Premessa integrale definito Dati identificativi Destinatari: Tempi: Docenti coinvolti: Argomenti correlati Articolazione dell apprendimento unitario

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1 Lezione simult Unità didttic di nlisi Mtemtic: L INTEGRLE DEFINITO Premess Quest unità didttic è propost i discenti per determinre le ree di figure delimitte d curve, per il clcolo di volumi, del lvoro di un forz, dello spzio percorso fcendo sempre riferimento llo sviluppo storico che i prolemi clssici hnno incontrto nel corso dei secoli Si nel cmpo scientifico che in quello tecnico si presentno spesso situzioni che per essere ffrontte è necessrio ricorrere l clcolo dell integrle definito Vi sono inftti svriti prolemi geometrici, meccnici, fisici in cui riveste un notevole significto l misur dell re dell superficie delimitt dl grfico di un funzione e dll sse delle scisse in un certo intervllo Tle superficie viene dett trpezoide e l misur dell su re si ottiene utilizzndo il clcolo di un integrle definito Dti identifictivi Destintri: Si f riferimento d un situzione esemplifictiv di un clsse di lunni iscritti ll terz clsse di un liceo clssico d indirizzo PNI con un suddivisione dell nno in qudrimestri Tempi: L unità didttic srà svolt durnte le ore curricolri di mtemtic, informtic e fisic per un totle di circ 5 ore Docenti coinvolti: Mtemtic, Informtic, Fisic rgomenti correlti: Clcolo dell legge orri in un moto, Lvoro di un forz, Energi di un condenstore, Energi di un cmpo mgnetico rticolzione dell pprendimento unitrio PeCuP (Profilo eductivo Culturle e Professionle Ciclo): Strumenti culturli cquisire gli strumenti formli, mtemtici o comunque logici fondmentli e necessri per l comprensione delle discipline scientifiche e per poter operre nel cmpo delle scienze pplicte; Conoscere criticmente concetti mtemtici di se e operre con essi per porre e risolvere prolemi reltivi lle sue ppliczioni Comprendere il ruolo che il linguggio mtemtico ricopre in qunto strumento essenzile per descrivere, comunicre, formlizzre, dominre i cmpi del spere scientifico e tecnologico; PeCuP (Licei): Possedere gli strumenti mtemtici fondmentli e necessri per l comprensione delle

2 discipline scientifiche e per poter operre nel cmpo delle scienze pplicte; cquisire le conoscenze tecniche e tecnologiche indispensili nell vit quotidin e sperimentre l uso di semplici strumenti tecnologici; conoscere le crtteristiche dei sistemi tecnici semplici e i tipi di operzioni d essi svolte Collocre il pensiero mtemtico e scientifico nei grndi temi dello sviluppo dell stori delle idee e dell cultur, nell stori delle scoperte scientifiche e delle invenzioni tecnologiche vere fmilirità con gli strumenti informtici per utilizzrli nelle ttività di studio e pprofondimento delle ltre discipline; Oiettivi Generli del processo Formtivo: Promozione dell interdisciplinrità L itudine trsferire strumenti e schemi concettuli d un contesto disciplinre d un ltro, l scopert del crttere fortemente genertivo del punto di vist etrdisciplinre, il riconoscimento dell complessità dei metodi e dei concetti che dnno senso ll reltà e ll vit individule e socile diventno quindi un costnte dell intenzionlità formtiv vvlormento dell storicità I contenuti e i metodi di ogni disciplin si rricchiscono di senso e di motivzione qundo sono posti ll interno di uno sfondo storico e socile Prerequisiti I discenti devono conoscere e sper pplicre le principli proprietà rigurdnti nozioni fondmentli dell nlisi, ovvero sono conoscenze pregresse: Concetto di limiti e principli proprietà ; Concetto di derivte e principli proprietà; Concetto di integrli indefiniti e principli proprietà; ilità nel clcolo di integrli indefiniti immediti o fcilmente riconduciili d essi Concetto di successione e principli proprietà; Concetto di misur; Nozioni principli dell teori degli errori; Conoscenz del concetto di re e volume di un superficie Oiettivi Comprendere l importnz e il significto geometrico di integrle; cquisire conoscenz e pdronnz dell uso dell terminologi utilizzt; Conoscere le principli proprietà; Conoscere ed pplicre i teoremi proposti; Clcolre ree di superfici contorno curvilineo e volumi di solidi di rotzione; pplicre le conoscenze cquisite in ltri miti disciplinri;

