5 - IMPORTANTI LEGGI DI DISTRIBUZIONE

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1 5 - IPORTATI LEGGI DI DISTRIBUZIOE 5.. Dstrbuo dscrt 5... Dstrbuo bomal (o d Broull) Pr trodurr la dstrbuo bomal s rcorr ad u smpo. Esmpo S suppoga ch tr prso (Fracsca, arco Vttora) scao cascua dalla propra casa pr cotrars, ch cascuo d ss abba probabltà par a p d ruscr ad arrvar tmpo all apputamto ( ovvamt probabltà -p d o arrvar tmpo). C s chd qual sa la probabltà ch du d tr arrvo tmpo all apputamto. S a otado ch s rchd la probabltà ch du prso arrvo tmpo, sa spcfcar ch: qusto modo l vto du prso arrvao putual all apputamto s può vrfcar co tr dffrt modaltà: ) Fracsca arco c la fao, ma Vttora o; ) Fracsca Vttora c la fao, ma arco o; ) arco Vttora c la fao, ma Fracsca o.

2 Duqu l vto almo du soo putual, ch vrrà dotato E, sarà rapprstabl com: E FV+ FV+ FV Dov F,, V soo rspttvamt Fracsca, arco Vttora ch arrvao tmpo F,, V corrspodoo oguo al rspttvo prsoaggo ch o rsc ad arrvar all apputamto. Potdo oltr cosdrar tr prsoagg (vt E * ) dpdt, pr torm dlla somma dl prodotto dll probabltà, la probabltà dll vto E sarà: Avdo posto -pq: P(E ) pp(-p) + p(-p)p + (-p)pp. P(E ) ppq + pqp + qpp p q. S vdrà ora la gralao d qusto smpo. S cosdro prov dpdt cu l vto A può vrfcars o mo: sa p la probabltà (costat pr og prova) ch l vto A s prst d cosgua sa -pq la probabltà ch sso o s vrfch. S crca la probabltà P, ch l vto A s vrfch volt prov. S dfsc a qusto proposto l vto E, corrspodt al vrfcars d A sattamt volt prov. Com ll smpo prcdt, qusto vto può ralars pù mod dvrs: s dcompo allora l vto E ua somma d prodott d vt, cosstt l prstars o mo d A ua sgola prova. S s dota co * E l prstars dll vto A ll -sma prova co * E l o prstars d A ll -sma prova, s ha ch og varat d apparo dll vto E s compo d apparo dll vto E d - vt E co dc dstt: * * * * * * * * * * * * * * E EE...EE+...E + EEE...EE E E...EE +... E (5.) * Il umro d combao possbl è ugual a C, coè al umro d mod dvrs cu s possoo scglr l m prov, tra l total, cu abba luogo l'vto A. Pr l torma d moltplcao dll probabltà l caso d vt dpdt, la probabltà d og combao è p q -. Essdo l var combao mutuamt scludts, pr l torma dll'addo, la probabltà dll'vto E è par a: P, C volt p q p q C p q (5.)

3 Il coffct partcolar l suo valor è: C è dtto coffct bomal v spsso dcato com C ;! (5.)! ( )! Esmpo S l % d p prodott da ua maccha è dfttoso, trovar la probabltà ch su p stratt a caso: a) po sa dfttoso; b) ssu po sa dfttoso; c) al massmo p sao dfttos. La probabltà d u po dfttoso è p0, d uo o dfttoso è q-p0,88. a) P( po dfttoso su ) (0,) (0,88) 0,7 b) P(0 p dfttos su ) (0,) 0 (0,88) 0, c) P( p dfttos su ) (0,) (0,88) 0,0669 da cu: P(al massmo p dfttos) P(0 p dfttos) + P( po dfttoso) + P( p dfttos) 0, La dstrbuo d Broull (bomal) ha la sgut forma: Fgura Dagramm d frqua pr v.c. bomal co p assgato varabl

4 S calcolo qud paramtr µ (mda), (varaa) γ (dc d smmtra). S ha, com oto: µ p Dov p dca la probabltà. γ p p (5.) da µ Pr l vto smplc, coè pr p q0: Pr la squa d rpto dll sprmto: µ p+ 0 q p (5.5) µ p (5.6) o, altr parol, la somma d varabl casual tutt ugual fra d loro. Varaa Pr l vto smplc: ( p) p+ (0 p) q q p+ p q qp(q+ p) qp qp (5.7) Pr la squa d rpto dll sprmto: pq (5.8) Varaa γ γ [( p) p+ ( 0 p) q] ( p) [ pq p q] pq [ pq+ p q p q p q] ( p) (5.9) Gralmt γ è dvrso da 0, ma s ha γ0 pr: - p 0, coé p q ½. La dstrbuo è smmtrca s gl vt d parta soo smmtrc Dstrbuo d Posso La dstrbuo d Posso s può rcavar com caso partcolar dlla dstrbuo bomal; s ha ua dstrbuo d Posso quado l umro d prov dvta molto

