reangolare allungaa. τ L equazione di equilibrio scria in forma inegrale su P fornisce: 0 = div( τ) d = τ n ds (.7) P ovvero, come noo per i cosidei campi solenoidali, a divergenza nulla, il flusso del veore τ enrane nella pare P della sezione deve eguagliare quello uscene. Con riferimeno alla Figura, volendo allora rispeare la condizione di manello laerale della rave scarico, si dovrà supporre che, per bilanciare il flusso enrane in P, la ensione angenziale in prossimià degli esremi della sezione deve cambiare direzione ed assumere quindi componene non nulla in direzione di x. In definiiva, nelle zone in prossimià di x = ± a/ si hanno ensioni angenziali con componene non nulla in direzione x. Tali ensioni, per quano relaive ad una zona di piccola esensione, hanno un braccio d applicazione pari circa ± a/, e quindi conribuiscono noevolmene nel calcolo del momeno orcene. Per correggere allora la formula (.7) si dovrà ener cono anche del momeno orcene derivane dalle ensioni angenziali σ ageni nelle vicinanze delle esremià della sezione reangolare. ale scopo si suppone per semplicià che la dimensione d di ognuna delle due zone di esremià della sezione ove si hanno ensioni angenziali σ sia molo piccola, come schemaicamene riporao in Figura 4. P

16 τ P q τ q x d Figura 4: Disribuzione delle ensioni angenziali nella zona di esremià della sezione reangolare. Tenendo cono della formula (.70), il flusso q delle ensioni angenziali τ = σ vale: b q d G d G x x x = τ η = Θ η η = Θ b/ b/ 4 (.7) Si consideri ora come pare P la zona della sezione delimiaa dalla linea raeggiaa in Figura 4. L equazione (.7) impone che il flusso oale q delle ensioni angenziali σ enrani in P eguagli il flusso oale q delle ensioni angenziali τ = σ usceni da P. Ciò implica che: b q = q = GΘ x (.74) 4 Se la dimensione di d ende a zero, il valore di q non cambia. In al modo, su ognuna delle due corde di esremià della sezione reangolare agirà una disribuzione parabolica lungo x di q. La risulane del flusso q vale: b b R = q dx = GΘ x dx = GΘ b b / / b/ b/ 4 6 (.75) In definiiva, si può calcolare il momeno orcene risulane dalla disribuzione delle ensioni angenziali come la somma del momeno orcene ricavao dalla formula (.7) aumenao dell apporo provocao dalla presenza delle forze R ageni sulle esremià della sezione:

17 che coincide perfeamene con la formula (.64). ab b ab = GΘ + GΘ a= GΘ (.76) Sezione soile apera Si considera il caso in cui la sezione rea della rave sia cosiuia da una sriscia soile di maeriale di spessore variabile o non, avene come linea media la curva piana, di lunghezza a, di equazione: x = x ( ζ ) x = x ( ζ ) (.77) con ζ ascissa curvilinea del generico puno della linea media misuraa a parire da un origine O, generalmene scela in corrispondenza di un esremià della linea. Si assume per ipoesi che la linea media non formi circuii chiusi. In queso caso per corda relaiva all ascissa curvilinea ζ si inende sempre quella orogonale alla linea media della sezione, cui corrisponde uno spessore b( ζ ). La sezione soile deve soddisfare alcuni requisii geomerici: a>> b( ζ ) ζ d b ( ζ ) << ζ dζ ρζ ( ) >> b( ζ) ζ dove ρζ ( ) rappresena il raggio di curvaura della linea media della sezione valuao in corrispondenza dell ascissa curvilinea ζ. Si esamina inizialmene un rao di lunghezza infiniesima dζ della sezione soile. Si sceglie un riferimeno locale desrogiro definio dal versore della angene alla linea media della sezione e dal versore m definio come m= e. Il generico puno giacene sulla corda b( ζ ) è individuao dalla disanza κ dalla linea media, come mosrao in Figura 5. Se il raggio di curvaura ρζ ( ) della linea media della sriscia di maeriale è grande rispeo alla corda generica b( ζ ), l elemeno di sezione di lunghezza dζ può con buona approssimazione essere considerao come un rao di una sezione di forma reangolare allungaa. 4

