Ao 5 Successioi umeriche
Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai i grado di: l l l l defiire i cocetti di successioe umerica e di limite di ua successioe risolvere le progressioi aritmetiche e geometriche descrivere il umero e come limite di ua successioe defiire il cocetto di serie umerica I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Alla fie di questa lezioe sarai i grado di: defiire i cocetti di successioe umerica e di limite di ua successioe; risolvere le progressioi aritmetiche e geometriche; descrivere il umero e come limite di ua successioe; e, ifie, defiire il cocetto di serie umerica.
Successioe umerica Ua fuzioe a: N R che associa ad ogi umero aturale u valore a è ua successioe umerica. idice della successioe a termie geerale della successioe Ua successioe è ua sequeza di valori ordiati e ifiiti. Per rappresetare ua successioe occorre idividuare ua legge che ad ogi itero fa corrispodere u umero a. Per rappresetare la successioe dei umeri pari: ; 4; 6. a =. Rappresetazioi grafiche di ua successioe g(x) = a per x ϵ [; +[ Itroduciamo, iazitutto, il cocetto di successioe umerica. Ua fuzioe a:n R che associa ad ogi umero aturale u valore a è ua successioe umerica. Il umero si dice idice della successioe metre il valore a è l eesio termie della successioe. Ua successioe è ua sequeza di valori ordiati e ifiiti. No potedo scrivere ifiiti umeri, per rappresetare ua successioe occorre idividuare ua legge che ad ogi itero fa corrispodere u umero a. Ad esempio, per rappresetare la successioe dei umeri pari: ; 4; 6; possiamo scrivere: a =. Ua successioe può essere rappresetata graficamete i due modi: disegado el piao cartesiao i corrispodeza di ogi valore ϵ N il valore di a ; oppure si può cosiderare come ua rappresetazioe della successioe il grafico della fuzioe g(x)=a per x ϵ [; +[. 3
Successioi covergeti Poiché N è u isieme illimitato è possibile studiare il limite di ua successioe per + per verificare se i umeri a si avviciao sempre più a u particolare valore. Si dice che la successioe a coverge verso il limite l R per + e si scrive: lim a + = l se: ε > 0 ε N t.c. > ε : l ε < a < l + ε Esempio: La successioe: a = Per i limiti di successioi valgoo i teoremi e le proprietà defiite per le fuzioi. Il limite è: ; ; ; 3 lim = 0 +... La successioe è covergete. Poiché N è u isieme illimitato è possibile studiare il limite di ua successioe per + per verificare se i umeri a si avviciao sempre più a u particolare valore. Si ha la seguete defiizioe: si dice che la successioe a coverge verso il limite lϵr per + e si scrive lim + a=l, se per ogi ε>0 esiste u umero itero ε tale che per ogi >ε risulta a compreso tra l ε e l+ε. Il grafico i figura mostra quato espresso ella defiizioe. Chiariamo la defiizioe co u esempio. La successioe co termie geerale a =/ è formata dai valori ; /; /3; Il limite di tale successioe è uguale a zero al crescere di, quidi la successioe è covergete. Osserviamo ioltre che per i limiti di successioi valgoo i teoremi e le proprietà defiite i precedeza per le fuzioi. 4
Successioi divergeti Si dice che la successioe a diverge positivamete per + e si scrive: lim a + = + se: k > 0 k N t.c. > k : a > k Si dice che la successioe a diverge egativamete per + e si scrive: lim a + = se: k > 0 N k t.c. > k : a < k Diremo che ua successioe è idetermiata se o è é covergete é divergete. Esempio: La successioe dei umeri dispari: a = + Il limite è: + > k lim ( + ) = + + k > La successioe è divergete positivamete Si hao ache le segueti defiizioi: si dice che la successioe a diverge positivamete per + si scrive lim + 唴 a=+ e per ogi k>0 esiste u umero itero k tale che per ogi >k risulta a maggiore di k. Allo stesso modo si dice che la successioe a diverge positivamete per + si scrive lim + a= e per ogi k>0 esiste u umero itero k tale che per ogi >k risulta a miore di k. Diremo ioltre che ua successioe è idetermiata se o è é covergete é divergete a + o a Aalizziamo il seguete esempio. Cosideriamo la successioe dei umeri dispari defiita da a =+ Calcolado il limite per + isulta che la successioe è divergete positivamete, cioè la disequazioe a >k è verificata per qualsiasi valore di maggiore di (k )/. 5
Il umero e Cosideriamo la successioe: a = + Si può dimostrare che tale successioe è crescete e limitata sia iferiormete che superiormete + < 3 < ( + / ),5 0,5937446 0,6539770 50,695880 00,704838 000,769393 La successioe è covergete: lim + + = e Il umero di Nepero è irrazioale e vale:,788 Il umero di Nepero e è defiito come limite di ua particolare successioe. Cosideriamo la successioe a =(+/). Si può dimostrare che tale successioe è crescete e limitata sia iferiormete che superiormete essedo i suoi valori compresi tra e 3. Possiamo verificare queste proprietà determiado alcui valori della successioe come mostrato ella tabella. La successioe è covergete poiché esiste il limite per + ed è fiito. Questo viee idicato co la lettera e si chiama umero di Nepero. Questo è u umero irrazioale e vale circa,788 6
