FONDAMENTI DI STATISTICA 1

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1 FONDAMENTI DI TATITICA Lug Musso () Vcza Torator () Poltcco d Mlao DICA Pazza Loardo da Vc, 3 33 Mlao Tl Fa mal lugmusso@polmt () Poltcco d Mlao DICA Pazza Loardo da Vc, 3 33 Mlao Tl Fa mal vczatorator@polmt RIAUNTO L frza statstca ( buoa part basata su dstrbuzo campoar drvat da qulla ormal, oltrché sulla dstrbuzo ormal stssa) la tora dlla stma (prcpalmt co l crtro d mm quadrat, rvado ad altr lavor lo studo dll su proprtà d altr suo mtod) costtuscoo la part ctral dlla statstca prmttoo sm la valdazo d dat d modll l laborazo d dat d ossrvazo I tramb cas, otvol è l aals multvarata co l aals d varaza la rgrsso multpla PARTE I DITRIBUZIONI CAMPIONARIE DERIVATE DA QUELLA NORMALE Itroduzo L dstrbuzo d statstch campoar o dpdoo dalla dstrbuzo dll'uvrso da cu campo soo stratt soo astotcamt ormal, s loro campo molto umros Ivc s campo hao pccol dmso, la loro umrostà goca u ruolo mportat, l dtrmar l'quazo la forma dlla dstrbuzo dll var statstch campoar, dstrbuzo ch o può pù ssr approssmata co qulla ormal s dscosta da ssa, tato pù, quato pù l campo è pccolo Esst tutta ua tora d campoamto satto, dov s t coto dl valor d, la qual, s da u lato forsc formazo ugualmt accurat pr tutt valor d, dall'altro è mo gral d qulla pr grad campo, rchddo smpr ua o pù pots lmtatv L'pots lmtatva fodamtal, alla bas dll dstrbuzo statstch d pccol campo, è ch campo stss sao stratt da u uvrso ormalmt dstrbuto I qusto caso, s può dmostrar ch l md l varaz campoar soo varabl casual dpdt Dstrbuzo ch quadrato Dat varabl casual dpdt:,,,, ormalmt dstrbut, co M, la somma d loro quadrat è ua varabl casual, chamata χ, la cu dstà d probabltà è: f ν ( χ ) f ( χ ) χ dov:, + f è u fattor d ormalzzazo, tal ch: f ( χ ) dχ () I qusto caso, ν è ugual ad (umro d varabl casual dpdt, prst l calcolo d χ ) prd l om d grad d lbrtà Qusto lavoro rporta, prssoché tgralmt, llo stl dgl autor, quato sposto captol 4, 5, 6, 7 9 dl lbro: Fodamt d statstca, d Govaa Toglatt (Hopl, Mlao, 976), dov l ot, scrtt dagl autor dl prst lavoro, srvoo a colmar quas quarata a passat dall poca d dzo dl lbro suddtto, così da rdr qust cqu captol acora pamt attual

2 Rfacdos a quato b oto sull dstrbuzo campoar, s può dr ch s è ua varabl casual ormal stadardzzata, la somma d quadrat d strazo co rptzo, da ssa, ha ua dstrbuzo χ co grad d lbrtà, dfta fra rapprstat fg ) + (ch scoda dl valor d ν, assum ua dll form Fg Dstà d probabltà dlla varabl casual χ pr dvrs grad d lbrtà Ad cczo dll curv corrspodt a ν ch soo aomal, la moda è: χ ν ( χ ) ν, la mda: M lo sqm: ν All'aumtar d ν, la dstrbuzo td a dvtar ormal, pr ν > 3, la varabl casual I valor d ( χ ) M ν χ è ormalmt dstrbuta co: F soo soltamt tabulat pr valor d ν A rguardo, la varabl casual χ è usata pr trovar valor d ν >, utà stadardzzat: z χ ν χ, pr 3 La varabl casual χ god dlla cosddtta proprtà d sommabltà, s χ () dpdt, rspttvamt co ν ν grad d lbrtà, ach la varabl casual dstrbuzo χ, co ν ν + grad d lbrtà Quato è partcolarmt utl pr rcavar la dstrbuzo dll varaz campoar: s ( ) + ( ) + L + ( ) ) χ hao dstrbuzo χ ha + χ Ifatt s è la varaza dll'uvrso da cu prov l campo, l scodo mmbro dll'sprsso: s ( ) ( ) ( ) + + L + () è la somma d quadrat d varabl casual ormal stadardzzat, dl tpo: rlazo: ( ) v v, lgat dalla

3 D cosguza, sstoo solo ν varabl casual dpdt tra loro, coscché la varabl casual s ha dstrbuzo χ, co grad d lbrtà ( gral, og qualvolta dat dl campo soo usat pr stmar u paramtro, qusto caso, l umro d grad d lbrtà dmusc d ), la varabl casual dll varaz campoar s ha ua dstrbuzo ( ) χ 3 Dstrbuzo t d tudt Dat du varabl casual dpdt u co dstrbuzo υ, co u ormalmt dstrbuta, co M χ, co ν grad d lbrtà, la varabl casual t è drvata da qust, tramt la rlazo sotto-rportata, ha qusta dstà d probabltà: υ u ν υ ν + t ν t f ( t) f + (3) (3) Fg 3 Cofroto fra la dstà d probabltà dlla varabl casual t co ν 4 qulla ormal La curva corrspodt è smmtrca u po' pù bassa dlla curva ormal (Fg 3) Pr ν la (3) td alla curva ormal s dscosta tato maggormt quato pù ν è pccolo Estratto da u uvrso ormal: N ( M, ), u campo d lmt, la varabl casual: ( M ), dgl scart stadardzzat dll md campoar, rsptto alla mda torca, soddsfa l codzo post pr u, la varabl casual υ, co s, dov ν grad d lbrtà Dato ch d s è la varaza campoara, soddsfa l codzo post pr s soo varabl casual dpdt, prché l'uvrso è ormal, s ha ch l rapporto sgu la dstrbuzo t co grad d lbrtà: M s M s t (33) 3

4 Nlla varabl casual (33) compar lo sqm campoaro s ( o qullo dll'uvrso, com lla dstrbuzo dll md d campo umros), coscché l calcolo dlla sua dstrbuzo o rchd alcua stma d pccol campo qusta varabl casual rapprsta, modo satto, la popolazo dll md d Ach valor d F ( t) soo tabulat pr var valor d ν, a par probabltà, soo smpr maggor d qull ormal La (33), rcavata rgorosamt sza stmar la varaza dll'uvrso, può ssr splctata modo ch rsult pù charamt la struttura d varabl stadardzzata dl t : t M v ( ( ) ) co: v (34) Ifatt l domator dlla (34) è lo sqm dlla varabl casual X dll md campoar, ov s sa stmata la varaza dll'uvrso: v ( ) L applcazo dlla dstrbuzo dl t d tudt (psudomo dll'gls Gosst suo scoprtor) all md d pccol campo soo dtch a qull pr la dstrbuzo ormal pr l md d campo umros Ioltr la dstrbuzo t può ssr usata og qual volta l calcolo port alla stma d statstch ch, pr l loro proprtà carattrstch, s possoo cosdrar md campoar I qusto caso, l domator dl t o è pù ugual a qullo dlla (33), valdo solo l caso cu la sa calcolata com mda artmtca d u campo, ma dv ssr spcfca dl procdmto d calcolo usato U'altra varabl casual d otvol mportaza cu s applca la dstrbuzo t è costtuta dall dffrz d md d pccol campo, purché qust sao stratt dallo stsso uvrso, oppur da uvrs avt la stssa varaza (così oltr alla dstrbuzo ormal pr l'uvrso da cu s sguoo l strazo, s ha u'altra pots rstrttva, rlatva all'uguaglaza dll varaz) Dat du uvrs ormalmt dstrbut: ( M,) umrostà: X ( M,), md campoar: varaz campoar: Y, d stratt du campo dpdt, d s, s, l varabl casual: u ( ) ( M M ) ( ) ( M M ) + s s v + soo rspttvamt ua varabl casual ormal stadardzzata, pr la sommabltà d χ, ua varabl casual χ co ( ) + ( ) + grad d lbrtà D cosguza, la varabl casual: t ( ) ( M M ) ( + ) s + s + co υ + (35) 4

