Universal performance measure: una generalizzazione

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1 Gestioe degli ivestimeti l Appofodimeti Uivesl pefomce mesu u geelizzzioe L vlutzioe del ischio e dell pefomce costituisce u'ttività qutittiv fodmetle del settoe fiziio, sempe poto d ccogliee co gde iteesse uove modlità di misuzioe. U delle pocedue ecetemete itodotte è l cosiddett uivesl pefomce mesue (vlutzioe uivesle dell pefomce). Theofis Dsios e Stephe Stchell dimosto che, di ftto, ess costituisce u cso specile di u clsse di misue e o ecessimete l miglioe dell su clsse. Le metodologie qui poposte poto tuttvi ttie l'iteesse di cosuleti e fud mge pe l loo cpcità di pesete siteticmete il ppoto ischio fiziio/pefomce. Qudo le distibuzioi soo simmetiche e il clssico modello di medi-viz CAPM (cpitl sset picig model) è vlido, le misue dell pefomce possoo essee icvte diettmete dl modello stesso. Nello specifico, l idice di Shpe, itodotto i Shpe (966), è l idictoe più coosciuto e più comuemete utilizzto. Esso viee defiito come il sovedimeto tteso di u ivestimeto w ispetto u bechmk/puto di ifeimeto (vle die, E[(w )]), diviso pe l coispodete devizioe stdd. Secodo l clssic teoi di Shpe, è il tsso di edimeto pivo di ischio f.. Più ecetemete, u vesioe geelizzt (Shpe, 994) deomit ifomtio tio, h sostituito il tsso pivo di ischio co il bechmk bitio. Alti idictoi pe l vlutzioe dell pefomce di u potfoglio di ivestimeti co ifeimeto u bechmk soo l lph di Jese e l idice di Teyo. Di coveso, qudo i edimeti soo simmetici e i picipi di medi-viz iefficieti, gli idictoi sopcitti o colgoo più le ctteistiche essezili dell distibuzioe. Il poblem è mpimete icoosciuto i fiz, o d ultimo cus dell pesez di skewess ei dti fizii, m è solo di ecete che soo stti tovti dei imedi. Nei pimi i 9, Sotio e V de Mee (99) ho idividuto i puti deboli dell idice Shpe e itodotto u misu dell pefomce coett pe il ischio, ot come idice di Sotio. Quest ultimo, l equivlete dell idice di Shpe pe l voltilità dowside, coside il sovedimeto tteso (w ) sul bechmk, diviso i questo cso pe l misu del ischio di ibsso (il secodo mometo pzile più bsso). Più ecetemete, Ketig & Shdwick () e Csco, Ketig & Shdwick (), ho itodotto u uovo idictoe coosciuto come fuzioe omeg, defiito come il ppoto f pyout di u opzioe cll vitule E[mx(w, )] ispetto l pyout dell coispodete opzioe put E([mx( w, )]. Idicto dgli stessi utoi come u uivesl pefomce mesue, d esso deiv il titolo del pesete ticolo (che cotiee t l lto ifomzioi ppofodite sull fuzioe omeg e sull idice di Sotio). L obiettivo del pesete lvoo è pie u dibttito, offedo el cotempo u geelizzzioe del modello e lcui uovi isultti. Dimosteemo come l fuzioe omeg ppeseti u specilizzzioe di u misu del ischio deivt dll Pospect Theoy e come tle god di lcui vtggi ispetto quelle deivte dll teoi dell utilità ttes. Ess è coeete co l domiz stocstic e può essee itepett come l idice di Sotio o lte vlutzioi che dividoo il sovedimeto tteso pe u qulche misu del ischio di ibsso (si ved d esempio, t gli lti, Sotio & Stchell,, e Kight & Stchell, ). Come mosteemo el pesete ticolo, olte d essee fcile d clcole umeicmete, ess cosete di deive fomule esplicite pe detemite distibuzioi. L icec è ticolt come segue. Nell possim sezioe, ppofodiemo quelle