Sua maestà l Integrale

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1 CAPITOLO 7 Su mestà l Integrle Con fierezz e sicumer, ecco incedere regle il Signor dell Misur: su Mestde l Integrle. N. Brbecue 1. L re di un sottogrfico: strtegi d ttcco È opinione comune che conoscere l re di un regione del pino si proprietà utile. Tringoli, rettngoli, cerchi e qulche ltr mncit di oggetti non creno problemi di sort, grzie quell snt nim che ci h trmndto (chissà qundo) qule si l formul corrett. M più in generle? Triste l vicend di quel mio mico che comprò un cs form di stell e che spese più di un mese per cpire qunte mttonelle gli occorrevno per rifre il pvimento, per poi ccorgersi di ver sbglito il conto e di dover ricomincire tutto d cpo. Prim di trovrci nelle stesse condizioni, cerchimo di mplire l clsse delle regioni di pino per cui sppimo clcolre l re, o, per lo meno, provimo scoprire un strtegi generle che ci permett di ffrontre il problem. Proprio questo tenttivo ci porterà dritti dritti ll definizione di integrle definito. Tr tutte le miridi di regioni cui possimo pensre, lcune suonno bbstnz fmiliri chi (come noi) h ormi cquisito un cert dimestichezz con le funzioni di un vribile: i sottogrfici di funzioni non negtive. Definizione 1.1. Dt un funzione f : [, b] [0, + ), cioè tle che f(x) 0 per ogni x [, b], l insieme S f = {(x, y) x b, 0 y f(x)} è il sottogrfico di f nell intervllo [, b]. Si noti che, dte due funzioni f e g, il sottogrfico S f di f è contenuto in S g, sottogrfico di g, se e solo se f g. 1

2 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 2 L re del sottogrfico di un certo numero di funzioni è elementre: se f(x) = C 0, il sottogrfico S f di f in [, b] è un rettngolo, l cui re è, d sempre, A(S f ) = (b ) C. Definizione 1.2. Dto l intervllo [, b], un insieme P = {x 0, x 1,..., x n } tle che = x 0 < x 1 < < x n = b è un prtizione di [, b]. L mpiezz dell prtizione P è il numero P := mx{x i x i 1 : i = 1,..., n}. Un funzione f : [, b] R è un funzione costnte trtti (o funzione scl) se esiste un prtizione P = {x 0, x 1,..., x n } di [, b] tle che f è costnte su ogni intervllo [x i 1, x i ) per i = 1,..., n 1 e su x n 1, x n ], ossi { αi x [x f(x) = i 1, x i ) i = 1,..., n 1 α n x [x n 1, x n ] dove α 1,..., α n sono numeri reli. Per un funzione f costnte trtti e non negtiv il sottogrfico non è ltro che un unione finit di rettngoli, vedi Figur 1. L re di S f è dt dll somm delle ree di questi rettngoli: A(S f ) = f(ξ i )(x i x i 1 ) = α i (x i x i 1 ) dove ξ i è un qulsisi punto dell intervllo [x i 1, x i ) (tnto f è costnte in [x i 1, x i )!). (1) Figur 1. Un funzione costnte trtti non negtiv ed il suo sottogrfico. Fccimo conto che per ogni funzione f non negtiv si ben definito un certo numero A(S f ) che è l re del sottogrfico S f (quest ffermzione si rivelerà in (1) Si noti, en pssnt, che se si modific un funzione costnte trtti f in un numero finito di punti, il vlore di A(S f ) rimne invrito. Inftti modifiche di questo genere corrispondono modificre il sottogrfico dell funzione di prtenz di un numero finito di segmenti verticli, ciscuno dei quli h re null.

3 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 3 reltà fls, nel senso che per i sottogrfici di lcune funzioni l re non è definit!). Come determinre A(S f )? Un buon ide, che non si discost di molto dll ide del ricoprire un pvimento con delle mttonelle, è quell di cercre di ricondursi, trmite pprossimzioni, d oggetti di cui si sppi già clcolre l re, d esempio i sottogrfici di funzioni costnti trtti. Inoltre, vle l pen di considerre due pprossimzioni: un ftt trmite un sottogrfico contenuto in quello di cui si cerc l re ed un con sottogrfico che lo contiene. Le due pprossimzioni drnno un stim dl bsso ed un dll lto del vlore che ndimo cercndo. Poi si cercherà di rendere le pprossimzioni sempre più precise. Quindi, dt f : [, b] R non negtiv, considerimo pprossimzioni del sottogrfico S f dte d sottogrfici di funzioni costnti trtti g ed h, con g f h in [, b] (vedi Figur 2()). Un prim osservzione slt ll occhio: per poter stimre per eccesso l funzione f con un funzione costnte trtti non negtiv occorre che l funzione f si superiormente limitt (2). Se sup [,b] f(x) = +, non è possibile trovre un funzione costnte trtti h per cui f h (vedi Figur 2(b)). Per l stim dl bsso con funzioni costnti trtti, serve nche che f si inferiormente limitt, ipotesi che nel nostro presente cso è utomticmente soddisftt dto che f è non negtiv. L ipotesi di limittezz dell funzione f è fondmentle qui, così come in tutto il Cpitolo e in tutt l definizione dell integrle definito. Appuntrselo. Opertivmente è estremmente più comodo scegliere le due funzioni pprossimnti in mnier stut: prim di tutto fcendo in modo che si trtti di funzioni costnti su intervlli definiti dll stess prtizione, e poi scegliendo g e h in modo che in ciscuno di questi intervlli il loro vlore si pri ll estremo inferiore e ll estremo superiore dell funzione f considert. Con quest second richiest, l definizione di g ed h è ottimle un volt fisst l prtizione. Precismente, dt un prtizione P = {x 0, x 1,..., x n } dell intervllo [, b], dividimo l intervllo [, b] negli n sottointervlli [x i 1, x i ] per i = 1,..., n. Così fcendo, il sottogrfico S f si decompone nell unione di n sottogrfici, ognuno reltivo d uno degli intervlli [x i 1, x i ]: n S f = Sf i dove Sf i = {(x, y) : x i 1 x x i, 0 y f(x)}. Se considerimo due funzioni g e h costnti negli intervlli definiti d P e tli che g f h, stimo pprossimimo l re A(Sf i ) con quell di due rettngoli che hnno come bse il sotto intervllo (x i 1, x i ) e come ltezze un minornte e un mggiornte di f in (x i 1, x i ), rispettivmente. L scelt migliore, cioè quell per cui l errore (2) Per gentilezz, ricordimo che f è superiormente limitt se esist M > 0 per cui f(x) M per ogni x [, b].

4 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 4 Figur 2. () Un funzione pprossimt per eccesso e per difetto con due funzioni costnti trtti. (b) Un tenttivo (fllito) di pprossimzione per eccesso di un funzione non limitt superiormente. commesso nell stim dell re di ogni E i è minim, è quell del più grnde dei minornti e del più piccolo dei mggiornti, cioè dell estremo inferiore e dell estremo superiore di f in (x i 1, x i ) (vedi Figur 3). Quindi, dt un prtizione P ci sono Figur 3. Stime qulsisi e stime ottimli dell re di S i f. due funzioni f e f, costnti trtti negli intervlli definiti d P e tli che f f f, che dnno l migliore stim per difetto e l migliore per eccesso. Le funzioni f e f

5 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 5 sono definite d f(x) = α i := f(x) = β i := inf f(x) x [x i 1, x i ), [x i 1,x i ] sup f(x) x [x i 1, x i ). [x i 1,x i ] Figur 4. Due pprossimzioni per S f trmite le funzioni f e f. In definitiv, dt un prtizione P dell intervllo [, b], sono ben definiti A(S f ; P ) := A(S f ) = α i (x i x i 1 ) A(S f ; P ) := A(S f ) = β i (x i x i 1 ), con α i = inf f(x), β i = sup f(x) e (tutte le volte che A(S f ) h senso) (x i 1,x i ) (x i 1,x i ) A(S f ; P ) A(S f ) A(S f ; P ). Dopo di questo, si procede migliorre l pprossimzione trmite l scelt di un prtizione con un mpiezz più piccol. Un possibilità è scegliere un successione di prtizioni P n con mpiezz P n che tend zero per n. In questo modo, pssndo l limite nelle due successioni numeriche A(S f ; P n ) e A(S f ; P n ) si dovrebbe (incrocindo le dit) ottenere proprio l re richiest. Negli esempi che seguono, utilizzimo l strtegi ppen propost. In sintesi, provimo : dto n N, scegliere un prtizione P n e costruire i numeri A(S f ; P n ) e A(S f ; P n ); clcolre i limiti lim A(S f; P n ) e lim A(S f; P n ); n + n + se i limiti esistono e coincidono, decidere che il vlore comune dei limiti è proprio l re cerct A(S f ), se i limiti non esistono o non coincidono, rimnere con un plmo di nso e ripromettersi di meditre (tr breve) sull questione...

