Figura 1: Flusso interno di un fluido in regime laminare (a) e turbolento (b)

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1 Convezione orzata Come già deritto in uno dei paragrai preedenti, la onvezione orzata è il meanimo di ambio termio he i veriia ogni qualvolta un orpo ad una erta temperatura uperiiale ambia alore on un luido in movimento, quando il moto del luido è auato da un agente meanio eterno (ad eempio una pompa di irolazione o un ventilatore). Il moto di un luido può eere laminare o turbolento. Entrambe le ondizioni otituiono dei modelli luidodinamii ideali a ui, nei vari ai, ono rionduibili, on un divero grado di approimazione, le ondizioni reali di moto. Nel moto laminare le partielle eguono traiettorie ben deinite parallele le une alle altre (linee di orrente) enza mai meolari tra di loro (r. Fig. 1-a), imilmente a iò he avviene in una parata militare in ui ogni oldato egue una preia traiettoria mantenendo ditanze ie ripetto agli altri, mentre nel moto turbolento avviene un meolamento diordinato delle partielle, tanto più eiae quanto più elevato è il grado di turbolenza, un po' ome aade quando degli olari eono di ora dalla uola al uono della ampanella. Nel ao di moto turbolento, olo mediamente e tatitiamente i può aermare he la maa luida in movimento è aratterizzata da una direzione e da un vero, quindi da una veloità, ma e i analizza il moto della ingola partiella, la ua traiettoria è aratterizzata da repentine variazioni di direzione e vero (r. Fig. 1-b). (a) (b) Figura 1: Fluo interno di un luido in regime laminare (a) e turbolento (b) Fatte quete premee, proviamo a derivere il enomeno della onvezione orzata aendo rierimento al ao del luo eterno di un luido a temperatura T u una piatra alda a temperatura T ome quello rappreentato in modo hematio nella Figura. Tale onigurazione derive on buona approimazione tutte le ituazioni in ui la uperiie di ontatto è piana o aratterizzata da urvatura poo aentuata, aimilabile ad una uperiie piana (e. le pale di una turbina idraulia) Se deriviamo il proilo di veloità del luido a partire dalla ezione di imboo, poiamo oniderare nulla la veloità del luido ripetto alla piatra nelle zone di ontatto 48

2 (ondizione di aderenza), mentre ea aumenta gradualmente allontanandoi da ea, ino a raggiungere il valore inditurbato u. Nella zona di ontatto tra luido e parete, dove la veloità relativa è nulla, avviene uno ambio termio di tipo onduttivo. Queto produe un aumento dell'energia inetia delle partielle di luido, le quali, muovendoi vero regioni a più baa temperatura, edono energia alle partielle he oupano tali zone. Il enomeno è dunque ontemporaneamente dovuto ad un traerimento di energia di tipo onduttivo e ad un traporto di maa. E' importante periò deinire le ondizioni luidodinamihe del moto per riolvere il problema termio. Se il luido i muove di moto perettamente laminare ripetto alla parete e tra i due itemi è una dierenza di temperatura, avviene tra di ei uno ambio termio di tipo eluivamente onduttivo, eendo il luo intereato olo da moti delle partielle a livello ub-miroopio. Al ontrario, e il regime di moto è turbolento, le partielle i meolano attraverando le traiettorie ed il traerimento di energia avviene attravero urti. Il meanimo di ambio termio è periò tanto più eiae quanto più elevato è il grado di turbolenza ed agli eetti della onduzione i aggiungono quelli più propriamente onvettivi. Il rallentamento delle partielle man mano he i avviinano alla parete è dovuto all'azione delle orze vioe (tangenziali) he hanno luogo tra i vari trati di luido in movimento gli uni ripetto agli altri. 'andamento della veloità dipende dalla vioità del luido. o trato aderente alla parete è ermo ripetto ad ea e rallenta quello adiaente he a ua volta a lo teo on quello ueivo e oì ino a he l'azione di rallentamento i eaurie ed il luido riulta aratterizzato da un valore inditurbato della veloità (u ). a tenione o orzo vioo i manieta a livello miroopio ed è l'unia azione he ha luogo nel ao di moto laminare. Al ontrario, nel moto turbolento, agli orzi vioi i ovrappongono interazioni tra le partielle a livello maroopio he danno luogo a orzi detti appunto turbolenti. o orzo vioo he i eplia tra il luido e la uperiie può eere anhe vito ome un'azione di trainamento del luido nei onronti della uperiie nella direzione del moto (reitenza uperiiale). u u u aminare Tranizione Turbolento Figura : Fluo eterno di un luido in onvezione orzata u una parete piana trato limite di veloità 49