che soo le ctteistiche ilevti dell Pospect Theoy pe iute quei lettoi che ho poc fmiliità co l gometo. Successivmete idividueemo il collegmeto t l Pospect Theoy e l fuzioe omeg, sviluppdo espessioi pe le fuzioi omeg geeli (geelised uivesl pefomce mesues). Nell sezioe successiv itoduemo il cocetto di domiz stocstic, lizzdo i isultti dell domiz e dell coeez dell fuzioe omeg. I seguito espoemo lcui isultti litici e evideze empiiche sull bse degli idici FTSE e S&P 5, pe psse ifie lle coclusioi. Avvesioe l ischio, Pospect Theoy e vlutzioe dell pefomce Come sottolieto d Rbi & Thle (), l ipotesi di mssimizzzioe dell utilità ttes, già sufficietemete citict i pssto, o h sputo spiege il compotmeto degli idividui i codizioi di icetezz. Coseguetemete, si f sempe più std l ide che l vvesioe l ischio poss essee descitt meglio estededo il qudo dell utilità ttes co l Pospect Theoy. Quest ultim (v. Khem & Tvesky, 979, e Tvesky & Khem, 99) costituisce u ppoccio l pocesso decisiole che misu l utilità di gudgi e pedite ispetto u puto di ifeimeto. Se fosse fisso, o diffeiebbe dlle fuzioi di utilità di Vo Newm-Mogeste sosteute d Fishbu & Kochebege (979). L diffeez dipede dl ftto che è vibile e spesso dipedete dll icchezz iizile w. U ulteioe diffeez t l Pospect Theoy e l utilità ttes, di cui o discuteemo i quest sede, è che ell pim il pocesso decisiole si bs su pobbilità tsfomte Le ctteistiche peculii dell Pospect Theoy cumultiv soo l k-depedece, l efeece depedece e l sig-depedece. Di ecete, Schmidt (3) h ppofodito l efeece depedece el qudo dell Pospect Theoy cumultiv, foedoe u'ssiomtizzzioe. Idubbimete, deive l fom fuziole geele ichiede spesso codizioi complesse, olte lle popietà stdd (cotiuità, odimeto debole, domiz stocstic). Schmidt (3) utilizz tli cocetti come coeez di tde-off comooto di tipo sig-depedet. L complessità delle codizioi decesce qulo si pefeisc u pticole fom pmetic pe l'utilità. ESTATE 5 RISK ITALIA 35

2 Appofodimeti l Gestioe degli ivestimeti f(p), tle che eveti impobbili quli le opzioi out-of-the-moey soo cosidete più pobbili di quto le loo pobbilità oggettive p lscio itedee (vle l iveso pe gli eveti più pobbili). Nell Pospect Theoy, l descizioe complet delle pefeeze implic l defiizioe dell fuzioe di utilità ispetto, V- >. Quidi, defiedo U(.) l utilità, w l icchezz (file) e (w ) il puto di ifeimeto, si us scivee l fuzioe di utilità come segu E w > ( p )+( ) E w w pob w > + E w w p ob w + p (6) (7) pe le fuzioi cesceti U (.) e U (.). Tlvolt, pe eftizze l simmeti t i gudgi (w ) e le pedite ( w), scivimo (): U( w) U( w) if w> pe () U > ( w) if w. Tle specific pot il ome di fuzioe di utilità co vvesioe lle pedite. Suppoimo che pe o stocstico cosideimo l fuzio Tle fuzioe misu l utilità ttes dei gudgi divis pe (meo) l utilità ttes delle pedite e ppe come u tule itepetzioe dell pefomce. Petto, se w e w fosseo due pobbilità csuli e ψ w () > ψ w () pe tutti gli, ψ sà u sistem gioevole pe vlute gli ivestimeti ltetivi, poiché ψ w () umeteà se w peseteà il gudgo tteso più elevto e l pedit ttes più idott, popio come u idice di Shpe più elevto è implicito i u medi supeioe e i u devizioe stdd ifeioe. Come idicto d umeosi utoi, suppoimo o di defiie i pmeti di U (.) e U (.) co: llo: dov U ( w ) ( w) U ( w) w ψ w ψ w E w