11 mm Geometri Oggi D11_10x85 D11 1/1/09 15:34 Pgin 1 Geometri Oggi Pino de oper Geometri ISN 978-88-494-1466-0 Geometri neo spzio I pino crtesino competo e geometri nitic ritmetic + Tvoe numerice ISN 978-88-494-1459- Gi insiemi e i inguggio mtemtico I numeri e e operzioni ritmetice Risouzione di proemi Mutipi e divisori Le frzioni ger ISN 978-88-494-146- I numeri retivi Gi insiemi numerici coo ettere Equzioni e disequzioni Proiità Dgi insiemi e strutture I pensiero rzione e ogic mtemtic ritmetic ISN 978-88-494-1460-8 De frzioni i numeri rei Proporzionità e ppiczioni Introduzione e funzioni e pino crtesino Sttistic e proiità ritmetic e geometri con un cic ISN 978-88-494-1467-7 I computer I sistem opertivo e gestione dei fie L ritmetic con Exce L geometri dinmic con Geoger L reizzzione di presentzioni Le reti informtice e internet Geometri I mterii on-ine Su sito www.scuo.com sono presenti, scricii grtuitmente, e sintesi dei vri rgomenti ed esercizi guidti per ciscun unità. Questo simoo identific i iri di testo reizzti in formto misto, ovvero crtceo e digite I corso è dotto di un serie di mterii specificmente progettti per uso de LIM in csse. Nuovo Geometri Oggi Prezzo di vendit puico 10,45 (defiscizzto 10,04) I G G 3 tti O 5co I 46 is R -1 r ET 94 I. M M -4 N M EO -88 TRI G 78 E VO 9 P O N U N IS Questo voume, sprovvisto de toncino to, è d considerrsi copi SGGIO-MPIONE GRTUITO, fuori commercio (vendit e tri tti di disposizione vietti: rt. 17, c., L. 633/1941). Fuori cmpo ppiczione I.V.. (D.P.R. 6/10/7, n. 633, rt., 3 co, ett. d.) Nuovo Mrio Mriscotti Nuovo Geometri Oggi Geometri ISN 978-88-494-1463-9 Le nozioni fondmenti de geometri ssificzione dei poigoni L circonferenz e i cercio ISN 978-88-494-1465-3 Equivenz di superfici pine I teorem di Pitgor Le costruzioni e e trsformzioni geometrice Simiitudini pine I teoremi di Eucide Lungezz de circonferenz e re de cercio Mrio Mriscotti Nuovo Geometri Oggi cur di Luigi Ferrndo
internet: www.petrini.it e-mi: scienze&tecnoogie@petrini.it Redttore responsie: Monic Mrtinei Tecnico responsie: Gin ttist Vivd Progetto grfico: r Devoto, Ndi Mestri opertin: Simon ornio, Ndi Mestri Impginzione:.G.I. oogn Disegni: Leprecun, Moreno iccier rt Director: Ndi Mestri Si ringrzi i prof. Snto Rindi per consuenz prestt ne reizzzione de oper. Proprietà etterri riservt 010 De gostini Scuo Sp Novr 1ª edizione: gennio 010 Printed in Ity Foto copertin: Todd Dvidson, imges.com/oris L Editore dicir propri disponiiità regorizzre eventui omissioni o errori di ttriuzione. Ne rispetto de DL 74/9 su trsprenz ne puicità, e immgini escudono ogni e qusisi possiie intenzione o effetto promozione verso i ettori. Tutti i diritti riservti. Nessun prte de mterie protetto d questo copyrigt potrà essere riprodott in cun form senz utorizzzione scritt de Editore. Fotocopie per uso persone de ettore possono essere effettute nei imiti de 15% di ciscun voume/ fscicoo di periodico dietro pgmento SIE de compenso previsto d rt. 68, comm 4, de egge prie 1941 n.633. Le riproduzioni d uso differente d queo persone potrnno vvenire, per un numero di pgine non superiore 15% de presente voume/fscicoo, soo seguito di specific utorizzzione riscit d IDRO orso di Port Romn, 108 011 Mino e-mi. idro@io.it; www.idro.org Eventui segnzioni di errori, refusi, ricieste di cirimento di funzionmento tecnico dei supporti mutimedii de corso o spiegzioni sue scete operte dgi utori e d s Editrice possono essere invite indirizzo di post eettronic degostiniscuo@degostiniscuo.it. Stmp: DEPRINTING Novr Ristmp: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 nno: 010 011 01 013 014 015
Mrio Mriscotti Nuovo Geometri Oggi cur di Luigi Ferrndo
