7. Interpolazione e integrazione

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1 7. Iterpolazioe e itegrazioe I questa Nota faremo u breve ceo al problema dell iterpolazioe di ua fuzioe e del calcolo degli itegrali defiiti. Per approfodimeti si riamada alle Refereze [7.1- [7.3]. 7.1 Iterpolazioe Risolvedo u sistema di equazioi attraverso le differeze fiite si determia la soluzioe solo per u isieme discreto e fiito di valori delle variabili idipedeti. Può evidetemete sorgere la ecessità di cooscere il valore della fuzioe per valori delle variabili idipedeti diversi da quelli cosiderati. Per corrispodere a questa esigeza bisoga effettuare ua operazioe che chiamiamo iterpolazioe. L iterpolazioe riguarda, i realtà, il problema più geerale dell approssimazioe di ua fuzioe. Noi cosidereremo il problema dell iterpolazioe per fuzioi di ua sola variabile. Per fuzioi di più variabili si può procedere i modo aalogo. Si cosideri ua fuzioe f = f ( x) defiita ell itervallo [ a,b]. Siao f 0, f 1,..., f i valori di f corrispodeti ai valori x 0, x 1,..., x della variabile idipedete e ( ) u assegata famiglia di fuzioi della variabile x e di u isieme g = g x;c 0,c 1,...,c di parametri c 0,c 1,...,c. Il problema dell iterpolazioe cosiste el determiare i parametri c 0,c 1,...,c tali che g( x h ;c 0,c 1,...,c ) = f h per h = 0,1,...,. (7.1) A secoda della scelta della fuzioe g x;c 0,c 1,...,c ( ) si hao diversi metodi di iterpolazioe.

2 Iterpolazioe poliomiale L iterpolazioe poliomiale cosiste el rappresetare la fuzioe iterpolate attraverso u poliomio di grado ella variabile x co coefficieti c 0,c 1,...,c, g( x;c 0,c 1,c 2,...,c ) = c 0 + c 1 x + c 2 x c x. (7.2) Il poliomio iterpolate (7.2) che verifica la (7.1) è uico. Il comado MALAB c=polyfit(x,f,n) calcola i coefficieti c 0,c 1,...,c del poliomio (7.2) impoedo le (7.1). Il comado MALAB P=polyval(c,z) cosete di determiare il poliomio iterpolate ei puti specificati dal vettore z. Osserviamo che potrebbe cosiderarsi il problema più geerale i cui si impoe ache il valore di alcue derivate della fuzioe da iterpolare. I questo caso il problema dell iterpolazioe poliomiale si risolve attraverso il poliomi di Hermite. Il poliomio iterpolate (7.2) forisce esattamete i valori della fuzioe f ( x) ei puti di iterpolazioe x 0, x 1,..., x. I puti diversi da quelli di iterpolazioe il poliomio iterpolate dà valori diversi da quelli dati dalla fuzioe f ( x). Questo scostameto è defiito errore di iterpolazioe. Esistoo ua serie di eoremi che cosetoo di valutare l errore di iterpolazioe poliomiale. Noi qui e richiameremo solo due, i più sigificativi, [7.1]. ( ) è ua fuzioe cotiua su u itervallo limitato e [ ], allora!" > 0 esiste u itero ed u poliomio p ( x) al più di grado eorema 1 (Weistrass): se f = f x chiuso a,b tale che max x! a,b [ ] f ( x) " p ( x) <. (7.3) Questo teorema dice che è possibile approssimare ua fuzioe cotiua bee quato si vuole co u poliomio di grado opportuo (el liguaggio dell aalisi fuzioale questo risultato si esprime siteticamete dicedo che lo spazio dei poliomi è deso i C 0 a,b [ ] ella topologia della covergeza uiforme ). eorema 2: se f = f x ell itervallo limitato e chiuso a,b dove! ( x) = x " x i. i=0 ( ) ( ) è ua fuzioe cotiua assieme alle sue + 1 derivate [ ], esiste u! x "[ a,b] tale che ( ) ( + 1)! e( x) = f ( x)! p ( x) = " ( x) f +1 ( ) (7.4)