5 ha ua dstrbuzo t d tudt co + grad d lbrtà Ach lla (35) compaoo solo l varaz campoar ( o dll stm d ), co qualch passaggo algbrco, s può vdzar com la (35) sa ua varabl casual stadardzzata, dov la varaza d X Y è calcolata usado com stma dlla varaza comu d X Y l'sprsso: v + + v s + s + L applcazo dlla dstrbuzo t d tudt, all dffrz d md d pccol campo, soo aalogh a qull dlla dstrbuzo ormal, pr l dffrz d md d campo umros 4 Dstrbuzo F d Fshr Dat du varabl casual Idpdt ν ν grad d lbrtà, la varabl casual F (dfta fra sotto-rportata, ha qusta dstà d probabltà: w, tramb co dstrbuzo χ, rspttvamt co ν + ) è drvata da qust, tramt la rlazo v / ν F ( ) ν ν F f ν F + ν F w / ν f (4) La curva corrspodt dpd da du paramtr ν ν la tabulazo dlla fuzo d dstrbuzo F ( F ) rchd tr dmso; tuttava è uso tabular la dstrbuzo, fuzo d suo grad d lbrtà ν ν, solo pr valor F tal ch: F f ( ξ ) dξ 95 f ( ξ ) dξ 99 F Dat du varaz campoar s s, poché s s soo varabl casual dpdt, tramb co dstrbuzo χ grad d lbrtà rspttvamt, l varabl casual: v ν s ( ) w ν s ( ) soddsfao rqust mpost, prché la varabl casual rapporto abba la dstà d probabltà dlla (4): s ( ) s / F (4) / ( ) 5

6 Il umrator (d aalogamt l domator dlla (4)) può ssr così rscrtto: s v coscché la varabl casual F sa trprtabl com l rapporto fra la stma, o dvata, dll varaz dll du popolazo X Y, da cu soo stratt campo Ad smpo, dv smpr ssr F, prché sa applcabl la dstrbuzo t d tudt alla varabl casual dll dffrz d md campoar I gral, l calcolo d F campoaro, l rapporto è sguto podo al umrator la maggor dll du varaz Ifatt l tavol soo calcolat scodo l crtro d avr F, coscché l campo d dfzo d F va da a + PARTE II INFERENZA TATITICA Cotrollo d pots L frza statstca rguarda qu mtod co cu s crca d ddurr formazo su d ua varabl casual, pr mzzo d formazo rcavabl da campo, stratt da qusta I qusto modo, avdo a dsposzo u campo d lmt, stratt da ua varabl casual, s vuol sapr, s qusta varabl casual sgu ua dtrmata dstrbuzo d probabltà, carattrzzata da crt paramtr I alcu cas, l'pottca dstrbuzo è compltamt spcfcata: ad smpo, u campo potrbb ssr stratto da ua data varabl casual, dstrbuta ormalmt, co mda varaza assgat Pù frqutmt, s coosc solo l tpo d dstrbuzo s crca d dtrmar suo paramtr, pr dfr ua partcolar d qul tpo Allora sulla bas d dat sprmtal, s crca d costrur l modllo matmatco pù adatto a rapprstar l fomo, l suo sm, d prdr rsultat d altr futur sprz aalogh Prtato l frz statstch rguardao, d solto, l fuzo d dstrbuzo d varabl casual, sotto l duplc asptto dl tpo d fuzo, oppur d momt ch la carattrzzao I gral, s chama pots statstca ua supposzo sulla fuzo d dstrbuzo d ua o pù varabl casual Tuttava la dstrbuzo d u campo ral o cocd ma sattamt co la dstrbuzo pottca così occorr valutar, s l dvazo dal modllo matmatco, rscotrat l campo, sao Wlch Tuk rmuovoo l pots rstrttva: F, forscoo ua dstrbuzo approssmata, pr l cofroto d md d campo ormal d dpdt, ach d dvrsa varaza: I qusto modo, l valor attso dlla dffrza stadardzzata (dtco a qullo pr campo umros) sgu acora approssmatvamt la dstrbuzo t d tudt: t, purché suo grad d lbrtà ν ν sao calcolat, tdo coto o solo dll umrostà, d du campo stratt, ma ach dll loro varaz campoar: s s + co ν - s s s s A rguardo, s l umro d grad d lbrtà ν o è u umro tro, sso è arrotodato al umro tro pù vco, così da potr accdr all usual tabll d dstrbuzo d probabltà 6

7 dovut a fluttuazo casual, vtabl qualuqu sprmto, oppur s vc duco u ffttva dffrza fra la dstrbuzo cogta dlla popolazo (da cu s è stratto l campo) qulla pottca Il cotrollo d u'pots statstca ( gls: tst) è u crtro pr dcdr, s accttar o rspgr l'pots statstca fatta Allo statstco è lascata la complta lbrtà, llo stablr la rgola d dcso; tuttava qust, l progttarla, è ovvamt gudato da qull proprtà ch fao al caso suo Tutt tst d sgfcatvtà s basao sul coctto d valutar, s l dvazo fra la dstrbuzo campoara (od suo momt) la dstrbuzo potzzata pr la varabl casual da cu l campo è stratto (od suo momt) s possoo attrbur a fluttuazo casual, oppur s vc soo sgfcatv, tato grad coè ch l'pots d partza dbba ssr rspta I og caso, l frza statstca è u tpo d dcso basato sulla probabltà, quato la sgfcatvtà (o mo) d rsultat ossrvat o può ma ssr stablta co u crtro d valdtà assoluta Formulata u pots fodamtal H d ua altratva H, pr prma cosa, s stablsc la rgo crtca dl tst, coè u sottosm d possbl valor argomtal dlla varabl casual, sam, dov l'pots fodamtal H è rspta Ifatt s val H, qu valor comprs lla rgo crtca soo così poco probabl ch u loro prstars u campo basta pr potr cocludr: o corrspodt alla raltà l'pots H formulata Pr qusto, s vrfca s l valor argomtal, rcavabl dal campo, cad o o lla rgo crtca o, H è accttata; s sì, H è rspta s acctta l'pots altratva H I qust'ultmo caso, è ach possbl sospdr la dcso, ovvro o accttar H, pur avdo rgttato H, attsa d ultror formazo Tuttava gral, scartar u pots coduc prma o po ad accttar ua altratva Nlla dcso prsa soo smpr possbl du tp d rror I tpo rspgr u pots gusta: coè dr ch rsultat sprmtal soo sgfcatv, ovvro ch cadoo lla rgo crtca, quado vc l'pots statstca H è corrtta (qusto accad co tata maggor probabltà, quato pù ampa è la rgo crtca stablta) II tpo accttar u pots sbaglata: coè dr ch rsultat o soo sgfcatv, ovvro ch l dvazo fra dat sprmtal d pots fatta soo dovut soltato al caso, d accttar l'pots H ch vc è falsa (qusto accad co maggor probabltà, quato pù pccola è la rgo crtca) Prtato è vdt ch l problma d stablr u tst pr u'pots s rcoduc a qullo d fssar l tpo l'ampzza dlla rgo crtca dl tst o, altratva, l rscho ch s è dspost a corrr d commttr u rror d prmo o d scodo tpo chama lvllo d sgfcatvtà d u tst la massma probabltà d commttr u rror d prmo tpo Qusta probabltà, gralmt dcata co α, è fssata prma d strarr l campo, pr vtar ch gl lmt cotut fluzo la dcso I pratca, soo molto comu valor 5 % % Ad smpo, s s scgl u lvllo d sgfcatvtà dl tst d α 5%, sgfca ch solo crca 5 cas su s rspg l'pots H (ch dovrbb vc ssr accttata) d allora la dcso prsa è corrtta al 95 % Il lvllo d sgfcatvtà 5 % è pù rstrttvo d qullo %, prché può captar d rspgr H al 7

