Procedimenti ricorsivi per valutazioni su sistemi

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1 UIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE FACOLTÀ DI ECOOMIA Corso di Laurea in Scienze Saisice ed Auariali Tesi di Laurea in Saisica Assicuraiva Procedieni ricorsivi per valuazioni su sisei Bonus-Malus con francigia e non Laureando: Robero MALATTIA Relaore: Prof. Luciano SIGALOTTI Correlaore: Prof.ssa Parizia GIGATE AO ACCADEMICO 999-

2 IDICE pag. Inroduzione... i Capiolo Le valuazioni con procedieni ricorreni.... Inroduzione.... Il procedieno ricorrene....3 Procedieno ricorrene per colleivià apere Modelli probabilisici per i nueri di sinisri Il procedieno ricorrene in ipoesi di processo arkoviano oogeneo per gli arrivi di sinisri Il procedieno ricorrene in ipoesi di processo Poisson-gaa per gli arrivi di sinisri... 9 Capiolo Modelli con francigia.... Inroduzione.... Descrizione della polizza con francigia Processo arkoviano di arrivi. Colleivià ciusa Le ipoesi sul processo del risarcieno globale L'esborso aeso nel periodo Procedieno ricorrene....4 Processo arkoviano di arrivi. Colleivià apera Processo Poisson-gaa. Colleivià ciusa... 9

3 Capiolo 3 Auoliquidazione Inroduzione Auoliquidazione e soglie di auoliquidazione Processo delle denunce. Il procedieno ricorrene nel caso di auoliquidazione Processo arkoviano oogeneo Processo Poisson-gaa Generalizzazione del odello Capiolo 4 Cosruzione di scale adaae al porafoglio Inroduzione Cosruzione di scale di coefficieni di preio per porafogli oogenei Le scale di coefficieni di preio adaae al porafoglio 5 Capiolo 5 Risulai di esperienze nuerice Inroduzione Dai uilizzai nelle esperienze nuerice e sia delle disribuzioni I sisei Bonus-alus Esperienze nuerice con il odello base (assenza di francigia e auoliquidazione) Coefficieni edi di preio e prei di equilibrio Esborsi aesi e prei Bonus-alus Esperienze nuerice in presenza di auoliquidazione Esperienze nuerice in presenza di francigia... 7 Bibliografia...

4 Inroduzione Inroduzione I sisei Bonus-alus con francigia rappresenano una fora olo auale di sisea di ariffazione in base all'esperienza. Sia la presenza delle penalizzazioni previse con i sisei Bonus-alus ce la presenza della francigia sono fore di coinvolgieno dell'assicurao nella gesione del riscio. L'assicuraore può essere ineressao a valuarne l'ipao sul suo porafoglio di risci, in varie ipoesi sui livelli delle francigie e ance nell'ipoesi di cabiare sisea Bonus-alus per esepio cabiando i coefficieni di preio. L'andaeno del porafoglio può essere sudiao araverso l evoluzione della riparizione degli assicurai nelle classi di erio al variare del epo, del coefficiene edio di preio oppure araverso gli inerveni sul preio di riferieno generale neccessari per anenere l'equilibrio di gesione in erini aesi. Per oenere quese grandezze nella leeraura auariale sono proposi diversi approcci. Molo usaa è l'iposazione ce si rifà al coporaeno asinoico del sisea Bonus-alus, ce in convenieni ipoesi raggiunge una sazionarieà. Un alro approccio è quello del calcolo siulaivo. Un alro ancora è quello ce consise nello sviluppo di procedieni ricorsivi (o ricorreni) per il calcolo delle grandezze di ineresse. Infai la siuazione di regie ben difficilene viene raggiuna in praica, percé si osserva ce i sisei Bonus-alus vengono cabiai abbasanza spesso e quindi è eglio pensare a valuazioni al finio. In quesa esi sono presenai i procedieni ricorsivi seguendo quano fao nel lavoro Recursive Procedures o Evaluae Bonus-Malus Syses (Gigane. P., Picec L., Sigaloi L.; 999). i

5 Inroduzione Gli eleeni probabilisici necessari per effeuare le valuazioni sono il processo di arrivo dei sinisri e le disribuzioni di danno, eleeni quesi siabili da pare dell'assicuraore. I odelli proposi per i processi di arrivo dei sinisri sono il arkoviano oogeneo ed il Poisson-gaa. Con il prio si oengono procedieni ricorsivi in odo esao (senza approssiazioni), invece con il secondo il procedieno è oenuo in via approssiaa. Dappria la colleivià degli assicurai è supposa ciusa a successivaene si è considerao ance il caso di nuovi ingressi in percenuale prefissaa. I procedieni si coplicano quando si vuole enere cono di francigia e / o di auoliquidazione dei sinisri. Infai, in queso caso si deve enere cono ce il processo di arrivo dei sinisri e delle denunce non sono più coincideni. Le coplicazioni sono uavia ad un livello ragionevole e i procedieni ricorreni si possono esendere, e una vola ipleenai consenono valuazioni nuerice delle grandezze di ineresse. Inolre si presano ad analizzare di diversi livelli di francigia ed ance l effeo dell inroduzione di diverse fore di francigia. Lo sudio dell'auoliquidazione a ineresse soprauo quando si vuole capire quale può essere l'ipao di sisei Bonus-alus paricolarene penalizzani. Sisei di queso ipo possono essere pensai per oenere una buona descrizione dei risci con porafogli in equilibrio, in erini aesi, ra incassi ed esborsi. Ma l'auoliquidazione può ridurre, ance considerevolene, gli aspei auspicai. I procedieni ricorreni offrono poi la srada per il calcolo di scale di coefficieni non asinoice o asinoice, disegnae in odo da dare prei vicini ai prei equi. Inolre essi consenono di valuare le differenze aese ra prei equi e prei Bonus-alus nelle varie classi di erio e nelle varie epoce. A queso proposio è ineressane la proposa, dovua a G. Taylor (997), di usare scale di coefficieni adaae al porafoglio, ce engano cono della coposizione a priori del porafoglio sesso. Quese scale pur essendo le sesse per ogni sooporafoglio forniscono prei ce si avvicinano a quelli equi. Passiao ora ad una breve indicazione dei conenui dei diversi capioli. el Capiolo si descrivono i procedieni ricorreni base per colleivià ciuse e apere per i due odelli per il processo di arrivo dei sinisri. ii

6 Inroduzione el Capiolo, ce si rifà essenzialene al lavoro di P. Gigane Un odello per una ariffa RCA Bonus-alus con francigia (996), viene affronaa la cosruzione di procedieni ricorreni per sisei Bonus-alus con francigia. el Capiolo 3 si considera l'effeo dell'auoliquidazione di sinisri. Si pare con la descrizione del coporaeno "ragionevole" di un assicurao "aeno" ce, dalle valuazioni sulle conseguenze di denunciare o non denunciare sinisri, oiene le soglie di convenienza nell'auoliquidazione. Tenendo cono di quese soglie, ce rappresenano una sora di francigia, si può descrivere il procedieno ricorrene. el Capiolo 4 si considera la cosruzione di scale di coefficieni di preio. Infine, il Capiolo 5, è dedicao alla presenazione di alcune delle esperienze nuerice effeuae. I dai uilizzai per la sia delle grandezze probabilisice relaivi ad un porafoglio reale. E' sao considerao sia il caso di un sisea Bonus-alus assegnao, sia quello di sisei Bonus-alus con scale disegnae opporunaene. In paricolare, è saa consideraa la scala adaaa al porafoglio proposa nel Capiolo 4. Il porafoglio considerao è quello oenuo riparendo gli assicurai in base all'eà. iii