3 Utilizzre conspevolmente strumenti informtici Contenuti Utilizzre conspevolmente strumenti informtici; Introduzione ll integrzione definit: clcolo dell re del rettngoloide; Definizione di integrle definito; Proprietà dell integrle definito; Teorem dell medi o del vlor medio; L funzione integrle; Teorem fondmentle del clcolo integrle (Teorem di Torricelli-Brrow ); Formul fondmentle del clcolo integrle; re tr due o più curve; Superficie e volume di un solido di rotzione; Lunghezz di un rco di curv; ppliczioni fisiche (Clcolo dell legge orri in un moto, Lvoro di un forz, Energi di un condenstore, Energi di un cmpo mgnetico); Integrli di funzioni continue trtti; Integrli impropri del e del tipo Strumenti didttici e risorse tecnologiche Mnule disciplinri in uso; Schede opertive con esercizi mirti per fvorire l pprofondimento e il recupero; Schede strutturte con svolgimento nnesso; Lvgn; Quderno; Computer; Gessi colorti; Mppe concettuli Metodi e tecniche di insegnmento Nell introdurre il concetto di integrle definito, l fine di trovre il giusto modo per coinvolgere i discenti proporrei un lezione frontle Dpprim esporrei che l necessità di studire il concetto di integrle definito si ritrov nel voler vlutre l re di un superficie pin limitt d un contorno curvilineo Per suscitre in loro curiosità e cogliere l ttenzione proietterei sull lvgn qudrettt un figur curviline che dopo verl definit come trpezoide proporrei loro di clcolrne l re 3

4 Dopo ver scoltto le vrie supposizioni che i discenti proporrnno lvorndo nche in gruppo, si frà ricordre loro che misurre un grndezz vuol dire confrontrl con un ltr omogene, fisst come unità di misur, in modo d poter stilire qunte volte quest ultim è contenut in quell d misurre tl punto d ogni discente srà fornito un foglio qudrettto sul qule è già stmpto il trpezoide e si inviternno i discenti contre il numero di qudretti presenti ll interno dell figur Durnte il clcolo dell re del trpezoide mi spetterò che qulche discente mi chied come si possono contre i qudretti che sono tgliti dl lto curvilineo, d qulche ltro mi spetto che mi veng chiesto qunto influisce l grndezz del qudretto sull rele misur del trpezoide Si clcolerà l re (più grnde) che tiene conto dei qudretti esterni ll curv e quell (più piccol) che comprende solo i qudretti strettmente inclusi nell figur In questo modo si vrà un misur per eccesso e un per difetto e pertnto si proporrà di clcolrne l errore ssoluto e l errore reltivo Inoltre utilizzndo un foglio con qudretttur più fitt si ripeterà lo stesso procedimento di misurzione dell re dell stesso trpezoide per fr notre i discenti che l errore reltivo ndrà vi vi diminuendo, per cui i due vlori ottenuti tendernno d pprossimre sempre meglio il vlore rele dell superficie L metodologi impiegt utilizzt per svolgere l inter unità didttic si può così sintetizzre: Lezione frontle per ffrontre in modo rigoroso e puntule gli rgomenti; Lvoro di gruppo e uso del tutorggio; Prolem solving; Lezione prtecipt per stimolre tr gli lunni l ttività di ricerc dei concetti rigurdnti il linguggio lgerico e il clcolo letterle; Esercitzione in clsse; Interventi didttici che fvoriscono il recupero in itinere; Utilizzo di strumenti informtici (come Derive e Crì II Plus) utilizzili per l risoluzioni di esercizi reltivi l clcolo dell integrle definito pproccio l concetto di integrle definito tl punto è possiile pssre ll formlizzzione del concetto di integrle definito utilizzndo le nozioni di successioni e di limite (prerequisiti fondmentli per lo studio di tle rgomento) Si generlizz l esperienz svolt in ul e l si pplic d un funzione f : [, ] continu definit sull'intervllo I = [, ] chiuso e limitto Si consider il cso in cui l funzione si positiv e crescente nell intervllo considerto; il digrmm dell funzione srà llor un rco di curv B sopr l sse Ci proponimo di