6 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 6 Esempio I. Si f(x) = x per x [, b] con 0 < b. Il sottogrfico dell funzione f nell intervllo [, b] h un form estremmente fmilire: nel cso in cui = 0, si trtt di un tringolo, e nel cso di > 0 si trtt di un trpezio. In entrmbi csi, l geometri elementre fornisce un formul per il clcolo dell re, che è dt d: (b )(b + ) = b (ricordte? (bse mggiore più bse minore) per ltezz diviso due ). Sembrerebbe quindi che non ci si più null d dire. L questione invece si pone: cos succede se si clcol l re ttrverso il procedimento di pprossimzione per eccesso e per difetto proposto in precedenz? È più che rgionevole spettrsi che il risultto si lo stesso... m un cos è l rgionevolezz di un ffermzione ed un ltr è l su dimostrzione. Tutte le volte che si possibile, l second è d preferire ll prim! Perciò, rimbocchimoci le mniche e procedimo come proposto. Dividimo l intervllo [, b] in n prti di ugule lunghezz trmite l prtizione P n = {x k = + kh : k = 0,..., n} dove h = (b )/n. Dto che f(x) = x è crescente, si h ovvimente α k = inf x = x k 1 = + (k 1)h, β k = sup x = x k = + kh, [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] e x k x k 1 = h, vlgono n 1 n 1 A(S f ; P n ) = h + + ( + (n 1)h)h = h ( + kh) = hn + h 2 k, A(S f ; P n ) = ( + h)h + + ( + nh)h = h Tenendo conto dell formul n k=1 2 n(n 1) A(S f ; P n ) = hn + h 2 2 n(n + 1) A(S f ; P n ) = hn + h 2 k=0 k=0 ( + kh) = hn + h 2 k k=1 k = n(n+1) 2 e di h = b n. 2 n(n 1) = (b ) + (b ) 2n 2 2 n(n + 1) = (b ) + (b ). 2n 2 Per n +, le due quntità tendono llo stesso limite: lim A(E; P n) = lim A(E; P (b )2 n) = (b ) + n + n + 2 k=1 = b2 2, 2 che desso, forti del nostro rgionmento costruito prtire di mttoni elementri delle funzioni costnti trtti, ccettimo essere è ugule ll re cerct. L re

7 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 7 Figur 5. L funzione f(x) = x e le pprossimzioni determinte di punti + k(b ) n con k = 0,..., n. trovt è proprio l stess dt dlle formule note dll geometri elementre (meno mle!). Esempio II. Pssimo considerre f(x) = x 2 in [, b] con 0 < b. Stvolt l geometri elementre non ci iut. Qul è l espressione dell re per il sottogrfico di x 2? Un sondggio di un not genzi dà questi risultti: il 36% degli intervistti risponde (b )2 (b+) 2, il 38% risponde b3 3, il 10% risponde che il concetto di re per il sottogrfico dell prbol non h senso, mentre il 16% non risponde. Qul è l nostr ide? Un possibilità è quell di fidrsi dell mggiornz... m perché non provre con l solit strtegi? Sceglimo l stess prtizione P n di prim. In questo cso, sempre perché x 2 è crescente su [, b], α i = inf [x k 1,x k ] x2 = ( + (k 1)h ) 2, βi = sup x 2 = ( + kh ) 2, [x k 1,x k ] d cui segue A(S f ; P n ) = 2 h + ( + h) 2 h + ( + 2h) 2 h + + ( + (n 1)h) 2 h A(S f ; P n ) = ( + h) 2 h + ( + 2h) 2 h + + ( + nh) 2 h

8 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 8 Svolti i qudrti e tenuto presente che h = b, si ottiene n { } n 1 n 1 A(S f ; P n ) = h n 2 + 2h k + h 2 k 2 A(S f ; P n ) = h k=1 = (b ) { = (b ) { 2 + n 2 + 2h { 2 + k=0 2(b ) n 2 k + h 2 k=1 2(b ) n 2 k=0 n 1 k + k=0 } k 2 k=1 k + k=1 (b )2 n 3 (b )2 n 3 Utilizzndo le formule (si ved il primo Cpitolo) k = 1 n(n + 1) k 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 2 6 k=1 } n 1 k 2 k=0 } k 2 e sostituendo nelle precedenti, { A(S f ; P n ) = (b ) 2 + (b ) n 1 } 2 (n 1)(2n 1) + (b ) n 6n { 2 A(S f ; P n ) = (b ) 2 + (b ) n + 1 } 2 (n + 1)(2n + 1) + (b ) n 6n 2 Quindi, pssndo l limite per n, lim A(S f; P n ) = lim A(S f; P n ) = (b ) 2 + (b ) 2 (b )3 + n + n + 3 cioè il risultto tnto gognto è k=1 = b3 3, 3 L mggiornz vev rgione! A(S f ) = b Esempio III. Sperimentimo l stess tecnic per un funzione dl comportmento più bizzrro: { 0 x [0, 1] \ Q, funzione di Dirichlet : D(x) := 1 x [0, 1] Q, Dt un qulsisi prtizione P = { = x 0 < x 1 < < x n = b}, in ognuno dei sottointervlli [x k 1, x k ] cdono si numeri rzionli che numeri irrzionli, quindi α i = inf D(x) = 0, β i = sup D(x) = 1. [x k 1,x k ] [x k 1,x k ]

9 1. L AREA DI UN SOTTOGRAFICO: STRATEGIA D ATTACCO 9 Pertnto, per ogni prtizione P, A(S D ; P ) = 0 e A(S D ; P ) = 1 e quindi sup A(S D ; P ) = 0 < 1 = inf A(S D; P ). P P Anche scegliendo prtizioni P con mpiezz sempre più piccol, le stime per difetto e quelle per eccesso restno sempre ben lontne le une dlle ltre. L interpretzione che dimo di quest situzione è che esistono sotto insiemi del pino cui non è possibile ssocire un re, ossi, per lcuni insiemi S, l espressione A(S) non h senso! Esempio IV. Come ultimo esempio, clcolimo l re del sottogrfico di f(x) = cos x nell intervllo [0, π/2]. Prim di tutto dimostrimo il seguente Lemm. Lemm 1.3. Vle (1.1) cos(ky) = 1 2 k=0 [ sen(n )y ] sen( y 2 ) + 1 y R, n N. Dimostrzione. (Per induzione) Per n = 0, l identità è bnlmente verifict. Supponimol ver per n 1 e dimostrimol per n: [ cos(ky) = 1 sen(n 1 2 )y ] 2 sen( y k=0 2 ) cos(ny) [ = 1 sen(n 1 2 )y + 2 cos(ny)sen( y 2 ) ] 2 sen( y 2 ) + 1. Dto che ( sen n ± 1 ) ( y ( y y = sen(ny) cos cos(ny)sen, 2 2) 2) ne segue l conclusione. Per clcolre l re di { S f = (x, y) 0 x π } 2, 0 y cos x, fissto n N, sceglimo l prtizione P n determint di punti x k := kπ 2n per k = 0,..., n. L funzione cos x è decrescente in [0, π/2], quindi ( ) ( ) kπ (k 1)π α i = inf cos x = cos, β i = sup cos x = cos. [x k 1,x k ] 2n [x k 1,x k ] 2n Perciò, utilizzndo l formul (1.1) con y = π 2n, ecco che ottenimo A(S f ; P n ) = π ( ) [ kπ cos = π sen(n ) ] π 2n 2n 2n 4n sen( π k=1 4n ) 1 = π 4n A(S f ; P n ) = π n 1 ( ) [ kπ cos = π sen(n ) ] π 2n 2n 2n 4n sen( π 4n ) + 1 = π 4n k=0 [ sen( π 2 + π 4n ) ] sen( π 4n ) 1 [ sen( π 2 + π 4n ) ] sen( π 4n ) + 1

10 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 10 Dto che sen( π 2 + α) = cos α, Per n +, A(S f ; P n ) = π/4n tg(π/4n) π 4n, A(S f ; P n ) = π/4n tg(π/4n) + π 4n lim A(S f ; P n ) = lim A(S f ; P n ) = 1 e quindi A(S f ) = 1. n + n + Esercizio 1.4. Dto b > 0, dimostrre che il sottogrfico di cos x in [0, b] è misurbile e clcolrne l re. 2. M cos è quest integrle? Tirimo le fil di quello che bbimo ftto fin qui: senz preoccuprci troppo di immergerci nel significto dell prol re di un regione del pino, bbimo considerto il cso di sottogrfici di funzioni non negtive, proponendo un specie di lgoritmo per il clcolo dell re. L ide di bse è di pprossimre per difetto e per eccesso l re richiest trmite ree di sottogrfici di funzioni costnti trtti. Scegliendo prtizioni di mpiezz sempre più piccol è rgionevole spettrsi che l pprossimzione migliori e fcendo tendere l mpiezz dell prtizione 0 si dovrebbe ottenere il numero che ndimo cercndo: l re. Trmite un certo numero di esempi, ci simo resi conto che il procedimento è rgionevole (si rriv spesso d un risultto numerico), m che in lcune situzioni non port nessun conclusione (l funzione di Dirichlet). Scordimoci or del problem dell re e invertimo il procedimento: dichirimo integrbili le funzioni per cui il procedimento di pprossimzione con ( ree di sottogrfici di) funzioni costnti trtti converge e non integrbili quelle per cui non converge. Nel cso in cui l funzione si integrbile, il vlore comune del limite delle pprossimzioni per eccesso e di quelle per difetto dà l definizione di integrle definito dell funzione. Rispetto l prgrfo precedente, c è un differenz essenzile: le funzioni che considerimo possono vere segno qulsisi. Definizione 2.1. Dt un prtizione P = { x 0 < x 1 < < x n = b} dell intervllo [, b], si φ un funzione costnte trtti, costnte in ogni intervllo [x k 1, x k ) per k = 1,..., n. Allor si definisce integrle definito di φ in [, b] il vlore φ(ξ k )(x k x k 1 ), k=1

11 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 11 dove ξ k [x k 1, x k ). Il vlore dell integrle si indic con φ(x) dx. Già questo livello, cioè per funzioni costnti trtti, è opportuno sottolinere che, in generle, l integrle definito non h il significto di re! Negli intervlli (x k 1, x k ) in cui l funzione costnte trtti è negtiv, il contributo del termine corrispondente f(ξ k )(x k x k 1 ) non rppresent l re di un rettngolo, dto che si trtt di un numero negtivo. L re di regioni che si trovno l di sotto dell sse delle x viene sottrtt invece che essere sommt (vedi Figur 6)(). Ad esempio, se φ(x) = 1 in [ 1, 0) e φ(x) = 1 in [0, 1], l integrle di φ in [ 1, 1] è nullo. Non c è motivo per versene mle, bst verlo ben chiro fin dl principio. Figur 6. L integrle non è l re: () un funzione costnte trtti, (b) un funzione qulsisi. Or che bbimo dto un nome ll integrle di un funzione costnte trtti, qule senso si può dre ll integrle di un funzione f qulsisi? Rgionndo proprio come nel prgrfo precedente, si considerno funzioni costnti trtti g ed h tli che g f h. Allor i vlori dell integrle definito di g e dell integrle definito di h dnno un stim per difetto e per eccesso di...? Qui si vorrebbe scrivere dell integrle definito di f, m quest oggetto non è ncor stto definito! Si decide llor di definire l integrle proprio trmite questo processo di pprossimzione: tutte le volte che l estremo superiore degli integrli di funzioni g costnti trtti e minori o uguli

