UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN SCIENZE STATISTICHE, ECONOMICHE, FINANZIARIE E AZIENDALI Tesi di lauea: DATI FINANZIARI AD ALTA FREQUENZA: STUDIO DI ALCUNE PROPRIETÀ DEI MODELLI MEM Relaoe: Ch.mo Pof. Guido Masaoo Coelaoe: Ch.mo Pof. Fancesco Lisi Laueando: Visa Malaj Maicola n Anno accademico 8/9

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3 Alla mia famiglia e a chi 3

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5 INDICE Riassuno, 9 CAPITOLO : Inoduzione alle seie soiche finanziaie.. Inoduzione, 3.. Rendimeni, 5... Rendimeno semplice unipeiodale, 5... Rendimeno semplice mulipeiodale, Rendimeno coninuo, I endimeni del poafoglio, Il pagameno dei dividendi, Exa-endimeni, 8.3. La disibuzione dei endimeni, La disibuzione nomale,.3.. La disibuzione lognomale,.3.3. La disibuzione di Cauchy,.3.4. Misua di nomali,.4. Rendimeni mulivaiai,.5. La funzione di veosimiglianza dei endimeni, 3 5

6 4 7, Vaianza soica, Vaianza mobile, Vaianza Riskmeics, 3 33 CAPITOLO : Dai finanziai ad ala fequenza.. Inoduzione, 35.. Analisi di dai ad ala fequenza e la micosuua del mecao, Scambi in fequenze divese, Domanda e offea, 4.5. Caaeisiche empiiche dei dai di ansazioni, Mecai azionai, Funzionameno dei mecai azionai, Tading al NYSE (New Yok Sock Exchange, Commeni sul meccanismo di ading del NYSE, Dai ad alissima fequenza al NYSE, 53 6

7 CAPITOLO 3: Diffeeni specificazioni e applicazione dei modelli MEM 3.. Inoduzione, MEM: fomulazione geneale, Possibili specificazioni dei modelli MEM, Gamma a paamei vaiabili (PV, Misua di Gamma con pesi fissi (MIX, Misua di Gamma con pesi vaiabili (TVM, Misua di due MEM (LANNE, iolo Poce & Gamble, Conclusioni, Appendice, 4 Bibliogafia, Webgafia, 6 7

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9 Riassuno I elevisioni e i gionali ci infomano ogni monioae il compoameno dei pezzi finanziai e povae a capie i pobabili sviluppi del fuuo. naliei, ma negli ulimi anni, con lo sudio di dai inagionaliei sono una nauale esensione dei modelli pe seie finanziaie gionaliee. Un appoccio ineessane consise nel seguie la logica dei modelli MEM (Muliplicaive Eo Model pe pocessi non negaivi come ad esempio Quesi modelli sono definii uazione della media condizionaa del pocesso che segue una alcune divese specificazioni appaeneni alla famiglia dei modelli MEM. Il concei di base iguadani le seie soiche finanziaie. Definiamo in le loo delle oppo successivamene a descivee la vaiazioni misuaa da divese vaiabili come ad esempio, il volume di ading e la 9

10 sono: la vaianza soica, la vaianza mobile, la vaianza Riskmeics e la vaianza implicia. al elaivo impao sulla micosuua del mecao. In queso capiolo desciviamo i dai ansacion-by-ansacion o ade-by-ade che sono sudiae le dinamiche di domanda offea di un paicolae iolo. Paliamo in seguio del funzionameno dei mecai azionai e del uolo degli ageni che ineagiscono in quesi mecai. Ci conceniamo in paicolae sulle pincipali caaeisiche del New Yok Sock Exchange (NYSE, azionaio del mondo pe volume di scambi. Nel ezo capiolo fomuliamo e applichiamo quao possibili specificazioni appaeneni alla famiglia dei modelli MEM che a loo vola, ienano in una (Genealized Linea Auoegessive Moving Aveage. I quao possibili modelli che applichiamo e confoniamo sono:. Gamma a paamei vaiabili (PV.. Misua di Gamma con pesi fissi (MIX. 3. Misua di Gamma con pesi vaiabili (TVM. 4. Misua di due MEM (LANNE., consideaa pe la pima vola in queso elaboao, segue una disibuzione Gamma con paamei vaiabili. Il secondo e il ezo modello sono sai fomulai da De Luca e Gallo (7 e Gamma a pesi fissi e a pesi vaia

11 Lanne (6 Nel caso del iolo si osseva dai conolli diagnosici che anne qualche poblema pe il modello PV, le ale specificazioni si adaano bene ai dai. Pe il il meodo dei esidui quanile. Se i esidui quanile seguono la disibuzione nomale sandad e sono indipendeni pincipali dei esidui quanile coispondono ai ispeivi momeni della disibuzione nomale PV. Dal confono finale vediamo che i modelli che si adaano meglio ai dai sono il MIX e il TMV. Poce & Gamble. In queso caso i modelli pesenano poblemi di specificazione. I momeni pincipali dei esidui quanile sono divesi dai ispeivi momeni eoici in ue le specificazioni pese in consideazione. Con il modello MIX oeniamo delle miglioi pefomance ispeo agli ali modelli, anche se Abbiamo analizzao in queso modo due ioli. Nel pimo caso le nose specificazioni danno degli oimi isulai e invece nel secondo caso i modelli non si adaano bene ai dai. Queso significa che dobbiamo applicae con cauela le vaie fomulazioni della famiglia dei modelli MEM.

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13 CAPITOLO : Inoduzione alle seie soiche finanziaie.. Inoduzione I pezzi finanziai sono coninuamene soo la nosa aenzione. Ogni giono, le elevisioni e i gionali ci infomano indice azionaio, dei assi di cambio delle value pincipali o dei pezzi ani puni pecenuali in bevi peiodi di empo. pevedee le dinamiche e i sviluppi fuui dei pezzi finanziai. Figua.. Immagine simbolica delle seie finanziaie. 3

14 Chiamiamo seie soica finanziaia ogni seie empoale di numei basaa sui pezzi finanziai consideando in paicolae i assi di cambio, i pezzi dei ioli e dei commodiy. e legaa alla valuazione degli asse finanziai nel empo. Queso ipo di seie si disingue dalle ale seie soiche pe un alo livello di inceezza. La eoia e i finanziaie. In queso pimo capiolo diamo delle caaeisiche di base delle seie finanziaie. Definiamo dei concei impoani come i endimeni degli asse e Desciviamo in paicolae le possibili 4

15 .. Rendimeni In una buona pae degli sudi in finanza vengono analizzai i endimeni I moivi pincipali sono due. In pimo luogo, pe ani invesioi, il endimeno dinfomazione complea delle In secondo luogo, le seie dei endimeni sono caaeisiche saisiche, in paicolae pe la loo sazio. Ci sono divese definizioni del endimeno di un asse finanziaio.... Rendimeno semplice unipeiodale Chiamiamo P il pezzo di un asse al empo. Assumiamo pe oa che dividendi. La deenzione dasse dal empo - al empo compoa un endimeno semplice lodo di P R o P P ( R P. Il coisponden: R P P P P P... Rendimeno semplice mulipeiodale Il posse-un endimeno semplice lodo di : 5

16 6 (...( ( (... ] [ k j j k k k k R R R R P P P P P P P P k R Il endimeno semplice lodo pe k endimeni semplici lodi unipeiodali. Queso viene chiamao endimeno composo. Il endimeno semplice neo k k k P P P k R / ( ] [. he sia annuale. Se deeniamo un asse pe k anni, il endimeno annuale : ( ] [ k k j j R k k R Annuo, anche essee scia come: ln( exp ] [ k k j j R k k R Annuo. Peaylo di pimo odine oenendo: ] [ k j j R k k R Annuo...3. Rendimeno coninuo In geneale, il valoe neo A nel A=C exp(, (.

