Capitolo 6. Introduzione. Tipi di laminati di uso frequente

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1 Catolo 6 T d lamat d uso frqut Itroduzo 6 Lamat dsaoat 65 Lamat qulbrat 67 Lamat agl-ly 7 Lamat ross-ly 7 Lamat quas sotro 7 Lamat sotro 74 Lamat quas omog 77 6 Itroduzo I qusto atolo s osdrao alu t d lamat d uso frqut ll alazo l loro rortà lasth. I rsultat h sguoo rguardao solo lamat a strat dt, quato solo tal aso s ossoo dar dll rgol gral rguardat l rortà lasth la loro rogttazo. I fftt, l atolo rdt s è vsto om l omortamto d u lamato a strat dt sa odzoato, da u lato dall rortà lasth dllo strato d bas, dall'altro dalla squza dgl strat dalla loro ortazo. U uto fodamtal rguarda roro l ortazo: var strat soo gr ortat modo dvrso, qud, om ù volt otato, ll formul h forsoo var tsor h dsrvoo l omortamto d u lamato, tsor d rgdzza dgl strat dvoo ssr ruotat l rfrmto global dl lamato. usto s fa o la trasformazo d aga 8. 6

2 Itroduzo Ora, s s ossrvao l formul d qusta trasformazo s ota h ss ddoo da ombazo d quarto grado dll fuzo rolar dll'ortazo dllo strato. usto mla h la rogttazo d u lamato quado l ortazo dgl strat soo l varabl d rogtto è u roblma molto omlato gral a soluzo o ua s formulato om u roblma d ottmo è o ovsso). Allora, s soo svluat gl a tutta ua sr d rgol rath r rogttar lamat, artolar r ottr d lamat rsodt a rt rqust d rgdzza trm d smmtr lasth s è gà otato h l dsaoamto r lamat a strat dt uò ssr vsto om u roblma d sotroa d B). ust rgol soo solo, gral, dll odzo sufft, ma o ssar, r ottr ua rta rortà. S tratta l ù dll volt d rgol sml, a volt tutv, h hao dato luogo ad alu lass d lamat d uso artolarmt frqut. 64 Lamat dsaoat La rortà ù rrata u lamato è l dsaoamto lasto, oè s vuol smr, tra alu as artolar u s è fatto o, B O. S s osdrao allora l formul d aga 5 Cartsa) o ah d aga 56 olar) s rorda h offt b varao larmt sullo sssor h soo atsmmtr rstto al ao mdo, s rava subto h ua odzo sufft r avr B O è qulla d dsorr gl strat modo smmtro rstto al ao mdo, ossa modo h,,...,. usta rgola, molto sml, è qulla sguta lla quas totaltà d as. Tuttava, s dv sottolar h, otraramt a quato ssso affrmato a torto, qusta rgola o è ssara, ma solo sufft r l dsaoamto lasto. 65

3 Lamat dsaoat Gà l 98 Caro Crvll Vsot avvao dmostrato l'sstza d lamat dsaoat a squza o smmtra. I sguto, Vau Vrhry 998) hao mostrato h l umro d soluzo dsaoat smmtrh è molto sguo ua lass ù vasta d lamat dsaoat squz quasbaal). Ioltr, lo svataggo ù grad a utlzzar l squz smmtrh, sta l fatto h, s s vuol ottr l dsaoamto, s è ssso obblgat a raddoar l umro dgl strat; altr arol, l'utlzzo dll squz smmtrh lla rra d lamat avt rt rortà, omorta ssso u umro d strat molto suror a qullo mmo o u s sarbbro otut ottr l stss rortà rhst. La rra d lamat dsaoat a squza o smmtra è ossbl sa modo satto, fado rorso al otto d squza quas-baal, sa modo arossmato, utlzzado rodur umrh d rra. 66 Lamat qulbrat I lamat qulbrat balad gls) soo qull r u ad og strato ortato dll'agolo θ orrsod uo strato ortato dll'agolo θ. S tratta qud d lamat a umro ar d strat. S oltr la squza è smmtra, allora s ha ah l dsaoamto. L'trss d qusta lass d lamat sta l fatto h hao u omortamto ortotroo mmbraa. Ifatt, r qust lamat, h A h / ) [ ) + )]. Ora, dato h lo strato d bas è smr ortotroo, s s osdra, vd formul a aga 8, h ys θ) θ) ys θ), θ), 67