5 vlutre l misur dell re del trpezio mistilineo BB (trpezoide) limitto dell rco B, dlle rette di equzione = e = e dll sse y P Q B M N B C D Per determinre l re in oggetto, dividimo l intervllo [, ] in un certo numero n di prti uguli di mpiezz Δ, e di punti di suddivisione conducimo le prllele ll sse fino d incontrre l rco B in ltri punti D questi punti conducimo, infine delle prllele ll sse in modo d formre dei rettngoli (come nell figur ) Il trpezoide rest in tl modo diviso in tnti trpezoidi przili e si CDQM qulunque di questi: l su re è mggiore di quell del rettngolo CDNM e minore dell re del rettngolo circoscritto CDQP, cosicché l misur S dell re di tutto il trpezoide è sempre compres tr l misur s n circoscritto dell re del plurirettngolo inscritto e l misur S n dell re del plurirettngolo Considerimo,,, n- i punti di suddivisione dell intervllo [, ] e ponimo = e = n - L mpiezz dell intervllo srà Δ = ed vremo n s n n ( ) + f ( ) + + f ( ) Δ Δ n- Δ = - f ( ) Δ = f k = k, 5

6 y C D B sn (D, f ) si dice somm inferiore S n n ( ) + f ( ) + + f ( ) Δ Δ = f ( ) Δ = f Δ n k = k y C D B Sn (D, f ) si dice somm superiore l vrire di n le ree dei due plurirettngoli vriernno ed vrnno perciò vlori diversi di s n e S n ; pertnto potremo considerre le due successioni numeriche: s, s,, s n n, S, S,, S, 6

7 reltive lle suddivisioni dell intervllo [, ] in,,, n, prti uguli qulunque si n, srà sempre s n < S < S n ; Se fccimo crescere indefinitmente il numero n delle suddivisioni dell intervllo [, ] in modo che tend zero l mpiezz di ciscun degli intervlli przili, le due successioni tenendo llo stesso limite: lim n - k = f ( ) Δ k = lim n f k = ( ) Δ Tle limite è un numero che si chim integrle definito dell funzione f() reltiv ll intervllo [, ] e si denot con f ( )d dove [, ] si dice dominio di integrzione, f funzione integrnd, e estremi dell integrle, vriile d integrzione e d indic l lunghezz del singolo intervllino, che tende zero l tendere di n ll infinito Osservzione: Srà opportuno fr osservre che l integrle definito è un numero en determinto e non un funzione Proprietà dell integrle definito Per umentre, i fini del clcolo, l flessiilità dell nozione di integrle è nche utile dottre le seguenti convenzioni: Se si clcol l re di un figur in un punto, ovvero se gli estremi di integrzioni sono uguli: f ( ) d = ; Se si scmino fr loro gli estremi, l integrle definito cmi segno: Un ltr proprietà utile per il suo clcolo è f ( ) d = - f ( )d ; Linerità rispetto ll funzione integrnd: L integrle del prodotto di un costnte per un funzione integrile in [, ] è ugule l prodotto dell costnte per l integrle dell funzione: k k f d k f d k R Come per l integrle indefinito, l integrle definito dell somm di due funzioni integrili nello stesso intervllo [, ] è ugule ll somm degli integrli: [ f ( ) + g( ) ] d = f ( )d+ g( )d ; 7

8 dditività rispetto gli intervlli: Sino,, c tre punti pprtenenti d un intervllo [, ] in cui l funzione è integrile; se <c< si h: Confronto f ( ) d = c f ( )d + f ( )d f ( ) d ( )d f ; Di seguito srnno trttti il teorem dell medi, l funzione integrle, il teorem Fondmentle del Clcolo Integrle Teorem dell medi Se l funzione f è continu nell intervllo chiuso e limitto [, ], llor esiste un punto c di tle intervllo per cui si h: c o in form equivlente f ( ) d = ( - ) f ( c) f ( c) d f y D f(c) f(c) C c c B Giustificzione con l intuizione geometric Pres un rett orizzontle, potremo sempre spostrl verso l lto o verso il sso in modo d relizzre l situzione in cui l re del rettngolo compreso fr l rett e l sse, sull intervllo [, ], si perfettmente ugule ll re del trpezoide L ordint costnte dei punti di tle rett dovrà evidentemente essere compres fr il minimo ssoluto e il mssimo ssoluto dell funzione su [, ], quindi l rett srà oligt tglire l 8