7 Inroduzione Una noevole pare del lavoro presenao in quesa esi è saa svola durane il periodo di sage presso l Ufficio Sudi delle Assicurazioni Generali di Triese. Desidero ringraziare uo lo saff dell Ufficio Sudi per il supporo fornioi. In paricolare il Do. Sefano Ferri per le proficue discussioni ed i suggerieni con i quali a seguio la fase di iposazione del lavoro e la predisposizione delle elaborazioni nuerice. iv

8 CAPITOLO LE VALUTAZIOI CO PROCEDIMETI RICORRETI. Inroduzione Si consideri un assicuraore il quale voglia oenere delle indicazioni sull andaeno di un proprio porafoglio di risci R.C.A. con forula ariffaria Bonus-alus. L assicuraore a inforazioni sulla sinisrosià delle polizze del proprio porafoglio di risci e vuole valuare, a frone di un assegnao sisea Bonusalus, quale sarà l andaeno nel epo della colleivià di assicurai. In paricolare sarà ineressao alla riparizione degli assicurai nelle classi di erio del sisea, al livello edio dei prei inroiai, agli inerveni sul preio (o sui prei) di riferieno necessari per anenere l equilibrio ra inroii ed esborsi aesi, noncé ad alre valuazioni di ipo ecnico-auariale. La leeraura auariale ce si è occupaa di quesi problei a adoao per lo più una iposazione in cui si sudia il coporaeno asinoico dei sisea (vedi Bonus alus syses in auoobile insurance, Leaire (988)). In alre iposazioni invece le grandezze di ineresse sono calcolae araverso procedieni ricorreni (vedi Piacco (978), Sigaloi (99, 994), Picec, Visinin (996) e Gigane (997)), in alre ancora sono seguii procedieni siulaivi. L iposazione ce qui viene seguia è quella proposa nel lavoro Recursive Procedures o Evaluae Bonus-Malus Syses (Gigane. P., Picec L., Sigaloi L.;

9 999) dove sono presenai odelli per il calcolo in via ricorrene delle grandezze ce ineressano. La descrizione probabilisica pare da un'ipoesi sul processo di arrivi dei sinisri e da essa con opporuni procedieni ricorreni si oengono le grandezze di ineresse al variare del epo. el lavoro ciao e in quesa esi sono considerae due diverse ipoesi per il processo di arrivi dei sinisri: la arkoviana oogenea e l'ipoesi di processi Poisson-gaa. Viene inolre considerao il problea del calcolo ricorrene in presenza di colleivià apera a nuovi ingressi.. Il procedieno ricorrene Un sisea Bonus-alus si definisce araverso i segueni eleeni: Le classi di erio, indicae con,, s, la classe di ingresso dei nuovi assicurai le regole di ingresso di assicurai provenieni da alra fora assicuraiva le regole evoluive ce inforano in quale classe di erio viene poso un riscio assicurao sulla base della classe occupaa e del nuero dei sinisri riporai nel periodo precedene la scala di coefficieni di preio, indicaa con (,, ): il preio per un riscio in classe si oiene oliplicando un preio di riferieno, P, per il coefficiene. Si consideri un porafoglio di risci oogenei cioè appareneni alla sessa classe ariffaria, porafoglio ce viene supposo ciuso, ovvero senza nuovi ingressi o uscie di assicurai. Si assuono le segueni ipoesi probabilisice. Si ipoizza ce la classe di erio nel prio anno sia il paraero di riscio del processo del nuero dei sinisri di ogni riscio. La disribuzione degli assicurai ra le varie classi Bonus-alus nel prio anno è la disribuzione del paraero di riscio ovvero la funzione di sruura.

10 Al fine di deerinare l ipao del sisea Bonus-alus sul porafoglio di risci, soo quese ipoesi, è sufficiene lo sudio di un unico riscio preso a caso nel porafoglio. Con riferieno a queso riscio nell anno, si indici con il nuero dei sinisri, e con Z i, l iporo del danno per l i-esio sinisro, i =,,, con X il risarcieno globale e con Y la classe di erio. Si inroducono, a queso puno, gli eleeni di valuazione del sisea Bonusalus. Si inizia dalla disribuzione di probabilià di Y. Soo le nosre ipoesi, essa fornisce ance la disribuzione degli assicurai ra le classi di erio nell anno. Il nuero aeso di assicurai nelle classi è dao da: ( ) () (.) n n Pr(Y ),,, dove n () indica il nuero di assicurai nel porafoglio. Inolre, dalla disribuzione di probabilià di Y si può oenere il coefficiene edio di preio, dao da (.) b Pr(Y )ß. Si definisce preio di equilibrio per un porafoglio di risci, il preio di riferieno ce rende uguali l inroio globale aeso e l esborso globale aeso. elle nosre ipoesi, il preio di equilibrio per l anno è la soluzione della seguene equazione in P (.3) P ) E(X ). Pr(Y Soo le solie ipoesi ce porano alla disribuzione coposa per X (per ogni n, Z i = n,, Z n = n sono socasicaene indipendeni e ugualene disribuii; e inolre la disribuzione di Z i = n non dipende da n), l esborso aeso nell anno è 3

11 (.4) E (X ) E(Z)E( ) E(Z) E( Y ) Pr(Y ), dove E(Z) rappresena il coso aeso per singolo sinisro, supposo invariane nel epo. Per calcolare ue quese quanià serve conoscere le disribuzioni di Y e (Y, ). A queso puno si inroduce il procedieno ricorrene per oenere quese disribuzioni parendo dalle disribuzioni di Y e Y =, ce sono siabili direaene dai dai. Sia (,k) la classe di arrivo dopo un anno essendo la classe di parenza e k il nuero di sinisri denunciai. Si assue ce il nuero dei sinisri denunciai da un assicurao in un anno sia al più, di solio si fissa = 4. Se si indica con (j) (,k),...,,,..., ((, k) j), ovvero l insiee delle coppie (classe iniziale, nuero di sinisri) ce iplicano il rasferieno della polizza dalla classe in classe j, si a: (.5) Pr( Y j) Pr(Y k ), (,k ) ( j) e (.6) Pr(Y j (,k ) (j) k) Pr(Y (,k ) ( j) Pr(Y k )Pr( k k Y k) k ). Perano, le disribuzioni di Y + e (Y +, + ) relaive al epo +, si deerinano dalle disribuzioni al epo di Y e (Y, ) e dalle disribuzioni di ( + Y = = k ), =,,; k =,,. Osservazione..a 4

12 Con riferieno ai nueri aleaori ( + Y = = k ), è opporuno osservare ce, poicé Y è funzione di Y,,, -, per la proprieà di disinegrabilià della probabilià, si oiene: Pr( k Y k ) Pr(Y k... k k Y k ) Pr( k Y k... k k ), dove la soaoria è esesa a ue le -uple (, k,, k - ) ali ce l eveno (Y = i = k - = k - = k ) iplici (Y = = k ). La proprieà di disinegrabilià qui applicaa in quesa paricolare circosanza, si rivelerà uile ance nel seguio..3 Procedieno ricorrene per colleivià apere Si considera ora di avere una colleivià di risci oogenei apera a nuovi ingressi. Precisaene, si suppone ce in ogni anno ci sia un increeno percenuale cosane, di aliquoa, per effeo di ingressi di nuovi risci assicurai e ce non ci siano uscie dalla colleivià. Si suppone ancora ce i nuovi risci siano ui collocai nella classe d ingresso s. Per quano riguarda la sruura probabilisica del odello, si assue ce per ogni assicurao, i processi del nuero dei sinisri e delle enià di danno dei vari sinisri seguano le ipoesi ce sono sae assune nel caso di colleivià ciusa. Inolre, si suppone ce ui i nuovi assicurai abbiano la sessa sinisrosià, quella aribuia a ui gli assicurai preseni nella colleivià all epoca. Per il generico assicurao, si indica con a(k) la probabilià ce k sia il nuero dei sinisri nell anno di ingresso. 5