w ψ E ( w) w E w w U( w) U( w) if w> U w if w > E U w w / ( ) E U ( w) / w > ( ) w pdf w dw pob w deot l -esimo mometo pzile codizioto più bsso e similmete + deot l -esimo mometo pzile codizioto più elevto ed è defiito logmete ll equzioe (5). So popio queste ultime defiizioi d essee oggetto di ulteioi clcoli. Si cosidei: + () (3) (4) (5) dove p pob(w ). Petto: Ulteioi clcoli seguoo dl ftto che E[w], poiché: Deotdo o il mometo -esimo itoo ll medi com ( ), bbimo: Quidi: (8) (9) () () Csco, Ketig e Shdwick () defiiscoo l fuzioe omeg (uivesl pefomce mesue) com dov ψ ψ E w E ( w + ) E w ( ) ( p ) E w p lim ψ ψ ( ) p E w Ω mx, I ( ) E mx w, I I F w dw ( ) b I F w dw b e D [, b] è il domiio dell distibuzioe F(.). Riscivedo quto sop com p ( ) p ( ) p ( ) p p p 36 RISK ITALIA ESTATE 5

3 e similmet I F( w) dw wf ( w) wf w dw F E w w F E w w p Ω p + p Se optimo pe u distibuzioe scle ivit, geelizzdo l idice Shpe, otteimo l seguete geelised uivesl pefomce mesue : ( ) E w w> ( F ) ( F ) b I F w dw E w w> p ( ) ( Ω ) p p + (3) ossevimo che l fuzioe omeg costituisce u cso specile ( ) dell fuzioe ψ (.) dell Pospect Theoy (defiit dll equzioe (4)): Ad esempio, pe, l fuzioe omeg Ω () coispode ll idice di Sotio 3 tle ch Iolte, d () segue ch O d () bbimo: Quidi: Ω Ω Ω E w w p > E w w p p ψ p ( ) p + p ( p ) p p R + p Ω ( ) p Ω ( ) () Abbimo dimostto che l fuzioe omeg peset u itepetzioe tule di misuzioe dell pefomce e può di ftto essee itepett come u misu che divide il sovedimeto tteso pe u misu di ischio di ibsso. È che iteesste ote come ell lettetu sui gudgi e sulle pedite, Bedo & Ledoit () bbio sviluppto u modello di sset-picig cosidedo l fuzioe gudgo/pedit, defiito come il sovedimeto tteso positivo diviso pe il sovedimeto egtivo tteso i bse u pobbilità coett pe il ischio. Le loo ituizioi possoo essee estese ll fuzioe omeg. È iolte evidete che sull bse dell pecedete lisi, le fuzioi omeg di odie più elevto (ovveo, Ω (), >)possoo che essee descitte dll fuzioe ψ (). Petto, i bse ll fuzioe geele omeg, bbimo: Ω ( ) + p p (4) Si oti tuttvi che, diffeez di Ω (), soo ecessie ifomzioi ggiutive pe clcole l fomul (3). Pedimo petto il ppoto uo uo t l misu dell pefomce coett pe il ischio e Ω (), qudo >. Poiché stimo geelizzdo le pecedeti misue del ischio (v. equzioi () e (4)), vle l pe ote come ll mplimeto dell clsse di misue del ischio coispod u iduzioe dell clsse delle distibuzioi pplicbile ll ost geelizzzioe. Ciò vviee i quto omeg h bisogo solo del pimo mometo, Sotio del secodo, mete + e - dell -esimo. I questo seso, il osto studio costituisce u geelizzzioe e el cotempo u specilizzzioe dell fuzioe omeg 4. Si oti come Fielli & Tibiletti () fccio ifeimeto u vite dell fuzioe omeg giugedo u geelizzzioe log lle oste, te che, el loo cso, il umetoe è u mometo pzile bitio più elevto fote di u deomitoe ffie. I isultti dell domiz e l fuzioe ψ () L gometo dell domiz è di quelli poco utilizzti ell ptic poiché l esistez di ttività/potfogli domiti ceeebbe oppotuità di bitggio. Dicimo che u ttività (D) domi u secod qulo poduc costtemete edimeti miglioi. L domiz stocstic di pimo odie (fist-ode stochstic domice, FSD) è u vite debole dell domiz D i quto ffiché l ttività A domii Si oti come i questo cso il ffoto co l'idice Shpe vveg u dto puto, che