Appunti sulle Equazioni Differenziali. Appunti sulle equazioni differenziali

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1 Apput sull Equazo Dffrzal Apput sull quazo dffrzal S chama quazo dffrzal u tpo partcolar d quazo fuzoal, lla qual la fuzo cogta compar sm ad alcu su drvat, ossa u quazo lla qual oltr all ormal oprazo algbrch trascdt è ammssa l oprazo d drvazo Ad smpo l quazo: y =cos ; y = y +y -y ; y -y =0 soo tutt quazo dffrzal, mtr l quazo y' y = + 1 l o è u quazo dffrzal, prchè v compar l oprazo d tgrazo S dc ord d u quazo dffrzal l massmo ord d drvazo ch ssa compar D tr smp sopra ctat, prm du rguardao quazo dl prmo ord, mtr l ultma quazo dffrzal è dl scodo ord S chama soluzo o tgral gral d u quazo dffrzal d ord ua fuzo d class C su u opportuo sm ch vrfch l quazo S ad smpo scrvamo l quazo forma ormal, ossa com y () =f(,y,y,,y (- ), y=y() è ua sua soluzo, la rlazo y () ()=f[,y(),y (),,y (- ()] dv ssr u dttà Cosdramo ad smpo la smplc quazo dffrzal dl prmo ord: y =cos La fuzo y=+s è soluzo dll quazo, quato la sua drvata è propro y =cos E prò vdt ch tutt l fuzo dlla forma y=k+s, co k costat ral soo soluzo dll quazo C accorgamo duqu ch la soluzo dll quazo dffrzal dl prmo ord cosdrata o è uca dpd da ua costat arbtrara Nlla fgura soo rportat alcu dll soluzo dll quazo proposta Chamamo tgral gral dll quazo dffrzal ua soluzo dlla forma y=f()+k, oppur Pag 1/16 - -

2 Apput sull Equazo Dffrzal y=kf(), dalla qual s ottgoo tutt l soluzo partcolar co la smplc attrbuzo d u valor partcolar alla costat arbtrara k S, ad smpo, cosdramo l quazo y +y=0, s può faclmt vrfcar ch, oltr alla soluzo baal y=0, ach l fuzo dlla forma y=k - soo soluzo dll quazo, pr og valor d k E qud soo soluzo partcolar dll quazo assgata l fuzo y= -, y=- -, y=15 -, tc Può captar ch la costat arbtrara k o possa assumr og valor ral, ma sa cssaro porr su ssa alcu lmtazo S ad smpo s dsdra rsolvr sull'trvallo [-1,1] l'quazo dffrzal y'=1/(y) è facl vrfcar ch y = + k è soluzo dll'quazo dffrzal E' altrttato vdt ch, affchè la soluzo ssta pr og dll'trvallo [-1,1], k dv ssr sclto modo tal ch l radcado o sa gatvo Qusto succd pr k, prché qusta codzo o lm part dll'trvallo [-1,1] occorr ch sa k 1 ossa k 1 Spsso o s è trssat all tra famgla d soluzo d u quazo dffrzal, ma s dsdra ottr ua soluzo partcolar I qusto caso s dv formular u problma d Cauchy, ossa ua coppa d quazo rguardat la fuzo cogta, dl tpo y' = f (, y) y( 0) = y0 la cu soluzo può ssr trovata, ad smpo, scgldo l valor dlla costat arbtrara pr l qual la soluzo sprssa forma d tgral gral dlla prma quazo vrfca ach la scoda quazo Il problma ch s po è s u problma d Cauchy ammtta soluzo, quado qusto succda, s tal soluzo sa uca Val l Torma d sstza uctà grad: sa f :[a,b]r R cotua lpschtzaa rsptto ad y R, uformmt rsptto a [a,b] Allora, comuqu sclto l puto ( 0,y 0 ) [a,b]r sst ua d ua sola fuzo y:[a,b] R, dffrzabl co cotutà soluzo dl problma d Cauchy, ossa tal ch y '( ) = f (, y( )) y( 0 ) = y0 L'pots d lpshtzatà prst ll'ucato dl torma sgfca ch: k R : y1, y R, [ a, b] f (, y1 ) f (, y ) k y1 y Pr mglo comprdr l sgfcato d qusta dfzo, damo la dfzo pr ua fuzo ral d varabl ral, f:a R: f s dc lpschzaa A s Pag /16