18 κ m ζ Figura 5: Generico rao della sezione soile. nalogamene al caso della sezione reangolare allungaa, in corrispondenza della generica ascissa curvilinea, la funzione di Prandl F può essere scela con buona approssimazione come quella definia dalla formula (.6): b( ζ ) F = GΘ κ 4 (.78) L aliquoa infiniesima di momeno orcene assorbia dal rao di lunghezza dζ per la relazione (.4) vale: b( ζ) b( ζ) ζ κ κ ζ 4 (.79) b/ d = GΘd d = GΘ d b/ Inegrando la (.79) su ua la linea media della sezione soile allungaa, si oiene il valore del momeno orcene oale agene sulla sezione apera: a b( ) = GΘ ζ dζ = GΘJ 0 (.80) Le ensioni angenziali si calcolano enendo cono delle espressioni (.7), cioè derivando la funzione delle ensioni F definia dalla (.78) rispeo alla coordinaa nello spessore κ e rispeo all ascissa curvilinea ζ. In definiiva, ricordando che si è assuno che la curvaura della linea media sia molo piccola, si ha: τζ = F, κ = GΘκ db( ζ ) (.8) τκ = F, ζ = GΘ b( ζ) 0 dζ 5

19 dove l ulimo ermine della (.8) è ano più piccolo, e quindi rascurabile, quano più lo spessore della sezione varia lenamene lungo l ascissa curvilinea. In ermini di momeno orcene applicao, la componene non rascurabile della ensione angenziale si deermina dalle relazioni (.8) e (.80): τζ = κ (.8) J che risula analoga alla formula (.68) oenua per la sezione reangolare allungaa. Infine la ensione angenziale massima in valore assoluo, relaiva all ascissa curvilinea ζ, vale: τmax = b ( ζ) (.8) J Nel caso in cui la sezione soile abbia spessore cosane, cioè la dimensione b della corda non dipende dall ascissa curvilinea ζ, il faore di rigidezza orsionale J vale: J a b( ζ ) ab = dζ = (.84) 0 Si noa che l espressione della rigidezza orsionale (.84) è perfeamene analoga a quella deerminaa per la sezione reangolare allungaa..5. Sezione soile chiusa Si esamina ora il caso in cui la linea media della sezione soile formi un circuio chiuso. In al caso la sezione è dea chiusa o biconnessa. L ascissa curvilinea ζ che percorre la sezione chiusa è scela in modo da girare in senso aniorario lungo la sriscia di maeriale che definisce la sezione. Il problema della orsione per la sezione soile chiusa si affrona in ermini di ensioni. In paricolare, assumendo che lo spessore sia piccolo rispeo alla lunghezza della linea media della sezione, si può ragionevolmene supporre che la ensione angenziale abbia direzione della angene e, assegnaa l ascissa ζ, sia cosane lungo la corda con valore τ c. Tale sao ensionale rispea ovunque, con buona approssimazione quando b varia molo lenamene con ζ, la condizione di equilibrio sul manello della rave. Per le prime due equazioni di indefinie di equilibrio le ensioni angenziali sono cosani lungo l asse della rave. La erza equazione indefinia di equilibrio viene soddisfaa in modo inegrale per il rao generico rao della sezione soile chiusa. Infai, scele due corde indicae in Figura 6 con e, di dimensioni b e b, alle quali corrispondono valori delle ensioni τ e τ, si impone l equilibrio della pare di rave di lunghezza uniaria, definia dalle due pari di sezioni definie dalle corde e : τ b = τ b (.85) c c Visa la casuale scela delle corde e, l equazione (.85) conduce al risulao che il prodoo τ ( ζ) b( ζ ) è cosane su ua la sezione soile chiusa. c 6