o equivle l ffoto co u geelised mesue (d esempio, l fuzioe omeg) poiché tli misue soo ffotte pe tutti i vloi di. 3 L'idice di Sotio coside i sovedimeti ttesi su u sogli obiettivo divisi pe u misu di ischio di ibsso. Si è soliti espimee tle misu com S w pdf w dw dov w pdf w dw È coosciuto come il secodo ptil momet più bsso. Sull bse ll simbologi d oi dottt, l'espessioe equivlete pe l'idice di Sotio è l seguet p I lettoi che o cooscoo l'idice di Sotio possoo tove u mpio ppofodimeto i Rom & Feguso (). 4 Rigzimo u efeee oimo pe vee ttito l ost ttezioe su questo puto. ESTATE 5 RISK ITALIA 37

4 Appofodimeti l Gestioe degli ivestimeti stocsticmete l ttività B, ess o deve ecessimete podue isultti miglioi. Al cotio, l pobbilità che A supei u dto livello di edimeto dovebbe essee più elevt che pe B (geometicmete, ciò equivle l ftto che l cumultive etu distibutio fuctio, CDF di A si tovi sempe sotto (o tocchi) l CDF di B, sez ttvesl. Petto, A peset sempe u mioe pobbilità di bssi edimeti ispetto B. A diffeez delle ttività fiziie domite, le ttività domite stocsticmete possoo di ftto esistee, pu o ppesetdo scelte ottimli pe gli ivestitoi. Co il CAPM, se l ttività A peset u medi supeioe e u ischio ifeioe B, llo tutti gli ivestitoi che si bso sul modello di medi-viz devoo pefeie A, cosicché A domi B. I quest sezioe, lizzeemo il ppoto t le ozioi di domiz stocstic e le ispettive impliczioi pe le geelised uivesl pefomce mesue. Sio X e Y i tssi di edimeto di due pobbilità. Segue diettmete d FSD, deotto d XFSD Y, che se X è pefeito Y pe tutti gli idividui co fuzioi di utilità cesceti llo F X () F Y () V- [, ] (F X (.) e F Y (.) soo le fuzioi di distibuzioe di X e Y. Simo di fote u ppoto di tipo se e solo se (if-d-oly-if). O, FSD implic che E(X) E(Y) e - x - y, dove - x e - y soo i mometi pzili più bssi delle due pobbilità come defiito d esempio dll equzioe (5), tle che bbimo ψ x () ψ y (). Cosideimo successivmete l SSD (secod-degee stochstic domice, domiz stocstic di secodo odie), deott d X SSD Y. Questo cso o iet ell FSD poiché gli idividui possoo vee fuzioi di utilità che o soo ecessimete mootoe cesceti. Ipotizzimo sostzilmete el osto cso che le uiche ifomzioi di cui dispoimo igudio l vvesioe l ischio di u idividuo. Ipotizzimo petto che i tssi di edimeto sio [, ] e che l gmm di fuzioi di utilità D sio quelle vvese l ischio e co deivte pime cotiue, te che pe u sottoguppo [, ]. Si u D u elemeto di D ; llo X SSD Y se e solo s È oto (Hug & Litzebege, 988, sezioe.5) che X SSD Y se e solo s Poposizioe. Se X SSD Y llo ψ x () ψ y () V- [, ]. Pe u dimostzioe, v. ppedice. Cosideimo ifie l MSSD (secod-ode stochstic mootoic domice, domiz stocstic mooto del secodo odie). I questo cso, l gmm di fuzioi di utilità D* è defiit d idividui co vvesioe l ischio e iszibili. È oto (v. d esempio Hug & Litzebege, 988, sezioe.9) che ciò equivle E(X) E(Y) e S(), V- [, ], isultto di u legge ettific delle pecedeti gometzioi. I questo cso, ψ x () ψ y () è coseguez immedit di FSD. Ulteioi ffimeti di ψ x () e ψ y () possoo essee dimostti i temii di domiz stocstic di odie supeioe. Il giometo, te che pe qulche pzile coezioe, ispecchi quto ffemto i pecedez. Il ppoto fodmetle segue d: dov u + x df x u y df y S F z F z dz, p w pdf w dw! F E( X) E( Y) ( X