17 d degli anni. Dalla equazione (. oeniamo C=A exp(- Il logaimo nauale del endimeno semplice lodo di un asse viene chiamao log-endimeno. Abbiamo: ln( ln R, P dove p ln( P. I log-endimeni hanno degli vanaggi ispeo ai endimeni semplici lodi. Consideiamo i endimeni mulipeiodali. Abbiamo [ k] ln( R [ k] ln[( R ln( R ln( R... k. P p ( R... ln( R p...( R k k Quindi, il log-endimeno muli e la somma dei endimeni unipeiodali coinvoli. I log-..4. I endimeni del poafoglio Il endimeno semplice neo di un poafoglio composo da N asse e una media pondeaa dei endimeni semplici nei degli asse, dove il peso pe Sia p un poafoglio con pesi i pe ogni asse i. Il endimeno semplice del N Rp i, iri dove R i 7

18 I log- semplici sono piccoli alloa N spesso pe sudiae i endimeni del poafoglio. p, i i. Quesa appossimazione si usa i..5. Il pagameno dei dividendi Se un asse paga dividendi peiodicamene dobbiamo cambiae la definizione dei endimeni degli asse. Sia le dae - e, D il pagameno del dividendo di un asse a P il pezzo di un asse alla fine del peiodo. Quindi il - endimeno al empo divenano: R P D P ln( P D ln( P..6. Exa-endimeni Chiamiamo exa- endimeno in alcuni asse di ifeimeno viene scelo in genee, con un livello basso di ischio. - endimeno semplice e il log-exa-endimeno semplice sono definii come dove R e Z R R z, sono ispeivamene il endimeno semplice e il log- endimeno de 8

19 .3. La disibuzione dei endimeni divesi e in empi divesi. Consideiamo un guppo di n asse pe T peiodi, ogni asse i abbiamo il suo log-endimeno al empo. I logendimeni sono i ; i,..., n;,..., T e i endimeni semplici sono R i ; i,..., n;,..., T z i ; i,..., n;,..., T.. Possiamo scivee anche i log-exa-endimeni come Consideiamo un modello geneale pe i log-endimeni i ; i,..., n;,..., T : F (,..., N;,..., N ;...; T,..., NT ; Y;, (. endim funzione di ipaizione F (.. La funzione di ipaizione F (. govena il compoameno socasico dei endimeni e del veoe Y. In moli sudi f sao ivolo al compoameno dei log-endimeni condizionao al passao. Sciviamo la funzione di ipaizione come: T i,..., it ; F( i ; F( i i;... F( iti, T,..., i ; F( i ; F( ii,,..., i ; F( La funzione di ipaizione dipende dai log- capie come la disibuzione condizionaa evolve nel empo. In moli casi i endimeni degli asse vengono aai come vaiabili casuali coninue, in paicolae pe dai di bassa fequenza, e si usa la ispeiva 9

20 f ( i,..., it ; f ( i ; T f ( i i,,..., i ;. iolo pefissaa (i dai ick by ick. Le disibuzioni condizio endimeni degli asse finanziai. I endimeni hanno in alcuni casi una debole coelazione seiale. Pe la modellazione dei endimeni sono sae suggeie ani sono la disibuzione nomale, lognomale, di Cauchy e la disibuzione nomale con paamei misi..3.. La disibuzione nomale semplici siano indipendeni e idenicamene disibuii come una vaiabile Ci sono comunque divesi osacoli. Il limie infeioe di un endimeno semplice pu - pe definizione. Un alo poblema consise nella disibuzione del endimeno semplice mulipeiodale l podoo dei endimeni unipeiodali assuni nomali. Quindi, il endimeno muli Un alo un eccessiva cuosi posiiva.

21 .3.. La disibuzione lognomale Un'ala ipoes -endimeni seguano una disibuzione nomale (iid con media. Queso significa che i endimeni semplici seguono una disibuzione lognomale con media e vaianza: E ( R exp Va ( exp( [exp( ]. R delle seie dei endimeni dei ioli. In paicolae, ani endimeni dei ioli pesenano un eccesso di cuosi posiivo La disibuzione di Cauchy anza Misua di nomali misua di nomali, i log-endimeni. La vaianza Un esempio di misua di nomali : ~ ( X N(, XN (,, sono disibuii.

22 - assume valoi piccoli e assume valoi elaivamene la disibuzione ci indica che il 95% dei endimeni seguono una N (, e il esane 5% una N (,. Quesa imposazione peso alle code della disibuzione. I vanaggi di quesa disibuzione semplice la sima e la elaiva infeenza dei paamei. Figua.. Disibuzioni messe a confono..4. Rendimeni mulivaiai Consideiamo i log-endimeni di N asse al empo.. ' (,..., N T Queso significa poe specificae la funzione di ipaizione,...,,. F(

23 3 sudiae, in paicolae come la media condizionaa e la maice di covaianza condizionaa evolvono nel empo. Il veoe della media e la maice di covaianza di un veoe casuale,..., ( p X X X sono definii come: ]. ( [( ( ]' (,..., ( [ ( ' x x p x X X E X Cov X E X E X E I ispeivi momeni campionai sono definii come:. ( ( ( ' T x x T x x x T X Cov x T Spesso nella leeaua in finanza, si usa la nomale mulivaiaa pe la disibuzione dei log-endimeni..5. La funzione di veosimiglianza dei endimeni Paiamo dalla espessione geneale della funzione di ipaizione dei log- endimeni: T i i i i i T i it i i i it i F F F F F F,, ;,..., ( ; ( ;,..., (... ; ( ; ( ;,..., (. Assumiamo una disibuzione nomale condizionaa di media e vaianza : T T f f ( exp ; ( ;,..., (, dove ; ( f

24 veosimiglianza (SMVSMV assimizzando la funzione di log-veosimiglianza, T ( lnf (,..., T ; lnf ( ; ln( ln(. pocedimeno anche pe ale disibuzioni..6. empiiche dei endimeni ndimeni ossevando dai eali. I pagameni dei dividendi sono inclusi nei nosi dai (se sono peseni ovviamene. Nella figua.3 abbiamo le seie dei endimeni semplici e dei log-endimeni mensili pe il iolo IBM (Inenaional Business Machines dal gennaio 96 fino a dicembe 3. Nella figua.4 abbiamo i endimeni semplici di un iolo ameicano pe fequenze divese. Figua.3. Seie soiche dei endimeni mensili del iolo IBM da gennaio 96 fino a dicembe 3. In alo: endimeni semplici. In basso: log-endimeni. 4