5 grad, cotmporaamt, la probabltà d succsso ua sgola prova molto pccola, modo tal ch l loro prodotto sa fto (o dvrga) dvrso da ro. Ua tpca stuao ch god dll carattrstch appa lcat è lo studo d u procsso d dcadmto radoattvo. I qusta crcostaa, l umro d prov è costtuto dal umro d ucl ch potalmt possoo dcadr (pr ua mol d matral radoattvo l umro d ucl è dll'ord d 0 ), mtr la probabltà d "succsso" (dcadmto) pr og uclo è dcsamt pccola. S suppo ch la probabltà p d dcadmto sa costat oltr, altra carattrstca tpca d cosddtt procss d Posso, ch la probabltà d succsso u trvallo d tmpo [t, t+ t] sa proporoal, prma approssmao, a t. Tal dstrbuo è dtta dgl vt rar, pr sottolar l fatto ch, cascuo d cas a cu ssa s applca, la probabltà ch s vrfch l sgolo vto è strmamt bassa. Altr smp d fom pr cu la dstrbuo d Posso può favorr l modllo: l umro d sucd u ms, l umro d bomb cadut su og m d ua grad cttà lla II gurra modal (chssà qual è la dstrbuo ll o-gurr ), l umro al goro d cdt accadut agl opra d ua fabbrca (ma s può parlar qusto caso d vto raro?). È mportat duqu la sclta dll utà d ossrvao, spaal o tmporal, com l campo d u caocchal o l prodo d u ora. Valor argomtal dlla v.c. soo l umro d vt ch s soo vrfcat ll trvallo d ossrvao: dato ch s tratta d vt rar, valor argomtal sarao d orma pù bass, coè 0,,,,, 5 così va. Il tpo la forma dlla dstrbuo soo dtrmat da u uco paramtro, coè l valor mdo dl umro d vt ch s prstao ll utà (d tmpo o d spao) d ossrvao, gralmt dcato co λ. S vdrà ora la forma matmatca d tal dstrbuo, sa trar l dttaglo dlla dmostrao. Ua varabl alatora s dstrbusc modo possoao s la probabltà d ottr succss è data da: P m λ λ (5.0) m! dov la grada λ è dtta paramtro dlla lgg d Posso rapprsta la frqua mda d accadmto dll'vto ossrvato Dstrbuo prgomtrca La dstrbuo prgomtrca s applca ad sm cott lmt dvs du class: ua abbamo oggtt ch prstao ua crta carattrstca ll'altra s trovao gl altr - lmt co carattrstch dvrs da qulla ch cotraddstgu gl oggtt dlla prma class. 5

6 6 S c s chd, ffttuado u'strao (sa rtroduo) d u campo casual d lmt dagl total, qual sa la probabltà d trovar lmt appartt alla prma class, bsoga utlar la dstrbuo prgomtrca. La forma matmatca d tal dstrbuo è la sgut: P (5.) S ot b ch a dffra dl caso dlla dstrbuo bomal, cascua dll strao o soo dpdt l'ua dall altr. S rcorda ch co la scrttura m s dca l coffct bomal m C : ( )! m m!! C (5.) Ua proprtà d coffct bomal ch sarà utl pr calcol succssv è la sgut: 0 (5.) S calcola ora l valor mdo dlla dstrbuo utlado la dfo dl momto al d ord : µ 0 (5.) Podo - s ott: µ 0 (5.5) Dalla proprtà d coffct bomal, s ott: m (5.6)