Indice Equivenz di superfici pine. I teorem di Pitgor Unità 10 Superfici equiventi. re dei poigoni 1 Superfici equiestese o equiventi riteri di equivenz dee superfici 3 3 Misur de re di un superficie 6 4 re dei qudriteri 7 re de rettngoo 7 re de qudrto 8 re de preogrmmo 9 re de romo 10 re dei qudriteri venti e digoni perpendicori 11 re de trpezio 11 5 re de tringoo 13 re de tringoo rettngoo 14 6 Formu di Erone 15 7 re dei poigoni regori 16 Rezione fr i to e potem di un poigono regore 16 coo de re di un poigono regore 17 8 re de poigono circoscritto un circonferenz 19 9 re di figure prticori 0 Poigoni qusisi 0 Fsce poigoni 1 re di superfici contorno curviineo 1 10 Equivenz e isoperimetri 3 Un po di stori: Misur de re dee superfici pine 5 Mpp di riepiogo 6 ESERIZI 8 Sced di verific 58 Sced di recupero 60 Sced di potenzimento 6 Onine sintesi ed esercizi guidti Unità 11 I teorem di Pitgor 1 I teoremi e i teorem di Pitgor 64 Dimostrzione de teorem di Pitgor 65 3 Misur dei ti di un tringoo rettngoo 66 4 Le terne pitgorice 66 5 ppiczioni de teorem di Pitgor 68 6 Proemi di ppiczione de teorem di Pitgor 7 Un po di stori: Pitgor 77 Mpp di riepiogo 78 ESERIZI 80 Sced di verific 105 Sced di recupero 107 Sced di potenzimento 109 Onine sintesi ed esercizi guidti Le costruzioni e e trsformzioni geometrice Unità 1 Le costruzioni geometrice 1 e cos sono e costruzioni geometrice? 11 ostruzione di rette perpendicori, di ngoi e di rette pree 113 3 ostruzione di tringoi 115 4 ostruzioni retive circonferenz 117 5 ostruzione di preogrmmi 119 6 ostruzioni geometrice con i computer 10 ome si present ri Géomètre 10 Disegni di figure eementri 11 II
INDIE 7 Rette perpendicori e pree, sse di un segmento, isettrice 13 Verific dee rezioni 13 Misure 13 ontrssegnre un costruzione 14 L geometri dinmic: i trscinmento 14 Mpp di riepiogo 16 ESERIZI 18 Sced di verific 134 Sced di recupero 136 Sced di potenzimento 137 Onine sintesi ed esercizi guidti Unità 13 Le trsformzioni geometrice ne pino 1 Trsformzioni geometrice 140 Le isometrie e i movimenti rigidi ne pino 141 3 Trszione 143 I concetto di vettore 143 L trszione 143 4 Rotzione 146 5 Ritmento 148 6 Simmetrie ssii 148 Figure dotte di uno o più ssi di simmetri 150 7 Simmetrie centri 151 Figure dotte di centro di simmetri 153 8 omposizione di isometrie 154 omposizione di trszioni 155 omposizione di due rotzioni concentrice 155 omposizione di due ritmenti 156 omposizione di simmetrie centri 157 9 Trsformzioni non isometrice 158 Trsformzioni proiettive o proiettività 159 Trsformzioni ffini o ffinità 160 10 Trsformzioni topoogice 163 Mpp di riepiogo 166 ESERIZI 168 Sced di verific 193 Sced di recupero 197 Sced di potenzimento 199 Onine sintesi ed esercizi guidti Simiitudini pine. I teoremi di Eucide Unità 14 Simiitudini pine e ppiczioni 1 Introduzione simiitudine 0 Poigoni simii 03 3 Rpporto di simiitudine 04 4 riteri di simiitudine dei tringoi 06 Primo criterio di simiitudine dei tringoi 07 onseguenze de primo criterio di simiitudine 07 Secondo criterio di simiitudine dei tringoi 07 Terzo criterio di simiitudine dei tringoi 08 5 Rpporto fr eementi corrispondenti di poigoni simii 08 Rpporto fr e tezze corrispondenti di tringoi simii 08 Rpporto fr i perimetri di due poigoni simii 09 Rpporto fr e ree di due poigoni simii 10 6 Esempi di ppiczioni de simiitudine 1. Misur ottenut usndo e omre 1. Misur de distnz fr due punti de terreno seprti d un ostcoo 1 c. Misur de rgezz di un fiume 13 7 Equivenz, simiitudine e congruenz confronto 13 8 I primo teorem di Eucide 13 9 I secondo teorem di Eucide 15 10 ppiczioni dei teoremi di Eucide 16 11 Un prticore simiitudine: omoteti 19 Osservzioni sue omotetie 0 1 I teorem di Tete 13 onseguenze de teorem di Tete 3 Un po di stori: Eucide e i suoi Eementi. Tete 4 Mpp di riepiogo 6 ESERIZI 8 Sced di verific 45 Sced di recupero 48 Sced di potenzimento 50 Onine sintesi ed esercizi guidti III
INDIE Unità 15 Riduzione e ingrndimento di figure 1 Sce di riduzione e sce di ingrndimento 5 I metodo de qudretttur per ridurre o ingrndire un disegno 56 Mpp di riepiogo 58 ESERIZI 60 Sced di verific 64 Sced di recupero 66 Sced di potenzimento 67 Onine sintesi ed esercizi guidti Lungezz de circonferenz e re de cercio Unità 16 L ungezz de circonferenz e re de cercio 1 Lungezz de circonferenz 70 Lungezz di un rco di circonferenz 7 3 re de cercio 73 4 re de settore circore 74 5 re de segmento circore 76 6 re de coron circore 77 Un po di stori: Un numero fmoso: r 77 Mpp di riepiogo 78 ESERIZI 80 Sced di verific 96 Sced di recupero 98 Sced di potenzimento 300 Onine sintesi ed esercizi guidti Gossrio 30 Souzioni gi esercizi di verific e di potenzimento 304 IV
Unità10 Equivenz di superfici pine. I teorem di Pitgor TEM: Spzio e figure 10 UNITÀ Superfici equiventi. re dei poigoni 11 UNITÀ I teorem di Pitgor Qunto dist ereo d pist? Disegno un tringoo rettngoo e provo ccoro.