3 Apput sull Equazo Dffrzal k R :, A, f ( ) f ( ) k Qusta dfzo è d pù facl trprtazo Ifatt, fssat put 1, co ad smpo 1 <, la rlazo sopra rportata sgfca ch f ( 1 ) k ( 1 ) f ( ) f ( 1 ) + k ( 1 ) S ossrvamo l dsgo sotto rportato, l sgfcato d qusta rlazo è ch f( ) dv trovars lla part d pao dlmtata dall du smrtt, d coffct agolar k -k Qusto c dà duqu u'formazo sull'crmto ch la fuzo può subr l passaggo da 1 a, cotrollato dall'crmto subto dall du rtt ch qud o è compatbl co varazo troppo brusch (qual ad smpo s vrfcao corrspodza d put a tagt vrtcal) f( 1 ) 1 La dfzo data zalmt d fuzo lpschtzaa rsptto ad y R, uformmt rsptto ad [a,b] è l'quvalt d qulla appa rportata: l'crmto dlla fuzo è cotrollato, attravrso u coffct k, da qullo dlla y d sst ua costat k ch val pr og puto d [a,b] Partcolar quazo dffrzal Equazo dffrzal a varabl sparabl S cosdr u'quazo dffrzal dlla forma y'=p()q(y) Il dffrzal d ua fuzo (dffrzabl!) u puto 0 è: df( 0; h)=f'( 0 )h S scglamo la fuzo f()=1, la cu drvata è 1 og puto, s ha: =1h, ossa h= Utlzzado qusta formazo, possamo scrvr ch pr la soluzo y dll'quazo dffrzal s ha dy=y', dalla qual s può rcavar l'sprsso dlla drvata lla forma d dy Lbtz: y ' = Prma d ffttuar ll'quazo dffrzal qusta sosttuzo, ossrvamo ch la fuzo q(y) prst al scodo mmbro potrbb aullars S qusto succd corrspodza d fuzo dlla forma y=k, co k costat, ss soo soluzo dll'quazo dffrzal quato aullao l scodo mmbro ach l prmo, quato la drvata d ua costat è ulla Pag /16

4 Apput sull Equazo Dffrzal Trovat qust soluzo (s sstoo), possamo crcar vtual altr soluzo, pr l qual sa q( y) 0 I qust codzo, possamo dvdr du mmbr dll'quazo pr q(y) moltplcar pr, ottdo: dy p( ) q( y ) = Itgrado du mmbr d qusta rlazo, s prv alla soluzo: dy p( ) k q( y ) = +, co k costat ral S ot ch l passaggo dalla pultma rlazo all'ultma è strmamt dlcato: l du quattà ugual dlla pultma rlazo vgoo appartmt trattat modo dvrso (al prmo mmbro s tgra rsptto ad y, al scodo rsptto ad ), ma l sgo d uguaglaza è matuto Qusto è possbl graz al prcpo d varaza formal dl dffrzal ( alla rgola d tgrazo pr sosttuzo) Ifatt y, soluzo dll'quazo dffrzal, è ua fuzo dlla varabl (y=y()) qud la fuzo tgrada al prmo mmbro può ssr scrtta com y '( ) q( y( )) S cosdr ad smpo l'quazo dffrzal a varabl sparabl y ' = y Procddo com sopra dcato, s ossrva ch y=0 o può ssr soluzo dll'quazo dffrzal quato fa prdr sgfcato al scodo mmbro Pr y 0, utlzzado la otazo d Lbtz, s ott: ydy=, da cu, tgrado, s ott y = +k, coè y = ± + k RIFLESSIONE Abbamo ottuto du dvrs famgl d soluzo Com s cocla qusto co l torma d uctà? Qual è l'sm d sstza dlla soluzo? E qual valor assum la soluzo? Equazo dffrzal lar dl prmo ord L'quazo dffrzal lar dl prmo ord ha ua forma dl tpo y'+p()y=q() L'quazo s drà omoga s q()=0, o omoga caso cotraro Izamo a studar l'quazo omoga : y'+p()y=0, da cu y'=-p()y Ua soluzo è y=0, ch aulla l prmo mmbro (prché la drvata d ua costat è ulla) l scodo Crchamo altr soluzo mpodo y 0 Procddo com sopra dcato pr l quazo a varabl sparabl, ottamo: Pag 4/16