4 Lamat qulbrat s rava mmdatamt, r la formula d A, h A A ys. Duqu, l lamato è ortotroo mmbraa l rfrmto global dlla astra. usto gral o è vro flsso. Ifatt, D h d la rsza d offt d o rmtt d ottr automatamt l'ortotroa d flsso. Tuttava, dal momto h vd aga 54) d d, s la squza è atsmmtra, oè s, s ha h d d ys ) d ) d ys ), ), ). 68 Lamat qulbrat Duqu, h D h d ) [ ) )] [ ], h h Dys d ys ) d ys ) ys ), qud l lamato è ortotroo ah flsso, o solo mmbraa. Tuttava, ssdo la squza o smmtra, l lamato sarà gral aoato ma o ssaramt; Valot Vau, 5, hao mostrato l'sstza d lamat omltamt ortotro, atsmmtr dsaoat). ud, s ah A D soo ortotro, gral a d o lo sarao, ssdo B O vdr formul a aga ); è u aso to h mostra la dffoltà d dfr l smmtr lasth r lamat: s ha ortotroa rgdzza, ma o dvolzza, a ausa dll'aoamto. d 69

5 Lamat qulbrat usto smo mostra la dffoltà d ottr lamat h sao ortotro flsso dsaoat. usto roblma è aora ogg ua dffoltà maggor ll'ottmzzazo d lamat rstto a roblm d stabltà lasta. I fftt, la mssa a uto d mtod, aalt umr, r la rra d lamat dsaoat ortotro flsso è aora oggtto d rra; aora ù dffl è la rra d lamat omltamt ortotro dsaoat, d vtualmt o gl stss ass d ortotroa mmbraa d flsso. I tal as, s dv gr rorrr a mtod umr, s o s vuol far uso d squz ross-ly vd oltr). 7 Lamat agl-ly U lamato agl-ly è u aso artolar d lamato qulbrato, u s ha ua sola ortazo ossbl, θ, la sua oosta, θ. I qusto aso, s ha h h A h ) xx xy xy yy [ θ) + θ) ] h. ss Il lamato è ortotroo mmbraa l omot xx t qu sora soo qull dlla lama, ruotat d θ rstto al rfrmto global formul d aga 8). Com gà dtto r l aso d lamat qulbrat, D o è ortotroo, gral. Normalmt, s utlzzao squz agl-ly smmtrh. 7

6 Lamat ross-ly I lamat ross-ly hao strat ortat solo a o 9. I qusto modo, ssdo gl strat ortotro o gl ass d ortotroa odt o qull dl lamato, qusto è omltamt ortotroo, sa r A h r B D. E' l aso d all multstrato lgo. Cotraramt a quato ssso s affrma, l loro omortamto rsta ortotroo, o sotroo, mmo s s ha lo stsso umro d strat ll du drzo ortogoal. 7 Lamat quas sotro Nlla lttratura ta s da o quas-sotroo u lamato r l qual la squza omorta solo dll ortazo a, ±45, 9. Ioltr, l umro dgl strat a 45 dv ssr ugual a qullo a -45. I qust odzo, s v subto, basta rordar quato dtto su agl-ly ross-ly, h l omortamto mmbraa è ortotroo. I agguta, s l umro dgl strat og drzo è dto, allora l omortamto d mmbraa è sotroo, ma o qullo d flsso, vd aragrafo sgut, da u l om dato al to d squza. ust lamat soo molto utlzzat sorattutto aroauta. La rago è h ss offroo ua buoa uformtà rgdzza rsstza sodo tutt l drzo, d ah u buo otrasto alla roagazo dll fssur. 7

7 Lamat sotro Ah s lla maggor art d loro mgh lamat omosto hao u omortamto asotroo, oto sodo bsog struttural, rt as s usao lamat a rsosta sotroa. usto è ssaro r smo quado s dbbao olar rqust d lggrzza o qull d ua rsosta lasta h s dsdra ostat o la drzo, gr rhé ausata da azo d dvrsa atura drzo. Wrr Norrs 95) hao dato r rm ua rgola sml, sufft ma o ssara, r l'sotroa mmbraa: s lo strato d bas è a rforzo udrzoal, s dv dsorr lo stsso umro q d strat sodo m ortazo dvrs, o m, sfalsat d u agolo ostat ar a π/m. Soluzo ossbl soo duqu dll squz d to q /6 q /-6 q, q/; q /45 q /-45 q /9 q, q/4; q /6 q /7 q /8 q /44 q, q/5; t. 74 Lamat sotro S l rforzo dllo strato d bas è tssuto qulbrato, allora s dmostra falmt, o l mtodo olar, h basta dsorr u umro dto d strat a a 45. Gralmt, s ala la rgola d Wrr Norrs a squz smmtrh, osì da ottr lamat dsaoat sotro mmbraa. Utlzzado l mtodo olar, Prso, Vau Vrhry ) hao dato u'altra odzo sufft d satta r ostrur lamat sotro mmbraa, sza h s tratt d ua soluzo d to Wrr Norrs. L'sotroa total, d A d D, o ah solo d D, è molto ù omlata o sstoo rgol gral. Alu soluzo satt soo stat dat da Parads 996) r la sola sotroa d flsso. La rma soluzo satta d u lamato totalmt sotroo è dovuta a Vrhry Vog 986), o ua squza d 48 strat. 75

