Rudi Mathematici. Rivista fondata nell altro millennio Numero 145 Febbraio 2011 Anno Tredicesimo

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1 Rud Mathematc Rvsta fodata ell altro mlleo Numero 45 Febbrao 2 Ao Tredcesmo

2 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2. Ivto a ozze Problem GURPS! Tre al prezzo d due Bugee Jumpers Prologo L dettà d Fraco Era Ua Notte Bua e Tempestosa Calcolo Geometrco Soluzo e Note [44] Qu s dorme Dottorato Brberoca Quc & Drty Paga Parapherala Mathematca Castell d sabba Rud Mathematc Rvsta fodata ell altro mlleo da Rudy d Alembert (A.d.S., G.C., B.S) rudy.dalembert@rudmathematc.com Potr Rezerovc Slverbrahms (Doc) potr.slverbrahms@rudmathematc.com Alce Rddle (Trecca) alce.rddle@rudmathematc.com RM44 ha dffuso 2 74 cope e l 3//2 per eravamo 5 4 page. Tutto quato pubblcato dalla rvsta è soggetto al drtto d autore e base a tale drtto cocedamo l permesso d lbera pubblcazoe e rdstrbuzoe alle codzo dcate alla paga draut.html del sto. I partcolare, tutto quato pubblcato sulla rvsta è scrtto compedo og ragoevole sforzo per dare le formazo corrette; tuttava queste formazo o vegoo forte co alcua garaza legale e qud la loro rpubblcazoe da parte vostra è sotto la vostra resposabltà. La pubblcazoe delle formazo da parte vostra costtusce accettazoe d questa codzoe. Adus a lavorare mobltà ma acora co ua lbrera paper oreted, l ostro terrore è sempre quello d o esserc portat detro propro l lbro che c servva. Davd Garca, co l suo ARCHIVE II, propoe ua teressate soluzoe al problema. Ed evtate ache la classca scea della asata sul palo. 2

3 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2. Ivto a ozze Are you oe of the beautful people Is my ame o the lst Waa be of the beautful people Waa feel le I'm mssed (Mar Everett degl Eels: Guest Lst, dall album Beautful Frea) Pazzo, amate, poeta: tutt e tre soo compost sol d fatasa. Il prmo vede sempre pù demo d quat e cotega l vasto fero; l amorato, tutta freesa, sa ravvsar perfo ua etope la veustà d u Elea d Troa; l poeta, volgedo gl occh toro, come rapto u dolce delro, può cotemplare la terra del celo e l celo della terra, e la sua pea, così come l estrosa sua vetva sa dare corpo a cò che o coosce, lo ferma, coferedo a u vuoto ulla ua cocreta dmora ed u ome. (W. Shaespeare, Sogo d ua otte d mezza estate, Atto V Scea I) C soo cose che cambao cotuamete, ache se govetù sembrao etere e stablssme. Altre, vece, hao ua capactà d resstere al tempo, d radcars ella tradzoe, pur essedo per propra atura volatl, trastore, seza u dsego progettato per durare. Negl ultm cquat a o solo l aspetto formale, ma ache l sttuto stesso del matrmoo ha subto ua gra quattà d trasformazo: l abto delle spose è quas sempre baco, ma c soo orma vstosssme eccezo cromatche; ella maggoraza de cas è lugo, ma o fao grdare allo scadalo le faculle che s drgoo verso l fatdco sì co le goccha scoperte, quado o addrttura mgoa. E spesso s vedoo ugol d ragazz e ragazze vestt tutt ugual, damgelle e damgell, a fare da corte agl spos, rcalcado la tradzoe de matrmo amerca che c arrva da flm d Hollywood, seme a matrmo celebrat e gard d casa e alla msterosa preseza professoale de weddg-plaer. C s sposa acora perlopù chesa, ma soo orma frequetssm matrmo celebrat solo cvlmete, luogh caratterstc della cttà, e magar offcat da amc che soo rusct ad otteere la prezosa delega dal sdaco. E quest soo solo alcu degl aspett esteror: o è certo l caso d descrvere questa sede cambamet pù csv e radcal che passao attraverso argomet delcat e compless qual l drtto d famgla, l cocetto d famgla allargata, o l drtto al matrmoo d coppe o eterosessual. Altre cose che potrebbero cambare faclmete, seza che la cosa teress eache traflett d croaca del costume o addrttura eache sfor l programma scrtto a matta dalle ctate weddg-plaer, rescoo vece a resstere seza sforzo é ragoe apparete. Quas evtablmete fatt, all uscta dal rto, cvle o relgoso che sa, gl spos soo accompagat dal geerale trpudo e dalle solte ote goose della marca uzale. Marca uzale che è orma defta d per sé, dal geerco sostatvo e aggettvo, quas e esstesse solo ua, scrtta e creata e suoata appostamete per essere tale, seza apprezzable cocorreza o alteratva. E vece, come spesso accade, la marca uzale per atoomasa o asce co l teto d essere u vero meèo, o per lo meo, o per u matrmoo realmete celebrato: e, acor pù curosamete, è possble partre 3

4 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 dal trpudo uzal-melodco per gugere a parlare o quatomeo per trovare ua scusa per parlare d matematca. Meo sorpredete del possble legame tra musca per sposalz e matematc è vece osservare quato sa essezale crcodars delle persoe guste, essere serto elle cerche d amcze adatte, per ruscre ad otteere l massmo dalla vta. È u altra cosa che o camba dalla otte de temp: occorre sempre u parete famoso, u amco fluete, o quatomeo u e compago d scuola co la mogle che lavora el posto gusto, u cogato be trodotto, u amco tasssta: fosse ache solo per trovare le strade guste da predere elle ore d puta. Per arrvare al successo, l dvduo, per quato mertevole, o basta a se stesso: occorre cooscere le persoe guste. Per quato evdete e quas baale, o sembra comuque essere ua coosceza ata; forse è solo dopo ua certa pratca d dscato che s guge a questa coclusoe. Quado s è gova e dealst s tede vece a pesare che u goro, dpedetemete dal luogo e dal ceso, dalla famgla e dall ambete, s potrà avere accesso a tutte le opzo offerte da questo modo: struzoe, fama, arte, sceza, successo, o ache, semplcemete, la felctà. S spera d studare u argometo che c teressa e d poters permettere d lavorare ell ambete : e tutto sommato c s mmaga che bast elecare le propre abltà e caratterstche u currculum vtae, attedere l mmacable ed etusasta covocazoe e trovare l lavoro perfetto, quello che stmolerà ulterormete la ostra mmagazoe e che c permetterà d coltvare le ostre passo 2. E vee po aturale pesare e sperare che, per accadmeto, s potrà cotrare ache la persoa gusta co cu codvdere desder ed asprazo, co cu costrure u tetto e sotto d esso ua famgla. La maggor parte d o asce e cresce co asprazo modeste e al tempo stesso elevatssme, el fragle blaco delle emozo: del tutto comu, perché codvse; e allo stesso tempo specalssme, perché profode e prvate: ua casa, u lavoro, ua famgla. Il cotoro de sog, che è po la realtà, rchede però f dall zo a desder dell dvduo d teragre co la prass del modo. Studare sgfca avere qualcuo che vogla e possa mateerc agl stud; ma ache trovare presto u lavoro mauale mplca cooscere qualcuo del mestere che abba bsogo d u assstete malpagato. Arrvare ad u colloquo u azeda sgfca sempre pù spesso dover cooscere qualcuo che possa far rsaltare l ostro, peraltro certo appetble, CV mezzo a ceto che og goro s accalcao sulle scrvae degl uffc d Rsorse Umae. Ed è fodo lo stesso ache per gl aspett pù prvat: ch ha davvero cotrato l propro parter u bar o per strada? Nessuo, o quas: soo sempre gl amc o collegh d lavoro a presetarc la persoa della vta. Vvamo co la gete che c sta vco, ed è tramte loro che costruamo l ostro modo e l ostro modo d vvere. Solo dopo che l ostro ambete, le ostre coosceze, le ostre cerche c hao codotto a trovare come costrure la ostra essteza e co ch trascorrerla, può ver vogla d setrla davvero, quella marca uzale. E magar curosrc, a rago veduta, sulle sue org. Marca Nuzale d Medelssoh A meo che o s sa orma perdutamete corrott da modell televsv alla moda, el qual caso sostture le parole studare u argometo che c teressa co dvetare famos u modo qualsas e lavorare co spassarsela. 2 Aspettatve propre della govetù: molt ragazz, a temp ostr, soo costrett a dslluders troppo presto, e questo sgfca ache, ultma aals, rubar loro u pezzo d govezza. 4