5 Apput sull Equazo Dffrzal dy p( ) y = dy, da cu p( ) k y = + l y = p( ) + k, ossa y = = c p( ) + k p( ) ; s ha duqu, dov c>0 è data da c= k Togldo la codzo c>0 l valor assoluto su y, è possbl scrvr tutt l soluzo (ach y=0) mdat la rlazo p( ) y = c Nl caso l'quazo o sa omoga, s può procdr com sgu: moltplchamo du mmbr p( ) dll'quazo pr : p( ) y' p( ) +p()y ( ) =q() p p( ) troducamo ua uova fuzo z=y Il prmo mmbro dll'quazo è la drvata dlla fuzo z qud l'quazo può ssr rscrtta lla forma p( ) z'= q(), quazo dffrzal a varabl sparabl, la cu soluzo è p( ) z = q( ) + k Da qusta s rsal alla soluzo y: p( ) p( ) y= { q( ) + k} S cosdr ad smpo l'quazo dffrzal lar o omoga dl prmo ord: y y ' + = Nll otazo sopra utlzzat s ha: p()=1/, q()= - La soluzo è qud: 1 1 l l k = + k = + k = + k y= { } { } { } { } Equazo dffrzal d Broull Soo l quazo dffrzal dlla forma y'+p()y=q()y a S a=0, l'quazo s rduc a lar dl prmo ord, la cu soluzo è p( ) p( ) q( ) + k y= { } S a=1, l'quazo dvta a varabl sparabl: y'=(q()-p())y, la cu soluzo è ( q( ) p( )) y = c (s vda la trattazo gral l'smpo sopra rportat) S a 0, 1, dopo avr ossrvato ch, pr a>0, y=0 è soluzo dll'quazo, s crcao l soluzo o ull dvddo du mmbr pr y a : a 1 a y y ' + p( ) y = q( ) Itroducamo ora ua uova fuzo z=y 1-a rscrvamo l'quazo, moltplcata pr 1-a, dopo a avr ossrvato ch la drvata d z val: z ' = (1 a) y y ' : Pag 5/16

6 Apput sull Equazo Dffrzal 1 (1 ) a a a y y ' + (1 a) p( ) y = (1 a) q( ), coè z ' + (1 a) p( ) z = (1 a) q( ), quazo lar o omoga dl prmo ord, d cu samo grado d calcolar la soluzo (1 a) p( ) (1 a) p( ) (1 a) q( ) + k, z= { } dalla qual, lvadola alla potza partza 1, s trova la soluzo dll'quazo dffrzal d 1 a Equazo dffrzal d ord U'quazo dffrzal d ord può avr u'sprsso dl tpo: ( ) ( y = f (, y, y ', y '',, y ), cu la drvata -sma dlla fuzo cogta y è scrtta fuzo dlla varabl dll drvat d ord fror L'quazo può ssr rscrtta a partr da quazo dffrzal dl prmo ord Pr raggugr qusto obttvo, troducamo fuzo y1, y,, y, rut u vttor y, mdat la sgut dfzo: y1 = y y = y ' ( y = y Og fuzo è dfta a partr dalla fuzo cogta y, d cu è la drvata d ord par al propro dc dmuto d 1 Tamo ora coto dl fatto ch l fuzo così trodott soo lgat fra loro ch c trssa ch l'quazo dffrzal da cu samo partt sa vrfcata Tutto qusto può ssr sprsso mdat l sstma: y1 ' = y y ' = y y 1 ' = y y ' = f (, y1, y,, y ) Notamo ch, al prmo mmbro dll quazo dl sstma, compaoo l drvat dll uov fuzo y, =1,,,, ch possoo ssr rut ua fuzo y a valor R ch l sstma può ssr scrtto com y'=g (,y), dov l vttor g ha l compot: (y,y,,y,f(, y 1,y,,y )) Equazo dffrzal lar d ord Vgoo dcat co qusto om l quazo dffrzal dlla forma: Pag 6/16