8 Lamat sotro Sussvamt, d ttatv soo stat fatt da dvrs rrator r trovar soluzo satt totalmt sotro o u umro smr fror d strat; Vau Vrhry hao roosto 5 soluzo totalmt sotro, satt, o smmtrh a 8 strat, h smbra ssr l umro mmo r ua soluzo satta. Pr va umra, dvrs studos hao o trovato soluzo arossmat totalmt sotro o u mmo d strat udrzoal; o smbra ossbl ottr l'sotroa total o u umro fror d strat udrzoal o a smmtra dl quadrato o R -ortotro). S v s utlzzao strat a ortotroa artolar smmtra dl quadrato o ortotroa R ), allora s ossoo ottr soluzo arossmat totalmt sotro o 7 strat Gréda,, Vau, ), h smbra ssr l umro mmo d strat ssaro r ottr l'sotroa total. 76 Lamat quas-omog U lamato, s è gà dtto, ha gr u omortamto dvrso mmbraa d flsso, oè gral A* D*, d ù è, s o s rdoo l dovut rauzo, aoato, B O. Tuttava, è ossbl far modo h l lamato s omort a tutt gl fftt om s foss osttuto da u uo strato, qud om s foss omogo; u tal lamato è dtto quas-omogo. usta ozo è stata trodotta r rmo da Vrhry Vrhry Kadl, 988), h ha ah forto l rm soluzo. Sussvamt, è stata rrsa da Wu Avry 99), o lo stsso sgfato, d sguto da Gréda 998) da Vrhry Vau 998), h hao dato u mtodo d rra d soluzo satt squz quas-baal). L'utlzzo d lamat quas-omog uò rvlars utl dvrs rostaz, r smo l aso dll'laborazo d tsts srmtal artolar our rt roblm d ottmzzazo. 77

9 78 Lamat quas-omog Pr aalzzar la quas-omogtà d trodu l tsor d omogtà: Allora, u lamato è quas-omogo s solo s S ha duqu, r u lamato a strat dt, E' trssat ah srvr l odzo dlla quas-omogtà olar, d utlzzado la umrazo dgl strat d aga 5, qulla o gl strat umrat a artr dal tro. D *. A * C., O C O B. 6 4 ) ), d C 79 Lamat quas-omog Ifatt, tal aso s ott falmt h l omot olar d C, dat dal smbolo, soo o,,,, R R R R T T Φ Φ Φ Φ [ ] s, 4, s ) 4

10 Lamat quas-omog S ossrva h, om gà r B, ah r C la art sotroa è ulla, qud la quas-omogtà s trrta trm d smmtr lasth om l'sotroa d tsor B C. Ioltr, offt varao quadratamt sullo sssor soo smmtr rstto al ao mdo. U lamato sarà qud quas-omogo s solo s b b 4 4,,,. ust soo 8 odzo ral da rsttar; fftt, l odzo soo, orrsodt all'aullamto dll omot Cartsa d tsor B C, ma om s è vsto 8 Lamat quas-omog olar, 4 odzo soo automatamt rsttat, qull rguardat l omot olar d sotroa, s gl strat soo dt, duqu o rstao h 8 odzo ddt, h olar soo qull dat qu sora. La ozo d quas-omogtà uò ssr stsa al aso trmolasto: u lamato è quas-omogo trmolastamt s, oltr all odzo lasth d quas-omogtà, è ah L O, dov L è l tsor d omogtà trmolasta: L U * W *. Utlzzado l srsso vst r U W s ott L ), γ offt ssdo gl stss dl tsor C. 8

11 Lamat quas-omog Aora ua volta, assado all omot olar d L s trova T, R Φ R Φ. Duqu, la odzo aggutva r la quas-omogtà trmolasta è Ora, qusta è gà ua dll odzo rdt, l h sgfa h u lamato quas-omogo lastamt lo è ah trmolastamt, ma l otraro o è gral vro l sso h sstoo lamat h vrfao BLO ma o CO). I altr arol, la odza dll arattrsth lasth rd ah ugual offt trm, d dlatazo d urvatura, og drzo, ma o l otraro. Pr la art gro-lasta s hao rsultat aalogh.. 8