13 6 Fissaa un'epoca + e un generico assicurao presene in + nella colleivià, la probabilià di apparenenza dell assicurao alla classe può essere descria nella fora ), )Pr(Y Pr( ) )Pr(Y Pr( ) Pr(Y dove indica l eveno l individuo è nella colleivià nell anno, =, +. Analogaene ). k )Pr(Y Pr( ) k ) Pr(Y Pr( ) k Pr(Y In forza delle ipoesi fae, possiao porre. ) Pr( Si a poi s ) Y Pr(, ove s è se = s, alrieni; a(k). ) Y k Pr( ) Pr(Y ) k Pr(Y s Inolre poicé non ci sono uscie dalla colleivià, iplica + e quindi

14 Pr( Y ) Pr(Y ) e Pr( Y k ) Pr(Y k ). Le precedeni relazioni divenano allora (.7) Pr(Y ) ( ) Pr(Y ) s, (.8) Pr( Y k ) ( )Pr(Y ) s a(k), dalle quali si vede ce, in definiiva le probabilià ce ineressano dipendono dalla Pr( Y ) e dalla Pr( Y k ). Quese ulie possono essere calcolae raie il procedieno ricorsivo descrio nel paragrafo precedene..4 Modelli probabilisici per i nueri di sinisri Relaivaene al processo di arrivi del nuero di sinisri, > si considerano due ipoesi. Si suppone ce, subordinaaene ad ogni classe di erio inizialene occupaa, sia una caena arkoviana oogenea oppure un processo di ipo Poisson-gaa cioè isura di processi Poissoniani con disribuzione isurane Gaa. ei sooparagrafi successivi viene descria la procedura ricorrene per i due ipi di odelli probabilisico assuni per ale processo..4. Il procedieno ricorrene in ipoesi di processo arkoviano oogeneo per gli arrivi di sinisri 7

15 Si suppone ce, per ogni =,,, Y =, > sia un processo arkoviano oogeneo con arice di ransizione P() = [p(;k,g)], p(;k,g) = Pr( + = g Y = = k). In quesa pria ipoesi, è uile considerare la seguene relazione ricorrene analoga alla (.6), scria per le probabilià condizionae (.9) Pr(Y j k Y ) Pr(Y (,k ) ( j) k Y )Pr( k Y k Y ). Per la proprieà di disinegrabilià (vedi ance Osservazione..a) e per la proprieà arkoviana, si oiene Pr( + = k Y = = k Y = ) = p(;k,k). Assuendo ce le arici P(), =,,, siano noe, in quano siae dai dai, la relazione (.9) fornisce in odo ricorrene le disribuzioni di (Y +, + ) Y =, =,,. La disribuzione congiuna di (Y +, + ) perciò è Pr( Y j k) Pr(Y )Pr(Y j k Y ).4. Il procedieno ricorrene in ipoesi di processo Poisson-gaa per gli arrivi di sinisri 8

16 Si assue ce il processo Y =, > sia di ipo Poisson-gaa. Indicai con r, c i paraeri della disribuzione isurane Gaa, risula E( Y r ) e c r VAR( Y ), =,,. c c I paraeri r, c si possono siare dalla sinisrosià osservaa per gli assicurai preseni in classe, per esepio araverso il eodo dei oeni. Poicé la disribuzione di ( + Y = = k - = k - = k ) è di ipo binoiale negaiva r k,c s, da Osservazione..a, si a ce la s disribuzione di ( + Y = + = k ) è una isura di binoiali negaive i cui coefficieni dipendono dalla classe occupaa al prio anno e dal nuero dei sinisri riporai dall assicurao, ce fanno arrivare un riscio alla classe al epo. Queso basa a far capire ce al crescere di i calcoli necessari per deerinare le disribuzioni crescono in coplessià così rapidaene da divenare ben preso praicaene ipossibili. Si considera allora una approssiazione da applicarsi ad ogni passo del procedieno, vola ad ovviare a ale inconveniene. A queso puno risula uile presenare in deaglio la descrizione dei passi iniziali della procedura. Al epo, si a Pr( Y j) Pr(Y k ), (,k ) ( j) Pr( Y j k) Pr(Y k)pr( k k Y ) (,k ) ( j) Quese disribuzioni possono essere calcolae facilene; infai, la disribuzione di (Y, ) è daa e quella di = k Y = è una disribuzione binoiale negaiva di paraeri k,c r. Al epo 3, con la (.5) e noa la disribuzione congiuna di (Y, ) si oiene la disribuzione di Y 3. Per oenere la disribuzione di (Y 3, 3 ), dalla (.6), si vede ce 9

17 è necessario conoscere le disribuzioni di 3 = k Y =, =,,, k =,,. Coe evidenziao sopra, quese disribuzione sono isure di binoiali negaive. Per seplificare i calcoli si inroduce una approssiazione. Si osservi inano ce la disribuzione di Y = è una isura di binoiali negaive. Infai si a ), Y k k Pr( ) j Pr(Y ) j Y k Pr( ) j Pr(Y ) j Y k Pr( ) j Y k Pr( ) j ( ),k ( dove Y k k si disribuisce secondo una binoiale negaiva. A queso puno, l approssiazione consise nel sosiuire per ogni classe, la disribuzione di Y = con la disribuzione binoiale negaiva con gli sessi prii due oeni. Secondo queso eodo i paraeri r, c della disribuzione Gaa isurane sono la soluzione del seguene sisea, c c r v c r dove e v sono la edia e la varianza di Y =. Inolre, si ipoizza ce il processo Y =, sia di ipo Poisson gaa. Di conseguenza, la disribuzione di 3 = k Y = è binoiale negaiva con paraeri c, k r e si a. c c c k! k r ) k j Y k Pr( k k r k 3

18 Con quese probabilià e la disribuzione di (Y, ), dalla (.6), si oiene la disribuzione di (Y 3, 3 ). Il procedieno coninua secondo quano viso al passo precedene. Osservazione.4..a E ineressane noare ce le relazioni ricorreni (.5), (.6) possono essere scrie ance per le probabilià Pr(Y + = j Y = ), Pr(Y + = j + = k Y = ), =,,. Si è preferio considerare le probabilià non condizionae per eviare di approssiare le disribuzioni di + Y = Y = per ogni. Così è infai sufficiene approssiare le disribuzioni pesae di + Y =.