Y ) [ ] X ( + ) Y ( ) A. Sttistiche issutive dei pezzi/edimeti eltivi mesili (ovveo, P t /P t ) eltivi gli idici FTSE e S&P 5 FTSE S&P 5 Vloe miimo,884,854 Vloe mssimo,8857,967 Medi,355,789 Medi (qutile 5%),55,96 Devizioe stdd,434,488 Skewess,587539,556 Cutosi eccedete,7487,47 Qutile %,884,854 Qutile 5%,99,9993 Qutile 95%,6463,785 Not: pile 995-mggio 3. L fuzioe omeg (uivesl pefomce mesue di odie ) pe,,... Ω () F F s ds F pdf s ds () Ne segue immeditmete che pe D* {u; u (.), u (.), u (.),..., u (.)( ) } (ovveo, le fuzioi di utilità le cui pime deivte lteo il loo sego), è coseguez dell popost che pe due,9,95,,5, FTSE S&P 5 Puto di icoto del FTSE co lo S&P 5 co,9. Idice di Sotio (uivesl pefomce mesue di odie ) S FTSE S&P 5 Puto di icoto del FTSE co lo S&P 5 co,949,9,95,,5, RISK ITALIA ESTATE 5

5 lotteie X e Y: ( FX () s FY () s ) ds si và che p x x p y y e poiché u (.) dovemmo iolte vee X Y. Abbimo petto dimostto l poposizioe seguete. Poposizioe. Se X-ode domi stocsticmete Y (NSD), deotto X NSD Y, llo: X p x V-. Pe u dimostzioe, v. ppedice. I bse ll poposizioe, qulsisi idividuo co u D* 3 pefeià l ttività fizii X ll ttività Y se l idice di Sotio ( )di X è mggioe o pi ll idice di Sotio di Y, pe tutti i vloi di. Tuttvi, chiuque co u D* pefeià l ttività fizii X ll ttività Y se l fuzioe omeg di X è mggioe o pi ll fuzioe omeg di Y, pe tutti i vloi di. M qule delle due è più plusibile? Riteimo che l idice di Sotio debb essee pefeito pe il motivo seguete. Se u D* 3 llo è eltivmete semplice dimoste che u(.) deve pesete u vvesioe l ischio ssolut decescete. Quest ultim ozioe, l cui ilevz pe gli ivestitoi è tutto oggetto di gdi discussioi, st d idice che co l umete dell icchezz, umet l ivestimeto deomito i dolli i ttività ischiose. Tuttvi, se u D*, llo u ivestitoe può pesete u vvesioe l ischio ssolut decescete, come el cso dell utilità qudtic. Tle idividuo pefeià ttività fiziie bste su omeg mggioi, oostte l popesioe deteee meo deo i ttività ischiose misu che umet l su icchezz. Quest cosidezioe è lquto peoccupte. Alcui isultti litici Il modo più semplice di pocedee è clcole Ω () o u qulsisi delle misue utilizzdo le seie stoiche. Tuttvi, foimo qui di seguito i osti lettoi più iteessti ll pmetizzzioe lcui isultti litici bsti su u degut pmetizzzioe dell distibuzioe eltiv dei edimeti. 5 U idictoe impotte dell distibuzioe dei pezzi eltivi è ppesetto dll distibuzioe Weibull. Ad esempio, Mittik & Rchev (993), utilizzdo il test di Kolmogoov-Smiov, suggeiscoo che l distibuzioe Weibull si l più dtt descivee i edimeti gioliei dello S&P 5. L distibuzio Weibull è stt iolte ecetemete utilizzt i mbito fiziio d Soette, Simoetti & Adese (), Mlevege & Soette (3) e Scett & Stchell (), pe cite solo lcui. Uo dei suoi puti di foz è ppesetto dll cpcità di modelle le code dell distibuzioe e di foie espessioi chiuse (i temii di fuzioi gmm icomplete) pe mometi pzili, e dll distibuzioe di mometi di fuzioe. Abbimo dimostto ch Ω ( ) p x Y p Ipotizzimo o che il pezzo eltivo dell icchezz w si egolto dll distibuzioe Weibull co u pmeto shpe e u pmeto scle. Ne segue ch 5 Richieste di dimostzioi dei isultti i meito quest sezioe devoo essee ioltte diettmete gli utoi. 6 Risultti ffii soo otteuti utilizzdo l pmetizzzioe di Weibull e soo dispoibili su