5 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 La Marca Nuzale fu scrtta da Fel Medelssoh Bartholdy per l opera Sogo d ua otte d mezza estate, tratta dall omoma commeda d Wllam Shaespeare. No aveva l tezoe d essere ua rvoluzoe stlstca: maestosa, rtuale, classca, è frutto d u modo d fare musca molto tradzoale. Medelssoh ebbe az molto da rdre co suo cotemporae Wager, Berloz, Schuma, Chop che, travolt dal movmeto romatco, s scatearoo stl uov e mode d avaguarda; f da govae rmase attratto soprattutto dall amore de classc e dal rspetto delle tradzo. No a caso, l suo maggor merto muscale, forse pù acora che la sua propra opera d compostore, sta el certoso, atteto e mertevolssmo lavoro d recupero d musca d autor che, a suo temp, erao trascurat: recuperò e pubblczzò composzo d Mozart, e soprattutto rchamò l attezoe del modo muscale sulla grade opera d Joha Sebasta Bach. La musca scrtta per la commeda d Shaespeare retra tutta ella produzoe stadard del tempo: s tratta fodo d cdetal musc, ovvero d cò che 2 Fel Medelssoh al goro d ogg chameremmo, co termologa cematografca, coloa soora; e vsto che l mometo topco del Sogo è l matrmoo tra Teseo e Ippolta, o sorprede che Fel abba dovuto (e certo voluto) sottoleare co arch e otto l solee mometo uzale del raccoto. Oltre che co le sue ote, Fel Medelssoh resce a cotrbure alla tes d quest artcolo ache co la propra vta: o s può fatt egare che fosse spleddamete serto el suo ambete, e che cooscesse le persoe guste. Suo oo, Moses Medelssoh 3, era u flosofo llumsta ato da ua famgla ebrea e povera, ma che s era posto l ambzosa mssoe d mglorare l mmage degl ebre. I Germaa dvetò talmete famoso per la sua opera teoretca che el crcolo de flosof d Berlo era sopraomato l Socrate tedesco ; e perfo regat prussa del tempo s teressaroo alla sua flosofa e alle sue dee, al puto d gugere a cocedergl lo stato d Schutzude, ebreo protetto, asscuradogl così u permaete permesso d soggoro a Berlo. Status d cu fece davvero buo uso, se della sua deca d fgl se sopravvssut all faza dvetaroo tutt bacher o comuque mparetat co famgle del gotha fazaro tedesco; e tutt erao, ache se o partcolarmete decs a mateere la fede ebraca, certo fortemete tegrat ell ambete berlese, che cotrburoo a far forre. Il padre d Fel, Abraham, era bachere e flatropo: due parole che spesso hao poco a che fare l ua co l altra, ma questa famgla eccezoale tutto può accadere 4. La famgla Medelssoh creò ella cofederazoe tedesca u mpero bacaro d dmeso e qualtà tal che vee dstrutto solo dalla tempesta della guerra voluta dal azsmo, el 939, dopo pù d u secolo d defessa attvtà. La Medelssoh & Co., fodata el 85, fazava fatt og geere d attvtà culturale: accademe muscal, muse, teatr; e a casa Medelssoh la cultura era davvero al cetro dell attezoe, a comcare da quella muscale: Fay, la prmogeta, fu pasta d successo e 3 Suo padre s chamava Medel, da cu fglo d Medel, Medels Soh. Quado abbamo comcato questa rcerca o c saremmo ma aspettat d scoprre che da u solo uomo potesse svluppars ua famgla così rcca d flosof, matematc, artst, scezat, muscst. Sccome parleremo solo d pochssm d loro, v suggeramo d cotrollare la lsta, è davvero mpressoate: 4 Del resto, l apparete ossmoro vee cotuamete rproposto al goro d ogg dal cocetto stesso d fodazoe bacara, tramte cu alcu de captal che soo passat dalla socetà agl sttut d credto torao alla socetà sotto forma d fazamet cultural. Il puto è, come al solto, scoprre quale msura percetuale del blaco cò accada. 5

6 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 compostrce (e sposò u pttore); l secodogeto, Fel, fu Fel Medelssoh, e cò dovrebbe bastare a fare gudcare le capactà muscal; Paul era ach egl u volocellsta dotato, ache se po preferì trapredere la carrera bacara d famgla; e fe la sorella more Rebeca (che potete vedere qu rtratta dal cogato pttore, l marto d Fay) era molto portata per l cato, ache se la sua fama d soprao o varcò ma le mura famglar: del resto, co tal fratell, erao mura davvero alte, campo muscale. Ma o era certo solo la musca ad essere cosderata dega d attezoe el salotto berlese d Abraham Medelssoh; era l epoca cu propro e covv tellettual s produceva e cosumava la cultura delle azo europee, e la casa del govae 3 Rebeca Medelssoh Fel era u vero rcettacolo d grad persoaltà delle art e delle sceze. Tra gl altr erao ospt fss fratell Wllam e Aleader vo Humboldt: l prmo, oltre che mstro del rego d Prussa, era ache flosofo e lgusta; suo fratello fu vece ua grade fgura d aturalsta ed esploratore, stella davvero d prma gradezza ella stora della bologa. Aleader fu davvero uo spleddo esempo dello scezato ottocetesco: zò studado le rocce basaltche del Reo, qud come geologo, ma o estò ad mbarcars sulla ave Pzarro per adare alla scoperta d quello che era allora (e parte, forse, lo è acora ogg) u cotete davvero msteroso: l Sudamerca. Qu scoprì e classfcò ua quattà mpressoate d spece amal e vegetal e, gà che era vaggo, cotrbuì maera fodametale a fssare la poszoe de merda e de parallel, tato per o dmetcars d essere ache avgatore e geografo, oltre che esploratore e bologo. Il cotete sudamercao lo celebra co molte statue, e la sua fama è così dffusa da essere arrato da Gabrel Garca Marquez come ua delle poche cose che 4 Aleader vo Humboldt Melquìades, uo de persoagg d Cet a d Soltude, rcorda el suo delro 5. Marca uzale e coosceze selezoate: due fl rouge d questo raccoto s cotrao bee, el salotto d casa Medelssoh: specalmete se, oltre a trovare gl amc e lo sprto gusto per rallegrare lo sprto, s resce a trovarc ache l ama gemella: e la govae e bella Beca, la pccola della famgla, era certo ua faculla d cu amorars. Probablmete, Rebeca era u partto davvero ambto, ell alta socetà prussaa, e o avrà certo avuto che l mbarazzo della scelta el selezoare l uomo co cu legars per la vta. E stupsce allora u po o, se s è ottmst e romatc, rallegra l cuore e coferma la poteza sfaccata dell amore lo scoprre che la ragazza decse d legars o ad u oble prussao o ad u fazere della dlagate ecooma tedesca, 5 I realtà, l'uca cosa che ruscì a solare e borbott catarros fu l'esstete martellameto della parola equozo, equozo, equozo, e l ome d Aleader vo Humboldt, scrve Marquez quado arra d Aurelao Buedìa che ascolta l delro d Melquades lo zgaro. 6