UNITÀ 10 Superfici equiventi. re dei poigoni PREREQUISITI oncetto di congruenz di figure pine oncetto di misur OIETTIVI onoscenze cquisire i concetto di equiestensione onsoidre i significto di misur di un superficie Individure e questioni di isoperimetri e di equivenz ompetenze Misurre re dei poigoni, nce con scomposizione in prti equiventi o congruenti Usre i metodi di misur de re dee figure pine Risovere proemi diretti o inversi retivi questioni di equivenz o isoperimetri 1 Superfici equiestese o equiventi Fr e proprietà ce crtterizzno e figure pine riveste un prticore importnz estensione superficie, inftti ogni figur pin occup un prte di pino, cioè un superficie, e un su estensione o re. Si dice estensione superficie o re di un figur pin quntità di superficie de pino ce ess occup. Qundo fr tutte e proprietà di un figur vogimo riferirci in prticore su estensione superficie possimo utiizzre i termine «superficie» per indicre figur geometric. Figur oppure Superficie Figur oppure Superficie Esminimo tre figure ricvte tutte d uno stesso fogio di crtone. Le figure e sono due qudrti congruenti. Inftti è possiie sovrppore in modo ce coincidno perfettmente; possimo, quindi, ffermre ce nno stess estensione superficie. Le figure e non sono invece congruenti e per verificre se nno stess estensione utiizzimo un metodo sperimente. Pesimo i due modei di crtone, se trovimo ce i peso
Unità10 è ugue per entrmi possimo dire ce e due superfici nno stess estensione, cioè ce sono equiestese o equiventi. Possimo concudere ce: Due superfici pine si dicono equiestese o equiventi se nno stess estensione o re. Per indicre ce due figure e sono equiventi scrivimo: 0 e eggimo: «superficie è equivente superficie». Se due superfici non sono equiventi, que ce estensione mggiore si dice rispetto tr, que si dice suvvente rispetto prim. Possimo ffermre ce: prevente Due superfici congruenti sono equiventi; mentre due superfici equiventi non sono, in genere, congruenti. riteri di equivenz dee superfici onsiderimo e superfici e e con esse costruimo superficie S, ce risut equivente somm dee superfici e. + = S S =. + =. S =. S L superficie è equivente differenz fr S e ; superficie, su vot, è equivente differenz fr S e. Notimo come i concetto di somm si può estendere cso di tre o più superfici. Inotre somm di due o più superfici si può ottenere in mniere diverse ccostndo e superfici dte in modo ce ino in comune sotnto prte de oro contorno e nessun punto interno. 3
Superfici equiventi. re dei poigoni onsiderimo i qudrto Q disegnto su un crtone o su un mier e scomponimoo in due prti e ungo i segmento ce unisce i punto medio di un to con uno dei vertici de to opposto. Q =. + R =. + T =. + Q=. R =. T Q R Se disponimo diversmente e due superfici e, possimo ottenere, per esempio, i trpezio isoscee R e i tringoo rettngoo T. Superfici ce possono essere scomposte in figure congruenti sono dette equiscomponiii. Riferendoci i poigoni in figur, possimo ffermre ce e superfici Q, R e T sono equiscomponiii. I poigoni Q, R, T, ce sono somme dei poigoni e sono equiventi, nce se e superfici o sono disposte in modo diverso. Possimo concudere ce: Superfici ce sono somme di superfici rispettivmente congruenti sono equiventi. In tre proe, imo ce: Superfici equiscomponiii sono equiventi. Non è sempre possiie scomporre due superfici equiventi in superfici rispettivmente congruenti. Per esempio possimo scomporre qunto vogimo un qudrto, m non riusciremo mi ricomporre i pezzi ottenuti in modo d formre un cercio. In questo cso è sufficiente osservre ce superfici ce sono somme di superfici rispettivmente equiventi sono equiventi. In questo modo srà possiie trovre un cercio equivente qudrto, senz ce i per forz form de qudrto. onsiderimo i rettngoo S e togimo d esso, operndo in modo diverso, un stess superficie e cioè i qudrto Q, ottenendo e superfici e. T S =. S Q =. S Q Q Q S =. S 4
Unità10 Possimo notre come e superfici e, ottenute d differenz fr superfici rispettivmente congruenti, sono equiventi. Possimo quindi concudere ce: Superfici ce sono differenz fr superfici rispettivmente congruenti sono equiventi. nce superfici ce sono differenz fr superfici rispettivmente equiventi sono equiventi. ontro se i cpito on iuto dei qudretti scomponi i seguenti poigoni ne somm di qudriteri: 1. =. = 3. = Esercizi p. 8 5
Superfici equiventi. re dei poigoni 3 Misur de re di un superficie L estensione o re di un superficie pin è un grndezz e si può misurre scegiendo un unità di misur omogene con ess. Misurre re di un superficie signific confrontr con un tr re scet come unità di misur e stiire qunte vote quest utim è contenut ne prim. I numero ottenuto è misur de re de superficie dt. Si dice misur de re di un superficie i numero ce indic qunte vote ess contiene re de superficie scet come unità di misur. L unità di misur fondmente per e ree dee superfici è i metro qudrto, cioè un qudrto con i to ungo un metro. on riferimento disegno, supponimo ce i rettngoo R rppresenti i pvimento di un stnz e ce U si unità di misur e precismente un qudrto con i to di un metro. L misur de re di R è di 0 metri qudrti, percé R contiene 0 vote unità di misur U. L misur de re de