8 5 %, mtr la s acctta all % (fatt la rgo o crtca al 5 % è pù rstrtta d qulla all % ) Prché u tst d pots sa buoo, dv ssr progttato modo da rdurr al mmo gl rror d dcso Qusto o è smplc prché, dato u crto campo, og ttatvo d rdurr gl rror dl prmo tpo coduc ad aumtar qull dl scodo tpo N cas cocrt, s tratta d dcdr qual d ss è pù ocvo rgolars d cosguza, dato ch l solo modo pr rdurl tramb è aumtar la umrostà dl campo Oltr al lvllo d sgfcatvtà α, dfbl com la probabltà ch u valor argomtal campoaro dlla varabl casual, co pots statstca H, cada lla rgo crtca, quado H è vro, s dfsc la probabltà d commttr u rror dl scodo tpo, gralmt dcato co β, ovvro la probabltà d strarr, a caso, u campo posssso d u valor argomtal, comprso lla rgo o crtca, quado l'pots corrtta è vc H Nlla Fg, la curva d sstra rapprsta la dstrbuzo potzzata co H la cu rgo crtca ha du cod d ara α cascua ( qusto sgfca ch H è accttata, s l valor campoaro è comprso fra a + a ) Nlla stssa fgura, la curva d dstra rapprsta la dstrbuzo potzzata co H (d qusto caso, ssdo vra H, la probabltà d ottr valor campoar comprs fra a + a è data dall'ara β ) Dato ch la rgola d dcso è la stssa, corrspodza d qust valor, s acctta H, oostat valga H, raltà, ovvro s commtt u rror d scodo tpo, co probabltà β Fg Rapprstazo grafca dl sgfcato dgl rror d I II U tst d sgfcatvtà può ssr stablto, a scoda d cas, tr mod Assgar la rgo crtca pr cu soo cosdrat sgfcatv valor campoar str ad u fssato trvallo [ A,B] Evtualmt A o B possoo ssr gl strm dl campo d dfzo dlla fuzo d dstrbuzo, tal caso s dc ch l tst è fatto su ua sola coda Fssat A B s dtrma a qual lvllo d sgfcatvtà corrspodoo, calcolado così α (com ll Esmpo ) Assgar α, spcfcado s l tst è fatto su ua o du cod calcolar cosgutmt lmt A B dlla rgo crtca (com ll Esmpo 3) Assgar α β, bas a qual s calcolao la umrostà dl campo la rgo crtca (com ll Esmpo 3) 8

9 Tuttava la maggor part d problm comporta pù d ua sgola altratva, quato lo sprmtator ha spsso rago, torch o pratch, pr cooscr qual pots fodamtal H provar, ma raramt sa qual pots altratva H adottar, s H s dmostra falsa Pr qust class, pù gral, d altratv, l'ttà dll'rror d scodo tpo dpd dalla partcolar pots altratva H, prsa cosdrazo, quato H o è pù costat, ma dpd da pù ttà suscttbl d assumr valor dvrs, grcamt dcat co θ Allora pr dtrmar l'ffcaca dl tst sclto d vtualmt cofrotarlo co u altro, bsoga valutar l'ttà d β ( θ ), coè l rror d scodo tpo, pr tutt l possbl pots altratv ( θ ) H Ach qusto caso, β ( θ ) è la probabltà pr u valor campoaro d cadr lla rgo o crtca, quado ( θ ) H è l'pots corrtta Dato ch s prfrsc vdzar la rgo crtca, d solto, s calcola β ( θ ), ovvro la probabltà pr u valor campoaro d cadr lla rgo crtca, quado ( θ ) l'pots corrtta L'sprsso P ( θ ) β ( θ ) è dtta potza dl tst d dagramm θ P( θ ) potza Ivc dagramm β ( θ ) H è, s chamao curv d θ, soo dtt curv dll carattrstch opratv dl tst (curv OC), coscché usar l'uo o l'altro d du tp d curv è solo ua qusto d cosutud, dato ch la quattà d formazo cotuta è ugual Nl cofroto fra du tp d tst, è da prfrr qullo la cu curva d potza sa pù alta, coè qullo pr cu s ha, a partà d θ, u valor d P ( θ ) maggor Ioltr dallo studo dll curv d potza, lo sprmtator può dtrmar la probabltà d accttar (o mo) pots altratv possbl valutar, s l'sprmto è suffctmt vasto da dar la fduca, pr qualuqu dcso da prdr bas al tst Il mtodo d frza, pr vrfcat pots statstch, può apparr artfcoso, quato spsso o s ha u pots prcsa: H ( ) H da valutar, ma solo u pots approssmatva, basata sull'sprza θ qusta pots approssmatva è trattata com pots prcsa, da sottoporr a tst, s l tst l'acctta, o sgfca ch qusta dvt mprovvsamt dl tutto vra, ma puttosto ch la raltà o è troppo dscosta da H ( θ ) ch, agl fftt pratc, s può cosdrar ( θ ) H coform a qusta raltà U procdmto pù gral è strarr o u campo d umrostà prfssata, ma u dvduo alla volta, dcddo così, ad og passo, s accttar l'pots o rspgrla, oppur cotuar ad aumtar l umro d dvdu dl campo Qusto mtodo, dtto d campoamto squzal, prmtt spsso d raggugr ua dcso, co la stssa ttà d rror d prmo scodo tpo, pù vlocmt prtato pù coomcamt d qullo co campo d umrostà prfssata Tst rlatv alla dstrbuzo bomal Og qual volta s abba ua varabl casual rlatva al umro od alla prctual d vt favorvol su prov, co pccolo, s dv far rfrmto alla dstrbuzo bomal l valor d è fssato, l'uco paramtro da sottoporr a tst, è la probabltà p ch dfsc computamt la dstrbuzo 9

10 Esmpo Ad u sam, è dstrbuta ua lsta co 5 domad all qual s dv rspodr: sì o o Pr valutar l'pots ch uo studt sta rspoddo a caso, dato ch la probabltà d dar ua rsposta gusta è p 5, è stablta ua rgo crtca, corrspodt alla sgut rgola d dcso: s o pù rspost soo corrtt lo studt o sta rspoddo a caso Dtrmar l lvllo d sgfcatvtà dl tst L'pots da sottoporr a tst è: H : p 5 la probabltà d dar o pù rspost gust, s H è vra: 5 P ( 5) ( 5) + ( 5) ( 5) + ( 5) ( 5) + ( 5) ( 5) + ( 5) ( 5) 5 ( 5) ( 5) ottdo così α 59, coè ua probabltà dl 5 % crca d rspgr l'pots vra H : p 5, ovvro d promuovr lo studt, quado sta rspoddo, a caso + 3 Tst rlatv alla dstrbuzo ormal La dstrbuzo ormal può ssr usata, og qual volta s ha a dsposzo u campo d umrostà abbastaza grad, da potr rtr suffct l approssmazo bas alla qual qust varabl casual possoo ssr cosdrat astotcamt ormal 3 Dstrbuzo bomal co grad Valgoo l stss cosdrazo fatt l paragrafo prcdt Esmpo 3 Fssar ua rgola d dcso, pr cotrollar l'pots ch ua mota o sa truccata, avdo stablto prcdza d far 49 lac d usar u lvllo d sgfcatvtà dl 5 % p è la probabltà d ottr tsta, u laco dlla mota, s ha: H : p 5 co la mota o truccata H : p 5 co la mota truccata Il tst è fatto su du cod prché è dffrt avr p < 5 o p > 5, affché s vrfch l'pots Dato ch α 5, cascua dll du ar trattggat dlla Fg 3 è par a 5 dll'ara total, sotto la curva ormal stadardzzata I valor z 96 Nlla pots H, la mda lo sqm dlla dstrbuzo soo: z, lmt dlla rgo o crtca, valgoo 96 H p 49 ( 5) 4 5 pq 49 ( 5)( 5) 3 5 M valor, corrspodt a z ± 96 :

11 ( p) ( 4 5) 3 5 ± 96 da cu Prtato la rgo crtca comprd u umro d tst, su 49 lac, comprso, fra 8 oppur fra 3 49, così s rspg l'pots H s coclud ch la mota è truccata, s s ott u umro d tst comprso qusta zoa Fg 3 Zoa crtca pr tst su du cod co α 5% (putggato) Esmpo 3 Dtrmar la zoa crtca l mmo umro d lac cssar pr stablr, s u dado è truccato o o, co rsch assgat: α 5 5 β L'pots H è ch la probabltà, ad smpo, dlla facca sa ugual a Allora s rt l dado truccato H da rspgr, qualora la probabltà dlla facca supra 6 d 3, rsultado H : P Fg 3 Rapprstazo grafca d u tst su ua coda, co α β assgat Nlla fgura 3, compaoo α β assgat, mtr soo cogt la umrostà dl campo d l lmt fror dlla zoa crtca p, a loro volta, lgat co α β, da du rlazo: l'ara alla dstra d l'ara alla sstra d p, valutata lla curva ormal stadardzzata rlatva ad p, valutata lla curva ormal stadardzzata rlatva ad H, val: 5 α ; H, val: 5 β, rqust ch s traducoo ll quazo: p * 6 96 ( 6)( 83) p * 96 ( 96)( 83) 645