7 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 ma ad u uomo d org modeste e o certo arstocratche: uo studoso e tellettuale, ma certo prvo del fasco avveturoso che poteva mostrarle l amco d famgla Aleader vo Humboldt. Ache perché le sue esplorazo erao forse o meo ardte, ma scuramete meo apparscet; o rsalva l Oroco e o s perdeva ella gugla dell Amazzoa: le sue avveture comcavao e fvao detro la sua mete, e le tracce che gl altr potevao vedere de suo vagg verso l fto erao solo poch smbol, astrus agl occh de pù. Perché Rebeca s amorò d u matematco: Leeue Drchlet. Joha Peter Gustav Leeue Drchlet acque l 3 Febbrao 85 a Düre, che a que temp faceva parte del apoleoco e vastssmo Impero Fracese, ma che s trova a metà strada tra le tedesche Coloa e Aache 6. La sua famgla era orgara d Rchelet, Belgo, e da qu l ome d famgla del ostro protagosta: le eue de Rchelet, l govae d Rchelet, era l modo cu veva chamato suo oo al suo arrvo a Düre. Come c s può aspettare, f da prm a d stud, l govae s appassoò alla matematca e alla stora. Adava gro co le Dsqustoes arthmetcae d Gauss come se fossero ua Bbba, e così armato d etusasmo e d buoe letture s scrsse all uverstà a Parg, dove s rtrovò co segat da om che cutoo rspetto al 5 Joha Peter Gustav Leeue Drchlet solo proucarl: Bot, Fourer, Fracoeur, Hachette, Laplace, Lacro, Legedre 7, Posso. Scelse d studare Fraca perché l uverstà tedesca, all zo del dcaovesmo secolo, era seramete arretrata rspetto a quella fracese: l uco grade ome che avrebbe potuto stmolare Joha era Gauss, che però a que temp teeva solo ua cattedra d astrooma, e otoramete o amava segare 8. Qu a Parg cotrò Mamle Sébaste Foy, geerale d alto rago durate le guerre apoleoche e po stmato deputato al parlameto fracese, e Drchlet lavorò per lu per tutto l suo perodo pargo. Co tale prezoso datore d lavoro e meceate, Joha s abtuò a frequetare salott e a resprare l ara culturale della maggore captale europea, ache se cò lo costrgeva ad segare la sua lgua madre, l tedesco, alla propra famgla come se fosse per loro ua lgua straera. Ma Parg o sgfca solo salott: alla Sorboa, el frattempo, Drchlet aveva gà comcato a brllare d luce propra. Lavorado sulla teora de umer o solo produsse ua luga sere d memore su progresso umerche e sulla teora de umer prm, sul Problema d Cauchy, sulle sere d Fourer, ma ruscì ache a provare modo orgale alcu cas partcolar dell Ultmo Teorema d Fermat 9, e ad trodurre molt altr cocett che soo acora attual aals, qual la defzoe stessa d fuzoe. 6 Aache è certo cttà tedesca, ma che quelle terre sao state oggetto d cotesa da sempre è be testmoato dal fatto che pù che col suo ome tedesco la cttà è forse famosa co quello fracese (A-la-Chapelle) e certamete co quello storco lato: Aqusgraa. 7 RM4, Settembre 2, Le Opere e le Facce 8 Dffcle fars ua ragoe del fatto che d questo ggate della matematca o abbamo acora parlato, vero? 9 Se ma questo teorema e questo matematco avessero bsogo d ua ota a pè paga, sarebbe solo per segalare che e abbamo parlato RM9, Agosto 26, Poleta d Estate. No possamo esmerc dal ctare uo de prefert dal ostro GC: l leggedaro prcpo della pccoaa è opera sua. 7

8 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Gl amc, dcevamo: quell che è bee avere toro, specalmete se soo fluet e hao buoe dee. Fourer e Posso, che ebbero tempo d cooscere e apprezzare l govae tedesco, lo msero cotatto co Aleader Humboldt. L eroe del Sudamerca s teressò a quel taleto tedesco terra straera, e lo autò voleter a retrare Germaa; sempre graze a buo uffc del poledrco scezato, Drchlet ottee dverse cattedre a Berlo. No che o lo mertasse d per sé: era u segate eccezoale, che cotrbuì a mglorare lo stato dell uverstà tedesca, prma a Berlo e po a Göttge, dove segò a persoagg del calbro d Ferdad Eseste, Leopold Kroecer, Rudolf Lpschtz, Rchard Deded, Berhard Rema 2. Il modesto fglo dell mpegato dell uffco postale è orma presetable: è u docete, co u salaro adeguato, è stmato el modo accademco. Aleader lo porta a casa Medelssoh. I breve, Rebeca s rtrova co u corteggatore pù. No c è dato sapere come Joha sa ruscto a coqustare l cuore della faculla: c pacerebbe pesare che abba cotrbuto ache l mmagfca vezoe della Fuzoe d Drchlet 3, che è talmete mpalpable da o essere ma cotua essu puto, eppure così semplce e desa da coteere due ft d class dverse, ma è assa pù probable che l amorameto abba seguto percors e fascazo meo matematc. I og caso, el 83 Beca e Joha covolao a ozze, e c pace mmagare che sa rsuoata per l aere la meloda festosa scrtta da Fel, fratello e cogato degl spos. La uova casa cougale, graze soprattutto a mert della ovella sgora Drchlet che dal padre aveva eredtato l seso poltco, la predsposzoe per le lgue (al puto d mparare l greco solo per passatempo) e l amore per la cultura e la sceza, dvee breve u altro salotto prestgoso e frequetato da studet promettet, amc, paret, artst, matematc e fluet uom poltc. Tra pù car amc d Leeue c era Carl Jacob: due s erao cotrat durate prm a del rtoro Germaa d Drchlet, e s frequetavao assduamete ache se Jacob segava ella lotaa Kögsberg. Tato erao legat che el 84, quado a Jacob fu dagostcato l dabete, Joha s precptò al suo capezzale e s premurò affché l amco rcevesse tutte le cure ecessare: del resto, Drchlet era orma u rcooscuto astro el frmameto de matematc tedesch, e aveva Humboldt u forte alleato, quato bastava a che due ruscssero ad otteere dal re Federco Guglelmo IV fod per u soggoro Itala per l amco. Ache graze a quest sovra omagg, fì che u 6 Carl Jacob gruppetto d matematc e amc accompagò Jacob el suo terapeutco vaggo Itala: Joha e Beca facevao parte della spedzoe, e ua de quattro fgl della coppa vde la luce propro a Freze. Se la permaeza el Gardo d Europa fu pacevole, lo stesso o s può dre per l retro patra: Fay, che aveva preso mao co l marto l cetro culturale della famgla Medelssoh dopo la morte de getor, fu strocata da u farto el 847. Fu u colpo terrble per Fel, che seguì la sorella a poch mes d dstaza, ache lu a causa d u attacco d cuore. I coug Drchlet adottaroo allora Sebasta Hesel, l fglo pù pccolo della sorella scomparsa, e cercaroo d rcoprre l ruolo d Fay al cetro della vta socale berlese. RM8, Ottobre 25, Idee a Improbabltà Ifta 2 RM68, Settembre 24, Pellegraggo a Thule 3 La fuzoe d Drchlet vale per og razoale e per og rrazoale. S dmostra faclmete la sua o-cotutà og puto. 8