ichiest d iolte diettmete gli utoi. y y p pob w F exp f w pdf w w w exp (5) (6) L fuzioe omeg, Ω (), el cso di u distibuzioe Weibull co pmeto shpe e pmeto scle, è dt d: Γ + Ω + ( ) Γ Γ exp ( + ) +, (7) dove Γ(z) è l fuzioe gmm clcolt l vloe di z. Iolte, l espessioe litic dell idice di Sotio i bse ll legge di Weibull è l seguet p Γ( + ) ( ( ) ) ( + exp Γ ) Γ +,, ( ) + ( + ) + Γ Γ dove Γ(c, z) è l fuzioe gmm icomplet. L stim dei pmeti di Weibull e può essee effettut utilizzdo divesi metodi litici t cui quello dell egessioe dei miimi qudti, dell mssim veosimigliz e dei mometi. Clcoli empiici. Foiemo qui di seguito u illustzioe empiic dell teoi pecedetemete illustt usdo gli idici FTSE e S&P 5 come due fodi ppesettivi compbili. Ci coceteemo pe semplicità su due delle misue ppteeti ll clsse delle geelised uivesl pefomce mesue pecedetemete discuss. L pim, di odie (ovveo, ( )/( p )Ω () ) che etichetteemo misu omeg pe il ppoto oe-to-oe co l fuzioe Ω ()). L secod, di odie, ovveo: che ppeset l misu/idice di Sotio. Utilizzeemo i pezzi di chiusu mesili pe i due idici el peiodo d pile 995 mggio 3. Successivmete tsfomeemo i dti igudti i pezzi di chiusu i pezzi eltivi (o edimeti eltivi). Ciò sigific fodmetlmete che se P t deot il pezzo di chiusu dell idice l gioo t, defiimo il pezzo eltivo (edimeto eltivo) pe il gioo t come x t P t /P t. L tbell A issume i dti igudti i pezzi/edimeti eltivi mesili pe gli idici FTSE e S&P 5 el peiodo che v d pile 995 mggio 3. Si oti come l skewess dei pezzi eltivi si egtiv pe etmbi gli idici. Pe clcole le vlutzioi dell pefomce ( )/( p ) p o pmeticmete (empiicmete) sostituimo: p ESTATE 5 RISK ITALIA 39

6 Appofodimeti l Gestioe degli ivestimeti ( / N) x t N / t ( t) p N x I N p ( / N) ( xt) It t dove I t deot l fuzioe di idictoe ed è defiito come I t ogi qul volt x t e I t ogi qul volt x t >. L figu poe cofoto il FTSE e lo S&P 5, utilizzdo le ispettive misue empiiche di omeg 6. Ossevimo chimete come l fuzioe omeg del FTSE domii quell dello S&P 5 ell cod siist. Ad esempio, il FTSE deve essee pefeito qudo <,9. È veo il cotio qulo l disugugliz si ivetit e i fud mge co >,9 coveà mggiomete lo S&P 5. Idubbimete o ci ttedimo u outpefomce complet di omeg e di lte misue pe tutti i vloi di poiché, come dimostto dlle poposizioi e, ciò ichiedeebbe u elevt domiz stocstic. Essezilmete ciò suggeiebbe che uo dei due mecti, si esso quello meico o iglese, è idodte. L figu ffot i due fodi medite l idictoe di Sotio. L sostz ime fodmetlmete l stess: l idice di Sotio suggeisce che il FTSE debb essee pefeito ogi qul volt <,95. Tutto ciò potebbe sembe poco sigifictivo i quto u idividuo co u bechmk bsso pefeisce il mecto iglese quello meico mete vle l iveso pe u idividuo co u bechmk elevto. Ciò che cotddistigue i due idividui è l dives vlutzioe del ischio, ppesett dll scelt di. Aivimo quidi l tem cetle dell ost icec: l pssi di ffote l fuzioe omeg o misue simili pe tutti i bechmk è decismete più igoos di quell che coside u detemito puto, qule pputo l lisi clssic medite l idice di Shpe. Coclusioi Il loo lvoo h peso i esme u uov fmigli di misue ischio/pefomce che defiimo geelised uivesl pefomce mesues e t cui oveimo csi specili quli l fuzioe omeg e l idice di Sotio. L uov clsse di fuzioi si ispi ll Pospect Theoy di