25 Figua.4. Seie soiche dei endimeni in una gionaa del mecao scela a caso pe divese fequenze. Dai ick by ick (in alo a sinisa; Un minuo (in alo a desa; 5 minui (in basso a sinisa; minui (in basso a desa. Nella abella. abbiamo delle saisiche desciive sui endimeni semplici e sui log-endimeni di alcuni ioli e indici del mecao ameicano. I endimeni sono mensili e gionaliei e sono espessi in pecenuale. Osseviamo che i endimeni gionaliei dei ioli e degli indici di mecao hanno una cuosi elaivamene gande. Pe i endimeni mensili possiamo singoli ioli. La media dei en possiamo die la sessa cosa pe i endimeni mensili. I endimeni mensili In geneale si osseva che non ci sono gossi poblemi di simmeia. Le nose saisiche desciive ci mosano che sosanzialmene non ci sono ane diffeenze a i endimeni semplici e i endimeni logaimici. 5

26 Tabella.. Saisiche desciive sui endimeni di alcuni ioli. 6

27 Nella figua.5 abbiamo le fu semplice e logaimico mensile del iolo IBM. La linea aeggiaa in enambi i gafici indica la media e vaianza campionaia. Possiamo assumee l caso. Figua.5. Disibuzione empiica e nomale messe a confono pe i endimeni del iolo IBM. A sinisa: endimeni semplici. A desa: endimeni logaimici. La linea aeggiaa appaiene alla disibuzione nomale. Peiodo di ossevazione: gennaio 96 dicembe vaiabili, come ad esempio, il volume di ading 7

28 infomazione. Quese vaiabili cambiano ogni giono facendo vaiae anche la quella di un effeo psicologico a caena dovuo alla sopesa di nuove noizie posiive o negaive che poebbeo influenzae Quese noizie hanno bisogno di uleioe confema. Un segnale di queso ipo poeebbe ad un ibasso dei pezzi povocando dubbi e nevosismo con possibili confeme o smenie successive. Quesi segnali endono il mecao Figua.6. I cambiameni gionaliei in peiodo Evideni peiodi di piccole fluuazioni ( e 3-6 e di gandi fluuazioni ( della vaianza soica dei endimeni. La individuae sime che ci pemeano di fomulae ipoesi sul compoameno aeisiche pevedibili e quindi si 8

29 a sudiae i modelli ARCH (Auoegessive Condiional Heeoskedasiciy. nza condizionaa dei endimeni..8. (pe dai inagionaliei, la pesisenza e la L ende a cambiae in modo ciclico. Dopo una fase di cescia, egisa un massimo pe poi conasi fino a un valoe minimo e ipendee il pocesso dall'inizio. Moli ade evedibile del pezzo (a causa della sua caaeisica ciclica e hanno sviluppao saegie in gado di sfuae queso pincipio. La seconda caaeisica impoane della la pesisenza. La dopo l'alo nella sessa diezione, suggeendo che la v pobabilmene i. Queso vuol die che se i mecai hanno u un livello elevao di laile oggi, pobabilmene non molo pobabilmene coni 9

30 Queso ui i mecai azionai. Sumeni finanziai dall'andameno egolae poanno subie una foe cescia o decescia, ma quese saanno eazioni momenanee desinae a ienae. In modo analogo, ioli molo volaili endeanno ad essee pe lungo empo molo eaivi e le fasi di calma saanno nien'alo che dei segnali che peannunciano una endenza a onae veso i suoi valoi medi, ovve aggiuno valoi esemi sia veso l'alo che veso il basso. Una vola che un aio, iao, ende a ionae alla sua lunghezza nomale..9 vei valoi vaianza Riskmeics e la vaianza implicia. 3

31 .9.. Vaianza soica soica (ealized volailiy. Il calcolo viene fao sul peiodo campionaio. Abbiamo: T (, T dove pocedee con il calcolo bisogna depuae la seie eliminando quesi effei. Figua.7. oobe Vaianza mobile sono peiodi in cui la vaianza ende a imanee ala e ali peiodi nei quali 3

32 cecando di evidenziae quesi peiodi di bassi e ali. Pe queso scopo usiamo la vaianza mobile. :., ( i i Scindiamo il peiodo di ossevazione T in ani inevalli di ampiezza e ogni vecchia, icalcoliamo la vaianza manenendo cosane il numeo di calcolaa. Ovviamene, anche la media campionaia dei endimeni viene icalcolaa di vola in vola. Quesa misua viene usaa in moli casi. mobile pe ogni mese. Quesa misua aibuisce lo sesso valoe a ue le ossevazioni del mese. Anche in queso caso si ceca di cogliee la.9.3. Vaianza Riskmeics Riskmeics definia come: ( ( dove. Se = quadao. Il valoe di solio, si pende un.9. 3

33 .9.4. Vo podoi deivai, in paicolae alle opzioni. Uno sumeno deivao consideao ogni iolo di ali beni, come ad esempio le azioni. Le vaiabili alla base dei ioli deivai sono dee sani e possono avee divesa naua. Le opzioni confeiscono la (Call o vendee (Pu un deeminao iolo a una deeminaa daa fuua a un deeminao pezzo deo pezzo di esecizio (sike pice. Il valoe de Black & Scholes pezzo del soosane, sike pice, via esidua, asso di ineesse isk-fee e OC ( P ( d PE exp f d, dove ln( P / PE ( f / d e d d, dove exp f indica il faoe di scono al asso di ineesse isk-fee pe un peiodo e sandad. 33

34 Black & Scholes viene isola ispeo al paameo uilizzando i pezzi ossevai pe le opzioni. La unzione del pezzo del soosane, sike pice, del asso di endimeno pivo di ischio, del empo alla scadenza e del pezzo implicia P, PE,,, OC. ( f dei valoi ossevai delle vaiabili P, PE,,, OC f. 34

35 CAPITOLO : Dai finanziai ad ala fequenza.. Inoduzione io pae degli sudi empiici in finanza venivano usai a pe n queso modo si alasciavano gli eveni inagionaliei. Con lo sviluppo ecnologico dei mecai finanziai e della la fequenza delle ilevazioni. Tani mecai azionai hanno sviluppao daabase inagionaliei che egisano ogni singola ansazione assieme alle sue caaeisiche (pezzo, volume, ec. ai inagionaliei ha fao nascee una nuova aea di iceca finanziaia che ad ala fequenza. ao. pe la modellazione possono essee divesi, come ad esempio i volumi di 35

36 I modelli pe i fenomeni inagionaliei sono una nauale esensione dei modelli pe seie soiche gionaliee. Ci sono sae ane fomulazioni alenaive in divesi sudi in finanza. Quesi modelli si basano sugli effei inagionaliei e possono essee uili pe pevisioni. Gli sudi uili e ineessani in queso campo sono quelli basai su dai non equispaziai. Engle ( li ha chiamai daa (UHFD suggeendo anche vai modelli uili a In ala fequenza. Vedemo le caaeisiche e i meodi pincipali uili a sudiae queso ipo di dai e infine, daemo anche una semplice descizione del funzionameno del noo mecao azionaio sauniense, il NYSE (New Yok Sock Exchange. 36

