INTRODUZIONE ALLE RUOTE DENTATE

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1 INTRODUZIONE ALLE RUOTE DENTATE Le ruote detate soo orgai meccaici molto diffusi e utilizzati per trasmettere il moto rotatorio tra alberi i modo da garatire la costaza del rapporto di trasmissioe. La trasmissioe del moto avviee tramite l igraameto di deti a profilo coiugato attraverso cui viee trasmessa la coppia omiale da u albero all altro. La ruota detata che imprime il moto, trasciado dietro di sé l altra, è detta motrice, o pigoe, la ruota che viee trasciata, subedo l azioe dell altra, è detta codotta. Le due pricipali categorie di ruote detate, oggetto di studio ei corsi di Costruzioe di Macchie 1 e Progettazioe dei Sistemi Meccaici, soo le ruote detate cilidriche a deti diritti e cilidriche a deti elicoidali (Figura 1). Nel primo caso i deti soo paralleli all asse di rotazioe, e la trattazioe teorica risulta abbastaza semplice, el secodo caso i deti risultao icliati rispetto all asse e, rispetto alle prime, garatiscoo ua miore rumorosità, a causa dell igraameto più graduale, e ua miore usura da cotatto dei deti per la maggiore superficie di cotatto offerta a parità di coppia scambiata. Per cotro, come si vedrà, queste ultime itroducoo sugli alberi azioi itere aggiutive rispetto alle ruote detate a deti diritti. Le altre due pricipali categorie di ruote detate soo le ruote coiche e le viti seza fie co le relative ruote per vite seza fie. Figura 1 Ruote detate a deti diritti e ruote detate a deti elicoidali [1]. Prima di passare ad aalizzare le azioi che si scambiao, attraverso i deti, le ruote igraati è opportuo riepilogare la omeclatura relativa a tali orgai meccaici. Si farà riferimeto i particolare alle ruote detate a deti diritti. Il cerchio primitivo è ua circofereza teorica di riferimeto, i base alla quale è stabilito il rapporto di trasmissioe e che resta costatemete tagete co quella della ruota accoppiata durate la trasmissioe del moto (Figura 1). Il puto di tageza rappreseta il puto di trasmissioe del moto ideale, i quato è l uico puto i cui si verifica il rotolameto seza strisciameto tra i fiachi dei deti. Negli altri puti di cotatto è presete ache ua compoete di scorrimeto che iduce ievitabili feomei d attrito. Il diametro del cerchio primitivo è ua gradezza fodametale per le ruote detate e viee chiamato diametro primitivo (d p, di raggio r p ). Per costruzioe è previsto che per il puto di tageza tra i cerchi primitivi passi la retta d azioe (o retta delle pressioi), fissa durate il moto, sulla quale giace, per qualsiasi posizioe del puto di cotatto durate l igraameto, la spita risultate che si scambiao le ruote. L agolo formato dalla retta d azioe e la direzioe orizzotale, su cui giace la forza efficace ella geerazioe della coppia trasmessa all albero, è detto agolo di pressioe (α ). Per proporzioare ua ruota detata si fa riferimeto ad ua gradezza, detta modulo (m), attraverso la quale è possibile esprimere tutte le altre dimesioi caratteristiche della ruota mediate sua 1

2 moltiplicazioe per opportui coefficieti. Per quato detto è evidete che la dimesioe del modulo è ua lughezza, geeralmete espressa i millimetri. La ormativa azioale UNI 6773 fa proprio riferimeto al proporzioameto modulare per descrivere la costruzioe geometrica di ua ruota detata. Il modulo è defiito dal rapporto tra il diametro primitivo e il umero di deti (z) della ruota: d p m = [mm] (1) z Co riferimeto alla Figura 2 le altre dimesioi esseziali ella costruzioe di ua ruota detata soo: Il passo primitivo (p), o semplicemete passo, è l arco di circofereza misurato sul cerchio primitivo tra due puti omologhi apparteeti a due deti successivi: π d p p = = π m z (2) la circofereza di base (di raggio r b ), utilizzata come geometria di riferimeto ella costruzioe del profilo ad evolvete di cerchio dei deti e geerata dall iviluppo delle rette di costruzioe ad esso ormali, legata alla circofereza primitiva dalla seguete relazioe: r b = r cosα (3) la circofereza di testa, o di trocatura estera (di raggio r a ), che si ottiee a partire dalla circofereza primitiva sfalsadola radialmete verso l estero di ua quatità pari all addedum (h a ), geeralmete pari al modulo: h = r r m (4) a a = Tale circofereza defiisce l igombro massimo di ua ruota detata. la circofereza di piede, o di trocatura itera (di raggio r f ), che si ottiee a partire dalla circofereza primitiva sfalsadola radialmete verso l itero di ua quatità pari al dededum (h f ), geeralmete pari a 1.25 volte il modulo: h = r r = 1.25 m (5) f f Il dededum deve essere ecessariamete maggiore dell addedum, altrimeti si verificherebbe il cotatto tra la superficie di testa del dete e la superficie di piede sulla ruota accoppiata. l altezza del dete (h), risultate dalla somma di addedum e dededum: h= h + h = 2.25 m (6) a f 2