7 Apput sull Equazo Dffrzal ( ) ( ao ( ) y + a1( ) y + + a ( ) y' + a ( ) y = b( ) ch vgoo a volt scrtt com Λ y = b( ), lla qual compar l oprator Λ, dfto dalla rlazo Λ y = ( ) ( ao ( ) y + a1( ) y + + a 1 ( ) y' + a ( ) y Cosdramo zalmt l caso partcolar dll quazo dffrzal lar omog, carattrzzato dalla codzo b()=0 Ossrvamo ch s y 1 y soo soluzo dll quazo Λ y = 0, og loro combazo lar è soluzo dlla stssa quazo S fatt sosttuamo hy 1 +k y ad y ll quazo omoga, ottamo: 1, ( ) ( ( + ) ( + ) ( + ) ' ( + ) ao hy1 k y + a1 hy1 k y + + a 1 hy1 k y + a hy1 k y = = hλ y1 + kλ y = 0 Da cò s dduc ch, s ruscamo a trovar ua bas pr lo spazo dll soluzo dll quazo, ottamo tutt l soluzo com combazo lar dll fuzo dlla bas Com abbamo gà vsto var cotst, l coctto d bas è lgato al coctto d dpdza lar Dfzo: fuzo f 1,f,,f : [a,b] R s dcoo larmt dpdt su [a,b] s sstoo costat, o tutt ull, tal ch la combazo lar α 1f1( ) + α f ( ) + + α f( ) sa la fuzo dtcamt ulla su [a,b] Dfzo: l stss fuzo s dcoo larmt dpdt su [a,b] s l uca combazo lar ch rsulta dtcamt ulla su [a,b] è qulla co tutt coffct ull S l fuzo f (), =1,,, soo -1 volt dffrzabl, la dpdza lar può ssr vrfcata attravrso la sgut Codzo cssara affché fuzo f (), =1,,,, -1 volt dffrzabl u trvallo A sao larmt dpdt A è ch l loro dtrmat wroskao, ossa l dtrmat dlla matrc wroskaa: f1( ) f ( ) f ( ) f1'( ) f '( ) f '( ) W()= ( ( ( f1 f f sa dtcamt ullo A Da qusta codzo s dduc mmdatamt la Pag 7/16