rettngoo R, vendo ssunto come unità di misur i metro qudrto, è 0 m e scrivimo: = 0 (in m ) o più sempicemente: = 0 m L te riport i mutipi e i sottomutipi de metro qudrto. R U Mutipi Sottomutipi Unità Simoo Vore in m Z ciometro qudrto ] km 1 km = 1.000.000 m [ ettometro qudrto m 1 m = 1.000 m ] decmetro qudrto dm \ 1 dm = 100 m metro qudrto m Z decimetro qudrto ] [ centimetro qudrto ] miimetro qudrto \ dm cm mm 1 dm = 0,01 m 1 cm = 0,0001 m 1 mm = 0,000001 m ome risut d disegno, ciscun unità di re (qudrtino rosso) è centesim prte di que immeditmente superiore (qudrto grnde zzurro); su vot i qudrto zzurro è 100 vote i qudrtino rosso. iò consente di ffermre ce e unità di re procedono di 100 in 100. Di conseguenz, per pssre d un unità un tr sottomutip de prim, si motipic per 100 ogni sto di unità; mentre per pssre d un unità un tr mutip de prim si divide per 100 ogni sto di unità. Per esempio, per pssre di m i cm si motipic due vote per 100; mentre per pssre di m i km si divide tre vote per 100. 10 9 8 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 6
Unità10 ESEMPI 7,85 m = 78.500 cm dm = 00 m 750 m = 0,0750 m 0,5 km = 50.000 m 754 dm = 7,54 m 1,50 m = 150 dm È opportuno osservre ce per misurre e ree dee superfici non è sempre possiie ricorrere confronto diretto. Se doimo ccore misur de re di un tringoo, non possimo confrontre direttmente su superficie con un qudrto ssunto come unità di misur. Per misurre re di un superficie quindi non ricorrimo confronto diretto, m fccimo uso di strumenti o deducimo te misur indirettmente con regoe ce srnno iustrte nei prgrfi successivi. ontro se i cpito ompet e seguenti uguginze:. 18,70 dm =... mm ;. 7.57 cm =... m ; c. 18,70 dm = (18,70 #...) mm =... mm ; d. 757. cm = ( 757. :...) m =... m 4 re dei qudriteri re de rettngoo onsiderimo i rettngoo D, cui se è di 4 cm e tezz D è di 3 cm. Dividimo se e tezz in segmenti congruenti di 1 cm ciscuno e per i punti di divisione conducimo e pree i ti de rettngoo in modo ce i rettngoo risuti diviso in 1 qudrti venti i to di 1 cm e quindi re di 1 cm. ssumendo come unità di misur te qudrto, imo ce re de rettngoo è espress in cm d numero 1. te risutto pervenimo rpidmente motipicndo 4 per 3; inftti, come risut d disegno, ogni strisci orizzonte contiene 4 qudrti e poicé e strisce sono 3, i numero tote dei qudrti è 4 # 3 = 1. D L re de rettngoo si ottiene motipicndo misur de se per que de tezz. Not. Nturmente supporremo, nce in seguito, ce e misure dee due grndezze sino espresse ne stess unità di misur. Ricordimo e seguenti forme revite ce possimo usre indifferentemente: ccore re signific ccore misur de re ccore i perimetro signific ccore misur de perimetro Possimo dire più sempicemente ce re de rettngoo si ottiene motipicndo misur dee due dimensioni. Indicndo con re e con e rispettivmente misur de se e de tezz de rettngoo, imo formu: = # 7
Superfici equiventi. re dei poigoni on riferimento esempio iustrto, imo: = (4# 3) cm = 1 cm D formu ottenut possimo ricvre e due formue inverse, ce consentono di determinre misur di un dimensione de rettngoo qundo si conoscono re e misur de tr dimensione: = = on riferimento rettngoo de disegno, imo: 1 1 = cm = 4 cm = cm = 3 cm 3 4 ontro se i cpito 1. co superficie di un rettngoo e cui dimensioni misurno 1 cm e 40 cm.. co tezz di un rettngoo vente se di,1 dm e re ce misur 4 dm. re de qudrto L rego per i ccoo de re de qudrto si ottiene osservndo ce i qudrto è un prticore rettngoo ce e due dimensioni congruenti. Indicndo con misur de suo to, re de qudrto è: = # D cioè: = L re de qudrto si ottiene motipicndo misur de to per se stess e cioè eevndo qudrto misur de to. Per i qudrto D in figur imo: = 4 cm = 16 cm Poicé operzione invers de eevmento qudrto è estrzione di rdice qudrt, per ccore misur de to di un qudrto conoscendone re st estrrre rdice qudrt de re. = L misur de to de qudrto di cui è dt re si ottiene estrendo rdice qudrt de re. 8
Unità10 Se, per esempio, i qudrto re di 16 cm, i suo to misur 4 cm. Inftti = 16 cm = 4 cm ontro se i cpito 1. co re di un qudrto i cui to misur 1,8 cm.. co misur de to di un qudrto cui re misur 49 cm. re de preogrmmo Dto i rettngoo D, ritgimo d esso i tringoo rettngoo ED e disponimoo in modo d ottenere i preogrmmo LMNP. D E P Q N 1 1 I rettngoo e i preogrmmo nno stess se e stess tezz e risutno scomposti in due poigoni rispettivmente congruenti e perciò sono equiventi. Un preogrmmo è equivente un rettngoo vente se e tezz rispettivmente congruenti. Possimo dedurre ce: Due preogrmmi venti si e tezze rispettivmente congruenti sono equiventi. L re de preogrmmo si cco con stess formu utiizzt per re de rettngoo. L re de preogrmmo si ottiene motipicndo misur de se per que de tezz. = # D quest ricvimo e due formue inverse: = = L M ontro se i cpito Un preogrmmo vente se ce misur 10 cm è equivente un rettngoo e cui dimensioni misurno 15 cm e 0 cm. co misur de tezz de preogrmmo. (Prim occorre ccore re de rettngoo, poi sfruttre equivenz fr e due figure.) 9
