1 Integrale di processi elementari

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1 1 Inegrle di procei elemenri Lo copo di queo cpiolo è quello di definire ed eminre un inegrle del ipo X db dove B è un moo brownino ed X un proceo, oggeo d opporune ipoei m non più regolre di B, lrimeni l eori non rebbe pplicbile lle equzioni ociche. Nel cpiolo ul moo brownino bbimo già dicuo le diffi colà che i inconrno enre di definire le inegrle undo concei clici, come l inegrle di Lebegue-Sielje. Vedimo come K. Iô, nei primi nni qurn, h riolo queo problem. Uimo le nozioni già inrodoe nel cpiolo delle mringle. Si B = B un moo brownino ripeo d un filrzione F. Chimimo proceo elemenre ogni proceo ocico X = X do F m cone ri relivmene d un equenz di empi n n =, cioè ogni proceo dell form n 1 X = X i 1 [i, i+1, X i miurbile ripeo F i. i=1 Se in più richiedimo E [ X 2 i < per ogni i = 1,..., n llor lo diremo di qudro inegrbile. Per ogni b, ponimo n 1 X db = X i B i+1 b B i b. i=1 Come già oervo in quel cpiolo, iccome le epreioni i+1 b e i b ono roppo lborioe, i può dore l eguene convenzione. Fii b, i può rricchire l equenz di empi coniderndo l nuov equenz n+2 n = form di empi i e d, b, e ricrivendo X nell form X = n+1 i=1 X i1 [ i, i+1 con le v.. X miurbili i ripeo F i coì definie: e i = j { 1,..., n }, ponimo X = X j ; e i 1

2 i = rip. i = b e j { 1,..., n } è il più grnde con l proprieà j rip. j b, llor ponimo X i = X j. Qui, per emplicià di nozione, indichimo l nuov equenz ncor con n n = ; oppure, e i vuole, fii b, i coniderno olo quelle equenze n n = che conengono e b un erz regi è di coniderre uddiviioni dell inervllo [, b olmene, invece che procei definii per ui i. Ponimo llor X db = i i+1 b X i Bi+1 B i. Con un po di pzienz i può riconocere che le due definizioni or crie di X db coincidono. Poimo nche inrodurre l inieme di indici e crivere J,b = {i = 1,..., n : i i+1 b} X db = i J,b X i Bi+1 B i. Di c b, i può verificre con pzienz che vle c X db = X db + c b X db omeimo i degli. Il riulo fore più imporne di queo inizio di eori è il eguene. L econd idenià è de vole formul di iomeri. Propoiion 1 Si X un proceo elemenre di qudro inegrbile. Allor l v.. X db h medi e vrinz finie e vle [ E X db = [ 2 E X db = E [ X 2 d. Proof. Ricordimo che, de due v.. X, Y indipendeni e inegrbili, il loro prodoo XY è inegrbile e vle E [XY = E [X E [Y. Cicun ddendo 2

3 X i Bi+1 B i che compone X db è di le form, perché B i+1 B i è indipendene d F i ed X i è F i -miurbile, quindi X db è inegrbile, e vle [ E X db = E [ X i Bi+1 B i = E [X i E [ B i+1 B i = i J,b i J,b in quno gli incremeni brownini hnno e null. Vle poi, con l nozione i B = B i+1 B i, 2 X db = X i X j i B j B = X 2 i i B 2 +2 j J,b i J,b i J,b i,j J,b,i<j X i X j i B j B. Gli ddendi X 2 i i B 2 ono inegrbili perché X 2 i e i B 2 ono indipendeni rformzioni di v.. indipendeni ed inegrbili X 2 i per ipoei, i B 2 perché gli incremeni brownini hnno ui i momeni finii. Eminimo l inegrbilià degli ddendi X i X j i B j B. Le v.. X i e i B ono indipendeni, quindi nche X 2 i e i B 2, che ono inegrbili, quindi X i i B è di qudro inegrbile. Anche X j è di qudro inegrbile, quindi X i X j i B è inegrbile, eendo prodoo di v.. di qudro inegrbile. Siccome X i X j i B è indipendene d j B come piegheremo r un imo, llor 2 b X i X j i B j B è inegrbile. Queo comple l verific che X db è inegrbile. L indipendenz r X i X j i B e j B i pieg coì: l v.. j B è indipendene d F j ed X i X j i B è F j -miurbile X i è F i -miurbile, quindi F j -miurbile perché i < j, i B è F i+1 -miurbile, quindi F j - miurbile perché i + 1 j. Undo quei ei fi, vle [ 2 E X db = E [ [ X 2 i E i B E [ X i X j i B E [ j B i J,b i,j J,b,i<j = E [ b X 2 i+1 i i = E [ X 2 d. i J,b Abbimo uo nche le proprieà E [ i B 2 = i+1 i, E [ j B =. Si oervi che E [ i+1 X 2 d = E [ X 2 d = i J,b i 3 i J,b E [ X 2 i i+1 i.