9 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 E c ruscroo. Noostate fossero quell a d grad tumult poltc che l costrsero ad affrotare dffcoltà d og geere, o ultma la morte del caro amco Jacob, Beca e Joha furoo l pero della cultura della captale prussaa. Po, el 855, Gauss morì, e la sua cattedra a Göttge fu subto offerta uamemete al professor Joha Leeue Drchlet. Quell d Göttge furoo certo a molto felc: lu falmete acclamato, co studet motvat e promettet e collegh della uova geerazoe che lo ammravao e stmavao, come Rema e Deded; le cetro vtale e culturale della prma cttada uverstara dell Occdete, orgazzatrce e frutrce d musca, evet, vta. La felctà termò el 858: Drchlet partecpò ad ua cofereza Svzzera, dove mprovvsamete fu colto da u attacco d cuore. Seppur codzo quas dsperate, ruscì a torare a casa e sembrava che stesse comcado a rpreders, quado aspettatamete fu Beca ad essere strocata da u farto. Fu abbastaza, per l matematco: la vogla d vvere scomparve seme alla compaga 7 La tomba d Beca e Leeue della sua vta. S spese letamete, quas seza fretta, l 5 maggo del 859. Il suo fratero amco Aleader Humboldt, quas a voler rbadre che gl amc s scambao vta e passo l u l altro, morì l goro seguete. Esstoo, oltre a quelle uzal, ache le marce fuebr: ma samo cert che tutt quest amc legat da comu teress e passo, Aleader, Carl, Fel, Joha, Beca, avrebbero preferto salutare l modo accompagat dalle ote che Medelssoh scrsse per esaltare la goa uzale del Sogo d ua Notte d Mezza Estate. 9

10 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 2. Problem Rudy d Alembert Alce Rddle Potr R. Slverbrahms GURPS! Tre al prezzo d due 2. GURPS! Lo cooscete? Sgfca "Geerc Uversal RolePlayg System", ed è u sstema per costrure goch d ruolo: meo lmtato dal puto d vsta temporale rspetto alla prma cosa che v vee mete 4 (el seso che potete trodurre astroav, asce eadertalae, teppst all'agolo d strada o peroospore allettate da vostr grappol), ella versoe Lte è lberamete dspoble rete e l mauale è d sole tretadue page. Va detto che molt cas, la regola prcpe sembra essere "...ma fate u po' quel che cavolo v pare...", sotto l'uca codzoe che partecpat s dvertao (l Game Master possamo usare questo terme? o, per defzoe lu s staca sempre). Rudy, comuque, sta facedo ua sere d espermet; veedo ad essere ( qualsas forma lo s rappreset) l combattmeto la parte prcpale del goco (ache el caso d quell'altro), l'dea è quella d costrure delle regole puttosto bslacche per alcu persoagg che s è appea vetato: ete d specale, s tratta d Vampr Quadratc: la loro caratterstca è d combattere ucamete cotro altr Vampr (quadratc o meo che sao) e, caso d vttora, d assorbre Dad d Combattmeto 5. Ifatt, se u VQ possede X DdC e combatte cotro u VQ che e possede Y, possamo, base ad ua semplce legge matematca, stablre le probabltà d vttora d cascuo de due: basta a questo puto trare l dado, e l dado è tratto (erao dodc a che aspettavamo l mometo per questa battutacca...): ch vce s maga DdC dell'altro e cotua l'avvetura. Voledo comcare sul semplce, Rudy ha provato co ua legge leare, ossa quado X X Y d vcere (cofodamo om de VQ co due fao a botte X ha probabltà ( ) loro rspettv DdC), metre Y avrà probabltà Y ( X Y ) (. Solo che, rcordado u veccho problema puttosto smpatco, c'è qualcosa che o gl tora: suppoamo tre VQ, avet DdC dstrbut come X 2, Y, Z, secodo vo, X deve aspettare che Y e Z faccao a botte per po sfdare l vctore o predersela co uo, sperare d batterlo e po predersela co l'altro? 4 Noterete che o abbamo omato l goco prcpe per sstem d questo geere: o vorremmo etrare ella datrba legale che oppoe due produttor. Comuque, l'dea è quella. 5 Ache qu, temamo che l terme pù dffuso sa protetto da marcho d fabbrca: traqull, dopo speghamo tutto. Comuque, a questo puto l motvo del ome "Vampro Quadratco" dovrebbe assumere ua certa logca.

11 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Ecco, se avete fatto l coto (che era facle), potreste provare a rsolvere questo problemo: suppoete d avere otto VQ, co varo umero d DdC, ruscte a trovare ua (o pù) sequeze d combattmet che dao "speraze d vta" ad uo de VQ dverse rspetto alle altre? Nel tetatvo d complcars la vta, Rudy ha decso d fare alcue prove co ua legge quadratca (...e cosa v aspettate, co de Vampr Quadratc?), ossa suppoedo che la probabltà d vttora d X sa data da X ( X Y ); questo caso, secodo lu, è possble costrure delle stratege pù dvertet: come vao a fre questo caso combattmet d cu sopra? Sempre utlzzado l modello quadratco, detro stmolo de Vald Assstet (che qu Rudy rgraza per avergl evtato, co le loro etusastche smulazo, tedose programmazo Ecel), soo at alcu teressat problem. Suppoamo d avere quattro VQ, tutt fort d u solo Dado d Combattmeto; d quest, tre soo puttosto remssv, e o hao tezoe d zare u combattmeto se o dopo essere stat sfdat e aver vto l prmo combattmeto (a quel puto dvetao degl attaccabrghe); l'ultmo, vece, è u attaccabrghe s dall'zo. Che probabltà ha d vcere oguo de VQ? Sempre co quattro d cu tre calm e u patagrae, suppoamo l patagrae abba DdC, metre tre calm hao rspettvamete, 2 e 4 DdC: che orde deve lacare le sfde, l patagrae, per massmzzare le sue probabltà d sopravvveza? Rpesatec, la prossma volta che guardate Twlght. 2.2 Tre al prezzo d due Vsto che parlamo d problem e samo ua rvsta gratuta, la cosa è allettate; traqull, v raccotamo la stora e, ua volta tato, è vera. Come dovreste rcordare ( realtà o se lo rcorda essuo, ma sccome lu è covto d essere cetro e msura dell'uverso, è covto che tutt se lo debbao rcordare) a Rudy soo partcolarmete smpatche le gappoesere (s dce? C soo le "cesere", c sarao ache queste) e, per quato rguarda ambt pù strettamete matematc, è partcolarmete teressato a sagau (d cu abbamo parlato el PM d RM2, febbrao 29) e gl orgam (d cu abbamo parlato el PM d RM95, dcembre 26): qud, dovreste ruscre ad mmagare salt d felctà che l Nostro s è messo a fare quado ha trovato u sagau sull'orgam. Peccato che, secodo lu, sa u pocho troppo semplce. Decso ad aggugere alla qualtà la quattà, è partto cacca d qualche altro sagau almeo vagamete smpatco, e e ha trovat u pao sml tra d loro che ha decso d ufcare per vedere cosa vee fuor; da cu, v rtrovate realtà tre problem luogo de due che cercava Rudy all'zo, e qud l ttolo è "tre al prezzo d due". Come og presetazoe ad effetto che s rspett, comcamo da quell dove l'orgam o c'etra, teedo l "pezzo forte" per la fe. Trovate l dsego d prammatca 8 I due del "tre per due" fgura qu a faco, e lo scopo è quello d rcavare rapport tra tre cerch azzurr 6. 6 Sccome sappamo che sete tutt appassoat d flologa, v dcamo che l prmo problema orgale prevedeva l cercho pù grade e quello termedo, metre l secodo problema orgale prevedeva o solo l cercho pccolo, ma sosttuva al cercho grade u quadrato e pazzava u cercho tra due arch e l lato superore del quadrato appea costruto. Mettere ache questo el problema sarebbe come scrvere u hau d cquataquattro vers, qud lo releghamo ota. Comuque, se avete letto s qu potete dvertrv a rsolverlo. E fao quattro al prezzo d due... O o?