3 3 Posto M +1 = max x! a,b [ ] f ( +1) ( x), (7.5) dalla (7.4) risulta e( x)! " ( x) M +1 ( + 1)!. (7.6) L errore di iterpolazioe dipede dalla fuzioe che si vuole iterpolare f ( x) attraverso M +1, da e dalla disposizioe dei puti di iterpolazioe x i attraverso la fuzioe! ( x). I puti di iterpolazioe possoo essere determiati i modo tale che l errore sia il più piccolo possibile, risolvedo il problema di miimax mi x k max " x x! [ a,b] ( ). (7.7) La soluzioe di questo problema soo gli zeri di Chebichev, [7.1], [7.2]. Pertato, la scelta più aturale di predere puti di iterpolazioe equispaziati o è ottimale i questo seso. I particolare, o è detto che co ua scelta dei puti di iterpolazioe equispaziati l errore teda a zero i maiera uiforme. Può accadere che il poliomio iterpolate abbia u adameto oscillate idesiderato che si aggrava al crescere di. Esempio 7.1 I Figura 7.1 mostriamo due poliomi iterpolati co puti di iterpolazioe equispaziati della sequeza di dati x f

4 4 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 p 12 (x) 3,3 3,2 p 4 (x) 3, x 60 Figura 7.1 Il primo poliomio è di grado 4, il secodo è di grado 12. E evidete come il massimo errore sia più grade co il poliomio iterpolate di grado 12. Questo problema può essere risolto co ua scelta opportua dei puti di discretizzazioe, ad esempio, scegliedo gli zeri di Chebichev. Esercizio 7.1 Iterpolare la fuzioe f = exp (!x / ") mediate poliomi per diversi valori di! e diversi gradi dei poliomi Iterpolazioe mediate splies Ua maggiorazioe dell errore per l iterpolazioe poliomiale è data da ( )! M +1 e x ( ( + 1)! b " a)+1. (7.8) Per ua assegata fuzioe f ( x) l errore di iterpolazioe può essere ridotto o aumetado il grado del poliomio o riducedo l ampiezza dell itervallo. Mateedo fissato ad u valore relativamete basso si può dimiuire b! a migliore approssimazioe. Poiché l itervallo a,b ( ) per otteere ua [ ] è i geerale fissato a priori, si può suddividerlo i sottoitervalli di dimesioi più piccole, su ciascuo dei quali si dà u iterpolazioe co u poliomio di grado relativamete basso. Questa è l idea alla base dell iterpolazioe tramite splies. Essa è alla base di tate applicazioi, ricordiamo la soluzioe di equazioi differeziali tramite gli elemeti fiiti e la computer graphics.

5 5 Sia f = f x ( ) ua fuzioe defiita i [ a,b]. Si partizioi l iteravallo [ a,b] i [ ], I 2 = [ x 1, x 2 ],, I = [ x!1, x ] co x 0 = a e x = b. Questa [ ] e i puti x 0, x 1,..., x soo i odi di questa sottoitervalli, I 1 = x 0, x 1 partizioe defiisce ua griglia G su a,b griglia. Ua fuzioe splie di grado p defiita sulla griglia G è ua fuzioe s p = s p ( x) che gode delle segueti proprietà: i) su ogi itervallo I h la fuzioe è u poliomio di grado p ; ii) la fuzioe s p x iii) s p ( ) e le sue p! 1 derivate soo cotiue i [ a,b] ; ( x h ) = f ( x h ) per h = 0,1,...,. Duque, le fuzioi splies soo fuzioi poliomiali a tratti cotiue co alcue derivate i a,b [ ] Splies lieari a tratti Le fuzioi splies per p = 1 soo le fuzioi splies lieari a tratti. Su ciascu itervallo la fuzioe iterpolate è ua fuzioe lieare. Cosideriamo le fuzioi così defiite: w 0 w h w x! x 1 per x ( x) 0 " x " x 1 = $ x 0! x 1 & 0 altrove x! x h!1 per x h!1 " x " x h x h! x h!1 x! x ( x) = h+1 $ per x h!1 " x " x h x h! x h+1 0 altrove & x! x!1 per x ( x) 0 " x " x 1 = $ x! x!1 & 0 altrove (7.9) per h = 1,2,...,! 1 (7.10) (7.11) vedi la Figura 7.2.