12 coscché: p * p * p * 8 I qusto modo, l dado dv ssr lacato, al mmo, 9 volt la zoa crtca è qulla oltr 8 9 lac, ad smpo, la facca compar co frquza fror a 8, s acctta l'pots H : P 6, ovvro l'pots ch l dado o sa truccato 3 Dstrbuzo d md campoar d campo umros Pr l torma ctral, l md campoar soo dstrbut modo astotcamt ormal, co mda M sqm, dov M s rfrscoo all'uvrso da cu è stratto l campo d umrostà I qusto caso, l pots da cotrollar soo dl sgut tpo Calcolata ugual ad A la mda d ua crta carattrstca d trss, l campo, è accttabl l'pots d u campo stratto, a caso, da u uvrso cu qusta carattrstca val B (oppur l valor mdo dll'uvrso o è B, ma u altro valor qualsas) Esmpo 33 L fu, prodott da ua dtta, hao carco d rottura mdo sqm d 3 kg kg La dtta sost ch pr mzzo d uov tcch l carco d rottura mdo è aumtato, mtr lo sqm è rmasto varato u d u campo d 64 fu, s è valutato u carco d rottura mdo d dtta ad u lvllo d sgfcatvtà d, s dfscoo l pots H H : 34 kg Pr accttar l'affrmazo dlla H : 3 M la produzo è smpr la stssa H > 3 M la produzo è mglorata 3 33 kg Fg 33 Zoa crtca corrspodt ad α %, ll'esmpo 33 Il tst sulla sola coda d dstra, co l'ara trattggata (d Fg 33) par all % dll'ara total, ha valor lmt: z 33 Nll'pots H, la dstrbuzo dll md campoar ha rspttvamt mda sqm: M 3 kg 64 5 kg

13 z M ( 33) La rgola d dcso stablsc ch s rspga H, s la mda d u campo supra 33 kg, mtr s acctta, caso cotraro Dato ch l campo samato ha 34 kg, l pots H è rspta s dv accttar l'affrmazo dlla dtta ch la produzo è mglorata Esmpo 34 Data la rgola d dcso assuta ll'smpo prcdt, occorr po calcolar la probabltà d accttar H, quado l uovo procdmto porta, raltà, l carco d rottura mdo dll'tra produzo a (coè calcolar la probabltà β d commttr u rror d scodo tpo, s H : corrspodt al vro) 34 kg M 34 kg è l'pots Fg 34 Rapprstazo grafca d u tst su ua coda co α rgo crtca assgat L du curv Fg 34 rapprstao l dstrbuzo dll md d campo stratt da du uvrs l cu md soo rspttvamt 3 34 kg codo la rgola d dcso stablta s acctta H pr valor campoar 33 kg Tuttava s 34 kg è la vra mda dlla produzo, s hao md campoar fror od ugual a 33 kg co ua probabltà ugual all'ara β (trattggata fgura) Pr dtrmar l'ttà d β bsoga calcolar l'quvalt d 33 kg utà stadardzzat, data ua dstrbuzo ormal, co mda 34 kg sqm d 5 kg : z ( 33 34) 5 8 L'ara, sotto la curva ormal, alla sstra d z 8 è 9 la probabltà β d o accttar H, coè l'affrmazo dlla dtta ch la produzo è mglorata, quado è ffttvamt mglorata d l suo carco mdo d rottura è dvtato 34 kg, è l % crca Allora l comprator stablsc, lla msura dll' %, l propro rscho α d ammttr u mgloramto dlla produzo (d u aumto d przzo), quado o sst ffttvamt I fuzo d α è dtrmata la rgo crtca la rgola d dcso: s l valor mdo campoaro rsulta fror a 33 kg, l'affrmazo dl produttor crca l mgloramto dl prodotto o è accttata Dato ch la umrostà dl campo è prvtvamt fssata 64 pzz, qusta rgola d dcso s 3

14 traduc u rscho β dl vdtor ugual a crca l % (sst coè u % d probabltà ch, pur ssdo aumtato l carco mdo d rottura, passado da 3 a rcooscuto) 34 kg, l mgloramto o è E' ovvo ch b dffclmt l vdtor, covto dlla sua affrmazo, acctta ua così sfavorvol stuazo, prtato potrbb chdr, ad smpo, ch l propro rscho sa portato al valor β 5% l comprator vuol matr l suo α %, s tratta allora d dtrmar la umrostà dl campo la uova rgo crtca ch prmttoo sm: α % β 5% Il problma, aalogo a qullo dll'smpo 3, podo: M H : M 34, s rsolv trovado l cogt H : 3 * (lmt fror dlla rgo crtca dl tst), coscché: z z * * * 3 33 * 3 + ( 33) * * 3 ( 64) da cu s ott: Pr asscurar sa al comprator ch al vdtor l lvllo d rscho da ss dsdrato, è cssaro aumtar cosdrvolmt la umrostà dl campo (da 64 a 98 ), mtr la zoa crtca (lla qual s acctta l'affrmazo H dl vdtor) è amplata, zado a Al varar d H ( θ ) 3 35 kg, vc ch a 33 kg, coè pr var uov valor md, la curva d dstra s sposta co cotutà, facdo varar l'ttà d β Facdo assumr a valor 6, 8, cc, fo a put la curva OC o la curva d potza: 38 kg, s può costrur pr M β Fg 35 Curva OC curva d potza pr l tst a ua coda dll'esmpo 34 4

15 Pr M 3 kg, s ha: β α 99 Dalla curva OC, co la rgola d dcso adottata, la probabltà d accttar H (la produzo o è mglorata), quado la produzo mda è fror a 3 kg è pratcamt ugual ad Dopo l valor 3, la curva va rapdamt a zro, coscché o s ha quas alcu rscho d accttar H, quado l carco d rottura mdo dlla produzo arrva a 36 kg 33 Dstrbuzo d dffrz d md pr campo umros mpr pr l torma ctral la dffrza d md campoar pr du campo d umrostà, stratt rspttvamt da du uvrs ( M, ) ( M, ) co mda sqm:, è dstrbuta modo astotcamt ormal M ( X X ) M M M ( X X ) M Dat l md d ua carattrstca campoara, par ad A, u campo, d a B, u altro, s rcorr a qusta dstrbuzo pr cotrollar, s può rtrs corrtta l pots ch A sa dvrso da B, solo pr motv accdtal, ch du campo sao stratt dallo stsso uvrso o da uvrs co la stssa mda ( altratva, s dv vc cocludr ch du campo appartgoo ad uvrs co md dffrt) Esmpo 35 Dat vot md d laura, du ssso, co 4 5 laurat, rspttvamt par a 74, co sqm 8, 78, co sqm 7, s dv dcdr, s la dffrza, fra rsultat dll du ssso, è sgfcatva all % M la dffrza è dovuta solo al caso H : M H : M M t l lvllo mdo dgl studt è cambato Nlla pots H, tramb campo provgoo dalla stssa popolazo, co la mda lo sqm dlla varabl casual costtuta dall dffrz d md campoar: M ( X X ) ( X X ) avdo usato gl sqm o dvat, valutat su campo, com stma d qull dlla popolazo L'quvalt, utà stadardzzat, dlla dffrza 74 78, appartt ad ua dstrbuzo ormal co mda ulla sqm 66 z 74, è: ( 78) I u tst su du cod soo sgfcatv, al lvllo d sgfcatvtà dll' % valor d z str all'trvallo [ 58, + 58], d a qusto lvllo la dffrza o è sgfcatva, coè o s ha alcu cambamto 5

16 vot md d laura può altrsì otar ch z, 49 sarbb stato sgfcatvo al 5 % ch, pr ua mglor dscrmazo fra l du pots, sarbb opportua qualch ultror dag 4 Tst rlatv alla dstrbuzo t d tudt 4 Dstrbuzo d md d pccol campo Gl stss crtr, gà dscrtt 3 pr campo umros, soo usat, co l'avvrtza d srvrs dlla dstrbuzo dl t d tudt, co grad d lbrtà: ν, vc dlla dstrbuzo ormal Esst tuttava la codzo lmtatva ch l campo dv ssr stratto da u uvrso ormal, pr ua corrtta applcazo dl tst t, adrbb fatta u dag prlmar, tal sso (qualora vc s tratt d rror d msura, s rt ch la codzo d ormaltà sa smpr approssmatvamt soddsfatta) 4 Dstrbuzo d dffrz d md d pccol campo L pots da sottoporr a cotrollo soo l stss d qull gà dscrtt 33, pr grad campo, co l codzo lmtatv d uvrs (da cu soo stratt du campo) almo approssmatvamt ormal d ugual varaza Trattados d cotrollo dll pots, la codzo: F (posta l paragrafo 4), va trprtata com F sgfcatvamt ugual a (l cotrollo prlmar d qusta pots è trattato l paragrafo 5) Esmpo 4 U soggtto, costtuzoalmt co bassa prsso artrosa, fa ua cura, pr crcar d aumtarla, d sgu msur, gor coscutv (prma d zar la cura), d altrttat, dopo u prodo d cura vuol valutar l'pots ch l trattamto abba aumtato la prsso mda dl soggtto, dat: ( prma dlla cura) ( dopo la cura) suppo ch l varazo rgstrat, ua stssa stuazo, sao ormalmt dstrbut ch, coscché l pots da sottoporr a tst soo: H : H : M M M < M Co qualch calcolo, s ha: 963 s v s v ( 96 3) ( 8) t