12 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Traqull, adesso arrva l'orgam. Ache qu serve l dsego, e v garatamo che farlo PowerPot o è stato facle: qud, ve lo speghamo bee. Per prma cosa, predete l solto foglo d carta quadrato da orgam (che, per comodtà, supporremo bcolore), e traccate u cercho (rosso, m raccomado) d raggo R u agolo; po pegate come dcato. Quello che c teressa è rcavare AB fuzoe delle altre varabl: l raggo del cercho, l puto sul lato vertcale dove fate 9 Il patto forte arrvare l'agolo, l umero cvco del vostro commercalsta... Isomma, d tutto quello da cu può dpedere. No, ete ambetazo. Altrmet, s perde la purezza de sagau. 3. Bugee Jumpers 3. Prologo Prologo? Dove s è ma vsto u prologo ad u BJ? Per la atura stessa del Bugee Jumpg prologh o hao seso: è u po come se, prma d buttars dal pote co l elastco, uo s mettesse a cocoare sull estetca e la ecesstà otologca del fume che scorre sotto l pote. Però, dame, è ache vero che o s è ma vsto u BJ che o fosse stato scrtto dal GC; ed eccezoe chama eccezoe, perdc. Qud, v beccate l prologo. Questo BJ o asce come BJ: arrva ella malbo d Rud Mathematc accompagato da u messaggo ttolato U dettà d algebra elemetare, e l mttete è uo de pù affezoat lettor d RM, Fraco57. Nella sua ata ed esagerata modesta, Fraco raccota d essers dvertto a trovare la succtata dettà, che rtee teressate ma probablmete ete affatto uova: potrebbe essere u eserczo per uo studete uverstaro, dce lu. E magar ha ragoe: ma vertà la dmostrazoe (che trovate aturalmete pù avat, a Paga 46 ) co og probabltà trascede le ostre msere capactà matematche, otoramete molto pù basse d quello dello studete uverstaro medo, qud l gudzo dovrebbe rmaere sospeso. Fraco57, che probablmete subodorava cotata ostra mpoteza, s è peraltro orgazzato ua spece d peer-revew, dado la sua opera pasto ad uo de matematc pù teac e capac della famgla d RM: tato capace che cofessamo apertamete che, se la dmostrazoe è gudcata corretta da lu, c setamo autorzzat a prederla per buoa ache o. Lo sappamo, è u comportameto profodamete atscetfco, ma o samo mca rud per caso, o. Oltre che teace e capace, l msteroso revewer è ache feroce, spece quado s vola opatamete l suo status pubblco preferto, che è l aomato; qud, mateamo l slezo sulle sue geeraltà. Cò o togle che, così facedo, l ottmo Fraco57 abba, u certo seso, zato l tera e-ze al cocetto d peer-revew, e pertato adesso possamo darc delle are. Magar possamo ache fare domada per ua caterva d umer d Erdős: basta che u qualuque solutore co soluzoe pubblcata su RM e abba uo dverso da fto, e pratcamete tutt gl RMers e acqusscoo uo d appea u utà superore. Ma forse o basta: quel che è certo, però, che provare a rsolvere questo BJ prmo e per l mometo uco scrtto da u o facete parte la redazoe è davvero dffcle, e trgate. Se v paccoo le sfde, provatec seramete, o correte subto a leggere la soluzoe. 2

13 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao L dettà d Fraco57 Sa A {,,, } u seme 7 d umer real; dmostrare che: A. A y A y y E che, per qualsas tero, : < La soluzoe, a Paga Era Ua Notte Bua e Tempestosa È tempo che o s facca outg (o comg out, come sembra essere pù gusto chamarlo) ua volta per tutte: abbamo superato dodc a d vta, e dobbamo farc carco delle ostre resposabltà. È somma guto l mometo d cofessare che la ragoe vera ed ultma per la quale abbamo creato questa rubrca d receso è per ruscre ad etrare possesso gratutamete d lbr che c paccoo, e che co og probabltà avremmo acqustato. Ivece, questa maera, capta che qualche amco geeroso s rcord d o, e co la scusa della recesoe o taschamo l lbro e o sborsamo u euro. Questa volta l successo è stato davvero completo: l testo che adesso fa bella mostra d sé sulla lbrera d RM è u autetco classco della matematca, e samo felcssm d poterlo sfoglare. C è ache da dre, però, che l curatore che ce e ha fatto doo è u amco così caro d tutta la Redazoe d RM che ce lo avrebbe regalato d certo ache se questa rubrca o esstesse. Graze, Flppo. 4. Calcolo Geometrco «Il calcolo geometrco cosste u sstema d operazo aaloghe a quelle del calcolo algebrco, ma cu gl et su qual s eseguoo calcol, vece che umer, soo et geometrc, che defremo. Sao A, B, C, de put ello spazo.» Il Dpartmeto d Matematca dell Uverstà d Toro s trova el cuore della cttà, a Palazzo Campaa, sulla va e sulla pazza etrambe dedcate a Carlo Alberto. È stuato a poch pass dal prmo parlameto d Itala, Palazzo Cargao; è quas attaccato al Museo Egzo, quas al barcetro tra le due pazze che scadscoo battt del cuore de tores, Pazza Castello e Pazza Sa Carlo. Ha ua stora luga e davvero teressate: asce come coveto el 675, po s trasforma caserma, po addrttura sede d mstero; durate l fascsmo è la Casa Lttora, sede provcale del PNF, ma el Luglo del 943, qud prma acora del fatdco 8 Settembre, vee preso d assalto e lberato. Ua tedeza all atcpazoe degl evet che sembra rtorare el tempo. Dopo la 7 Essedo u seme, soo cosderat tutt dvers tra loro. 3

