Prte secon : Clcolo integrle. Integrle oppio su un rettngolo Si A un sottoinsieme limitto el pino e f ( x, ) un funzione efinit in A e limitt. L integrle oppio A f ( x, ) x è un numero efinito in moo tle che se f ( x, ) è positiv, poss essere rgionevolmente ssunto come misur el volume el cilinroie iniviuto ll funzione ( cioè ell regione i spzio compres tr il grfico ell funzione e il ominio A ; nel cso prticolre che f si costnte, quest regione ivent un cilinro retto i se A ). Inizimo con il cso che il ominio A si un rettngolo chiuso con i lti prlleli gli ssi crtesini: = { ( x, ) : x [, ], [ c, ] }. Preneno un prtizione P x ell intervllo [, ] e un prtizione P ell intervllo [ c, ] P x = { x x.. x n } P = {.. m }, si ottiene un prtizione P el rettngolo in nm rettngoli chiusi i j con i lti prlleli gli ssi. Il generico rettngolo i j è efinito i j = { ( x, ) : x [ x i -, x i ], [ j -, j ] } e l su re è t i j = x i j = ( x i x i ) ( j j ). Definimo le somme integrli superiore e inferiore reltive quest prtizione in moo nlogo qunto ftto nel cso i un vriile : n S ( f, P ) = L m i = j = i j i j S ( f, P ) = l n m i = j = i j i j ove L i j e l i j inicno rispettivmente l estremo superiore e quello inferiore ell funzione f nel rettngolo i j. Se f, queste somme rppresentno il volume ell regione i spzio formt prllelepipei ffincti, circoscritt oppure inscritt l cilinroie iniviuto ll funzione. Al vrire ell prtizione queste somme escrivono ue insiemi seprti. Ancor in nlogi qunto visto nel cso i un vriile possimo re le seguenti efinizioni: ( ) L funzione f ( x, ) si ice integrile nel rettngolo se gli insiemi escritti lle somme integrli sono contigui. ( ) Se l funzione f ( x, ) è integrile nel rettngolo, si efinisce integrle ell funzione l elemento i seprzione ei ue insiemi contigui i somme. L notzione per inicre questo integrle è f ( x, ) x. ( ) Se l funzione f ( x, ) è integrile e positiv, efinimo volume el cilinroie ess iniviuto l integrle ell funzione.
E immeito verificre che per un funzione f ( x, ) = k costnte risult f ( x, ) x = k ( ) ( c ). In questo cso il cilinroie è un prllelepipeo: il risultto trovto prov che il suo volume clcolto meinte integrzione coincie con quello fornito ll geometri elementre. Questo è il punto i prtenz per verificre che per tutte le figure geometriche elementri vle l uguglinz tr i volumi misurti nei ue iversi moi. Un conizione sufficiente grntire l esistenz ell integrle è l continuità ell funzione sul rettngolo : le funzioni f ( x, ) continue sul rettngolo sono integrili. In reltà, nche nel cso i ue vriili potremmo estenere l integrilità lle funzioni generlmente continue. In questo cso, però, le funzioni generlmente continue non sono soltnto quelle iscontinue in un numero finito i punti (e limitte), m nche quelle iscontinue su un o più linee. Per qunto rigur il clcolo esplicito ell integrle, consierimo il seguente esempio : x x, con = [, ] X [ -, ]. L integrle esiste perché l funzione è continu. Supponimo esso i mntenere x fiss e i fr vrire solo, cioè rigurimo l funzione t come ipenente solo ll vriile. Per ogni fissto x [, ] l funzione f ( x, ) è continu nell intervllo [ c, ] e unque h senso clcolrne l integrle : f ( x, ). c Nel cso specifico questo integrle vle x = x = x / = x. Il risultto i quest integrzione è un funzione ell vriile x, continu nell intervllo [, ] e unque integrile. Clcolimo questo integrle f ( x, ) x c che comunemente è scritto nell form x f ( x, ). c Nel cso preso in consierzione si ottiene x x =. = -
Seguimo esso l str invers: fissimo e fccimo vrire solo l x. Per ogni fissto [ c, ], l funzione x f ( x, ) è continu nell intervllo [, ] e unque h senso clcolrne l integrle ; l integrle f ( x, ) x è un funzione continu ell vriile e quini possimo integrrl in [, ], otteneno : c f ( x, ) x che si scrive comunemente nell form c f ( x, ) x. Nel cso consierto si ottiene prim e poi x x = x x = =. Nel cso prticolre ell esempio imo unque verificto l uguglinz x f ( x, ) = f ( x, ) x. c c Si può provre che questo risultto vle in generle per ogni funzione f ( x, ) continu sul rettngolo = [, ] X [ c, ] e inoltre che il vlore comune queste ue espressioni è proprio l integrle oppio f ( x, ) x. L uguglinz tr l integrle oppio e i ue integrli iterti si chim formul i riuzione. Nell esempio consierto l funzione f ( x, ) è vriili seprte, cioè ell form u ( x ) v ( ) ; in questo cso prticolre l formul i riuzione si semplific ulteriormente, iventno : f ( x, ) x = u ( x ) x v ( ) c cioè l integrle oppio ivent il prootto i ue integrli semplici.