4 L dimorzione è comple. Vle in relà un verione rfforz del riulo precedene: Propoiion 2 Si X un proceo elemenre di qudro inegrbile. Allor [ E X u db u F = [ 2 [ E X u db u F = E Xudu 2 F. Proof. Sppimo già che 2 X udb u e X udb u ono inegrbili. Vle [ E X u db u F = E [X i i B F i J, m, conrrimene vrie iuzioni pprenemene imili, non poimo d eempio porre X i fuori dll pernz condizionle, perché i è più grnde di. Se però ricrivimo llor vle E [X i i B F = E [E [X i i B F i F E [X i i B F = E [X i E [ i B F i F = E [X i E [ i B F = dove bbimo [ uo il fo che i B è indipendene d F i Quindi E X udb u F =. Sppimo poi già che vle ed è cenro. 2 X u db u = X 2 i i B i J, i,j J,,i<j X i X j i B j B. 4

5 Allor, undo lo eo rucco e le olie proprieà i oiene [ 2 E X u db u F = E [ X 2 i i B 2 F + 2 E [ X i X j i B j B F i J, i,j J,,i<j = E [ E [ X 2 i i B 2 F i F + 2 E [ E [ X i X j i B j B F i J, i,j J,,i<j = E [ X 2 i E [ i B 2 F + 2 E [ X i X j i BE [ j B F i J, i,j J,,i<j = E [ X 2 i F i+1 i = E X 2 i i+1 i F i J, i J, d cui l ei. L dimorzione è comple. L prim pre del eguene corollrio er già dimor, in modo un po divero, nel cpiolo delle mringle. Corollry 3 Si X un proceo elemenre di qudro inegrbile. Allor M = X db è un mringl ripeo F. Inolre, M 2 X2 udu è un mringl ripeo F. Proof. E do perché, d ogni ine, X db è omm di v.. F -miurbili. E inegrbile. Vle poi, ricordndo che per bbimo X udb u = X udb u + X udb u, [ E [M M F = E X u db u, F =. Quindi M è un mringl. Per rgioni imili, nche M 2 X2 udu è do. M 2 è inegrbile. X2 udu è inegrbile perché per il eorem di Fubini [ E Xudu 2 = E [ Xu 2 du <. Vle poi E [ M 2 X 2 udu F [ = E M M 2 Xudu F 2 [ +E 2M M M 2 Xudu F 2 5

6 = 2M E [M F M 2 X 2 udu = M 2 X 2 udu quindi M 2 X2 udu è un mringl. L dimorzione è comple. Con un linguggio inrodoo l ermine del cpiolo ulle mringle, i può dire che X2 udu è il proceo crecene ocio ll ubmrigl M 2. Elenchimo queo propoio lcune iuzioni vie fino d or. 1. Se M n è un mringl empo dicreo, di qudro inegrbile, llor per l ub-mrigl M 2 n vle l decompoizione di Doob M 2 n = N n +A n, dove A n è crecene. Quindi eie un proceo crecene A n le che M 2 n A n è un mringl. 2. Se B è un moo brownino, llor B 2 è un mringl fcile eercizio oppure co pricolre del Corollrio 3. Il proceo A = è crecene. 3. Se X è un proceo elemenre di qudro inegrbile ed inroducimo l mringl M = X db, llor M 2 X2 udu è un mringl e A = X2 udu è un proceo crecene. 4. In generle bbimo enuncio un eorem che fferm che, e M è un mringl coninu, di qudro inegrbile, llor eie un proceo crecene A le che M 2 A è un mringl. 1.1 Eenione inegrori mringle Provimo d eendere l eori precedene l co dell inegrle del ipo b X dm dove M è un mringl ripeo d un filrzione F. Supponimo che X i un proceo elemenre limio, cioè dell form X = n 1 i=1 X i 1 [i, i+1 dove le v.. X i, F i -miurbili, ono limie. Supponimo che l equenz n n = coneng b e ponimo X dm = i J,b X i Mi+1 M i. Supponimo inolre che l mringl i coninu e di qudro inegrbile. Perno eie uno ed un olo proceo crecene A le che M 2 A i un mringl e non i vuole ure le eorem, dl momeno che non è o 6