3 e orze di attrito o vioe he i manietano tra i vari trati di luido poono eere alolate on la eguente relazione di Newton: du τ µ dy he, ulla uperiie della parete aume la orma: dove: τ : tenione vioa [N/m ] µ: vioità dinamia [kg/m N /m Pa ] τ µ du dy y0 Per la miura della vioità dinamia viene anhe utilizzato il poie o un uo ottomultiplo: 1 poie 0,1 Pa I luidi he oddiano la relazione preedente ono detti newtoniani; aqua ed aria ono laiiabili ome luidi newtoniani on buona approimazione. Aanto alla vioità dinamia i può deinire la vioità inematia di un luido nel modo eguente: µ ν ρ a vioità inematia i miura in m /, oppure in toke (1 toke1 m /0,0001 m /). a vioità inematia è una grandezza molto utilizzata nei problemi termii, ha le tee dimenioni della diuività termia ed è denominata, per analogia on queta, diuività vioa o momento vioo. a vioità è una proprietà dei luidi trettamente ollegata alla temperatura. In partiolare, nei liquidi, diminuie all'aumentare di queta, mentre nei ga aumenta. a determinazione dello orzo vioo on la relazione ritta riulta oltremodo omplea perhé preuppone la onoenza del proilo di veloità. Per lui eterni i può utilizzare una relazione approimata, ome la eguente: τ ρ u in ui è il oeiiente d'attrito, ρ la denità del luido ed u la veloità inditurbata del luido teo. a orza d'attrito o di trainamento è riavabile dall'epreione preedente moltipliando il valore dello orzo per la uperiie u ui viene eeritato F A ρ u 50

4 Strato limite luidodinamio o di veloità a regione di luido entro la quale i hanno otanziali variazioni di veloità ed in ui ono preenti igniiative orze di taglio vioe, i hiama trato limite luidodinamio o trato limite di veloità, ed il uo peore è deinito ome la ditanza dalla parete in orripondenza della quale la veloità del luido raggiunge il 99% di quella inditurbata. Nella igura è diegnata a tratti la linea immaginaria in orripondenza della quale la veloità del luido aume tale valore; ea delimita due zone oupate dal luido: lo trato limite, ioè un ottile trato a ontatto on la parete in ui hanno luogo i enomeni vioi, aratterizzato da elevati gradienti di veloità, ed una regione eterna ad eo in ui gli eetti della vioità ono traurabili e la veloità aume il valore inditurbato. Ipotizzando he lo hema della igura rappreenti un luo d'aria u una piatra piana parallela alla orrente, i nota ome lo peore dello trato limite vada gradualmente aumentando a partire dalla ezione di attao, dove è pratiamente nullo, poihé olo le partielle a ontatto on la parete ono rallentate mentre il reto del luido i muove inditurbato, ed aumenta man mano he il moto del luido proede poihé quantità di luido empre reenti ono intereate da enomeni vioi e ono oggette pertanto al enomeno del rallentamento. All'interno dello trato limite il moto rimane laminare ino ad una erta ditanza dal bordo di attao e diventa poi turbolento paando attravero una zona di tranizione. Il gruppo adimenionale he permette di determinare le ondizioni del moto in onvezione orzata i hiama numero di Reynold ed è epreo dal eguente rapporto: Re ρ u l u l µ ν in ui: ρ: denità del luido (kg/m 3 ); u :veloità del luido inditurbato (m/); l: grandezza geometria lineare aratteritia della geometria del itema (m) µ: vioità del luido (kg/m ). a grandezza l aume di volta in volta il valore della dimenione geometria he aratterizza la onigurazione: ad eempio, nel ao di moto di un luido in un ondotto a ezione irolare, ea è data dal diametro dello teo, mentre nel ao di moto di un luido u una parete, quale quello di igura 15, i può ar oinidere tale grandezza on la ditanza dalla ezione d imboo reente lungo la direzione del moto. In orripondenza di una ditanza x dalla ezione di imboo (x0) i deinirà un numero di Reynold loale pari a: Re x ρ u x u x µ ν a ditanza dal bordo di attao alla quale il moto nello trato limite è diventato ompletamente turbolento è detta ditanza ritia ed il valore di Re è detto anh eo ritio. In un problema di onvezione orzata u latra piana il valore del numero di Reynold ritio vale ira 5x 10 5, anhe e tale valore ha arattere orientativo e può 51