9 curv continu in lmeno un punto L sciss di tle punto di intersezione rett-curv è l sciss c di cui il teorem fferm l esistenz Dimostrzione L funzione f () per ipotesi continu sull intervllo chiuso e limitto [, ], è ivi dott di minimo ssoluto m e di mssimo ssoluto M (per il Teorem di Weierstrss) Se or noi prendimo un qulsisi somm integrle inferiore, vremo e nlogmente, pres un qulsivogli somm integrle superiore, vremo Poiché dunque per ogni n risult si vrà ed essendo srà dunque d cui 9

10 Esiste perciò (per il teorem dei vlori intermedi o di Drou) un sciss c, con < c <, tle che quindi Osservzione L ordint f ( ) d = ( - ) f ( c) (cvd) viene chimt vlor medio dell funzione f () su [, ] Funzione Integrle Considerimo un funzione f continu nell intervllo [, ] chiuso e limitto e si un qulsisi punto dell intervllo considerto Si chim funzione integrle dell funzione f in [, ], l funzione così definit: F( ) = f che ssoci d ogni [, ], il vlore numerico ( t)dt f ( t)dt L vriile indipendente per l funzione F è l estremo superiore dell integrle definito dto dll relzione precedente L vriile t è dett vriile di integrzione y f() D C B

11 Teorem Fondmentle del Clcolo (Torricelli-Brrow) Si f un funzione continu in un intervllo chiuso [, ], l corrispondente funzione integrle F () è derivile e per ogni [, ]: F ( ) = f ( ) Dimostrzione c + Considerimo un sciss fisst picere in [, ] e scrivimo il rpporto incrementle dell funzione F nel punto vremo: dove l ultimo pssggio è un ppliczione del Teorem dell Medi sull intervllo [ l sciss di cui questo teorem ssicur l esistenz ]: c è Il punto c dipende d, ossi è c = c( ) e si h che Or fremo tendere zero; m qundo tende zero, l sciss, essendo strett fr (fissto) e, tenderà e vremo: F F F NOT lim lim f c f (cvd) c NOT: quest ultimo pssggio dipende strettmente dll ipotesi di continuità per l f () Osservzione Nell dimostrzione, per rendere il rgionmento più spontneo e nche per rgioni di prticità nell esposizione, imo supposto positivo l incremento E chiro che il tutto si potree riformulre per un di segno qulsisi Formul Fondmentle del Clcolo Se f è continu in [, ] e se F è un qulunque primitiv di f, llor: f ( ) d = F( ) - F( )

12 Tli teoremi ci permettono di ffermre che: - Ogni funzione continu mmette un primitiv; - Per vlutre l'integrle definito di un funzione continu è necessrio trovre un su primitiv e vlutrl gli estremi dell'intervllo Cenni storici sull integrle ( L'ide di se del concetto di integrle si trov già in rchimede di Sircus, vissuto tr il 87 ed il C, in prte nel metodo d lui usto per il clcolo dell're del cerchio o del segmento di prol detto metodo di esustione e più precismente nel clcolo dell're dell superficie rcchius dl primo giro dell spirle (che rchimede stim dll'lto e dl sso con un cso prticolre di quelle che srnno dette "somme di Riemnn") Nel XVII secolo, vri mtemtici trovrono ltri metodi ingegnosi per clcolre l're sottes l grfico di semplici funzioni, d esempio: (Fermt 636), (Nicolus Merctor, 668) Tutto ciò prim che Newton, Leiniz, Johnn Bernoulli scoprissero indipendentemente il teorem fondmentle del clcolo integrle che ricondusse tle prolem ll ricerc di un primitiv o ntiderivt di un funzionel definizione di integrle per le funzioni continue in tutto un intervllo, introdott d Pietro Mengoli ed espress con mggiore rigore d Cuchy, venne post su se divers d Riemnn in modo d evitre il concetto di limite e d comprendere più estese clssi di funzioni M nel 875 Gston Drou mostrò con un suo celere teorem che l definizione di Riemnn può essere enuncit in mnier del tutto simile quell di Cuchy, purché si intend il concetto di limite in modo un po' più generle Per questo motivo si prl di integrle di Cuchy-Riemnn Tle mggior generlità servì di spunto Muro Picone nel 93 per l definizione del limite d'un vriile dett ordint ppliczioni del clcolo integrle ll informtic Con Derive e Crì-II Plus l di là di svolgere in mnier immedit il clcolo di integrle definiti e di plottre i reltivi grfici frò svolgere esercizi che rendono ncor più interessnte lo studio dell UD in esme proponendo esercizi un po più impegntivi come d esempio l esercizio seguente Esercizio Clcolre l re dell regione di pin delimitt dlle due curve di equzione 3 f ( ) e ( ) ln g nell intervllo delimitto di due punti di intersezione fr le curve