7 dimoro, i prend l eienz di A come un ipoei ull mringl M. Vle quindi E [ M M 2 A A F = [ E M 2 A F 2M E [M F + M 2 + A = M 2 A 2M 2 + M 2 + A = ovvero E [ M M 2 F = E [A A F. Propoiion 4 L v.. X udm u è di qudro inegrbile e vle [ E X u dm u F = Proof. Dll formul 2 X u dm u = [ 2 [ E X u dm u F = E i J, X 2 i i M X 2 uda u F. i,j J,,i<j X i X j i M j M 2 i vede che X udm u è inegrbile le Xi ono limie. Allor, undo le olie proprieà dell pernz condizionle e l proprieà di mringl per M, vle [ E X u dm u F = E [X i i M F = E [E [X i i M F i F i J, i J, = E [X i E [ i M F i F = i J, 7

8 in quno E [ i M F i = ed nlogmene [ 2 E X u dm u F = E [ X 2 i i M 2 F + 2 E [ X i X j i M j M F i J, i,j J,,i<j = E [ E [ X 2 i i M 2 F i F + 2 E [ E [ X i X j i M j M i J, i,j J,,i<j = E [ X 2 i E [ i M 2 F i F + 2 E [ X i X j i ME [ j M i J, i,j J,,i<j = E [ X 2 i F Ai+1 A i = E X 2 Ai+1 i A i F i J, i J, d cui l ei. L dimorzione è comple. 2 Inegrle di procei progreivmene miurbili, di qudro inegrbile Si B = B un moo brownino ripeo d un filrzione F. Di b, dicimo che un proceo X = X è di cle MB 2, b e è progreivmene miurbile e vle [ E X 2 d <. Per dre que definizione berebbe che il proceo foe definio e progreivmene miurbile u [, b. I procei elemenri, cioè dell form X = n 1 i=1 X i 1 [i, i+1 con X i miurbile ripeo F i, ono progreivmene miurbili; ono di cle MB 2, b e e olo e ono di qudro inegrbile u [, b, cioè E [ X 2 i < per ogni i J,b, in quno [ E X 2 d = E [ X 2 i+1 i i. i J,b Si porebbe nche dire che MB 2, b è l fmigli delle cli [ di equivlenz dei procei uddei, idenificndo procei X, X b li che E X X 2 d = 8

9 [ ; lo pzio MB 2, b con il prodoo clre X, b X = E X X d riulerebbe uno pzio di Hilber. Non ueremo eplicimene quee convenzioni e quei fi. Theorem 5 Se X è di cle MB 2, b, llor eie un ucceione di procei elemenri X n, nch ei di cle MB 2, b, le che [ 2 lim E X X n d =. 1 n Eie nche un ucceione di procei coninui X n, di cle MB 2, b, che converge d X nel eno 1. L dimorzione è piuoo lborio nche e onzilmene elemenre. Biogn prim dimorre che X i può pproimre con procei coninui di, poi che un proceo coninuo e do i può pproimre con procei coni ri di. L prim co i f rmie convoluzione con mollificori unilerli cioè che inegrno olo l pre di proceo precedene ll ine in cui i clcol l convoluzione. L econd i f emplicemene prendendo il vlore del proceo coninuo nell eremo iniro di ogni inervllino di un prizione, empre più fine. Vnno però verifice numeroe proprieà, nche un po lborioe, per cui omeimo i degli, nche perché imili quelli di ne dimorzioni di Anlii relive i più vrii pzi di funzioni. Vedimo invece le coneguenze di queo eorem. Propoiion 6 Se X n è un ucceione di procei elemenri di cle MB 2, b che converge d un proceo X di cle M B 2, b nel eno 1, llor l ucceione di v.. X n db è di Cuchy in L 2 Ω, F, P. Il uo limie, elemeno di L 2 Ω, F, P, dipende olo d X non dll ucceione cel e verrà indico con X db, deo inegrle di Iô di X. Proof. Per l formul di iomeri dimor per i procei elemenri, vle [ 2 [ 2 E X n X m db = E X n X m d 9