5 ambiare in unzione del grado di turbolenza della orrente libera. Il numero di Reynold eprime il rapporto tra le orze di inerzia, he riultano proporzionali alla denità e alla veloità del luido, ioè alla ua quantità di moto, e le orze vioe. Finhé lo peore dello trato aratterizzato da intene orze vioe è piolo, quete prevalgono ulle orze d'inerzia, mantenendo le aratteritihe di laminarità del moto nello trato limite. All'aumentare del uo peore, però, le orze vioe diventano empre meno eiai ed il regime di turbolenza i impone rendendo intabile lo trato limite. Si genera oì al uo interno un regime turbolento in ui olo un ottile trato a ridoo della parete è aratterizzato da un moto quai laminare (ottotrato laminare). Superata la ditanza ritia il regime di turbolenza è ompletamente viluppato. e aratteritihe di turbolenza dipendono, oltre he dalle proprietà iihe del luido e dalla ua veloità, anhe dalla initura uperiiale della parete la ui rugoità può eere determinante per aelerare la tranizione da moto laminare a moto turbolento nello trato limite. Poihé le ondizioni di moto turbolento ono ovviamente più vantaggioe dal punto di vita dello ambio termio, talvolta vengono reate ad ho delle aperità ulle uperii di ambio per ottenere un maggior grado di turbolenza, ome avviene in aluni ambiatori di alore ulla ui uperiie eterna viene realizzata una appoita alettatura on lamine metallihe di elevata onduibilità he inrementano lo ambio termio onvettivo on il luido. Il moto turbolento è omunque un enomeno ompleo per lo tudio del quale i riorre ovente a relazioni di arattere perimentale. Strato limite termio Conideriamo anora il luido in moto onvettivo orzato he lambie una latra piana. Analogamente a quanto avviene per le veloità, ipotizzando he il luido abbia una temperatura della orrente libera (inditurbata) pari a T e la parete ia a temperatura T, divere tra di loro, lo trato di luido a diretto ontatto on la parete i porterà in equilibrio termio on ea, aumendo la ua tea temperatura e ambierà alore on gli trati adiaenti dando vita ad un proeo a atena. Queto origina un proilo di temperatura del luido variabile da T, a ridoo della parete, ino al valore T a uiiente ditanza da queta. Analogamente a iò he avviene per la veloità, i potrà pertanto deinire una regione a ontatto on la uperiie aratterizzata da igniiative variazioni di temperatura in direzione perpendiolare ad ea, denominata trato limite termio. Si aume onvenzionalmente he lo peore dello trato limite termio ia quello in orripondenza del quale i veriia la eguente uguaglianza: T T 0,99 ( T T ) Man mano he i proede nella direzione del moto, lo peore dello trato limite aumenta poihé il enomeno di ambio termio interea trati di luido empre più ditanti dalla parete. Entrambi gli trati limite, luidodinamio e termio, i viluppano ontemporaneamente nella direzione del moto e quello luidodinamio ha orte inluenza ul enomeno termio onvettivo. a relazione he è tra le grandezze luidodinamihe e quelle relative al enomeno termio è eprea da un altro gruppo adimenionale detto Numero di Prandtl, dal nome dello tudioo he introdue il onetto di trato limite (1904). Il numero di Prandtl mette 5