13 ppliczioni del clcolo integrle ll fisic Clcolo dell legge orri in un moto Qundo un punto mterile si muove su un triettori con velocità vriile nel tempo v = v(t) si può clcolre lo spostmento Δs suito dl moile nell intervllo di tempo t, t medinte l relzione: t Δs = v( t)dt t s t = v t M l velocità istntne è l derivt dell funzione spzio percorso ovvero ( ) ( ); perciò essendo s(t) un primitiv di v(t), per l formul fondmentle del clcolo integrle; si h: t v t ( t) dt = s( t )- s( t ) nlogmente se l ccelerzione vri nel tempo in modo noto, cioè = (t), si può clcolre medinte l vrizione di velocità Δv suit dl moile nell intervllo di tempo t, t: t Δv = ( t)dt In modo del tutto nlogo l precedente si giustific tle relzione Lvoro di un forz t Considerimo un forz F vente direzione e verso costnti e intensità che vri l vrire del suo punto di ppliczione ssumendo l direzione dell forz come sse delle scisse e supponendo che l intensità di F, in un punto di sciss, si F = f(), il lvoro di F, reltivo llo spostmento, lungo l sse delle, del suo punto di ppliczione dl punto di sciss l punto B di sciss B, si clcol medinte l relzione: B L = Fd = f ( )d In prticolre si può vlutre il cso di un oscilltore rmonico, soggetto d un forz elstic F = -k, che compie delle oscillzioni ttorno ll posizione di riposo O, origine del sistem di riferimento B O Clcolimo il lvoro speso dll forz F qundo l oscilltore pss dll posizione ll posizione B: Energi di un condenstore B L = Fd = - kd = B - k B = k - k B Clcolimo il lvoro compiuto dlle forze del cmpo elettrico nell scric di un condenstore 3

14 Supponimo che, d un certo istnte, sulle rmture di un condenstore si trovi l cric q e che tr le rmture sussist quindi un differenz di potenzile q V = c, dove c è l cpcità del condenstore; se durnte l scric si h lo spostmento di un cric infinitesim dq d un rmtur del condenstore ll ltr, il cmpo compie il lvoro elementre q dl = Vdq = dq c Il lvoro complessivmente speso per fr perdere l cric inizile Q post sulle rmture è: Energi di un cmpo mgnetico Q q q Q L = dq = = c c c Qundo un solenoide di induttnz L viene collegto d un genertore di forz elettromotrice continu E, si gener nel circuito un forz elettromotrice utoindott: Q di e L, dt legt d E ed ll resistenz del circuito dll relzione: E + e = Ri dove i è l intensità dell corrente l generico istnte t Sostituendo in quest ultim relzione il vlore dell forz elettromotrice si ottiene: d cui si ricv che: E di L dt Ri di E L Ri dt Se nel circuito fluisce l cric elementre dq = idt, l energi fornit dl genertore è : Edq Lidi Ri dove Ri dt rppresent l energi che si trsform in clore ne conduttore, mentre il termine Lidi rppresent l energi che si ccumul nel cmpo mgnetico conctento con il conduttore Se l intensità dell corrente vri d i dt, l energi ccumult nel cmpo è: i i W Lidi L Li i