Superfici equiventi. re dei poigoni re de romo Poicé i romo è un preogrmmo, su re si ottiene con formu = #, motipicndo misur di un suo to, ce è se, per misur de tezz ess retiv. Se invece è not misur dee due digoni, possimo ccore re de romo in modo diverso. Dto i romo D, conducimo per i vertici e pre digone D e per i vertici e D pre digone. Ottenimo i rettngoo EFGH i cui ti sono congruenti e digoni de romo. I rettngoo risut costituito d otto tringoi rettngoi congruenti fr oro; di questi tringoi quttro costituiscono i romo. D ciò deriv ce: H G 8 4 1 3 7 D 5 6 E F Un romo è equivente metà di un rettngoo vente per ti e digoni de romo. L re de romo si cco utiizzndo seguente rego: L re de romo si ottiene motipicndo misur dee digoni e dividendo per due i prodotto ottenuto. Indicndo con d 1 e d e misure dee digoni, re de romo si ottiene con formu: = d # d 1 d cui ricvimo e due formue inverse: d 1 = # d d = # d 1 d 1 D Se, per esempio, e digoni de romo misurno rispettivmente 1 cm e 16 cm, su re è: 1 # 16 cm 96 cm = = Poicé i qudrto è un romo prticore vente e digoni congruenti, possimo ppicre qudrto formu per i ccoo de re de romo, dte e misure dee digoni. Indicndo con d misur di ciscun digone, risut: d# d = cioè: d = d cui ricvimo formu invers: d d = # d 10
Unità10 L re de qudrto, dt misur de su digone, si ottiene dividendo per due i qudrto de misur de digone. ontro se i cpito 1. co re di un romo e cui digoni misurno dm e 4 dm.. co misur de digone mggiore di un romo vente re di 560 cm e digone minore ce misur 16 cm. 3. co re di un qudrto vente digone ce misur 18 cm. re dei qudriteri venti e digoni perpendicori L formu per ccore re de romo, not H misur dee digoni, serve nce per ccore 4 3 re di ogni qudritero vente e digoni perpendicori. Osservimo inftti ce esso è equiv- 1 4 d 1 3 = d d ente metà de rettngoo vente per dimensioni D = d 1 e due digoni e costruito trccindo per i vertici 1 de qudritero pre ciscun digone. Quindi: d1# d = E G F D L re de qudritero vente e digoni perpendicori si ottiene motipicndo misur dee digoni e dividendo per due i prodotto ottenuto. re de trpezio onsiderimo due trpezi congruenti, di si rispettivmente 1 e e di tezz. Disponimoi in modo ce:. uno dei due ti oiqui de uno coincid con i to oiquo congruente de tro trpezio;. se minore de uno si i proungmento de se mggiore de tro. Ottenimo un preogrmmo ce per se somm dee si stess tezz de trpezio. 1 + e per tezz 1 1 1 + 11
Superfici equiventi. re dei poigoni Risut evidente proprietà: Ogni trpezio è equivente metà de preogrmmo vente per se somm dee si de trpezio e stess tezz. L proprietà enuncit consente di ottenere re de trpezio, dte e misure 1 e dee due si e que de tezz. L re de trpezio si ottiene motipicndo somm de misur dee si per misur de tezz e dividendo per due i prodotto ottenuto. 1 = + # o nce D quest formu ottenimo e inverse: = ( 1+ )# # = + o nce 1 + = 1 # # D formu 1+ = possimo ricvre misur di un se qundo conoscimo re de trpezio, misur de tezz e que de tr se: # 1= - ESEMPI 1. coimo re di un trpezio vente e si di 9 m e 18 m e tezz di 1 m. ( 1+ ) # ( 9 18) # 1 = = + m = 16 m. coimo misur de tezz di un trpezio vente re di 153 cm e e si di 15 cm e 19 cm. # # 153 306 = = cm = cm = 9 cm + 15 + 19 34 1 3. coimo misur di un dee si di un trpezio vente re di 630 cm, tezz di 15 cm e tr se di 35 cm. # # 630 1= - 1 = - 35cm = ( 84-35) cm = 49 cm 15 ontro se i cpito 1. co re di un trpezio cui se mggiore, ce misur 1 cm, super se minore di 4 cm e vente tezz ce è pri doppio de se minore. (Prim de re occorre ccore se minore e tezz de trpezio.). co somm dee si di un trpezio spendo ce su re misur 180 m e su tezz misur 9 m. 1
Unità10 5 re de tringoo onsiderimo i tringoo ; conducimo per i vertice pre de to e per i vertice pre to e indicimo con D i oro punto di intersezione. Ottenimo così i preogrmmo D, vente stess se e stess tezz H de tringoo. Poicé digone de preogrmmo o divide in due tringoi congruenti e D, re de tringoo considerto è metà de re de preogrmmo vente se e tezz rispettivmente congruenti. H D Un tringoo è equivente metà di un preogrmmo vente se e tezz rispettivmente congruenti. D quest proprietà segue seguente rego: L re de tringoo si ottiene motipicndo misur de se per que de tezz e dividendo per due i prodotto ottenuto. Indicndo con re, con misur de se e con que de tezz, imo: = # e d quest ricvimo e due formue inverse: = # = # Di conseguenz: Tringoi venti si e tezze rispettivmente congruenti sono equiventi. ESEMPI 1. coimo re di un tringoo vente se di 18 cm e tezz di 10 cm. # 18 # 10 = = cm = 90 cm. coimo misur de se di un tringoo vente re di 10 cm e tezz di 10 cm. # # 10 = = cm = 4 cm 10 3. coimo misur de tezz di un tringoo vente re di 108 cm e se di 1 cm. # # 108 = = cm = 18 cm 1 13