6 6 Figura 7.2 Il supporto 1 della fuzioe w h è l uioe degli itervalli I h e I h+1 per h = 1,2,...,! 1, è l itervallo I 1 per h = 0 e l itervallo I per h =. A differeza dei poliomi iterpolati le fuzioi w h hao come supporto ua porzioe, geeralmete piccola, dell itervallo a,b [ ]. Le fuzioi così defiite verificao la codizioe w h ( ) =! hk (7.12) x k dove! hk è il simbolo di Kroecher. Allora, la splie iterpolate di ordie 1 si può esprimere el seguete modo s 1 ( x) =! f ( x k )w k ( x). (7.13) k =0 Essa descrive la fuzioe lieare a tratti rappresetata i Figura 7.3. Questa fuzioe iterpolate è cotiua e ha derivata prima discotiua ei odi della griglia. I letteratura prede ache il ome di iterpolazioe composita lieare. I MALAB il comado s1=iterp1(x,y,z) iterpola liearmete ei odi defiiti dal vettore x i corrispodeti valori di f dati da y e valuta la splie lieare a tratti per i valori rappresetati dal vettore z. 1 Il supporto di ua fuzioe è l isieme dei puti i cui essa è diversa da zero.

7 7 Figura 7.3 f ( x) liea tratteggiata, s 1 ( x) liea cotiua. Nell iterpolazioe poliomiale il valore di f i x h iflueza i valori della fuzioe iterpolate i ogi puto, metre ella fuzioe splie il valore di f i x h iflueza il valore della fuzioe solo i u itoro relativamete piccolo del puto cosiderato. Ciò spiega perchè l iterpolazioe poliomiale può avere comportameti oscillati per fuzioi poco regolari, metre l iterpolazioe co la splie lieare a tratti o è affetta da questo problema. L errore di iterpolazioe per le splies lieari a tratti per ua griglia uiforme è dato da dove M 2 è dato dalla (7.5) Splies cubiche e( x) = f ( x)! s 1 ( x) " x2 8 M 2 (7.14) L iterpolazioe co splies lieari a tratti, pur essedo caratterizzata da ua covergeza uiforme per!x " 0, dà ua fuzioe iterpolate co derivata prima discotiua. Questo e limita l applicabilità i tutti quei casi i cui è ecessario u iterpolazioe sufficietemete regolare. L iterpolazioe co splies cubiche usa u poliomio composito di grado 3: sul geerico itervallo I h la fuzioe iterpolate è u poliomio di terzo grado. Questo poliomio composito ha 4 coefficieti: gli itervalli soo e ciascu poliomio ha 4 coefficieti. I coefficieti soo determiati impoedo oltre la (iii), la cotiuità della fuzioe, della derivata prima e della derivata secoda ei odi iteri della griglia x 1, x 2,..., x!1. I tutto abbiamo ( + 1) + 3(! 1) = 4! 2 vicoli, e macao acora 2. Abbiamo bisogo di due codizioi addizioali per determiare i modo uivoco la fuzioe iterpolate. Le due codizioi addizioali possoo essere (splie cubica aturale)