8 Apput sull Equazo Dffrzal Codzo suffct affché fuzo f (), =1,,,, -1 volt dffrzabl u trvallo A sao larmt dpdt A è ch l loro dtrmat wroskao sa dvrso da zro almo u puto d A La codzo cssara sopra ucata o è, gral, ach suffct a garatr la dpdza lar S fatt cosdramo ll trvallo [-1,1] l fuzo f 1 ()= d f ()=, s ha: W()=, l cu dtrmat è dtcamt ullo [-1,1] S prò provamo a scrvr combazo lar dlla forma α + β, è vdt ch la codzo d aullamto d tal combazo co coffct o ull su [-1,0] è α = β, mtr su [0,1] tal codzo dvta α = β, compatbl solo s coffct soo tramb ull L aullamto dl dtrmat wroskao, duqu, o mplca la dpdza lar dll fuzo cosdrat Qualora l fuzo f (), =1,,,, sao soluzo d u quazo dffrzal lar omoga d ord, prò, l aullamto dl dtrmat wroskao almo u puto d A dvta codzo cssara suffct prchè l fuzo sao larmt dpdt A S dmostra fatt ch l dtrmat wroskao d soluzo d u quazo dffrzal lar omoga d ord A, s s aulla u puto d A, è ullo tutt put d A, s almo u puto d A è o ullo, è o ullo su tutto A C chdamo ora s, data u quazo dffrzal lar omoga d ord, sstao suo tgral larmt dpdt u trvallo A La rsposta è affrmatva; sa fatt 0 u puto d A s cosdro gl problm d Cauchy dft a partr dall quazo dffrzal assgata dall codzo zal: ( ( + ( y ( 0) = y '( 0) = y ( 0) = y ( 0) = = y ( 0) = 0 ( ), =1,,, y = 1 dov s è chamata y la soluzo dll -smo problma d Cauchy S coffct a () ch compaoo ll quazo soo fuzo cotu, soo vrfcat l codzo dl torma d sstza uctà dll soluzo d u problma d Cauchy qud l soluzo y sopra dft sstoo ( soo uch) La loro matrc wroskaa, pr com l abbamo dft, cocd co la matrc dttà d ord, l cu dtrmat è 1 L soluzo y soo duqu soluzo larmt dpdt dll quazo dffrzal possoo costtur ua bas pr lo spazo dlla soluzo Trovar l tgral gral d u quazo dffrzal lar omoga sgfca duqu crcar soluzo larmt dpdt A tal scopo, pr l caso partcolar cu coffct a () sao costat, c chdamo qual codzo dbba vrfcar l coffct α affchè la fuzo y( ) = α sa soluzo dll quazo dffrzal Pag 8/16

9 Apput sull Equazo Dffrzal Calcolamo l drvat dlla fuzo y(): y'( ) = α α α y''( ) = α ( y ) α ( ) = α S alla fuzo cogta all su drvat ll quazo dffrzal sosttuamo y( ) = l su drvat, ottamo la codzo: α α 1 α α α aoα + a α + + a α + a =, dalla qual, raccogldo α a fattor comu smplfcado pr tal fattor (ma ullo), s ott la codzo 1 aoα + a1α + + a 1α + a = 0 ch v chamata quazo carattrstca S l quazo carattrstca (ch è u quazo algbrca d grado ) ammtt soluzo ral dstt α 1, α,, α l fuzo α 1 α α y y y 1 =, =,, = hao, su R, dtrmat wroskao o ullo qud soo larmt dpdt l'tgral gral dll'quazo può ssr scrtto com combazo lar y = c α = 1 S ua radc α ha moltplctà k>1, ssa dà luogo a k soluzo larmt dpdt: α α k 1 α y1 =, y =,, yk = S f α è ua radc complssa dll quazo carattrstca, ach l suo cougato sarà soluzo dll quazo carattrstca S scrvamo α lla forma algbrca α =a+b cosdramo l du soluzo rlatv ad α al suo cougato, ottamo: a b a b a y1 = ( + ) = = [cos( b) + s( b)] a b a b a y = ( ) = = [cos( b) s( b)] Allo scopo d ottr ach qusto caso soluzo dll quazo dffrzal sprss l campo ral, sommado mmbro a mmbro dvddo pr du, ottamo y1 + y a y1 = = cos( b) ; sottrado mmbro a mmbro dvddo pr, ottamo y1 y a y = = s( b) l du fuzo così ottut soo soluzo dll quazo dffrzal rsultao larmt dpdt fra loro co tutt l altr Dtt qud α 1, α,, α r, d moltplctà, rspttvamt, k1, k,, kr, co k1 + k + + kr l radc ral dll quazo carattrstca β 1 = a1 + b1, β = a + b,, β s = as + bs umr complss ch, co loro cougat, rsolvoo l quazo carattrstca (ch pr smplctà psamo tutt d moltplctà, l tgral gral dll quazo dffrzal è: Pag 9/16