Superfici equiventi. re dei poigoni re de tringoo rettngoo Se i tringoo considerto è rettngoo, ssumendo come se un cteto imo ce tezz esso retiv è tro cteto. D ciò consegue: 8 m L re de tringoo rettngoo si ottiene motipicndo misur dei due cteti e dividendo per due i prodotto ottenuto. 6# 8 L re de tringoo in figur è = m = 4 m. L re de tringoo rettngoo può essere nce ottenut considerndo come se ipotenus e dividendo per due i prodotto di quest utim per tezz ess retiv. 6 m = c c Di conseguenz, se conoscimo e misure dei ti de tringoo rettngoo possimo ccore tezz retiv ipotenus, poicé re de tringoo non vri se considerimo come se uno dei cteti o ipotenus: ccoimo re de tringoo utiizzndo e misure dei cteti; dividimo i doppio de re ottenut per ipotenus, ottenendo così misur de tezz ess retiv. Se per esempio ipotenus di un tringoo rettngoo misur 50 cm, e i due cteti misurno rispettivmente 40 e 30 cm ottenimo: 40 # 30 = = 600 cm I doppio di questo vore srà 40 # 30 = 1.00 cm. Utiizzndo ipotenus come se possimo ppicre formu invers e ottenere tezz retiv ipotenus: # 1. 00 = = = 4 cm 50 Notimo ce imo prim diviso e poi motipicto per due i prodotto dei cteti, inftti i doppio de re de tringoo è dto d prodotto fr i due cteti. Per questo motivo possimo revire i procedimento e ottenere seguente rego: L misur de tezz retiv ipotenus di un tringoo rettngoo si ottiene dividendo i prodotto dei cteti per ipotenus. 14
Unità10 ontro se i cpito 1. co re di un tringoo vente se e tezz ce misurno rispettivmente 1 cm e 14 cm.. co misur de re di un tringoo rettngoo vente i cteti ce misurno,4 m e,8 m. 3. co misur de tezz retiv ipotenus di un tringoo rettngoo vente i cteti ce misurno rispettivmente 18 e 4 cm e ipotenus ce misur 30 cm. Esercizi p. 33 6 Formu di Erone È possiie ccore re di un tringoo, se sono note e misure,, c dei suoi ti, medinte un formu dett formu di Erone, mtemtico e ingegnere greco vissuto in epoc imprecist fr i III e i I secoo.. Se,, c sono e misure dei ti de tringoo, misur p de perimetro è dt d: p = + + c c L formu di Erone è seguente: p p p p = # c -m# c -m# c -c m L re de tringoo si ottiene estrendo rdice qudrt de prodotto de misur de semiperimetro per e differenze fr misur de semiperimetro e que di ciscuno dei ti. ESEMPIO coimo re di un tringoo i cui ti misurno rispettivmente 13 cm, 14 cm e 15 cm. p 13 14 15 = + + p cm = 1 cm - = ( 1-13) cm p p - = ( 1-14) cm - c = ( 1-15) cm = 1 # ( 1-13) # ( 1-14) # ( 1-15) cm = = 1# 8# 7# 6cm = 7. 056cm = 84cm ontro se i cpito co re di un tringoo rettngoo vente i cteti ce misurno 6 e 8 cm e ipotenus ce misur 10 cm. Verific ce con formu di Erone si ottiene o stesso risutto. Esercizi p. 51 15
Superfici equiventi. re dei poigoni 7 re dei poigoni regori Rezione fr i to e potem di un poigono regore Ricordimo ce potem di un poigono regore è distnz fr i suo centro e uno dei suoi ti. Se considerimo un poigono regore vente un certo numero di ti, possimo verificre ce i quoziente ottenuto dividendo misur de potem per que de to non cmi cmindo e dimensioni de poigono regore. In tutti i tringoi equiteri i rpporto fr potem e i to è costnte e ve 0,89, in tutti i qudrti i rpporto fr potem e i to è costnte e ve 0,5, in tutti i pentgoni i rpporto fr potem e i to è costnte e ve 0,688... e così vi, quunque sino misur dei ti de poigono regore. Tringoo equitero Qudrto Pentgono regore Esgono regore = 0, 89... = 05, = 0, 688... = 0, 866... In ogni poigono regore i rpporto fr misur de potem e misur de to è costnte e dipende d numero dei ti. L misur de potem di un poigono regore si ottiene motipicndo misur de to per costnte retiv poigono considerto. Ottenimo quindi: = # c = c Ne seguente te imo riportto e costnti di cuni poigoni regori. Le costnti sono rrotondte terz cifr decime, ftt eccezione per que retiv qudrto, ce è estt. Tringoo equitero = # 0,89 (3 ti) Qudrto = # 0,5 (4 ti) Pentgono regore = # 0,688 (5 ti) Esgono regore = # 0,866 (6 ti) Ettgono regore = # 1,038 (7 ti) Ottgono regore = # 1,07 (8 ti) Enngono regore = # 1,374 (9 ti) Decgono regore = # 1,539 (10 ti) Dodecgono regore = # 1,866 (1 ti) Pentdecgono regore = #,35 (15 ti) 16
Unità10 ESEMPI 1. coimo misur de potem di un pentgono regore i cui to misur 100 dm. = # 0,688 = (100 # 0,688) dm = 68,8 dm. coimo misur de to di un esgono regore i cui potem misur 1,65 dm. = 0, 866 1, 65 = dm = 5 dm 0, 866 coo de re di un poigono regore onsiderimo un poigono regore, per esempio un pentgono regore. Se unimo i centro O de poigono con ciscun vertice, i poigono risut scomposto in cinque tringoi isoscei congruenti, ciscuno dei qui per se i to de poigono e per tezz potem. L re di ogni tringoo è: # O E H D L re de pentgono regore è cinque vote re de tringoo considerto e cioè: 5 # # = ossi: p# = essendo i prodotto 5 # misur de perimetro de poigono regore. L re de poigono regore si ottiene motipicndo misur de perimetro per que de potem e dividendo per i prodotto ottenuto. D formu ottenut ricvimo e due inverse, ce servono per i ccoo de misur de perimetro e de misur de potem, essendo noti gi tri eementi. p = # = # p onoscendo re di un poigono regore, i numero n dei suoi ti e costnte c retiv poigono è possiie ccorne i to con formu: # poigono = n# c Per comprendere quest formu ne dimo un dimostrzione di tipo grfico. 17