8 8 s 3 ( ) =!!( b) = 0 (7.15)!! a s 3 o la cotiuità della derivata terza della fuzioe iterpolate ei odi x 1 e x!1 (ot-akot coditio). Il calcolo dei cofficieti della splie cubica richiede la soluzioe di u sistema algebrico lieare tridiagoale. Se la fuzioe f ha derivata quarta cotiua, l errore di iterpolazioe co la splie cubica aturale è dato da max x! a,b [ ] f ( r) ( r) ( x) " s 3 ( x) C r H 4 "r max [ ] x! a,b f ( 4) ( x), r = 0,1,2,3 (7.16) essedo H = max x i! x i!1 e C r delle costati idipedeti da H. Le splie cubiche, i duque, hao buoe proprietà di regolarità. I MALAB il comado s=splie(x,y,z) iterpola la splie cubica ei odi defiiti dal vettore x i corrispodeti valori di f dati da y utilizzado la ot-a-kot coditio e valuta la splie per i valori rappresetati dal vettore z. 7.2 Itegrazioe umerica moodimesioale I questo paragrafo itrodurremo delle formule di itegrazioe umerica per calcolare l itegrale defiito Si partizioi l iteravallo b J ( f ) =! f ( x)dx. (7.17) a [ a,b] i sottoitervalli, I 1 = [ x 0, x 1 ], I 2 = [ x 1, x 2 ],, [ ] co x 0 = a e x = b. Solo per semplicità suppoiamo che la partizioe sia I = x!1, x uiforme, idichiamo co!x la lughezza di ciascu sottoitervallo,!x = x h " x h"1 per h = 1,2,...,. Per la proprietà di additività si ha b J ( f ) =! f ( x)dx = " f ( x)dx. (7.18) a! h=1 I h A questo puto su ciascuo itervallo I h la fuzioe f x poliomio p s ( x), così l itegrale ( ) è iterpolata co u

9 9!J h = " f ( x)dx (7.19) I h può essere calcolato aaliticamete. L errore itrodotto dall iterpolazioe è caratterizzato attraverso l ordie di precisioe. Ua formula di itegrazioe ha ordie di precisioe k se essa forisce il risultato esatto per poliomi di grado o superiore a k Formula dei rettagoli L iterpolazioe più semplice cosiste ell approssimare la fuzioe ell itervallo I h = x h!1, x h [ ] co u poliomio costate, ad esempio co il poliomio che iterpola f ell estremo siistro di I h. Allora si ha f ( x) ( h p ) 0 = f ( x h!1 ) (7.20)! f ( x)dx " f ( x h1 )$x. (7.21) I h L errore locale dovuto all iterpolazioe E h =! f ( x)dx " f ( x h"1 )x (7.22) I h può essere stimato applicado la (7.6). Essedo ( h) f ( x)! p 0 ( ) " M 1 h ( ) per x!i h, (7.23) x! x h!1 si ha E h! "x2 2 max f xi h $ ( x). (7.24) Si può ache dimostrare che esiste u! h "I h tale che [7.1] Sostituedo la (7.21) ella (7.18) si ha E h =!x2 2 f " ( ). (7.25) h J ( f )! $ f ( x h"1 )x. (7.26) h=1

10 10 Per l errore globale si ha che esiste u! "I tale che Se la fuzioe f x costate b E =! f ( x)dx " $ f ( x h"1 )x h (7.27) a E = ( b! a) 2 h=1 f "()$x. (7.28) ( ) ell itervallo I h = [ x h!1, x h ] è approssimata co il poliomio la (7.26) diveta ( h p ) 0 = f ( x h ) (7.29) ( )! f x h I f ( )"x. (7.30) h=1 Il poliomio (7.29) iterpola f ell estremo destro di I h. Ache i questo caso vale la stima (7.28). La formule (7.26) e (7.30) predoo il ome di formula dei rettagoli per la loro iterpretazioe geometrica ed soo etrambe di ordie zero Formula del puto medio La fuzioe f x costate ( ) ell itervallo I h = [ x h!1, x h ] è approssimata co il poliomio ( h p ) 0 = f " $ x h!1 + x h 2 & ' (7.31) che iterpola f el puto medio x h = x h!1 + x h 2. Allora si ha e I h! f ( x)dx I f ( )! f x h " f ( x h )x (7.32) ( )"x. (7.33) h=1