Progressioi aritmetiche e geometriche Si dice successioe o progressioe aritmetica ua successioe defiita dal termie iiziale a 0 e da u umero d tale che i successivi termii si possoo otteere dalla somma: Il umero d è detto ragioe. Se d = 0 la successioe risulta covergete, altrimeti è divergete. La. successioe dei umeri aturali è ua progressioe aritmetica co a 0 = e ragioe d = La somma dei primi termii di ua ( ) S = ai = a0 + d progressioe aritmetica è: Si dice successioe o progressioe geometrica ua successioe defiita dal termie iiziale a 0 e da u umero q tale che i successivi termii si possoo otteere dal prodotto: La somma dei primi termii di ua progressioe geometrica è: S i= 0 = = i 0 q ai = a0 ( q ) q a = a + d a = a q Il umero d è detto ragioe. Supposto a 0 0, se q> la successioe è divergete, se -<q è covergete, se q - la successioe è idetermiata. Due importati successioi soo la progressioe aritmetica e la progressioe geometrica. Si dice successioe o progressioe aritmetica ua successioe defiita dal termie iiziale a 0 e da u umero d tale che i successivi termii si possoo otteere dalla somma tra il termie precedete e il umero d. Il umero d è detto ragioe. Se d=0 la successioe risulta covergete, altrimeti è divergete. Come esempio possiamo cosiderare la successioe dei umeri aturali che risulta essere ua progressioe aritmetica co a 0 = e ragioe d=. Si può determiare la somma dei primi termii di ua successioe aritmetica. Questa è data dalla formula mostrata a video. Si dice successioe o progressioe geometrica ua successioe defiita dal termie iiziale a 0 e da u umero q tale che i successivi termii si possoo otteere dal prodotto tra il termie precedete e il umero q. Il umero q è detto ragioe. Supposto a 0 0, se q> la successioe è divergete, se -<q è covergete, se q - la successioe è idetermiata. Ache i questo caso si può determiare la somma dei primi termii di ua successioe geometrica. La formula è quella mostrata a video. 7
Serie umerica La somma degli ifiiti termii di ua successioe prede il ome di serie, e si idica co il simbolo: = 0 a = a 0 + a + a +... + a +... I termii della successioe si dicoo termii della serie. Cosideriamo ora ua uova successioe i cui termii soo le somme parziali dei termii della serie, cioè: S = a...... 3 S = a + a S = a + a + a S = a + a + a +... + 3 a 3 lim S + lim S + = S = = = 0 a La serie è covergete al valore S detto somma della serie La serie è divergete Se la successioe delle somme parziali è idetermiata, ache la serie si dirà idetermiata Itroduciamo, ifie, il cocetto di serie umerica. La somma degli ifiiti termii di ua successioe prede il ome di serie, e si idica co il simbolo di sommatoria di a per che va da 0 a. I termii della successioe si dicoo termii della serie. Cosideriamo ora ua uova successioe i cui termii soo le somme parziali dei termii della serie, cioè i termii di tale successioe soo: S =a ; S =a +a ; S 3 =a +a +a 3 ; ; S =a +a + +a Se la successioe delle somme parziali risulta covergete, allora la serie si dice covergete al valore S del limite. Questo valore è detto somma della serie e si scriverà S uguale a sommatoria di a per che va da 0 a. Se ivece il limite per + ha valore ifiito, la serie è detta divergete. Se la successioe delle somme parziali è idetermiata, ache la serie si dirà idetermiata. 8
Esempi Esempio di svolgimeto: Studiare il carattere della serie: 3 3 3 3 3 6 4 8 = 0 I termii della serie soo quelli di ua progressioe geometrica co a = 3 0 e ragioe q = = 3+ + + + + Calcoliamo la somma dei primi termii: = 3 q S = a k 0 = 6 k= 0 q passado al limite: 3 S = = lim 6 = 6 0 + = La serie è covergete.... Esempio di svolgimeto: Studiare il carattere della serie: = 0 ( + ) = + 3 + 5 +... I termii della serie soo quelli di ua progressioe aritmetica co a 0 = e ragioe d = Calcoliamo la somma dei primi termii: S = (k + ) = a0 k = 0 = + ( ) = passado al limite: lim + La serie è divergete ( ) + d = = + Vediamo co due esempi come si studia il carattere di ua serie. Per calcolare il valore di ua serie bisoga costruire la successioe delle somme parziali. Vogliamo studiare il carattere della serie 3+3/+3/4+.. I termii della serie soo quelli di ua progressioe geometrica di ragioe q=/ e primo termie uguale a 3. La somma -esima è S =6(-/ ) e calcolado il limite si ha che S=6, quidi possiamo affermare che la serie è covergete. Nell altro esempio vogliamo studiare il carattere della serie dei umeri dispari: +3+5+ I termii della serie soo quelli di ua progressioe aritmetica co a 0 = e ragioe d=. La somma dei primi termii è, pertato il suo limite è ifiito. Si può cocludere che la serie è divergete. 9
Coclusioe Successioe umerica Successioi covergeti Progressioi aritmetiche Limite di ua successioe Successioi divergeti Progressioi geometriche e come limite di ua successioe Serie umeriche I questa lezioe abbiamo imparato a defiire il cocetto di successioe umerica come quella fuzioe che associa ad ogi umero aturale u valore a. Abbiamo ioltre defiito il limite di ua successioe. I base al valore del limite le successioi si possoo classificare i covergeti e divergeti. Ioltre abbiamo descritto il umero di Nepero come il limite + 唴 di ua particolare successioe. Abbiamo poi dato le defiizioi di progressioe aritmetica e di progressioe geometrica, e ifie abbiamo studiato il cocetto di serie come somma degli ifiiti termii di ua successioe. 0