Risultati esame scritto Fisica 1-06/02/2017 orali: 14/02/2017 alle ore presso aula S

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1 isultti esme scritto Fisic - 6//7 orli: 4//7 lle ore. presso ul li studenti interessti isionre lo scritto sono preti di presentrsi il iorno dell'orle mtricol oto 5 8 mmesso mmesso 956 nc 957 mmesso 6 nc 89* mmesso mmesso nc 754 mmesso 99 mmesso 844 nc 9* mmesso 78 nc 56 7 mmesso 857* mmesso 574 nc 5 mmesso 496 nc 95 mmesso mmesso mmesso mmesso 4 nc nc 984 nc 6 mmesso 74 nc 955* nc mmesso

2 nc mmesso 44 nc 556 nc mmesso 9 9 mmesso 857* 897 nc 96 nc 748* nc 49 8* 75 7 mmesso 95 5 mmesso mmesso 765 nc ncnon clssificto ( < )

3 sme di Fisic Corso nterteneo di n. nformtic e Biomedic 6//7 Problem i dto un olume V di s perfetto tempertur 6 che compie un espnsione isoterm tle d triplicre il proprio olume inizile. uccessimente il s subisce un compressione isobr che lo riport l olume inizile V. upponendo che le trsformzioni o reersibili, disenre nel pino p,v un rfico qulittio delle due trsformzioni e clcolre l tempertur finle del s. Problem i dto un recipiente molto mpio che contiene cqu (densità dell cqu HO. k/m ) ll interno del qule si tro un blocco di suhero (densità del suhero.5 k/m ) ente sezione.5m e ltezz h.5m. l suhero è ncorto l fondo del recipiente medinte un moll con costnte elstic k5n/m (edi fiur). Non sono presenti forze dissiptie. ) pendo che il suhero è ll uilibrio qundo l moll è llunt di un quntità l.5m, determinre qul è lo spessore h' di suhero immerso nell cqu. ) Dll posizione di uilibrio determint l punto ), il suhero iene spostto erso l lto e poi rilscito; dimostrre che il moto che ne seue è di tipo rmonico e clcolrne l fruenz f. ) i determini l mpiezz A di oscillzione del moto, spendo che il suhero iene rilscito con elocità null e che ttrers l posizione di uilibrio con elocità.5m/s. Problem ino dti due pini inclinti uniti ed opposti, come rppresentto in fiur, che formno noli con il pino orizzontle rispettimente pri (quello istr nell fiur) e 6 (quello destr). n fondo l pino inclinto di istr si tro un disco di mss 5.k e rio (non noto), ente un perno pssnte per il centro di mss e intorno l qule il disco può ruotre senz ttrito. l perno è leto medinte un fune ed un crrucol d un corpo puntiforme di mss.k, posto sull sommità del pino inclinto di destr. L crrucol h mss trscurbile e l fune è inestensibile e di mss trscurbile. utto il sistem è inizilmente in quiete e l mss si tro d un quot inizile h 7.m. Fr il corpo di mss e il pino inclinto di destr è presente ttrito con coefficiente µ.7. ) i determini l ccelerzione del sistem e l tensione dell fune, supponendo che il moto del disco si di puro rotolmento e spendo che il momento di inerzi del disco per rotzioni intorno l perno è pri ½. ) i determini il rpporto W A / fr eneri dissipt dll forz di ttrito qundo l mss rri in fondo l pino inclinto di destr e eneri inizile del sistem. le rpporto dipende dllo spzio percorso complessimente luno il pino inclinto? ) i determini il rpporto O / fr eneri cinetic rotzionle, possedut dl disco qundo l mss rri in fondo l pino inclinto, e eneri inizile del sistem; tle rpporto dipende dllo spzio percorso complessimente luno il pino inclinto?

4 oluzione problem n fiur è rppresentt l suenz delle due trsformzione nel pino p,v. L trsformzione d è un espnsione isoterm tempertur 6, mentre l trsformzione d è un compressione isobr che riport il s l olume inizile V. Per l compressione isobr d le l seuente relzione: V V d cui si ottiene che: V V V V doe nell ultimo pssio si è sfruttto il ftto che e V V. Dto che il rpporto V /V è noto si ottiene che: oluzione problem Punto ): utte le forze che isono sul suhero sono dirette erticlmente in fiur, e ll uilibrio esse deono ere risultnte null. Le forze che spinono il suhero erso il bsso sono l forz peso e l forz elstic dell moll (isto che l moll ll uilibrio è llunt di l), mentre l unic forz che spine erso l lto è l spint di Archimede. celiendo come direzione positi per l sse quell dirett erso l lto, il principio dell dinmic è il seuente: m H Oh h k l All uilibrio si h, che impost nell precedente uzione permette di ottenere lo spessore h' di suhero immerso in cqu: h h k l h h k l h k l h.4m Punto ): Dll situzione del punto ), se si spost il suhero erso l lto di un quntità enerci pri, lo spessore immerso srà più piccolo mentre l llunmento dell moll srà miore. Pertnto l uzione del principio dell dinmic dient: m ( h ) h k( l ) H O Dto che è l derit second dell posizione rispetto l tempo t, si ottiene che: d m h h k l k d h H Oh h k l k