17 55 t α Fg 4 Zoa crtca pr tst t su ua coda co % Il tst è fatto su ua sola coda, ad smpo, stabldo valor d t > t, 99, com rgo crtca L'ara trattggata Fg 4 è l' % dll'ara total sotto la curva f ( t) Co ν 8, s ha: t, 55 pr cu la dffrza stadardzzata, fra l prsso md, o è sgfcatva H va accttata Dstrbuzo d coffct d corrlazo lar Ua partcolar applcazo dlla dstrbuzo ormal dlla dstrbuzo t d tudt è rlatva a tst su coffct d corrlazo lar Ifatt qust possggoo ua loro dstrbuzo, pù complssa (trovata da Davd, l 954), dov f ( r), rapprstat la dstà d probabltà, cot o solo la umrostà dl campo, ma ach l valor dl coffct d corrlazo ρ dll'uvrso al qual l campo appart ha coè: ( r) f ( r,ρ ) f, coscché s hao, a partà d, ft possbl dstrbuzo pr r, a scoda dl valor assgato a ρ L'adamto d f ( r) è otvolmt dvrso, var cas: smmtrco rsptto all'ass r, pr ρ, marcatamt asmmtrco pr ± ρ Tuttava sst la possbltà d sgur tst su coffct d corrlazo, utlzzado l fatto ch, s ρ, la varabl casual: t r ( r ) ( ) sgu la dstrbuzo t d tudt co ν ; s ρ, s dv vc usar la cosddtta trasformazo Z d Fschr, scodo la qual è dstrbuta modo approssmatvamt ormal (co mda sqm sotto-dcat) la varabl casual: Z + l r r M ( Z ) ( Z ) + l 3 ρ ρ 3 Com dtto ota, al trm dlla Part I, Wlch Tuk rmuovoo l pots rstrttva sull uguaglaza dll varaz prstao u tst approssmato, pr l cofroto d md d campo ormal d dpdt, ach d dvrsa varaza I qusto modo, l valor attso dlla dffrza stadardzzata (dtco a qullo pr campo umros) sgu acora approssmatvamt la dstrbuzo t d tudt:, purché suo grad d lbrtà sao calcolat, tdo coto opportuamt o solo dll umrostà, d du campo stratt, ma ach dll loro varaz campoar 7

18 Esmpo 4 U coffct d corrlazo basato, su u campo d copp d lmt, rsulta d 35, co u lvllo d sgfcatvtà: α 5, occorr vrfcar, s sa possbl accttar l'pots d u coffct d corrlazo (dll'uvrso al qual l campo appart) ullo: H : ρ H : ρ > r 35 t 59 r ( 35) Il tst è fatto su ua sola coda d l lmt dlla rgo crtca dlla dstrbuzo t d tudt, co ν 8, è t 95 73, coscché H è accttato, co lvllo d sgfcatvtà 5% Esmpo 43 Da du campo d 3 37 corrlazo 5 r r copp d lmt, s soo calcolat rspttvamt coffct d, d occorr vrfcar, s sst ua dffrza fra du valor, al lvllo d sgfcatvtà 5 % Applcado la trasformazo Z d Fshr, a du valor sprmtal, s ott: Z l 5493 Z l co ( Z Z ) Z Z Dat l pots, fodamtal d altratva: H : ( Z ) M ( ) M Z H : M ( Z ) M ( ) Z ll'pots H, s ha: ( Z Z ) ( M ( Z) M ( Z )) ( Z Z ) ( ) z I lmt dlla rgo crtca, pr u tst su du cod d α 5, soo z ± 96 accttato, o sstdo dffrza fra r r, coscché H è 975 Esmpo 44 U coffct d corrlazo, su u campo d 8 copp d lmt, è 8, al lvllo d sgfcatvtà 8

19 α 5%, occorr vrfcar s s può rspgr l'pots ch l coffct d corrlazo dlla popolazo sa: ρ 6 Dat l pots, fodamtal d altratva: H : 6 ρ H : ρ > 6 s ha: + 8 Z l M ( Z ) l 693 ( z ) da cu: z 3 Prtato co α 5 d l tst su ua sola coda, l lmt dlla rgo crtca è: z 64, d allora H dv ssr rspta 95 5 Tsts rlatv alla dstrbuzo F d Fshr La dstrbuzo F d Fshr rguarda l rapporto fra l stm dll varaz d du uvrs ormal Essa può applcars all'esmpo 4 cu, prma d procdr all'uso dl tst t d tudt, s dov cotrollar ch o sao sgfcatvamt dvrs Dat l pots, fodamtal d altratva: H : H : co: ν ν 9, s ha: s s F Voldo valutar H al lvllo d sgfcatvtà 5 %, s dovrbb far u tst su du cod (pr tr coto d tramb l possbltà ), crcado sull tavol, corrspodza d: ν ν 9, l valor d F 975, tal ch sa 5 tavol ch forscoo solo valor F 95 F 99 la probabltà d valor: F > F 975 Tuttava poché spsso soo dat, calcolat ll'pots ch la maggor dll du varaza sa smpr posta al umrator, ottdo così: F >, l tst è sguto sulla sola coda d dstra Dato ch F , l valor ossrvato: F, o è sgfcatvo s può accttar H 9

20 Il tst F d Fshr sull'pots d uguaglaza dll varaz va applcato, cotraramt a quato fatto qusto caso, prma d applcar l tst t d tudt (valutado la sgfcatvtà dlla dffrza d du md) Tuttava l prcpal applcazo dlla varabl casual F d Fshr rguardao l'aals d varaza la rgrsso multpla 6 Tsts rlatv alla dstrbuzo ch quadrato N problm d frza statstca, la dstrbuzo χ (ch quadrato) prmtt d ffttuar tst sull varaz, sul buo adattamto d frquz (all corrspodt probabltà d ua varabl casual) d dpdza La dstrbuzo χ, rfrta alla varabl casual: s, è usata quado s dv dcdr, s ua varaza campoara è sgfcatvamt dvrsa da qulla potzzata pr la varaza dll'uvrso d provza dl campo I qust cas, l'pots altratva può ssr la dsprso dll'uvrso toro al suo valor mdo aumtata o dmuta (cosa d strma mportaza, tutt procss produttv, dov s td a matr la dsprso tro lmt prfssat, l pù possbl rstrtt) Esmpo 6 Ua maccha dovrbb rmpr sacch d matral co uo sqm d campo casual d sacch, s è calcolato uo sqm d kg d vc, su u 5 kg Allora occorr vrfcar, s l'appart aumto dlla dsprso è sgfcatvo a lvll d probabltà: 5 : H : kg H : > kg Il valor χ pr l campo è: χ s ( 5) ( ) 49 5 Esgudo l tst su ua sola coda, co sprmtal rvso ν, s ha: χ 3 7 χ Il valor χ è maggor d tramb pr cu H è rspta la maccha dv ssr sottoposta a Dat l frquz total d valor argomtal d ua varabl casual, ll pots ch la stssa obbdsca ad ua partcolar fuzo d dstrbuzo, spsso qust frquz torch, così calcolat, soo dscrto accordo co qull sprmtal ossrvat La dstrbuzo χ s applca cas cu s dvoo cofrotar fra loro du sr d frquz total, la prma rcavata da u sprmto, la scoda calcolata potzzado ch la varabl casual, rfrta a