7 Pr quato rguarda la dvao stadard, dopo lugh tdos calcol s arrva a: m ( )( ) ( ) (5.7) Esmpo U'ura cot 0 pall: 7 d qust soo d color baco l rmat tr soo r. Calcolar la probabltà ch strado u campo a caso d 5 pall, d qust sao bach. Applcado la formula dlla dstrbuo prgomtrca co dat fort l tsto s ott: !! 5 P!!!! 0 0! 5 5! 5! 05 5 coè la probabltà d strarr u campo d 5 pall cott pall bach è par a 05/5 /5, ossa poco mo dl %. 5.. Dstrbuo cotu 5... Dstrbuo ormal L dstrbuo prcdtmt vst dvgoo utlabl pr valor d molto grad o, rspttvamt, pr alt valor d λ. Ifatt, ssdo ss dstrbuo d tpo dscrto, la loro fuo d dstrbuo o può calcolars altro ch dopo avr calcolato l probabltà d sgol valor argomtal. Il calcolo d tal probabltà dv strmamt oroso quado ll formul:, λ dvgoo molto grad. P p q, P λ λ (5.8)! Dalla prma, troducdo al posto d valor argomtal loro scart dalla mda -p, qual hao la stssa dstrbuo, suppodo grad l umro suffctmt pccolo prché sa < p,q, s può calcolar co ua formula approssmata l valor d P(). I fattoral ch compaoo ssa vrrao sosttut dalla formula d Strlg m m m! m + ( E ) m cu E m td a ro al crscr d m. 7

8 dat l uso d tal sprsso d qualch svluppo sr trocato s prv all sprsso: ota com formula d D ovr. Podo h pq, s ha: pq P( ) (5.9) pq h h h P( ) P(p) (5.0) S è molto grad, ach qud possoo assumr u gra umro d valor; o s commtt prtato u rror ssbl cosdrado cotua la varabl casual co dstrbuo d probabltà data dalla (5.0). Tuttava, pr quato gà dtto sull dstrbuo cotu, o s potrà pù dfr la probabltà P d u sgolo scarto, ch è ulla, ma solo la probabltà ftsma dp d ottr uo scarto comprso u trvallo ftsmo d; ossa: h h dp d (5.) Qusta sprsso, drvata ll pots ch sa pccolo, v assuta pr qualuqu valor d, ossa pr - < < poché quado è grad, la sua probabltà dvta molto pccola. L sprsso trovat soo approssmat; o è duqu fuor luogo vrfcar s soo soddsfatt l du codo ssal prché l quao: h h (5.) rapprst ffttvamt la dstà d probabltà d ua varabl casual costtuta da scart. Ess soo: h h d h h, µ d 0 La prma sprsso s modfca com sgu, podo ξh: (5.) h h ξ d d (5.) Ioltr µ è vdtmt ullo prché la fuo è dspar l trvallo d tgrao è smmtrco rsptto allo ro. 8

9 La (5.) rapprsta qud la dstà d probabltà d ua uova varabl casual, dtta Gaussaa o ormal, cu valor argomtal possoo varar da - a + co cotutà, smmtrca rsptto all ass, co valor massmo ugual a h pr 0. La varaa l momto d scodo ord d tal varabl cocdoo. S ha prcsamt, co la solta sosttuo ξh, tgrado pr part: h h ξ ξ h d h + ξ ξ ξ dξ h dξ h h ξ ξ ξ dξ (5.5) La rlao appa trovata /h, gustfca l om d msura d prcso ch v dato alla costat h: ssa è vrsamt proporoal allo s.q.m. ossa, pr pccol valor d, coè pr valor argomtal poco dsprs attoro alla mda, s ha u lvato valor d h, coè u lvata prcso. Qusta formulao drva da qulla orgal d Gauss, ch troduss la dstrbuo ormal o com lmt d qulla bomal, ma com ua dstrbuo alla qual avrbbro dovuto obbdr gl rror d msura d ua grada pr far sì ch la mda artmtca d ua sr d msur foss la stma pù vrosml dlla msura. S può ora rscrvr la (5.) lla sua forma pù gral, troducdo du paramtr, mda varaa, da cu dpd og dstrbuo ormal, coè: ( ) ( µ ) (5.6) la qual avrà l massmo l puto µ. S potrbb dmostrar ch la possd du flss put µ+ µ-. La famgla dll curv ormal avt la stssa mda s dspo, qud, com lla Fgura sgut. Fgura Rapprstao grafca dlla dstà d probabltà d du varabl casual ormal co stssa mda dvrsa 9