20 τ c τ c τ c Figura 6: Tensioni angenziali per la sezione chiusa. τ c E necessario verificare che la disribuzione delle ensioni angenziali fornisca una solleciazione di pura orsione. ale scopo si deve inizialmene conrollare che la risulane V delle ensioni angenziali sia nulla. Si ha infai: a V = τ d = τ b dζ = τ b dζ = 0 (.86) c 0 c c 0 Il momeno risulane delle ensioni angenziali vale: c d cbh( ) d cb hd cb a a a = e x τ = τ ζ ζ = τ ζ = τ Ω (.87) dove h( ζ) dζ è il doppio dell area del riangolo di base dζ ed alezza h( ζ ) rappresenao in Figura 7 e Ω rappresena l area della figura geomerica che ha per conorno la linea media della sezione soile. 7

21 h(ζ) P h(ζ)dζ/ Ω dζ Figura 7: Equilibrio alla roazione della sezione chiusa. Inverendo l equazione (.87) si oiene la cosidea prima formula di Bred: τ c = bω (.88) La formula (.87), ovvero la sua forma inversa (.88), fornisce la relazione ra il valore del momeno orcene la disribuzione di ensioni angenziali τ c. Volendo ricavare la relazione ra l angolo uniario di orsione ed il momeno orcene applicao, si applica il principio dei lavori viruali per un rao di rave di lunghezza uniaria. Il sisema delle forze è fornio dalla disribuzione delle ensioni angenziali τ c che hanno momeno orcene risulane uniario: τ c = bω (.89) Gli scorrimeni angolari, valuai nel sisema degli sposameni, sono ricavai uilizzando la relazione (.88): γζ = τc = G G bω (.90) Eguagliando il lavoro viruale eserno con quello viruale inerno si oiene: Θ= τ cγ ζ d = dζ dκ bω GbΩ a b/ = d ζ d κ GΩ 0 b/ b bω a = dζ 4GΩ 0 b (.9) 8

22 La relazione (.9) è noa come seconda formula di Bred. Il faore di rigidezza orsionale J proprio della sezione chiusa vale: J = 4Ω a d 0 b ζ (.9) per cui la seconda formula di Bred si riscrive nella forma: Θ= (.9) GJ Nel caso che la sezione soile sia riconnessa, e cioè cosiuia da due maglie chiuse, le ensioni angenziali che insorgono nella sezione e la rigidezza orsionale sono deerminai come di seguio riporao. Si denoino con q e con q i valori dei flussi nelle due maglie come illusrao in Figura 8, ali che: = Ω q = Ω q (.94) con Ω ed Ω rispeivamene le aree delle maglie e, ed inolre con = + = Ω q + Ω q (.95) Per deerminare l angolo uniario di roazione si applica il principio dei lavori viruali. Poiché si inende deerminare la roazione della sezione, si sceglie un sisema di forze definio dalla sezione oggeo di sudio solleciaa da una coppia orcene uniaria. Si ricorda che per applicare il PLV si deve considerare un sisema di ensioni in equilibrio, e non necessariamene congruene, con le forze assegnae. Si scelgono allora due sisemi di ensioni in equilibrio con la coppia orcene uniaria, come illusrao in Figura 8. 9

23 q q SS q * q * SF Figura 8: Sezione riconnessa soggea a orsione. SF Considerando i due sisemi di forze SF ed SF, il PLV fornisce le equazioni: Θ= τγbd τγbd q q = bd bd ΩbGb ΩbGb q q = d d GΩ b GΩ b Θ= τγbd τγbd q q = bd bd Ω bgb Ω bgb q q = d d GΩ b GΩ b (.96) (.97) avendo indicao con la maglia, con la maglia e con - il rao comune della maglia e. In definiiva si oiene il sisema di equazioni nelle incognie Θ, q, q : 0

24 = Ω q + Ω q q q Θ= d d GΩ b GΩ b q q Θ= d + d GΩ b GΩ b (.98) Il procedimeno può essere eseso al caso di sezioni più vole connesse.