21 qusto sprmto, sgua ua crta dstrbuzo d probabltà I paramtr, carattrzzat la dstà d probabltà, possoo ssr potzzat o, pù frqutmt, ddott da dat ossrvat u'pots è corrtta, la probabltà d u valor argomtal qualsas può ssr sprssa da: p f t, co t ossrvata f frquza torca corrspodt, calcolata bas all'pots stssa La frquza f d qul valor argomtal è ua varabl casual ch può assumr valor:,,,,, ssdo l umro d dvdu samat Trattados d ua varabl casual, dov valor argomtal soo l umro dll volt ch u vto d probabltà p s prsta, prov, la probabltà dl grco valor k è data dalla lgg bomal, co mda dlla dstrbuzo: f f t, s può cosdrar ormal (co mda: M calcolata, pr, com: M p f po è suffctmt grad, la varabl casual: t ) la varaza dlla dstrbuzo può ssr ft ft f t pq ft lm pr cu t f f f t f Prtato la varabl casual: ( ) t, può cosdrars, almo approssmatvamt, ormal stadardzzata po, pr ogua dll m copp d frquz ossrvat torch corrspodt, f f t f s costrusc l rapporto: ( ) t, pr l proprtà dlla varabl casual χ, la somma: ( ) ( ) ( f ft ) ( ) f t ( ) ( f ft ) ( ) f t + + ( m) ( m) ( f ft ) ( m) + f t (6) sgu ua dstrbuzo χ Il umro d grad d lbrtà è: ν m k, dov k è l umro d paramtr stmat, bas a dat ossrvat ssu paramtro è stmato, s ha: ν m prché l frquz torch soo lgat a qull ossrvat dalla rlazo: f f t Il valor rcavato dalla (6) dtto sprmtal, è ullo, s dat sprmtal soo dtc a qull atts, χ, bas all'pots scodo cu s rcavao l frquz torch Ivc pù grad è l valor χ sprmtal pù tora d ossrvazo soo dsaccordo Ach qu s tratta d valutar, s l dvazo fra f f t possoo ssr dovut al caso o s pur soo cos grad, da far rspgr l'pots fatta, sulla dstrbuzo dlla varabl casual, rfrta all'sprmto A qusto scopo, la dstrbuzo crtca, l valor α sgfcatvtà dl tst χ srv grgamt, potdos fssar, com lmt dlla rgo χ, tal ch s ha: ( χ > χ α ) α P, bas alla dstrbuzo L'pots ch l'sprmto sgua ua crta dstrbuzo è rspta, s χ, co α l lvllo d χ sprmtal è maggor d

22 χ α, prché Il tst è fatto su d ua sola coda Tuttava è b cotrollar ach ch l valor sprmtal o sa troppo prossmo allo zro, ad smpo, fror ad u ( < χ < χ ) 5 P b Ifatt valor così bass d χ χ b tal ch: χ sprmtal s possoo ottr, pr motv puramt casual, solo 5 cas su, coscché ottr uo può far psar ch l'pots fatta sa troppo buoa, coè ch, qualch modo, s utlzzo dat sprmtal, pr costrur ua tora co la qual po cofrotarl Nlla applcazo d prst alcu avvrtz χ a cotroll d pots d qusto tpo, dtt d buo adattamto, bsoga avr D solto, s ha u approssmazo suffct, s s ha: 5 f > 5, s vc: < 5 t ν f ν 5 t, mtr è opportuo avr: l frquz torch soo molto pccol, gl addd cu ss compaoo al domator hao u pso prpodrat, lla formazo d χ sprmtal, possoo altrar l valor macroscopcamt I qusto caso, è b rur, ua stssa class, pù valor argomtal cotgu, sommado fra loro l rspttv frquz ossrvat torch, cos da aumtar l valor f t f d qust'ultma ll'uco adddo ( ) t f, provt dal coglobamto fatto s hao a dsposzo s sr d sprmt dllo stsso tpo, ma dpdt fra loro, co dat d qual s potrbbro calcolar s valor opportuo sfruttar la proprtà d sommabltà d χ χ + + χ s χ sprmtal co: χ, dtrmado u ν, ν,, ν s, grad d lbrtà, è χ sprmtal ugual a: +, po cofrotarlo co qullo torco, corrspodt al lvllo d sgfcatvtà prfssato, dlla dstrbuzo χ, co: ν ν + ν + + s, grad d lbrtà Esmpo 6 Avdo msurato, co prcso, lo spssor d fl, co lvllo d sgfcatvtà 5 %, valutar l'adattamto dll frquz sotto-rportat: sprmtal torch H : la dstrbuzo ormal co: M 49 7µ m 97µ m dllo spssor d fl prodott H : qusta dstrbuzo ormal o s adatta a dat sprmtal, b s adatta b a qulla I qusto caso, la (6 ) forsc l valor sprmtal: χ ( ) ( 5) ( ) ( 7 6 3) ( 7 7 3)

23 Dato ch l umro k d paramtr dlla dstrbuzo torca stmat da dat ossrvat è ugual a (avdo stmato: M ), s ha: v 5, così: 5 99 χ 95, pr cu H è accttata l'adattamto è molto buoo (oltr ssdo: χ, l'adattamto o è troppo buoo) 5 Il tst χ è usato, bas agl stss prcp spost l puto prcdt, pr l cotrollo d pots dtt d dpdza I qusto caso, u campo d dvdu è samato sotto l puto d vsta d du carattrstch dvrs, co lo scopo d stablr, s l'pots sull dpdza (ua dall'altra), dll du carattrstch, può ssr accttata, oppur o L frquz torch, da cofrotar co qull sprmtal, s drvao propro bas alla pots H d dpdza fra l du carattrstch Esmpo 63 Nlla prma dll du tabll sotto-rportat, soo dcat l umro d dvdu, su trvstat, dcharats rspttvamt favorvol, cotrar od dcs, rguardo ua qusto sulla qual è corso l dbattto parlamtar I mll dvdu soo stratt, a caso, du comutà cosdrat potzalmt dvrs, rsdt comu co popolazo fror a abtat (Gruppo A) d rsdt comu co popolazo supror a abtat (Gruppo B) L pots, fodamtal altratva, soo: H : H : la rsposta è dpdt dall'ambt d rsdza la rsposta o è dpdt dall'ambt d rsdza H è vra, l prctual d favorvol, cotrar d dcs, prst du grupp, dvoo ssr l stss d qull rscotrat l total dgl dvdu samat ossa, l gruppo A, dovrbbro ssr rspttvamt favorvol, cotrar d dcs l 56 5%, 7 7% 5 8% d 45 dvdu, mtr l gruppo B s dovrbbro rtrovar l stss prctual su 549 dvdu Allora lla scoda dll du tabll sotto-rportat, soo dcat l frquz torch, bas all'pots H f favorvol cotrar dcs total gruppo A gruppo B total f t favorvol cotrar dcs total gruppo A gruppo B total Dato ch total pr rgh pr colo dvoo ssr gl stss ll du tabll, l frquz torch o soo tutt dpdt fra loro Nll'smpo, solo du o lla stssa rga, potrbbro ssr mss lbramt, mtr l altr s rcavao da total Il umro d frquz torch dpdt costtusc l umro d grad d lbrtà dl problma dlla dstrbuzo sgfcatvtà dlla somma: χ, utlzzata pr valutar la 3