37 .. Analisi di dai ad ala fequenza e la micosuua del mecao inagionaliei pe simae modelli miglioi. I dai ad ala fequenza vengono ilevai ad inevalli mambio finanziaio si aa di dai ilevai gionalmene o anche disponibile gazie a ecniche avanzae di acquisizione di dai. I dai ad ala fequenza sono molo impoani pe gli sudi empiici della micosuua del mecao. Un esempio di dai ad ala fequenza in finanza sono i dai ansacion-byansacion o ade-by-ade secondi. Tempo (minui Figua.. Dai ansacion-by-ansacion (iolo IBM. ading e alla micosuua del mecao. Possono essee usai pe 37

38 ading (es.,sisema del NYSE e il sisema di NASDAQ. I dai possono essee usai anche pe sudiae le dinamiche di domanda offea di un paicolae iolo. I dai ad ala fequenza hanno delle caaeisiche paicolai che non si.3. Scambi in fequenze divese essee quello mensile o annuale. Le ansazioni nei mecai azionai avvengono in inevalli bevissimi e non egolai. Se si sceglie un inevallo beve, ci saanno ani inevalli senza nuova scegliamo un inevallo lungo, Il poblema si ansazione dei mecai azionai mecai azionai viso, possono avee una, come ad esempio le news o a eveni non ossevabili legai ai pocessi socasici. In quesi casi, molo peicolosa e inuile. Si possono pedee i peiodi di maggioe ineesse. 38

39 Tioli anche pe lo sesso iolo. Si poebbe passae dalle oe ai gioni e vicevesa. Spesso analizziamo le seie dei endimeni in inevalli di empo fissi, come ad esempio gionaliei, seimanali o mensili. Pe le seie gionaliee, come pezzo del iolo ansazione della gionaa. In queso modo si assume eoneamene che le seie dei endimeni siano equispaz possibili pevisioni dei endimeni. Sia la seie dei log-endimeni indipendene e idenicamene disibuia (iid con media E ( e vaianza Va (. Pe ogni peiodo la il endimeno ossevao. Se non ci sono scambi al empo, abbiamo siamo in come il endimeno cumulao dallo scambio pecedene (es.,... k.... Quindi, la elazione a e... k i i... pob. pob.( pob.( pob.(... k pob.(... : : ( [...] (. 39

40 4 Possiamo oa consideae le equazioni dei momeni della seie dei endimeni ossevai :. ( (...] 4 3 [ (... 3 ( ( (... ] [ ( ] [ ( ] [ 3 E E E Calcoliamo oa la vaianza della seie dei endimeni ossevai. Sappiamo che ] [( ] [( ( E E Va. Calcoliamo quindi:...] 9 4 (... 3 ( [ (...] 9 (3 4 ( [( (... ] [( ( ] [( ( ( E E E :. ( Va. Qui usiamo:, ( ( (, (, ( E E E E Cov. Quindi bisogna ovae, ( E. Ricodiamo che il podoo nullo se non ci sono scambi al empo, al empo - oppue in nessuno dei due casi. Quindi, abbiamo:... (... ( ( 3 k i i....(....(.(.( k pob pob pob pob pob (.

41 La somma d = se e solo se ci sono sai e scambi consecuivi nei empi -,- e. Usando (. E ( E( E( pe j> abbiamo: E( ( E( 3 ( [ 3 3 : j E[ (...] (. Cov (,. j ] E[ ( 3 i i ]... e negaiva al pimo iado daa da: ( ( ( In geneale possiamo esendee il isulao e mosae che: j Cov(, j, I isulai appena visi possono essee genealizzai alle seie dei endimeni di un poafoglio che coniene N ioli. Gli effei degli scambi iegolai o non equispaziai nel endimeno di un singolo iolo sono equivaleni agli effei govena il noso pocesso..4. Domanda e offea In alcuni mecai azionai i make make hanno un uolo impoane nel faciliae gli scambi. Loo sono poni a vendee o a compae quando il 4

42 piccole conseguenze sul pezzo. make hanno dei diii di monopolio. Loo possono impoe pezzi diffeeni di vendia o di acquiso di un iolo. I make make pai a P a. La diffeenza compano al pezzo P b Pa Pb viene chiamaa bid-ask spead ne pimaia di guadagno dei make make. Tipicamene la bid-ask spead piccola, uno o due ick. bid-ask spead Consideiamo un modello semplice (Roll, 984. Consideiamo il pezzo ossevao di un asse P. Abbiamo: S P P I, dove S P a P bid-ask spead, P di un b asse in un mecao in assenza di fizioni e I casuali binaie indipendeni I I -.5=.5. scio come: S / con pobabilià.5 P P S / con pobabilià.5 Se non ci sono cambiameni in P il pocesso ossevao del cambiameno : 4 S P ( I I. I abbiamo: Soo la pecedene specificazione di E ( I

43 Quindi: E( P Va (. I Va( P S Cov( P, P La funzione di auocoelazione di P :.5 P (j / S / 4 Cov ( P, P j se j. se se j j La bid-ask spead causa una coelazione negaiva nel pimo iado delle seie del cambiameno ossevao dei pezzi. Quesa c conosciua come la bid-ask bounce nella leeaua in finanza. Vediamola da Assumiamo che: P assume uno dei due valoi, P Pa Pb. P o a P b. Se il pezzo ossevao P a Pb assume due valoi, o S. La coelazione negaiva al pimo iado divena evidene. quindi: P P P P P sia un andom walk, amene disibuie con media nulla e vaianza. Queso significa che e indipendene da I. In queso caso Va ( P S /, ma la covaianza non cambia. Quindi abbiamo: 43

44 P S / 4 ( S /. negaivo imane quando S P a P. b Gli effei della bid-ask spead esisono ancoa nei endimeni del poafoglio e nelle seie soiche finanziaie mulivaiae..5. Caaeisiche empiiche dei dai di ansazioni Chiamiamo i i-esima ansazione di un asse. Ci sono ale vaiabili collegae con le ansazione come il pezzo della ansazione, il volume della ansazione, ec. Gli isani delle ansazioni e le ale vaiabili collegae fanno pae dei dai di ansazione. Quesi dai hanno delle caaeisiche paicolai. Alcune di quese caaeisiche le elenchiamo di seguio:.inevalli di empo non equispaziai. Le ansazioni nei mecai azionai non avvengono in inevalli di empo equispaziai. Queso significa che i pezzi ossevai non cosiuiscono una seie equispaziaa. Le duae a uno scambio impoani sulla micosuua del mecao.. Pezzi discei. Il cambiameno del pezzo di un asse da una ansazione ick. Nel New Yok Sock Exchange, il ick ea di.5 dollai fino al 997 e di.65 dollai fino al. Dopo il 44

45 discea nei dai di ansazioni. In qualche mecao il cambiameno del pezzo e soggeo a limii sabilii dai egolaoi. 3.Peioinagionaliea. Soo condizioni nomali di ading, le ansazioni possono avee delle pei in alcuni mecai si osseva un flusso di ansazioni in apeua e in chiusua. Nel eso della ansazioni avanno la sessa caaeisica. 4.Tansazioni muliple in un secondo. 45

46 Figua.. Seie soiche di dai di ansazioni in una gionaa del mecao scela a caso pe divese fequenze. Dai ick by ick (in alo a sinisa; Un minuo (in alo a desa; 5 minui (in basso a sinisa; minui (in basso a desa..6. Mecai azionai sock sumeno finanziaio che a 46