14 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 guerra, preso l attuale ome che deve ad u partgao caduto, dveta sede uverstara e ospta dapprma le facoltà umastche. Dal 967 al 97 è ache la sede del Movmeto Studetesco e, a rbadre l suo ruolo storco d avaguarda, prm att della cotestazoe govale partoo propro da qu, el Novembre 967, atcpado ache l famoso Maggo Fracese che sarebbe po passato alla stora come l grdo d zo del Sessatotto. Quel palazzo è orma somo, ella topoomastca torese, d matematca: e l Isttuto che v ha sede è ttolato a Guseppe Peao. No poteva essere altrmet: per quato all ombra della Mole sao at o crescut u umero davvero cosderevole d matematc d altssmo rago e d grade fama terazoale, la fgura del cueese brlla d luce talmete forte che l maggore ateeo del Pemote o poteva davvero rservare ad altr l oore d essere rcordato sulla targa fuor dal portoe che vede trastare og goro la sua govetù affascata da umer e dalla geometra. I quell Isttuto s tegoo lezo, s sostegoo esam, s fa rcerca, s producoo pubblcazo d matematca 8. D Guseppe Peao parlammo 9 a suo tempo, ua sede pù caoca, almeo ella pccola geografa d RM, d questa rubrca d receso: e per raccotarlo a dovere o è bastato emmeo l artcolo a lu dedcato. Bast allora rammetare qu che colu che catò Bertrad Guseppe Peao Russell durate l Cogresso Iterazoale de Matematc d Parg el 9 era profodamete covto che per raggugere la gusta coosceza matematca 2 occorresse porre attezoe soprattutto alle regole del lguaggo che s usa, co partcolare attezoe al rgore e alla struttura de cocett che descrve. Il suo Calcolo Geometrco o è comuque solo u eserczo d questa atura, ma e coserva lo sprto e e rappreseta ua spledda applcazoe: come dcoo le prme parole che aproo l testo, l dea d fodo è quella d applcare l sstema d operazo propre del calcolo algebrco agl et geometrc. I u certo seso, è pertato quas u opera d traduzoe, ma ua traduzoe che, oostate l apparete ossmoro, è estremamete orgale e ovatva. No a caso l lavoro vee preceduto da u captolo dpedete, Le Operazo della Logca Deduttva, che stao come premessa fodametale u certo seso davvero lgustca al lessco del Calcolo Geometrco vero e propro. Pubblcato el 888, l testo d Peao o fu pù edto per oltre u secolo. Ache successvamete, trae qualche rproduzoe parzale o d carattere prevaletemete storco elle rproposzo dell Opera Oma del matematco cueese, o era possble 8 E cofereze! L Isttuto d Matematca ospta ache l Assocazoe Subalpa Mathess, e ella sua Aula A, pratcamete og govedì dell ao accademco, alle 7., s tegoo le cofereze orgazzate dall Assocazoe. Tato per ctare ua a caso, ed esclusvamete a ttolo d esempo, l prossmo 7 Febbrao ce e sarà ua dallo strao ttolo Dalle Calede Greche al 3 Febbrao: l duro mestere de cotator d gor, teuta da u pao d losch fgur che s spaccao per redattor d ua prestgosa rvsta d matematca rcreatva. 9 RM67, Agosto 24, Seddoch. 2 A drla tutta, probablmete l ostro Guseppe pesava che o solo per quella matematca, ma propro per la coosceza tout court fosse ecessaro stablre delle coeret e ferree regole d lguaggo: la parte fale della sua vta fu quas teramete dedcata alla creazoe d Iterlgua, u lguaggo uversale. 4

15 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 trovare u edzoe del Calcolo Geometrco. È stato ecessaro aspettare che la passoe d Flppo Demote-Barbera ruscsse a trasformare d uovo carta e chostro u testo davvero mportate ella stora della matematca, o solo talaa. D Flppo Demote-Barbera abbamo gà parlato questa rubrca occasoe della presetazoe della sua traduzoe talaa d Flatterlada 2, d Ia Stewart: ma è probable che lettor d RM lo rcooscao meglo col suo allomo, Gavrlo, co l quale ha spesso cotrbuto alle soluzo de problem d RM e el proporre affascat aeddot della stora della matematca. Se a Flppo pace seza dubbo tutta la matematca, è però comuque dubbo che abba ua passoe davvero smsurata per la geometra, spece per quella d zo secolo, quado la scuola talaa era tra le prme del modo. Il lavoro d rcostruzoe e cura che ha posto el portare alla luce quest opera del suo cocttado (al par d Peao, ha org cuees, ache se ora frequeta altre lade del Pemote) è stato veramete mrable, be lotao dal lmtars ad ua rlettura acrtca. Bast rcordare che ha cotrbuto alla rsoluzoe d ua spece d gallo storco-matematco : Lev Pola, chmco e storco della sceza, sostee che l Calcolo Geometrco d Peao dervasse dagl Elemets of Vector Aalyss d Gbbs: come raccota ella prefazoe del lbro, Flppo s è dedcato ad ua accurata dsama dell epstolaro delle part causa, dmostrado che o esste prova alcua d tale debto da parte d Peao e cofrot d Gbbs o, per suo tramte, d Hamlto 22. U gra lavoro, somma: Flppo ha perfo messo al lavoro sua mogle Laura, che deve aver davvero fatto uso d tutto l suo amore e soprattutto d tutta la sua pazeza per segure le bozze d ua così astrusa per le o matematca sere d smbol. Ma c setamo d rasscurarla: e è davvero valsa la pea. 2 RM2, Maggo L dage ha dato orge ad u lavoro specfco d Flppo: F.Demote-Barbera, Dd Gbbs fluece Peao s Calcolo Geometrco?, pubblcato H.J.Petsche, A.C.Lews, J.Lese, S.Russ (edtors), Herma Grassma, From Past to Future: Grassma s Wor Cotest, Baslea, 2. Sotto forma d cofereza, l coteuto è stato presetato alla Grassma Bceteal Coferece d Postdam e Stetto. Per gl teressat, e speramo sao molt, Flppo rproporrà la cofereza per la sezoe eporedese della Assocazoe Subalpa Mathess, ( talao, stavolta) l prossmo 6 Febbrao, ad Ivrea, all ITIS Olvett, ore 5.3, co l ttolo ma Gbbs raggrò Peao? U gallo ella stora del calcolo vettorale. Guarda caso, sempre per la ASM, ma per la sezoe prmara d Toro, e propro l goro dopo, l 7 Febbrao, s terrà la cofereza d due losch fgur che ah o, o, l abbamo gà detto u pao d ote fa, vero? 5

16 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Ttolo Calcolo Geometrco Ttolo Completo Calcolo geometrco secodo l Ausdehugslehre d H. Grassma preceduto dalle Operazo della Logca Deduttva Autore Guseppe Peao Edtore Arago Collaa Bbloteca Arago Curatore Flppo Demote-Barbera (Gavrlo) Data d Pubblcazoe 2 Prezzo 2 Euro ISBN Page Soluzo e Note Febbrao. Mese corto per defzoe, og ao sega l zo de ostr festeggamet. Da qu fo a prmavera samo tutt pres a celebrare ed l Capo (s spera, la sere brberoca sta avedo f troppo successo) rsfodera suo problem co pastcc e le torte. Pesare che per gl atch era mese che portava sfortua, dsgraza e pù s accorcava e meglo era... a o questo mese da parecch a porta o solo fortua, ma augur, soddsfazo e allegra. Speramo bee. Ma dcevo, u mese corto: certo geao lo è stato altrettato, vsto che samo usct co gra rtardo e affao, come og ao, qud se tutto va bee questo febbrao della stagoe d RM ruscrà ad essere pù lugo del suo predecessore. Che drv? Ah, le ovtà. Comcamo co l drv che l ostr uov webmaster s soo dat u gra daffare e hao rstrutturato gà gra parte del sto: o abbamo acora fto, però uove part appaoo Tat augur a o. og mese, qud adate a fare qualche clc gro e segalatec tutto quello che v pace e ache se trovate qualche errore, che così lo correggamo. Sempre a proposto del sto, sul Booshelf appaoo sempre uov documet, dmostrazo, cogetture: adate a dare u occhata! Ache perché questo mese c è l grade rtoro della saga d Marto, co uov captol tutt da godere. Po (e se state leggedo la rvsta orde forse l avete gà otato) RM comca co questo Bugee Jumper e la sua Paga 46 ad avere artcol peer-revewed! Samo talmete emozoat che o sappamo che dre. Ma prma d procedere, c hao scrtto ache a proposto delle cosderazo d BraMo sul 2; per esempo Lug c dce: La presete per rcordare che l 2, oltre ad essere u umero prmo, è la somma d umer prm cosecutv!