19 CAPITOLO MODELLI CO FRACIGIA. Inroduzione Il capiolo è dedicao a presenare procedieni ricorreni per valuazioni su sisei Bonus-alus in cui sia previsa una francigia. Si fa riferieno ad un ipo di francigia abbasanza generale cioè una francigia assolua, dipendene dalle classi di erio, e in fore paricolari, dipendene ance dal epo. Polizze con quesa odalià di francigia sono preseni nel ercao. La presenza di francigia fa si ce i processi di arrivi dei sinisri e delle denunce di sinisri non vengono più a coincidere, coe avviene invece nei odelli del Capiolo. Il procedieno ricorrene divena ineviabilene più pesane, ance se in ipoesi paricolari sui nueri di arrivi di sinisri riane possibile ipleenare quesi procedieni. L iposazione seguia in queso capiolo si riconduce principalene all aricolo Un odello per una ariffa RCA bonus-alus con francigia di Gigane P. (997). el paragrafo. è descria la ariffa Bonus-alus con francigia consideraa nei odelli successivi. In.3 viene ripreso il procedieno per colleivià apere presenao nel Capiolo e qui uleriorene sviluppao per le analisi con la francigia. Successivaene, nel paragrafo.4 viene considerao il processo di arrivi arkoviano. Infine, nel paragrafo.5, viene considerao il processo di arrivi Poisson-gaa. L iposazione è un adaaeno di quella del caso arkoviano. Il caso di colleivià apera è considerao liiaaene al odello arkoviano.

20 . Descrizione della polizza con francigia Si considera un odello ariffario ce cobina un sisea di ipo Bonus-alus con un sisea a francigia assolua. Quesa è variabile con la classe di erio, fissa per ogni sinisro di una annualià assicuraiva ed espressa in percenuale del preio. Si precisa fin d ora ce i prei qui si inendono al neo di caricaeni, sia per sicurezza, sia per spese. La ariffa prevede di riparire gli assicurai in classi. Ad ognuna corrisponde un coefficiene di preio ed un aliquoa di francigia. Si conviene di conrassegnare le classi con i nueri naurali da a e di indicare con, rispeivaene l aliquoa da applicare al preio per oenere la francigia e il coefficiene di preio per un riscio di classe, =,,. Si indica poi con q, < q <, la classe di riferieno, caraerizzaa dalla coppia ( q, q ), con q, q =. Si suppone ancora ce i coefficieni ce caraerizzano le classi soddisfino le condizioni +, +, =,, -, (, ) ( j, j ), j. Le classi sono perano ordinae per valori cresceni delle coppie (, ). Se si considera un porafoglio di polizze relaive a risci sufficieneene oogenei (per anzianià di paene, zona errioriale di circolazione, poenza fiscale e uso del veicolo, ) e si indica con P il preio (equo) di riferieno relaivo a quesa caegoria di risci ad una fissaa epoca, il preio e la francigia per un assicurao di classe sono, rispeivaene, P e P. Per quano riguarda le regole evoluive del odello, l aribuzione di un assicurao alle varie classi è effeuaa enendo cono della classe precedeneene occupaa e del nuero dei risarcieni di cui l assicurao usufruisce per sinisri causai nel corso del periodo precedene il rinnovo della polizza, secondo le odalià indicae in Tabella. 3

21 Sinisri di iporo superiore alla francigia nell ulio periodo di osservazione essun sinisro Conseguenze Migliora di una classe fino al raggiungieno della classe sinisro Peggiora di due classi fino al raggiungieno della classe sinisri Peggiora di cinque classi fino al raggiungieno della classe 3 o più sinisri Peggiora di oo classi fino al raggiungieno della classe Tabella Tali regole evoluive erano previse per la ariffa Bonus-alus dopo l ulia revisione della ariffa avvenua nel 99 e ance aualene, in regie di liberalizzazione della ariffa RCA, sono applicae da ole Copagnie. Si osserva ce le regole evoluive possono essere descrie da ax( j,) in(, j 3r ) se se r r,, 3 avendo indicao con e j le classi di arrivo e di parenza e con r il inio ra 3 e il nuero dei risarcieni a carico dell assicuraore. Per definire copiuaene il sisea, occorre ancora precisare le classi in cui vengono inserii i nuovi assicurai e quelli provenieni da alre ariffe. Si indica con s, s q, la classe di ingresso per i nuovi assicurai. Poicé in quano segue si suppongono ingressi solo di nuovi assicurai, non sarà necessario precisare le regole di inserieno di assicurai provenieni da alra ariffa. 4

22 .3. Processo arkoviano di arrivi. Colleivià ciusa.3. Le ipoesi sul processo del risarcieno globale Al fine di analizzare gli effei della ariffa descria nel precedene paragrafo., si considera una colleivià di risci oogenei e si suppone in un prio oeno ce la colleivià in esae sia ciusa, ce non vi siano cioè né uscie, né ingressi di assicurai. Si suppone inolre ce ogni sinisro ce supera la francigia sia denunciao e ce per ognuno l assicuraore pagi l eccedenza rispeo alla francigia. Si isura il epo in anni e si indica con l isane iniziale. Si inroducono ora gli eni aleaori ce pereono di descrivere la dinaica eporale del generico conrao. Con i siboli già considerai nel Capiolo si riprende la condizione di equilibrio ra esborso aeso e incasso aeso. Il valore del preio di riferieno e P per cui riesce E (X ) il preio di equilibrio in. Si noi ce il preio di equilibrio copare Pr(Y ) P, è ipliciaene ance a prio ebro: l esborso aeso dipende infai dal livello della francigia ce è espressa in percenuale del preio in ed è quindi proporzionale al preio di riferieno. Per quano riguarda il processo di arrivi dei sinisri si suppone inano ce in un generico anno di conrao, una polizza possa essere colpia al più da sinisri. Evenualene = porà indicare l eveno nell anno, la polizza è colpia da o più sinisri. Usualene si assue = 4. Assuiao per queso processo l ipoesi arkoviana oogenea, cioè ce e Pr( k n E) Pr( k n) p nk, qualunque siano >, n, k,, ed E un eveno ce descrive una qualunque inforazione sui nueri dei sinisri ce si sono verificai nelle epoce,, - (nel seguio per un eveno di queso ipo, si dirà ance ce E è un eveno logicaene dipendene la,, - ). 5

23 Si suppone poi: () indipendenza socasica ra processi, >, Y, Z i, i =,,, > () indipendenza e ugual disribuzione per il processo dei danni Z i, i =,,, > (3) indipendenza socasica ra Z i, i =,,, > e Y. E ineressane osservare ce ra le ipoesi accole vi è l indipendenza socasica ra il processo del nuero dei sinisri e Y, classe occupaa dal riscio nel prio anno, e quindi ance ra e Y. Poicé però l evoluzione ra le classi è legaa alla sinisrosià, è ragionevole pensare ce ne risuli una dipendenza ra i processi, >, Y, >. Infai una correlazione ra essi è indoa, nonosane l ipoesi di indipendenza ra, > e Y, dal eccaniso di evoluzione e dall ipoesi di dipendenza arkoviana per il processo di arrivo dei sinisri. Le alre ipoesi assune sono usuali nei odelli adoai per lo sudio della sinisrosià in assicurazioni RCA. Si osserva ce in paricolare due di ali ipoesi, l indipendenza socasica di da Z i, i =,,, e l indipendenza e uguale disribuzione dei nueri aleaori del processo Z i, i =,,, sono olo fori e spesso conrasano con le osservazioni saisice. Esse rispondono principalene all esigenza di rendere raabili analiicaene i odelli. L ipoesi di oogeneià per il processo, > è abbasanza ragionevole per brevi orizzoni eporali..3. L esborso aeso nel periodo Dopo quese preesse, passiao al calcolo delle quanià ce ineressano. Per l esborso aeso in si a: E (X ) Pr(Y )E(X Y ) Ponendo Z = X =, riesce 6