10 d cui dicende ubio che Xn db è un ucceione di Cuchy in L 2 Ω, F, P, quindi h limie, eendo queo pzio compleo. Se X n è un lr ucceione con le ee creriiche convergene d X, llor l ucceione Y n d d Y 2n = X n, Y 2n+1 = X n h le ee creriiche e converge d X, nel eno 1. Quindi Y n db è un ucceione di Cuchy in L 2 Ω, F, P. Il uo limie deve eere lo eo delle due ooucceioni di indici pri e dipri, limii che quindi coincidono. L dimorzione è comple. Remrk 7 L inegrle ocico X db è, per definizione, un cle di equivlenz, o e i preferice è un v.. defini meno di modificzioni u iniemi di miur null. Non h eno, fio un cero ω Ω, chiederi b quno vlg X db ω. In pricolre, non h eno crivere coe del b ipo X db eno e vle l idenià. L unic eori che, l momeno ule, è in grdo di dre un ignifico queo ipo di criure, per pricolri procei X, è qell dei rough ph, però molo più lborio di quell or vilupp. ω = X ω db ω per i procei elemenri invece h Theorem 8 Si X di cle MB 2, T, per un cero T >. Allor [ T E X db = [ T 2 T E X db = E [ X 2 d. Più in generle, per ogni T vle [ E X u db u F = [ 2 [ E X u db u F = E Xudu 2 F. Inolre, M = X db e M 2 X2 udu ono mringle ripeo F, quindi X2 udu è il proceo crecene ocio ll ubmrigl M 2. 1

11 Proof. Si X n è un ucceione di procei elemenri di cle MB 2, T che converge d X nel eno 1 con =, b = T. Allor T Xn db converge T X db in L 2 Ω, F, P, quindi rmie emplici diuguglinze [ [ [ T 2 T E Xn db converge E X T db, E Xn db converge [ 2 T E X db e [ 2 T E X n d converge T E [X2 d. D queo i deducono le prime due idenià. Per morre le lre, i prendno enz rerizione i procei X n veni ed come nodi, e convergeni d X u [, T nel eno 1; ne eque che convergono d X nche u [,, nello eo eno. Quindi db u converge X udb u in L 2 Ω, F, P. Inolre, cu di 1, Xn u X n u 2 du converge X2 udu in L 2 Ω, F, P. Grzie quei fi i può pre l limie nelle pernze condizionli e verificre le due idenià. Infi, ricordimo che e Z n Z in L 1 Ω, F, P, llor E [Z n G E [Z G in L 1 Ω, F, P : E [ E [Z n G E [Z G = E [ E [Z n Z G E [E [ Z n Z G = E [ Z n Z. Le ffermzioni finli ulle proprieà di mringl ono ovvie coneguenze delle idenià precedeni, come nel co dei procei elemenri. L dimorzione è comple. Nel eguio diremo che X è di cle MB 2 e è di cle M B 2, T per ogni T >. Theorem 9 Si X di cle M 2 B. Allor il proceo M = X db,, h un verione coninu. Proof. Si X n è un ucceione di procei elemenri di cle MB 2, T che converge d X nel eno 1 con =, b = T. I procei M n Xn = db ono mringle coninue. L coninuià i vede ubio dll definizione che bbimo uo meno peo: e X = n 1 i=1 X i 1 [i, i+1, X db = n 1 i=1 X i B i+1 B i. Quindi vle l diuguglinz mi- 11

12 mle per l ubmringl P up M n [,T M n M m > ε M m = P 2 : up M n [,T 1 ε 2 E [ M n T = 1 T E ε 2 M m 2 > ε 2 M m 2 [ X n T X m 2 d dove ll ulimo pggio bbimo uo l proprieà di iomeri. D que diuguglinz, deducimo l eguene ffermzione: eie un ooucceione M n k che converge q.c. d un proceo coninuo N, uniformemene in : P lim up M n k N = = 1. 2 k [,T L ide inuiiv formlizzbile con l uo di opporuni pzi funzionli è: l diuguglinz precedene indic che M n è di Cuchy in probbilià nello pzio C [, T ; R munio dell opologi dell convergenz uniforme; dll eere di Cuchy in probbilià dicende che converge in probbili e quindi h un ooucceione che converge qui cermene. Verifichimolo mno. Lcimo l leore il fo elemenre di coruire un ucceione {n k } le che P up M n k M n k+1 > k k. 2 [,T D queo dicende che P up k=1 M n k [,T M n k+1 > 1 < 2 k e quindi, per il lemm di Borel-Cnelli prim pre, eie un eveno Ω F di probbilià uno le che, per ogni ω Ω, vle up M n k [,T ω M n k+1 12 ω 1 2 k