12 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 12 di f coincide con l estremo inferiore degli integrli di funzioni h costnti trtti e mggiori o uguli di f, si dice che f è integrbile. Definizione 2.2. Si f (secondo Riemnn) se sup{ g(x) dx : g cost. trtti, g f} = inf{ : [, b] R un funzione limitt è integrbile h(x) dx : h cost. trtti, h f}. In questo cso, il vlore comune è l integrle definito dell funzione f nell'intervllo [, b] e si indic con f(x) dx. Notzione di Leibnitz per l integrle. Il simbolo dell integrle è un vrinte del simbolo di somm indicto d un lung S come si usv l tempo di Leibnitz. Il simbolo dx è l erede dell lunghezz dell intervllo x k x k 1. L uso dell minuscol è dovuto l ftto che, in generle, le pprossimzioni migliori dell integrle di f si ottengono considerndo funzioni costnti trtti su prtizioni l cui mpiezz si molto piccol: x i x i 1 =: x dx. L letter ust per indicre l vribile di integrzione è del tutto indifferente: l posto di f(x) dx, si può scrivere f(t) dt o f(u) du, esttmente come nel cso delle sommtorie il nome dto ll indice è ssolutmente ininfluente. Osservzione 2.3. Nell definizione di funzione integrbile è comprs l ipotesi di f limitt. Perché? Chi h seguito con ttenzione il prgrfo precedente h già un rispost... Se l funzione f non fosse limitt superiormente non ci srebbe nessun funzione costnte trtti h tle che f h. Allo stesso modo, se f non fosse limitt inferiormente non ci srebbe nessun funzione costnte trtti g tle che h f (nel prgrfo precedente, l ipotesi f limitt inferiormente è implicit nell richiest f non negtiv ). Invece, se M > 0 è tle che f(x) M per ogni x [, b], l funzione h M è un funzione costnte trtti (costnte dppertutto, in reltà!) che mggior l funzione f e l funzione g M è un funzione costnte trtti che minor f. Osservzione 2.4. Nell definizione di integrle, non viene ftt nessun richiest di positività dell funzione. Se l funzione integrnd f è positiv in [, b] ed è integrbile, l integrle coincide con l re del sottogrfico di f in [, b]: f 0 f(x) dx = A({(x, y) : x b, 0 y f(x)}).

13 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 13 Se f è negtiv in tutto o in prte dell intervllo, il significto dell integrle non è più quello di un re: l integrle è somm di termini positivi e negtivi, gli uni e gli ltri in corrispondenz delle zone in cui il grfico è sopr o sotto l sse x (vedi Figur 6(b)). Ad esempio, l integrle dell funzione x nell intervllo [ 1, 1] è zero (convincersene con un figur). Esttmente come nel cso delle ree di sottogrfici, gli insiemi delle funzioni costnti trtti che mggiorno/minorno un funzione f dt sono troppo vsti. Per comodità, si vorrebbe ridurre il numero di funzioni di questo genere che sono necessrie ll determinzione dell integrbilità o meno dell funzione f ssegnt. Ad esempio, per il colcolo dell re del sottogrfico di x, x 2 e cos x bbimo usto prticolri funzioni costnti trtti: quelle ottenute considerndo prtizioni dell intervllo in sottointervlli di ugule lunghezz. Quello che bbimo ftto è sufficiente per ffermre che le funzioni x, x 2 e cos x sono integrbili? Per ottenere questo sconto di lvoro, si può procedere proprio come si è già ftto nel cso delle ree di sottogrfici: dt un prtizione P determinre l migliore stim per difetto e l migliore stim per eccesso dell funzione f in termini di funzioni costnti trtti. Si f : [, b] R limitt e si P = {x 0, x 1,..., x n } un prtizione dell intervllo [, b]. Ponimo α i = inf f(x) e β i = sup f(x). [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] Definizione 2.5. Si chimno somm integrle per difetto/per eccesso di f reltivmente ll prtizione P, i vlori delle somme S(f; P ) = α i (x i x i 1 ) e S(f; P ) = β i (x i x i 1 ). Non f mle sottolinere che per ogni funzione f limitt e per ogni prtizione P, le somme integrli per difetto e per eccesso sono sempre ben definite dto che tutti i vlori α i, β i sono finiti. Grzie l ftto che, fisst un prtizione P, S(f; P ) corrisponde ll migliore stim per difetto che si poss fre dell integrle di f in [, b] trmite funzioni costnti trtti in P, e nlogmente per S(f; P ) per le stime per eccesso, vlgono sup S(f; P ) = sup{ P inf P g(x) dx : g cost. trtti, g f} S(f; P ) = inf{ g(x) dx : g cost. trtti, g f}.

14 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 14 dove l estremo superiore ed inferiore nei termini sinistr sono presi su tutte le prtizioni P di [, b]. Quindi, (2.1) f è integrbile in [, b] sup S(f; P ) = inf S(f; P ), P P e il vlore comune è proprio f(x) dx. L equivlenz di (2.1) mostr che si srebbe nche potuto scegliere di definire l integrbilità di un funzione ttrverso l condizione sup P S(f; P ) = inf P S(f; P ). Questione di gusti. Si l condizione di integrbilità dt dll definizione che l su versione equivlente presente in (2.1) sono chire e limpide d un punto di vist di rigore mtemtico. Meno chiro è come rispondere concretmente ll domnd: quli clssi di funzioni sono integrbili? Ecco il motivo dell Proposizione che segue. Proposizione 2.6. Un funzione limitt f : [, b] R è integrbile in [, b] se e solo se per ogni ε > 0, esiste un prtizione P ε tle che (2.2) S(f; P ε ) S(f; P ε ) < ε. Prim di dimostrre l Proposizione 2.6, un piccolo Lemm che esprime il ftto che umentndo il numero di punti di un prtizione le somme per difetto non diminuiscono e quelle per eccesso non umentno, cioè entrmbe le pprossimzioni migliorno (in reltà, non peggiorno). Lemm 2.7. Si f un funzione limitt in [, b] e sino P 1 e P 2 due prtizioni di [, b]. Allor (2.3) S(f; P 1 ) S(f; P 2 ) e S(f; P 2 ) S(f; P 1 ) P 2 P 1. Dimostrzione del Lemm 2.7. Dto che P 2 P 1, si può costruire P 2 prtire d P 1 ggiungendo in sequenz un numero finito di punti. Quindi bst studire il cso in cui P 2 si ugule ottenut d P 1 ttrverso l ggiunt di un solo punto ξ, cioè P 2 = P 1 {ξ}. Il cso generle si ottiene semplicemente iterndo un numero finito di volte lo stesso procedimento. Inoltre considerimo solo il cso delle somme per difetto, dto che l ltro è in tutto e per tutto nlogo. Supponimo P 1 = {x 0, x 1,..., x n } ξ (x k 1, x k ), per un opportuno k {1,..., n}. Le espressioni di S(f; P 1 ) e di S(f; P 2 ) coincidono in tutti i termini trnne in quelli reltivi ll intervllo [x k 1, x k ] e quindi, indicndo con α = inf f(x), [x k 1,x k ] α = inf f(x), [x k 1,ξ] α = inf f(x), [ξ,x i ]

15 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 15 Figur 7. Aggiungendo punti ll prtizione, l somm per difetto cresce. vle, dto che α α e α α, [ ] S(f; P 2 ) S(f; P 1 ) = α (x k ξ) + α (ξ x k 1 ) α(x k x k 1 ) [ ] [ ] = α (x k ξ) + α (ξ x k 1 ) α(x k ξ) + α(ξ x k 1 ) che conclude l dimostrzione. = (α α)(x k ξ) + (α α)(ξ x k 1 ) 0, Dimostrzione dell Proposizione 2.6. Per costruzione, S(f; P ) S(f; P ). Di conseguenz, se si considerno due prtizioni qulsisi P e P è sempre vero che le somme integrli per difetto reltive P sono minori delle somme integrli per eccesso reltive P : S(f; P ) S(f; P ) P, P prtizioni. Inftti, se considerimo l prtizione P = P P e utilizzimo (2.3): Quindi, per ogni prtizione P, vle 0 inf P S(f; P ) S(f; P ) S(f; P ) S(f; P ). S(f; P ) sup S(f; P ) S(f; P ) S(f; P ) Se per ogni ε > 0 esiste un prtizione P ε che verific (2.2), llor 0 inf P P S(f; P ) sup S(f; P ) < ε e dto che ε > 0 può essere scelto rbitrrimente piccolo, deve vlere inf P S(f; P ) = sup P S(f; P ), cioè f è integrbile. Se invece supponimo che l funzione f si integrbile, per ogni ε > 0 esistono due prtizioni P ε e P ε per cui vle S(f; P ε) S(f; P ε ) < ε. Scegliendo l prtizione P

16 2. MA COS È QUEST INTEGRALE? 16 P ε = P ε P ε si ottiene (2.2) grzie l ftto che S(f; P ε ) S(f; P ε ) e S(f; P ε ) S(f; P ε). Perciò cioè l (2.2). S(f; P ε ) S(f; P ε ) S(f; P ε) S(f; P ε ) < ε, L strtegi per dimostrre l integrbilità di un funzione è mostrre che S(f; P ) S(f; P ) può essere mggiort d un numero positivo qulsisi, ptto di scegliere un prtizione P con un mpiezz P sufficientemente piccol, dto che l diminuire dell mpiezz dell prtizione, l differenz S(f; P ) S(f; P ) diminuisce. Se si segue, d esempio, il procedimento del prgrfo precedente, cioè si costruisce un successione di prtizioni P n per cui lim S(f; P n) = lim S(f; P n) = l, n + n + mggior rgione si vrà che: per ogni ε > 0 esiste un prtizione P n per cui vle [ ] [ ] 0 S(f; P n ) S(f; P n ) = S(f; P n ) l + l S(f; P n ) < 2ε cioè l funzione f è integrbile e l integrle è proprio il vlore l. In prticolre, gli esempi I, II e IV indicno che le funzioni C, x e x 2 sono integrbili in [, b], cos x è integrbile in [0, π/2] e che vlgono C dx = C(b ), x dx = b , x 2 dx = b , π/2 0 cos x dx = 1. L esempio III (quello dell funzione di Dirichlet, per intendersi) mostr che esistono nche funzioni non integrbili! (3) Come sempre ccde qundo si h per l prim volt in mno un oggetto nuovo, occorre conoscere qulcos in più per potersene vvntggire. L prim cos d fre è leggere il mnule delle istruzioni per l uso: quli procedimenti possono essere pplicti ll integrle rimnendo fedeli ll su definizione? L second domnd è ltrettnto importnte: qundo è possibile scrivere l integrle di un funzione, o, meglio, ci sono clssi (mpie) di funzioni che sono integrbili? Questo e molto di più nei prossimi due prgrfi. (3) Un osservzione: essere integrbile è, per un funzione, un cso... Nel mondo iperurnio di tutte le funzioni, l regol è rppresentt dll funzione di Dirichlet, non d x, x 2 o cos x.