10 L rspttv fuo d dstrbuo: ( µ ) F ( ) ( ) d d (5.7) avrao vc l adamto vsbl lla Fgura sgut. Fgura Curva d dstrbuo pr l du v.c. rapprstat Fgura Tuttava l sprsso pù comu dll dstà d probabltà d ua dstrbuo ormal è acora u altra, cu s troduc co u cambamto d varabl, l cosddtto scarto stadardato o utà stadard: µ (5.8) Pr cu la (5.6) dvta: (5.9) ( ) La varabl casual ha coè mda ulla varaa utara. Essa v chamata v.c. ormal stadardata, quato ssa o compar pù alcuo d du paramtr ch carattrao la v.c. orgal. Il passaggo dalla dstrbuo ormal grca a qulla stadardata tramt la trasformao (5.8) mplca ua traslao lugo l ass d ua rduo d scala da a. S dmostra ch: d (5.0) Poché l tgral è par, s ha: d + 0 d (5.) 0

11 S ha po: b b b f ( ) d f( ) d f( ) d (5.) a a a Poché l valor dll tgral è dpdt dalla varabl d tgrao: b b ( ) d f( ) d f( ) d f( ), ssdo dpdt l du varabl d tgrao: b b f d (5.) a b a b ( ) d f( ) d f( ) f( ) a b b a f dd (5.) a S applca tal proprtà alla fuo qusto, lvata al quadrato: a a a I d d d dd (5.5) Itroducdo l coordat polar s ott: I / / 0 ρ ρ ρ dρρd dθ / dθ 0 / ρ + ρ 0 0 / dθ 0 dρρd (5.6) Estrado la radc quadrata, la ts è dmostrata. S calcolao d sguto mda µ, varaa, asmmtra γ curtos β. µ d d 0 (5.7) d + d 0 + d d (5.8)

12 γ β d + d 0 d d d + d 0 + (5.9) (5.0) L ordat () soo tabulat pr valor d da 0 a lla Tablla. La corrspodt fuo d dstrbuo: Z F ( ) d (5.) è tabulata forsc la probabltà d valor argomtal comprs fra du lmt qualuqu (vd Tablla ). S, data ua v.c. ormal co mda µ s.q.m., s vuol ottr la probabltà d valor argomtal a b, bsogrà rcavar: a µ, b µ (5.) La probabltà crcata sarà F( ) F( ). Podo partcolar µ λ, s dduc ch, qualuqu dstrbuo ormal a mda µ s.q.m., la probabltà d valor argomtal ch dffrscoo dalla mda d ±λ, è rspttvamt: λ F() - F(-) F(-) λ F() - F(-) F(-) 0.95 λ F() - F(-) F(-) Cò sgfca ch qualuqu dstrbuo ormal s ha l 68% d probabltà d ottr valor argomtal (µ-) (µ+), l 95% d probabltà d ottr valor argomtal (µ- ) (µ+) l 99,7% d probabltà d ottr valor argomtal (µ-) (µ+).

13 Esmpo Ua maccha produc sfrtt co u damtro mdo d 8 mllmtr dvao stadard par a mllmtr. Trovar la probabltà ch l damtro d ua sfrtta sa comprso tra mllmtr ll pots ch l fomo sgua ua lgg ormal. Abbadoado tal pots, trovar u lmt fror alla probabltà suddtta. a) Pr l calcolo d P( < < ) ll pots d lgg ormal, s cosdr dapprma la stadardao: 8 8 Dalla tablla dlla ormal stadard : P(-) P() P P() P(-) 0.95 b) l scodo caso s usa la dsuguaglaa d Čbšv (ch val o solo pr la ormal): P( X µ λ ) λ I qusto caso λ, qud: [( 8 ) < X < ( 8 + ) ] P[ ( µ ) < X < ( µ ) ] P + P [( µ ) < X < ( µ + ) ] λ

14 5... Torma ctral dlla statstca S parta da alcu prmss c s rcollgh al captolo rguardat l trasformao d varabl casual. S l trasformao soo a dmso, s dstgu l caso cu m m>. l prmo caso, cu m la trasformao G(X) sa rgolar, coè X G - (Y), s può dfr la trasformao vrsa; pr l torma d cosrvao dll probabltà lmtar, s ott: f() dv f() dv (5.), pr ot torm dll algbra lar ch s rfrscoo al lgam tra volum dtrmat, s ha: [ J( ) ] dv Sosttudo qust ultma lla formula (5.) s ott: dv dt (5.) [ J( ) ] dv f() dv f() dt (5.5) f() f() (5.6) dt [ J( ) ] Pr quato rguarda vc l caso cu m>, s part da u smpo, la fuo somma d du varabl casual Y X +X, cu X Y soo tra loro dpdt. La fuo X -Y+X è rapprstata l pao XY dalla rtta: +d d dds L lmto d volum dv() s rduc qusto smpo a dy, mtr all lmto dy sull ass dll Y corrspod l pao X X l ara comprsa tra l rtt Y -X+Z Y - X+Z+dZ; prtato s ott: f( ) d f(, ) dd (5.7) d d (, ) d d f (5.8)