24 E(X Y ) k Pr( k Y )E k i (X i Y k) Pr( k Y ) k i k E(X i Y k), e quindi k E(X i Y k) k i E(X ) Pr(Y ) Pr( k Y ) Si osserva ce in quesa soa, se in corrispondenza ad una coppia (,k) di valori possibili per (Y, ) riesce Pr(Y = = k) =. Ineresserà vedere allora coe si possono rappresenare le E (X i Y = = k), i =,, k, se l eveno condizionane a probabilià posiiva. Per il ipo di risarcieno cui siao ineressai si a X i = ax(, Z i - d ), essendo d il valore della francigia per l anno. Consegueneene, (.) E(X Y k) E[ax(, Z P ) Y k), i i dove P è il preio di riferieno in. Considerao la disribuzione di Y. Se indiciao con R il inio ra 3 e il nuero dei risarcieni di cui l assicurao usufruisce nell anno e con () l insiee delle coppie dei valori di (Y,R ) ce in base alle regole evoluive pereono di raggiungere classe in +: allora () = (j, r),,,,, 3 (Y = j R = r) (Y + = ), ( Y ) (Y j R r ). j,r 7

25 Poso: A k (Z P ), () j (k) n j j n A k,k (k) [(Z P ) (Z P )], () j n j j s j j n s n A,k,k (k) [(Z P ) (Z P ) (Z P )], () j n j j v j j s j j n,v s n,v (3),k n n,v,s v,n s v s A j (k) [(Z k j jp ) (Z v j jp ) (Zs j P )] j nell ipoesi accola ce ogni sinisro superiore alla francigia sia denunciao, si a: (Y j R r) Y (r) j [ k A j (k)] k. Possiao allora rappresenare (Y = ) nella fora (Y (r ) ) (Y j [ k A (k)]). ( j,r ) () k j Rappresenando ora in odo analogo (Y - = j - ), si oiene per (Y = ) la seguene espressione: (Y ' '' (r ) (r ) Y j [ k A j, (k)] [ k A j k k ), (k)] dove la soa logica logica ' è esesa a ue le coppie (j -, r - ) () e la soa '' è esesa a ue le coppie (j -,r - ) (j ). 8

26 Procedendo, si oiene allora ce (Y = ) è soa logica di eveni del ipo (r ) (r ) (.) (Y j ) [ k A (k)]... [ k A (k)]. k j, k j, ella (.), l eveno ipoesi è perano soa logica (finia). di eveni del ipo (r ) (r ) K (Y j ) ( k... k k) (A (k)... (A (k )) j, j, in cui E ( k... k k) è logicaene dipendene da, (r ) (r - ), e (A (k )... A (k )) è logicaene dipendene da Z is, s -, i A i, i, - k s. Poicé il nuero aleaorio ax(, Z i - P ) è funzione di Z i ce non copare nella descrizione degli eveni del ipo K, per l ipoesi () si a ce E(ax(, Z i - P ) K) = E(ax(, Z i - P )) = k) per ogni K di probabilià posiiva. Consegueneene, (.3) E[ax(, Z - P ) Y k] E[ax(, Z - P ) k] i i Tenendo ancora cono dell ugual disribuzione dei Z i = k, ponendo E[ax(, Z - P )] per la speranza aeaica a secondo ebro della (.3), si a E(X Y ) k Pr( k Y )ke(ax(, Z - P )) E(ax(, Z - P ))E( Y ). 9

27 Si oiene infine (.4) E(X ) Pr(Y )E(ax(, Zi - P ))E( Y ). Per calcolare l esborso aeso in bisogna quindi risalire alle disribuzioni di Y e di Y =, =,,. oe quese disribuzioni e assegnaa la disribuzione del danno del singolo sinisro, se P è un preio di riferieno fissao (per es. fissao in e cosane nel epo) la (.4) fornisce l esborso aeso in, la Y ) P, Pr( fornisce il preio aeso in ; per oenere invece il preio di equilibrio, la E(X ) =, cioè la P ))E( Y ) Pr(Y ) Pr( Y )E(ax(, Z - P, va visa coe equazione in P..3.3 Procedieno ricorrene Ineressa ora eere in evidenza ce basa assegnare le disribuzioni di probabilià della classe Y di apparenenza nel prio anno, del danno Z del singolo sinisro, del nuero dei sinisri nel prio anno e la arice delle probabilià condizionae di ransizione per il processo, >, per oenere in odo ricorrene le disribuzioni ce ineressano. Daa la disribuzione del danno del singolo sinisro, F(z) Pr(Z z k), i k >, la disribuzione di Y + si può oenere a parire dalle disribuzioni di Y e di (Y, ). Si a infai (.5) Pr( Y ) Pr(Y R r) Pr(Y )Pr(R r Y ). (,r) ( j) (,r) ( j)

28 Osservao ora ce Pr(R Y ) Pr( k [ k A () (k)] Y ) k Pr( k Y )Pr( k i (Z i P ) Y k) k Pr( k Y )Pr( k i (Z i P k)), dove l ulia uguaglianza è dovua all ipoesi () (ciò si giusifica con considerazioni analoge a quelle ce anno porao alla (.3)). Sfruando l ipoesi (), si oiene Pr( R k Y ) Pr( k Y )F( P ). k Analogaene, si ricavano poi le Pr( R Pr( R Y ) Pr( k Y )k, k k ( F( P ) F( P ) Y ) Pr( k Y ) ) k k k ( F( P ) F( P e consegueneene, per copleeno a, la

29 Pr(R 3 Y ) k Pr( k Y ) k F( P ) k ( F( P ) k k k F( P ) ( F( P ) F( P ). La sosiuzione di quese espressioni nella (.5) osra, coe deo, ce la disribuzione di probabilià della classe di apparenenza in + riane deerinaa se sono dai il preio di riferieno in, la disribuzione di Y e la disribuzione congiuna di (Y, ), Per ques ulia si a: (.6) Pr( Y j k) Pr(Y R r k). (,r) ( j) Se r =, gli addendi a secondo ebro sono del ipo Pr(Y n [ n A () (n)] k) n Pr(Y n A () (n) k) n Pr(Y n) Pr(A () (n) Y n) Pr( k Y n A () (n)). Coe già osservao si a Pr( A. () n (n) Y n) F( P ) Inolre, se l eveno a probabilià posiiva, riesce

30 () Pr( k Y n A (n)) Pr( k, n) cioè, condizionaaene alla conoscenza del nuero di sinisri ce si sono verificai in, il nuero dei sinisri dell anno + è socasicaene indipendene dalla classe occupaa dal riscio in e dalle enià dei danni dell anno. Quesa uguaglianza si giusifica facilene osservando ce l eveno ipoesi si può rappresenare coe soa logica (finia) di eveni del ipo ((Y = j) E A), con E logicaene dipendene da,, -, ed A logicaene dipendene da Z is, s, i n s, n = n (in seguio alla rappresenabilià di (Y = ) coe soa logica di eveni del ipo (.)). Condizionaaene ad una generica di quese ipoesi di probabilià posiiva, per l ipoesi (3) si a Pr( k Y j E A) Pr( k E). Ricordando ora ce E è un eveno del ipo k... k k) (, per l ipoesi arkoviana sul processo di arrivo dei sinisri si a Pr( n Y j E A) Pr( k k) e la probabilià finale è sepre la sessa, qualunque sia l eveno condizionane di () probabilià posiiva preso ra quelli di cui (Y n A (n)) è soa logica. Allora è pari a Pr( k n) ance la probabilià dell eveno condizionao alla soa logica. Perano, Pr(Y n R k) n Pr(Y n) n F( P ) Pr( k n). Analogaene, per gli alri addendi si anno le 3