6 ioè in relazione il enomeno termio on quello dinamio Si deinie nel modo eguente: µ p ν Pr λ a he di atto rappreenta il rapporto tra la diuività dinamia (della quantità di moto) e quella termia del luido. y T δ t T T Figura 3: Convezione orzata tra un luido ed una parete proilo di temperatura e trato limite termio Se Pr aume valori bai, ome ad eempio nei metalli liquidi, la diuività termia è maggiore di quella della quantità di moto (a>ν), e queto orriponde a pioli gradienti di temperatura ed elevati gradienti di veloità, per ui di olito queti luidi preentano uno lo trato limite termio molto più peo di quello luidodinamio. Al ontrario, e Pr aume valori elevati, ome negli oli, la diuione del alore è più lenta di quella della quantità di moto (a<ν), e queto orriponde ad elevati gradienti di temperatura e a pioli gradienti di veloità. Ne riulta pertanto uno trato limite termio molto più ottile di quello luidodinamio. Per l'aqua il valore di Pr è ira pari a 10. Per quanto riguarda i ga, invee, quantità di moto e alore i diipano quai on la tea intenità. Quando la veloità del luido è baa, il traporto di energia è prevalentemente onduttivo ed è poo inluenzato dal meolamento tra le partielle di luido, he invee riulta preponderante nel ao di turbolenza del moto, per ui, dove i hanno elevate veloità, la potenza termia tramea è elevata anhe in orripondenza di un gradiente di temperatura ridotto, mentre in regioni aratterizzate da bai valori della veloità il enomeno termio dipende ortemente dal gradiente di temperatura e la onduzione termia riulta importante. In una ituazione di ambio termio onvettivo orzato tra una parete ed un luido i può ipotizzare he i intauri un proilo di temperatura ome quello rappreentato nella igura 3, in ui il luido he aderie alla parete aume la ua tea temperatura (T ), mentre allontanandoi da ea la temperatura tende al valore he aratterizza il luido inditurbato (T ). Nello trato a ontatto on la parete il alore paa olo per onduzione per l'aderenza del 53

7 luido alla parete tea, per ui è poibile prevedere al uo interno un elevato gradiente di temperatura, mentre, allontanandoi dalla parete, il gradiente diminuie poihé il traporto di energia è dovuto in modo prevalente al movimento del luido teo. Pertanto, all'interaia tra luido e parete il alore trameo può eere alolato on la relazione ondamentale della onduzione termia: Q& parete luido λ A Tale potenza equivale a quella ambiata tra la parete ed il luido per ui uite l'uguaglianza: dt dy y0 λ A dt dy y 0 h A ( T T ) da ui, introduendo una lunghezza aratteritia del itema, i ottiene: dt dt dt h dy dy y 0 h y 0 λ h ( T T ) dy λ ( T T T T y ( ) λ ) 0 d( T T ) h dy y 0 λ ( T T ) Al gruppo adimenionale h λ i dà il nome di numero di Nuelt (Nu): dt h dy y 0 Nu λ ( T T ) Il valore aunto dal numero di Nuelt è etremamente igniiativo nello tudio del enomeno onvettivo in quanto in eo ompaiono tutti i parametri he determinano il enomeno, ioè il oeiiente di ambio termio onvettivo, la onduibilità termia del luido e la lunghezza aratteritia del itema. Dalla epreione ritta i nota he eo è dato dal rapporto tra il gradiente termio in orripondenza della parete ed un gradiente termio di rierimento, alolato on i valori delle grandezze rappreentative del enomeno, ioè la dierenza di temperatura tra luido inditurbato e parete e la lunghezza aratteritia. Inoltre può anhe eere vito ome il rapporto tra la onduttanza unitaria onvettiva e quella onduttiva: 54

8 h h Nu λ λ Inine può eere interpretato ome il gradiente termio rierito alla temperatura adimenionalizzata: T T d h T T Nu λ y d a determinazione del numero di Nuelt equivale alla oluzione del problema onvettivo in quanto onente il alolo del oeiiente di ambio termio: h Nu h λ λ Nu Un'ulteriore interpretazione del numero di Nuelt onite nel oniderarlo ome il rapporto tra la potenza termia onvettiva eettivamente ambiata tra parete e luido e quella he verrebbe ambiata qualora il luido oe in quiete ed il alore oe trameo olo per onduzione. Inatti, in queta ipotei, i avrebbe: da ui: Q& parete luido T T λ A Q& Q& onv ond h A T λ A ( T T ) T h λ Nu Queto igniia he lo ambio termio onvettivo è tanto più eiae quanto più elevato è il numero di Nuelt. Di olito, nel moto turbolento di luidi all'interno di ondotti in onvezione orzata, eo varia tra ento e mille; inoltre, e il uo valore è di poo maggiore di uno, eo è indiativo di uno ambio termio poo eiae, legato probabilmente ad una ondizione di moto aratterizzata da bai valori della veloità (ome ad eempio nel moto laminare di un luido in un ondotto molto lungo), on uno ambio termio di poo più inteno del olo ambio onduttivo all'interno del luido. Se il numero di Nuelt riulta pari ad uno poiamo dire he la tramiione del alore attravero lo trato di luido riulta eere puramente onduttiva. a oluzione teoria del problema onvettivo prevede la oluzione del problema luidodinamio (equazioni di onervazione della maa e della quantità di moto) all interno dello trato limite luidodinamio, e di quello termio (equazione della onervazione dell energia) nello trato limite termio. Come già aennato quete ono 55