11 11 Per l errore locale si ha che esiste u! h "I h tale che [7.1] E h = f!! ( ) x3 e per l errore globale si ha che esiste u! "I tale che [7.1] E = f!! " " h ( ) ( b a) 24 24, (7.34) $x 2. (7.35) La formula (7.33) prede il ome di formula del puto medio ed è di immediata iterpretazioe geometrica. Essa è ua formula di ordie Formula dei trapezi La fuzioe f x grado 1 ( ) ell itervallo I h = [ x h!1, x h ] è approssimata co il poliomio di ( ) + f ( x h )! f ( x h!1 ) ( h) p 1 ( x) = f x h!1 $ "x che iterpola f ei puti x h!1 e x h. Allora si ha & ( x! x h!1 ' ( ) (7.36) e! f ( x)dx " f ( x h1) + f ( x h ) I h 2 I ( f )! 1 2 f x 0 1 $x (7.37) ( )"x + $ f ( x h )"x f ( x )"x. (7.38) h=1 Per l errore locale si ha che esiste u! h "I h tale che [7.1] E h =! f "" ( ) $x 3 e per l errore globale si ha che esiste u! "I tale che [7.1] E =! f "" h ( ) ( b! a) 12 12, (7.39) $x 2. (7.40) La formula (7.33) prede il ome di formula dei trapezi per la sua iterpretazioe geometrica. Ache essa è ua formula di ordie 1.

12 Formula di Simpso ( ) ell itervallo I h = [ x h!1, x h ] è approssimata co il poliomio di La fuzioe f x grado 2 passate per gli estremi dell itervallo e il puto medio x h. I questo caso si ha [7.1] e! f ( x)dx " f x h1 I h I f ( ) + 4 f ( x h ) + f ( x h ) ( )! f ( x h"1 ) + 4 f ( x h ) + f ( x h ) ' h=1 $ & Per l errore locale si ha che esiste u! h "I h tale che [7.1] ( ) E h =! f ( 4) " h e per l errore globale si ha che esiste u! "I tale che [7.1] E =! f ( 4) " 6 ( ) ( b! a) $x (7.41) (x 6. (7.42) x 5 90 $ 2, (7.43) x4. (7.44) La formula (7.33) prede il ome di formula di Simpso ed è ua formula di ordie Formula di Gauss Ua semplice modifica della formula dei trapezi, che forisce risultati più soddisfaceti, cosiste sempre ell iterpolare la fuzioe f x ( ) co u poliomio di [ ] ma ei grado 1, ma l iterpolazioe o è fatta egli estremi dell itervallo I h = x h!1, x h puti di Gauss di questo itervallo,! h"1 = x h"1 + 1 " 1 & $ 3 ' ( )x 2,! h = x h" & $ 3 ' ( )x 2. (7.45) Aziché della formula (7.38) si ha la formula b )x! f ( x)dx " * & f ( h$1 ) + f ( h )' (. (7.46) 2 a h=1

13 13 Per l errore locale si ha che esiste u! h "I h tale che [7.2] ( ) E h = f ( 4)! h e per l errore globale si ha che esiste u! "I tale che [7.1] "x , (7.47) 3 E = ( b! a) 5 " 24 f ( 4) ()$x 4. (7.48) Itegrazioe umerica i più dimesioi I questo paragrafo descriveremo alcue formule per il calcolo dell itegrale J ( f ) = " f ( P)d!. (7.49)! Come el caso moodimesioale, per itegrare umericamete ua fuzioe f = f ( P) el domiio! bisoga prelimiarmete suddividere il domiio di itegrazioe i domii elemetari, vedi ad esempio Figura 7.4. I domii elemetari possoo essere triagoli, parallelogrammi i geometrie bidimesioali, tetraedri, parallelogrammi, prismi i geometrie tridimesioali. Idichiamo co P! = {!" 1,!" 2,...,!" 2 } la partizioe di! prodotta dalla suddivisioe. Applicado la proprietà di additività degli itegrali si ha J ( f ) = $ f ( P)d!. (7.50) h=1 "! h Il problema è allora ricodotto al calcolo dell itegrale!j h = f ( P)d". (7.51)!" h Questo itegrale può essere valutato aaliticamete iterpolado la fuzioe f co poliomi, come el caso moodimesioale. Ora daremo solo alcue formule per il calcolo dell itegrale (7.51) su domii elemetari a forma di triagolo. Per le formule elemetari relative ad altri tipi di domii rimadiamo alla refereza [7.1].