31 4 ), n k Pr( ) P F( ) P F( n)n Pr(Y k) R n Pr(Y n n ), n k Pr( ) P F( ) P F( n ) P F( ) P F( n ) P F( n) Pr(Y k) 3 R n Pr(Y n n n n Sosiuendo nella (.6) si oiene ce la disribuzione congiuna di (Y +, + ) dipende dal preio di riferieno in e dalla disribuzione congiuna di (Y, ), olre ce dalla disribuzione del danno del singolo sinisro e dalle probabilià condizionae di ransizione del processo, >. Ci si deve preoccupare ora di assegnare le disribuzioni del danno del singolo sinisro. Quelle di Y e e la arice delle probabilià condizionae di ransizione. Si possono pensare assegnae ali probabilià in quano siabili dai dai. Per l indipendenza socasica di Y e è allora assegnaa ance la disribuzione congiuna di (Y, ). Traie la (.4) con =, si può oenere l esborso aeso del prio anno in funzione del preio di riferieno P. Sepre in funzione di P, si può poi oenere il preio aeso del prio anno. Dall equazione, E(X ) = si può ricavare, aleno in via nuerica, il preio di equilibrio del prio anno. Ricorrendo alla (.6) e segueni, con =, possiao ora risalire alla disribuzione congiuna della coppia (Y, ) e, raie la (.5) e segueni, alla disribuzione di Y e quindi a quelle di Y =, =,,. Da esse si possono poi oenere l esborso aeso e il preio aeso del secondo anno in funzione del preio di riferieno del secondo anno. Se si pensa di conservare coe preio di riferieno del secondo anno il preio di equilibrio del prio anno, si porà

32 valuare la differenza ra preio aeso e esborso aeso. Si porà inolre, risolvendo l equazione E(X )= nell incognia P, ricavare il preio di equilibrio del secondo anno. Procedendo in odo ieraivo si oengono così le disribuzioni di Y, di (Y, ) e di, raie le quali, usando le (.4) e le Pr( Y ) P, si possono ricavare l esborso ed il preio aeso in, se P è assegnao, oppure ricavare il preio di equilibrio in. Si osserva ce le disribuzioni di probabilià di Y, e di (Y, ) dipendono dalla sequenza dei prei di riferieno relaivi alle epoce precedeni. Porà allora avere ineresse confronare le disribuzioni oenue anenendo cosane il preio di riferieno (per esepio uguale al preio di equilibrio del prio anno), con quelle ce si oengono adoando in ogni anno il preio di equilibrio coe preio di riferieno. Si è già soolineao ce se la colleivià è oogenea e ciusa le quanià ce sono sae deerinao per il generico assicurao pereono di sudiare l evoluzione della colleivià al variare del epo. Per sudiare l evoluzione di una colleivià apera occorre apporare alcune odificazioni. Il problea viene affronao nel prossio paragrafo..4 Processo arkoviano di arrivi. Colleivià apera Per affronare il problea della francigia nel caso della colleivià apera si può agevolene recuperare il odello generale descrio al paragrafo.3. Perano con riferieno a ale odello ora si riporano i prii passi del procedieno, indicando, per il generico assicurao, con p nk le probabilià condizionae di ransizione per il processo del nuero dei sinisri, k, n,,. Per l ipoesi di oogeneià della colleivià iniziale si può supporre ce gli individui preseni abbiano, nel prio anno, ui la sessa probabilià di apparenere alla classe, ce indiciao con p () (). Indiciao poi con p () (,k) la coune probabilià congiuna di apparenere alla classe e di avere nel corso dell anno k sinisri. 5

33 Per un assicurao presene nella colleivià all epoca, si a (vedi (.5)) Pr( Y ) Pr(Y j )Pr(R r Y j ). ( j,r) () La Pr(Y = ) è la probabilià, condizionaa alla presenza dell assicurao nella colleivià fin dall inizio, di apparenere alla classe nel prio anno. Poicé gli assicurai inizialene preseni anno ui la sessa probabilià di apparenere alla classe, possiao porre Pr(Y = ) = p () (), =,,. Per il secondo faore a secondo ebro si a Pr(R (r) r Y ) Pr( n Y )Pr(A (n) Y n ) n dove le probabilià ce copaiono a secondo ebro riguardano un assicurao presene nella colleivià nel prio anno. Per le ipoesi accole e per quano viso al paragrafo precedene, se F è la funzione di riparizione del danno del generico sinisro e P il preio di riferieno del prio anno, per r =,, si a Pr(A n r n r F( P ) F( P. r (r) (n) Y n ) ) Allora dea p () (k ) la probabilià condizionaa di avere nel prio anno n sinisri essendo in classe (coune per gli assicurai ce fanno pare della colleivià inizialene), per r =,,, si oiene Pr(R n r n r F( P ) F( P, () r Y ) p (n ) n r ) dove p () (n )=a(n). La Pr( R 3 Y ) riane deerinaa per copleeno a uno. Si ricava allora la Pr(Y = ) e sosiuendo nella (.7), con =, la 6

34 Pr(Y = ). La probabilià di apparenere nel secondo anno alla classe così deerinaa per l assicurao in esae, è coune a ui gli assicurai preseni nella colleivià nel secondo anno: indiciaola con p () (), =,,. Ineressa ora considerare, per l assicurao in esae, la disribuzione congiuna di (Y, ) (vedi (.6)). Pr( Y. k ) Pr(Y j R r k ) (j,r) () Gli addendi a secondo ebro sono probabilià couni a ui gli assicurai preseni nella colleivià fin dall inizio e, coe si è deo nel paragrafo precedene, sono iediaaene ricavabili dai dai. Riesce, per r =,,, Pr( Y R r k ) n p () (n n ) r r n r F(d ß P ) F(d ß P ) p. nk Per copleeno rispeo alla () k ) p (,n) pnk n Pr( Y, riane deerinaa ance la Pr( Y R 3 k ). Si ricava allora la Pr( Y k ) ce sosiuia nella (.8), con =, peree di calcolare la Pr( Y k ). Tale probabilià, indicaa con p () (,k), è coune a ui gli assicurai preseni nella colleivià nel secondo anno. Si prosegue ora seguendo il procedieno sopra delineao. Se, per il generico assicurao presene nella colleivià nell anno, si indica con p () () la probabilià di apparenere alla classe nell anno, con p () (,k) la probabilià congiuna di apparenere alla classe e di avere nel corso dell anno k sinisri e con p () (k ) la probabilià condizionaa di avere nell anno k sinisri essendo in classe, si oengono le segueni relazioni ricorreni: 7

35 p ( ) () p () ( j,) () (j) n p () (n j)f( j j n P ) p ( j,) ( ) p () ( ) ( j,) () (j) (j) n n p p ( ) ( ) (n j)n n (n j) F( P ) j j F( P ) j j F( j F( P ) j j j n P ) n ( j,3) () p (j) () n p () (n j)f( j P ) j n n F( P ) j j F( P ) j j n n n F( P ) F( P ) ), j j j j s Dove p () () p (, j) (k j), ovviaene si p () (j), alrieni non serve () p (j) deerinarla percé il corrispondene addendo è nullo in forza del faore p () (j) =. Per le disribuzioni congiune si a 8