17 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Bee, macava, ora c è. Chudo questo breve pezzo troduttvo rcordadov che me due compar s esbrao l 7 febbrao ua cofereza su caledar, dal ttolo bellssmo: Dalle Calede Greche al 3 Febbrao. Il duro mestere de cotator d gor. La cofereza 23 è ell ambto del cclo dell Assocazoe Subalpa Mathess, e sarà a Toro, va Carlo Alberto 8, Aula A, alle 7. Adatel a vedere, se potete, e scrvetem come s soo comportat! 5. [44] 5.. Qu s dorme... Appea le polemche s spegoo, l Capo le rama come può, accdet. Ed o che soo qu a cercare d metter pace o c resco ma. Comuque vedamo l testo del problema, la ma prossma emcraa: La lavagetta, resce a coteere ora aglmete umer da a. Alberto, che goca per prmo, e cacella 9 a sua scelta; d, lo stesso compto tocca a Fred, e avat questo modo s quado o restao che due umer: a questo puto, s prede la dffereza (postva) d tra due, e s vede cosa succede: Se d > 54, Alberto rceve d 54 cetesm da Fred. Se d 54, la partta è patta. Se d < 54, Fred rceve 54 d cetesm da Alberto. Secodo vo, ch vce? E la secoda parte: C soo solo umer da a 27, ma cascuo d loro a turo (qu comca Fred) cacella u solo umero, s quado e restao solo due: Fred, che ha comcato per prmo, vce se la somma de due umer rmast è dvsble per 5, metre caso cotraro vce Alberto. Qu, ch de due ha ua buoa stratega? Polemca? Vedremo. Per l mometo vedamo la soluzoe d Zar, che è arrvata a stretto gro d posta dopo la dstrbuzoe d RM: Allora, c soo umer, se e possoo toglere 9 alla volta, Alberto è l prmo a gocare e ache l'ultmo: può fare 6 mosse, metre Fred e fa solo 5 e gà da qu s dovrebbe capre come fa a fre. Come prma mossa, Alberto elma 9 umer "cetral", coè quell da 47 a 55, lascado così due grupp d umer, quell da a 46 e quell da 56 a. Fred, co cque mosse, può elmare 45 umer, e qud o è grado d cacellare completamete uo de due grupp: alla fe rmarrà almeo u elemeto per gruppo. I umer da a 46 possoo essere accoppat a quell da 56 a modo tale che Alberto resca sempre a vcere: ache se Fred goca la sua mglore stratega, può però elmare solo u umero dspar d umer alla volta, e qud Alberto è sempre grado d fre la partta arrvado ad avere ua delle coppe -56, 2-57,..., 46-. Qud Alberto vce sempre (almeo) u cetesmo. U pao d gor pù tard è arrvata la secoda parte, sempre d Zar: 23 Come sarebbe a dre, v sembra d averlo gà setto? No, o è possble 7

18 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Abbamo 27 umer, se e elmao uo alla volta, alteratvamete, fo a che o e rmagoo 2, qud c soo 25 mosse: Fred comca e Fred fsce lu ha a dsposzoe 3 mosse, metre Alberto e ha solo 2. Fred vce se rmagoo due umer la cu somma è multplo d cque. Possamo dvdere umer da a 27 cque categore, base al resto della dvsoe per cque ( Ver Matematc le chamao class d resto modulo 5, voledo fare pgol). Eccole qua: [] {, 6,, 6, 2, 26} [4] {4, 9, 4, 9, 24} [2] {2, 7, 2, 7, 22, 27} [3] {3, 8, 3, 8, 23} [5] {5,, 5, 2, 25} Fred otterrà la vttora se rmarrao soltato 2 umer apparteet rspettvamete alla classe [] e alla classe [4], oppure alla classe [2] e alla classe [3], oppure due umer della classe [5]. Alberto dovrebbe ruscre ad elmare almeo 4 umer (tutt quell della classe [4], quell della [3] e quell della [5] trae ): o ce la può fare da solo. Fred deve fare attezoe a o autarlo ell'opera. Può qud comcare ad elmare uo de umer della classe [] oppure della [2] (soo quelle co pù elemet), e osservare quello che fa Alberto: og volta che Alberto elma u umero d ua classe, Fred può elmare uo de umer della classe gemella. Se la classe gemella è vuota, Fred può elmare uo de umer della classe co pù elemet, o della classe [5]. E così vce Fred, questa volta. Smle spegazoe è arrvata da Alberto R.: Dspoamo 27 umer ella tabella che segue dove umer della stessa coloa hao lo stesso resto modulo 5. Ch goca per secodo ha la seguete stratega vcete: No pescare dalla ^ coloa se la 4^ è vuota, é dalla 4^ se la ^ è vuota No pescare dalla 2^ coloa se la 3^ è vuota, é dalla 3^ se la 2^ è vuota No pescare dalla 5^ coloa se v è rmasto u sol umero Se pù mosse soo compatbl co le regole precedet va bee ua qualuque d esse Se le prme tre regole veterebbero qualuque presa gorale e scegl a caso, orma ha vto comuque! Il metodo fuzoa perché lo svuotameto della ^ coloa rede utlzzable qualuque umero della 4^ e vceversa. Stuazoe aaloga per la coppa 2^ / 3^ coloa. Ife u umero della 5^ coloa è utle solo se può essere sommato co u altro della stessa coloa. I altre parole la stratega del secodo gocatore può essere così stetzzata: "No scupare la mossa prededo u umero che, data la stuazoe, è, per l tuo avversaro, orma utlzzable". 8

19 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Dovrebbe essere adata, sappamo ch vce e come. U graze ache a Cd, che al solto o c ha fatto macare la sua soluzoe, e a Edo, che c scrve per la prma volta: A ha ua stratega vcete: almeo cetesmo lo vce sempre. F ha ua stratega per pagargl soltato cetesmo, ma se A goca bee, F o può pareggare, é vcere. La stratega d A è questa: scavare u "buco" cetrale ell'seme d umer, creado due "mur d umer" a delmtare l buco, che "eroderà", ad og suo turo, d (almeo 24 ) ove umer. A ha evdetemete 6 tur per "scavare l buco cetrale", e adado d 9 9 elmerà 54 umer cotgu, qud, ache ammettedo che F goch bee, e o cotrbusca ad allargare l buco, A creerà ua vorage d 54 umer, co ua dffereza agl estrem d 55, vcedo così u cetesmo. F, dal cato suo, o può evtare che A scav u buco, ma può cercare d "buttargl gù u muro"! I questo modo, macado matto ( umer) da u lato del buco largo 54, la dffereza fale sarà fatta tra umer apparteet allo stesso muro (dallo stesso lato rspetto al buco), ed è facle dmostrare che la loro dffereza sarà al massmo d 45, dado la vttora a F. A può però costrure l suo buco modo tale che, per quato F s sforz, o ruscrà a buttargl gù essu muro. A fa così: # (prmo turo d A) A elma [47,48,49,5,5,52,53,54,55]. I mur soo qud: [ murodsstra ] buco [ muroddestra ] ossa pazza l buco esattamete cetro: due mur hao ugual spessore (46). S può otare come, avedo F solo 5 tur, per quato s accasca cotro u muro (es: quello d sstra), o lo butterà ma gù tutto da solo: u mattoe resterà ped. A dovrà solo evtare d allargare l buco da quella parte. Come può A evtare d cotrbure all'abbattmeto del muro? questo modo: erodedo mur modo da mateerl, alla fe d og suo turo, d uguale spessore; m spego meglo: #2 (prmo turo d F) F elma 9 umer d cu 3 apparteet al muro d sstra e 6 apparteet al muro d destra -->l muro d sstra sarà spesso 43, quello d destra 4 #3(secodo turo d A) A elma 9 umer "erodedo" l lato sstro del buco d 6 e l lato destro d 3, coscché due estrem del buco sao 4 e 59. I tal modo l buco s è allargato d ove, e due mur soo torat spess ugual: 37 umer cascuo. I geerale, se F ua sua mossa elma umer del muro d sstra e y 9 umer del muro d destra, A ella sua mossa successva eroderà d umer l lato destro del buco e d y umer l lato sstro del buco, mateedo ugual gl spessor. E' facle vedere a questo puto che mur avrao etramb dopo og mossa d A spessore 46, po 37, po 28, po 9, po e fe, rmaedo qud ped fo alla fe. Il fatto che F cotrbusca o meo all'allargameto del buco o ha effett sullo spessore de mur, ma ha effetto sulla larghezza del buco (e qud sull'ettà della vcta fale d A). S può vedere come, per o avvataggare A, F possa cercare d buttare gù mur "erodedol dall'estero": se F ad og turo toglerà 9 umer "ester" de 2 mur (per esempo, se dopo la prma mossa d A F togle,2,3,96,97,98,99,,), la partta frà co ua dffereza d 55, e F lmterà da al massmo, dado ad A cetesmo. 24 Dco "almeo" perché F, gocado male, potrebbe cotrbure ad eroderl maggormete, autado A ad allargare l buco cetrale 9