Nel cso ell esempio : x x =, =, x x =. - Altri esempi. Esempio. f ( x, ) = sen x + cos = [, π / ] X [, π / ] I metoo : si integr prim rispetto e poi x. π / π / π ( sen x + cos ) = [ sen x + sen ] = sen x + = π / π / π π sen x + x = - cos x + x = π. II metoo : si integr prim rispetto x e poi. π / x = π / π ( sen x + cos ) x = [ - cos x + x cos ] = cos + x = π / π / π π cos + = sen + = π. x = Esempio. f ( x, ) = x + = [, ] X [, ] I metoo : si integr prim rispetto e poi x. ( x + ) = x + = x + = x x + ( + ) x + x = + = =.. x =
II metoo : si integr prim rispetto x e poi. x ( x + ) x = + x = + x = + ( + ) + = + = =. = L scelt i qule ei ue metoi usre, cioè i qule orine seguire nell integrzione, è el tutto inifferente, m tlor un può comportre un semplificzione ei clcoli rispetto ll ltr. Si consieri questo proposito l esempio successivo. Esempio. f ( x, ) = e x = [ -, ] X [, ] I metoo : si integr prim rispetto x e poi. x x - e x = e = - e x = - - - ( - e ) = + e = / e. = II metoo : si integr prim rispetto e poi x. x x x e e = e - = x x = ( imo integrto per prti ) x x x x x = x x x e e = e - e = - +. x L funzione così ottenut h un iscontinuità eliminile per x = ; possimo unque integrrl rispetto x : x x e e - + x x x x. ipetimo l integrzione per prti : poiché x x x x x x e x = e + e x, 4
si h x x x x e - e - e + x = e + x = + c. x x x x x x Dunque l integrle richiesto vle : x e - x = / e. ( In questo cso non si clcol il vlore ell primitiv per x =, m il suo limite per x ). 4.. Integrle oppio su omini più generli Ci proponimo esso i estenere l efinizione i integrle oppio l cso i un ominio el pino più generle ei rettngoli sinor consierti. Se il ominio A è un insieme limitto el pino, possimo scegliere un rettngolo con i lti prlleli gli ssi che contiene A. Ciò stilito, prolunghimo l funzione f ( x, ) l i fuori i A ponenol ugule : f * ( x, ) = = f ( x, ) se ( x, ) A. se ( x, ) - A Definimo f ( x, ) integrile in A se f * ( x, ) lo è in ; quno ciò cce, efinimo l integrle oppio i f in A meinte l uguglinz : A f ( x, ) x = f ( x, ) x. * Si può provre che l integrilità ell funzione e il vlore el suo integrle non ipenono ll prticolre scelt el rettngolo. Tuttvi, nche se f ( x, ) è continu in A, non è etto che f * ( x, ) lo si in ( meno che l funzione f non si null sull frontier i A ). Si può però imostrre che se f ( x, ) è un funzione continu efinit su un ominio chiuso e limitto A el pino, l cui frontier è costituit un numero finito i curve i lunghezz finit, llor f ( x, ) è integrile su A. Un cso prticolre è to lle funzioni continue su insiemi normli rispetto ll sse x, cioè omini ell form : A = { ( x, ) : x [, ], α ( x ) β( x ) } ove α ( x ), β( x ) sono ue funzioni continue in [, ]. L formul i riuzione ottenut integrno prim rispetto e poi x, in questo cso ivent : β ( x ) f ( x, ) x = x f ( x, ) A α ( x ) 5
