Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo
Definizioni Un equzione è: Un uguglinz tr due espressioni lgebriche, in un o più vribili, che risulti verifict solmente per prticolri vlori ttribuiti lle vribili che in ess figurno. Le vribili sono dette incognite dell equzione (in genere si usno l, l y, ). Le equzioni lgebriche rzionli sono così clssificbili: NUMERICHE: se non figurno ltre lettere oltre l incognit; LETTERALI: se oltre l incognit figurno ltre lettere; INTERE: se l incognit non figur l denomintore; FRATTE: se l incognit figur nche, o solo, l denomintore. Il grdo di un equzione è dto dl grdo mssimo dell incognit presente nell equzione. Il grdo di un equzione è pri l numero delle possibili soluzione dell equzione stess.
Risolvere un equzione vuol dire trovrne le soluzioni (rdici). Può drsi che un equzione non mmett soluzioni, cioè non esist lcun vlore delle incognite che l verifichi; si dice llor che l equzione è impossibile (dllo svolgimento otterremo 0=n). In quelle di grdo ciò può dipendere dl Δ, o (in quelle frtte) dll nnullmento del denomintore. Potremo scrivere nche (simbolo di insieme vuoto). Può drsi che un equzione mmett un numero illimitto di soluzioni; si dice llor che l equzione è indetermint (in effetti è un identità e dllo svolgimento otterremo 0=0). Un equzione che mmette un numero finito di soluzioni si dice determint. Un equzione è di secondo grdo qundo il termine incognito h come grdo mssimo il secondo. 0 L su form complet è: (, b, c sono i coefficienti dell equzione) b c
Equzioni incomplete Posto che perché l equzione si di grdo deve sempre essere 0 si possono presentre i seguenti csi: ) Equzione spuri: (mnc il termine noto) b 0 c 0 L equzione vrà l form b 0 in cui mettendo in evidenz l incognit si vrà b 0 che srà soddisftt, per l legge dell nnullmento del prodotto (un prodotto è nullo se lmeno uno dei fttori è b 0), d 0 e d ESEMPIO: 0 0 0
) Equzione pur: (mnc il termine di primo grdo) l equzione vrà l form l primo membro si vrà si vrà / c b 0 c 0 c 0 in cui isolndo l incognit c d cui, essendo c c ESEMPI: ) ) ) 7 9 0 4 0 0 9 4 7 perché nessun 9 l' equzione è qudrto 7 impossibile è negtivo 7 ) Equzione monomi: (h solo il termine di grdo) b 0 c 0 l equzione vrà l form 0 d cui segue che 0 e per l legge dell nnullmento del prodotto 0 le soluzioni srnno: 0 0
Equzione complet Prtendo dll form complet b c 0 si moltiplicno entrmbi i membri per 4 e si ggiunge d entrmbi i membri b ottenendo d cui ricvndo l si h: 4 4b 4c b b che è l formul risolutiv dell equzione. d cui spostndo 4c 4 4b b b 4c e operndo lgebricmente b b 4c b b 4c b b 4c b b 4c ESEMPIO: 0 4 4 pplicndo l formul vremo: 4 4 4
Nel cso in cui b è pri si può utilizzre un formul ridott: ESEMPIO: DISCRIMINANTE L quntità è dett discriminnte dell equzione e si indic con l letter (delt miuscol). Dl suo vlore dipende il tipo di rdici (soluzioni) dell equzione di grdo, ed in prticolre: se 0 rdici reli e distinte (due soluzioni diverse): = 0 rdici reli e coincidenti (due soluzioni uguli); 0 rdici non reli (nessun soluzione). b 4c c b b / 4 0
Relzioni tr i coefficienti di un equzione di grdo e le sue soluzioni Si possono utilizzre le soluzioni per ricvre l equzione che le h generte nei seguenti due modi: b c ) Prtendo dlle formule e per ottenere l equzione nell su form generle si può usre l formul: ESEMPIO: Dte le soluzioni d cui b) Oppure si può ottenere l equzione nell su form generle utilizzndo l formul: ( clcolndo il 0 0 m. c. m.) vremo pplicndo l 0 0 formul otterremo : 0 0
ESEMPIO: Dte le soluzioni d cui 0 ( clcolndo il m. c. m.) vremo pplicndo 0 0 Regol di Crtesio Permette di spere il segno delle soluzioni e qule delle due è mggiore in vlore ssoluto, ricvndole di segni dei coefficienti, b e c nel modo riportto in tbell; d ogni permnenz di segno corrisponde un soluzione negtiv, d ogni vrizione di segno corrisponde un soluzione positiv. l formul otterremo : 0 0 b c permnenze di segno + + + si ottiene vrizioni di segno + _ + si ottiene + + vrizione e permnenz + si ottiene + _ Se l equzione h rdici discordi l rdice di vlore ssoluto mggiore è positiv qundo l vrizione precede l permnenz, ed è invece negtiv nel cso in cui l permnenz precede l vrizione. permnenz e vrizione + + _ si ottiene _ +
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