17 3. ISTRUZIONI PER L USO Istruzioni per l uso L integrle che bbimo ppen definito gode di tre proprietà fondmentli, che lo rendono un oggetto estremmente grdevole ll uso e l decoro di slotti buoni e meno buoni. Non si sbgli dire che queste tre proprietà sono ereditte direttmente dl ftto che un integrle definito, nell sostnz, è il limite di sommtorie e che le sommtorie godono proprio di queste tre proprietà: linerità, dditività e monotonì. Prim di descriverle per l integrle, vedimo di cos si trtt nel cso delle più fmiliri sommtorie: dti 1,..., n, b 1,..., b n, α, β R linerità: (α k + βb k ) = α k + β dditività: k=1 k = k=1 m k + k=1 monotonì: k b k k=1 k=m+1 k k k=1 k=1 b k b k. L prim proprietà discende direttmente dll proprietà distributiv di somm e prodotto. L second proprietà esprime il ftto che per sommre gli n numeri 1,..., n si può procedere in ordine sprso, cioè si può decidere di sommre prim seprtmente due sottoinsiemi dei numeri k e poi sommre i due risultti ottenuti. In ultim nlisi è un conseguenz dell proprietà ssocitiv dell ddizione. L terz, invece, è conseguenz ovvi delle proprietà dell ordinmento di R e delle sue relzioni con l operzione di somm. Vedimo come si trducono queste tre proprietà nel cso degli integrli definiti. Le dimostrzioni sono posticipte fine prgrfo. Linerità. Dti c 1, c 2 R e f, g integrbili in [, b], llor nche c 1 f + c 2 g è integrbile in [, b] e vle (3.1) Additività. k=1 [c 1 f(x) + c 2 g(x)] dx = c 1 f(x) dx + c 2 g(x) dx Si f un funzione integrbile in [, b] e si c (, b), llor l funzione f è integrbile in [, c] e in [c, b] e vle (3.2) f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx < c < b. In prticolre, se un funzione è integrbile nell intervllo [, b], llor è integrbile nche in un qulsisi sottointervllo di [, b].

18 3. ISTRUZIONI PER L USO 18 Monotonì. Per ogni coppi di funzioni f, g integrbili in [, b], (3.3) f(x) g(x) x [, b] = f(x) dx g(x) dx. Per or bbimo definito f(x) dx solo nel cso < b. E usnz diffus in tutto il globo terrcqueo, definire l integrle nel cso di = b o > b, in modo che si preservt l regol dell dditività. Scrivendo (3.2) con c =, si ottiene d cui segue f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx := 0 f(x) dx, che, d or in poi, vle come definizione di integrle di un funzione in un intervllo che è degenerto d un punto (coerente con l eventule interpretzione in termini di ree). Scrivimo (3.2) per b =, llor 0 = d cui segue l definizione c f(x) dx = f(x) dx := c c f(x) dx + c f(x) dx f(x) dx < c, dove il membro destro h il significto definito nel prgrfo precedente. Ad esempio, 0 1 x dx = 1 0 x dx = 1 2. Dll proprietà di monotonì dell integrle discende un proprietà che è, sostnzilmente, un disuguglinz tringolre per integrli : se f è un funzione integrbile in [, b], llor nche f è integrbile in [, b] e vle (3.4) f(x) dx b f(x) dx. Per l dimostrzione, si voli fine prgrfo. Vle l pen sottolinere che il vicevers dell precedente ffermzione è flso: esistono funzioni f non integrbili, tli che f è integrbile. Esercizio 3.1. Trovre un esempio di f non integrbile in [, b] tle che f si integrbile in [, b].

19 3. ISTRUZIONI PER L USO 19 Soluzione. L unico esempio che bbimo di funzione non integrbile è l funzione di Dirichlet. Dto che quest funzione è positiv, coincide con il suo modulo e quindi non è l scelt pproprit. Quli ltri funzioni non integrbili possimo costruire? In effetti, l funzione di Dirichlet insegn che oggetti con un numero spropositto di oscillzioni non sono integrbili. Ad esempio, fissti α, β R con α β, l funzione f : [0, 1] R, definit d { α x [0, 1] \ Q, f(x) := β x [0, 1] Q. non è integrbile (qunto vlgono sup P S(f; P ) e inf P S(f; P )?). Or bst vedere se c è lmeno un scelt di α, β, α β, per cui l funzione f si integrbile. L funzione f è dt d { α x [0, 1] \ Q, f(x) = β x [0, 1] Q, che è integrbile, perché è costnte, tutte le volte che α = β. Ecco lì che bbimo trovto tnti esempi di funzioni con le condizioni richieste: dto α 0, bst scegliere β = α: { α x [0, 1] \ Q, f(x) := α 0. α x [0, 1] Q, Dimostrzioni in libertà. Dedichimoci or dimostrre le proprietà dell integrle. Linerità. Sino f e g integrbili in [, b] e c 1, c 2 R. Dt P = {x 0, x 1,..., x n }, prtizione di [, b], bttezzimo α i = e, nlogmente, α f i = inf [c 1 f(x) + c 2 g(x)] e β i = sup [c 1 f(x) + c 2 g(x)], [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] inf f(x), [x i 1,x i ] βf i = sup f(x), α g i = inf g(x), [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] βg i = sup g(x). [x i 1,x i ] Per ogni x, y (x i 1, x i ), si h [c 1 f(x) + c 2 g(x)] [c 1 f(y) + c 2 g(y)] = c 1 [f(x) f(y)] + c 2 [g(x) g(y)] [ ] c 1 β f i α f i + c 2 [β g i αg i ], quindi, pssndo ll estremo superiore in x e ll estremo inferiore in y, si deduce che [ ] β i α i c 1 β f i α f i + c 2 [β g i αg i ].

20 Perciò, per ogni prtizione P di [, b], S(c 1 f + c 2 g; P ) S(c 1 f + c 2 g; P ) = c 1 3. ISTRUZIONI PER L USO 20 [β i α i ] (x i x i 1 ) [ ] β f i α f i (x i x i 1 ) + c 2 [α g i βg i ] (x i x i 1 ) = c 1 [ S(f; P ) S(f; P ) ] + c 2 [ S(g; P ) S(g; P ) ]. Dto che l funzione f è integrbile, grzie ll Proposizione 2.6, esiste un prtizione P 1 tle che S(f; P 1 ) S(f; P 1 ) < ε. Anlogmente, esiste un prtizione P 2 per cui S(g; P 1 ) S(g; P 1 ) < ε. Scegliendo l prtizione P = P 1 P 2, entrmbe le disequzioni sono uguli e quindi S(c 1 f + c 2 g; P ) S(c 1 f + c 2 g; P ) < ( c 1 + c 2 ) ε. Dll Proposizione 2.6, segue che l funzione c 1 f + c 2 g è integrbile in [, b]. Rest d dimostrre l formul (3.1). Dt l solit prtizione P = {x 0,..., x n }, sceglimo ξ 1, ξ 2,..., ξ n con ξ i (x i 1, x i ) per i = 1,..., n. Per definizione di S(f; P ) e S(f; P ) vlgono S(f; P ) e quindi f(ξ i )(x i x i 1 ) S(f; P ), f(x) dx S(f; P ) f(ξ i )(x i x i 1 ) S(f; P ) S(f; P ) f(x) dx S(f; P ), Anloghe relzioni vlgono sostituendo ll funzione f l funzione g e l funzione c 1 f + c 2 g. Sfruttndo queste stime si deduce che [c 1 f + c 2 g] dx c 1 f dx c 2 g dx [c 1 f + c 2 g] dx [c 1 f(ξ i ) + c 2 g(ξ i )] (x i x i 1 ) + c 1 f dx f(ξ i )(x i x i 1 ) + c 2 g dx g(ξ i )(x i x i 1 ) [ S(c 1 f + c 2 g; P ) S(c 1 f + c 2 g; P ) ] + c 1 [ S(f; P ) S(f; P ) ] + c 2 [ S(g; P ) S(g; P ) ].