47 mecao azionaio, sul quale nelle pime pagine dei gionali. Spesso le pesone amano espimee le loo dove le pesone divenano icche e povee molo in fea. Figua.3. Andameno di un indice azionaio ameicano. I pezzi delle azioni sono molo volaili come abbiamo viso nel pimo capiolo. Il mecao azionaio gioca un uolo impoane nel pocesso decisionale degli i e quesi maggioi fondi poduivi. 47

48 .6.. Funzionameno dei mecai azionai Lo scambio dei ioli in bosa segue egole e pocedue molo complesse che sono soggee a modifiche nel coso del empo pe adaasi ai pogessi evoluzione delle esigenze nomaive. I dai ad alissima fequenza conengono ue le infomazioni igu Di conseg sineizzae le caaeisiche isiuzionali che possono avee conseguenze ilevani sull alissima fequenza. Gli ageni ineagiscono con il mecao di un asse mediane una opeazione di vendia o acquiso che si chiama odine (odeesenae odini in coninuazione, ma solo in un deeminao peiodo di empo dedicao alle ansazioni, il ading day. Gli odini possono essee classificai in due gandi caegoie: i make ode e i limi ode. Un make ode appesena un odine di acquiso o di vendia di un ceo numeo di asse al pezzo coene. La caaeisica ilevane di sulla ansazione, ma inceezza pe quano iguada il pezzo della ansazione. D'alo cano, un limi ode specifica un limie del pezzo di acquiso o di vendia di un ceo numeo di asse. Un limi ode di acquiso specifica il pezzo massimo al quale un opeaoe disposo ad acquisae, mene un limi ode di vendia specifica il pezzo minimo al quale un opeaoe caaeisica impoane dei limi ode pe quano iguada l'esecuzione dell'odin L'insieme di ui i limi ode di acquiso e di vendia di un dao iolo cosiuiscono il cosiddeo book, che elenca gli odini sulla base dei pezzi e della loo daa di pesenazione. un quado deagliao 48

49 mecao. quoe. Quesa vaiabile ci indica un limie infeioe e uno supeioe eno i quali le ansazioni avanno luogo. I make ode veanno eseguii con la quoe auale geneando uno scambio (ade. un mecao azionaio sono molo complesse e specifiche..6.. Tading al NYSE (New Yok Sock Exchange Il New Yok Sock Exchange (NYSE, siuao al Wall See a Manhaan (New Yok, mecao azionaio del mondo pe volume di scambi. Si aa di un oganismo dove gli odini di acquiso o di vendia sono eseguii aaveso un agene, il make make, che si chiama lo special che i boke paecipano aivamene alla negoziazione sul piano degli scambi conibuendo del pezzo di ansazione. Non bisogna dimenicae che, nonosane la endenza globale veso sisemi di ading viuali, la componene un elemeno fondamenale nel meccanismo di scambio e queso fao ha un pofondo impao sui dai. Gli scambi si svolgono sul floo dalle 9:3 alle 6:. Il piano di negoziazione del di una seie di sanze dove si ovano i posi di ading. Tu legae a un deeminao iolo sono fae nei panel siuai negli posi di ading. 49

50 Figua.4. Il NYSE in una gionaa di ading. Ad ogni panel, lo specialisa del iolo assegnao e i boke ineessai allo scambio fomano la cosiddea ading cowd. La funzione della ading cowd o a gaanie che il mecao sia abbasanza liquido e sabile. Lui ha il compio di endee le ansazioni semplici e facili a popio ischio e peicolo. In ale cono il mecao vende quando il pezzo va ading day lo specialisa esa insieme ai suoi clieni vicino al poso di negoziazioni e al panel elaivo al iolo boke invece possono scambiae ogni iolo nel floo (piano degli scambi, quindi si muovono in ui i posi di scambio anche se specializzai solo su alcuni ioli. I boke possono paecipae alle 5

51 negoziazioni aivamene, ineagendo all'ineno delle ading cowd o passivamene, lasciando i loo odini allo specialisa. aono alla figua dello specialisa. Gli odini aggiungono lo specialisa amie un boke o aaveso la ee del NYSE. Gli odini che aggiungono lo specialisa odine diveso. Gli odini sono sempe effeuai al al pezzo di lo specialisa. impoane soolineae che le opeazioni in genee, non sono auomaicamene eseguii. In paica, ue le opeazioni ilevani sono effeuae soo la vigilanza dello specialisa. Abbiamo anche dei egolameni paicolai applicai a eveni impoani ading ossia l'apeua del mecao, la chiusua e le ineuzioni della gionaa di ading, lo spe pesenae una possibile al pezzo di chiusua del giono peceden da un pogamma auomaico sviluppao dal NYSE. Queso pogamma pende in consideazione ui gli odini di acquiso e di vendia e pesena il bilancio allo specialisa. Lui decide in base a queso quani odini di acquiso o di vendia saanno pesenai. Il pezzo di chimake-on-close (MOC. I MOC sono odini di acquiso o di vendia che vengono eseguii ineamene al pezzo di chiusua o sono annullai. Nel caso in cui si ha un saldo non nullo degli odini MOC, la diffeenza influenza deeminando il pezzo di chiusua. Gli ali odini saanno eseguii a quel pezzo. Se gli odini di acquiso e di vendia MOC sono uguali, il pezzo di ansazione. In alcune paicolai cicosanze, lo specialisa ado 5

52 dell'apeua delle opeazioni pe alcuni ioli (opening delay o una ineuzione empoanea delle opeazioni (ading hal. Le possibili cause pe quesi ipi di aesa di noizie, la diffusione di noizie o odini ilevani in aesa di essee eseguii. Dopo le ineuzioni del 987 e 989, il NYSE ha inodoo gli ineuoi del mecao (cicui beakes in modo da fae abbassae la fequenza delle ansazioni o anche di female in aicolai, i diigeni del NYSE possono ineompee le ansazioni di una nomale gionaa di ading (ad es., poblemi di ee Commeni sul meccanismo di ading del NYSE Anche se una gan pae delle pocedue del NYSE sono auomaizzae, le dinamiche delle ansazioni sono foemene influenzae dalla ineazione sul floo a specialisi e boke. Dal 993 il NYSE ha sabilio delle nome in maeia che iguadano il empo di esecuzione. La maggio pae delle ansazioni sono accompagnae dallo odini di mecao sempe immediaa. Le segnalazioni di ading possono essee un membo del floo, empo necessaio pe geneae il appoo. I meccanismi di segnalazione sul floo hanno subio dei cambiameni adicali nel coso degli anni. Queso compoa anche un odine di gandezza vaiabile nel empo pe i iadi. Le ansazioni effeuae dai boke sul floo complicano uleiomene le dinamiche dei pezzi. Anche se quasi ue le opeazioni che vengono 5