15 (, ) f d (5.9) La suddtta formula assum po la forma d tgral d covoluo l caso cu X X sao dpdt. S ha: ( ) f ( ) f ( ) f d (5.50) ch è faclmt gralabl al caso a dmso ch, smpr ll pots d dpda d tutt l compot, s prsta lla forma: f (5.5)... ( ) f ( )... f ( ) (5.5) ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) f + (5.5) S dmostra, a partr da quato dtto sopra, ch la combao lar d varabl casual ormal è ua varabl casual ormal. Pr provar cò è suffct dmostrar ch la somma d du varabl casual ormal è ua varabl casual ormal; fatt og covoluo può ssr smpr scomposta covoluo dopp s l varabl casual soo dpdt: ( ) + f() + + d d d d d d d (5.5) (5.55) (5.56) (5.57) (5.58) (5.59) (5.60) 5

16 S po: coè: qud s ott: Poché s ha: t dt d t dt f() dt t dt t (5.6) (5.6) s ott: f() (5.6) ch è ua varabl casual ormal. Cosdramo l du prcdt prmss: a) la combao lar d varabl casual ormal è ua varabl casual ormal; b) la somma d varabl casual qualsas è astotca alla varabl casual ormal. Sao dat varabl casual qualsas (dpdt) s abba: ( ) (tutt l varabl casual hao la stssa mda) µ ( ) (tutt l varabl casual hao la stssa varaa) S costrusc ua somma dll varabl casual dpdt: s (5.6) Il torma ctral dlla statstca dmostra ch S td statstcamt lgg ad ua varabl casual dstrbuta ormalmt avt mda µ varaa (la tda lgg sgfca ch la dstrbuo {s } td alla dstrbuo ormal): s (µ( ) 6

17 Pr l torma dlla mda s ha, fatt: Pr la lgg d propagao s ha oltr: E ( s ) E( ) µ µ (5.65) ( s ) (5.66) ( s ) (5.67) L mportaa d qusto torma sta lla possbl trprtao ch sso dà al fatto sprmtal rcooscuto ch gl rror d msura tdoo a dstrburs ormalmt: cò almo quado l procdmto d msura sa usato vco al lmt dlla sua prcso massma. L trprtao d cu s sta parlado è la sgut: gl rror d msura dpdoo da ua sr d fattor ambtal, strumtal soggttv ch hao, prso cascuo solatamt, u flua mprcttbl sul procdmto d msura; cascuo d qust fattor prcò assum l asptto d ua v.c. ch pr lo pù può ssr rtuta dpdt dall altr. Fattor d qusto tpo possoo ssr l grado d umdtà dll ara, la sua tmpratura, la lumostà dl goro oppur la o prftta platà d uo spccho, la prsa d mcrocorrt dott (rumor) u crcuto oppur l grado d affatcamto dll occho d u oprator, cc. Com s è dtto, og sgolo fattor ha u flua trascurabl sul procdmto d msura, ma tutt fattor mss sm producoo u fftto ssbl, l rror d msura, ch sarà dscrtto da ua varabl casual somma d molt altr: pr l torma ctral tal rror d msura tdrà prcò ad ssr dstrbuto ormalmt. Tal torma è ua dll pù fort gustfcao dll utlo dlla dstrbuo ormal pr la rapprstao dll adamto dgl rror d msura. Ifatt, gl rror d msura, prs sgolarmt, costtuscoo dll varabl casual dpdt; prtato, combadol sm, s ott ch la dstrbuo dll rror global d msura td alla ormal. Covrga stocastca S cosdr ua succsso d varabl casual { }. S dc ch { } td stocastcamt a ro pr s rsulta, pr og ε prfssato: lm ( < ε) 0 (5.68) Tal rlao sgfca sostaalmt ch la { } td alla varabl casual coctrata ll org. 7