Superfici equiventi. re dei poigoni Indicimo con misur de to de poigono regore di n ti. L misur de potem de poigono srà dt d prodotto de misur de to per i numero fisso c. Scomponimo i poigono regore di n ti in trettnti tringoi isoscei congruenti. = Rddoppindo re di ciscun tringoo, ottenimo i preogrmmo D equivente doppio de poigono regore. + = Poicé se de preogrmmo è pri perimetro de poigono regore (n # ) e tezz de preogrmmo è potem de poigono regore ( # c), ottenimo: # = = # = n# # # c quindi n# # c= # poigono preogrmm poigono Per ottenere i qudrto de misur de to srà quindi sufficiente dividere i doppio de re de poigono per n # c : # poigono = n# c D cui è immedito ricvre formu d dimostrre. ESEMPI 1. coimo re di un pentgono regore di to 10 cm. 5 # 10 # 0, 688 Per un pentgono n = 5 e c = 0,688, risut: = cm = 17 cm. coimo misur de to di un dodecgono regore vente re di 7.990 cm (per i dodecgono regore n = 1 e c = 1,866). # 7. 990 = cm =. 500 cm = 50cm 1 # 1. 866 ontro se i cpito 1. co re di un esgono regore di to 8 cm.. co potem di un pentgono regore vente i perimetro ce misur 100 cm e re di 688 cm. 3. co misur de to di un ettgono regore vente re di 363,3 cm. 18
Unità10 8 re de poigono circoscritto un circonferenz onsiderimo un poigono circoscritto un circonferenz, per esempio i qudritero - D, e congiungimo i suoi vertici con i centro O de circonferenz. I poigono è or scomposto in quttro tringoi venti per si i ti de poigono e per tezz i rggio OH de circonferenz inscritt. L re de poigono è ugue somm dee ree dei quttro tringoi e quindi possimo scrivere: d cui ricvimo: # OH # OH D # OH D # OH = + + + = ( + + D + D) # OH Poicé + + D + D è i perimetro p de poigono e OH è i rggio r de circonferenz inscritt, ottenimo: = p# r O D H O H D L re de poigono circoscritto un circonferenz si ottiene motipicndo misur de perimetro per que de rggio e dividendo per due i prodotto ottenuto. D formu dt ottenimo e due inverse: p = # r r = # p L second formu esprime rego: I rggio de circonferenz inscritt in un poigono si ottiene dividendo i doppio de re per misur de perimetro. 19
Superfici equiventi. re dei poigoni ESEMPIO coimo misur de rggio de circonferenz inscritt in un tringoo i cui ti misurno rispettivmente 5 cm, 73 cm e 75 cm. I perimetro de tringoo misur (5 + 73 + 75) cm = 00 cm. Per ccore su re fccimo ricorso formu di Erone: p p p p = # c -m# c -m# c -c m = 100 # ( 100-5) # ( 100-73) # ( 100-75) cm = = 100 # 48 # 7 # 5 cm = 3. 40. 000 cm = 1.800 cm r = # p # 1. 800 r = cm = 18 cm 00 ontro se i cpito 1. co re di un poigono inscritto in un circonferenz di rggio 8 cm, spendo ce i perimetro misur 163 cm.. co i perimetro di un poigono circoscritto un circonferenz di rggio 1 cm, spendo ce re misur 600 cm. 9 re di figure prticori Poigoni qusisi Se i poigono non è uno di quei studiti, per cui non disponimo di un pposit formu per ccorne re, possimo scomporre i poigono dto in poigoni noti, qui tringoi, rettngoi, trpezi ecc. L re de poigono dto è somm dee ree dei poigoni nei qui è stto scomposto. F E E D D 0 Ne primo disegno imo scomposto un pentgono in tre tringoi, conducendo per i vertice tutte e possiii digoni; ne secondo disegno imo scomposto un esgono in quttro tringoi e in due trpezi, trccindo digone E e conducendo successivmente quest perpendicore di vertici,, D, F.
Unità10 ESEMPIO Scomponendo i poigono dto in poigoni più sempici, ottenimo un tringoo, un rettngoo e un trpezio. L re de poigono è ugue somm dee ree dei tre poigoni in cui è stto scomposto.,5 cm 4 cm cm 3 cm cm # 5, L re de tringoo è cm = 50, cm ; re de rettngoo è (3 #,5) cm = 7,50 cm ; re de trpezio è (, 5+ 4 ) # cm = 650, cm ; re de poigono dto è (,50 + 7,50 + 6,50) cm = 16,50 cm. Fsce poigoni Un fsci poigone è prte di pino imitt di contorni di due poigoni, uno interno tro, venti i ti prei ed equidistnti. Ogni fsci poigone prende i nome d poigono ce determin; imo quindi fsce poigoni tringori, rettngori, qudrte, trpezoidi, esgoni ecc. i occuperemo escusivmente dee fsce poigoni determinte d poigoni regori. Ne disegno imo rppresentto ne ordine un fsci esgone regore, un fsci qudrt e un fsci pentgone regore. L re di un fsci poigone si cco fcimente con seguente rego: L re de fsci poigone è ugue differenz fr re de poigono esterno e que de poigono interno. re di superfici contorno curviineo on qunto imo studito fino questo momento, simo in grdo di ccore re di un qusisi poigono, i cui contorno è costituito d un ine spezzt cius. Per competre i qudro ci occupimo dee figure contorno curviineo. Esistono procedimenti rigorosi cui trttzione super i imiti dee nostre ttui conoscenze e, pertnto, ci imitimo due metodi pprossimti. 1
Superfici equiventi. re dei poigoni 1. Esminimo figur F disegnt su crt miimetrt e considerimo tutti i qudrti con i to di 1 cm contenuti ne interno de figur. Essi costituiscono i poigono F 1 formto di 10 qudrti. Possimo dire ce re 1 de poigono F 1 F 1 è 10 cm ed è un vore pprossimto per difetto de re de figur F, cioè: 1 1 d cui 10 cm F F F 1 onsiderimo successivmente tutti i qudrti ce sono ttrversti d contorno de figur F e tutti quei interni. Essi formno figur F costituit d 0 qudrti. Possimo dire ce re de figur F è 0 cm ed è un vore pprossimto per eccesso de re de figur F, cioè: 1 d cui 1 0 cm Tenendo conto dee due disuguginze, possimo scrivere: 1 1 1 Un vore intermedio fr 10 cm e 0 cm è dto d medi ritmetic dei due vori e cioè d oro semisomm. Quindi possimo ssumere come vore pprossimto de re di F: 10 0 = + cm = 15 cm. Un tro metodo per ccore in modo pprossimto re di un figur contorno curviineo consiste ne ritgire figur rppresentt su un crtoncino uniforme, e di pesr con un inci di precisione. onfrontndo te peso con queo di 1 cm de crtoncino possimo determinre re de figur.