10 Apput sull Equazo Dffrzal r k 1 s s k α a a y( ) = c, k + cr + 1, cos( b) + cr +, s( b), = 1 k = 0 = 1 = 1 dov coffct c,j soo costat arbtrar Affrotamo ora la soluzo d u quazo dffrzal lar o omoga a coffct costat, ossa u quazo dlla forma: ( ) ( aoy + a1y + + a 1 y' + ay = b( ), co b() o dtcamt ulla su u trvallo A Ossrvamo ch, s y 1 y soo soluzo dll quazo o omoga, la loro dffrza è soluzo dll quazo omoga S ha fatt: Λ ( y1 y ) = Λ y1 Λ y = b( ) b( ) = 0 Da qusta rlazo s dduc ch l soluzo dll quazo dffrzal lar o omoga s possoo ottr sommado ua soluzo dll quazo o omoga d ua soluzo partcolar dll quazo o omoga coè ch, s y è u tgral partcolar dll quazo o omoga y()= = 1 c y ( ) è l tgral gral dll quazo omoga, l fuzo dlla forma y()+ y () soo tutt sol l soluzo dll quazo dffrzal lar o omoga Pr l quazo a coffct costat abbamo gà dscrtto la rcrca dll tgral gral dll quazo omoga; coctramo qud l attzo sulla rcrca d tgral partcolar dll quazo o omoga U mtodo d valdtà gral pr ffttuar tal rcrca è l mtodo d varazo dll costat arbtrar Il mtodo s basa sulla rcrca d fuzo c ( ), = 1,,, tal ch la fuzo y = = 1 c ( ) y ( ) sa tgral partcolar dll quazo o omoga, co y ( ), = 1,,, soluzo dpdt dll quazo omoga (a partr dall qual s è costruto l tgral gral dll quazo omoga) L uca codzo ch la fuzo y dv vrfcar è l quazo dffrzal, ossa la codzo Λ y = b( ) Tal codzo o è suffct pr dtrmar l fuzo c (), =1,,, Rcrchamo qud -1 codzo aggutv ch c prmttao d dtrmar l fuzo c, s possbl, ch smplfcho calcol ch dobbamo affrotar Calcolamo l drvat dlla fuzo y S ha: y'( ) = c '( ) y ( ) + c ( ) y '( ) = 1 = 1 Com prma codzo aggutva, pr smplfcar l calcolo dll drvat succssv, mpoamo = 1 S avrà allora: c '( ) y ( ) =0 Pag 10/16

11 Apput sull Equazo Dffrzal qud: y'( ) = c ( ) y '( ) = 1 y''( ) = c '( ) y '( ) + c ( ) y ''( ) = 1 = 1 Ach qusto caso mpoamo la codzo aggutva: = 1 c '( ) y '( ) =0, modo ch s abba y''( ) = c ( ) y ''( ) = 1 Rptamo qusto procdmto -1 volt, ossa mpoamo l aullamto dlla sommatora cott l drvat dll fuzo c tutt l drvat, fo all ord -1, dlla fuzo y Com cosguza s avrà: ( k ) ( k ) = 1 y = c ( ) y ( ) pr k=1,,,-1 ( ) ( ( ) = 1 = 1 y = c '( ) y ( ) + c ( ) y ( ) La codzo Λ y = b( ) dvta allora: ( ( ) ( a0 c '( ) y ( ) + c ( ) y ( ) + a1 c ( ) y ( ) + + a 1 c ( ) y '( ) + = 1 = 1 = 1 = 1, + a c ( ) y ( ) = b( ) = 1 Rordado opportuamt trm, l prmo mmbro dvta: ( ( ) ( a0 c '( ) y ( ) + a0 c ( ) y ( ) + a1 c ( ) y ( ) + + a 1 c ( ) y '( ) + = 1 = 1 + a c ( ) y ( ) = = 1 ( ( ) 0 0 = 1 = 1 ( ( 1 1 ) = a c '( ) y ( ) + c ( ) a y ( ) + a y ( ) + + a y '( ) + a y ( ) = = 1 ( ( 0 Λ 0 = 1 = 1 = 1 = a c '( ) y ( ) + c ( ) y ( ) = a c '( ) y ( ) (rcordamo fatt ch y ( ), = 1,,, soo soluzo dpdt dll quazo omoga) Rudo u uco sstma tutt l codzo ch abbamo mposto sull fuzo c (), s ha: = 1 Pag 11/16

