INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo" di cui voglimo occuprci è l insieme dei numeri reli o quello dei punti di un rett orientt sull qule si stto fissto un sistem di scisse. Prenderemo in esme essenzilmente sottoinsiemi di e tr questi, in prticolre, gli intervlli. Intervlli limitti Definizione - Dti due numeri reli e, con <, si chim intervllo limitto di estremi e l insieme di tutti i numeri reli compresi tr i numeri dti e. Il numero viene detto estremo inferiore, estremo superiore dell'intervllo. Se gli estremi e pprtengono ll'insieme llor esso è chimto intervllo limitto chiuso. Simolicmente, si scrive: [, ] = {x x } L'immgine grfic dell'intervllo chiuso di estremi e è rppresentt d un segmento comprensivo dei suoi estremi Se gli estremi e non pprtengono ll'insieme llor esso è chimto intervllo limitto perto. Simolicmente, si scrive: ], [ = {x < x < } oppure (, ) L'immgine grfic dell'intervllo perto è rppresentt d un segmento privo dei suoi estremi Se ll insieme pprtiene uno solo degli estremi, second che l'estremo escluso si oppure, si hnno i due seguenti intervlli: intervllo perto sinistr e chiuso destr: ], ] = {x < x } oppure (, ] L immgine grfic dell intervllo perto sinistr e chiuso destr è rppresentt d un segmento comprensivo solo dell estremo (1) L topologi h come oggetto l ricerc di quelle prticolri proprietà delle figure geometriche che si conservno nche qundo tli figure sono sottoposte deformzioni così profonde d perdere tutte le loro crtteristiche metriche e legte ll form. I primi lvori intorno queste originli idee geometriche furono relizzti dll'stronomo tedesco Johnn Benedikt Listing (1808-1882); vle l pen dì ricordre il suo liro Vorstudien zur Topologie, pulicto nel 1847 Gotting, nel qule egli introduce per l prim volt il termine topologi. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 1
intervllo perto destr e chiuso sinistr: [, [ = {x x < } oppure [, ) L'immgine grfic dell'intervllo intervllo perto destr e chiuso sinistr è rppresentt d un segmento comprensivo solo dell estremo : L distnz degli estremi d = - si chim mpiezz dell'intervllo [, ]. + L semisomm degli estremi x C = individu il centro dell'intervllo, rppresentto dl punto 2 medio del segmento corrispondente e il numero - L distnz tr il centro e uno degli estremi r = è dett rggio dell'intervllo. 2 Intervlli illimitti Definizione Si chim intervllo illimitto superiormente, vente come estremo inferiore e + (più infinito) come estremo superiore, l insieme di tutti i numeri reli mggiori (oppure mggiori o uguli) di un ssegnto numero. Se è incluso nell insieme si prl di intervllo chiuso illimitto superiormente e si scrive: L immgine grfic dell intervllo è: [, + [ = {x x } oppure [, + ) + Se è escluso dll insieme si prl di intervllo perto illimitto superiormente e si scrive: ], + [ = {x x > } oppure (, + ) L immgine grfic dell intervllo è: + Definizione Si chim intervllo illimitto inferiormente, vente (meno infinito) come estremo inferiore e il numero prefissto come estremo superiore l insieme di tutti i numeri reli minori (oppure minori o uguli) di un ssegnto numero. Se è incluso nell insieme l intervllo illimitto inferiormente si dice chiuso e si scrive: L immgine grfic dell intervllo è: ], ] = {x x } oppure (, ] - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 2
Se è escluso dll insieme l intervllo illimitto inferiormente si dice perto e si scrive: L immgine grfic dell intervllo è: ], [={x x < } oppure (, ) Osservzione: mentre le immgini geometriche di intervlli limitti sono segmenti (eventulmente privti di uno o entrmi gli estremi), le immgini geometriche di intervlli illimitti sono semirette (eventulmente privte dell loro origine). In prticolre, l insieme di tutti i numeri reli, detto continuo linere, può essere pensto come un intervllo illimitto si inferiormente che superiormente e si può scrivere: =], + [ oppure - + L su immgine geometric è costituit d tutt l rett, sse dei numeri reli + - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 3