18 Usado l torma d Čbšv, s dmostra ch la codo suffct affché { } covrga stocastcamt a ro è ch rsult: lm E lm ( ) 0 ( ) 0 (5.69) (5.70) S dc po ch { } covrg stocastcamt alla varabl casual s { - } covrg stocastcamt a ro. S ot ch la covrga stocastca o è assmlabl ad ua covrga sso matmatco; fatt, s qusta aaloga sussstss s potrbb dfr la probabltà attravrso u sprmto lugo a pacr, l ch è vc mpossbl. Torma d Broull (lgg d grad umr) Sa { } ua succsso d varabl bomal; tal varabl casual dscrvoo la probabltà d succss su prov (p è la probabltà d succsso og sgola prova): / p (5.7) p + q (5.7) P ( ) q Sa po {f } la succsso dll varabl casual: f (5.7) Tal varabl dscrvoo la frqua rlatva d succss su prov. S dmostra ch {f } covrg stocastcamt a p; s ha, fatt: E f [ ] [ f ] [ ] p E lmp p [ ] p pq pq lm 0 pq (5.7) (5.75) Qud la ts è dmostrata. Tal torma sgfca ch, s s prd com vto E l strao da ua varabl casual qualsas s cosdra com succsso l vto A, rsulta: p P( A) 8

19 Fgura -. La frqua rlatva d succss, coè la frqua d strao da ch rcadoo A, td stocastcamt al valor p pr, coè: ( A) lm P( A) p (5.76) S ot ch l modo d tdr dlla f a p è stocastco qud o è mpossbl ch pr ua crta succsso d strao f s dscost da p, ma è solo molto mprobabl Dstrbuo χ S dc dstrbuo χ co grad d lbrtà la dstrbuo dlla somma d quadrat d varabl alator dpdt, cascua dll qual obbdsc ad ua lgg ormal co spraa matmatca ulla varaa par all'utà. Cosdrata coè la varabl: s ha ch la uova varabl χ dfta com: p() (5.77) χ (5.78) s dstrbusc scodo qulla ch v chamata dstrbuo χ pr grad d lbrtà, ossa: ( ) pχ ( ) χ χ (5.79) ( ) Γ 9

20 dov la fuo Γ è dfta com: Γ ( ) u u 0 Pr modst valor d, la curva è fortmt asmmtrca la sua mda µ val propro : fatt, calcolar l valor mdo d quval a calcolar la varaa d ch è apputo ugual ad poché l varabl soo stadardat: du d, (5.80) mtr la varaa è par a. Pr valor lvat d, tdt a, la dstrbuo χ / td alla dstrbuo ormal co mda par a varaa par a /. lla Fgura 5 sgut v raffgurata la dstrbuo al varar d. Fgura 5. I Tablla s possoo trovar valor d F(χ ) pr dffrt valor d Dstrbuo t d Studt Pr rcavar la dstrbuo d Studt s cosdr ua varabl alatora u dstrbuta scodo ua ormal stadardata ua varabl v, dpdt da, avt ua dstrbuo χ co grad d lbrtà. S vogla allora studar l comportamto dlla uova varabl t dfta com: u t v χ (5.8) 0

21 S può dmostrar ch qusta uova varabl obbdsc alla sgut dstrbuo, dtta apputo dstrbuo d Studt: f ( t) dov Γ è la fuo gà dfta prcda. + + Γ t + (5.8) Γ Qusta dstrbuo prsta du comportamt dffrt, a scoda dl valor d : Pr pccol valor d ssa approssma la dstrbuo d Cauch, mtr pr grad approssma la ormal. Gralmt, qusta dstrbuo v adoprata quado l umro d valor cosdrat è pccolo ( pccolo), quado s studao vt molto dstat dal valor mdo o quado s vrfcao tramb l stuao. S ha: µ 0 If s ot ch gl uc momt ft dlla dstrbuo d Studt soo qull d ord mor d. I partcolar tutt momt d ord dspar soo ull vrtù dlla smmtra dlla dstrbuo, mtr tutt qull d ord par supror ad soo ft. La curva è smmtrca u po pù bassa dlla curva ormal (vdr Fgura 6). Fgura 6 -. I valor d F(t), tabulat pr var valor d, soo fort Tablla.

22 5..5. Dstrbuo F d Fshr Sao dat du varabl casual dpdt, v w, tramb dstrbut scodo la χ co rspttvamt grad d lbrtà. La dstà d probabltà dlla varabl casual così dfta: v F (5.8) w è data da: f ( F ) f ( F ) / F / + (5.8) 0 S ha: µ ( + ) ( ) ( ) (5.85) I gr v utlata la dstrbuo d Fshr modfcata modo tal ch rsult smpr : suo valor s trovao Tablla 5, fuo d.