21 3. ISTRUZIONI PER L USO 21 Leggendo il primo e l ultimo termine, simo rrivti stbilire che, per ogni prtizione P, vle l disuguglinz [c 1 f + c 2 g] dx c 1 f dx c 2 g dx [ S(c 1 f + c 2 g; P ) S(c 1 f + c 2 g; P ) ] + c 1 [ S(f; P ) S(f; P ) ] + c 2 [ S(g; P ) S(g; P ) ]. Per dimostrre l formul (3.1), sceglimo un prtizione P = {x 0,..., x n } per cui (4) S(f; P ) S(f; P ) < ε, S(g; P ) S(g; P ) < ε, S(c 1 f + c 2 g; P ) S(c 1 f + c 2 g; P ) < ε; con quest scelt di P [c 1 f + c 2 g] dx c 1 f dx c 2 g dx (1 + c 1 + c 2 ) ε. Siccome ε può essere scelto rbitrrimente piccolo, non c è scmpo: (3.1) è dimostrt. Additività. Se si pens ll ide geometric di prtenz, l proprietà di dditività sembr bbstnz nturle: per clcolre l re possimo dividere l regione in due prti e sommre i vlori delle ree delle due sottoregioni. M qui l cos è divers: prim di tutto bbimo un definizione nlitic d rispettre e ogni ffermzione deve discendere rigorosmente d quell definizione. In più c è un prticolre non bnle: chi grntisce che se un funzione è integrbile in [, b], llor è nche integrbile in [, c] e [c, b] per c (, b)? Seppur rgionevole, quest ffermzione è tutt d verificre. Dto l intervllo [, b], per comodità, introducimo l funzione χ [,b] : R R { 1 x [, b], funzione crtteristic di [, b]: χ [,b] (x) := 0 x / [, b]. L funzione χ [,b] è costnte trtti e quindi l su restrizione d ogni intervllo chiuso e limitto di R è integrbile. Sino f : [, b] R e c (, b). Considerre l funzione prodotto fχ [,c] definit d { f(x) x [, c], fχ [,c] (x) := f(x)χ [,c] (x) = 0 x (c, b], corrisponde troncre zero l funzione f fuori dll intervllo [, c]. (4) L Proposizione 2.6 grntisce che, fissto ε, esist un prtizione P 1 per f, un prtizione P 2 per g ed un ptrizione P 3 per c 1 f + c 2 g, per cui l condizione è soddisftt. Scegliendo P = P 1 P 2 P 3, l condizione è soddisftt per l stess prtizione P.

22 3. ISTRUZIONI PER L USO 22 Lemm 3.2. Si f : [, b] R e si c (, b). Allor fχ [,c] integrbile in [, b] f integrbile in [, c]. Inoltre, in cso di integrbilità, f(x)χ [,c] (x) dx = c f(x) dx. Dimostrzione. Si P un prtizione di [, b] tle che c P e si P = P [, c]. Allor S(fχ [,c] ; P ) = S(f; P ) e S(fχ [,c] ; P ) = S(f; P ) dto che il contributo di S(fχ [,c] ; P ) e S(fχ [,c] ; P ) in P [c, b] è nullo. Quindi, per ogni P prtizione di [, b] con c P, (3.5) S(fχ [,c] ; P ) S(fχ [,c] ; P ) = S(f; P ) S(f; P ). Se f è integrbile in [, c], per l Proposizione 2.6, per ogni ε > 0 esiste P, prtizione di [, c] tle che il secondo membro di (3.5) è minore di ε. Scegliendo un prtizione P di [, b] per cui P [, c] = P, nche il primo termine di (3.5) è minore di ε e quindi, di nuovo per l Proposizione 2.6, l funzione fχ [,c] è integrbile in [, b]. Vicevers, se fχ [,c] è integrbile in [, b], llor, per ogni ε > 0 è possibile trovre un prtizione P per cui il primo membro di (3.5) è mggiorto d ε. Dto che c potrebbe non essere in P, considerimo l prtizione P {c}. Aggiungendo punti d un prtizione, l differenz tr stim per eccesso e stim per difetto non ument (5), quindi S(fχ [,c] ; P {c}) S(fχ [,c] ; P {c}) S(fχ [,c] ; P ) S(fχ [,c] ; P ) < ε, e quindi f è integrbile in [, c]. Il ftto che gli integrli coincidno discende d f(x)χ [,c] (x) dx = sup S(fχ [,c] ; P ) = sup S(f; P ) = P, c P P c f(x) dx, dto che l estremo superiore di S(fχ [,c] ; P ) ftto su tutte le prtizioni coincide con quello ftto su tutte le prtizioni che contengono il punto c. Quindi, se c (, b) e f è integrbile in [, b], per dimostrre che f è integrbile in [, c], bst dimostrre che l funzione prodotto fχ [,c] è integrbile in [, b]. Il problem è: il prodotto di funzioni integrbili è integrbile? Rispost: Sì! M niente è grtis. Lncimoci, con l pzienz di sempre, nell dimostrzione. (6) (5) Vedi dimostrzione di Proposizione 2.6. (6) In prim lettur, non è un crimine sltre l dimostrzione di quest ffermzione!

23 3. ISTRUZIONI PER L USO 23 Proposizione 3.3. Sino f e g due funzioni integrbili in [, b], llor l funzione prodotto fg è integrbile in [, b]. Dimostrzione. Inizimo dndo un po di nomi. Le funzioni f e g sono limitte, quindi esistono costnti M f e M g tli che f(x) M f, g(x) M g x [, b]. Inoltre, dt l prtizione P = {x 0, x 1,..., x n } indichimo con α fg i = inf f(x)g(x) e β fg i = sup f(x)g(x), [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] con significti nloghi per α f i, αg i, βf i e β g i (l notzione scelt dovrebbe iutre ricordre se un certo termine si riferisce d f, g o fg). Sempre grzie ll Proposizione 2.6, occorre stimre (3.6) S(fg; P ) S(fg; P ) = quindi bisogn controllre il termine β fg i informzione sui termini β f i αf i e βg i αg i Dti x, y (x i 1, x i ), si h f(x)g(x) f(y)g(y) = α fg i ( β fg i ) α fg i (x i x i 1 ),, tenendo conto che bbimo un buon dto che f e g sono, per ipotesi, integrbili. [ ] [ ] f(x) f(y) g(x) + f(y) g(x) g(y) M g (β f i α f i ) + M f(β g i αg i ). Prendendo l estremo superiore in x e l estremo superiore in y, si ottiene β fg i α fg i M g (β f i α f i ) + M f(β g i αg i ). Inserimo in (3.6), ] [ ] S(fg; P ) S(fg; P ) M g [S(f; P ) S(f; P ) + M f S(g; P ) S(g; P ). Dto che il termine secondo membro può essere reso rbitrrimente piccolo per P opportuno, l conclusione segue dll solit Proposizione 2.6. Esercizio 3.4. Dte le funzioni g e h, g integrbile in [, c] e h integrbile in [c, b], dimostrre che l funzione f seguente è integrbile { g(x) x [, c], f(x) = h(x) x (c, b], Suggerimento. Con un po di ttenzione, si può scrivere f(x) = f(x)χ [,c] (x) + f(x)χ (c,b] (x) = g(x)χ [,c] (x) + h(x)χ (c,b] (x)...

24 3. ISTRUZIONI PER L USO 24 Rissumendo: se f è integrbile in [, b], llor, per l Proposizione 3.3, nche le funzioni fχ [,c] e fχ [c,b] lo sono. Applicndo il Lemm 3.2 si deduce che f è integrbile in [, c] e in [c, b]. Per concludere l dimostrzione dell dditività, bisogn convincersi dell vlidità dell formul (3.2). Dll definizione di funzione crtteristic di un intervllo segue che f(x) = f(x)χ [,c] (x) + f(x)χ [c,b] (x), quindi, grzie ll linerità e ll second prte del Lemm 3.2, f(x) dx = f(x)χ [,c] (x) dx + f(x)χ [c,b] (x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Monotonì. Dimostrre l monotonì dell integrle è prticolrmente fcile: c è solo d verificre l vlidità dell formul (3.3). Se f(x) g(x) per ogni x [, b], llor inf f(x) inf g(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] Quindi, per ogni prtizione P di [, b], vle S(f; P ) S(g; P ), e pssndo ll estremo superiore si ottiene l conclusione. [x i 1, x i ] [, b]. Rimne d dimostrre l ultim proprietà dichirt: se f è integrbile in [, b], llor nche l funzione f è integrbile in [, b] e vle f(x) dx f(x) dx. L prte più complict dell dimostrzione st nel verificre che effettivmente l funzione f si integrbile. Inftti l stim finle segue d ±f f, che, grzie ll monotonì dell integrle, implic ± f(x) dx f(x) dx. Con un minimo di memori dell definizione del modulo, si giunge ll conclusione. Per dimostrre che f è integrbile, rilncimo e dimostrimo qulcos di più considerndo un funzione del tipo φ(f) dove φ è un funzione lipschitzin. Chirmente se l generlizzzione dll funzione ll funzione φ( ) vi disturb, sostituite metodicmente l prim ll second e tirte dritto...

25 3. ISTRUZIONI PER L USO 25 Proposizione 3.5. Si f un funzione integrbile in [, b] e si φ un funzione lipschitzin in f([, b]), llor l funzione φ f è integrbile in [, b]. Dimostrzione. Si L > 0 tle che φ(y 1 ) φ(y 2 ) L y 1 y 2 y 1, y 2 f([, b]). Seguendo l Proposizione 2.6, per dimostrre che φ f è integrbile occorre stimre l quntità S(φ f; P ) S(φ f; P ) = (B k A k )(x k x k 1 ), k=1 dove P = {x 0,..., x n } è un prtizione di [, b] e A k = inf φ(f(x)), B k = sup φ(f(x)). [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] Qule stim possimo recuperre per B k A k? Affermzione. Sino α k = inf f(x), β k = sup f(x), llor B k A k L(β k α k ). Inftti, dti x, y in (x k 1, x k ), si h φ(f(x)) φ(f(y)) L f(x) f(y) L(β k α k ), e prendendo l estremo superiore in x e l inferiore in y si ottiene qunto ffermto. Con quest stim ll mno, si deduce che [ ] S(φ f; P ) S(φ f; P ) L (β k α k )(x k x k 1 ) = L S(f; P ) S(f; P ). k=1 A questo punto, grzie ll Proposizione 2.6 simo d un psso dll conclusione. Grzie l ftto che l funzione f è integrbile, per ogni ε > 0, esiste un prtizione P ε per cui S(f; P ε ) S(f; P ε ) < ε, quindi S(φ f; P ε ) S(φ f; P ε ) < Lε. Applicndo di nuovo l Proposizione 2.6 (l ltr impliczione!) funzione φ f è integrbile. si deduce che l In reltà, è ver un proprietà più generle: se f è integrbile in [, b] e φ è un funzione continu in f([, b]), llor l funzione φ f è integrbile in [, b]. L dimostrzione è più complict e per questo motivo non l ndimo disturbre. Esercizio 3.6. Dte f e g integrbili, dimostrre che nche le funzioni f + (x) := mx{f(x), 0}, f (x) := min{f(x), 0}, mx{f(x), g(x)} e min{f(x), g(x)} sono integrbili.