5 doe nell ultimo pssio bbimo scritto l mss m del suhero medinte l su densità e il suo olume h. i noti inoltre che nell ultim uzione i primi termini del membro destr non sono ltro che i termini dell situzione di uilibrio del punto ), l cui somm è pri zero. Pertnto l ultim uzione dient: d h d h ( k) k d k h L ultim uzione scritt è l uzione differenzile di un moto rmonico per l coordint, pertnto il moto del suhero dopo lo spostmento erso l lto è un oscillzione rmonic. Confrontndo con l uzione tipic di un moto rmonico: d ω si ede che l pulszione ω è dt d: ω k h Poiché l pulszione ω e l fruenz f sono lete dll relzione ωπf ne seue che l fruenz è dt d: f f ω π π k h.4hz Punto ): iprtendo dll seuente uzione scritt l punto ): d h H O k m ( k) si ede che il suhero è sottoposto d un forz di tipo elstic, come se fosse presente un moll con un costnte elstic uilente k che isce sull mss m del suhero: m m k ( k) con k k Allor per qunto riurd l eneri lono tutte le considerzioni utili nel cso di un moll di costnte elstic k e let d un mss m. n prticolre il sistem possiede eneri potenzile U el di tipo elstico pri : U el k ( ) doe è lo spostmento dll posizione di uilibrio. Non essendo presenti forze dissiptie, possimo scriere l conserzione dell eneri meccnic fr l istnte t in cui il suhero iene rilscito (doe l eneri è tutt potenzile U el ) e l istnte t in cui ttrers l posizione di uilibrio (doe l eneri è tutt cinetic ):

6 U el k m A doe A è l mssim deizione dll posizione di uilibrio e costituisce quindi l mpiezz del moto oscilltorio. mponendo l conserzione dell eneri si ottiene l mpiezz di oscillzione A: k A A A m k m h k.m oluzione problem Punto ): Poiché l fune è inestensibile, i due corpi si muoono in mnier solidle con un unic ccelerzione, ciscuno prllelmente l rispettio pino inclinto. i prend come sse positio prllelo l pino inclinto quello diretto erso l lto per il pino inclinto di istr (con nolo ), e quello diretto erso il bsso per il pino inclinto di destr (con nolo ). l principio dell dinmic luno tle sse prllelo i pini inclinti dient: µ F A, cos doe l forz F A, è l forz di ttrito che isce sul punto di conttto fr il disco e il pino inclinto. A tle proposito si osseri che il moto del disco è di puro rotolmento (come ffermto nel testo del problem), e ciò può enire solo in presenz di ttrito fr il disco e il pino inclinto nel punto di conttto. Per il disco dobbimo scriere il sistem che oern il moto di puro rotolmento: F α FA, α e solendo lcuni pssi: A, FA, F α FA, FA, α α A,

7 F F F A A A α α,,, F A α, L prim uzione del sistem è lid per moto di puro rotolmento, e sostituendo ½ si ottiene che: Poiché nel primo sistem scritto come ppliczione del principio dell dinmic si h il termine istr dell second uzione, nell ultim uzione ppen scritt ricimo lo stesso termine moltiplicndo mbo i membri per /: ( ) iscriimo llor il principio dell dinmic per i due corpi, sostituendo ll uzione per quell ppen trot: ( ) cos µ n questo sistem bbimo due uzioni e due inconite, e. oltiplicndo mbo i membri dell prim uzione per / si ottiene che: cos µ e or sommndo membro membro si semplific l tensione : ( ) cos cos µ µ

8 µ cos.4m/s ostituendo il lore di ppen troto nell second uzione del sistem si ottiene l tensione : 5N Punto ): Prim di tutto clcolimo l eneri inizile del sistem. Dto che entrmbi i corpi prtono dllo stto di quiete, l eneri cinetic è inizilmente null. Per qunto riurd l eneri potenzile let ll ccelerzione di rità, solo quell del corpo è diers d zero, mentre il disco si tro nel punto più bsso doe ponimo eneri potenzile pri zero. Quindi l eneri inzile è dt d: U, i h 686J Dto che nel moto di puro rotolmento l ttrito non compie loro, l unico ttrito che dissip eneri è quello che isce sul corpo. l loro dissipto d quest forz di ttrito è pri : W W A A F A, µ l cos h 89J doe lh / è lo spzio percorso prllelmente l pino inclinto nell istnte in cui il corpo rri terr. Fcendo il rpporto W A / si ottiene che: W W A µ h cot h µ cot.4 4% A Come edimo dlle ultime formule, il rpporto W A / non dipende dllo spzio percorso. Punto ): Come nel punto ) l eneri inizile del sistem è dt d: U, i h 686J L eneri cinetic rotzionle O è inece dt enericmente d: ω O doe ω è l elocità nolre. Nel moto di puro rotolmento si h che: ω con pri ll elocità di trslzione del centro di mss. Dto che e si muoono con l stess ccelerzione e elocità, il lore di posseduto d srà uule quello di. All fine del pino inclinto, l elocità del corpo è dt dll seuente formul, dto che si trtt di un moto uniformemente ccelerto (si ricordi che il corpo prte dllo stto di quiete e h quindi elocità inizile null):

9 l h L eneri cinetic rotzionle O dient llor: O O O O ω 4 h h 8.J 4 doe neli ultimi pssi è stt sostituit l espressione trot per. Fcendo il rpporto O / si ottiene che: O O h h.4 4% Dto che l ccelerzione non dipende dllo spzio percorso, dll ultim formul si ede che il rpporto O / non dipende dllo spzio percorso.