36 p ( ) (,k) (,) ( ) n p () (,n)f( P ) n p nk (,) ( ) n p (,) () n p ( ) () (,n)n n (, n) F( P ) F( P ) F( F( P ) n P ) p nk n p nk (,3) () n p ( ) (,n) F( P ) n n F( P ) F( P ) n n n F( P ) F( P ) p a(k). nk s Traie le disribuzioni così oenue si possono ora calcolare, analogaene a quano fao al paragrafo.3 le sequenze dei prei edi, degli esborsi edi e dei prei di equilibrio..5 Processo Poisson-gaa. Colleivià ciusa Con riferieno allo sesso odello con francigia presenao al paragrafo., liiaaene al caso della colleivià ciusa e aribuendo lo sesso significao ai siboli, si considera la variane al odello assuendo ce il processo Y =, > sia di ipo Poisson-gaa. Coe in precedenza indiciao con r, c i paraeri della disribuzione isurane Gaa. La siuazione è analoga a quella descrio nel Capiolo assuendo le sesse ipoesi sul processo, > ; ovvero i calcoli per oenere la disribuzione di ( + Y = = k) crescono in coplessià al crescere del epo. 9

37 Perciò, in odo analogo a quano descrio nel paragrafo., si considera una approssiazione, da applicarsi ad ogni passo del procedieno. Coe disribuzione di + Y = si prende una disribuzione binoiale negaiva con gli sessi prii due oeni di quella oenua con le relazioni ricorsive e si ipoizza ce il processo Y =, > sia di ipo Poisson-gaa. Con quese ipoesi, si possono calcolare agevolene ue le quanià ce ineressa valuare. Enriao ora più in deaglio. Le ipoesi di indipendenza subordinaa ce facciao sono le segueni. Maneniao le ipoesi (), () del paragrafo.3 e sosiuiao la (3) con la seguene (3 ) condizionaaene ad Y = = k, + sia socasicaene indipendene da Z i, >, =,,,... Con riferieno ad un conrao e al -esio anno, se si considerano i processi Y, > della classe Bonus-alus occupaa,, > del nuero dei sinisri e Z i, > degli ipori di danno. Al poso del processo R, inio ra 3 e nuero dei risarcieni, consideriao direaene il processo del nuero dei risarcieni ce conveniao ad indicare con R. La (.5) si può riscrivere nel odo seguene (.7) Pr( Y j) Pr(Y R r). (,r) ( j) E facile provare ce se sono noi F, la funzione di riparizione del danno per singolo sinisro,,, rispeivaene il coefficiene del sisea bonus-alus e l aliquoa di francigia, allora la disribuzione di Y + è deerinaa dalla disribuzione di (Y, ). Infai, indicando sepre con P il preio di riferieno per l anno, con passaggi analogi a quelli effeuai in.3.3, si prova ce per ogni r =,,, vale la 3

38 Pr(R r Y ) Pr( k [ k A ( r) (k)] Y ) k Pr( k Y ) Pr(,k j,..., j r [(Z j P )... (Z j r P ),k s j,..., j r (Z s P )] k. Se ora si pone a(,,k,r) k r r k r ( F( P ) F( P ) r k r k per ogni k =,, ed r =,, allora si oiene Pr(R r Y ) k Pr( k Y )a(,,k,r). Sussise perano la relazione Pr(Y k)a(,,k,r) (,r) ( j) k (.8) Y j) Pr(. Ques ulia relazione ee in evidenza quano si voleva verificare, viso ce la probabilià a(,, k, r) dipende solo da F e da,. Con riferieno alla disribuzione congiuna di (Y +, + ) si può scrivere 3

39 (.9) Pr(Y j g) Pr(Y R r g). (,r) ( j) Se r =, gli addendi a secondo ebro della suddea equazione sono del ipo Pr(Y k [ k A () (k)] g) k Pr(Y k A () (k) g) k Pr(Y k) Pr(A () (k) Y k)pr( g Y k A () (n)). Coe già osservao si a () k (k) Y k) F( P ) Pr( A. Inolre, per l ipoesi (3 ), riesce Pr( () k Y n A (n)) Pr( k Y n). Perano, Pr(Y k A () (k) g) k Pr(Y k) k F(d ß P ) Pr( g Y k). Analogaene, per gli alri addendi, ovvero per r =,,..., si a 3

40 Pr(Y k A (r) (k) g) k Pr(Y k)a(,,k, r)pr( g Y k), Sosiuendo nella (.9) si oiene ce la disribuzione congiuna di (Y +, + ) dipende dal preio di riferieno in e dalla disribuzione congiuna di (Y, ), olre ce dalla disribuzione del danno del singolo sinisro e dalla disribuzione di probabilià del processo { + Y + = = n, > }. Si a infai (.) Pr(Y j g) Pr( (,r) ( j) r Pr(Y g Y k) k)a(,,k,r) Descriviao in deaglio i passi del procedieno ricorrene. Al passo = : La disribuzione di Y e daa. Poicé il processo Y =, > per ipoesi è di ipo Poisson-gaa, calcolo per ogni e per ogni k, le probabilià Pr( k Y ) r k r k c c r k c e perano il nuero aeso di sinisri e la dispersione dal valore edio nel periodo, nello sao di inforazione iniziale è dao da r r. E( ) e VAR( ) c c c I paraeri r, c della disribuzione, si possono siare dall osservazione del nuero di sinisri riporai da assicurai preseni in classe, per esepio araverso il eodo dei oeni. 33

41 Allora la disribuzione congiuna si oiene iediaaene dalla seguene relazione Pr( k Y ) Pr( k Y )Pr(Y ). Deerino i preio di equilibrio P risolvendo l equazione in P P Pr(Y ) E(X) Pr(Y )E[ax(, z P)]E( Y ) Calcolo per ogni, =,, : a(,,k, r) k r r k r ( F( P ) F( P ) r k r k per ogni k; k =,, e per ogni r; r =,,. Così per ogni r posso calcolare Pr(R k r Y ) Pr( k Y )a(,,k,r), ed infine Pr( Y R r) Pr(R r Y )Pr(Y ). Al passo = : Calcolo Pr(Y = j) con la (.8). Per l ipoesi Posisson-gaa, Y = = k è binoale negaiva di paraeri (r +k, c +). 34

42 Calcolo quindi la Pr( g Y j) con la (.). Risolvendo l equazione P Pr(Y ) Pr(Y )E[ax(,z P)]E( Y ) calcolo il preio di equilibrio P e quindi a(,,k,r). Dalla disribuzione di (Y, ) calcolo i oeni prio, e secondo, v della disribuzione di Y = con una binoiale negaiva di paraeri e v, e faccio l ipoesi Poisson-gaa per il processo + Y =,. I paraeri della isurane si deerinano risolvendo il sisea v r c r c c Al generico passo, per +: si calcola per ogni, =,, : a(,,k,r) k r r k r ( F( P ) F( P ) r k r k per ogni k; k =,, e per ogni r. Inolre si deerinano Pr( g Y k), 35

43 Applicando, per ogni classe di erio, l approssiazione descria nel paragrafo.4., ovvero ce il nuero aleaorio + Y + = = k si disribuisce secondo una binoiale negaiva (r+k,c+) con paraeri c ed r soluzione del sisea seguene: v r c r c c dove e v sono rispeivaene la speranza aeaica e la varianza di Y =. Si deerina così la congiuna Pr( g Y j) (,r) ( j) k Pr(Y k) Pr( g Y k)a(,,k,r). Infine, dalle relazioni sopraciae, si possono calcolare le quanià a cui si è ineressai: Pr( Y j) Pr(Y k)a(,,k,r) (,r) (j) k e Pr(R r Y ) Pr(R r Y ). Pr(Y ) 36