53 eseguie al NYSE povengono dalla ee del sisema (Exchange Newok Sysem, i boke del floo effeuano una gan pae del volume oale delle opeazioni. Ci sono alcuni sudi empiici ineessani ading. Secondo le sime ipoae da Sofianos e Wene ( gli odini del boke (da a 49 ioli so aggiungono il floo aaveso la ee. I boke scompongono poi un odine in un inevallo di empo che vaia in media da a 9 minui. I boke hanno a disposizione infomazioni impoani che non si ovano fuoi dal floo. dedicaa alla analisi dei dai Dai ad alissima fequenza al NYSE I ipi di dai accoli dal NYSE sono: odini (ode deails, quoazioni (quoaions e ansazioni. Il NYSE e il pimo mecao ad ave disibuio i suoi la pima vola il TORQ (Tades, Odes and Quoes, un daabase che coniene un campione di dai di e mesi. Dal 994 abbiamo un alo daabase, il TAQ (Tades and Quoes. Il TAQ ha subio delle piccole modifiche negli anni segueni. I dai disibuii dal NYSE sono gezzi e bisogna fae delle piccole asfomazioni pe poeli usae pe scopi di iceca. 53

54 Figua.5. TAQ (Tades and Quoes pe il iolo Geneal Elecic dalle :3: alle :3: del Novembe,. Quoazioni Le quoazioni (quoe daa conengono infomazione sulle miglioi condizioni di ading disponibili sul mecao. Nella abella. abbiamo un piccolo campione di quoazioni peso dal TAQ. 54

55 Tabella.. Quoazioni dal TAQ Diamo anche una beve descizione dei campi della abella. SYMBOL: il simbolo del iolo. EX: il mecao azionaio. QDATE: la daa. QTIM: il empo espesso in secondi dalla mezzanoe. BID: pezzo. OFR: pezzo domandao. BIDSIZ: dimensione offea. OFRSIZ: dimensione domandaa espessa in lo. QSEQ: numeo sequenziale del MDS (Make Daa Sysems. MODE: sao della quoe. MMID: codice make make. MODE coniene infomazioni uili a icosuie accuaamene le gionaa di ading. 55

56 Dai di ansazioni I dai di ansazioni conengono infomazioni sugli odini eseguii sul mecao azionaio. Nella abella. abbiamo un campione esao dal daabase delle ansazioni. Tabella.. Quoazioni dal TAQ impoani. SYMBOL: il simbolo del iolo. EX: il mecao azionaio. TDATE: la daa. TTIM: il empo espesso in secondi dalla mezzanoe. PRICE: pezzo della ansazione. SIZ: volume della ansazione. CORR: indicaoe di coezione. COND: indicaoe di una ansazione successiva. 56

57 CAPITOLO 3: Diffeeni specificazioni e applicazione dei modelli MEM 3.. Inoduzione Lo sudio del compoameno dei mecai azionai di pocessi non negaivi, come ad esempio il volume scambiao, il ange, i numeo di scambi, ec. Tue quese seie finanziaie hanno una caaeisica comune: la pesisenza. La loo evoluzione dipende dal passao. Pe modellae dai gionaliei sono sai usai divesi modelli simili al GARCH (Genealized Auoegessive Condiional Heeoskedasiciy, Bolleslev, 986 eoe indipendene e idenicamene disibuio. Moli isulai empiici hanno mosao una buona pefomance di quese equazioni. La leeaua sui GARCH ha avuo un peiodo di gande sviluppo negli ulimi 5 a veso i dai inagionaliei. Il finanziaie. vaiabile ilevane dei mecai finanziai. oli campi della finanza, come ad esempio il picing dei sumeni deivai e la gesione del ischio. 57

58 , possibile misuae la uona misua pe queso scopo. ealizzaa. Andesen ealizzaa dei endimeni dei ioli e dei assi di cambio segue una (Gaussian Auoegessive Facionally Inegaed Moving Aveage ed ealizzaa. Un appoccio diffeene consise nel seguie la logica dei MEM (Muliplicaive Eo Model pe pocessi non negaivi. Quesi modelli sono definii posiivi. i compoameni delle code della disibuzione della seie. In queso capiolo vedemo delle divese possibili fomulazioni del modello MEM con le ispeive applicazioni su seie finanziaie eali. 58

59 3.. MEM: fomulazione geneale Consideiamo y, un pocesso non negaivo univaiao. Sia I -. Il MEM pe espesso come: y, I : (i y ocesso pevedibile non negaivo; (ii l dipende da un veoe di paamei ignoi, ( ; (iii segue una disibuzione con suppoo non negaivo, con media e vaianza ignoa. Abbiamo: ~ D (,. I Quese definizioni ci gaaniscono: V E( y I ( y I. Pe chiudee e specificae una equazione pe la media condizionaa. Una scela comune in moli sud la disibuzione Esponenziale. Quindi, abbiamo: ~ Gamma (,/, I dove >, E( e V ( /. La funzion I condizionaa : f ( Possiamo dedue anche che Gamma: ( I I exp. I y segue una disibuzione condizionaa y ~ Gamma (, /. La funzione di condizionaa di y : 59

60 f ( y Abbiamo in queso modo: I y exp y /. ( V E ( y I ( y I. Pe quano iguada la specificazione di semplice, quella del ipo GARCH(p,q. La foma di base di : p q y i j j. i j y duae finanziaie o i volumi scambiai nei mecai azionai. La specificazione exa. Definiamo z, un veoe di vaiabili esogene evenualmene iadae incluse nella infomazione fino al empo - : p i y q ' i j j z. j Ripoiamo nella figua 3. pe il noso emine di innovazione pe divesi valoi di. Con di una vaiabile casuale Chi- =, il geneale, valoi di vaiabile casuale. Valoi di simile alla campana. Pe valoi sufficienemene gandi di si passa alla disibuzione nomale. 6

61 Figua 3... Supponiamo pe adesso che gli unici paamei di ineesse siano quelli inclusi nella equazione di :, chiamiamoli. La funzione di log- T y logl( y ; l( y ; c log, dove c sane iilevane pe il meodo di sima (massimizzae la sima di massima veosimiglianza, max SMV che dipende dalle Massimizziamo la funzione ispeo a : T x. y e da. Oeniamo le nose sime SMV usando delle pocedue ieaive. Abbiamo: SMV ag max l( y ; 6

62 Pe quano iguada la disibuzione asinoica delle nose sime soo abbiamo: dove asy T ( n ~ N, V ( as N, T asy n ~ (, Vas V as J l( y ; J E ', T l( y ; J ' T i T T i l( y ; l( y ; Se vogliamo veificae unipoesi nulla del ipo H : i i,, possiamo usae il es di Wald: dove i -esima iga del veoe V J T as. T i i, V ii, ' ' e V ii 3.3. MEM viso come Il modello MEM definio nel paagafo pecedene appaiene alla famiglia dei modelli GLARMA (Genealized Linea Auoegessive Moving Aveage inodoi da Shephad (995. Nei modelli GLARMA, la fu condizionaa di y fa pae della famiglia esponenziale. Abbiamo: f ( yi exp[ ( y b( d( y, ] (3. 6

63 63 ono ispeivamene il paameo canonico e di pecisione, b(. e d(. sono le funzioni specifiche che definiscono la disibuzione deno la b I y E ( ( ' ( / ( ( '' b I y V. Desciviamo la dinamica (p,q della media condizionaa aaveso la funzione monoona g(. scia in emini geneale come: q j j j j i i p i i x M z x A z g ',, (,, ( ( dove A(. e M(. sono funzioni che appesenano i emini auoegessivi. q j j j j i i p i i g x g z x g z g ' ' ]. ( ( [ ] ( [ ( Specificando la disibuzione Ga e sosiuendo GLARMA Possibili specificazioni dei modelli MEM. In quesa sezione definiamo delle possibili specificazioni dei modelli appaeneni alla famiglia dei MEM. Cecheemo di confonae mediane le applicazioni quao divesi modelli. Il pimo modello (chiamao PV consideao pe la pima vola in quesa esi. Pendeemo in consideazione anche due specificazioni (MIX e TMV di De Luca e Gallo (7 e un'ala modello della sessa famiglia, quella di Lanne (6.