26 4. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI 26 Soluzione. Non è un cso che questo esercizio si collocto proprio qui, dopo l Proposizione 3.5. L funzione f +, dett prte positiv di f può essere vist come funzione compost: f + (x) = φ(f(x)), dove { 0 s < 0, φ(s) = s s > 0. Con un disegno o con tre conti si mostr che l funzione φ è lipschtzin, dto che vle φ(s 1 ) φ(s 2 ) s 1 s 2 per ogni s 1, s 2 R. Ne segue che l funzione f + è integrbile. Per l funzione f, dett prte negtiv di f si rgion llo stesso modo. Per qunto rigurd l funzione mx{f(x), g(x)}, vle (verificre, per cortesi) mx{f(x), g(x)} = mx{f(x) g(x), 0} + g(x), quindi dll ipotesi f e g integrbili seguono vlng: f g integrbile, mx{f(x) g(x), 0} integrbile, mx{f(x), g(x)} integrbile. Fine dell stori. L ultim funzione l lscimo l diletto del lettore. 4. Clssi di funzioni integrbili Un volt dto senso l concetto di integrle e determinte le proprietà principli, bisogn dedicrsi determinre un certo numero di funzioni che sino effettivmente integrbili, ltrimenti l oggetto ppen definito risulterebbe sostnzilmente inutile. Come si è detto, per dimostrre l integrbilità di f, bst mostrre ε > 0 P ε prtizione tle che S(f; P ε ) S(f; P ε ) ε. Dunque seguiremo quest strtegi: fisst un prtizione P, mostreremo che l differenz S(f; P ) S(f; P ) può essere res rbitrrimente piccol, ptto di scegliere un prtizione P l cui mpiezz P si sufficientemente piccol. Integrbilità delle funzioni monotone. L prim clsse che considerimo è quell delle funzioni monotòne. Ricordimo un certo numero di proprietà di quest clsse di funzioni prticolrmente interessnti per quello che vedremo breve. Teorem 4.1. Si f : [, b] R monotòn, llor è integrbile in [, b]. Dimostrzione. Si osservi prim di tutto che l monotonì dell funzione f nell intervllo chiuso [, b] ne grntisce utomticmente l limittezz, dto che min{f(), f(b)} f(x) mx{f(), f(b)} x [, b]. Per fissre le idee, supponimo che f si un funzione crescente. Dt un prtizione P = {x 0,..., x n }, gli estremi inferiori e superiori di f in (x i 1, x i ) sono α i = inf f(x) = f(x i 1) e β i = sup f(x) = f(x i ). [x i 1,x i ] [x i 1,x i ]

27 4. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI 27 Le somme integrli per difetto e per eccesso sono dte d S(f; P ) = f(x i 1 )(x i 1 x i ) e S(f; P ) = e l loro differenz è stimt d S(f; P ) S(f; P ) = f(x i )(x i 1 x i ). [f(x i ) f(x i 1 )] (x i 1 x i ) Indicndo con P l mpiezz di P, cioè il mssimo delle lunghezze x i 1 x i, S(f; P ) S(f; P ) P [f(x i ) f(x i 1 )] = P [f(b) f()]. Per ogni ε > 0, è possibile scegliere P sufficientemente piccol, in modo che l differenz S(f; P ) S(f; P ) si minore di ε, pertnto, grzie (ncor un volt!) ll Proposizione 2.6, l funzione è integrbile. A prtire dlle funzioni monotone e grzie l ftto che combinzioni lineri di funzioni integrbili sono integrbili, è possibile costruire un clsse ncor più mpi di funzioni. Prtimo d un esempio più fcile: si f un funzione definit in [, b] tle che, per qulche c [, b], l funzione f è crescente in [, c] e decrescente in [c, b]. Allor l funzione f si può riscrivere come differenz di due funzioni crescenti (vedi Figur 8): f = f 1 f 2 dove f 1 (x) = { f(x) x [, c] f(c) x [c, b] e f 2 (x) = { 0 x [, c] f(c) f(x) x [c, b] Quindi, nche funzioni con un cmbio di monotoni sono integrbili. Con un Figur 8. Un funzione f con un cmbio di monotoni, decompost come differenz delle funzioni crescenti f 1 e f 2. costruzione nlog, si mostr che tutte le funzioni con un numero finito di cmbi di

28 4. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI 28 monotoni sono integrbili. Ad esempio, tutti i polinomi e, più in generle, tutte le funzioni rzionli sono integrbili. Integrbilità delle funzioni continue. L second clsse che considerimo è quell delle funzioni continue. Studimo, prim di tutto, le funzioni lipschitzine. (7) Tnto per non sbglire, ricordimo che un funzione f : [, b] R è lipschitzin, se esiste L > 0 tle che L > 0 t.c. f(x) f(y) L x y x, y [, b]. Teorem 4.2. Si f : [, b] R lipschitzin, llor è integrbile in [, b]. Dimostrzione. Fisst l benemt prtizione P = {x 0, x 1..., x n }, S(f; P ) S(f; P ) = (β i α i )(x i x i 1 ), con il solito significto per α i e β i. Dto che f è lipschitzin, ess è nche continu in [, b], quindi mmette mssimo e minimo in ogni intervllo [x i 1, x i ] e vle α i = inf f = min f(x) = f(η i ) e α i = sup f = mx f(x) = f(ξ i ) (x i 1,x i ) [x i 1,x i ] (x i 1,x i ) [x i 1,x i ] con η i e ξ i, rispettivmente, un punto di mssimo ed uno di minimo dell funzione f in [x i 1, x i ]. Sostituendo nell relzione precedente, si ottiene S(f; P ) S(f; P ) = (f(ξ i ) f(η i ))(x i x i 1 ) L ξ i η i (x i x i 1 ). Dto che ξ i, η i [x i 1, x i ], l differenz ξ i η i è minore o ugule dell mpiezz P dell prtizione. Quindi S(f; P ) S(f; P ) L P (x i x i 1 ) L(b ) P. Scegliendo P tle che P < ε/l(b ), l differenz S(f; P ) S(f; P ) è strettmente minore di ε e, grzie ll Proposizione 2.6, segue l conclusione. Più in generle si può dimostrre (7) Chi h letto integrlmente queste Note fino questo punto h già tutti gli strumenti per ccorgersi del ftto che le funzioni lipschitzine sono integrbili. Ecco perché: si è visto nei prgrfi introduttivi che l funzione f(x) = x è integrbile (clcolo diretto), si è visto poi che l composizione di un funzione lipschtzin con un funzione integrbile dà luogo d un funzione integrbile (nel prgrfo precedente l presente). M un qulsisi funzione lipschitzin f = f(x) può essere penst come composizione dell funzione identità x x e di un funzione lipschitzin (cioè l funzione stess), quindi l funzione è integrbile. Per completezz, comunque, riportimo qui un dimostrzione indipendente.

29 5. TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE 29 Teorem 4.3. Si f : [, b] R continu, llor è integrbile in [, b]. L dimostrzione pss per un ltro risultto (il Teorem di Heine-Cntor) che grntisce l uniforme continuità dell f. Come dovrebbe intuirsi di pssggi per il cso lipschitzino, l uniforme continuità gioc il suo ruolo nell stim (in modo uniforme, ppunto!) dell differenz β i α i = f(ξ i ) f(η i ). Dettgli omessi per crità di ptri. Prim di tirre vnti, fccimo il punto dell situzione sulle clssi di funzioni che sppimo essere integrbili: le funzioni monotone (in reltà, tutte le funzioni con un numero finito di cmbi di monotoni); le funzioni lipschitzine (in reltà, tutte le funzioni continue); l combinzione linere di funzioni integrbili; il prodotto di funzioni integrbili; l composizione di un funzione lipschitzin con un funzione integrbile (in reltà, l composizione di un funzione continu con un integrbile). Ve ne viene in mente qulche ltr? 5. Teorem dell medi integrle Tutte le funzioni f : [, b] R integrbili sono, per definizione, funzioni limitte. Come si è detto, quest richiest f in modo che l insieme delle funzioni costnti trtti che mggiorno/minorno l funzione f si non vuoto. In prticolre questo signific che dt un funzione integrbile, il suo integrle definito può sempre essere stimto in mnier rude : per le proprietà di monotonì dell integrle, se m f(x) M per ogni x [, b], m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ), Quest formul è intuitivmente ovvi: se pensimo d un funzione non negtiv e ll integrle come re, le quntità M(b ) e m(b ) rppresentno le ree di un rettngolo circoscritto ed inscritto nel sottogrfico di f (vedi Figur 9). L formul si può riscrivere come (5.1) m µ := 1 b f(x) dx M. dove µ è dett medi integrle di f in [, b]. Quindi (5.1) si può riformulre prole dicendo (o scrivendo) che l medi integrle di un funzione f è sempre compres tr un qulsisi minornte ed un qulsisi mggiornte di f.

30 5. TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE 30 Figur 9. Significto geometrico dell stim m(b ) f(x) dx M(b ). Se f è continu in un intervllo [, b], si può dire qulcos di più. Per il teorem di Weierstrss, esistono due punti ξ, η [, b] tli che m := min [,b] f(x) = f(ξ) f(x) f(η) =: mx f(x) = M [,b] x [, b]. Quindi µ, definit in (5.1) è compres tr il mssimo ed il minimo dell funzione f in [, b]. Grzie l Teorem del Vlore Intermedio, si può concludere che per un funzione f continu in [, b], l medi integrle f sempre prte dell insieme immgine f([, b]). Questo risultto è noto come Teorem dell Medi Integrle. Teorem 5.1 (Teorem dell Medi Integrle). Si f : [, b] R continu. Allor esiste ξ [, b] tle che (5.2) f(ξ) = 1 b f(x) dx. Nel cso di un funzione non negtiv f, il teorem equivle d ffermre che esiste un rettngolo di bse [, b] ed un ltezz f(ξ) opportun con l stess re del sottogrfico di f in [, b]. Non è prticolrmente sconvolgente (m più vnti servirà) osservre che l formul (5.1) vle nche nel cso b <, inftti 1 b f(x) dx = 1 b b f(x) dx, e quest ultimo termine si può pplicre il Teorem dell Medi Integrle.