tipo efeece-depedet, dimostdo di essee comptibile N t t Appedice Dimostzioe dell poposizioe. Se XSSD Y llo S() V- [, ] d (b). Ne segue ch Si oti che p x pob(x ). Similmete si defiisce p y. O, poiché E(X) E(Y) d (), e segue il isultto. Dimostzioe dell poposizioe. NSD implic che V- u D*, E(u(X)) E(u(Y)) il che su volt implic che X Y ( FX s FY s ) ds ( X Y) F z F z dz X Y X + F z F z z zpdf z dz zpdf z dz p x py px x + py y [, ] p ) p x ( () () co l ozioe di domiz stocstic. Abbimo deivto i isultti litici sull bse dell distibuzioe Weibull utilizzdo i pezzi mesili del FTSE e dello S&P 5 ell co degli ultimi otto i, dimostdo così che o simo di fote ll domiz totle di u detemito mecto (il che edeebbe idodte il mecto domito) sebbee vi si pov evidete che il FTSE domii lo S&P 5 pe le mpie pedite bste sui edimeti mesili degli ultimi otto i. Theofis Dsios f pte del guppo di icec eddito fisso e eltive vlue di Deutsche Bk Lod. Stephe Stchell è ede di ecoometi fizii pesso l Fculty of ecoomics d politics dell Uivesità di Cmbidge. Gli utoi desideo igzie due efeee oimi pe i suggeimeti che ho cotibuito l migliometo del loo lvoo. Le opiioi e le ccomdzioi espesse el pesete ticolo iflettoo l opiioe pesole degli utoi e petto o soo d iteesi ppesettive di Deutsche Bk AG. Emil: theo.dsios@db.com, steve.stchell@eco.cm.c.uk x y ( y ) Y Tduzio Dio Mldussi Bedo A d O Ledoit, Gi, loss d sset picig Joul of Politicl Ecoomy 8(), pp Csco A, C Ketig d W Shdwick, The omeg fuctio Wokig ppe, Fice Developmet Cete, Lod Fielli S d L Tibiletti, Shpe thikig with symmeticl pefeeces Mimeo Fishbu P d G Kochebege, 979 Cocepts, theoy, techiques; two-piece Vo Newm-Mogeste utility fuctios Decisio Scieces, pp Hug C d R Litzebege, 988 Foudtios fo ficil ecoomics Noth-Holld Khem D d A Tvesky, 979 Pospect theoy: lysis of decisio ude isk Ecoometic 47(), pp Ketig C d W Shdwick, A uivesl pefomce mesue Joul of Pefomce Mesuemet 6(3), pp Kight J d S Stchell, Pefomce mesuemet i fice Buttewoth-Heiem Fice, Qutittive Fice Seies Mlevege Y d D Soette, 3 VAR-efficiet potfolios fo clss of supe- d sub-expoetilly decyig ssets etu distibutios Di possim pubbliczioi i Qutittive Fice Mittik S d S Rchev, 993 Modelig sset etus with ltetive stble distibutios Ecoometic Reviews, pp RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Rbi M d R Thle, Aomlies: isk vesio Joul of Ecoomic Pespectives 5, pp. 9-3 Rom B d K Feguso, A softwe develope's view: usig postmode potfolio theoy to impove Ivestmet pefomce mesuemet I Mgig Dowside Risk i Ficil Mkets, cu di Sotio e Stchell, Buttewoth Heiem Scett A d S Stchell, The hypecube tsfom Pepit Schmidt U, 3 Refeece-depedece i cumultive pospect theoy Joul of Mthemticl Psychology 47, pp. -3 Shpe W, 966 Mutul fuds pefomce Joul of Busiess, Juy, pp Shpe W, 994 The Shpe tio Joul of Potfolio Mgemet, fll, pp Soette D, P Simoetti d J Adese, fq-field theoy fo potfolio optimiztio: "ft-tils" d o-lie coeltios Physics Repots 335, pp. 9-9 Sotio F d S Stchell, Mgig dowside isk i ficil mkets Buttewoth Heiem Sotio F d R V de Mee, 99 Dowside isk Joul of Potfolio Mgemet, estte, pp. 7-3 Tvesky A d D Khem, 99 Advces i pospect theoy: cumultive epesettio of ucetity Joul of Risk d Ucetity 5, pp RISK ITALIA ESTATE 5

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