9 tra di loro trettamente onnee e permettono di determinare in deinitiva il ampo di veloità e l andamento delle temperature T(x,y), da ui i può determinare il numero di Nuelt. Queto tipo di oluzione è di olito moto omplea e rihiede metodi numerii. In alternativa i può utilizzare un approio empirio orrelando dati perimentali di temperatura e di luo termio ottenuti in ondizioni ontrollate mediante i tre gruppi adimenionali he aratterizzano il enomeno della onvezione orzata: Nu, Re e Pr. Inatti il problema termio di onvezione orzata i riolve determinando il valore del numero di Nuelt in unzione di quelli aunti nelle varie onigurazioni dai numeri di Reynold e Prandtl: Nu (Re, Pr) In partiolare, i poono orrelare i dati perimentali ottenuti nelle varie onigurazioni on relazioni del tipo: Nu C m Re Pr n in ui gli eponenti m ed n e la otante C aumono di volta in volta valori aratteritii della onigurazione di moto e di ambio termio. 56

10 Convezione naturale a onvezione naturale ha luogo ogni qualvolta il moto del luido non è provoato da aue eterne, ma inneato da aue naturali ome le orze di galleggiamento. E' un enomeno molto preente nel ao di ambi termii all interno degli ediii, ad eempio tra le pareti di un ambiente e l'aria he le lambie o tra la uperiie di un orpo aldante e l'aria tea. Faendo rierimento a quet'ultimo eempio, poiamo provare a derivere il enomeno della onvezione naturale: gli trati d'aria a diretto ontatto on il orpo più aldo i rialdano per onduzione e diminuiono di denità, eendo nei ga la denità inveramente proporzionale alla temperatura, mantenendo otante la preione. Queta diminuzione di denità provoa un movimento aenionale dell'aria he laia il poto ad aria più redda e oì via in un proeo he dà vita ad un moto onvettivo generato eluivamente da aue naturali. e orze di galleggiamento, he provoano il movimento onvettivo relativo tra luidi a divera denità, ono le tee i manietano nel ao di un orpo olido immero in un luido, dando vita ad una pinta pari al peo del luido potato (egge di Arhimede). E proprio la orza di galleggiamento he onente, ad eempio, alle navi di rimanere a galla, eendo quete progettate in modo tale he l'intero peo della nave equivalga al peo della quantità d aqua ontenuta nel volume orripondente alla parte immera della nave. Indiando on V il volume d aqua potato dalla porzione dello ao immera in aqua, i ha: F gall ρ luido V g a pinta netta vero l'alto equivale pertanto alla dierenza: ( ρ ) V g F ρ luido orpo Poihé la denità dell'aqua dole riulta ineriore a quella dell'aqua di mare, lo teo ao, he in aqua di mare riulta immero per un erto volume, e naviga in aqua dole i immerge di più per rimanere a galla, in quanto, in queto ao, la orza di galleggiamento è meno eiae ed il uo peo equivale al peo di un volume d'aqua maggiore. Un altro enomeno dovuto alle orze di galleggiamento è l'eetto amino, he onente, ad eempio, ai umi, prodotti dalla ombutione he ha luogo nella aldaia di un impianto di rialdamento, di eere evauati vero l'eterno in modo naturale. In queto ao la pinta vero l alto è prodotta dalla dierenza di denità tra i umi aldi e l aria eterna più redda. Nei luidi la denità dipende in modo igniiativo dalla temperatura. Deiniamo a queto propoito il oeiiente di dilatazione ubia β: 1 ρ T β ρ p [1/K] 57