31 5. TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE 31 Controesempio. Nel cso in cui l funzione f non si continu in tutto [, b], non è detto che vlg (5.1). Ad esempio, si consideri l funzione 1 x < 0, f(x) = sgn x = 0 x = 0, +1 x > 0, nell intervllo [ 1, 2]. Allor f è integrbile (per lmeno due motivi... quli?) µ = 1 2 ( 1) 2 1 sgn (x) dx = 1 3 ( 1 + 2) = 1 3, che non f prte dell immgine dell funzione sgn x. Il nome medi integrle discende dl ftto che il vlore µ è l erede nturle dell medi ritmetic. Dto un numero finito di quntità f 1, f 2,..., f n si chim medi ritmetic il vlore f 1 + f f n. n Nell costruzione dell integrle di un funzione in un intervllo, se considerimo intervlli di lunghezz x i pri (b )/n per ogni i e ξ i (x i 1, x i ), ottenimo come vlore pprossimnte l quntità f(ξ i )(x i x i 1 ) = (b ) f(ξ 1) + f(ξ 2 ) + + f(ξ n ) n (che è ll bse di lcune pprossimzioni numeriche dell integrle di funzioni complicte ). Quindi l medi ritmetic di f(ξ 1 ),..., f(ξ n ) è pri f(ξ 1 ) + + f(ξ n ) = 1 f(ξ i )(x i x i 1 ), n b che, per x i x i 1 0 dà formlmente proprio l medi integrle! Alle volte è utile considerre un medi pest, ossi µ = p 1f 1 + p 2 f p n f n p 1 + p p n, dove i pesi p i sono quntità positive. Ad esempio, se p 1,..., p n sono i pesi di prticelle che si trovno nelle posizioni f 1,..., f n dell sse x, llor µ rppresent l posizione del centro di grvità (bricentro). Nel cso in cui tutti i pesi p i coincidno, l quntità µ coincide con l medi ritmetic. Per un funzione f, possimo definire l medi integrle pest dell funzione f sull intervllo [, b] come µ p = f(x)p(x) dx p(x) dx dove l funzione peso p è positiv e integrbile in [, b] (l positività di p grntisce che il denomintore dell medi si non nullo).

32 6. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 32 Teorem 5.2 (Teorem Generlizzto dell Medi Integrle). Si f : [, b] R continu in [, b] e si p : [, b] R continu tle che p(x) > 0. Allor esiste ξ [, b] tle che f(x)p(x) dx f(ξ) =. p(x) dx Dimostrzione. L dimostrzione è nlog quell del Teorem dell Medi Integrle. Bst inftti osservre che m f(x) M implic mp(x) f(x)p(x) Mp(x), e, grzie ll monotonì, m p(x) dx f(x)p(x) dx M p(x), quindi l medi integrle pest pprtiene ll immgine f([, b]), grzie l Teorem del Vlore Intermedio. 6. Teorem fondmentle del clcolo integrle Un volt fisst l funzione f, l integrle definito dipende dll intervllo di integrzione o, detto in ltri termini, è un funzione degli estremi di integrzione e b. Per studire quest dipendenz, supponimo l estremo inferiore fissto l vlore e indichimo l estremo superiore (vribile) con x: considerimo, quindi, l funzione integrle (6.1) φ(x) = x f(t) dt. L formul (6.1) può essere utilizzt per generre nuove funzioni prtire d un funzione integrbile f. Ad esempio, si può definire φ(x) := x 1 1 dt x > 0, t che h perfettmente senso, dto che l funzione 1 è un funzione continu in ogni t intervllo [, b] con 0 < b. Tle funzione, come vedremo, si dimostr essere ugule l logritmo nturle e l formul precedente può quindi essere scelt come definizione nlitic di ln x. Oppure provte, d esempio, considerre φ(x) = essendo [t] l funzione prte inter, disegnndo il grfico di φ(x). O tnte ltre. Il ftto importnte è che, in molte situzioni di quotidin normlità, compre ll orizzonte un funzione che non è dt d un polinomio, o d un funzione rzionle, o qunt ltro, m è un funzione integrle. E con un oggetto del genere si vorrebbe lvorre così come si lvor con ltre funzioni più fmiliri. Ad esempio, qul è l x 0 [t]dt

33 6. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 33 regolrità di un funzione integrle (è continu/derivbile)? Come se ne studino segno/monotoni/convessità? Un prim osservzione è fcile fcile: se f è integrbile in [, b], l funzione φ, definit in (6.1), è lipschitzin. Inftti, dto che f è integrbile, ess è nche limitt. Si M > 0 tle che f(u) M per ogni u [, b], llor, y y se x < y, φ(x) φ(y) = f(u) du f(u) du M(y x); Quindi x x se x > y, φ(x) φ(y) = x f(u) du f(u) du M(x y). y f(u) M = φ(x) φ(y) M x y. In prticolre, se f è integrbile, l funzione φ è un funzione continu. x y Esempio 6.1. Considerimo l funzione f(x) = sgn x che è continu trtti (h un punto di slto in x = 0). Chi è l funzione Dto che φ(x) = x x > 0 φ(x) = x < 0 φ(x) = x 0 0 sgn (t) dt? x 0 sgn (t) dt = sgn (t) dt = x 0 x 0 1 dt = x ( 1) dt = x, l funzione φ(x) è l funzione modulo: φ(x) = x. Sorpresi? E se definimo cos ottenimo? ψ(x) = x 1 sgn (t) dt, Dt f un funzione continu in [, b], studimone l derivbilità dell funzione definit d (6.1). Il rpporto incrementle è φ(x + h) φ(x) = 1 x+h x f(t) dt f(t) dt = 1 x+h f(t) dt h h h α α x

34 6. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 34 (l ultim uguglinz è conseguenz delle proprietà di dditività dell integrle). Dto che l funzione f è continu, è possibile pplicre il Teorem dell Medi Integrle per riscrivere il rpporto incrementle come φ(x + h) φ(x) = f(ξ) (ξ compreso tr x e x + h). h Per h che tende 0, ξ tende d x e, dto che f è continu, lim f(ξ) = f(x). Quindi h 0 φ φ(x + h) φ(x) (x) = lim h 0 h Abbimo quindi dimostrto il seguente risultto. = lim h 0 f(ξ) = f(x). Teorem 6.2 (Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle I prte). Dt f continu in [, b] e α [, b] fissto, si φ(x) = x α f(t) dt x [, b]. Allor l funzione φ è derivbile in (, b) e φ (x) = f(x). Un prim conseguenz (prtic) notevole è che, dto che simo in grdo di clcolrne l derivt, possimo dedurre molte proprietà qulittive importnti nche per un funzione che non si espress direttmente trmite funzioni elementri, m come integrle di un funzione elementre. Ad esempio considerimo l funzione funzione degli errori: Erf(x) = 1 x e t2 dt. π Chirmente quest funzione è ben definit su tutto R (l funzione e x2 è continu in tutto R e quindi integrbile su ogni intervllo). Dl Teorem 6.2, deducimo che d dx Erf(x) = 1 e x2 > 0. π Quindi l funzione Erf(x) è strettmente crescente. M c è qulcos di molto più interessnte: il Teorem 6.2 risolve, nel cso di f continu, un problem utile: dt f, trovre un funzione F che risolv l equzione F = f. L equzione F = f è un equzione differenzile in cui il dto è l funzione f e l incognit è l funzione F. Un soluzione F di quest equzione si dice primitiv di f. Il Teorem fondmentle del clcolo fferm che se f è continu in [, b], il problem F = f mmette lmeno un soluzione (dt dll funzione integrle φ), 0

35 6. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 35 cioè esiste sempre lmeno un primitiv. D questo punto di vist si può intepretre l operzione di integrzione come l operzione invers delle derivzione. Il problem successivo è cpire qunte soluzioni ci sino dell equzione F = f e come sino ftte: dt f continu, (i) ci sono ltre soluzioni di F = f? (ii) in cso ffermtivo, come sono ftte tutte le soluzioni di F = f? Teorem 6.3 (Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle II prte). Si f definit in [, b] e sino F e G due sue primitive. Allor esiste c R tle che F (x) G(x) = c per ogni x [, b]. Dimostrzione. L dimostrzione è molto semplice. Clcolimo l derivt dell funzione differenz F G: (F (x) G(x)) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, quindi l differenz F G deve essere costnte. In ltre prole, per f definit in un intervllo (8), tutte le soluzioni di F = f sono dell form F (x) + c con c R, dove F è un primitiv di f. Quindi, se f è un funzione continu in [, b], l equzione F = f è completmente risolt: tutte le soluzioni sono dell form x α f(t) dt + c c R. L clsse delle primitive dell funzione f si indic con f(x) dx, e si chim integrle indefinito di f. Si noti bene che l integrle indefinito di un funzione indic un clsse di funzioni, e non un singol funzione. Sintetizzimo i due risultti enunciti in un unico Teorem. Teorem 6.4 (Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle). Dt f : [, b] R continu, le funzioni F che verificno F (x) = f(x) per ogni x [, b] sono tutte e sole dell form F (x) = x α f(t) dt + c con α [, b] e c R. (8) Si noti che il Teorem è flso se le funzioni non sono definite su intervlli.

36 6. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 36 Un problem clssico, nell mbito delle equzioni differenzili, è il problem di Cuchy. In quest mbito, corrisponde cercre un primitiv F di un funzione f con l richiest ggiuntiv che F vlg in un punto ssegnto x 0 un vlore dto y 0, cioè { F (6.2) dti f, x 0 [, b], y 0 R, trovre F tle che (x) = f(x), F (x 0 ) = y 0. Se l funzione f è continu in [, b], grzie l Teorem 6.4 si può concludere che l soluzione F esiste, è unic ed è dt d F (x) = y 0 + x x 0 f(t) dt. Primitive e clcolo degli integrli definiti. Il Teorem fondmentle del clcolo h un conseguenz interessnte che rigurd il clcolo esplicito di integrli definiti. Fino d desso, bbimo clcolto il vlore (6.3) f(t) dt. per scelte prticolri dell funzione f, trmite l costruzione di somme pprossimnti, e pssndo l limite grzie d lcune proprietà specifiche delle funzioni che bbimo considerto. Concretmente quest strtegi di clcolo non è fftto conveniente. Supponimo di voler clcolre (6.3) e supponimo di conoscere già (per ltre vie) un primitiv dell funzione f, cioè un funzione F tle che F = f. Sppimo che nche l funzione integrle definit d φ(x) = x f(t) dt. è un primitiv di f e, quindi, per il Teorem 6.3 differisce d F per un costnte, cioè φ(x) = F (x) + c per qulche c R. L costnte c può essere determint, clcolndo in x = : 0 = φ() = F () + c = c = F (). Si deduce quindi che φ(x) = F (x) F () e quindi f(t) dt = φ(b) = F (b) F (). Quindi, se si conosce un primitiv F dell funzione f, l integrle definito di f in [, b] è ugule ll differenz dei vlori dell primitiv in b e in, cioè F = f = f(t) dt = F (b) F ().