e permette il clcolo esplicito ell integrle oppio. In mnier nlog si possono consierre gli insiemi normli rispetto ll sse, che sono ell form : A = { ( x, ) : [ c, ], γ ( ) x δ ( ) } ove γ ( ), δ ( ) sono ue funzioni continue in [ c, ]. L formul i riuzione ottenut integrno prim rispetto x e poi, in questo cso ivent : δ ( ) f ( x, ) x = f ( x, ) x A c γ ( ) e permette il clcolo esplicito ell integrle oppio. Se poi A è l unione i un numero finito i omini normli A. A n che non ino punti in comune, se non un prte ell frontier, llor A n f ( x, ) x = f ( x, ) x. k = Ak imne ggiungere che l integrilità così efinit verific proprietà nloghe quelle vlie nel cso i un vriile : linerità, positività, monotoni. Esempio : Clcolimo l integrle ell funzione f ( x, ) = e nel ominio inicto nell figur successiv: Il ominio è normle rispetto entrmi gli ssi. ( i ) rispetto ll sse elle x : x x. L formul i riuzione ivent 6
x e. x e, quest str non è percorri- Poiché non possimo scrivere in form elementre le primitive i ile. ( i i ) rispetto ll sse elle : x. L formul i riuzione ivent : cui segue e x e e successivmente Esempio : e e - =. = Integrimo l funzione f ( x, ) = log x nell regione i pino compres tr l iperole x = e l rett x + = 5. L regione è normle rispetto entrmi gli ssi. Se l veimo come normle rispetto ll sse elle x, si h / x, /x 5/ x e unque l formul i riuzione ivent : 5/ - x log x x = / /x / 5 - x - log x x =... x Il lettore completi i clcoli e successivmente provi ripeterli interpretno l regione come normle ll sse elle. 7
Esempio ( clcolo i un integrle in coorinte polri ) : Clcolimo il volume ell regione i spzio compres tr l superficie i equzione z = x (proloie) e il pino x. Inicto con A il cerchio i centro l origine e rggio unitrio nel pino x, il volume richiesto è to ll integrle - x ( - x - ) x = x ( - x - ) A - - - x Portre vnti questo clcolo non è gevole. Se riferimo il pino coorinte polri ( r, θ ), il ominio i integrzione è crtterizzto lle conizioni r, θ π e l funzione ssume l form f ( r, δ ) = r. Ci riconucimo unque integrre un funzione ell sol vriile r su un rettngolo el pino ( r, θ ). Però, come già nel cso i un vriile, quno si cmino le vriili i integrzione oimo tener conto ei termini ifferenzili. In prticolre nel pssggio coorinte crtesine coorinte polri il termine x si trsform in r r θ ( non possimo scenere nei ettgli i quest ffermzione ). L integrle ivent unque : π r ( - r ) r θ =. = π /. Esempio 4 ( un integrle importnte ) : L integrle improprio - -x e x converge e il suo vlore ( che inichimo con I) non ipene qule simolo si us per inicre l vriile i integrzione. Possimo llor esprimere il suo qurto come prootto i ue integrli ientici, m con le loro vriili inicte in moo iverso; successivmente possimo interpretre questo prootto come un integrle oppio e clcolrlo in coorinte polri. 8
I = - x - x - - x - e x = e x e = e x. - - - Attenzione! Questo è un integrle oppio improprio ; proceimo senz frci conizionre quest osservzione. Pssno in coorinte polri, si ottiene : -r r e r π θ ( Inftti, per escrivere il pino in coorinte polri occorre che r vri in [, ) e θ in [, π ] ). Svolgeno i clcoli nel moo consueto, si ottiene : π - r π - e / = r = - r π - e / =. r =. In conclusione, - -x e x = π. 9