ESTEMO INFEIOE O SUPEIOE DI UN INSIEME DI NUMEI EALI Insiemi limitti o illimitti Detto E un sottoinsieme totlmente ordinto e non vuoto di, si hnno le seguenti definizioni: Un numero rele h è un minornte di E se x E h x Un numero rele k è un mggiornte di E se x E x k Un insieme E non vuoto di numeri reli si dice limitto inferiormente se mmette lmeno un minornte (cioè tutti gli elementi di E sono mggiori o uguli l numero h). Un insieme E non vuoto di numeri reli si dice limitto superiormente se mmette lmeno un mggiornte (cioè tutti gli elementi di E sono minori o uguli del numero k) Un insieme E si dice limitto se e solo se è limitto si inferiormente che superiormente, ossi esiste un intervllo [, ] che contiene E. I mggiornti e i minornti di insiemi superiormente limitti ed inferiormente limitti sono infiniti. Un minornte o un mggiornte di un insieme può o no pprtenere ll insieme. Se E è un insieme limitto llor si può sempre trovre un intervllo del tipo [ m, m] (con m>0) nel qule E è intermente contenuto. Ossi tle che (-m x m) <=> x m, x E Un insieme per il qule non esiste lcun mggiornte si dice illimitto superiormente. Esempio: l insieme dei numeri nturli N = {0, 1, 2, 3, 4,... } Un insieme in corrispondenz del qule non esiste lcun minornte si dice illimitto inferiormente. Esempio: l insieme dei numeri interi negtivi Z = {, -4, -3, -2, -1} Un insieme è illimitto in entrmi i versi,cioè si superiormente che inferiormente, se per esso non esiste lcun mggiornte e lcun minornte. Esempio: l insieme dei numeri interi reltivi Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Mssimo e minimo di un insieme Definizione Si dice che il numero m, pprtenente ll insieme E, è l elemento minimo di E se e solo se m è minore di ogni ltro elemento di E. min(e) = m (m E) (m x, x E) Quindi: un numero rele m è il minimo di E se gli pprtiene ed è un suo minornte. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 4
Definizione Si dice che il numero M, pprtenente ll insieme E, è l elemento mssimo di E se e solo se M è mggiore di ogni ltro elemento di E. Mx(E) = M (M E) (M x, x E) Quindi: un numero rele M è il mssimo di E se gli pprtiene ed è un suo mggiornte. Se E contiene un numero finito di elementi esiste sempre si il minimo m che il mssimo M. Se E contiene un numero infinito di elementi ed è limitto può essere privo di minimo e/o mssimo. Teorem Se un insieme E mmette un minimo ( mssimo), questo è unico. Estremo inferiore di un insieme Definizione Si dice estremo inferiore, inf (E), di un insieme E limitto inferiormente il mssimo dei suoi minornti. L estremo inferiore può pprtenere o non pprtenere ll insieme E; se inf (E) pprtiene d E llor è nche minimo. Se inf(e) E min(e) = inf(e) Inversmente, se un insieme mmette un minimo, questo è nche estremo inferiore. Se min(e) inf(e) = min(e) Le proprietà dell estremo inferiore di un insieme E sono: 1. x E, inf(e) x + 2. ε, x E inf(e) x < inf(e)+ε 0 Se un insieme E non è inferiormente limitto si dice che il suo estremo inferiore è -. Teorem L estremo inferiore di un insieme E, se esiste, è unico. Estremo superiore di un insieme Definizione Si dice estremo superiore, sup (E), di un insieme E limitto superiormente il minimo dei suoi mggiornti. L estremo superiore può pprtenere o non pprtenere ll insieme E; se sup (E) pprtiene d E llor è nche mssimo. Se sup(e) E mx(e) = sup(e) Inversmente, se un insieme mmette un mssimo, questo è nche estremo superiore. Se mx(e) sup(e) = mx(e) Le proprietà dell estremo superiore di un insieme E sono: 1. x E, sup(e) x + 2. ε, x E sup(e) ε x < sup(e) 0 Teorem L estremo superiore di un insieme E, se esiste, è unico. Se un insieme E non è superiormente limitto si dice che il suo estremo superiore è +. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 5
