PONTE DI WHEATSTONE. Fig. 1. Schema elettrico del Ponte di Wheatstone

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1 PONTE DI WHEATSTONE Fi.. Shem elettio del Ponte di Whettone. Genelità Un metodo lio pe l mi di eitenze di odine medio è il ponte di Whettone. Un hemtizzzione di tle ponte è ipott in Fi.. Come i pò vedee dllo hem elettio, il ponte di Whettone ilt fomto d qtto eitenze onnee in modo d elizze n mli on qtto lti e qtto vetii. T de vetii oppoti viene ollet n oente di limentzione in oente ontin, mente t li lti de viene ineito n lvnometo. In e ll onfizione, è poiile definie le pti otitenti il ponte ome: lti del ponte, oipondenti i qtto mi otititi di eitoi; dionli del ponte, oipondenti i mi he ontenono l oente di limentzione o il lvnometo; in ptiole, è dett dionle di limentzione qell he è ifeit ll oente di limentzione, e dionle di ilevzione qell in i è ineito il lvnometo. Uno qlii dei qtto lti è otitito dl eitoe di eitenz inonit, mente li lti te lti ono otititi d eitoi le i eitenze mono vloi noti. Almeno n

2 delle eitenze note deve eee nhe viile, ed in ptiole nell eempio di op ipotto vò n eitoe viile dedi. Il ilevtoe di zeo, poto t i nodi A e B, è eniile l pio di oente nel lto teo, o ll diffeenz di potenzile t i nodi A e B. Il ponte è in eqiliio qndo è nll l oente he ttve l dionle di ivelzione, ondizione he pò eee individt dll indie del lvnometo nell poizione di zeo. In ondizione di fnzionmento, il enetoe di tenione ontin E f oee n oente he i iptie t i de mi in i ono ineite ed ompendenti ipettivmente il nodo A e il nodo B. Applindo i pinipi di Kihhoff l ponte, qndo è veifit l ondizione di eqiliio, i h: eqzione l nodo A I I () eqzione l nodo B eqzione ll mli ABC eqzione ll mli ABD I I () I I (3) I I () Sotitendo () e () in (), i ottiene: I I (5) I I (6) Dividendo memo memo, i iv: d i: (7) E tt oi tovt l elzione he le le qtto eitenze del ponte, in ondizioni di eqiliio: il podotto delle eitenze dei de lti oppoti eli il podotto delle lte de. E qindi poiile lole il vloe dell eitenz inonit: (8) Pe inee l ondizione di eqiliio è poiile opee l ppoto o ll eitenz. Nel eito i fà ifeimento qet eond olzione. (ponti filo)

3 . Poed di mi Poihé inizilmente il vloe di potee nhe eee molto dive d qello he oddif l (8), l oente nel mo AB potee eee elevt e qindi dnneie il lvnometo. Di oneenz i pefeie limente il iito on vloi di tenione vi vi eenti fino l vloe nominle, inementndo ontemponemente l eniilità del lvnometo. Nomlmente ll mente dell tenione di limentzione e dell eniilità del lvnometo, ooe opee lle dedi più piole dll eitenz mpione. Anhe on n eniilità del ponte elevt ed in ondizioni di tenione di limentzione nominle, del nmeo finito di dedi dell eitenz dipoizione, pò dee di non iie d ottenee n pefetto zzemento del lvnometo: in tl o, è neeio poedee ll intepolzione linee, poedimento vlido in qnto i il iito i lo tmento (lvnometo) hnno ompotmento linee nell intono dello zeo. Pe eempio, ponendo Ω, ipotizzndo 875, Ω ed vendo dipoizione n on dede più piol pi d Ω, non i iià pote zeo l indie del lvnometo né on 875 Ω né on 876 Ω. E neeio qindi effette l intepolzione del vloe di ol eente poedimento. Spponendo he on 875 Ω l indie devi d n lto (pe eempio init dello zeo), di δ diviioni e on 876 Ω devi, invee, dll lto lto di δ diviioni, e detto il vloe di eitenz d omme l vloe più piolo di pe ottenee l zzemento del lvnometo, è poiile otie l eente fi: Fi.. ppeentzione fi dell intepolzione dove il emento AC ppeent l diffeenz f i de vloi di (ovveo Ω) ed i ementi AB e CD ppeentno ipettivmente le de devizioni δ e δ, ipotte in eno oppoto ipetto l emento AC. Coninendo li etemi B e D, i ottenono de tinoli ettnoli ABO e OCD he iltno eee imili (eendo AB pllelo CD ed 3

4 entmi pependioli d AC, e li noli BOA e COD eli pehé oppoti l vetie). Si AO δ h, qindi:, e dto he AO ed OC (-), à no : OC δ d i: δ δ δ δ δ Se d eempio è δ diviioni e δ diviioni, à, Ω 35 e qindi he è il vloe di d onidee nell (8). 875, Ω