24 χ ( ) ( ) ( f ft ) ( ) 8 4 f t I gral, co tabll d dmso: m, s ha: ν ( m )( ), d qusto caso: ν Dato ch, co ν, χ , l frquz dll du tabll soo sgfcatvamt dvrs fra loro, co ua probabltà d rror d prmo tpo dl 5 %, s rspg l'pots ch l'opo d cttad o rsta dll'fluza dlla localtà cu vvoo Cotraramt a cotroll d buo adattamto (dov og valor: f t, rapprsta ffttvamt la probabltà dl valor argomtal corrspodt, bas alla dstrbuzo potzzata), cotroll d dpdza f t td alla probabltà, bas alla lgg mprca dl caso, d affché l tst da rsultat attdbl, s rchd lvato ( tst d dpdza valgoo po l stss avvrtz, fatt pr tst d buo adattamto) 4 4 L aggttvo o paramtrco ( gls: dstrbuto-fr, ach s du trm o soo som) qualfca u partcolar gruppo d tst statstc, sotto crt codzo, sosttutvo d tst statstc classc Ifatt tst o paramtrc, rsptto a tst classc, prstao sgut vatagg: la loro comprso è mmdata d lmtar; l codzo d valdtà soo mo fort (pù amp); calcol cssar o prstao, gral, dffcoltà computazoal D altra part, tst o paramtrc prstao alcu svatagg: molta formazo è sprcata la potza dl tst è bassa, coscché tst poco pott tdoo ad ssr troppo cosrvatv, coè l pots fodamtal (o ulla) è accttata, ach quado dovrbb valr l pots altratva Prtato tst statstc classc soo prfrbl, quado l codzo d valdtà soo soddsfatt D sguto, soo prstat du tst d rago (su valor ctral sull dsprso), pr campo dpdt, du tst dl sgo (d Thompso, acora su valor ctral sull dsprso), pr campo qualsas, oltr al tst sul coffct d corrlazo su ragh Tst d Ma-Wht L pots H : µ µ, porta al cofroto d valor ctral d du campo X Y dpdt A rguardo, dat d campo soo X Y N +, pr l dato d valor sosttut da corrspodt ragh cu valor vao da, pr l dato d valor argomtal mmo, a ( ) X N Y argomtal massmo Dtta Rˆ X N N X N Y X ( N + N + ) ( N + N + ) X X Y Y Rˆ X z la somma d ragh dl campo X, s ha: co: z N (, ) Tst d gl-tuck L pots H : X Y, porta al cofroto d valor d dsprso d du campo X Y dpdt A rguardo, dat d campo soo sosttut da corrspodt ragh cu valor vao da, pr l dato l cu scarto valor assoluto rsptto alla mdaa è mmo, a ( N + N ) X Y, pr l dato l cu scarto valor assoluto rsptto alla mdaa è massmo Dtta Rˆ la somma d ragh dl X campo X, s ha la stssa sprsso, astotcamt ormal, dl tst d Ma-Wht Tst dl sgo (pr valor ctral) L pots H : µ µ, porta al cofroto d valor ctral d du campo X Y qualsas Ifatt l caso d cosddtt stud X Y prma dopo, coè quado s msura du volt lo stsso campo, s ottgoo du campo X (valor msurato prma ) Y (valor msurato dopo ) o dpdt Pr og coppa d valor argomtal, s dtrma l sgo ( pù o mo, scartado l dffrz ull), scodo la covzo: valor" prma" X X X > < valor" dopo" Y Y Y sgo + ssuo 4

25 7 Tsts squzal Qualora s mpogao valor abbastaza pccol d α β, com ll'esmpo 3, può ssr cssaro samar u campo molto umroso, prma d dcdr s accttar o scartar l'pots fodamtal I qusto caso, s l ossrvazo d u sprmto soo fatt sr, l sso ch l rsultato d og sgola prova è oto prma d ffttuar la succssva, s può sgur ua procdura dvrsa ch, lla maggoraza d cas, rduc molto l umro d sprmt cssar, pr potr prdr ua dcso, rsultado così molto pù coomca Prtato qust tp d tst, dtt squzal, o è fssata a pror la umrostà dl campo, sam, d l tst è fatto dopo og ossrvazo sull'sm d dat, accumulat fo a qul momto, rptdo l'sprmto, fo a quado o è possbl dcdr qual dll du pots altratv accttar co l prstablto lvllo d sgfcatvtà I tst squzal rchdoo u grafco sul qual soo rportat: ascssa, la umrostà dl campo, fo a qul momto; ordata, ua partcolar fuzo f ( ) d valor ottut, a scoda dl partcolar tpo d tst ul grafco, l caso pù smplc, s traccao ach du l d cof la cu poszo dpd dall'ttà d rsch α β, dall ttà dlla dffrza d valor dl paramtro θ, ll du pots H H, cc ch dlmtao d dvduao tr zo: l accttazo dll'pots fodamtal H ; l accttazo dll'pots altratva H ; Dtt: N p d sg " + ", N m d sg " " N N + N calcolata la frazo d sg pù, sul total d sg: tot p m fˆ N p N tot, s ha: fˆ 5 5 N tot z co: z N (, ) Tst dl sgo (pr valor d dsprso) L pots H : X Y, porta al cofroto d valor d dsprso d du campo X Y qualsas Ifatt ach qusto caso, s ottgoo du campo o dpdt Pr og coppa d scart valor assoluto rsptto alla mdaa, s dtrma l sgo ( pù o mo, scartado smpr l dffrz ull), scodo la covzo: valor " prma" X mdaa X mdaa X mdaa valor" dopo" sgo ( X ) > Y mdaa ( Y ) ( X ) < Y mdaa ( Y ) + ( X ) Y mdaa ( Y ) ssuo Dopodché s sgu la stssa procdura, co la stssa sprsso, astotcamt ormal, dl tst dl sgo (pr valor ctral) Tst d parma La procdura pr l calcolo dl coffct d corrlazo su ragh, fra du campo qualsas, s attua sgut pass: ordar dat pr cascua compot X Y ; assgar ragh, sparatamt, a cascua compot, ll'ord crsct d valor argomtal; calcolar, lmto ad lmto, l dffrz fra ragh dll du compot; N 6 calcolar l coffct d corrlazo su ragh (d parma): rˆ ; XY ( ) ffttuar l tst t d tudt, l caso d corrlazo: N ρ, d tst co la trasformata Z d Fshr, tutt gl altr cas 5

26 l mpossbltà d prdr ua dcso l dagramma d f ( ) s mat lla trza zoa, l'sprmto dv cotuar ad ssr rptuto, mtr o appa l dagramma tra ll prma o scoda zoa s acctta rspttvamt l'pots H o l pots H, trrompdo la sprmtazo E' vdt ch la umrostà dl campo cssara, pr potr prdr ua dcso, vara a scoda d valor ottut, cotraramt a quato accad tst o squzal Il tpo d l cof la forma dlla fuzo f ( ) soo qu rcavat solo pr l caso, molto smplc, cu s ha u solo paramtro da sottoporr a tst, ad smpo, la mda, suppodo ch gl altr paramtr sao ot ch s tratt d u tst su ua sola coda A rguardo, s suppoga ch qusto paramtro possa assumr solo du valor θ θ ( > θ ) L o scopo dl tst è dcdr qual dll du altratv sa qulla vra, a qusto scopo, s troduc l rapporto d vrosmglaza: λ probabltà d u crto campo quadoθ θ probabltà dllo stsso campo quadoθ θ (7) dov, s la dstrbuzo è cotua, l rapporto s sgu fra l dstà d probabltà L'pots H : θ θ è accttabl quado λ è grad l'pots θ θ è accttabl quado λ è H : pccolo D cosguza, al f dll scuzo dl tst squzal, s stablscoo du lmt λ λ, s calcola l valor d λ, dopo og ossrvazo, coscché: H è accttato o appa λ λ ; λ λ ; H è accttato o appa λ < λ λ u altro lmto va agguto al campo, s < Il valor λ può ssr calcolato, troducdo lla (7), vc dl grco valor campoaro, l'sm d valor ch portao all'accttazo d H La probabltà d qust valor è θ θ, pr cu: α λ β α, s θ θ, β, s Aalogamt l valor λ è l rapporto fra la probabltà d valor campoar ch portao all'accttazo d H, ssdo θ θ, qulla dgl stss valor ssdo θ θ, da cu: α λ β 6

27 Dato ch l ttà d α β soo fssat a pror, s possoo faclmt dtrmar du valor lmt co qual cofrotar l valor λ, calcolato ad og succssvo sprmto Tuttava pratca, è pù opportuo usar qualch smplc fuzo d valor campoar, a scoda dl tpo d tst da far Ad smpo, pr u tst su md, su ua sola coda, ssdo la popolazo dstrbuta ormalmt co varaza ota, s ha H : M µ H : M µ > µ co µ, µ ot, α β assgat soo fatt ossrvazo, la dstà d probabltà d u crto gruppo d valor, s è vra H, è: L (,,, θ ) ( π ) ( µ ) mtr la dstà d probabltà dllo stsso gruppo d valor, s è vra H, rsulta: L (,,, θ ) ( π ) ( µ ) Il rapporto d vrosmglaza è: λ L L (,,, θ ) (,,, θ ) ( µ ) ( µ ) l λ ( µ ) ( µ ) + da cu, co qualch passaggo, s ott: T l λ + µ µ ( µ + µ ) (7) I qusto modo, vc d calcolar λ, dopo og ossrvazo, cofrotarlo co valor lmt λ λ, s può calcolar la somma d valor ossrvat: T cofrotarla co valor T T, ottut podo lla (7) rspttvamt λ λ λ λ, coscché: 7