3 Figura 2 Simbologia adottata [2]. la larghezza utile della detatura (b), proporzioale tramite il modulo ad u parametro γ tabulato e fuzioe soprattutto delle tolleraze geometriche e della rigidezza dei supporti (Tabella 1): b = γ m (7) Maggiore è la precisioe di lavorazioe e maggiore è la larghezza utile sfruttabile per la ruota. Tabella 1 Rage di riferimeto per γ [2]. il raggio di raccordo alla base del dete (ρ f ), idispesabile per limitare l effetto d itaglio i tale zoa, vale geeralmete: ρ f = 0. 2 m (8) E ecessario, ai fii del corretto igraameto tra due ruote detate, che esse abbiao lo stesso modulo. Solo i tale situazioe è possibile otteere deti igraati di dimesioi geometriche perfettamete coiugate. Il rapporto di trasmissioe può pertato essere espresso come segue: τ ω d m z z 2 p1 1 1 = = = = (9) ω1 d p2 m z2 z2 3

4 Il rapporto di igraaggio è il reciproco del rapporto di trasmissioe: 1 u = (10) τ COSTRUZIONE DELL EVOLVENTE I fiachi dei deti i presa possoo essere visti come due camme a profili coiugati, che pertato si scambiao u azioe ortogoale alla tagete alla curvatura di ciascu profilo el puto di cotatto. Perché l azioe scambiata sia sempre ortogoale al profilo è ecessario che i due profili siao realizzati secodo u procedimeto di iviluppo reciproco. No ecessariamete si devo adottare il profilo ad evolvete come soluzioe, ma per esigeze di compattezza della zoa di cotatto e di facilità realizzativa è praticamete l uico profilo utilizzato per la trasmissioe del moto tramite ruote detate. La costruzioe del profilo ad evolvete è semplice e si effettua a partire dal cerchio di base di ciascua ruota detata. La retta delle pressioi è tagete ad etrambe le circofereze di base e per realizzare u profilo che per ogi itersezioe co tale retta sia ad essa perpedicolare, cioè per realizzare il fiaco del dete, basta srotolare, a partire dal puto di tageza, u filo ideale avvolto su ua ruota obbligadolo a giacere sulla retta delle pressioi e tracciado, istate per istate, la posizioe occupata dal capo di tale filo. Le posizioi via via idividuate vegoo lasciate libere di procedere el moto rotatorio, solidali alla ruota detata (Figura 3-a). Dall uioe di tali puti ha origie il profilo cercato. Per l atra ruota basta applicare dualmete il procedimeto applicato alla prima. Figura 3 Geerazioe del profilo ad evolvete [1]. Operativamete è possibile costruire il profilo sfruttado la ciematica iversa dell igraameto provvededo a rettilieizzare, sulla tagete al cerchio di base, ei vari tratti d avazameto, l arco di circofereza sotteso al tratto d avazameto complessivo raggiuto (Figura 4). 4