12 Apput sull Equazo Dffrzal ( k ) c '( ) y ( ) = 0 k = 0,1,, - = 1 ( a0 c '( ) y ( ) = b( ) = 1 La matrc d coffct dl sstma, scrtto ll cogt c (), =1,,,, cocd co la matrc wroskaa dll soluzo dll quazo omoga qud ha dtrmat o ullo Esst allora ua d ua sola soluzo al sstma da qusta, tgrado, s ottgoo l fuzo cogt c (), =1,,, I alcu cas partcolar s può trovar u tgral partcolar dll quazo o omoga modo pù facl Sgalamo qull pù smplc pù frqut 1 S la fuzo b() è u polomo d grado, la rcrca dll tgral partcolar può ssr ffttuata lla class d polom d grado o fror ad S ad smpo dobbamo trovar l tgral gral dll quazo: 11 y -y= +1 crchrmo u possbl tgral partcolar dlla forma: y ()=a +b+c Pr dtrmar coffct a, b, c, sosttuamo la y l su drvat ll quazo dffrzal S ha y ()=a+b; y ()=a L quazo dvta allora: a-( a +b+c)= +1, ossa (a+ +b+c-a+1=0, prchè s possa psar ch y sa soluzo dll quazo dffrzal su u trvallo (az sull tro ass ral), qusta uguaglaza dv ssr vra pr og, ossa la fuzo al prmo mmbro dv ssr dtcamt ulla Qusto è possbl s solo s coffct dl polomo soo tutt ull, ossa s a=-1 b=0 c-a+1=0, ossa c+=0, ossa c=- La fuzo y =- - è qud u tgral partcolar dll quazo dffrzal assgata Pr trovar l tgral gral, rsolvamo ach l quazo omoga assocata: y -y=0 L quazo carattrstca è α 1 = 0 L su soluzo α = ± 1 c portao a dtrmar du tgral y 1 =, y = L tgral gral dll quazo assgata è duqu y= c + c 1 S vc cosdramo l quazo y -y =+1, Pag 1/16

13 Apput sull Equazo Dffrzal la rcrca d u tgral partcolar lla class d polom d prmo grado potrbb o portar ad ua soluzo; prma d spgarc l prchè d qusta possbltà, vrfchamolo sull smpo cosdrato Provamo a crcar coffct a, b d u polomo d prmo grado y ()=a+b ch sa soluzo dll quazo proposta L su drvat prma scoda soo: y ()=a; y ()=0 Sosttut ll quazo dffrzal, ss dao luogo alla rlazo 0-a=+1 ch o è vrfcata da put d alcu trvallo dll ass ral Qullo ch dffrza du smp cosdrat è l fatto ch l prmo smpo la fuzo cogta y compar, mtr così o è l scodo smpo Pr ottr u polomo d prmo grado dall sprsso y -y è cssaro oprar almo su u polomo d scodo grado (rcordamo ch, drvado u polomo, s ott u polomo co grado dmuto d Nl scodo smpo cosdrato ra qud opportuo provar a crcar l tgral partcolar dll quazo o omoga a partr da polomo d grado o fror a Vdamo s qusto caso è possbl trovar ua soluzo Suppoamo ch sa y ()=a +b+c S ha y ()=a+b; y ()=a Sosttuamo ll quazo dffrzal d ottamo: a-(a+b)=+1, ossa (4a++b-a+1=0, vrfcata da tutt put dll ass ral pur d porr 4a+1=0, da cu a=-1/4 b-a+1=0, da cu b=-/4 Abbamo trovato ch la fuzo y ()= - /4-/4+c è tgral partcolar dll quazo assgata pr og valor dlla costat c (sulla qual o abbamo trovato codzo) Dal momto ch c basta trovar u solo tgral partcolar, scglamo, ad smpo, qullo pr l qual è c=0 Rsolvdo l quazo omoga assocata, la cu quazo carattrstca è α α = 0, s trovao l soluzo α = 0, α = ; da ss s rcavao du soluzo dll quazo omoga 0 y1 = = 1; y = l tgral gral dll quazo o omoga y= c + c - / 4 - / 4 1 U altra stuazo trssat è l caso cu sa b()= β Sarà cssaro dstgur du cas: a) β o è soluzo dll quazo carattrstca I qusto caso s può ffttuar la rcrca d u tgral partcolar dll quazo o omoga tra l fuzo dlla forma y ()=a β Pag 1/16