11 Eo eprime la variazione relativa di denità del luido in unzione della temperatura mantenendo otante la preione. Il oeiiente di dilatazione ubia può eere ritto, on buona approimazione, anhe in una orma dipendente dalle variazioni inite delle grandezze, e i a rierimento ai valori di denità e temperatura del luido inditurbato, ioè oniderato ad una ditanza tale dal orpo tale da non eerne inluenzato. Si ottiene la eguente epreione: 1 ρ 1 ρ ρ β ρ T ρ T T da ui, empre oniderando la preione otante, i ottiene: ρ ρ ρ β ( T T ) Se il luido oniderato è un ga, ipotizzando di poter adottare per eo il modello di ga ideale, per il quale, ome noto, vale la relazione p ρ R T, i ha: 1 T β 1 Ad elevati valori di β orripondono elevate variazioni di denità on la temperatura. Poihé, la orza di galleggiamento è tanto più elevata quanto maggiore è la dierenza di denità, in regime di onvezione naturale, la dierenza di temperatura tra luido e parete, he è la aua ondamentale di tale dierenza, è anhe il parametro he maggiormente inluenza il valore numerio del oeiiente di ambio, poihé ondiziona in modo igniiativo il valore aunto dalla orza di galleggiamento. In ultima analii, poiamo aermare he un inremento della dierenza di temperatura tra il orpo ed il luido inditurbato, originando un aumento dell intenità della orza di galleggiamento, produe degli ambi termii onvettivi più eiai, ed un elevato oeiiente di dilatazione ontribuie anh eo ad un inremento degli ambi termii. 'altro parametro he ondiziona l'entità dello ambio termio onvettivo tra un luido ed una uperiie è la portata in maa del luido teo, al reere della quale ree la potenza termia ambiata. Mentre nella onvezione orzata la portata di luido può eere regolata dall organo meanio impiegato per inneare il moto, nella onvezione naturale la portata in maa è determinata dal bilanio tra le orze di galleggiamento, he danno vita al moto, e quelle d attrito he inevitabilmente i viluppano, ia tra il orpo ed il luido he tra i vari trati di luido he triiano l uno ull altro. E ovvio he elevate orze d attrito poono ridurre notevolmente lo ambio termio onvettivo. Queto è il motivo per ui, in ondizioni di onvezione naturale, non è empre onigliabile, ontrariamente a quanto avviene nella onvezione orzata, l adozione di alette ravviinate per il rareddamento di diipatori di alore. 1 p p ρ R T ρ ; R T ρ p 1 1 ρ β T R T ρ T p 1 p 1 ρ R T R T p 1 p R T T T p 1 T 58

12 Per riolvere il problema della onvezione naturale è neeario rivere le equazioni del moto nello trato limite, in partiolare quelle di onervazione della maa e dell energia, he ono le tee della onvezione orzata, e quella del momento he deve eere modiiata per tener onto delle orze di galleggiamento. Anhe in queto ao la oluzione analitia del problema non è agevole e i utilizzano metodi numerii on programmi di alolo peializzati. Analogamente a quanto i a per la onvezione orzata, il problema può eere riolto on un metodo perimentale, he permette di ottenere dati he poono eere mei in relazione on gruppi adimenionali. Nel ao di onvezione naturale il numero di Nuelt ed il numero di Prandtl he onentono, ripettivamente, di determinare il oeiiente di ambio termio e di mettere in relazione i dati luidodinamii on quelli termii ono gli tei utilizzati nella onvezione orzata, mentre il numero di Reynold, he nella onvezione orzata eprime il rapporto tra le orze di inerzia e quelle vioe. In onvezione naturale è otituito da un altro gruppo adimenionale, detto Numero di Graho, he tiene onto delle orze di galleggiamento, reponabili del moto del luido. Il numero di Graho i deinie nella maniera eguente: Gr orze di galleggiamento orze vi oe g ρ V ρ ν g V ρ β T ρ ν on ovvio igniiato dei imboli. Introduendo una grandezza lineare aratteritia del itema i può eprimere il volume nel modo eguente: 3 V ottenendo: Gr g β ( T T ) ν 3 Come nella onvezione orzata il numero di Reynold permette di tabilire la natura del moto, laminare o turbolento, in onmvezione naturale tale riterio è ornito proprio dal numero di Graho, all aumentare del quale i paa dal regime laminare a quello turbolento. Nel moto onvettivo naturale di aria u una latra piana vertiale, il numero ritio di Graho è pari a ira Per la onvezione naturale, per alune onigurazioni geometrihe emplii, i poono ottenere oluzioni analitihe delle equazioni del moto e dell energia, ma tali oluzioni non ono generalizzabili. Dunque anhe in queto ao i a rioro ovente a relazioni empirihe, he i preentano nella orma: Nu C ( Gr Pr) n 59