5 Figura 4 Costruzioe del profilo ad evolvete. Se il diametro di trocatura itera è miore di quello di base si prolugao radialmete i fiachi dei deti fio ad icotrare, apputo, il diametro di trocatura itera. CONTINUITA DELL INGRANAMENTO Co riferimeto ai simboli ed alle idicazioi riportate i Figura 5, detto che tutta la fase di cotatto tra deti si sviluppa lugo la retta d azioe, è possibile idividuare il segmeto, su di essa giacete, che cotiee tutte le posizioi successive dall iizio del cotatto, tra u dete del pigoe ed uo della ruota codotta, alla sua fie, co il defiitivo distacco e allotaameto tra i due deti. Il puto a rappreseta l iizio del cotatto ed è determiato dall itersezioe tra il cerchio di testa del pigoe e la retta delle pressioi. Dualmete b rappreseta la perdita del cotatto tra gli stessi deti ed è idividuato dall itersezioe tra il cerchi di testa della codotta e la retta delle pressioi. Il segmeto ab compreso tra a e b sulla retta d azioe è chiamato liea di codotta. L arco di accesso è l arco di circofereza e 1, misurabile sia sulla circofereza primitiva della ruota codotta che su quella della ruota motrice, defiito a partire dal fiaco del dete a iizio igraameto fio al puto di tageza P tra le circofereza primitive. L arco di recesso è l arco di circofereza e 2, misurato, su ciascua circofereza primitiva, dal puto di tageza P tra le circofereze primitive fio al fiaco del dete a fie igraameto. La somma dei due archi rappreseta l arco di codotta: e1+ e2 = e (11) Evidetemete perché si abbia cotiuità d igraameto, ovvero al distacco di ua coppia di deti i presa sia già iiziata la fase di igraameto della coppia successiva, è ecessario che l arco di codotta sia maggiore del passo: 5

6 e> p (12) Geeralmete si fa riferimeto al rapporto di codotta (ε α ) per verificare la precedete codizioe. I simboli: ab ε α = > 1 (13) p b i cui p b rappreseta il passo base, cioè la distaza costate tra due fiachi cosecutivi misurata sulla retta d azioe. Ne cosegue che la relazioe tra il passo e il passo base è la seguete: p = p cosα = π m cosα (14) b (a) Figura 5 Igraameto tra ruote detate [1]. Co riferimeto alla Figura 6 è possibile esprimere la liea di codotta come segue: ( ) ab = r r + r r r + r α (15) a1 b1 a2 b2 1 2 se Teedo coto del proporzioameto modulare si ottiee: 6

7 1 ab = ( m z1+ 2 m) ( m z1 cosα) + ( m z2 + 2 m) ( m z2 cosα) m ( z1+ z2) seα 2 1 = m ( z1+ 2) ( z1 cosα) + ( z2 + 2) ( z2 cosα) ( z1+ z2) seα 2 Pertato, sostituedo ell espressioe per il rapporto di codotta, si ha: ε = α 1 m ( z1+ 2) ( z1 cosα) + ( z2 + 2) ( z2 cosα) ( z1+ z2) seα 2 π m cosα 1 ( z1+ 2) ( z1 cosα) + ( z2 + 2) ( z2 cosα) ( z1+ z2) seα 2 = = f π cosα ( z, z, α ) 1 2 (16) E pertato iteressate osservare che ε α o è fuzioe del modulo, duque è possibile valutarlo ache durate la fase di dimesioameto, quado m o è acora oto. ω 1 T 1 a P b ω 2 T 2 Figura 6 Puti otevoli sulla retta delle pressioi [2]. Il feomeo dell iterfereza si verifica quado si ha cotatto tra i fiachi dei deti al di fuori degli estremi fissati dai puti a e b. Si verifica i tal modo u cotatto tra fiachi o coiugati, di cui uo, i questi tratti, o è ad evolvete di cerchio, co tedeza da parte di uo dei due deti i presa a scavare l altro. Realizzado i deti co processi di geerazioe (tramite detiera a fiachi diritti) si elimia il problema i quato l utesile asporta la porzioe di fiaco soggetta all iterfereza. Ora però potrebbe isorgere u altro pericolo, quello del sottotaglio, che comporta u eccessivo idebolimeto della sezioe resistete alla base del dete base del dete, dove la flessioe è massima i fase di igraameto. Valutado il caso di igraameto tra il pigoe e ua detiera a fiachi diritti, co semplici cosiderazioi geometriche è possibile determiare la codizioe sul umero miimo di deti 7