14 Apput sull Equazo Dffrzal S ad smpo cosdramo l quazo dffrzal y -y =, crchrmo l coffct a pr l qual la fuzo y ()=a rsolv l quazo dffrzal assgata N calcolamo l drvat y ()=a ; y ()=9a l sosttuamo ll quazo, ottdo: 9a -6 a =, dalla qual s ott a=1, ossa a=1/ L tgral partcolar crcato è duqu y ()= 1 L tgral gral dll quazo omoga assocata è stato calcolato prcdtmt Qusto c cost d dr ch l tgral gral dll quazo o omoga è y()= c1 + c + b) β è soluzo dll quazo carattrstca I qusto caso u procdmto com qullo sopra sguto o portrbb alla dtrmazo d u tgral partcolar dll quazo o omoga quato y= a è soluzo dll quazo omoga S rcorr allora ad ua soluzo partcolar dl tpo y( ) = a, com s s foss prsza d radc dll quazo carattrstca d moltplctà k>1 S ad smpo cosdramo l quazo dffrzal y -y=, lla qual l radc dll quazo carattrstca soo α = 0, α =, samo lla stuazo d cu c voglamo occupar L drvat sarao: y'( ) = a( 1 + ) ; y''( ) = a( 6 + 9) Sosttudo ll quazo dffrzal s ott: a ( ) a( 1 + ) =, ossa a =, vrfcata da tutt put dll ass ral pur d porr: a=1, osa a=1/ Prcò la fuzo y( ) = 1 è u tgral partcolar dll quazo o omoga, mtr l suo tgral gral è y()= c + c Ultmo caso ch dsdramo sgalar è qullo cu la fuzo b() sa ua combazo lar d fuzo so coso (vtualmt co u coffct ullo), com ll quazo dffrzal y -y =s I tutt qust cas (qud ach s al scodo mmbro compar solo l so o solo l coso) s crchrà u tgral partcolar dll quazo o omoga tra l fuzo dlla forma Pag 14/16

15 Apput sull Equazo Dffrzal y( ) = as + bcos Effttuamo la rcrca pr l quazo proposta L drvat soo y'( ) = a cos bs; y'' = as bcos Sosttudo ll quazo dffrzal s ott: as bcos as + b cos = s, ossa b cos 4as = s, vrfcata tutt put dll ass ral pur d porr b=0-4a=, da cu a=-1/ L tgral partcolar crcato è y( ) = 1 s l tgral gral (l quazo omoga assocata è gà stata rsolta prcdtmt) è: y()= c + c 1 s 1 Provamo f a dtrmar, co l mtodo d varazo dll costat arbtrar, u tgral partcolar dll quazo y -y= +1, rsolta ll smpo 11 Abbamo gà vsto ch l fuzo y 1 =, y = soo soluzo dll quazo omoga assocata Crchamo qud ua fuzo dlla forma y c ( ) = 1( ) + c ( ) L drvat, tdo coto dll codzo sprss lla dscrzo dl mtodo, soo: y c '( ) = ( ) c ( ) 1, 1 1 y''( ) = c ( ) + c ( ) + c '( ) c '( ) Il sstma ch ottamo qusto smplc caso (=) è: c1 '( ) + c '( ) = 0 c1 '( ) c '( ) = + 1 S dduc: c1'( ) = c '( ) c1'( ) = ( +, ossa c '( ) = + 1 c '( ) = ( + Itgrado (pr part) scgldo la costat d tgrazo ulla, s ott: 1 c1 ( ) = ( + + ) 1, c ( ) = ( + ) da cu: Pag 15/16

16 Apput sull Equazo Dffrzal 1 ( ) ( ) 1 y = = 1 ( + ) = 6 = L tgral gral è allora: y= c1 + c, com gà trovato pr altra va Pag 16/16