15 Prove di verific e criteri di vlutzione Controllo degli pprendimenti Durnte lo svolgimento lo svolgimento dell UD ogni fse di lvoro potrà fornire elementi di ccertmento e vlutzione: l esecuzione di lvori cs, l osservzione dirett degli lunni durnte le esercitzioni e l ttività di lortorio Ciò consentirà di vlutre gli lunni che stnno incontrndo delle difficoltà e di intervenire, qunto è il cso con ttività mirte Per qunto rigurd le verifiche si utilizzernno le seguenti tipologie: Le verifiche scritte potrnno essere rticolte sotto form di esercizi di tipo trdizionle oppure nell form di prove strutturte: srnno lmeno tre per qudrimestre Tle tipo di verific consente di ccertre - le conoscenze, - l cpcità di pplicre correttmente procedimenti regole pprese, - l cpcità di impostre e risolvere prolemi Le verifiche srnno perltro strutturte in modo tle d consentire gli llievi meno dotti di conseguire vlutzioni sufficienti (medinte l verific degli oiettivi minimi) Le verifiche orli si svolgernno perlopiù ll lvgn e consentirnno di ccertre oltre ll conoscenz dei contenuti teorici specifici dell UD l uso di un linguggio specifico, cpcità di sintesi e di esporre in modo logico e corretto i concetti mtemtici, l cpcità di impostre l risoluzione dei prolemi reltivi gli rgomenti già noti e di risolvere situzioni prolemtiche più complesse Durnte le interrogzioni si cercherà di sollecitre l interesse dell clsse promuovendo discussioni interttive, dlle quli potrnno scturire proficue occsioni di chirimento e confronto per tutti gli lunni Sono previste verifiche formtive per sggire in tempi revi il livello di cquisizione dei contenuti e vere indiczioni sul modo di procedere nel lvoro scolstico così d poter intervenire con deguti mezzi di recupero Verrnno utilizzte diverse forme di verific ( test scelt multipl, test del tipo vero /flso, i test di completmento) perché ogni prov può ver prticolre effetti di ppliczione o iniizione nei confronti degli studenti; Schede e/o relzioni degli esperimenti eseguiti per vlutre le ttività lortorili In prticolre nell ttività di lortorio si può vlutre: L cpcità di gestire le conoscenze cquisite; Schede/relzioni delle osservzioni compiute in lortorio Schede e/o esercizi inerenti lle lezioni tenute nel lortorio di informtic In prticolre nell ttività di lortorio si può vlutre: L pdronnz degli strumenti informtici; 5

16 L cpcità di pplicre le nozioni mtemtiche cquisite Il tempo disposizione per svolgere l verific è di ore Vlutzione dell verific sommtiv Il punteggio mssimo del test è, il voto finle di ogni studente lo normlizzo dividendo per nlizzndo l inter situzione dell clsse si può stilire se ritornre sull rgomento oppure procedere verso un ulteriore unità d pprendimento Voto finle punteggio totle- punteggio ottenuto Grigli di vlutzione VOTO FINLE VLORE -3 Grvemente Insufficiente Insufficiente 5 Mediocre 6 Sufficiente 7 Discreto 8 Buono 9- Ottimo ttività di recupero/rinforzo/pprofondimento Le ttività di recupero "hnno lo scopo fondmentle di prevenire l'insuccesso scolstico" e le scuole hnno l'oligo di relizzrle, in ogni periodo dell'nno scolstico Le nuove disposizioni di legge in merito lle modlità di ttriuzione del credito scolstico e di recupero dei deiti nei corsi di istruzione secondri superiore ssegnno lle istituzioni scolstiche utonome il compito di provvedere ll predisposizione di strumenti per il recupero dei deiti formtivi gli studenti, nche ttrverso l possiilità di individure nche modlità diverse ed innovtive di ttività di recupero, che prevedno collorzioni esterne, l fine di grntire nelle scelte l centrlità dei isogni formtivi dello studente È risputo che dll introduzione dei deiti formtivi l percentule di studenti che, vendo contrtto un deito, lo estinguono nell nno successivo è ndt ssndosi con il pssre degli nni, rrivndo dti molto preoccupnti Si è diffuso l tteggimento, d prte degli studenti e delle fmiglie degli stessi, di un pcific convivenz con i propri deiti, come un ccettzione dei propri limiti Il numero crescente di deiti, e in prticolre in mtemtic, dovree fr riflettere ogni insegnnte sul proprio modo di dilogre e proporre tle spere gli llievi Si dovreero 6