64 ello segue una disibuzione Gamma con disibuisce secondo una misua di Gamma con pesi fissi (De Luca e Gallo, 7. Le equazioni che definiscono il ezo modello sono simili a quello pecedene. La diffeenza consise nei pesi della misua che sono vaiabili in Lanne ( Gamma a paamei vaiabili (PV segue una disibuzione Gamma a paamei vaiabili. La media sempe uniaia ispeando la definizione del pimo paagafo. Sia y : y, con: dove,., ~ Gamma,/, ( y, La fo valida pe ue le specificazioni : p q y i j j. i j 64

65 3.4.. Misua di Gamma con pesi fissi (MIX Consideiamo un modello appaenene alla famiglia dei MEM con secondo una misua di Gamma con i pesi fissi, il modello MIX (De Luca e Gallo, 7. La media complessiva con., conpob., conpob.( ~ Gamma,,, ( ~ Gamma, ( Imponendo il vincolo di media uniaia a ua la misua, abbiamo:. ( Misua di Gamma con pesi vaiabili (TVM disibuisce secondo una misua di Gamma con pesi che vaiano con il empo. Queso ipo di modello lo chiamiamo TVM (De Luca e Gallo, 7. La media complessiva :, conpob., conpob.( ~ Gamma,, 65 (

66 con. ~ Gamma,, (, Assumiamo che i pesi (vaiabili siano dipendeni dal loo passao e dal pimo exp y. exp y Imponendo il vincolo di media uniaia a ua la misua, abbiamo:,. ( Queso significa che anche uno dei paamei della misua vaia con il empo Misua di due MEM (LANNE In quesa sezione fomuliamo un alo modello della classe MEM pe descivee Lanne (6 suggeisce un modello definio dalla misua di due MEM, media. I pesi della misua sono fissi in queso caso. Abbiamo: con e,,, conpob. conpob.( ~ Gamma,/, ( ~ Gamma,/. ( vaiano nel empo con i 66

67 pai a abbiamo: q p i yi j, j i i q p i y i j, j i i. con -. Quindi, 3.5. Analisi (JNJ pe il peiodo 3// - 3//6. La seie soica vaianza ealizzaa in inevalli di cinque minui. Nelle figue 3. e 3.3 zzaa del iolo. Figua 3.. Seie dei endimeni del iolo. 67

68 Figua 3.3. Seie de. Nella figua 3.4 abbiamo la funzione di auocoelazione globale (ACF e paziale (Paial ACF funzione di auocoelazione globale decesce lenamene, un segno di lunga memoia. La funzione di auocoelazione paziale va a zeo in un modo esponenziale. 68

69 Figua 3.4. Funzione di auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF ealizzaa del iolo. aaveso le quao possibili specificazioni della classe dei MEM. Cominciamo con la specificazione PV Riassumendo, abbiamo: y ~ Gamma,/ y ( 69 y y consideando p= e q=. dipendono dai valoi pecedeni della seie d,,,,,, Usiamo il meodo della massima veosimiglianza pe la sima dei nosi y come:

70 y ~ Gamma, / f ( y I y ( con funzione di log-veosimiglianza: ( y, l. ( yi log f ( yi exp y Nella abella soosane abbiamo la sima, lo sandad eo, il valoe della see paamei. Paameo Sima Sd. Eo Sa.es p-value ~ ~ ~ ~ ~ Tabella 3.. Sima, sandad eo, ossevao pe (modello PV. vello di. meodo dei esidui quanile (Rosenbla, 95 e Cox & Snell,968 valido pe ui i modelli paameici usando la funzione di ipaizione delle ossevazioni. Il emine esidui quanile Dunn and Smyh (996. 7

71 I esidui quanile sono definii da due asfomazioni. Pimo, usiamo la funzione di ipaizione simaa pe asfomae le ossevazioni in vaiabili della funzione di ipaizione della disibuzione nomale sandad pe oenee (in un modo appossimaivo delle vaiabili indipendeni con disibuzione nomale sandad che saanno i nosi esidui quanile. Riassumendo, se i esidui quanile specificao coeamene e le sime dei paamei sono consiseni. Se no, i esidui quanile descie. hanno delle caaeisiche divese da quelle appena I esidui quanile ossevai sono definii in queso modo: dove sandad. F( y ; I T, T Calcoliamo inizialmene le sime dei due momeni pincipali dei esidui quanile, la media e la vaianza campionaia. Abbiamo:, dove q e q. s q.999 s q sono ispeivamene, la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Facciamo due es pe veificae se la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono ai ispeivi momeni della disibuzione H H s q q : :. / n ,

72 Il es, soo H, si appossima ad una vaiabile nomale sandad. Acceiamo ampiamene la vaianza dei esidui quanile H H : :. ns q ~ N n,( n nosi dai abbiamo =485. Possiamo die che la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono alla media e alla vaianza della disibuzione nomale sandad. Nella figua 3.5 abbiamo il gafico dei esidui quanile, il gafico quanilequanile pe vedee se la disibuzione si appossima a quella nomale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile ione plo quanile-quanile ed anche pe 7

73 Figua 3.5. Residui quanile, plo quanile-quanile pe vedee se la disibuzione si appossima alla nomale sandad, auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao (modello PV. Poviamo adesso a simae la nosa seie soica aaveso il modello MIX. y y. Usiamo il meodo della massima veosimiglianza (SMV pe simae i 73

74 ,,,,,,, f ( y I y y y y y exp ( exp ( ( con funzione di log-veosimiglianza: l. ( yi log f ( yi Nella abella 3. abbiamo la sima, lo sandad eo, il valoe della saisica es e il ispeivo livello di significai Paameo Sima Sd. Eo Sa.es p-value ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Tabella 3.. Sima, sandad eo, saisica es e ispeivo livello MIX. paameo non significaivo:. paameo. 74

75 Passiamo alla diagnosica del modello appena simao. Conolliamo la disibuzione dei esidui quanile coeamene. Calcoliamo la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Abbiamo:, dove q e q -. s q.99 s q sono ispeivamene, la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Veifichiamo adesso se la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono ai ispeivi valoi della disibuzione nomale Calcoliamo il valoe del es: H H s q q : :. / n.49. Il es, soo H, con il es: H H : : ns q ~ N n,( n nosi dai abbiamo = Possiamo die anche in queso caso, che la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono alla media e alla vaianza della disibuzione nomale sandad. 75

76 Nella figua 3.6 abbiamo il gafico dei esidui quanile, il gafico quanilequanile (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao pe il modello MIX. Ossevando il gafico quanile-quanile, possiamo die che i esidui quanile seguono una disibuzione nomale sandad e quindi sono incoelai e sime sono consiseni. Figua 3.6. Residui quanile, plo quanile-quanile pe vedee se la disibuzione si appossima alla nomale sandad, auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao (modello MIX. 76