8 ecessari per evitare feomei di iterfereza e sottotaglio: d p ha 2 h a< seα seα = m z se α zmi = = m se α se α (17) U valore molto comue per l agolo di pressioe è 20. I corrispodeza di questo dato si ha u umero miimo di deti richiesti per il pigoe pari a: 2 2 z = = 17 1,mi 2 se ( ) ( ) Utilizzado il rapporto di trasmissioe τ, oto quale dato di progetto, è poi possibile determiare il umero di deti della ruota codotta. Poiché spesso il umero di deti della ruota motrice e della ruota codotta o soo umeri primi tra loro è cosigliabile aumetare di ua uità il umero di deti della ruota più grossa (tipicamete la codotta) i modo da evitare, rededo z 1 e z 2 primi tra loro, situazioi di igraameto prefereziale, cosa che molto probabilmete idurrebbe sui fiachi u feomeo di usura disuiforme. SPINTE SCAMBIATE Durate l igraameto di ua coppia di ruote detate a deti diritti, trascurado la distribuzioe delle spite elle codizioi co più di ua coppia di deti i presa e la leggera oscillazioe del modulo della spita scambiata lugo il tratto utile ( ab ) della retta d azioe è possibile ricodurre la trasmissioe del moto ad u azioe F b, giacete apputo sulla retta d azioe, applicata i corrispodeza del puto di tageza tra i diametri primitivi. Mt1 dp1 ω1 Fb F Ft ω2 α dp2 Mt2 Figura 7 Azioi scambiate da ua coppia di ruote detate a deti diritti. 8

9 Poiché la coppia torcete che deve essere trasmessa ai rispettivi alberi da parte delle ruote detate è ota ed è valutabile come la compoete tageziale F t tra di esse scambiata per il raggio primitivo di ogua, è facile idividuare la seguete relazioe tra l azioe tageziale e la forza complessivamete scambiata dalle due ruote: t F b = = cos F Mt1(2) α d p1(2) (18) 2 I Figura 7 soo mostrate le azioi idicate ella (18) per ua coppia di ruote detate a deti diritti. Co F si è idicata l azioe ormale idotta dal carico, la quale determia ua compoete di compressioe el dete ed u azioe radiale che puta verso l albero. Evidetemete l azioe radiale appea idicata è legata a F b e F t dalla seguete relazioe: F=F tgα = F se α (19) t b FABBRICAZIONE DELLE RUOTE DENTATE Esistoo parecchi sistemi per fabbricare ruote detate. Ad esempio si ricordao la fusioe i terra, la formatura a guscio, la microfusioe, la fusioe i forma permaete, la pressofusioe, la colata cetrifuga, ma ache la siterizzazioe e l estrusioe. Per elevati rapporti tra carico trasmesso e dimesioe della ruota tipicamete le ruote detate soo realizzate i acciaio e successivamete tagliate co u utesile di forma oppure per geerazioe. Nel primo caso il vao del dete assume esattamete la forma dell utesile da taglio utilizzato, metre el secodo l utesile ha ua forma differete dal profilo del dete da realizzare e si muove i modo opportuo rispetto alla ruota grezza da lavorare i modo da defiire la forma corretta. Recetemete sta prededo piede ache la lavorazioe mediate rullatura, o formatura a freddo, i cui matrici di durezza opportua vegoo rullate cotro i pezzi grezzi per formare i deti. La qualità superficiale otteuta è piuttosto iteressate e le tesioi residue di compressioe idotte i superficie hao u effetto beefico i termii di maggiore resisteza a fatica. Gli utesili da taglio usualmete impiegati soo le frese, le stozzatrici, i creatori. Le operazioi di fiitura possoo essere effettuate tramite lucidatura, sbavatura, rettifica o lappatura. Esistoo i commercio applicazioi che coivolgoo ruote realizzate i materiali termoplastici e otteute tramite stampaggio a iiezioe. I carichi i gioco soo chiaramete di bassa etità. BIBLIOGRAFIA [1] Shigley, J.E., Mischke, C.R., Budyas, R.G., Progetto e costruzioe di macchie; McGraw- Hill, Milao, [2] Guagliao, M., Vergai, L., Esercitazioi di costruzioi di macchie; Ed. CUSL, Milao,