14 14 Figura 7.4 Idichiamo co P 1, P 2 e P 3 i vertici del triagolo, co P a il baricetro dei tre puti P 1, P 2 e P 3, co P 12, P 23 e P 31 i puti medi dei segmeti P 1! P 2, P 2! P 3 e P 3! P 1 e co A l area del triagolo, Figura 7.4. Si hao le segueti formule elemetari [7.1]. 1. Formula a u odo di ordie 1. " f ( P)d! Af ( P a ). (7.52) 2. Formula a tre odi di ordie 1 3. Formula a tre odi di ordie 2 4. Formula a quattro odi di ordie 2 " f ( P)d! A 3 $ f P 1 & '. (7.53) ( ) + f ( P 2 ) + f ( P 3 ) " f ( P)d! A 3 $ f P 12 & '. (7.54) ( ) + f ( P 23 ) + f ( P 31 ) " f ( P )d! ( A 1 12 $ f ( P 1) + f ( P 2 ) + f ( P 3 )& ' f ( P + ) a ), * -. (7.55) Ricordiamo che ua formula di itegrazioe di ordie k dà il risultato esatto se f è u poliomio di grado o superiore a k. Per formule di ordie superiore rimadiamo alla Refereza [7.1].

15 15 Figura 7.5 Domiio a forma di triagolo C è ua procedura molto semplice per calcolare i valori di f ei puti P a, P 12, P 23 e P 31 quado le variabili idipedeti di f soo espresse attraverso coordiate cartesiae rettagolari. Si descriva il triagolo i u sistema di coordiate cartesiae rettagolari x 1, x 2, Figura 7.4. Per le coordiate dei tre vertici abbiamo P 1! ( a 11,a 21 ), P 2! ( a 12,a 22 ), P 3! ( a 13,a 23 ). (7.56) L iviluppo covesso dei tre vertici P 1,P 2, P 3 è il triagolo. Questo è u caso particolare di -simplesso (co = 2 ), [7.1]. Osserviamo che ogi puto x = x 1, x 2 del piao è caratterizzato da 3 scalari,! h =! h ( x) per h = 1,2,3, defiiti dal sistema di equazioi lieari 3 " a hk! k = x k k = 1,2, h=1 $ (7.57) 3 "! k = 1. & k =1 Questo sistema ammette sempre ua ed ua sola soluzioe se i tre puti P 1,P 2, P 3 o soo allieati. Le fuzioi! h =! h ( x), h = 1,2,3, soo chiamate coordiate baricetriche del puto x = x 1, x 2 rispetto ai tre vertici del triagolo. Posto

16 16 a ( 1) = a 11,a 21, a ( 2) = a 12,a 22, a ( 3) = a 13,a 23, (7.58) dalle (7.57) si ha che 3 x = "! h ( x)a ( h). (7.59) h=1 Le coordiate baricetriche dei tre vertici soo ( ) bar, ( ) bar, ( ) bar. P 1! 1,0,0 P 2! 0,1,0 P 3! 0,0,1 (7.60) E immediato verificare che le coordiate baricetriche dei puti del triagolo, iteri e di frotiera, verificao la seguete proprietà 0! " h! 1 per h = 1,2,3. (7.61) L uso delle coordiate baricetriche è utile perchè le coordiate baricetriche del baricetro P a e dei tre puti di mezzo P 12, P 23 e P 31 soo idipedeti dal particolare triagolo. Le coordiate baricetriche del baricetro P a soo " P a! 1 3, 1 3, 1 $ 3& ' Le coordiate dei puti di mezzo P 12, P 23 e P 31 soo bar. (7.62)! P 12 = 1 2, 1 " 2,0 $ &! P 23 = 0, 1 2, 1 $ " 2 &! P 31 = 1 2,0, 1 $ " 2 & bar bar bar,,. (7.63) Partedo dalle (7.62) e (7.63), e applicado la (7.59) è immediato determiare i valori della fuzioe f = f ( x 1, x 2 ) ei puti P a, P 12, P 23 e P 31.

17 17 Refereze [7.1] V. Comicioli, Aalisi Numerica, McGraw-Hill, Milao [7.2] A. Quarteroi, F. Saleri, Itroduzioe al Calcolo Scietifico, Spriger-Verlag Italia, Milao [7.3] F. revisa, F. Villoe, Modelli Numerici per Campi e Circuiti, SGE Editoriali, Padova 2003.