17 orgnizzre corsi di recupero pomeridini e progrmmre lvori di gruppo ffincndo chi mnifest tentennmenti o difficoltà chi h en ssimilto l rgomento I corsi di recupero devono essere un occsione in più, un second possiilità per cpire, per crescere Nelle ttività di recupero/pprofondimento sree opportuno utilizzre: Dispense, testi lterntivi, utilizzo di Internet per dre indiczioni su prticolri siti in rete che trttno l rgomento trttto; Sportelli di sostegno didttico per fvorire in mnier veloce chirimenti sulle nozioni che evidentemente non sono stte ssimilte correttmente; Discussioni guidt dll insegnnte per eliminre dui e perplessità che potreero nsce durnte un spiegzione o semplicemente durnte lo svolgimento degli esercizi 7

18 Verific formtiv lunno/ Cognome Nome Clsse III Clcolre i seguenti integrli definiti 5 d e d 3 log 6 3 d log d 5 sen cosd 6 e d 7 9 d 8 e sin d 9 d B Clcolre l re delimitt dl grfico dell funzione 3, per f ( ), per e dll sse dell, per,, Buon lvoro! 8

19 Verific sommtiv lunno/ Cognome Nome Clsse III Clcolre il seguente integrle definito: Svolgimento sen d Clcolimo, per prti, l integrle indefinito: sen d cos cos d cos pplicndo ncor l regol di integrzione per prti si trov: cos d sen sen d sen cos C e quindi: Si h llor: sen d sen d cos cos d cos sen cos cos sen cos cos sen cos cos d cos sen cos C (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 6 punti) Clcolre il seguente integrle definito: Svolgimento 3 3 d L funzione l denomintore è un funzione rzionle di secondo grdo Poiché l funzione l numertore è proprio l derivt prim di quell l denomintore, questo integrle può venire clcolto molto semplicemente pplicndo il metodo di sostituzione Ponimo t 3 e quindi dt 3 d, si ottiene: 3 d dt logt 3 log 3 =log 6 t (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle punti) Clcolre il seguente integrle definito: 3 e d 9

20 Svolgimento Clcolimo l integrle indefinito per trovre un primitiv dell funzione integrnd Risolvendo per prti si trov: e e e e d e d C e C Quindi: e d e e (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 5 punti) e e Clcolre il seguente integrle definito: log d Svolgimento Clcolimo l integrle indefinito: log d log d poiché è l derivt di, risolvendo per prti si trov: log d log d log L integrle definito è llor: d log C log log d log log log log (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 5 punti) Clcolre il seguente integrle definito: sen d 5 Svolgimento Per clcolre questo integrle doimo innnzitutto trovre un primitiv dell funzione sen(); clcolndo l integrle indefinito sen d sent dt cost C cos C individuimo l insieme delle primitive dell funzione Bst scegliere un di queste primitive, si G cos, ed è llor: d esempio

21 sen d G G cos cos Si noti che, nel seguito scriveremo in modo molto più comptto: sen d cos cos cos (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 6 punti) Clcolre il seguente integrle definito: Svolgimento d 6 Per l formul fondmentle del clcolo integrle, per risolvere l integrle definito d si deve prim trovre un primitiv F() dell funzione f ( ) Per clcolre d usimo il metodo di decomposizione delle funzioni rzionli in frtti semplici, ottenendo: B B B B Uguglindo i coefficienti dei due polinomi numertore, si ottiene il sistem: B B 3 B Dunque d log log log log3 log log (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 5 punti) 3 log3 log 7 Clcolre l re delimitt dl grfico dell funzione f ( ) dell, per, e dll sse

22 Svolgimento, Per l finzione f() è senz ltro positiv perchè somm di quntità positive Dunque l re richiest risult essere: d d = log log log log log (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle punti) Clcolre l re dell regione pin R compres tr il grfico dell funzione, per 6 f ( ) sin, per 8 dll sse dell Svolgimento Tenendo conto che nell intervllo, l finzione f() è positiv mentre tr e f() è negtiv l re dell regione R richiest risult essere: 3 d sin d cos = 3 8 (Lo svolgimento corretto dell esercizio vle 5 punti) Buon lvoro! cur di profss Sin Minniti Redzione scuolè