13 in ui il numero di Nuelt è determinato in unzione di Pr e Gr una volta note la otante C e l eponente n, deumibili da ripetute prove pruimentali. Ovviamente, tali valori i dierenzieranno igniiativamente in unzione delle divere onigurazioni in ui il problema onvetttivo di volta in volta iu preenterà. Il prodotto tra Gr e Pr ornie un altro gruppo adimenionale, detto numero di Raleigh: ( T T ) g β Ra Gr Pr ν 3 Pr In deinitiva i ha: Nu C( Ra) n Generalmente n vale un quarto per regime laminare ed un terzo per regime turbolento, mentre C è normalmente minore di uno. Valori aratteritii dei oeiienti di ambio termio Di eguito viene riportata una tabella di rierimento on i valori aratteritii dei oeiienti di ambio termio in aluni ai di onvezione, naturale o orzata. Per quanto detto, è evidente he, in ao di onvezione orzata, lo ambio termio è ortemente inluenzato dalle ondizioni di moto, in partiolare dalla veloità del luido, ed ogni tentativo di aumentare tale valore produe un inremento del oeiiente di ambio, mentre in onvezione naturale o libera è la dierenza di temperatura tra parete e luido he inluenza maggiormente il oeiiente di ambio termio eendo reponabile del moto. Conigurazione di ambio termio h W m K Aria in onvezione naturale 6 30 Aria in onvezione orzata Aqua in onvezione orzata Aqua in ebollizione Vapore aqueo in ondenazione Olio in onvezione orzata

14 Una ituazione partiolarmente intereante i veriia in regime di onvezione naturale quando la parete on ui l aria ambia alore è orizzontale, ad eempio un pavimento o un olaio. Si poono veriiare in queto ao due ituazioni: la prima prevede un luo termio aendente e la eonda diendente. Si ha luo aendente quando i onidera il olaio di eparazione tra un ambiente ineriore più aldo ed uno uperiore più reddo. In queto ao le temperature vanno dereendo proedendo dal bao vero l alto, per ui l aria dell ambiente ineriore viene a ontatto on una parete più redda he ne a aumentare la denità, provoandone oì la aduta ed inrementando i moti onvettivi naturali. Allo teo modo l aria dell ambiente uperiore, venendo a ontatto on un pavimento più aldo, diminuie la ua denità e i anima di moto aenionale a tutto vantaggio dello ambio termio onvettivo. a onigurazione di luo termio aendente produe, dunque, nel uo ompleo, eiai ambi termii tra l aria e la parete ia nell ambiente uperiore he in quello ineriore. a ituazione oppota è quella he i veriia quando il regime termio è tale da omportare una temperatura dell ambiente uperiore più elevata di quella dell ambiente ineriore. In queto ao in entrambi gli ambienti, l aria viene a ontatto on pareti he tendono ad otaolare i moti onvettivi naturali. Nell ambiente uperiore, inatti, la parete è più redda ed in quello ineriore più alda dell aria. Entrambe quete ituazioni tendono a avorire la tratiiazione dell aria produendo una attenuazione degli ambi termii onvettivi. e eguenti relazioni, valide per onvezione naturale tra aria e parete orizzontale, on luo aendente e diendente, motrano ome le oniderazioni atte i riperuotano ui valori del oeiiente di ambio, dando luogo a valori più elevati per il ao di luo aendente. Parete orizzontale, luo aendente:,3 ( T ) 0, 5 Parete orizzontale, luo diendente: 1,16 ( T ) 0, 5 h h 61