44 CAPITOLO 3 AUTOLIQUIDAZIOE 3. Inroduzione Fin qui si è rascurao un aspeo iporane e cioè ce regole evoluive foreene penalizzani inducono l assicurao a raenere sinisri di lieve enià in visa di eviare più onerosi aggravi di preio. Queso coporaeno, definio ediane il erine auoliquidazione di sinisri (oppure, secondo la erinologia anglosassone, Bonus unger ), si riflee sulla disribuzione degli assicurai ra le classi Bonus-alus e sulla valuazione delle alre quanià presenae nei capioli precedeni, per esepio sull evoluzione nel epo dei prei di equilibrio. Analisi su queso fenoeno pereono di indicare quale effeo può essere aeso dalla inroduzione di sisei Bonus-alus paricolarene penalizzani, cioè per sisei nei quali assue un concreo rilievo il fenoeno dell auoliquidazione dei sinisri da pare degli assicurai. In queso capiolo viene proposa una foralizzazione del coporaeno dell assicuraore aeno ce fa delle valuazione econoice pria di denunciare o eno un sinisro. L iposazione seguia si rifà direaene in quella presenaa nel lavoro Recursive Procedures o Evaluae Bonus-Malus Syses (Gigane. P., Picec L., Sigaloi L.; 999). el paragrafo 3. viene descrio il coporaeno aeno dell assicurao, viene inrodoo il conceo di soglia di auoliquidazione e viene faa una proposa di calcolo approssiao della sessa. el paragrafo 3.3 viene presenao il procedieno ricorrene per una colleivià di risci ciusa a nuovi ingressi ed uscie. Successivaene in 3.3. viene consideraa l ipoesi arkoviana oogenea e in 3.3. l ipoesi Poisson-gaa. In 37

45 3.3.3 il odello viene generalizzao ogliendo la resrizione dell'auoliquidazione di al più un sinisro nel periodo di valuazione. 3. Auoliquidazione e soglie di auoliquidazione In generale si può rienere ce la decisione di denunciare o eno uno o più sinisri venga presa eendo a confrono l'iporo dei sinisri con le conseguenze delle denunce. Le conseguenze di una denuncia dipendono dalla classe occupaa dall assicurao, dalle regole evoluive del sisea Bonus-alus e dai coefficieni di erio. Per valuare convenienza o eno della auoliquidazione anzicé ragionare in erini di coporaeno oiale, si considererà un coporaeno ragionevole da pare degli assicurai (v. ance Gerber (99), Piacco (978)). Per arrivare a quanificare le conseguenze di una denuncia si suppone ce (i) la decisione se denunciare o eno un sinisro venga presa alla scadenza del periodo conrauale annuo, (ii) l assicurao guardi alle conseguenze econoice delle sue decisioni solaene in un inervallo di epo di T periodi (si può pensare a T = 5 o ance eno), (iii) ce in quesi T periodi l assicurao non ripori sinisri. In quese ipoesi la sequenza delle classi occupae divena cera e, assegnai i prei di riferieno, sono deerinabili le conseguenze del denunciare o raenere uno o più sinisri. Una uleriore seplificazione ce viene faa per eviare calcolo roppo laboriosi, consise nel (iv) valuare l opporunià dell auoliquidazione solaene nel caso in cui si sia verificao esaaene un sinisro e supponendo quindi ce in presenza di due o più sinisri essi vengano lasciai all assicuraore. Quesa approssiazione non rende inaendibili i risulai essendo bassa la probabilià ce in un periodo si verificino due o più sinisri. Counque essa verrà riossa nel sooparagrafo Ineresserà vedere a queso puno coe si perviene, in quese ipoesi, alla soglia di auoliquidazione cioè all iporo assio ce conviene auoliquidare. I ragionaeni ce seguono, rispecciano la siuazione paricolare di un assicurao sooposo alla noraiva ialiana ce si rovi in classe, con > T, al epo 38

46 (enro T+ non raggiunge la classe ) e ce in ale periodo abbia riporao un sinisro. Allora due sono le azioni possibili: raenere il sinisro, e allora l assicurao pagerà coe prei nei periodi +,, +T l iporo P () () = P c P c + - v + + P c +T -T v T-, dove P c +i rappresena il preio di riferieno coprensivo dei caricaeni relaivo al epo +i; i =,, T e v rappresena il faore finanziario annuo di aualizzazione; lasciare il sinisro all assicuraore, in queso caso l assicurao pagerà negli sessi periodi, P () () = P c P c + + v + + P c +T +-T+ v T-. All epoca i prei P c +, P c +,, P c +T non sono noi. Per fare una valuazione dei due ipori ci si porà servire delle approssiazioni segueni: e P () () = P c ( v + + -T v T- ), P () () = P c + ( v T+ v T- ), dove per P c = P (+c) possiao prendere il preio di equilibrio del periodo opporunaene caricao, indicando con c l aliquoa edia di caricaeno forfeario. La differenza ra quesi due ipori (3.) () = P () () - P () () 39

47 fornisce la soglia di auoliquidazione relaiva alla classe valuaa al epo, cioè l iporo assio ce converrà auoliquidare. In paricolare indicao con z l iporo di danno di un sinisro allora l assicurao agirà secondo la seguene regola decisionale: se z > () denuncia il sinisro, alrieni per ipori di danno inferiori alla soglia l assicurao paga lui sesso il danno e perciò non denuncia il sinisro. E uile osservare ce la soglia () viene a dipendere dalla classe di erio del sisea Bonus-alus e dal epo raie il preio di equilibrio caricao. 3.3 Processo delle denunce. Il procedieno ricorrene nel caso di auoliquidazione Con riferieno ad un conrao e al -esio anno, olre ai processi Y, > della classe Bonus-alus occupaa,, > del nuero dei sinisri e Z i, > degli ipori di danno; si considera ance il processo delle denunce D, >. Perano, la (.5) si può riscrivere nel odo seguene (3.) Pr( Y j) Pr(Y D d). (,d) ( j) E facile provare ce se sono noe la funzione di riparizione del danno per singolo sinisro, F e le soglie di auoliquidazione al epo, (), allora la disribuzione di Y + è deerinaa dalla disribuzione di (Y, ). Infai sussise la seguene relazione (3.3) Pr( Y D d) Pr(Y k) Pr(D d Y k). k ell ipoesi ce si sia verificao un sinisro, abbiao le segueni probabilià di denuncia 4

48 Pr(D Y ) Pr(Z Y ) F( () () ), Pr(D Y ) Pr(Z () Y ) F( ( ) ), si osserva ce ale espressione sussise poicé si assue l indipendenza degli ipori dai danno dalla classe Bonus-alus. (Foralene l ipoesi è Pr( Z z Y ) Pr(Z z ) F(Z)). el caso ce si siano verificai k sinisri, si a Pr (D d Y k) k, d k, d k k o k, d, dao ce nel caso di due o più sinisri quesi vengono lasciai all assicuraore. Se si pone a(,,k,d) () F( ) F( () ) k k k k, d, d, d, d k k o k, d, allora si oiene k (3.4) Pr(Y D d) Pr(Y k)a(,,k,d) e dunque sussise la relazione Pr(Y k)a(,,k,d). (,d) ( j) k (3.5) Pr( Y j) 4