13 { definiivmene in k. Quindi M n k } ω k N è di Cuchy in C [, T ; R munio dell opologi dell convergenz uniforme; quindi converge d un funzione coninu N ω. Fio,, l convergenz q.c. di v.. implic che il limie è miurbile, è un v.., quindi N è un proceo ocico; coninuo q.c.; in relà v definio per ω / Ω e poimo definirlo idenicmene nullo, quindi è coninuo per ogni ω. Abbimo dimoro l erzione 2. B or ricordre che, fio [, T, l v.. M n k converge in L 2 Ω, F, P M. Siccome converge q.c. N, vle P N = M = 1 enrmbe le convergenze implicno quell in probbilià, ed il limie in probbilià è unico, come cle di equivlenz. Quindi N, che è un proceo coninuo, è un modificzione di M. L dimorzione è comple. 3 Inegrle di procei progreivmene miurbili più generli Si B = B un moo brownino ripeo d un filrzione F. Di b, dicimo che un proceo X = X è di cle Λ 2 B, b e è progreivmene miurbile e vle P X 2 d < = 1 I procei elemenri, cioè dell form X = n 1 i=1 X i 1 [i, i+1 con X i miurbile ripeo F i, ono progreivmene miurbili e di cle Λ 2 B, b, enz biogno di lcun ipoei di inegrbilià ulle X i. Si porebbe nche dire che Λ 2 B, b è l fmigli delle cli di equivlenz dei procei uddei, idenificndo procei X, X b li che P X X 2 d < 1. Non ueremo eplicimene que convenzione. Theorem 1 Se X è di cle Λ 2 B, b, llor eie un ucceione di procei elemenri X n le che lim n X X n 2 d = 3 qui cermene. Eie nche un ucceione di procei coninui X n, di cle Λ 2 B, b, che converge d X nel eno =

14 L dimorzione è imile quell dei procei di cle MB 2, b, fore un po più fcile perché non biogn enere oo conrollo cere inegrbilià ripeo d ω. E comunque molo lung e di modero ineree probbiliico, per cui l omeimo. Voglimo or definire l inegrle ocico X db, undo queo eorem. Un modo è quello di bri ul eguene lemm molo inerene. Lemm 11 Si X un proceo elemenre. Allor, per ogni ε, ρ >, vle b b P X db > ε P X 2 d > ρ + ρ ε. 2 { } { b } Proof. Seprimo Ω nei due eveni A = X2 d > ρ ed A c b = X2 d ρ : b P { b } { b } X db > ε = P X db > ε A +P X db > ε A c e mggiorimo il primo ermine con P A: b P b { b } X db > ε = P X 2 d > ρ + P X db > ε A c. Re d verificre che b P X db > ε, X 2 d ρ ρ ε. 2 Inroducimo il proceo Y definio coì con l oli nozione X = n 1 i=1 X i 1 [i, i+1 : { X per Y = i+1 [ i, i+1 e i+1 X 2 d ρ lrimeni per i J,b. Vle Y 2 d ρ. Inolre, e { } X 2 d ρ {Y = X u [, b} { X db = Y db } 14

15 per l verific dell ulim incluione i peni ll definzione di inegrle ocico per procei elemenri. Quindi b b b b P X db > ε, X 2 d ρ P Y db > ε, X 2 d ρ L dimorzione è comple. = b P E [ Y 2 d Y db > ε ε 2 ρ ε 2. E [ Y db 2 Corollry 12 Se X n è un ucceione di procei elemenri che converge d un proceo X di cle Λ 2 B, b nel eno 3, llor l ucceione di v.. X n db è di Cuchy in probbilià. Il uo limie in probbilià dipende olo d X non dll ucceione cel e verrà indico con X db, deo inegrle di Iô di X. Proof. Abbimo b P X n X m db > ε P X n ε 2 2 X m d > ρ + ρ ε. 2 L convergenz qui cer 3, implic che, preo ρ >, eie n ρ N le che 2 P X n X m d > ρ ρ per ogni n, m n ρ i peni d un delle vrie rgioni. Quindi, fio ε >, b P X n X m db > ε ρ + ρ ε 2 per ogni n, m n ρ. Relivmene l vlore celo di ε, prendimo ρ ε = ε 3 : b P X n X m db > ε ε 3 + ε 15

16 db è di Cuchy in prob- per ogni n, m n ρε. Queo ignific che bilià. L dimorzione è comple. Si può dimorre: Xn Theorem 13 Si X di cle Λ 2 B, T, per un cero T >. Allor il proceo M = X db, [, T, h un verione coninu. Lo eo ccde u [, e X è di cle Λ 2 B, T, per ogni T >. 16