5 3. Vltzione dell inetezz L inetezz ll mi di pò eee vltt pplindo l lee di popzione dell inetezz eit dlle Nom UNICEI 9 ll elzione (8). Bion peò tenee peente he l eniilità del lvnometo non è infinit, e he qindi pò de n indizione di zeo nhe qndo in eltà iol n oente non nll. Dett I min l oente limite l di otto dell qle il lvnometo è ineniile (ovveo fonie omnqe n indizione di zeo), l elzione (8) v iitt pe tene onto he il ponte non è eniile vizioni dell eitenz he deteminno il pio di n oente infeioe I min : dove è il vloe di eitenz oipondente ll oente limite I min. Conidendo l nt dell eitenz (he pò eei o meno, e pò mee qlii vloe fino d n vloe mimo pi popio d ), e pò eee onidet ome n ndezz letoi vloe medio nllo m on n inetezz dive d zeo, d vlte. Di oneenz: L inetezz i ottiene pplindo l lee di popzione delle inetezze nel o di n podotto o di n ppoto: & & & & ( & & & ) &. L inetezz lle inole eitenze,, pò eee ilevt on metodi di vltzione di teoi A, ioè eeendo mie ipette, o di tipo B, tilizzndo i dti foniti dl otttoe. Pe vlte ion ione ome ee. Pe ome è tt definit, l eitenz ppeent il vloe limite di vizione dell eitenz inonit he dà loo d no potmento dell o del lvnometo dell minim qntità ppezzile. Pe l vltzione di i pò poedee in de modi ditinti: ppoio poteioi (peimentle) o ppoio pioi (teoio). Un volt detemint l, è poiile dotte n metodo di vltzione dell inetezz di tipo B, ipotizzndo n ditizione ettnole medi nll e di mpiezz ± ; i h qindi:. 3 Nel eito venono peentti entmi li ppoi pe l vltzione di. 5

6 3.. Appoio poteioi Ipotizzndo n ompotmento linee del lvnometo intono llo zeo, è poiile ivee: Ovveo: : dλ d : dλ Δ : Δλ Δ : Δλ (9) dove i è indito on: il vloe dell minim vizione d dell i il ponte è eniile; dλ minim devizione ppezzile dello tmento; Δ vizione finit di ; Δλ il nmeo di devizioni oipondenti ll vizione finit Δ. Dll elzione (9) i h: Δ Δλ dλ pe i è poiile vlte imponendo n vizione inifitiv li pplizioni, tle vizione non i pò fiimente impoe in qnto eitenz inonit e nomlmente non è viile. Dll elzione(8), i h: Δ Δ in qnto l ni eitenz viile è l i h: Δ Δ Δ. Dividendo pe di oneenz, eendo, l () diviene: Δ dλ Δλ Δ Δ (). Tttvi, nelle è l e iodndo empe l (8), Δ dλ Δλ Qindi l i pò vlte imponendo n vizione inifitiv ll eitenz mpione e vltndo l oipondente devizione Δλ del lvnometo. Con ifeimento ll eempio nmeio peedentemente ipotto ( 875, Ω; ; 875 Ω e 876 Ω, e qindi pe n vizione Δ Ω) on le ipettive devizioni ( δ diviioni init e δ det, pe n totle di Δλ 35 diviioni), e onidendo di pote ppezze l lvnometo l mezz diviione (dλ,5), i h: dλ,5 Δ. Ω Δλ 35 6

7 3.. Appoio pioi L ppoio pioi i l teoem di Thevenin, ovveo ll nlii del iito eqivlente del ponte vito i pi del lvnometo: Fi. 3. Ciito eqivlente di Thevenin Pe definie i vloi di eq e di E i poede ome ee. Con ifeimento llo hem elettio del ponte di Fi., i onidei il iito eqivlente vito di vetii di ilevzione A e B ottento otoiitndo il enetoe (Fi. 5): Fi.. Shem elettio del ponte Fi. 5. Ciito eqivlente vito i pi del lvnometo d i: eq Con ifeimento empe llo hem di Fi., è poiile ive: 7

8 V A E ; V B E E o VB VA E () In ondizione di eqiliio I e qindi V AB E. Pe ilie l vloe di i iodi he e è definit ome l vizione di eitenz ll qle oiponde n pio di oente I nel lvnometo pi ll minim oente ll qle il lvnometo è eniile. Anlizzndo il iito di Fi. 3 i h: dove I ΔE () eq Δ Eo è l vizione di tenione dovt ll ed è l eitenz inten del lvnometo. Pe ive Δ E i pò vilppe l elzione () in eie di Tylo nell intono di i oiponde E, etndoi l pimo odine (tle ppoimzione è vlid poihé l vizione di ono piole); i h: ΔE d (3) Dlle () e (3) i h: ioè ( ) eq I ( eq ) I ΔE () L oente I i pò epimee ome: I K Δλ (5) dove K è l otnte tmentle del lvnometo, epe in A/div. Qet otnte è let in mnie inve ll eniilità dello tmento, in qnto tnto più piol è K tnto milioe è l eniilità dello tmento. Dll () i h: E pe i l () divent: ( ) ( ) E E E (6) 8