Unità10 I procedimenti iustrti vengono utiizzti nce per ccore in modo pprossimto re di figure contorno mistiineo (cioè rettiineo e curviineo). ontro se i cpito 1. co re de fsci poigone compres fr due pentgoni regori venti i perimetro rispettivmente di 15 e 50 cm.. co re de poigono rppresentto in figur utiizzndo i qudretti: 1 Esercizi p. 51 10 Equivenz e isoperimetri Due o più poigoni si dicono isoperimetrici qundo nno i perimetri congruenti (i prefisso iso deriv d greco isos, ce signific ugue). Se considerimo poigoni equiventi, come quei ce sono rppresentti in figur, possimo notre ce, pur vendo stess re, non nno o stesso perimetro. 15 cm 10 cm 8 cm 8 cm 1 cm p = (4 1) cm = = 48 cm 18 cm p = (18 + 8) cm = = ( 6) cm = 5 cm 1 cm p = (1 + 8 + 15 + 10) cm = = 54 cm Questo ci permette di ffermre ce: Poigoni equiventi non sono genermente isoperimetrici. 3
Superfici equiventi. re dei poigoni Neo stesso modo possimo verificre ce è possiie trovre dei poigoni ce, pur vendo o stesso perimetro, non nno stess re. 10 cm 5 cm 8 cm 6 cm = 6 cm = 36 cm 7 cm 6 cm = (7 5) cm = 35 cm 6 8 = cm = 4 cm Di conseguenz possimo ffermre ce: Poigoni isoperimetrici non sono in genere equiventi. Se considerimo però gi insiemi di poigoni isoperimetrici venti o stesso numero di ti, possimo verificre ce quei venti re mggiore sono quei regori. Prendimo per esempio i tre tringoi di perimetro 4 m rppresentti in figur e cui ree sono stte ccote con e formue pprese in questo cpitoo. 8 10 8 8 8 7 6 = 4 m 8 = 7,7440 m 9 = 6,838 m Notimo ce i tringoo equitero è queo vente re mggiore. questo risutto sremmo giunti se vessimo considerto un quunque tro tringoo vente i perimetro di 4 m. Questo ve nce per i poigoni di 4, 5, 6 ti. In genere: Ogni poigono regore mssim re rispetto tutti i poigoni isoperimetrici con o stesso numero di ti. In figur sono rppresentti dei poigoni regori venti o stesso perimetro. = 0 cm = 15 cm = 1 cm = 10 cm P = 60 cm P = 60 cm P = 60 cm P = 60 cm = 173,40 cm = 5 cm = 47,68 cm = 59,80 cm 4
Unità10 Possimo notre ce re ument con umentre de numero dei ti. In genere: L re dei poigoni regori isoperimetrici ument con umentre de numero dei ti. Esercizi p. 55 Un po di stori Misur de re dee superfici pine Le prime regoe prtice per i ccoo de misur de re di cune superfici pine risgono gi ntici grimensori egizi. Per misur de re gi ntici Romni usvno un unità di misur cimt iugero (d tino iugum, ce vuo dire giogo), que corrispondev re di terreno ce un coppi di uoi ggiogti potev rre in un giorno (circ.50 m ). I mtemtico e ingegnere greco Erone (vissuto in epoc imprecist fr i III e i I secoo..) ee i merito di dre un sistemzione orgnic e principi regoe per misur de re di superfici. Per tutto i periodo medieve e fino epoce re- tivmente recenti, e unità di misur per e ree (e per e tre grndezze) si diffusero e soprttutto si differenzirono notevomente non sotnto nei vri Stti, m nce nee regioni e spesso nee diverse città di uno stesso Stto. È fcie intuire e conseguenze derivnti d te situzione. on introduzione de sistem metrico decime (1795), si creò un sistem di misur sempice e deguto si e esigenze dee scienze si e necessità de vit prtic. Per motivi trdizioni, sono tuttor uste in cune ocità de nostro Pese e veccie unità di misur per e ree; citimo e seguenti: pertic, i tomoo, i moggio, o stio, tvo, giornt ecc. 5
EQUIVLENZ DI SUPERFII PINE. IL TEOREM DI PITGOR MPP DI RIEPILOGO Superfici equiventi. re dei poigoni Due superfici si dicono equiventi qundo nno stess re. Due figure congruenti sono equiventi m non è detto ce due figure equiventi sino congruenti. re de rettngoo = = =# re de qudrto = = re de preogrmmo =# = = re de romo d1 = d 6 d1 # d d1 = # d d = # d1
Unità 10 re de trpezio 1 1 + # = ] g = 1 + 1 + = c re de tringoo # # = = = # onoscendo e misure dei ti è possiie ccore re con formu di Erone: p p p p = # # # c c # = # c = = = # # c = c = # # re di un poigono regore p# = Formu per ccore i to di un poigono regore spendo su re: = 0433, p = = # # p Per i tringoo equitero si us spesso formu: = # 0,433 re di un poigono circoscritto un circonferenz r p# r # = p = r= r # p