77 TVM manenendo la sessa equazione di media condizionaa: y y. Simiamo i nosi paamei applicando il meodo della massima veosimiglianza (SMV.,,,,,,,,, y f ( y I y y y y exp ( exp (, ( - l. ( yi log f ( yi Nella abella soosane abbiamo la sima, lo sandad eo, il valoe della saisica es e il i nosi paamei. Paameo Sima Sd.eo Sa.es p-value ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Tabella 3.3. Sima, sandad eo, ossevao pe (modello TVM., 77

78 . meodo dei esidui quanile. Calcoliamo la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Abbiamo:, dove q e q -.4 s q.98 s q sono ispeivamene, la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Veifichiamo se coispondono ai ispeivi momeni della Il es in ques H H s q q : :. / n.56. Il es, soo H, si appossima ad una vaiabile nomale sandad. Acceiamo esidui quanile H H : :. ns q ~ N n,( n Possiamo die che la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono alla media e alla vaianza della disibuzione nomale sandad. 78

79 Nella figua 3.7 abbiamo il gafico dei esidui quanile, il gafico quanilequanile pe vedee se la disibuzione si appossima a quella nomale coelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao pe il modello appena simao. Osseviamo che i puni si allineano pefeamene alla ea della disibuzione nomale. Le auocoelazioni globali e paziali dei esidui quanile e del loo quadao non escono quasi mai dalle bande di confidenza. Possiamo le sime sono consiseni. 79

80 Figua 3.7. Residui quanile, plo quanile-quanile pe vedee se la disibuzione si appossima alla nomale sandad, auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao (modello TVM. Simiamo la nosa seie uilizzando anche le nose specificazioni della famiglia dei MEM, il modello suggeio da Lanne. essee simao con il meodo della massima veosimiglianza. La funzione di y 8

81 f ( y I y y y exp ( exp, (,,, (, La funzione di log- l. ( yi log f ( yi con il modello appena definio. Pendiamo p=q=. Riassumendo ue le equazioni, abbiamo: dove. y, conpob., conpob.( ~ Gamma,/,, ( ~ Gamma,/ (, conpob., conpob.(, y,, y,,,,,,,,,, Nella abella 3.4 abbiamo la sima, lo sandad eo, il valoe della saisica i nove paamei. y, 8

82 Paameo Sima Sd.eo Sa.es p-value ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Tabella 3.4. Sima, sandad eo, ossevao pe (modello di Lanne. (lso. Le sime sono ue significaive consideando. Passiamo oa alla diagnosica del modello simao. Conolliamo se la disibuzione dei esidui quanile coisponde alla nomale sandad. Calcoliamo la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Abbiamo:, dove q e q.68 s q. s q sono ispeivamene, la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Veifichiamo se la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono ai ispeivi momeni della disibuzione nomale sandad. La pima co H H : :. 8

83 s q q / n.6. Il es, soo H, si appossima ad una vaiabile nomale sandad. Acceiamo con il es: H H : : ns q ~ N n,( n =486. Acceiamo ampiamene La media e la vaianza dei esidui quanile coispondono alla media e alla vaianza della disibuzione nomale sandad. Nella figua 3.8 abbiamo il gafico dei esidui quanile, il gafico quanilequanile (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao pe il modello di Lanne. 83

84 Figua 3.8. Residui quanile, plo quanile-quanile pe vedee se la disibuzione si appossima alla nomale sandad, auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile al quadao (modello di Lanne. A pae qualche piccolo poblema sulle code, i puni si allineano bene alla ea della disibuzione nomale. Le funzioni di auocoelazione globale e paziale pe i esidui quanile e pe i ispeivi quadai hanno un andameno coeamene e le sime sono consiseni. 84

85 divese specificazioni del modello appaenene alla famiglia dei MEM. Confoniamo adesso le nose sime usando dei ciei (Asympoic Infomaion Cieion, Akaike, 974 e il BIC (Bayesian Infomaion Cieion, Schwaz, 978 accompagnai dai ispeivi valoi di massima log-veosimiglianza. L del modello ai dai e possono essee usai pe ui i modelli simai aaveso il meodo della massima veosimiglianza. AIC( k k, dove l T -veosimiglianza nel suo puno di dimensione del campione. Il BIC viene calcolao in queso modo: l T BIC( k k log( T n, dove Nella abella soosane abbiamo il valoe della funzione di logveosimiglianza nel puno di massimo, AIC e il BIC pe i nosi modelli. l T Modello l T AIC BIC PV MIX TVM LANNE Tabella 3.5. Valoe della funzione di log-veosimiglianza nel puno di massimo, AIC e BIC pe i nosi modelli. 85

86 al modello miglioe e vicevesa pe il valoe della funzione di log-veosimiglianza nel puno di massimo. In queso caso possiamo die che complessivamene i modelli TVM e MIX si adaano meglio ai dai. Poce & Gamble Poce & Gamble pe il peiodo //3-8//7. ogni singolo giono in inevalli di cinque minui. Nelle figue 3.9 e 3. del iolo Poce & Gamble. Figua 3.9. Seie dei endimeni del iolo Poce & Gamble. 86

87 Figua 3.. Seie depoce & Gamble. Nella figua 3. abbiamo la funzione di auocoelazione globale (ACF e paziale (Paial ACF funzione di auocoelazione globale decesce lenamene veso lo zeo. La funzione di auocoelazione paziale va a zeo in un modo esponenziale. 87

88 Figua 3.. Funzione di auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF della Poce & Gamble. specificazioni della classe dei modelli MEM. Cominciamo con la specificazione PV consideando p= e q= con quesa equazione di media condizionaa: y y Nella abella soosane abbiamo la sima, lo sandad eo, il valoe della see paamei. 88

89 Paameo Sima Sd. Eo Sa.es p-value ~ ~ ~ ~ ~ Tabella 3.6. Sima, sandad eo, ossevao pe (modello PV. ulima colonna della abella 3.6. Con un livello di signi paameo non significaivo:. sezione pecedene il meodo dei esidui quanile. Calcoliamo inizialmene le sime dei due momeni pincipali dei esidui quanile, la media e la vaianza campionaia. Abbiamo:, dove q e q.57 s q.89 s q sono ispeivamene, la media e la vaianza campionaia dei esidui quanile. Facciamo due es pe veificae se la media e la vaianza dei esidui quanile coispondono ai ispeivi momeni della disibuzione 89

90 Il es in ques H H s q q : :. / n.46. Il es, soo H, si appossima ad una vaiabile nomale sandad. Rifiuiamo esidui quanile H H : :. ns q ~ N n,( n ai nosi dai abbiamo =6.4 media e la vaianza dei esidui quanile non coispondono alla media e alla vaianza della disibuzione nomale sandad. Nella figua 3. abbiamo il gafico dei esidui quanile, il gafico quanilequanile pe vedee se la disibuzione si appossima a quella nomale auocoelazione globale (ACF e paziale (PACF dei esidui quanile e dei esidui quanile plo quanile-quanile ed anche pe q 9