9 ( ) eq K E Δλ Poihé nell elzione () il temine ompe l denomintoe, è inteente nde vlte, onde dimenione l melio il iito, qndo eo me il vloe mimo pe pote oì ottenee il minimo vloe di e qindi l ondizione di mim eniilità. Ponendo m nell (6), i h: E m ( m) Pe individe il mimo in fnzione di m i deve poe, ioè: m ( m) ( m) m m m m m m ( m) ( m) ( m) he è veifit pe m ±, ovveo l ondizione di mim eniilità del ponte è ottent pe ; in tl o, ovvimente, nhe. E poiile inolte dimote he l milioe ondizione in olto è qell pe l qle. Conidendo olo l olzione poitiv ( ) e otitendo tle vloe nell (6), i h: pe i l () divent: E ( ) E ( ) eq K E Δλ Si pò, qindi, ffeme he: no tmento on n K più piolo ide l eoe di eniilità; qnto più è elevt l tenione E tnto più o è l eoe di eniilità; tttvi, il vloe mimo di E dipende dll oente mim mmiiile pe i omponenti; qnto più piolo è il temine ( eq ) tnto più è ; qindi l eoe di eniilità non dipende olo dllo tmento tilizzto, m nhe dlle tteitihe del iito; il metodo peent n limite l eee di, in qnto ment l dipendenz diett i pehé ment l eniilità. eq i pe, e di oneenz diminie l 9

10 . Miliomento dell peiione del metodo del ponte di Whettone Il ponte di Whettone viene tilizzto pe mie di eitenz di vloe medio, indo peiioni dell odine di n pte dieimil. Semeee qindi he, tttndoi di peiioni non ptiolmente elevte, eo po eee otitit d n on mltimeto nmeio. In eltà ttveo le de tenihe: doppi pet otitzione i h n miliomento delle petzioni tle d itifie l tilizzo del ponte nhe pe mie di peiione... Teni dell doppi pet Come detto ilt empe onveniente tilizze de eitoi ed tei vloi nominli. Effettndo de mie e mindo di poto tteizzte dli ed (7) (8) i h: A dell inetezz e, p vendo nominlmente i và. Moltiplindo i de memi delle elzioni (7) e (8) i h: d i: (9) () on in qnto l diffeenz f i de vloi è dovt olmente ll inetezz e. Utilizzndo pe n eitenz dedi, è poiile onidee: in i è l pte omne dell L () diviene qindi: nelle de mie ed ovvimente () >> ed >>. ( ) ( ) ( ) ()

11 in qnto il temine ilt tile. iodndo inolte he ( ) n on << pò eee ppoimto ome ( ) n n, ed eendo empe ed << pe i <<, l () diviene e ioè il vloe di i ottiene ome medi delle de mie. Vltzione dell inetezz Pe vlte l inetezz ion tene onto nhe dell inetezz let ll eniilità del ponte. A tl fine le eqzioni (7) e (8), onfomemente qnto vito in peedenz, vnno oì iitte: qindi, moltiplindo memo memo: dto he ( ) e ponendo ome pim e, i h: ( ) ( ) ( ) eendo << e << e potendo te il temine, i h: eendo il temine <<, è poiile pplie l ppoimzione ( ) n n, pe i:

12 eendo e qindi: : X S S.. Teni dell otitzione Tle metodo onente di ottenee n inetezz idott nell mi del ppoto t de eitenze he diffeiono f loo di n qntità piol. Qet itzione è nhe qell he i h nelle pplizioni on eitenze inonite viili in i i è inteeti mie l vizione eltiv dell eitenz inonit ipetto d n ondizione di ifeimento. Si poede nel eente modo. Si pone n delle de eitenze inonite nel ponte e i ine l eqiliio: Qindi i otitie l on l lt eitenz inonit ondizione di eqiliio: Qindi dividendo memo memo: e i iv n nov Pe vlte l inetezz l ppoto ion tene onto dell inetezz lle de ondizioni di eqiliio; i h: (3) Dto he e ono de vloi divei dello teo eitoe dedi, è poiile poe: dove e ono piole ipetto e e ono molto poime t loo. L epeione (3) divent qindi:

13 3 e >>, pplindo l ppoimzione ( ) n n, l epeione divent: ( ) ( ) ( ) ( ) poihé e oì ome e ono molto minoi di, è poiile te l ltimo temine, pe i i h: ( ) ( ) qindi l inetezz olt divent: ( ) ( ) ( ) S S A volte il metodo di otitzione viene tilizzto pe mie n eitenz inonit on n inetezz più di qell iniile ol metodo tdizionle, m ihiede l impieo di de eitoi mpioni viili. Si poizion l eitenz inonit nel ponte e i ine n pim ondizione di eqiliio: Si otitie l eitenz inonit on n'lt eitenz mpione viile e i ie olo qet ltim mntenendo fio fino inee n nov ondizione d eqiliio: Confontndo i de eqilii, i dede he: Dl pnto di vit dell vltzione dell inetezz, l elzione peedente pò eee itt ome: in qnto e è tit d de ondizioni di eqiliio. Ne ee he l inetezz olt è dt d: S C X pe i l inetezz e non ient in qet elzione e qindi l mi è tteizzt d n inetezz minoe ipetto l ponte tdizionle.