20 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 Beveuto Edo! Adamo avat, ma o seza rgrazare ache Fabrzo B. 25 e Fraco57 per le loro soluzo Dottorato Brberoca No, essu commeto al floe scelto dal Capo per quest problem. V passo l testo seza por tempo mezzo: Vegoo omat otto spettor per la rscossoe della "Tassa sulla Tosse" e dell'"imposta sulle Imposte" d cu o c fdamo troppo e l madamo gro a coppe, ache perché abbamo la certezza che el gruppo d otto ce e sao tre corrott. Sappamo l loro umero ma o sappamo ch sao, metre tre "freghfragh" s cooscoo tra d loro. Alcu Oest e Prob Cttad appartegoo al gruppo delle persoe che devoo essere cotrollate dagl Scerff, e l'dea del Capo è che gl OPC offrao agl spettor ua tagete e po rferscao a lu sull'accettazoe o meo dell'offerta da parte degl spettor. Quest rspodoo a om d Aldo, Bea, Carlo, Davde, Erca, Fracesco, Grazella e Has: l'dea è d madarl gro a coppe, ad esempo Aldo e Bea dal prmo parete, Aldo e Carlo dal secodo, Bea e Carlo dal terzo, e così va. Quat paret deve mobltare, per essere scuro che og parete rceva la vsta d ua coppa dstta d spettor, se o potete madare pù coppe dallo stesso parete? La secoda domada è la seguete: o sappamo che corruttbl soo almeo tre, quat paret v servoo, per trovarl? Credevate fosse fta qu? No: Gl dagat decdoo d applcare ua stratega cautelatva: decdoo che accetterao l "cotrbuto uffcoso" o solo se soo coppa co u altro cotrollore dalla morale elastca, ma lo farao solo se essuo de due ella vsta al Cttado precedete ha rcevuto u "auto" (che fossero asseme o o); questo caso, quat paret compacet servoo al Capo? No c è stato tempo, l uco che ha potuto rsolvere quest quest ella veta d gor a dsposzoe è stato Cd, co la sua usuale pazeza e teaca. Ecco cosa c scrve: Per la prma domada basta esegure la seguete operazoe: 8! ! ( 8 2 )! Per la secoda domada, basta cosderare l seme degl 8 spettor costtuto da due grupp d 4 spettor (ad esempo: u gruppo sarà formato da Aldo, Bea, Carlo e Davde e l altro gruppo da: Erca, Fracesco, Grazella e Has) Per prma cosa covee aalzzare tutte le possbl combazo all tero d uo 4! de due grupp, che rsultao essere ugual a: 6. 2! ( 4 2 )! Se vee fuor ua coppa d corruttbl, utlzzamo uo de due elemet della coppa e lo mettamo coppa a 4 elemet dell altro gruppo modo da dvduare corruttbl preset el gruppo restate. I totale, questo caso, servoo ( 6 4) oest e prob cttad. Nel caso peggore, el prmo gruppo è presete u solo corruttble e qud le combazo d tutt gl elemet del prmo gruppo o m permettoo d 25 Sì, aggugamo ua B. perché l mese scorso c era u altro Fabrzo, M., tra omat... 2

21 Rud Mathematc Numero 45 Febbrao 2 dvduare ua coppa d corruttbl. I tal caso, però, so che el secodo gruppo devoo esserc almeo 2 corruttbl; quato el totale de due grupp e devoo vere fuor almeo 3. A questo puto, co gl elemet del secodo gruppo formo due coppe dstte; se questo gruppo v fossero almeo tre corruttbl, co altr due oest e prob cttad dvduo almeo ua coppa d corruttbl, e successvamete utlzzado uo de due elemet della coppa e mettedolo coppa a 6 spettor restat resco ad dvduare qual sao gl altr corruttbl. I totale, questo caso, servoo ( 6 2 6) 4 oest e prob cttad. Se vece el secodo gruppo fossero solo due corruttbl (e qud l terzo s trovasse el prmo gruppo), rsulterebbe possble che queste prme due spezo el secodo gruppo o permettao d trovare ua coppa d corruttbl; covee qud dopo le prme due combazo realzzare altre tre delle se possbl combazo, se trovo ua coppa d corruttbl mado u corruttble a fare spezo coppa co tre tra gl elemet del prmo gruppo e d cosegueza o trovo l corruttble del prmo gruppo ua d queste tre spezo o o lo trovo e qud s tratta dell elemeto del prmo gruppo che o ha partecpato a ua delle ultme tre spezo. I totale, questo caso, servoo ( 6 5 3) 4 oest e prob cttad. Ife, se o trovo ua coppa d corruttbl su cque combazo del secodo gruppo sgfca che la combazoe macate è quella che forsce ua coppa d corruttbl, qud madado u elemeto della combazoe macate a fare spezo coppa a tre tra gl elemet del prmo gruppo o trovo l corruttble del prmo gruppo ua d queste tre spezo o o lo trovo e qud s tratta dell elemeto del prmo gruppo che o ha partecpato a ua delle ultme tre spezo. I totale, questo caso, servoo ( 6 5 3) 4 oest e prob cttad. Da cò s verfca che qualsas stuazoe bastao 4 oest e prob cttad per dvduare ch soo corruttbl tra gl 8 spettor. Per la terza domada, facco otare che se s dovesse trovare u corruttble durate le se possbl combazo del prmo gruppo d quattro elemet, avremmo due corruttbl e se sospett. Chamado C e C2 due corruttbl e S, S2, S3, S4, S5 e S6 se sospett, possamo dopo le prme se combazo formare le seguet coppe: C, C2 ( due corruttbl o chedoo l auto perché l hao appea chesto) C, S C2, S2 Segue (C, C2) solo el caso cu ua delle due coppe precedet ha chesto u auto, e questo caso la coppa C, C2 o chede l auto perché uo de due lo ha appea chesto. C, S3 C2, S4 Segue (C, C2) solo el caso cu ua delle due coppe precedet ha chesto u auto, e questo caso la coppa C, C2 o chede l auto perché uo de due lo ha appea chesto. C, S5 C, S6 2