37 7. BREVE UN CENNO SUL SENSO DELLA PAROLA AREA 37 L differenz F (b) F () si indic nche con F (x) Ad esempio, bbimo visto che b x 2 dx = 1 3 (b3 3 ). o [ F (x) Per dimostrre quest formul, simo pssti per un rppresentzione (non bnle) dell somm dei qudrti dei primi n numeri interi. Grzie qunto bbimo ppen notto, per clcolre ( lo stesso oggetto, bst determinre un primitiv dell funzione x 2. Dto che d 1 x3) = x 2, un primitiv di x 2 è x 3 /3. Quindi dx 3 x 2 dx = 1 3 x3 b Più in generle, dto che per α 1, vle l formul d dx x α dx = 1 b α + 1 xα+1 ] b = 1 3 b = 1 3 (b3 3 ). ( 1 α + 1 xα+1 ) = x α, = 1 α + 1 (bα+1 α+1 ) α 1. Nello stesso modo possimo ottenere formule di integrzione per ltre funzioni. Ad d esempio, (senx) = cos x, e perciò dx π/2 cos x dx = senx = sen(π/2) sen0 = 1. 0 π/2 0 Qunt ftic risprmit rispetto l clcolo diretto! Punti di vist. Attenzione! L integrzione esplicit trmite un primitiv not è un scorcitoi notevole rispetto l clcolo del limite delle somme pprossimnti, m è un fortun occsionle. Esistono tnte funzioni per cui non è possibile determinre un primitiv in form elementre. Non bisogn perciò mi confondere l definizione di integrle definito e il clcolo trmite un primitiv not. 7. Breve un cenno sul senso dell prol re Il cpitolo è inizito discutendo l questione del clcolo dell re del sottogrfico di un funzione non negtiv. Vle l pen di ritornre sul problem del significto dell re delle regioni di pino, problem che è legto filo doppio col concetto di integrle e ll su progenie. Tnto per essere chiri fin d principio, non c è nessun intenzione di entrre nel dettglio tecnico dell questione (che è ben più profond di quello che dirò qui). Quello che si s in genere prtire dll geometri delle elementri è che certe figure pine è ssocito un numero, detto re, che è clcolbile trmite un formul più o meno semplice. M cos è dvvero l re? E come clcolrl nel cso di figure strmbe, cioè.

38 7. BREVE UN CENNO SUL SENSO DELLA PAROLA AREA 38 nel cso di figure che non rientrino in quell miser clsse di regioni di cui (per trdizione) ci è stt trmndt l formul dell re? Dirò di più... l domnd di fondo è ben più impegntiv: che senso h l prol re per domini del pino del tutto generli? Occorre chirmente comincire d qulche prte e il punto d vvio più rgionevole è ccettre, come legge ssiomtic o come prescrizione giuridic (fte voi) che l re di un rettngolo è dt dll fmos formul bse per ltezz. Per essere più chiri, mettimoci prim di tutto d ccordo con i nomi: un insieme R R 2 è un rettngolo se è il prodotto crtesino di due intervlli limitti. Quindi sono rettngoli oggetti del tipo [, b] [c, d], (, b) (c, d), [, b) (c, d], (, b] (c, d),, dove b e c d. Per definizione, stbilimo che l re A(R) di un rettngolo R è il prodotto dell lunghezz dei due intervlli d cui è definito. Ad esempio, A ( [, b] [c, d] ) = A ( (, b) (c, d) ) = (b )(d c). Occorre subito fre lcune osservzioni su qunto stbilito fin qui: bbimo mmesso, per comodità, come rettngoli solo quelli con lti prlleli gli ssi coordinti, questo vuol dire che per or non bbimo nessun informzione sull re di rettngoli (nel senso nïf del termine) con lti obliqui; tr i rettngoli bbimo mmesso nche oggetti degeneri : segmenti orizzontli e verticli nel pino (d esempio, {0} [0, 1] o [0, 1] {0}) e persino l insieme vuoto (che si può ottenere in molti modi, d esempio, come (0, 0) [c, d] = ), dll definizione di A(R) segue che ciscuno di questi rettngoli degeneri h re zero (come è rgionevole che si); per come è definit, l re del rettngolo non vri se si ggiungono o si tolgono uno o più lti, d esempio i rettngoli [0, 1] [0, 1], (0, 1) (0, 1), (0, 1) (0, 1], [0, 1] (0, 1] hnno tutti l stess re. Anche questo è rgionevole dto che i lti hnno re null (quindi ggiungerli o toglierli non cmbi le cose). Or introducimo un second regol per le ree: se un regione limitt del pino è divis in più prti (senz sovrpposizioni), l re di tutt l regione è l somm delle ree delle singole prti. Grzie quest legge h senso nche l prol re per regioni del pino che sono unione finit di rettngoli. Dimo loro un nome. Un insieme R R 2 è un plurirettngolo se è unione finit di rettngoli. Un plurirettngolo R può sempre essere decomposto come unione finit di rettngoli disgiunti (9), cioè esistono N rettngoli R i tli che R = N R i R i R j = i j. (9) Quest ffermzione ndrebbe giustifict rigorosmente, m contimo sull fiduci del lettore o sull su buon volontà di verificrlo d solo...

39 7. BREVE UN CENNO SUL SENSO DELLA PAROLA AREA 39 L re di un plurirettngolo sifftto è definit dll somm delle ree dei rettngoli R i A(R) = N A(R i ). Anche qui si dovrebbe verificre che quest definizione si indipendente dll scelt degli R i, cioè che un qulsisi decomposizione di R come unione finit di rettngoli disgiunt di luogo llo stesso numero A(R). Credeteci. Al punto cui simo rrivti, bbimo un clsse bbstnz mpi (tutti i plurirettngoli del pino) di insiemi di cui sppimo dire cos è l re. Come comportrsi per un regione S più generle? L ide è molto ntic ed è, nell sostnz, quell del metodo di esustione (proposto già dll ntichità): pprossimimo l regione S trmite plurirettngoli contenuti in S e plurirettngoli contenenti S e poi... cerchimo l migliore pprossimzione possibile! Figur 10. L regione S e due plurirettngoli pprossimnti dll interno e dll esterno. Definizione 7.1. Si S R 2 un insieme del pino contenuto in un rettngolo. L insieme S è misurbile se sup{a(r) : R plurirett., R S} = inf{a(r) : R plurirett., S R}. In questo cso, il vlore comune si indic con A(S) ed è detto re di S. L ide è più che rgionevole: se A(S) h senso, l migliore pprossimzione del vlore A(S) dll interno è dt dll estremo superiore delle ree dei plurirettngoli contenuti in S, e l migliore pprossimzione di A(S) dll esterno è dt dll estremo inferiore delle ree dei plurirettngoli contenenti S. Allor tnto vle prendere proprio l proprietà di coincidenz di questi due numeri come definizione di misurbilità, cioè di esistenz dell re! Come si può fr diminuire l errore di un pprossimzione dll interno e/o dll esterno? Semplice, bst considerre plurirettngoli composti d rettngoli di lto sempre più piccolo. In un certo senso si vuole compiere un operzione di limite, fcendo tendere l lunghezz dei lti dei singoli rettngoli zero (vedi Figur 11).

40 7. BREVE UN CENNO SUL SENSO DELLA PAROLA AREA 40 Figur 11. Plurirettngoli composti d rettngoli di lto più piccolo dnno pprossimzioni migliori. Il ritorno dell re di un sottogrfico. Or che bbimo un ide più solid e meno nïf di cos si intend prlndo di re, tornimo ll questione del clcolo/definizione dell re del sottogrfico di un funzione non negtiv: dt un funzione f : [, b] R non negtiv, h senso prlre di re A(S f ) di S f = {(x, y) x b, 0 y f(x)}? In cso ffermtivo, qul è il vlore A(S f )? Nel cso delle funzioni costnti trtti non negtive è chiro che l rispost è ffermtiv: dto che il sottogrfico è unione finit di rettngoli (cioè è un plurirettngolo), l re è dt dll somm delle ree dei rettngoli e quindi coincide con il vlore dell integrle definito dell funzione f nell intervllo. Cos succede nel cso generle? Abbimo questo punto due risposte, pprentemente differenti. L prim coincide con l definizione di integrle definito: A(S f ) h senso se e solo se (7.1) sup{a(s g ) : g cost. trtti, 0 g f} = inf{a(s h ) : h cost. trtti, h f}, dove A(S g ) = g(x) dx, A(S h ) = h(x) dx. L second è figli dell definizione generle di misurbilità di insiemi nel pino che bbimo ppen presentto: (7.2) sup{a(r) : R plurirett., R S f } = inf{a(r) : R plurirett., S f R}. A prim vist non è chiro se e perché le due definizioni coincidno. L unic cos chir è che, dto che i sottogrfici di funzioni costnti trtti sono scelte possibili di plurirettngoli, vlgono le inclusioni {S g : g costnti trtti, g f} {R plurirettngoli : R S f } {S h : h costnti trtti, h f} {R plurirettngoli : S f R}. e, di conseguenz, nche le disuguglinze sup{a(s g ) : g cost. trtti, g f} sup{a(r) : R plurirett., R S f } inf{a(s h ) : h cost. trtti, h f} inf{a(r) : R plurirett., S f R}.