INTONI DI UN PUNTO Definizione Si chim intorno completo del punto c un qulunque intervllo perto che conteng il punto c. In corrispondenz dello stesso punto c esistono infiniti intorni completi. Tr questi, di prticolre interesse sono gli intorni circolri ( o simmetrici) di c, costituiti d intervlli perti di centro c. Indicto con δ (numero rele positivo) il rggio di un generico intorno circolre di c, è possiile rppresentre l intorno come segue: c-δ c c+δ I (c, δ) =]c-δ, c+δ[ oppure I (c, δ) ={ x c - δ < x < c + δ} Ogni x pprtenente ll'intorno h distnz dl centro c minore del rggio δ x I (c, δ) c - δ < x < c + δ x-c < δ Definizione - Si chim intorno destro del punto c un qulunque intervllo vente c come estremo inferiore e perto destr. c c+δ Definizione - Si chim intorno sinistro del punto c un qulunque intervllo perto sinistr e vente c come estremo superiore. c-δ c Definizione - Si chim intorno di più infinito un intorno costituito dgli x tli che x > M, con M > O. I (+ ) = ] M, + [ M + Definizione - Si chim intorno di meno infinito un intorno costituito dgli x tli che x < -M, con M>O. I (- ) = ] -, -M [ - -M Definizione - Si chim intorno di infinito senz segno un intorno costituito dgli x tli che - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 6
(x < - M ) vel ( x > +M ) equivlente x >M I( )=] -, M [ ] M, + [ - -M +M + - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 7
PUNTI DI ACCUMULAZIONE DI UN INSIEME Definizione - Si dice che il punto c è un punto di ccumulzione dell'insieme E, sottoinsieme di, se e solo se per ogni intorno completo di c esiste sempre lmeno un elemento di E, distinto d c e pprtenente quell'intorno. c è punto di ccumulzione di E <=> I(c) x E -{c} x I(c) Se si suppone che l intorno si soltnto sinistro o soltnto destro, il punto di ccumulzione si dice rispettivmente punto di ccumulzione destro o sinistro. Definizione - Un punto x 0 di un insieme che non si di ccumulzione si dice isolto. Dlle definizione precedenti, si deducono lcune importnti proposizioni: 1) Il punto c, di ccumulzione per l'insieme E, è un numero rele che, second dei csi, pprtiene E oppure non pprtiene E. 2) Un punto isolto di un insieme pprtiene sempre ll insieme. 3) Un punto di un insieme o è di ccumulzione o è isolto. 4) Se c è un estremo superiore (inferiore) di E e non pprtiene d E llor c è punto di ccumulzione destro (sinistro) di E. 5) Se un insieme E possiede un numero finito di elementi llor tle insieme è privo di punti di ccumulzione. 6) Se c è un punto di ccumulzione di E llor in ogni I(c) cdono infiniti punti di E. 7) Se x 0 è un punto isolto di E esiste lmeno un intorno di x 0 in cui non cde lcun punto di E oltre x 0. Teorern di Bolzno-Weierstrss. «Se un insieme di numeri reli è limitto e composto d infiniti elementi llor tle insieme mmette lmeno un punto di ccumulzione». Definizione Un insieme privo di punti di ccumulzione si dice discreto. Tutti i punti di un insieme discreto sono isolti. Esistono insiemi di punti isolti che mmettono punti di ccumulzione. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 8
INSIEMI APETI Definizione - Si dice che E è un insieme perto se e solo se ogni suo elemento è punto interno E stesso. Teorem «Condizione necessri e sufficiente ffinché un insieme E si perto è che esso si disgiunto dll propri frontier (ossi, se e solo se ogni punto frontier di E non pprtiene ll'insieme E stesso)». INSIEMI CHIUSI Definizione - Si dice che E è un insieme chiuso se e solo se il suo complementre, E, è un insieme perto. Teoremi: 1. «Condizione necessri e sufficiente ffinché un insieme E si chiuso è che esso conteng l propri frontier (ossi, se e solo se ogni punto frontier di E pprtiene d E stesso)». 2. «Condizione necessri e sufficiente ffinché un insieme E si chiuso è che esso conteng ogni suo eventule punto di ccumulzione». Si deduce che sono insiemi chiusi i seguenti insiemi: 1. ogni insieme A costituito d un numero finito di elementi 2. l'insieme dei numeri nturli e quello dei numeri interi reltivi; 3. l'insieme dei numeri reli 4. l'insieme che risult dll'unione di un numero finito di insiemi chiusi Invece, non sono chiusi i seguenti insiemi: 1. l'insieme dei numeri rzionli 2. l'insieme dei numeri irrzionli - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pg. 9