28 T h + s T h + s ( 7 3 ) dov: h b δ δ µ µ h a a δ s + + ( µ µ ) µ δ l β α b l α β L du rtt (73) rapprstao l l d cof, l grafco (mostrato Fg 7) d u tst squzal d tpo lar La loro dstaza, drzo parallla a T, coè l'ampzza dl corrdoo dov s ha ssua dcso, è drttamt proporzoal alla varaza dlla popolazo d vrsamt proporzoal alla dffrza fra paramtr µ µ (coscché la dscrmazo fra du altratv molto vc rchd u maggor umro d ossrvazo) Fg 7 chma d tst squzal ad ua sola coda co θ > θ I qusto tpo d tst squzal d tutt gl altr cas d tst lar, è possbl rcavar l'quazo d ua curva rapprstat l umro mdo d ossrvazo, da far pr raggugr ua dcso fuzo dl valor ffttvo dl paramtro θ Qusta curva ch ha u adamto sml a qullo d Fg 7, com faclmt prvdbl, ha l suo massmo fraθ θ, ha ordat molto fror al valor rchsto da u tst o squzal, pr la maggoraza d valor d θ Il mtodo, prstato l grafco d Fg 7, è applcabl pr dcdr, s u valor mdo è pù grad sgfcatvamt d u valor µ assgato, ssdo ota la varaza U procdmto aalogo s può sgur pr dcdr, s l valor mdo è sgfcatvamt fror a µ µ, l grafco rsultat rsulta smmtrco, rsptto all'ass (dll ascss), d qullo d Fg 7 Ivc s l'pots altratva è 8

29 H : M µ, coè quado s ha u tst su du cod, l grafco dl tst cosst ua combazo dlla Fg 7 dlla sua smmtrca, prstado così uo schma aalogo a qullo d Fg73 lla qual s hao quattro zo, rapprstat rspttvamt l sgut dcso: accttazo d H : M < µ ; accttazo d H : M > µ ; accttazo d H : M µ ; ssua dcso Fg 7 Adamto dl umro mdo d ossrvazo rchst da u tst squzal Fg 73 chma d tst squzal a du cod Esmpo 7 I u'dag su fattor, fluzat la rsstza alla rottura d ua fbra tssl, s troduc ua modfca lla fabbrcazo dlla stssa, prparado du sr d smplar, ua scodo la procdura tradzoal, l'altra scodo la procdura modfcata Il rsultato d og coppa d ossrvazo è gà oto prma dlla fabbrcazo dlla succssva coppa, coscché è cosglabl l'applcazo d u tst squzal, pr dcdr, s la modfca apportata ha ralmt varato l valor mdo dl carco d rottura A rguardo, valor dll dffrz fra l tso d rottura dll fbr, prparat scodo l du dvrs modaltà, soo: 9

30 7, 5, 8,,, 8, 9, 6, 7 Da prcdt sprmt, è appurato ch lo sqm dll tso d rottura è 7 7 utà d l tst squzal è progttato, modo da corrr u rscho α 5, d affrmar la prsza d cambamt o sstt, cotmporaamt d vdzar, co l 9 % d probabltà, ua varazo par a ± utà Allora dat: α 5 β 9 H : µ µ H : µ µ ± ssdo: δ l quazo dll rtt lmt soo: T T h h + s s T' h' T' h' s' 8 5 s' dov h b δ h' h a δ h' β a l α α b l β s δ s' Fg 74 chma d tst squzal a du cod, rlatvo all'esmpo 7 La Fg 74 rapprsta la poszo dll rtt lmt dll var zo d dcso I valor, ottut da succssv sprmt, portao a valor cumulat (rportat l dagramma): ( ) 7,,, 9, 9, 7, 8, 4, 7 T 3

31 L'ultmo valor T 9 rsulta fuor dalla zoa d ssua dcso s trova vc qulla d accttazo d H Prtato s coclud ch l dvrso procdmto d fabbrcazo o porta ssbl varazo lla rsstza alla rottura dlla fbra sam Qualora la varaza dlla popolazo, vc d ssr ota, è stmata da valor ossrvat, s applca l tst squzal o lar d Barard, quvalt al tst t o squzal La fuzo d valor ossrvat, utlzzata pr dlmtar l dvrs zo dl grafco, è così: U ( ) ( µ ) ( µ ) I valor U d U soo fort dall tavol Davs, fuzo d u paramtro D, rapprstat la µ > dffrza fra l md, cosdrata suffct pr cocludr accttado: H : M µ, oppur H : M µ > µ µ µ D, sprssa trm d scarto quadratco mdo: L'adamto dl grafco dl tst squzal è aalogo a qullo d Fg 75 l quattro zo hao lo stsso sgfcato d qull dlla prcdt Fg 73 Fg 75 chma d tst squzal, o lar d Barard, a du cod I tst squzal pr prctual dffrz d prctual, ovvro tst rlatv alla dstrbuzo bomal, soo uovamt d tpo lar, co rtt lmt d quazo: X h + s X h + s dov: b ( P Q) h a ( P + Q) s Q ( P + Q) h + 3

32 P l( p p ) Q l ( p ) ( p ) a l ( β ) α b l ( α ) β I qusto caso, la fuzo f ( ) usata è smplcmt l umro total d cas cu s è vrfcato l'vto d trss d u aalogo tst squzal d tpo lar è utlzzato pr tst su varaz 8 Lmt fducar pr statstch campoar Data ua statstca campoara è possbl dtrmar u trvallo [ A,B], tal ch, s la statstca torca dlla popolazo è comprsa qusto trvallo, la statstca campoara possa cosdrars stratta da qusta popolazo, co u prfssato lvllo d probabltà o fduca I trm pù tutv, ach s mo corrtt: data ua statstca campoara, s possoo ach stablr lmt A B tro qual è comprsa la corrspodt (cogta) statstca dll'uvrso L'trvallo, dtto fducaro, pr la statstca qusto, è tato pù ampo quato pù pccola è la probabltà d rror d prma spc α commsso Ifatt stablr α pccolo mplca ch l'formazo ottuta, a partà d umrostà dl campo, sulla statstca dll'uvrso è pù scarsa ch co α pù lvato, aumtado così l rscho d rror A partà d α, l solo modo pr rstrgr l'trvallo tro cu è comprsa la statstca dll'uvrso, è aumtar la umrostà dl campo L'attdbltà d u trvallo fducaro è d solto dcata dal valor α : s s stablsc α 5, co la probabltà dl 95 %, la statstca dll'uvrso sam è ffttvamt comprsa tro lmt A B trovat, cosguza d α 5 D cosguza, 95 % è ua msura dlla fduca lla corrttzza dll'trvallo stablto Ad smpo, dato lo sqm calcolato su u campo d 8 msur agolar rsulta d 5 ", s possoo trovar lmt fducar al 95 % pr lo sqm dlla popolazo alla qual qul campo appart Ifatt s χ soo du valor tal ch: χ P ( < χ < χ ) + P ( < χ < χ ) α s sa ch co probabltà α s ha: χ χ s dov s è la varaza campoara ota la varaza cogta dlla popolazo, coscché: s χ s χ D cosguza, du umr s χ è comprso, co l lvllo d fduca α s χ forscoo du strm A B dì u trvallo cu 3

33 Nll'smpo, dat χ χ 5 χ χ, d l campo umroso ( ), pr la dtrmazo χ ν d qust du valor, s usa la varabl casual ormal stadardzzata: z : ( ) 96 z 5 χ 5 79 χ ( ) 96 z 975 χ χ coscché du lmt fducar al 95 % pr lo sqm dlla popolazo soo: A 3 65" B 6 8" Ioltr ssdo l campo umroso, lo stsso problma può ssr rsolto, utlzzado la dstrbuzo dgl sqm campoar, ottdo rspttvamt: A 3 59" B 6 7" I modo prfttamt aalogo, s possoo trovar lmt fducar pr la mda d ua popolazo, ot la mda la varaza campoar, d campo umros d pccol campo Nl prmo caso, s utlzza la dstrbuzo ormal, l scodo, la dstrbuzo t d tudt Gl strm dll'trvallo fducaro s rcavao rsolvdo du dsuguaglaz, ll'cogta M : M z α z α pr campo umros (8) α M t t pr pccol campo umros (8) α La dlla (8) può ssr cooscuta a pror, oppur stmata tramt la varaza campoara ota rlazo: s, co la s v Acora s u cotrollo, sulla sgfcatvtà dlla dffrza d du md campoar, porta a rspgr l'pots H : M M, può ssr trssat stablr u trvallo fducaro, pr la dffrza fra l du md: M M La dstrbuzo dlla varabl casual: X Y, è ormal, s l stm drvao da campo umros, qulla t d tudt, co ν +, s campo soo pccol If s possoo trovar lmt fducar pr prctual o dffrz d prctual, ot valor rlvat su campo la umrostà dgl stss, dov la dstrbuzo utlzzata è qulla ormal, lla forma: z p p ( p) 33